3.2配方法解一元二次方程同步练习题 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 湘教版九年级数学上册3.2配方法同步练，通过基础-提升-拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|配方法基本概念与直接应用|选择填空为主（如1-12题、13-15题），强化概念辨析与基础运算，培养抽象能力| |提升层|配方法运算技能与变式训练|解答题（16-19题）训练不同形式方程求解，提升推理能力与运算准确性| |拓展层|配方法综合应用与跨情境探究|结合几何（21题）、最值问题（22-24题），发展应用意识与创新思维，体现数学眼光与语言表达|

2026-2027湘教版数学九年级上册第三章3.2配方法解一元二次方程同步练习题 1. 选择题。 1.一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 3．方程的根为（   ） A． B． C． D． 4．方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 5．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 6．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）方程配方成的形式为（    ） A． B． C． D． 9．若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 10．一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 11.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A．2 B． C． D． 12．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 2. 填空题。 13．方程的解是______． 14．把方程化为的形式，则的值是___________． 15．若，则的值为___________． 3. 解答题。 16．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； （5）； （6）． 17．用配方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． (5) (6) 18．（用配方法解一元二次方程） （1） （2）． (3)． 19．解方程 (1) (2) (3) (4)； (5)（用配方法）． (6) 20．已知，，判断，的大小关系． 21．若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 22.综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由_________可知，当时，有最小值，最小值是__________．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式__________＝_________ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是_______； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为__________． 23．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 24．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当___________时，代数式有最___________值，是___________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027湘教版数学九年级上册第三章3.2配方法解一元二次方程同步练习题答案 1. 选择题。 1.一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 解得：, ． 故选：D． 2．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 【答案】C 解：∵， ∴， ∴， ∵任何实数的平方都是非负数，即，而， ∴该一元二次方程无实数根． 故选C． 3．方程的根为（   ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：B． 4．方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 解：∵， ∴， ∴， ∴，即，， 故选：C． 5．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 解：∵ ∴ 当时， 当时， ∴方程的解为 , 故选：D． 6．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 7．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 解：对原方程移项得， 方程两边同时加得， 整理得， 8．方程配方成的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵ ， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方 得， 整理得． 9．若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：， 移项得， 配方得， 整理得． 10．一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ． 11.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A．2 B． C． D． 解： 故选：D． 12．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当时，代数式取得最小值，最小值为． 2. 填空题。 13．方程的解是______． 解：， ， 解得：或， 故答案为或． 14．把方程化为的形式，则的值是___________． 解：， 移项，得， 配方，得， 即， ∴，， ∴． 故答案为：3． 15．若，则的值为___________． 解：∵， ∴， 解得或， ， ， 3. 解答题。 16．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； （5）； （6）． （1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴x2， ∴， 解得，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴ 解得， （5）解：∵， 整理得， ∴， ∴，； （6）解：∵． ∴或， 解得，． 17．用配方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． (5) (6) （1）解：移项，得， 配方，得， 即， ∴， ∴； （2）解：去括号，得， 配方，得， 即， ∴， ∴； （3）解：移项，得， 配方，得， 即， ∴， ∴； （4）解：移项，得， 配方，得， 即， ∴， ∴． （5）解：， ， ， ， 解得，． （6）解：， ， ， ， 解得，． 18．（用配方法解一元二次方程） （1） （2）． (3)． 解：（1）， ， ， ， ， ， 解得，. （2）：方程两边同时除以，得， 方程两边同时加上，得， ， ， ，． （3）解： ∴， ∴，． 19．解方程 (1) (2) (3) (4)； (5)（用配方法）． (6) 解：（1） ， ， ， 解得，． （2）解：， 移项得 ， 配方，两边同时加得 ， 整理得 ， 开平方得 ， 解得，． （3）解：， ， ， ， ， ，即或， 解得，． （4）解： ， ， ， ， ， . （5）解：， ， ， ， ，． （6）解：移项，得， 两边同除以3，得：， 配方，得：， 整理，得：， 开平方，得：， 解得：． 20．已知，，判断，的大小关系． 解： ． ，， ， ，即． 21．若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 解：为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∵， ∴为等腰三角形． 22.综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由_________可知，当时，有最小值，最小值是__________．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式__________＝_________ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是_______； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为__________． （1）解：由可知，当时，有最小值，最小值是． 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式，原式. （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为. 23．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． （1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 24．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当___________时，代数式有最___________值，是___________． （1）解：例1中第二步将写成，依据完全平方公式； 第三步将写成，依据平方差公式， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ， ∴当时，有最小值，最小值为； （4）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：1，大，． 学科网（北京）股份有限公司 $