1.2空间向量基本定理同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到几何体综合应用的递进，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|基底定义、向量线性表示|单选题1-6直接考查基底条件判断，填空题8-9训练向量分解| |能力提升|共面条件、夹角计算|多选题7辨析基底性质，填空题13结合折叠问题深化运算| |综合应用|几何体中向量应用|解答题10在三棱柱中证明垂直，单选题15-16结合体积关系综合考查|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 1.2　空间向量基本定理 课时对点练 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共73分 1.已知λ，μ∈R，下列可使非零向量a，b，c组成的集合{a，b，c}成为空间的一个基底的条件是(　　) A.b=λc B.a，b，c两两垂直 C.a=λb+μc D.a+b+c=0 2.在正四面体OABC中，=a，=b，=c，D为BC的中点，E为AD的中点，等于(　　) A.a+b+c B.a+b+c C.a+b+c D.a+b+c 3.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，且EC=2PE，若=x+y+z，则x+y+z等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知是空间的一个基底，向量a=3e1+2e2+e3，b=λe2+e3，c=e1+e2+e3，若能作为基底，则实数λ的取值范围是(　　) A.(-∞，-1)∪(-1，+∞) B.(-∞，0)∪(0，+∞) C.(-∞，1)∪(1，+∞) D.(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞) 5.已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB=2，CD=1，则异面直线l，m所成的角等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AC=2A1C1，M，N分别为AC，A1B1的中点，设=a，=b，=c，则可用a，b，c表示为(　　) A.a-b+c B.a-b+c C.a+b+c D.a-b+c 7.(多选)已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列说法中正确的是(　　) A.若xa+yb+zc=0，则x=y=z=0 B.a，b，c两两共面，但a，b，c不共面 C.一定存在实数x，y，使得a=xb+yc D.{a+b，b-c，c+2a}一定能构成空间的一个基底 8.在四面体ABCD中，点E满足=λ，F为BE的中点，且=++，则实数λ=　　　　　　　. 9.正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为　　　　. 10.(13分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=CC1，=a，=b，=c，〈a，b〉=〈a，c〉=，〈b，c〉=，N是AB的中点. (1)用a，b，c表示向量；(5分) (2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由.(8分) 11.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且DF=DD1，记=x+y+z，若x+y+z=，则等于(　　) A. B. C. D. 12.(多选)已知空间单位向量i，j，k两两垂直，则下列结论正确的是(　　) A.向量i+j与k-j共线 B.向量i+j+k的模是 C.{i+j，i-j，k}可以构成空间的一个基底 D.向量i+j+k和k夹角的余弦值为 13.已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，过点B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，用，，表示，则=　　　　，点B与点D之间的距离为　　　　. 14.(14分)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为. (1)若侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(6分) (2)若与的夹角为，求侧棱的长.(8分) 15.在四面体OABC中，=，=2，=2，平面FAB、平面DBC、平面EAC交于点P，则向量用，，表示为　　　　　　　　　　　　　. 16.(多选)若三棱锥M-ABC的体积是三棱锥P-ABC体积的，且=λ-2+3，则λ的值可能为(　　) A. B. C.- D.- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 1.2　空间向量基本定理 课时对点练参考答案 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共73分 1.已知λ，μ∈R，下列可使非零向量a，b，c组成的集合{a，b，c}成为空间的一个基底的条件是(　　) A.b=λc B.a，b，c两两垂直 C.a=λb+μc D.a+b+c=0 答案　B 解析　由基底的定义可知只有非零向量a，b，c不共面时才能构成空间的一个基底. 对于A，b=λc，则b，c共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a与b，c共面，故A错误； 对于B，因为非零向量a，b，c两两垂直，所以非零向量a，b，c不共面，可构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，易知非零向量a，b，c共面，故C错误； 对于D，a+b+c=0，即a=-b-c，所以非零向量a，b，c共面，故D错误. 2.在正四面体OABC中，=a，=b，=c，D为BC的中点，E为AD的中点，等于(　　) A.a+b+c B.a+b+c C.a+b+c D.a+b+c 答案　D 解析　=+=+ =++) =+-+-)， 所以=a+b+c. 3.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，且EC=2PE，若=x+y+z，则x+y+z等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　在四棱锥P-ABCD中，由EC=2PE，得=， 所以=+=-+=-+=-(-)+-) =-+，又=x+y+z，且，，不共面， 因此x=1，y=-，z=，所以x+y+z=1. 4.已知是空间的一个基底，向量a=3e1+2e2+e3，b=λe2+e3，c=e1+e2+e3，若能作为基底，则实数λ的取值范围是(　　) A.(-∞，-1)∪(-1，+∞) B.(-∞，0)∪(0，+∞) C.(-∞，1)∪(1，+∞) D.(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞) 答案　B 解析　若a，b，c共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得a=xb+yc， 即3e1+2e2+e3=x(λe2+e3)+y. 因为e1，e2，e3不共面，所以3=y，2=xλ+y，1=x+y， 解得x=-1，y=2，λ=0，即当λ=0时，a=-b+2c， 此时{a，b，c}不能作为基底，所以若{a，b，c}能作为基底， 则实数λ满足的条件是λ≠0. 5.已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB=2，CD=1，则异面直线l，m所成的角等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　C 解析　如图，设=a，=b，=c， 则=a+b+c， 所以·=(a+b+c)·b=1， ||=2，||=1， 所以cos〈，〉==， 所以异面直线l，m所成的角等于60°. 6.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AC=2A1C1，M，N分别为AC，A1B1的中点，设=a，=b，=c，则可用a，b，c表示为(　　) A.a-b+c B.a-b+c C.a+b+c D.a-b+c 答案　B 解析　因为在三棱台ABC-A1B1C1中，AC=2A1C1，所以AB=2A1B1，又由题意得=，=，所以=++=-++=-++=a-b+c. 7.(多选)已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列说法中正确的是(　　) A.若xa+yb+zc=0，则x=y=z=0 B.a，b，c两两共面，但a，b，c不共面 C.一定存在实数x，y，使得a=xb+yc D.{a+b，b-c，c+2a}一定能构成空间的一个基底 答案　ABD 解析　对于A，若x，y，z不全为0，则a，b，c共面，与题意矛盾，所以A正确； 对于B，由空间中任意两个向量是共面的，可得a，b，c两两共面，又由{a，b，c}是空间的一个基底，可得a，b，c不共面，所以B正确； 对于C，因为a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使得a=xb+yc，所以C错误； 对于D，若a+b，b-c，c+2a共面，则存在实数k，λ，使得a+b=k(b-c)+λ(c+2a)， 可得方程组无解，即不存在实数k，λ， 使得a+b=k(b-c)+λ(c+2a)成立， 所以a+b，b-c，c+2a不共面，所以D正确. 8.在四面体ABCD中，点E满足=λ，F为BE的中点，且=++，则实数λ=　　　　　　　. 答案　 解析　由F为BE的中点， 得=+，又=++， 所以=+， 由=λ，得-=λ(-)， 即=λ+(1-λ)， 所以λ=. 9.正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为　　　　. 答案　 解析　如图，画出对应的正四面体，设=a，=b，=c，则{a，b，c}构成空间的一个基底.设正四面体ABCD的棱长均为1， 因为=+ =-c+(a+b) =(a+b-2c)， 又=-=a-b=(a-2b). 又a·b=a·c=b·c=. 设异面直线DM与CN所成的角为θ， 则cos θ= = = ==. 10.(13分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=CC1，=a，=b，=c，〈a，b〉=〈a，c〉=，〈b，c〉=，N是AB的中点. (1)用a，b，c表示向量；(5分) (2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由.(8分) 解　(1)由题意得=， 所以=+=+=-+-)=-a+b-c. (2)假设线段C1B1上存在点M，使AM⊥A1N，设=λ=λb(λ∈[0，1])， 显然=++=c-a+λb. 因为AM⊥A1N，所以·=0， 即(c-a+λb)·=-c·a+c·b-c2+a2-a·b+c·a-λa·b+λb2-λb·c=0. 设CA=CB=CC1=1， 又〈a，b〉=〈a，c〉=，〈b，c〉=， 所以-c·a-c2+a2-a·b+c·a+λb2=-×1×1×-12+×12-×1×1×+1×1×+λ·12=-+λ=0， 解得λ=，即=， 所以当C1M=C1B1时，AM⊥A1N. 11.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且DF=DD1，记=x+y+z，若x+y+z=，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设=λ，因为=+++=-λ-++ =-λ-++ =-++， 所以x=-1，y=1，z=-λ. 因为x+y+z=-λ=，所以λ=. 12.(多选)已知空间单位向量i，j，k两两垂直，则下列结论正确的是(　　) A.向量i+j与k-j共线 B.向量i+j+k的模是 C.{i+j，i-j，k}可以构成空间的一个基底 D.向量i+j+k和k夹角的余弦值为 答案　BCD 解析　由题意知空间单位向量i，j，k两两夹角为90°，对于A，假设向量i+j与k-j共线， ∵k-j≠0， ∴存在实数λ，使i+j=λ(k-j)，即i=λk+(-λ-1)j，此时i，j，k共面，与题设矛盾，所以向量i+j与k-j不共线，A错误； 对于B，|i+j+k|===，B正确； 对于C，假设i+j，i-j，k共面，则存在实数x，y使得i+j=x(i-j)+yk，于是x=1，-x=1，y=0，矛盾，从而i+j，i-j，k不共面，所以{i+j，i-j，k}可以构成空间的一个基底，C正确； 对于D，设向量i+j+k和k的夹角为θ，则cos θ==，D正确. 13.已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，过点B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，用，，表示，则=　　　　，点B与点D之间的距离为　　　　. 答案　++　 解析　在矩形ABCD中， AB=1，BC=， 则可得AM=，BM=， CN=，ND=，MN=1. 因为平面ABC与平面ACD垂直， BM⊥AC， 平面ABC∩平面ACD=AC， BM⊂平面ABC， 则BM⊥平面ACD， 所以BM⊥ND， 由题可得=++， 所以||2=(++)2 =||2+||2+||2+2(·+·+·) =+12++2×(0+0+0)=， 所以||=. 14.(14分)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为. (1)若侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(6分) (2)若与的夹角为，求侧棱的长.(8分) (1)证明　由已知得=+，=+， ∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC， ∴BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴·=0，·=0， 又∵△ABC是正三角形， ∴〈，〉=π-〈，〉=π-=， ∴·=(+)·(+)=·+·++·=0+||·||·cos〈，〉+||2+0=××+1=0， ∴AB1⊥BC1. (2)解　由(1)得·=||·||·cos〈，〉+||2=||2-1， 又||==， ||==， ∴cos〈，〉===cos=， 又||>0，则||=2， 即侧棱长为2. 15.在四面体OABC中，=，=2，=2，平面FAB、平面DBC、平面EAC交于点P，则向量用，，表示为　　　　　　　　　　　　　. 答案　=++ 解析　设=x+y+z，x，y，z∈R， 因为=，=2，=2， 点P是平面FAB内一点，则=x+y+3z，且x+y+3z=1， 点P是平面DBC内一点，则=2x+y+z，且2x+y+z=1， 点P是平面EAC内一点，则=x+y+z，且x+y+z=1， 联立解得所以=++. 16.(多选)若三棱锥M-ABC的体积是三棱锥P-ABC体积的，且=λ-2+3，则λ的值可能为(　　) A. B. C.- D.- 答案　AC 解析　因为三棱锥M-ABC的体积是三棱锥P-ABC体积的，所以在平面ABC内存在一点Q，使得=或=，如图①②所示， 当=时，则=λ-2+3，得=λ-3+， 因为点Q在平面ABC内，所以λ-3+=1， 解得λ=-； 当=时，则=λ-2+3，得=λ-+， 因为点Q在平面ABC内，所以λ-+=1，解得λ=. 综上，λ=-或λ=. . 学科网（北京）股份有限公司 $