26.3二次函数与一元二次方程. 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

二次函数与一元二次方程(1) 知识点① 抛物线与坐标轴的交点坐标 (1)抛物线 与x轴的交点的横坐标x₁，x₂是一元二次方程 的根； (2)求函数图象与x轴的交点：令y=0； 求函数图象与y轴的交点：令x=0. 1.(1)直线y=2x-6 与x轴的交点A 的坐标为 ，与 y 轴的交点 B 的坐标为 ; (2)抛物线 与x轴的交点坐标为 . 知识点 ② 抛物线与坐标轴的交点个数的判别 (1)与x轴的交点： 方程 =0(a≠0) 抛物线 +c(a≠0) △>0 有两个 的实数根 与x轴有 个交点 △=0 有 的实数根 与x轴有 个交点 Δ<0 实数根 与x轴有 个交点 (2)与y轴的交点：抛物线 与y轴有且只有 个交点( ， ). 2.(人教9上P46改编、北师9上P149改编) (1)方程 有 的实数根，抛物线 与 x轴有 个交点,分别是( , )和( ,); (2)方程 有 的实数根，抛物线 与x轴有 个交点，与y轴的交点坐标是 ； (3)方程 实数根，抛物线 与x轴有 个交点，与y轴的交点坐标是 . 知识点 ③ 抛物线的对称性 (1)若抛物线 与x轴的交点坐标为(x₁,0),(x₂,0),则其对称轴为直线 (2)若抛物线 经过点(x₁,h),(x₂，h)，则抛物线的对称轴为直线 3.(1)如图，抛物线的对称轴是直线x=3，与x轴交于A,B 两点,若B 点的坐标是(5,0),则A点的坐标是 . (2)(2026四川月考)抛物线 经过点A(x₁,h),B(x₂,h),则 4.【例1】(人教9上P46改编、北师9上P149改编)二次函数 的图象与x轴交于(1,0),(-3,0)两点,则关于x的方程 的根为( ) 5.【例2】(2026 惠州开学)若抛物线 c(c是常数)与x轴没有交点，求c的取值范围. 6.【例3】已知抛物线 与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式 的值为( ) A.2 027 B.2026 C.2025 D.2024 7.【例4】(人教9上P49改编)已知抛物线 + bx+c与x轴交于(-1,0),(-5,0),则: (1)抛物线的对称轴是 ； (2)抛物线的表达式是 ； (3)抛物线 与直线y=2x+1的交点坐标是 . 8.(人教9上P46改编、北师9 上P149 改编)已知一元二次方程 的根为 =2，则抛物线 与x轴的交点为 9.(2026 宁夏模拟)若函数 的图象与x轴有交点，求k的取值范围. 10.(北师9上P149 改编)若二次函数 bx+c(a≠0)图象最低点的坐标为(1,-1),则关于x的一元二次方程 的根为 . 11.(抽象能力)已知二次函数 在x=-1和x=5时的函数值相等. (1)该函数图象的对称轴为 ； (2)若二次函数 的图象与x轴只有一个交点，求b的值. 二次函数与一元二次方程(2) 知识点(1数形结合解决有关二次函数取值以及两个函数值的大小比较问题 (1)对于抛物线 y>0，是指函数图象在x轴 的部分； y=0，是指函数图象与 ； y<0，是指函数图象在 的部分； (2)对于两个函数y₁,y₂: 是指y₁比y₂图象高的部分； 是指y₁与y₂图象 的部分； 是指 的部分. 1.(人教9上P50改编)如图，抛物线 -3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C. (1)当x= 时,y=0; (2)当-1<x<3时,y 0; (3)当x<-1或x>3时,y 0; (4)设抛物线为y₁，过点 A，C的一次函数为y₂,当 时，x的取值范围是 . 知识点2 用图象法求一元二次方程的近似根二次函数 的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程 ≠0)的根.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤如下： (1)画出二次函数 的图象； (2)确定一元二次方程 的根的取值范围，即确定抛物线 与x轴的交点的横坐标的范围； (3)在(2)确定的范围内，用计算器进行探索，即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式列出相应的y值； (4)确定一元二次方程 的近似根.在(3)中最接近0的y值所对应的x值，即是一元二次方程 的近似根. 2.(1)下表是几组二次函数 的自变量x与函数值y的对应值： x 1' 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程 的一个近似根是( ) A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3 (2)如图，二次函数 的顶点为(2，-5)，其图象与x轴负半轴交于点A，则一元二次方程 的正数解的范围是( ) A.3<x<4 B.4<x<5 C.5<x<6 D.6<x<7 3.【例1】(人教9上P48改编、北师9上P150改编)小颖用计算器探索方程 的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根为x=-3.4，则方程的另一个近似根(精确到0.1)为( ) A.4.4 B.3.4 C.2.4 D.1.4 4.【例2】如图，一次函数 与二次函数 交于A,B两点,且A(1,0),抛物线的对称轴是直线 (1)求a,b和k的值; (2)求不等式 的解集. 5.下表给出的是二次函数 的几组对应值，那么方程 的一个近似解可以是( ) x 3.3 3.4 3.5 3.6 y 0.03 0.09 A.3.25 B.3.35 C.3.45 D.3.55 6.(数形结合、几何直观)(2026合肥一模)如图，抛物线 与直线y=-x+b相交于点A(-2,0)和点 B. (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)求点 B 的坐标，并结合图象写出不等式 的解集； (3)若关于x的方程 在-2≤x≤1的范围内有两个不相等的实数根，求n的取值范围. 二次函数与一元二次方程(1) 知识点2 (1)不相等 2 两个相等 1 没有 0 (2)1 0 c 1.(1)(3,0) (0,-6) (2)(2,0),(3,0) 2.(1)两个不相等 两 -1 0 3 0 (2)两个相等 一 (0,4) (3)没有 0 (0,4) 3.(1)(1,0) (2)2 4.【例1】D 5.【例2】解:∵ 抛物线 与x轴没有交点，即方程 无实数根， 解得 6.【例3】A 7.【例4】(1)直线x= - 3 ( (3)(-2,-3) 8.(0,0),(2,0) 9.解：当k≠0时，由二次函数与x轴有交点，可得 有实数根，即 解不等式,得k≥-1. 当k=0 时,函数是一次函数 y =-2x-1,与x 轴交于 满足题意. 所以k的取值范围为k≥-1. 11.解:(1)直线x=2 (2)由(1)得，对称轴是直线 ∴a=4,∴抛物线为 又∵二次函数 的图象与x轴只有一个交点， ∴△=16-4b=0, ∴b=4. 二次函数与一元二次方程(2) 知识点1：(1)上方 x轴的交点 x轴下方 (2)相交 y₁ 比y₂图象低 1.(1)-1或3 (2)< (3)> (4)-1<x<0 2.(1)C (2)D 3.(例1)D 4.(例2)解:(1)把点A(1,0)代入一次函数表达式,得k+1 =0,解得k= -1, 根据题意，得 解得 (2)解 得 或 则点 B 的坐标是( -6,7). 由图象可得，不等式 的解集是-6<x<1. 5. C 6.解:(1)将点A( -2,0)代入 得(0= - 4-2m,解得m=-2，∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标是( -1,1). (2)将点A的坐标代入y=-x+b, 得0=2+b,解得b= -2,..直线为y=-x-2, 由解得 或 ∴点B 的坐标为(1,-3), ∴不等式 的解集为x<-2或x>1. (3)由题意可知抛物线 与直线y=n在-2≤x≤1 的范围内有两个交点， 由(1)可知抛物线为 顶点为( -1,1), ∵A(-2,0),O(0,0),B(1,-3), .. n的取值范围是0≤n<1. 学科网（北京）股份有限公司 $