1.3 空间向量及其运算的坐标表示 同步练—-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、中档应用、提升探究三层设计，覆盖空间向量坐标表示的概念、运算及综合应用，梯度合理，适配新授课知识内化与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|点的对称、向量坐标运算、模长|单选（1-5）、填空（10-11）直接考查概念辨析与基本运算，强化数学眼光中的空间观念| |中档层|共线向量、夹角公式、垂直平行判定|单选（6-7）、多选（8）、填空（12-13）结合性质应用，培养数学思维中的推理能力| |提升层|新定义“仿射坐标”、几何证明与体积计算|多选（9）、解答题（14）创设创新情境与综合问题，发展数学语言中的模型观念|

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.在空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于yOz平面对称，则( ) A. B. C. D. 2.（多选）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，则( ) A.点P关于点O的对称点为 B.点P关于x轴的对称点为 C.点P关于y轴的对称点为 D.点P关于xOy平面的对称点为 3.已知向量，，且，则( ) A. B. C.4 D.6 4.若，，则( ) A.2 B.5 C.21 D.26 5.已知向量，，则( ) A. B. C. D. 6.已知，.若点A，B，C共线，则( ) A. B. C. D. 7.已知，，，与的夹角为，则( ) A. B. C. D. 8.（多选）在空间直角坐标系中，向量，，则下列结论错误的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若为锐角，则 D.若a在b上的投影向量为，则 9.（多选）已知单位向量两两的夹角均为，且），若空间向量满足，其中，则称有序实数组为向量在“仿射”坐标系Oxyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作.下列说法正确的有( ) A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，，则三棱锥的表面积 10.若点既在平面Oxy内，又在平面Oyz内，则________. 11.已知向量，，若，则mn的值为______________. 12.已知，，则__________. 13.如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，Q为棱BC上一点，，E为AB的中点，若，则______. 14.已知，，，定义一种运算： .已知四棱锥中，底面ABCD是一个平行四边形，，，. （1）求证：平面ABCD； （2）根据上述定义，计算的绝对值的值； （3）求四棱锥的体积，说明的绝对值与四棱锥体积的关系，并由此猜想向量这一运算的绝对值的几何意义. 答案以及解析 1.答案：A 解析：因为点P与点A关于yOz平面对称，所以点P与点A的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相同，可得，所以，所以，故选A. 2.答案：ACD 解析：点P关于x轴的对称点为，故B错误，显然正确. 3.答案：A 解析：因为，所以，所以，整理，得，解得.故选A. 4.答案：B 解析：因为，，所以，，则.故选B. 5.答案：A 解析：由，，得，，所以，所以. 6.答案：B 解析：因为点A，B，C共线，所以与共线，所以，解得，，故，，则. 7.答案：B 解析：因为，，，所以，，故，所以，，， 所以.因为与的夹角为，所以，解得. 经检验，当时，与的夹角为钝角，不合题意，舍去，所以.故选B. 8.答案：ABD 解析：对于A：，，因为，所以可设，即方程组无解，故不可能成立，A错误； 对于B：若，则，解得，B错误； 对于C：因为a与b不可能共线，若为锐角，则，解得，C正确； 对于D：，，若a在b上的投影向量为，即，则，解得，D错误.故选ABD. 9.答案：AC 解析：对于A，，，则，，可知，则，故A正确；对于B，，因为，且，所以，所以，故B错误；对于C，根据“仿射”坐标的定义可得，，故，故C正确；对于D，由题意得，，，且单位向量两两的夹角均为，则，同理，，，所以三棱锥是棱长为1的正四面体，其表面积，故D错误. 10.答案：0 解析：由条件可知点P在平面Oxy与平面Oyz的交线y轴上，由y轴上的点的特征知，，，故.故答案为0. 11.答案： 解析： ， ，解得：，， . 故答案为：. 12.答案： 解析：由题意得，， 则 . 故答案为：. 13.答案： 解析：以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，则，.由，得，则.设，，则，于是，由，得，解得，所以，即. 14.答案：（1）证明见解析 （2）48 （3）；的绝对值是四棱锥体积的3倍； 猜想：的绝对值的几何意义是以AB，AD，AP为邻边的直四棱柱的体积 解析：（1）证明：，， ，. 又，平面ABCD， 平面ABCD. （2）. （3）， ， . 的绝对值是四棱锥体积的3倍. 猜想：的绝对值的几何意义是以AB，AD，AP为邻边的直四棱柱的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $