1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 聚焦空间向量数量积运算，分层设计从概念辨析到创新应用，梯度合理，助力知识巩固与思维提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|核心概念与简单运算|第1题辨析数量积与夹角关系，强化数学抽象；第3题正方体中向量运算，培养空间观念| |中档|综合应用与几何情境|第9题教材改编证明垂直，发展逻辑推理；第12题斜三棱柱多结论判断，提升数学思维| |拔高|创新拓展与复杂问题|第15题新定义叉乘运算，激发创新意识；第16题动态探究存在性，培养数学应用能力|

1.1.2　空间向量的数量积运算 1.对于空间任意两个非零向量a,b,“a·b<0”是“<a,b>为钝角”的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.在三棱锥A-BCD中,若AB⊥BD,CD⊥BD,BD=1,则·= (　 ) A. B.1 C. D.0 3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,则a·(b+c)= (　 ) A.2 B.0 C.-1 D.-2 4.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,<,>=(　 ) A.30° 　　　B.60° C.90° 　　　D.120° 5.三棱锥O-ABC中,∠AOB=∠AOC=,OA=2OB=2,若CB⊥OA,则OC= (　 ) A.1 B.2 C. D. 6.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,A1C∩AC1=O,则 (　 ) A.·=a2 B.·=a2 C.·=a2 D.·=a2 7.已知空间中不同的四点A,B,E,C,若·=·,则　　　 .(填“⊥”“∥”或“=”) 8.[2025·深圳实验学校高二月考] 在正三棱锥P-ABC中,O是△ABC的中心,PA=AC=2,则·=　　　　.  9.(13分)[教材P10习题1.1第8题改编] 如图,OB是平面α的斜线,O为斜足,AB⊥α,A为垂足,CD⊂α,且CD⊥OA.求证:CD⊥OB. 10.在空间四边形ABCD中,AB⊥BD,BD⊥DC,且AC=2BD,则在上的投影向量为 (　 ) A. B. C. D. 11.已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线,点M在正方体表面上运动,则·的最小值为 (　 ) A.-48 B.-32 C.-16 D.0 12.(多选题)如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=,∠BAA1=,∠CAA1=,AB=AC=1,AA1=2,点O是B1C与BC1的交点,则下列结论正确的是 (　 ) A.=(++) B.||= C.AO⊥BC D.平面ABC⊥平面B1BCC1 13.如图,两条异面直线a,b所成的角为60°,在直线a,b上分别取点A',E和A,F,使AA'⊥a,且AA'⊥b.已知AF=2,A'E=1,EF=3,则公垂线段AA'的长为　　　　.  14.(15分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC=3,AP=4,∠BAC=∠PAC=∠BAP=60°,点D为棱BC上一点,且CD=2BD,点M为线段AD的中点. (1)求PM的长度; (2)求异面直线PM与AC所成角的余弦值. 15.(多选题)[2026·北京人大附中高二月考] 给定两个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算a×b,规定:①a×b为同时与a,b垂直的向量;②a,b,a×b三个向量构成右手系(如图甲);③|a×b|=|a||b|sin<a,b>.如图乙,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,则下列说法中正确的是 (　 ) A.×= B.×=× C.(+)×=×+× D.=(×)· 16.(15分)如图,在矩形ABCD和矩形ABEF中,AB=4,AD=AF=3,∠DAF=,=λ,=λ,0<λ<1,记=a,=b,=c. (1)当λ=时,求MN与AE夹角的余弦值. (2)是否存在λ使得MN⊥平面ABCD?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2　空间向量的数量积运算 1.B　[解析] 当<a,b>=π时,a·b<0,但<a,b>不是钝角,即由“a·b<0”不能推出“<a,b>为钝角”,又当<a,b>为钝角时,a·b<0,所以“a·b<0”是“<a,b>为钝角”的必要不充分条件.故选B. 2.B　[解析] ·=(++)·=·++·.因为AB⊥BD,CD⊥BD,所以·=0,·=0,所以·=0+12+0=1,故选B. 3.B　[解析] 由正方体的性质可得,⊥,⊥,故·=0,·=0,∵=a,=b,=c,∴a·(b+c)=·(+)=·+·=0.故选B. 4.D　[解析] 如图,连接BD,A'D,则=,∴<,>是∠DBA'的补角.∵A'D=A'B=BD,∴∠DBA'=60°,∴<,>=120°.故选D. 5.A　[解析] 由题意可知=-,而CB⊥OA,故⊥,∴·=0,即(-)·=0,所以·-·=0,则1×2×cos-2||·cos=0,解得||=1,即OC=1.故选A. 6.BC　[解析] 如图.对于A,因为AA1⊥BC,所以·=0,故A错误;对于B,·=·(+)==a2,故B正确;对于C,·=·(++)==a2,故C正确;对于D,·=·=a2,故D错误.故选BC. 7.⊥　[解析] 由·=·,得·(-)=·=0,所以⊥. 8.　[解析] 连接OB,如图.∵在正三棱锥P-ABC中,O是△ABC的中心,∴PO⊥平面ABC,又OB⊂平面ABC,∴PO⊥OB,即·=0.∵PA=AC=2,AB=CB=AC=2,∴BO=·AB·sin 60°=,PB=2,∴·=·(+)=||2+·=PB2-OB2=4-=. 9.证明:因为CD⊥OA,所以·=0. 因为AB⊥α,CD⊂α,所以AB⊥CD,所以·=0. 又+=,所以·=·(+)=·+·=0,故CD⊥OB. 10.C　[解析] 由题意知,∠ABD=∠BDC=90°,BD=AC,则·=·=0,又=++,所以·=(++)·=||2,所以在上的投影向量为·=·=.故选C. 11.B　[解析] 如图,取EF的中点O,连接OM,由题可知OE=OF==4,且=-,则·=(+)·(+)=(+)·(-)=||2-||2=||2-(4)2=||2-48.由于点M在正方体表面上运动,故||的最小值为点O与正方体的面的中心连线的长,即为×8=4,所以·的最小值为42-48=-32,故选B. 12.ABD　[解析] 对于A,=+=+(+)=+(-+)=(++),故A正确;对于B,不妨设=a,=b,=c,则|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0,b·c=1,a·c=-1,由A可得,=(a+b+c),则||2=(a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c)=(1+1+4+0+2-2)=,则||=,故B正确;对于C,因为=b-a,所以·=(a+b+c)·(b-a)=(-1+1+1+1)=1≠0,故C错误;对于D,如图,取BC的中点E,连接AE,则=(+)=(a+b),因为AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC,因为·=(a+b)·c=(a·c+b·c)=(-1+1)=0,所以AE⊥BB1,又BC∩BB1=B,BC,BB1⊂平面B1BCC1,所以AE⊥平面B1BCC1,又AE⊂平面ABC,故平面ABC⊥平面B1BCC1,故D正确.故选ABD. 13.或　[解析] 由已知得·=1×2×cos 60°=1或·=1×2×cos(180°-60°)=-1.设AA'=d,因为·=0,·=0,而=++,所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·.当·=1时,可得1+d2+4+2=9,可得d=;当·=-1时,可得1+d2+4-2=9,可得d=.综上可知,公垂线段AA'的长为或. 14.解:(1)因为M为线段AD的中点,CD=2BD,所以=,=,所以=+=+=+(+)=+=+=+=-++, 又因为·=·=3×4×cos 60°=6,·=3×3×cos 60°=, 所以==++-·-·+· =16+×32+×32-×6-×6+×=, 所以||=,即PM的长度为. (2)由(1)得·=·=-·+·+=-6+×+×32=-3, 所以|cos<,>|===, 即异面直线PM与AC所成角的余弦值为. 15.ACD　[解析] 对于A,同时与,垂直,|×|=||||sin<,>=2×2×sin 90°=4=||,且,,构成右手系,故×=成立,故A正确;对于B,×=,×=-,则×≠×,故B错误;对于C,连接AC,BD,|(+)×|=|×|=2×4×sin 90°=8,×与共线,且方向相同,|×|=2×4×sin 90°=8,×与共线,且方向相同,|×|=2×4×sin 90°=8,×与共线,且方向相同,则|×+×|=8,×+×与共线,且方向相同,因此(+)×=×+×,故C正确;对于D,=2×2×4=16,(×)·=·=42=16,因此=(×)·,故D正确.故选ACD. 16.解:(1)连接AM,则=-=-(+)=λ(+)-[+λ(-)]=λ(a+c)-[b+λ(a-b)]=(λ-1)b+λc, 当λ=时,=-b+c,所以||===, 又=+=a+c, 所以·=(c-b)·(a+c)=(a·c+c2-b·a-b·c)=×=, 又易知||=5,所以cos<,>===,故MN与AE夹角的余弦值为. (2)假设存在λ使得MN⊥平面ABCD, 因为AB,AD⊂平面ABCD,所以MN⊥AB,MN⊥AD, 则·=[(λ-1)b+λc]·a=(λ-1)b·a+λc·a=0,显然成立,又·=[(λ-1)b+λc]·b=(λ-1)b2+λc·b=0,即9(λ-1)+=0,解得λ=,满足题意, 故存在λ=,使得MN⊥平面ABCD. 学科网（北京）股份有限公司 $