1.3.1 空间直角坐标系 1.3.2 空间向量运算的坐标表示(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 聚焦空间向量坐标运算，分层设计从基础概念到创新应用，覆盖坐标表示、运算、几何应用全路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|点坐标（对称/中点）、向量坐标运算|单选填空巩固对称点坐标、向量加减数乘，如点关于Oyz平面对称| |中档|向量模/数量积、几何应用|解答题结合三棱柱求线段长、夹角余弦，多选题判断垂直平行| |提升|创新探究、复杂证明|新定义曼哈顿距离、正方体动点存在性问题，培养创新意识|

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 1.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点A(1,1,1),B(2,-1,0),若点P与点A关于Oyz平面对称,则= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(-3,2,1) B.(-1,0,1) C.(-1,0,-1) D.(3,-2,-1) 2.[2026·北京人大附中高二月考] 已知在空间直角坐标系中,点A(1,0,1),B(3,2,2),点D满足=2,则点D的坐标是 (　 ) A.(5,4,3) B.(3,4,3) C.(4,3,2) D.(1,2,3) 3.在△ABC中,已知A(3,2,6),B(5,4,0),C(0,7,1),则AB边上的中线长为 (　 ) A. B.6 C.4 D.7 4.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,则k的值为 (　 ) A.1 B. C. D. 5.已知=(2,-3,2),C,D(x,y,0),且∥,则x,y的值分别为 (　 ) A.3,1 B.4,- C.3,-1 D.1,1 6.(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,3,-5),B(-2,1,1),下列结论正确的是 (　 ) A.||=7 B.·=4 C.若n=(4,2,t),则当t=时,n⊥ D.若m=(1,1,k),则当k=-3时,m∥ 7.在空间直角坐标系中,点P(1,a,b)与点Q(c,-2,4)关于原点对称,则abc=　　　　.  8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以点D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,若向量的坐标为(-4,3,2),则向量的坐标为　　　　.  9.(13分)[2026·嘉兴八校联盟高二期中] 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=. (1)求|b|,a·b; (2)若向量ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值. 10.[2026·辽宁朝阳高二期中] 已知A(2,-1,2),B(3,1,-1),C(2,2,-2),点P(-1,y,1)在平面ABC内,则y的值为 (　 ) A.2 B.-2 C. D.- 11.如图,正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直,=λ(0≤λ≤1),=μ(0≤μ≤1),AB=2,则MN的最小值为 (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)已知空间四点O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-1),C(3,2,1),则下列说法正确的是 (　 ) A.·=-2 B.以OA,OB为邻边的平行四边形的面积为 C.点O到直线BC的距离为 D.O,A,B,C四点共面 13.已知点A(1,2,1),B(3,3,2),C(λ+1,4,3),若,的夹角为锐角,则λ的取值范围为　　　　　　.  14.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别是A1A,A1B1的中点. (1)求线段BM的长; (2)求cos<,>的值; (3)求证:A1B⊥C1N. 15.[2026·蚌埠二中高二检测] 对于两个空间向量a=(x1,y1,z1)与b=(x2,y2,z2),我们定义它们之间的曼哈顿距离为d(a,b)=|x1-x2|+|y1-y2|+|z1-z2|.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,若点P在底面ABCD内(含边界)运动,且||=,则d(,)的取值范围是　　　　.  16. (15分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为(0,0,2),E为棱D1C1上的动点,F为棱B1C1上的动点,且(+)⊥(-),是否存在点E,F,使得·=0?若存在,求出·的值;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 1.A　[解析] 由点P与点A关于Oyz平面对称,可得P(-1,1,1),所以=(-3,2,1).故选A. 2.A　[解析] 设D(x,y,z),则=(x-1,y,z-1),=(2,2,1),因为=2,所以解得则D(5,4,3).故选A. 3.B　[解析] 因为A(3,2,6),B(5,4,0),所以根据中点坐标公式,得AB的中点D的坐标为(4,3,3).又C(0,7,1),所以根据空间两点间的距离公式,得CD==6.故选B. 4.D　[解析] 由已知得|a|==,|b|==2,且a·b=1×2+0×0+1×(-2)=0.由(ka+b)·(a+kb)=2,得ka2+k2a·b+a·b+kb2=2,即2k+8k=2,解得k=.故选D. 5.C　[解析] 因为C,D(x,y,0),所以=,又∥,所以==,解得x=3,y=-1,故选C. 6.AC　[解析] 对于A,由A(1,3,-5),B(-2,1,1),得=(-3,-2,6),故||==7,A正确;对于B,·=1×(-2)+3×1+(-5)×1=-4,B错误;对于C,当t=时,n=,得n·=-12-4+16=0,故n⊥,C正确;对于D,当k=-3时,m=(1,1,-3),≠=,故m与不平行,D错误.故选AC. 7.8　[解析] ∵点P(1,a,b)与点Q(c,-2,4)关于原点对称,∴a=2,b=-4,c=-1,则abc=2×(-4)×(-1)=8. 8.(4,3,-2)　[解析] 设DA=a,DC=b,DD1=c,依题意可得A(a,0,0),C1(0,b,c),则=(-a,b,c,)=(-4,3,2),所以a=4,b=3,c=2,则点D1(0,0,2),B(4,3,0),所以=(4,3,-2). 9.解:(1)由题意得a==(1,1,0),b==(-1,0,2),故|b|==, a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1+0+0=-1. (2)由(1)知|a|2=1+1+0=2,|b|2=1+0+4=5, 因为ka+b与ka-2b互相垂直, 所以(ka+b)·(ka-2b)=k2|a|2-ka·b-2|b|2=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-. 10.C　[解析] 因为A(2,-1,2),B(3,1,-1),C(2,2,-2),P(-1,y,1),所以=(-3,y+1,-1),=(1,2,-3),=(0,3,-4).因为不存在实数t使得=t,所以与不共线,又点P(-1,y,1)在平面ABC内,所以=m+n(m,n∈R),即(-3,y+1,-1)=m(1,2,-3)+n(0,3,-4),所以解得故选C. 11.B　[解析] 以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),F(2,0,0),所以=(0,2,2),=(-2,2,0),则=λ=(0,2λ,2λ),=μ=(-2μ,2μ,0),可得M(0,2λ,2λ),N(2-2μ,2μ,0),则=(2-2μ,2μ-2λ,-2λ),故||==,所以当λ=,μ=时,||取得最小值.故选B. 12.AC　[解析] 空间四点O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-1),C(3,2,1),则=(0,1,2),=(2,0,-1),所以||=,||=.对于A,·=-2,故A正确;对于B,cos<,>==-,所以sin∠AOB=,所以以OA,OB为邻边的平行四边形的面积S=||||sin∠AOB=,故B错误;对于C,因为=(2,0,-1),=(1,2,2),所以·=0,故⊥,所以点O到直线BC的距离d=||=,故C正确;对于D,假设OA,OB,OC共面,则存在实数λ和μ,使得=λ+μ,因为=(0,1,2),=(2,0,-1),=(3,2,1),所以方程组无解,则OA,OB,OC不共面,故D错误.故选AC. 13.(-2,4)∪(4,+∞)　[解析] 由题意知=(2,1,1),=(λ,2,2),∵,的夹角为锐角,∴·=2λ+2+2>0,且≠,解得λ>-2且λ≠4,故λ的取值范围为(-2,4)∪(4,+∞). 14.解:(1)以C为原点,建立空间直角坐标系Cxyz,如图所示, 依题意得B(0,1,0),M(1,0,1), 故=(1,-1,1),所以||==,即线段BM的长为. (2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2), 所以=(1,-1,2),=(0,1,2), 所以·=3,||=,||=, 所以cos<,>==. (3)证明:依题意得C1(0,0,2),N,所以=,又=(-1,1,-2),所以·=-++0=0,所以⊥,即A1B⊥C1N. 15.[1,3]　[解析] 由题意知B(1,1,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),设P(x,y,0),0≤x≤1,0≤y≤1,则=(0,1,0),=(x,y,-1),所以||==,即x2+y2=1,令x=cos θ,y=sin θ,θ∈,所以d(,)=|0-x|+|1-y|+|0-(-1)|=x+1-y+1=x-y+2=cos θ-sin θ+2=cos+2,又θ+∈,所以cos∈,则cos+2∈[1,3],所以d(,)的取值范围是[1,3]. 16.解:由题意知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),所以=(-2,2,-2). 设E(0,a,2)(0≤a≤2),F(b,2,2)(0≤b≤2),则=(b,2-a,0),=(-2,a,2),=(b-2,0,2), 所以·=4-2(a+b),·=8-2b. 因为(+)⊥(-),所以(+)·(-)=-=0,即=,又=(0,a,2),=(b,0,2),所以a2+4=b2+4,所以a=b. 若·=4-2(a+b)=0,则a=b=1, 故存在点E(0,1,2),F(1,2,2),使得·=0,此时·=8-2×1=6. 学科网（北京）股份有限公司 $