26.3二次函数与一元二次方程 2026-2027学年人教版九年级上册数学讲义

初中数学（RJ）九年级上册 26.3 二次函数与一元二次方程 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解二次函数与一元二次方程的关系：方程的根⇔函数图象与轴交点的横坐标；能根据函数图象判断一元二次方程根的情况；会根据抛物线与轴交点个数、距离反求参数范围；会用函数图象求方程的近似解；会用函数图象解一元二次不等式。 二、知识梳理 知识点 1 　二次函数与一元二次方程的关系 1.本质：方程的根等价于函数图象与轴交点的横坐标。 2.三种情形：①时抛物线与轴有两个交点，方程有两个不等实根；②时抛物线与轴有一个交点（顶点恰在轴），方程有相等实根；③时无交点，方程无实根。 3.对称关系：若是两交点横坐标，则，（韦达定理的图象解读）。 4.应用：已知抛物线与轴交点个数或距离，反求参数范围（中字母系数的取值）。 知识点 2 　利用二次函数图象求一元二次方程解的近似值 1.求方程的近似解：利用二次函数图象，通过取点、连线、读图估算根（当无法因式分解或套公式时）。 2.方法：二分法，与轴交点前后跨越函数值为0，不断通过求平均数进行缩小范围。 三、典例精析 题型 1 　求抛物线与坐标轴的交点坐标、截线长 ★ 点拨　令等于0，可求与坐标轴交点，两个交点之间的截线长可利用横坐标相减的绝对值计算 1．（2026·四川乐山·二模）二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】二次函数与轴交点的纵坐标为，令解一元二次方程即可． 【详解】解：令，得， 因式分解得，解得， 二次函数与轴的交点坐标为，． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：令，得； ∵， ∴或，解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 3．（24-25九年级上·全国·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，解得， 故， 故选：C． 题型 2 　根据图象判断系数符号及代数式符号　 ★ 点拨　开口定，对称轴定，与轴交点定，代入特殊点±1，±2 1．（2026·广东清远·三模）二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 【答案】D 【分析】当，，即可判断A选项；根据函数图象，求出二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断B选项；根据函数图象开口向下，即可判断C选项；得到，根据对称轴为直线，得到，即可判断D选项． 【详解】解：由图象可得，当，，故A正确，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴二次函数与x轴的另一个交点为 ∴由图象可得，当时，，故B正确，不符合题意； ∵二次函数的图象开口向下， ∴，抛物线开口向下，故函数有最大值，故C正确，不符合题意； ∵对称轴为直线 ∴ ∴点在第二象限，故D错误，符合题意． 2．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象判定，的符号，利用对称轴公式确定，关系，结合特殊点坐标判断代数式符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， 又∵抛物线与 轴交于正半轴 ， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，故选项正确； ∵， ∴， ∴，故选项错误； ∵抛物线与 轴有两个交点， ∴，故选项错误 ； 由图象可知，当 时，， ∴，故选项错误； 故选． 3．（2026·湖北·一模）已知抛物线开口向上，与x轴交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．对任意实数m，均有 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向和与x轴的交点坐标，先确定a的符号，求出对称轴得到a与b的关系，再判断c的符号，最后逐一分析各选项，得到错误结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，即，故选项B正确； ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即抛物线与轴的交点为， ∵， ∴， ∴，故选项A正确； ∵抛物线开口向上，直线为对称轴， ∴时，取得最小值，最小值为， ∴对任意实数，有，即，故选项C正确； 当时，， ∵抛物线开口向上，两个x轴交点之间的函数值小于0，且， ∴，故选项D错误． 题型 3 　图象法确定一元二次方程的近似根/根的范围　 ★ 点拨　函数值变号，根就在中间 1．（2026·河南周口·模拟预测）下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 3．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 题型 4 　给定自变量区间求函数值范围（或反求自变量范围） ★ 点拨　先判顶点在不在区间，端点顶点都要算 1．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 2．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，判断二次函数的开口方向，对称轴，以及顶点坐标，结合自变量的取值范围，得出对应的取值范围． 【详解】解：∵二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为， 二次函数转化为一般式为，，二次函数开口向上， 又∵在的范围内， ∴当时，该函数在对称轴左侧随的增大而减小， 当时，，当时，取得最小值， ∴此时的取值范围是， 当时，该函数在对称轴右侧随的增大而增大， ∵， ∴， ∴此时的取值范围是， ∴当时，的取值范围是． 3．（2026·山东聊城·模拟预测）二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对二次函数配方，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的取值范围，计算端点和顶点的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解： ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，对称轴为直线． ∵在内， ∴当时，取得最大值，即． 当时，； 当时，； ∴． 综上，当时，的取值范围是． 题型 5 　图象翻折、平移后的新函数问题 ★ 点拨　关于轴翻折，形成新的分段函数；关于轴翻折，自变量变相反数；平移上加下减，左加右减 1．（2026·山西朔州·三模）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为4 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，即可判断选项；根据图象可知函数没有最大值，即可判断选项；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离即可判断选项；根据函数图象即可判断选项． 【详解】解：选项，对于二次函数，令，解得，原二次函数与轴的交点坐标为，翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，故选项错误； 选项，结合图象可知，函数没有最大值，故选项错误； C选项，二次函数，令，则有，即，解得，，所以原二次函数与轴的交点坐标为，，翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，，图象与轴两个交点之间的距离为，故选项正确； 选项，二次函数，对称轴为，翻折后新函数图象的对称轴不变，为，由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故选项错误． 2．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 【答案】 【分析】求出翻折后新函数的分段解析式，分别计算直线与中间段抛物线相切、直线经过右侧交点时的值，结合图象确定范围． 【详解】解：令，得解得， 抛物线与轴交点为和 新函数在时，； 在或时， 当直线与相切时 方程有两个相等实数根 整理得 即解得 当直线经过点时 ，解得 如图， 结合图象可知，当时，直线与新函数的图象有个公共点． 3．（25-26九年级上·陕西延安·期中）将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的平移． 通过平移抛物线得到新解析式，再求与x轴的交点坐标，利用距离公式计算线段长度． 【详解】解：将抛物线 向下平移5个单位长度，得到新抛物线 ， 令 ，得 ，解得 ，， 所以点A和点B的坐标分别为 和 ， 则线段的长为 ． 故答案为：3． 题型 6 　二次函数与一元二次不等式（解集） ★ 点拨　开口定方向，交点分区间 1．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： (1)这个二次函数的解析式是________； (2)方程的两个根为________； (3)不等式的解集为_______； (4)若当时，则y的取值范围为________． 【答案】(1)；(2)，；(3)；(4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，根据交点确定不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设二次函数的解析式，再代入，得，解得，即可作答． （2）根据对称轴为直线以及与x轴的一个交点坐标为，进行列式计算，得方程的两个根为，，即可作答． （3）结合（2）的结论以及二次函数的图象性质，得出不等式的解集为，即可作答． （4）结合二次函数的图象性质，得最大值为， 把代入，得；把代入，得，可得出当时，y的取值范围为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，函数的顶点C的坐标为， ∴设二次函数的解析式， ∵二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴ 即二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，另一个交点为 ∴方程的两个根为，； （3）解：∵ ∴二次函数的开口方向向上， 由（2）得方程的两个根为，； ∴不等式的解集为； （4）解：∵二次函数的图象的顶点C的坐标为，且开口方向向上， ∴最大值为， 把代入，得； 把代入，得； 当时，则y的取值范围为． 3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），则不等式的解集是__________． 【答案】或 【分析】此题考查了二次函数与不等式，正确求出二次函数图象与x轴交点的横坐标是关键． 先求二次函数与x轴的交点，即解方程 ，得到根，；由于二次项系数为负，抛物线开口向下，据此求出不等式的解集即可． 【详解】解：解方程 得到 ，； 由于二次函数二次项系数为， ∴图象开口向下， ∴不等式 的解集为x小于较小根或大于较大根， 即 或． 故答案为：或． 题型 7 　二次函数与三角形面积、几何综合 ★ 点拨　先交点，再底高，设点列方程，分类讨论 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、平行线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点，利用平行线确定点D的坐标，进而计算三角形面积． 先求抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标；由 得点D纵坐标与C相同，代入抛物线求D的横坐标，得的长；再求A到的距离，计算的面积． 【详解】解：∵抛物线， 令，则，解得或， ∴； 令，则， ∴． ∵（x轴）， ∴点D纵坐标为，代入抛物线得，解得（为点C）， ∴， 则，A到的距离为， ∴的面积 故选：B． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：连接， 把点，点代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线， 令，得，解得或， ∴， ∴, 的面积为：． 3．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点A，顶点B在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求出A、B的坐标，从而求出，根据是等腰直角三角形即可求出a． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，则中的， 令，则， ∴，， 令，则， ∴，则， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：1． 4、 分层训练 1．（25-26九年级上·云南大理·期末）关于的二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴交于点 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 通过二次函数的一般形式，分析系数的值，判断开口方向、对称轴、增减性和与轴交点． 【详解】解：， ，抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 对称轴，故B错误，不符合题意； ，开口向下，对称轴， 当时，随的增大而减小，故C错误，不符合题意； 当时，， 图象与轴交点为，故D正确，符合题意． 故选D． 2．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，再根据对称轴计算较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 由表可知，当时，；当时，， 方程的一个较小根满足。 根关于对称轴对称，设较大根为，则 ， 。 当时，； 当时，； ， 故选：C． 3．（24-25九年级上·河南周口·期中）小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的另一个近似根为， 故选：． 4．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知抛物线（为常数），点，，在抛物线上，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质，得到对称轴，再利用抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大列不等式求解即可． 【详解】解：点，，在抛物线上， 抛物线对称轴为， 到对称轴的距离为1， 时，，且，抛物线开口向上， 当时， ，即， 或，解得或， 当时， ，即， 平方得，，整理得，解得， 综上，时，． 5．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得，解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 6．（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴，解得, ∴的值为． 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）二次函数（，，是常数，且）的图像如图所示，给出下列结论：①；②；③，其中正确的结论有___________．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴、轴的交点坐标以及最大值和最小值进行综合判断即可． 【详解】解：由图可知，当时，，故①正确 抛物线开口向下，则， 又∵对称轴，即 ∴，则，故②错误， ∵对称轴，， ∴， 抛物线与轴交于负半轴，则 ∴，故③正确 故答案为：①③． 8．（25-26九年级上·青海西宁·期中）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②5是方程的一个根；③当时，的值随值的增大而增大；④；⑤其中正确的结论有______． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与坐标轴的交点问题，具有一定的综合性，运用了数形结合的思想． 根据抛物线的开口方向、对称轴和与、y轴交点可知，从而易判断①②；由图知，当时，函数值为0，即有，再结合由对称轴得到，从而易判断④；由图象易判断③；由于函数在时取得最大值，对任意的实数m，其函数值不超过函数的最大值，从而易判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，图象过点， ∴，图象过点 ∴，， ∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵图象过点， ∴5是方程的一个根，故②正确； 当时，函数值为0，即有， ∵， ∴，即，故④正确； 观察图象知，当时，随自变量的增加，函数值有增大有减小，故③错误； ∵函数在时取得最大值， ∴对任意的实数m，都有， 即，故⑤错误， ∴正确的有②④， 故答案为：②④． 9．（2023·安徽·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）． （1）当抛物线经过时，________． （2）当时，时，，则m的取值范围是________． 【答案】或1；/ 【分析】（1）将点代入即可得； （2）将代入可得二次函数的解析式为，再求出时，或；时，，然后结合二次函数的图象即可得． 【详解】解：（1）将点代入得：，解得或， 故答案为：或1； （2）当时，， 当时，，解得或， 由二次函数的性质可知，当时，， 如图，当时，， ， 故答案为：．    10．（2022·山东枣庄·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有__________． 【答案】①③④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据结合c的取值范围可对②进行判断；由可得A的坐标，代入解析式可判断③；由点A坐标结合对称轴可得点B坐标，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， 把代入得， ∴，故③正确； ∵，对称轴为直线， ∴， ∴是关于x的一元二次方程的一个根，故④正确； 综上可知，正确的有①③④． 11．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，先理解题意，分别求出，，，再把数值代入的面积计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴令得， ∴，解得， 观察图象得出， 令则， ∴， ∵二次函数 ∴对称轴为直线， 即， ∴， ∴的面积． 12．（2025·四川广安·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象与性质． （1）将点代入，求得，即可得二次函数表达式； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴解得： ∴该二次函数的解析式为； （2）当时，，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 13．（25-26九年级上·河南信阳·期中）抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和平面直角坐标系中两点间距离的计算，代入已知点求函数系数、利用勾股定理计算线段长度是解题的关键． （1）将已知点其代入抛物线解析式，解方程求出未知系数，即可确定解析式； （2）先通过求出点坐标，再通过解一元二次方程求出点坐标，最后利用勾股定理（是直角三角形）即可计算的长度． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）将代入，得， ∴点， ∴， 令，得，解得，， ∴点， ∴， ∴． 14．（2024·贵州毕节·一模）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接． (1)求二次函数的表达式及点B的坐标； (2)若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使，求点D的坐标． 【答案】(1)，；(2)满足条件的点D的坐标为或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与两坐标轴的交点，以及二次函数与几何综合 （1）用待定系数法求二次函数的解析式，另可求出B的坐标； （2）求出点C的坐标，因为，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要的高与的长相等即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为， 代入表达式，得，解得， ∴二次函数的表达式为．        在中， 当时，则，解得， （2）如图，当点D在x轴上方时，连接，过点D作于点E． ∵当时，， ．        当时，， 当时，，解得或， ∴点D的坐标为． 当点D在x轴下方时，，解得或， ∴点D的坐标为或． 综上所述，满足条件的点D的坐标为或或 15．（23-24九年级上·吉林白城·期末）已知抛物线的顶点为，与轴的交点为． (1)求经过，两点的直线的解析式． (2)当抛物线函数值时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可求出点坐标，令，即可求出点坐标，用待定系数法即可求解， （2）当时，求出抛物线与轴的两个交点坐标，根据抛物线的开口方向，即可求解， 本题考查了，把抛物线解析式化成顶点式，抛物线与坐标轴的交点，根据抛物线交点，确定不等式解集，解题的关键是：熟练掌握抛物线的性质． 【详解】（1）解：将化成顶点式：， ， 当时，， ， 设直线的解析式为：，则：，解得：， 直线的解析式为：， 故答案为：， （2）解：当时，， 或， ，， 抛物线与轴交点坐标为，， 抛物线开口向上， 当时，， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）将抛物线化为顶点式，求出抛物线的顶点坐标即可； （2）先求出点，再求出点B的坐标，求出，根据，得出，设点P的纵坐标为m，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入，得： ， ∴， ∵轴， ∴点C与点B纵坐标相等， 把代入，得： ，解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点P的纵坐标为m，则： ，解得：， 令，解得：，， ∴点P的坐标为：或． 17．（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）求出时y的值可得点C的坐标，求出时x的值可得点A和点B的坐标； （2）根据（1）所求求出的面积，则可得到的面积，根据三角形的面积公式求出点M的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，则， 当时，则，解得，则； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∴ ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴ ，即， ∴，即， 在中，当时，，此时方程无解，不符合题意； 在中，当时，，解得， ∴点的坐标为或． 18．（25-26九年级上·重庆南川·期末）如图，已知二次函数的图像与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求该二次函数的图像与轴的交点坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)；(2)15 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数与面积的综合、坐标与图形等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）令得到关于x的方程求得x的值，再结合点在点左侧即可解答； （2）先求得、，如图：过点D作轴于点E，则，再根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则，解得：，， ∵点在点左侧， ． （2）解：在中，令，则， ， ∵，点是抛物线的顶点 ， 如图：过点D作轴于点E，则， ． 19．（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)在两坐标轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，；(2)存在，或 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，两点间距离公式，注意分情况讨论是解题的关键． （1）将代入，求出c的值，可得的解析式；令求出y的值，可得点的坐标； （2）当使得是以为底边的等腰三角形，点P在线段AB的垂直平分线上，分两种情况：当点P在y轴上，点P在x轴上，根据，利用两点间距离公式列方程，分别求解． 【详解】（1）解：将代入，得解得， ∴二次函数的解析式为 ∵点是二次函数与轴的交点 ∴点的横坐标为0 将代入解析式中，求得， ∴点的坐标为； （2）解：存在．当使得是以为底边的等腰三角形，点P在线段AB的垂直平分线上，分两种情况： ①当点P在y轴上时，， 设 ∵，， ∴，解得， 此时； ②当点P在x轴上时，， 设， ∵，， ∴，解得， 此时， 综上所述：，，使得是以为底边的等腰三角形． 20．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，两点的坐标． (2)抛物线上点的坐标为，求的值． (3)若是抛物线上一点，且，求的取值范围． 【答案】(1)，；(2)或；(3) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的结合、二次函数上点的坐标特征以及二次函数在给定区间内的最值问题，关键是掌握二次函数的图象性质与方程的结合． （1）求二次函数与轴的交点，只需令，解一元二次方程即可； （2）点在抛物线上，将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元二次方程，解方程即可； （3）先将二次函数化为顶点式，确定其开口方向与顶点坐标，再结合给定的的范围，分析的最值，从而确定取值范围． 【详解】（1）解：令，则， 因式分解得，解得，， 由图象可知点在轴负半轴，点在轴正半轴， 故，； （2）解：∵点在抛物线上， ∴将代入解析式得，解得或． 故或； （3）解：， ∵抛物线开口向上，顶点坐标为， 又∵， ∴当时，取得最小值； 当时，； 当时，； 比较可得，当时，的最大值为，最小值为， 故的取值范围为． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）九年级上册 26.3 二次函数与一元二次方程 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解二次函数与一元二次方程的关系：方程的根⇔函数图象与轴交点的横坐标；能根据函数图象判断一元二次方程根的情况；会根据抛物线与轴交点个数、距离反求参数范围；会用函数图象求方程的近似解；会用函数图象解一元二次不等式。 二、知识梳理 知识点 1 　二次函数与一元二次方程的关系 1.本质：方程的根等价于函数图象与轴交点的横坐标。 2.三种情形：①时抛物线与轴有两个交点，方程有两个不等实根；②时抛物线与轴有一个交点（顶点恰在轴），方程有相等实根；③时无交点，方程无实根。 3.对称关系：若是两交点横坐标，则，（韦达定理的图象解读）。 4.应用：已知抛物线与轴交点个数或距离，反求参数范围（中字母系数的取值）。 知识点 2 　利用二次函数图象求一元二次方程解的近似值 1.求方程的近似解：利用二次函数图象，通过取点、连线、读图估算根（当无法因式分解或套公式时）。 2.方法：二分法，与轴交点前后跨越函数值为0，不断通过求平均数进行缩小范围。 三、典例精析 题型 1 　求抛物线与坐标轴的交点坐标、截线长 ★ 点拨　令等于0，可求与坐标轴交点，两个交点之间的截线长可利用横坐标相减的绝对值计算 1．（2026·四川乐山·二模）二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】二次函数与轴交点的纵坐标为，令解一元二次方程即可． 【详解】解：令，得， 因式分解得，解得， 二次函数与轴的交点坐标为，． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：令，得； ∵， ∴或，解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 3．（24-25九年级上·全国·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，解得， 故， 故选：C． 题型 2 　根据图象判断系数符号及代数式符号　 ★ 点拨　开口定，对称轴定，与轴交点定，代入特殊点±1，±2 1．（2026·广东清远·三模）二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 【答案】D 【分析】当，，即可判断A选项；根据函数图象，求出二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断B选项；根据函数图象开口向下，即可判断C选项；得到，根据对称轴为直线，得到，即可判断D选项． 【详解】解：由图象可得，当，，故A正确，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴二次函数与x轴的另一个交点为 ∴由图象可得，当时，，故B正确，不符合题意； ∵二次函数的图象开口向下， ∴，抛物线开口向下，故函数有最大值，故C正确，不符合题意； ∵对称轴为直线 ∴ ∴点在第二象限，故D错误，符合题意． 2．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象判定，的符号，利用对称轴公式确定，关系，结合特殊点坐标判断代数式符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， 又∵抛物线与 轴交于正半轴 ， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，故选项正确； ∵， ∴， ∴，故选项错误； ∵抛物线与 轴有两个交点， ∴，故选项错误 ； 由图象可知，当 时，， ∴，故选项错误； 故选． 3．（2026·湖北·一模）已知抛物线开口向上，与x轴交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．对任意实数m，均有 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向和与x轴的交点坐标，先确定a的符号，求出对称轴得到a与b的关系，再判断c的符号，最后逐一分析各选项，得到错误结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，即，故选项B正确； ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即抛物线与轴的交点为， ∵， ∴， ∴，故选项A正确； ∵抛物线开口向上，直线为对称轴， ∴时，取得最小值，最小值为， ∴对任意实数，有，即，故选项C正确； 当时，， ∵抛物线开口向上，两个x轴交点之间的函数值小于0，且， ∴，故选项D错误． 题型 3 　图象法确定一元二次方程的近似根/根的范围　 ★ 点拨　函数值变号，根就在中间 1．（2026·河南周口·模拟预测）下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 3．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 题型 4 　给定自变量区间求函数值范围（或反求自变量范围） ★ 点拨　先判顶点在不在区间，端点顶点都要算 1．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 2．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，判断二次函数的开口方向，对称轴，以及顶点坐标，结合自变量的取值范围，得出对应的取值范围． 【详解】解：∵二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为， 二次函数转化为一般式为，，二次函数开口向上， 又∵在的范围内， ∴当时，该函数在对称轴左侧随的增大而减小， 当时，，当时，取得最小值， ∴此时的取值范围是， 当时，该函数在对称轴右侧随的增大而增大， ∵， ∴， ∴此时的取值范围是， ∴当时，的取值范围是． 3．（2026·山东聊城·模拟预测）二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对二次函数配方，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的取值范围，计算端点和顶点的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解： ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，对称轴为直线． ∵在内， ∴当时，取得最大值，即． 当时，； 当时，； ∴． 综上，当时，的取值范围是． 题型 5 　图象翻折、平移后的新函数问题 ★ 点拨　关于轴翻折，形成新的分段函数；关于轴翻折，自变量变相反数；平移上加下减，左加右减 1．（2026·山西朔州·三模）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为4 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，即可判断选项；根据图象可知函数没有最大值，即可判断选项；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离即可判断选项；根据函数图象即可判断选项． 【详解】解：选项，对于二次函数，令，解得，原二次函数与轴的交点坐标为，翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，故选项错误； 选项，结合图象可知，函数没有最大值，故选项错误； C选项，二次函数，令，则有，即，解得，，所以原二次函数与轴的交点坐标为，，翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，，图象与轴两个交点之间的距离为，故选项正确； 选项，二次函数，对称轴为，翻折后新函数图象的对称轴不变，为，由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故选项错误． 2．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 【答案】 【分析】求出翻折后新函数的分段解析式，分别计算直线与中间段抛物线相切、直线经过右侧交点时的值，结合图象确定范围． 【详解】解：令，得解得， 抛物线与轴交点为和 新函数在时，； 在或时， 当直线与相切时 方程有两个相等实数根 整理得 即解得 当直线经过点时 ，解得 如图， 结合图象可知，当时，直线与新函数的图象有个公共点． 3．（25-26九年级上·陕西延安·期中）将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的平移． 通过平移抛物线得到新解析式，再求与x轴的交点坐标，利用距离公式计算线段长度． 【详解】解：将抛物线 向下平移5个单位长度，得到新抛物线 ， 令 ，得 ，解得 ，， 所以点A和点B的坐标分别为 和 ， 则线段的长为 ． 故答案为：3． 题型 6 　二次函数与一元二次不等式（解集） ★ 点拨　开口定方向，交点分区间 1．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： (1)这个二次函数的解析式是________； (2)方程的两个根为________； (3)不等式的解集为_______； (4)若当时，则y的取值范围为________． 【答案】(1)；(2)，；(3)；(4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，根据交点确定不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设二次函数的解析式，再代入，得，解得，即可作答． （2）根据对称轴为直线以及与x轴的一个交点坐标为，进行列式计算，得方程的两个根为，，即可作答． （3）结合（2）的结论以及二次函数的图象性质，得出不等式的解集为，即可作答． （4）结合二次函数的图象性质，得最大值为， 把代入，得；把代入，得，可得出当时，y的取值范围为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，函数的顶点C的坐标为， ∴设二次函数的解析式， ∵二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴ 即二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，另一个交点为 ∴方程的两个根为，； （3）解：∵ ∴二次函数的开口方向向上， 由（2）得方程的两个根为，； ∴不等式的解集为； （4）解：∵二次函数的图象的顶点C的坐标为，且开口方向向上， ∴最大值为， 把代入，得； 把代入，得； 当时，则y的取值范围为． 3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），则不等式的解集是__________． 【答案】或 【分析】此题考查了二次函数与不等式，正确求出二次函数图象与x轴交点的横坐标是关键． 先求二次函数与x轴的交点，即解方程 ，得到根，；由于二次项系数为负，抛物线开口向下，据此求出不等式的解集即可． 【详解】解：解方程 得到 ，； 由于二次函数二次项系数为， ∴图象开口向下， ∴不等式 的解集为x小于较小根或大于较大根， 即 或． 故答案为：或． 题型 7 　二次函数与三角形面积、几何综合 ★ 点拨　先交点，再底高，设点列方程，分类讨论 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、平行线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点，利用平行线确定点D的坐标，进而计算三角形面积． 先求抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标；由 得点D纵坐标与C相同，代入抛物线求D的横坐标，得的长；再求A到的距离，计算的面积． 【详解】解：∵抛物线， 令，则，解得或， ∴； 令，则， ∴． ∵（x轴）， ∴点D纵坐标为，代入抛物线得，解得（为点C）， ∴， 则，A到的距离为， ∴的面积 故选：B． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：连接， 把点，点代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线， 令，得，解得或， ∴， ∴, 的面积为：． 3．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点A，顶点B在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求出A、B的坐标，从而求出，根据是等腰直角三角形即可求出a． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，则中的， 令，则， ∴，， 令，则， ∴，则， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：1． 4、 分层训练 1．（25-26九年级上·云南大理·期末）关于的二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴交于点 2．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南周口·期中）小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知抛物线（为常数），点，，在抛物线上，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 6．（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）二次函数（，，是常数，且）的图像如图所示，给出下列结论：①；②；③，其中正确的结论有___________．（填序号） 8．（25-26九年级上·青海西宁·期中）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②5是方程的一个根；③当时，的值随值的增大而增大；④；⑤其中正确的结论有______． 9．（2023·安徽·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）． （1）当抛物线经过时，________． （2）当时，时，，则m的取值范围是________． 10．（2022·山东枣庄·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有__________． 11．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 12．（2025·四川广安·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 13．（25-26九年级上·河南信阳·期中）抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求的长． 14．（2024·贵州毕节·一模）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接． (1)求二次函数的表达式及点B的坐标； (2)若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使，求点D的坐标． 15．（23-24九年级上·吉林白城·期末）已知抛物线的顶点为，与轴的交点为． (1)求经过，两点的直线的解析式． (2)当抛物线函数值时，直接写出的取值范围． 16．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 17．（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 18．（25-26九年级上·重庆南川·期末）如图，已知二次函数的图像与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求该二次函数的图像与轴的交点坐标； (2)求的面积． 19．（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)在两坐标轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 20．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，两点的坐标． (2)抛物线上点的坐标为，求的值． (3)若是抛物线上一点，且，求的取值范围． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $