25.3 一元二次方程：增长率问题、营销问题、图形面积问题 专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程三大应用模块，通过生活情境问题构建“实际问题—等量关系—方程模型”的解题逻辑链，培养模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |增长率问题|3例+3变式|含连续增长/下降、利润增长等情境，核心等量关系为“初始量×(1±率)^n=终量”|从经济现象抽象增长率模型，通过方程求解实际变化率| |营销问题|3例+3变式|涉及售价、销量、利润关系，含销量随价格线性变化，核心为“(售价-成本)×销量=利润”|建立价格与销量的函数关系，转化为利润方程求解| |图形面积问题|3例+3变式|含矩形、“日”字形等图形，涉及边长、面积及栅栏长度限制，核心为几何面积公式|根据图形结构表示边长，利用面积关系列方程解决实际规划问题|

一元二次方程：增长率问题、营销问题、图形面积问题专项训练 一元二次方程：增长率问题、营销问题、图形面积问题专项训练 考点目录 增长率问题 营销问题 图形面积问题 考点一 增长率问题 例1．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)40元 (2) 【分析】（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，利用总利润为8000元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为元，则每个利润为元， 由题意得， 解得：，， ∵更大程度让利消费者， ∴， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度让利消费者，售价应定为40元； （2）解：由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 例2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 【答案】 【分析】本题是“平均增长率”应用题，可利用“复利增长模型”建立方程再求解．已知初始值是10月销售量3万辆，经过2个月后的终值为12月份的销售量4.32万辆，设月平均增长率为x，则列出一元二次方程，再通过解方程即可求出一元二次方程的两个根，最后应注意增长率为正数，应舍去负根． 【详解】解：设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 答：从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 例3．（25-26八年级下·吉林松原·期末）松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 【答案】(1)； (2)万人次． 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意列方程，解方程，再根据实际意义取舍即可； （2）根据增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为． （2）解：（万人次）； 答：第四天的客流量能达到万人次． 变式1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【答案】(1) 年到年这种药剂价格的年平均下降率为 (2) 该药剂在年的价格为元 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 变式2．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）2024年10月，萍乡市荣获“中国辣都”称号后，辣味食品产业迅速发展．已知2023年某辣味食品企业年产值为5亿元，得益于品牌效应，该企业的年产值连续两年保持相同的增长率，预计2025年年产值将达到7.2亿元． (1)求该企业年产值的年平均增长率； (2)2024年10月，该企业的线上辣味食品销售额为3200万元，按计划第四季度（月）的线上总销售额需达到12200万元，求11、12两个月销售额的月均增长率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，关键是根据“增长后的量增长前的量（增长率）”建立方程，并结合实际意义舍去负根． （1）设年平均增长率为，根据年和年的年产值，列出关于的一元二次方程，求解并验证合理性； （2）设月均增长率为，根据月销售额及第四季度总销售额，列出关于的一元二次方程，求解并验证合理性． 【详解】（1）解：设该企业年产值的年平均增长率为， 由题意得， 解得：，(不符合题意，舍去)． 答：该企业年产值的年平均增长率为． （2）解：设、两个月销售额的月均增长率为， 由题意得， 整理得：，解得：(不符合题意，舍去)，． 答：、两个月销售额的月均增长率为． 变式3．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）2025年国庆期间，某话剧院开展“铭记历史，致敬英雄”系列活动，对团体购买话剧《抗战中的文艺》的票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元． (1)求每张话剧票的原定零售票价； (2)为了进一步传播英雄事迹，该剧院决定对现场购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张40.5元，求平均每次降价的百分率． 【答案】(1)50元 (2) 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的应用，关键是根据题意找出等量关系列方程求解． （1）设每张话剧票的原定零售票价为x元，根据题意可知，同一批门票在降价前后的数量不变，可列分式方程，求出解后代入检验即可； （2）设平均每次降价的百分率为m，根据连续两次降价后票价为每张40.5元，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每张话剧票的原定零售票价为x元， 根据题意，得 ， 化为整式方程，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根． 答：每张话剧票的原定零售票价为50元． （2）解：设平均每次降价的百分率为m， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：平均每次降价的百分率为． 考点二 营销问题 例1．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了更多地让利消费者，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 【答案】应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元 【分析】设应将每千克小型西瓜的售价降低元，根据总利润每千克的利润销售量固定成本建立方程求解即可． 【详解】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元， 根据题意得：， 整理得, 解得，, ∵要更多地让利消费者， ∴， 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元． 例2．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】(1) (2)当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 例3．（25-26九年级上·广东佛山·期末）2025年佛山三水西甲比赛期间，某商店销售一种足球纪念品，每个足球纪念品进价为20元，售价为每个30元，每周可卖足球纪念品160个，如果足球纪念品售价每上涨2元，每周就会少卖20个，但厂家规定最高每个售价不能超过33元，设每个足球纪念品售价上涨x元． (1)每个足球纪念品售价上涨x元后，每个足球纪念品的利润为：________元，销售量为：________个； (2)求出足球纪念品定价为多少元时，商店每周的利润恰好为1680元． 【答案】(1)； (2)当足球纪念品定价为元时，商店每周的利润恰好为元 【分析】本题主要考查一元二次方程解实际应用题，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意得到每个足球纪念品的利润为元， 销售量为：个． （2）根据题意得到，再根据题意求出，即可计算出答案． 【详解】（1）解：每个足球纪念品售价上涨x元后， 每个足球纪念品的利润为元， 销售量为：个， 故答案为：；； （2）解：根据题意可知， 整理得：， 解得，， ， 符合题意， 此时足球纪念品的售价为（元）， 答：当足球纪念品定价为元时，商店每周的利润恰好为元； 变式1．（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）2026年是农历丙午马年，某玩具批发商以6元/个的价格购进了一批马的生肖挂件，准备在市场进行销售，若销售价12元/个，每天能售出1000个，经市场调查及大数据分析发现，当售价每降低1元时，平均每天可以多售出100个．（售价低于12元/个） (1)设降价后的售价为元，每天能售出个，请写出关于的函数表达式； (2)该批发商要想使平均每天的利润为4800，同时更大程度让利顾客，则售价应为多少元？ 【答案】(1) (2)10元 【分析】此题考查了一次函数和一元二次方程的应用． （1）根据题意降了元，多销售个，则； （2）设每天的利润为，则，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设降价后的售价为元，则降了元，可多销售个， ， 答：关于的函数表达式为； （2）解：设每天的利润为， 每个可盈利元， ， 当时，即， 整理得，，即， 解得或（舍去）， 答：售价应为10元． 变式2．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 富平县是国家林业局命名的“中国名特优经济林之乡—中国柿乡”，富平柿饼更有着“霜厚、底亮、质润、味香甜”的特点． 素材 某超市售卖成本为10元/斤的富平柿饼，该超市销售一段时间后发现，当柿饼的售价为25元/斤时，月销售量为100斤．若在此基础上每斤柿饼的售价每降低1元，则柿饼的月销售量将增加10斤，设柿饼的售价应降低元/斤． 问题解决 任务1 （1）柿饼的月销售量为________斤；（用含的代数式表示） 任务2 （2）该超市为使销售柿饼的月销售利润达到1560元，则柿饼的售价应降低多少元/斤？ 【答案】任务1：（1）；任务2：柿饼的售价应降低2元/斤或3元/斤 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）由题意得单价每降低1元，平均每月的销售量可增加10斤，那么每千克富平柿饼降价x元，则平均每月的销售量可增加斤，即可表示出降价后富平柿饼每月的销售量； （2）根据每千克的利润乘以数量等于总利润建立一元二次方程求解即可． 【详解】解：（1）∵售价每降低1元，则柿饼的月销售量将增加10斤， 售价每降低元，则柿饼的月销售量将增加斤， ∴销量变为， 故答案为：． （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：柿饼的售价应降低2元/斤或3元/斤． 变式3．（25-26九年级上·河南新乡·期末）2025年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店决定以每件40元的价格购进一款玩偶，以每件58元的价格出售．经统计，2024年10月份的销售量为256件，2024年12月份的销售量为400件． (1)求该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率． (2)从2025年1月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价1元，月销售量就会在12月份销售量的基础上增加20件．当该玩偶的售价为多少元时，月销售利润达4800元？ 【答案】(1)该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率为 (2)当该玩偶的售价为48元时，月销售利润达4800元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）设该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该款玩偶售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用月销售利润=每件的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（舍去）， 所以该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款玩偶售价为y元，则月销售量为件， 根据题意得：， 解得：（降价促销，售价应低于58元，舍去）， 所以当该玩偶的售价为48元时，月销售利润达4800元． 考点三 图形面积问题 例1．（25-26九年级上·山西运城·期末）今年8月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．如图，墙面米，公园管理者计划用总长为的栅栏围建一个“日”字形的精品花售卖区（细线表示栅栏，栅栏厚度忽略不计，段不用栅栏，售卖区中间用栅栏分成两个矩形区域，点F、G分别在边上）．如图，点E在线段上，若围成的售卖区的面积为，求售卖区的宽． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 设，则，根据题意列出方程求解，然后确定符合题意的解即可． 【详解】解：设，则， ∵围成的售卖区的面积为， ∴根据题意列一元二次方程得，， ， 解得，， 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， ∴， ∴的长为． 例2．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划问题 素材 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 问题解决 任务1 （1）纵向道路宽度的取值范围是________． 任务2 （2）若中间种植的面积是，则纵向道路的宽度应为多少？ 【答案】（1）；（2）5米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据道路宽度不超过12米，且不小于5米解答即可； （2）根据中间的种植园区的面积是，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：纵向道路宽度的取值范围为：； （2）根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． ， 道路的宽度应为5米． 例3．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为18米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2.5米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长40米，设苗圃的一边长为x米．若苗圃的面积为，求x的值． 【答案】10 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得另一边的长为米，然后可得，进而求解即可． 【详解】解：设苗圃的一边长为x米，则另一边的长为米， 由题意得：， 解得：， ∵墙最大可用长度为18米， ∴， 解得：， ∴． 变式1．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）实践活动：某中学“生态园”小组准备围建一个矩形苗圃（如图）． （素材1）苗圃的一边靠墙，长为，另外三边用总长为的竹篱笆围建． （素材2）与墙平行的一边上要预留宽的入口． （任务1）当矩形苗圃的边为多少米时，矩形苗圃的面积为？ （任务2）能否围成面积为的矩形苗圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（任务1）时，矩形苗圃的面积为； （任务2）不能围成面积为的矩形苗圃，理由如下： 假设围成苗圃的面积为，设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即不能围成面积为的矩形苗圃． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键， （1）设米，根据题意列出一元二次方程，解方程并验证根是否符合实际问题即可得到答案； （2）设米，根据题意列出一元二次方程，利用根的判别式判断方程根的情况，可得到答案． 【详解】解：（任务1）设米，则米， 由题可得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：当矩形苗圃的边为米时，矩形苗圃的面积为． （任务2）略 变式2．（25-26九年级上·山西晋城·期中）综合与实践 问题情境： 如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区和矩形配料区的养殖基地． 建造方案： 粗线表示“L”形墙，已知，．现计划用的钢架栅栏（细线表示，且其粗细忽略不计）围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在，段各开一个宽为的门，为了充分利用墙体，点D必须在线段上． 问题解决： (1)若围成的矩形养殖基地的面积为，求的长． (2)围成的矩形配料区的面积能否达到？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． (3)当矩形的宽与长的比值为时，该矩形为黄金矩形．若该矩形养殖基地是黄金矩形，请直接写出的长． 【答案】(1)的长为 (2) 不能，理由如下： 设的长为，由题意，当时， 解得或， 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 故矩形配料区的面积不能达到； (3)或（）． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，黄金分割，正确的列出方程是解题的关键： （1）设的长为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程进行求解即可； （2）设的长为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，求出的值，进而求出的长，根据，进行判断即可； （3）根据黄金分割，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：设的长为，由题意，， 则：， 解得或（不合题意，舍去）； 故的长为； （2）略 （3）由（1）可知：， 由题意，可知：， 解得． 变式3．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图1是一幅软笔作品，它是长，宽的矩形．为了美观，现需装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图2． (1)若上、下、左、右边衬宽度都相等，均为，求装裱后的作品面积． (2)若左边衬的宽度是上边衬的2倍，装裱后的作品面积变成原作品的倍，求上边衬的宽度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意及图形可直接进行求解； （2）设上边衬的宽度是，则左边衬的宽度是，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：装裱后的作品面积为． 答：装裱后的作品面积为． （2）解：设上边衬的宽度是，则左边衬的宽度是，依题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）； 答：此作品上边衬的宽度是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程：增长率问题、营销问题、图形面积问题专项训练 一元二次方程：增长率问题、营销问题、图形面积问题专项训练 考点目录 增长率问题 营销问题 图形面积问题 考点一 增长率问题 例1．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 例2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 例3．（25-26八年级下·吉林松原·期末）松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 变式1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 变式2．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）2024年10月，萍乡市荣获“中国辣都”称号后，辣味食品产业迅速发展．已知2023年某辣味食品企业年产值为5亿元，得益于品牌效应，该企业的年产值连续两年保持相同的增长率，预计2025年年产值将达到7.2亿元． (1)求该企业年产值的年平均增长率； (2)2024年10月，该企业的线上辣味食品销售额为3200万元，按计划第四季度（月）的线上总销售额需达到12200万元，求11、12两个月销售额的月均增长率． 变式3．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）2025年国庆期间，某话剧院开展“铭记历史，致敬英雄”系列活动，对团体购买话剧《抗战中的文艺》的票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元． (1)求每张话剧票的原定零售票价； (2)为了进一步传播英雄事迹，该剧院决定对现场购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张40.5元，求平均每次降价的百分率． 考点二 营销问题 例1．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了更多地让利消费者，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 例2．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 例3．（25-26九年级上·广东佛山·期末）2025年佛山三水西甲比赛期间，某商店销售一种足球纪念品，每个足球纪念品进价为20元，售价为每个30元，每周可卖足球纪念品160个，如果足球纪念品售价每上涨2元，每周就会少卖20个，但厂家规定最高每个售价不能超过33元，设每个足球纪念品售价上涨x元． (1)每个足球纪念品售价上涨x元后，每个足球纪念品的利润为：________元，销售量为：________个； (2)求出足球纪念品定价为多少元时，商店每周的利润恰好为1680元． 变式1．（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）2026年是农历丙午马年，某玩具批发商以6元/个的价格购进了一批马的生肖挂件，准备在市场进行销售，若销售价12元/个，每天能售出1000个，经市场调查及大数据分析发现，当售价每降低1元时，平均每天可以多售出100个．（售价低于12元/个） (1)设降价后的售价为元，每天能售出个，请写出关于的函数表达式； (2)该批发商要想使平均每天的利润为4800，同时更大程度让利顾客，则售价应为多少元？ 变式2．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 富平县是国家林业局命名的“中国名特优经济林之乡—中国柿乡”，富平柿饼更有着“霜厚、底亮、质润、味香甜”的特点． 素材 某超市售卖成本为10元/斤的富平柿饼，该超市销售一段时间后发现，当柿饼的售价为25元/斤时，月销售量为100斤．若在此基础上每斤柿饼的售价每降低1元，则柿饼的月销售量将增加10斤，设柿饼的售价应降低元/斤． 问题解决 任务1 （1）柿饼的月销售量为________斤；（用含的代数式表示） 任务2 （2）该超市为使销售柿饼的月销售利润达到1560元，则柿饼的售价应降低多少元/斤？ 变式3．（25-26九年级上·河南新乡·期末）2025年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店决定以每件40元的价格购进一款玩偶，以每件58元的价格出售．经统计，2024年10月份的销售量为256件，2024年12月份的销售量为400件． (1)求该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率． (2)从2025年1月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价1元，月销售量就会在12月份销售量的基础上增加20件．当该玩偶的售价为多少元时，月销售利润达4800元？ 考点三 图形面积问题 例1．（25-26九年级上·山西运城·期末）今年8月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．如图，墙面米，公园管理者计划用总长为的栅栏围建一个“日”字形的精品花售卖区（细线表示栅栏，栅栏厚度忽略不计，段不用栅栏，售卖区中间用栅栏分成两个矩形区域，点F、G分别在边上）．如图，点E在线段上，若围成的售卖区的面积为，求售卖区的宽． 例2．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划问题 素材 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 问题解决 任务1 （1）纵向道路宽度的取值范围是________． 任务2 （2）若中间种植的面积是，则纵向道路的宽度应为多少？ 例3．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为18米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2.5米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长40米，设苗圃的一边长为x米．若苗圃的面积为，求x的值． 变式1．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）实践活动：某中学“生态园”小组准备围建一个矩形苗圃（如图）． （素材1）苗圃的一边靠墙，长为，另外三边用总长为的竹篱笆围建． （素材2）与墙平行的一边上要预留宽的入口． （任务1）当矩形苗圃的边为多少米时，矩形苗圃的面积为？ （任务2）能否围成面积为的矩形苗圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·山西晋城·期中）综合与实践 问题情境： 如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区和矩形配料区的养殖基地． 建造方案： 粗线表示“L”形墙，已知，．现计划用的钢架栅栏（细线表示，且其粗细忽略不计）围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在，段各开一个宽为的门，为了充分利用墙体，点D必须在线段上． 问题解决： (1)若围成的矩形养殖基地的面积为，求的长． (2)围成的矩形配料区的面积能否达到？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． (3)当矩形的宽与长的比值为时，该矩形为黄金矩形．若该矩形养殖基地是黄金矩形，请直接写出的长． 变式3．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图1是一幅软笔作品，它是长，宽的矩形．为了美观，现需装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图2． (1)若上、下、左、右边衬宽度都相等，均为，求装裱后的作品面积． (2)若左边衬的宽度是上边衬的2倍，装裱后的作品面积变成原作品的倍，求上边衬的宽度是多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $