1.2空间向量基本定理同步练习 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

《1.2空间向量基本定理》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C A A B A D BC ACD 题号 11 答案 ACD 1.A 【详解】由P阳-PC,得吸-}PC-(网+西+BG-D++8网一a+石-手， 所似丽征=亚+所-亚-a6--a=ā 4 2.A 【详解】由a,b,c共面，且p,q,r不共面， 存在实数x,y使得c=xa+yb, 5p+ug+3r=x(3p-2g+r)+y(p+g-r), 5=3x+y [x=2 则u=-2x+y,解得y=-1, 3=x-y u=-5 3.C 【详解】由题意可得，PG0C,设m=丽，所=u历， 且AG=xAE+yAF=AP+PE+AP+P网(x+习AP xPB t yPi, AG-AP+PG-AP+P+C-++(B+BC). 因为AD=BC， 所u号p++网号p+号亚aD号0+蹈0-D-++产 31 3 3 3 3 3 4 所以x+y=3 4.A 【详解】设记。连接4 则AF=AP+PF=AP+元PC=AP+AB+AD-A=AB+元AD1-A 因为而=派，即D--G-网，放4G-40+亚， 3 因为A、E、F、G四点共面，且A正、AG不共线，存在L、t∈R,使得AF=AE+tAG, 所亚正+aG=(丽+列传0+号兰4+号0-台剖丽， 答案第1页（共9页） 2 1 4 1 由空间向量的基本定理可得 3 ,解得业=2 所以P厚1 PC 4 42t +31 t= 4 故选：A. 5.A 【详解】因为底面ABCD是边长为1的正方形，AE⊥底面ABCD,AB,ADC底面ABCD, 所以AD.AB=0,AD.AE=0,ABA正=0，设AE=a, 因为证-a亚丽-风)征：号五亚+亚， DF=DC+CF=AB+A正， 丽际号五--]丽+到 D.AB-1 2 AD亚 }丽}丽正恋证正 =-1B2+证2=-+m=7,解得：a=2,故A8=2 2 2 2 故选：A. 6.B 【详解】由题意，因为点D为棱BC的中点， 所以4D=4A+AB+8D=AB-4+c-AB6-4+4C, 又因为点E为棱AB的中点，点F在棱AC上， 设AF=2AC, 所以丽=AF-瓜=Mc-8, 因为∠AAB=∠AAC=60°，∠BAC=90°，AB=AC=2AA=2, 所以西aC=0,4丽=x2×1,4元=1x2x1, 因为AD⊥EF, 所以40亚亚acc-严0 所以号而c44c+五丽+c2c西=0， 所议子4分4=0，解得2 因为AC=2,所以AF=1. 7.A 答案第2页（共9页） 【详解】在平行六面体ABCD-AB,C1D中 四边形DDCC是平行四边形，侧面AADD是正方形， 又P是CD,CD的交点， 所以P是CD的中点， 因为DC=AB,∠AAB=120°，∠DAB=60°，AB=2, 所以AP-A0+AC)=A4+AD+AD+AB)=a4+A西+2AD), 所以AP=aA+a西+4D+24B+444D+4BAD) -44422(04}， 所以AP=V万， 又Dd=2, 所以A.c-a4+亚+2Dc-4+正+aD证 =a4B++21D8） =44os120+刊4+2 HO60） =2242x223, 可得cs(亚，D元） AP.DC 3 3√万 APDC√7×214， 以异鱼直级4P方X失角的会滋省为正引 故选：A 8.D 【详解】因为服=5+后西+名心，则1SPW-Pi+2丽+4C, 15PM=-PM-MA+2PM+2MB+4PM+4MC, 即1oM=-☑+2西+4C,所以2i=-场+号历号c 因为专导专1，由空间向过长本定刻，在平有4C内存在点D, 使得而：号汤+丽+号C成立，即2成-而， 答案第3页（共9页） 所以PM=MD,即PD=MD,则M远=PD, 又三棱锥P-ABC的体积为15， 2 故选：D 9.BC 【详解】选项A,因为a=a+6)+(a-6),所以a,a+.a-乃共面，所以A错误： 选项B,因为c与-c互为相反向量，又{a,b,c}为空间的一个基底， 所以a,b,-c能构成空间的一个基底，故B正确： 选项C,若a+i,a-五，c共面， 则存在实数x,y使得c=x(a+b)+y(a-b),即c=(x+y)a+(x-y5, x+y=0 因为a,,c不共面，所以 -=0解得=0 y=0'进而则可得c=0, 得到a,b,c共面，与己知矛盾，所以C正确： 选项D,因为c=-(a+b)+(a+b+c),所以a+i,a+i+c,c共面，所以D错误. 10.ACD 【详解】由题意有：BD=-AB+AD+AA,所以 B=(B0)=（西+AD+4)=A西+AD+4-2ABAD-2AB.A4+2ADA4 =+A0°+4-244cos60+2Aos6G=4×3=12所以B画=25，故A正确： AC=AB+AD,所以AC=2N2,所以 AC.BD =(aB+Ac)(-aB+AD+)=-AB'+AB.aD+aB.44-aB.AD +AD+a五.a4=-®+AB4cos60+而+D4os60 =-4+2x2x+4+2×2×}=4, 2 所以cos.AC,BD= AC.BD 4 6 4CB可2V2x2W36,故B错误： 由AC=AB+AD-AA，BD=BD=AD-AB, 所以4CBD=(AB+AD-A4）（←AB+AD） 答案第4页（共9页） =-AB'+AB.AD+AB.AA+AB.AD+AD-AD.AA =-AB'+4B.4+AD-AD.A4=-4B+4B cos60'+AD"-AD 4 cos60' =-4+2×2x)+4-2×2×)-0,所以4C1RB,故C正确： 2 由 丽-D-丽)-而-丽o4os60-h4o60-2x2x}2x2x}0, 所以AA⊥BD,故D正确： 故选：ACD 11.ACD 【详解】由题意可知： 丽-网-网=3亚0-6x68丽4044-0 对于A,当P为底面ABCD的中心时， 则亚-+4P-4+码+4)=号沥+五+， 即A分从号=1所以212，故A正确： 对于BC,当2+u+t=1时，可知点P在△ABD及内部， 设AC∩BD=O,点A到平面ABD的距离为d, B 由题意可知：△ABD为等边三角形，且AC⊥BD, 可得AB=AD=35,B0=号BD-340=35,40-6, 因为Wa.4Bo=y4@D,即dxx6x6=×3xx35x6,解得a-35 32 32 所以P长度的报小省为8-兰，放B错误 若点P分别与B,D,A重合时，AP长度分别为6,6,3， 所以AP长度的最大值为6，故C正确： 对于D,若2+2+=t=1, 则AP=(2AB+uAD+iAA,) =带+心捞++2带带+2猫+2带阔 =36(22+u2+4)+92=36+9=45, 又因为AP=AA+AP, 答案第5页（共9页） AP=44+AP+244.AP=44+AP+244.(AAB+AD+iAA) -4A+AP-2tAA=9+45-2×9=-36, 所以4F=6为定值，故D正确： 故选：ACD 12.16 【详解】设C=mCC,Mm=Mc+CN=-cB+nCC, 又AB-cc+西-a,其巾ACB=号∠4cc∠cc'= 2 放交西-c交a-0,aa4=a网cas4c8=11号 又MN⊥AB', 故瓜.B=m-西c+c-)】 =mc2+mc西-mcca-西cc-}°+8c 1 =47- 2 22 0, 解得aG所以A=16。 故答案为：16 13.1 【详解】设ǖ=元4C,其中0≤<1，B丽=正-A伍=B-AD, 丽=-亚=西+0+)0=+&》A0+, GC-GC+C 因为GC,∥平面EH,则GC、EF、E豆共面，显然GC、EF不共线， 所以，存在m、n∈R,使得E五=mEF+nGC, 即（2a04mg024 2 2M+ 因为{AB,AD,A4}为空间中的一组基底，所以， 1 2,解得入=1 n=入 答案第6页（共9页） 因此，4H=4C=5 3 B=1. 故答案为：1. 14 【供1状为牙济浴前导帝洒薇+，语带秀 所以筋活商+帝册、 因为PD=A,历=丽，丽-c, 所以PM=P元+Lpi+2p, 9 因为M,D,E,F四点共面， 员女后1所以止， 1 当且仅当2=4= 时等号说立， 所以2+业的最小值为 4 故答案为： 4 15.【详解】(1)在正三棱柱ABC-ABC中，AB=a,AC=b,AA=c, AB =4B+BB =4B+AA=a+c, BC=AC-AB=AC+CC-AB=AC+AA-AB=B+c-a. (2)由题意可知d==V2,=1,a,6=60°，ā，c=五，c=90, a-i=4lcos60=(V2×}-1,ac=五c=0, ABBC=(a+c)6+c-aab+b.c+车P=上c上20， 故AB⊥BC1 (3)ABBC=(a+c)(i+c-d=ā.b+b.c140求2+F1, AB=Va+c=+27c+=v2+, 8C=V6+c-adj=匠2+i2+c2+26c-a.万-ac 答案第7页（共9页） =V2+2++2×(0-1-0)=+2, 故cos AB,BC= ABBC」 解得=2， 16.【详解11)由题意可知：点0是BC的中点，则筋（密商 所以A0-AB+B0-AB+(BC+弧)=AB+AC-AB+A网) (a+AC+A4): (2)设AB=a,AC=b,AA=c, 则a=5=l月=2a6=0.6c=1x2=1ac=1x2(= MO-(a-6te)-i-) =0+14+0+2-2到= 所a5 又因为8C-万-a:所以40.Bc=a+b+c)6-a1,Bd-5. 所以cos(AO,BC AO.BC 5 AO BC 3 所以异面直线A0与BC所成的角的余弦值为 3 (3)取BC的中点E,连接AE, C 则正=aB+Ada+列， 因为AB=AC,E为BC的中点，则AE⊥BC. B 又证照a+c-ac+b-0,即41盟. 且BCBB,=B,BC,BB,C平面B,BCC1,所以AE⊥平面BBCC. 因为AEc平面ABC,所以平面ABC⊥平面BBCC, 17.【详解】(1)由题知，AB=AA=2,AD=1,∠BAD=∠BAA=∠DAA=60°， 因为BD=BA+AD+DD=-AB+AD+AA, 答案第8页（共9页） 所以丽=西+D+4 =√AB+AD+A4-2ABAD-2AB.44+2AD.4， 而4ADA11AD列cos60=2×1X=山， 丽4-网网eo60-2x2x52 aDa-而4leos60-1x2x1, 所以BD=V4+1+4-2×1-2×2+2×1=V5, 即BD的长度为√5 1 (2)因为AD=A1c0s60=2×21, 所以AD⊥AD,AD‖BC,所以AD⊥BC, 在△ABD中，BD=√AD2+AB2-2AD·ABcos(60° +4-2x1x2x5, 所以AD+BD2=AB2,即BD⊥BC, 又因为AD∩BD=D,所以BC⊥平面ABD, 而ABC平面ABD,所以AB⊥BC,即AB为A到直线BC的距离， 而A4=AB=2,∠AAB=60°， 所以三角形AAB为等边三角形，即AB=2,即A到直线BC的距离为2. (3)设c2=cD, AP.CP=PA.PC=(PC+CB+BA.PC D =(DC-AD-AB·DC=(4B-AD-A©·4正 A B =[(-1)AB-M4-AD]AB-A4 (-1)4B-(14B4+1 =2(2-1)×22-(2-1)AE4cos60+x2-DA@cos60°+ADA4cos60° =24--(02-224-12*124-2=42-- 当-时，这时亚乎的最小，且为号 答案第9页（共9页）1.2空间向量基本定理 编写教师：邱廷月 一、单选题 1.如图所示，已知四棱锥P-ABCD,PE=PC,若AB=a,AD=五，AP=c, 则BE等于() A.-3a++38 4a+46+49 B.- 3a-1i+5 -d- 444 c- 44 2.己知a=3p-2q+r,b=p+g-r,c=5p+uq+37,且p,,r不共面，a,b,c共面，则L=() A.-5 B.-3 C.0 D.1 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E,F分别为线段PB,PD 上的点，若PG=GC,且4G=xAE+yAF,则x+y=() A 3 A.1 B.2 3 D. 2 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，过点A的平面&分别 与棱PB、PC、PD交于点E、F、G,若PB=2PE,PD=3PG,则 -=( PC A.号 1 c.3 D. 5.如图，在多面体EF-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AEL底面 CD,CFL底面ABCD,且AB=CP,M是正方形ABCD的中心，若MB.DF= AE=() 7 .M A.2 C.5 D 6.如图，在三棱柱ABC-ABC中，∠AAB=∠AAC=60°，∠BAC=90°， B AB=AC=2AA=2,点D为棱BC的中点，点E为棱AB的中点，点F在棱AC 上.若AD⊥EF,则线段AF的长度为() D A B.1 C.√2 D.2 7.如图，在平行六面体ABCD-AB,C1D中，底面ABCD是菱形，侧面AADD是 D 正方形，且∠AAB=120°，∠DAB=60°，AB=2,若P是CD与CD的交点， 则异面直线AP与DC的夹角的余弦值为() 第1页（共4页） A.3W万 B.6 4 c. D.V6 14 4 14 8已知三棱能P-ABC的体积为15，M是空间中一点，丽-占孤+号历+号元，则三棱锥A-8c 的体积是() A.15 B.12 C.9 D.10 二、多选题 9.若{a,,}为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是() A.aa+b,a-b B.a,B,-c C.a+ba-B,c D.a+b,a+b+c,c 10.如图，在棱长均为2的平行六面体ABCD-AB,CD中，底面ABCD是正方形，且∠AAB=∠AAD=60°， 下列选项正确的是() A.BD长为2√5 0 B.异面直线AC与BA所成角的余弦值为V 3 C.AC⊥BD D.A4⊥BD 1.己知四棱柱BCD-4BCA的底面是边长为6的菱形，4上平面A8CD,4=3,∠DAB=号，点 P满足AP=元AB+uAD+tAA,其中2，L,t∈[0,1]，则() A.当P为底面ABCD的中心时，2+u+t=2 B.当元++t=1时，AP长度的最小值为3N2 2 C.当2+u+t=1时，AP长度的最大值为6 D D.当2++=t=1时，4F为定值 三、填空题 12.已知正三棱柱ABC-A'B'C的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点， CC=C且MN⊥AB',则= 13.如图，E、F、G分别是正方体ABCD-ABCD的棱AD、AB、CD的中点， H是AC上的点，GC∥平面EFH.若AB=√，则AH= 14.如图，在三棱锥P-ABC中，G为△4BC的重心，PF=】PC,PD=PA, 2 第2页（共4页） PE=PB,元，u∈(O,1),若PG交平面DBF于点M,且PM=PG,则+u的最小值为 四、解答题 15.如图，在正三棱柱ABC-ABCG中，设AB=a,AC=b,AA=c,底面边长为√2. (1)以{a,b,c}为基底表示向量AB、BC: A (2)若=1，求证：AB,⊥BC: (3)若<，C子求. 16.如图，已知斜包棱柱ABC-ABC中，∠BAC三∠BA42元，∠C4AAB三Ac=1,A4=2 3 点O是B,C与BC1的交点， A (1)用向量B,AC,A4表示向量AO: B (2)求异面直线AO与BC所成的角的余弦值： (3)判定平面ABC与平面BBCC的位置关系. 第3页（共4页） 17.在平行六面体ABCD-ABC1D中，AB=A4=2,AD=1,∠BAD=∠BAA=∠DA4=60° (1)求BD的长： D C A (2)求A到直线BC的距离： P D (3)动点P在线段CD上运动，求AP.C严的最小值. 3-- 夕 第4页（共4页）