3.3 .1幂函数（教学设计）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“3.3.1 幂函数”核心知识点，通过购买蔬菜、正方形面积等生活实例抽象出五个幂函数，衔接函数概念与性质的前期知识，构建“背景—概念—图象—性质—应用”的研究路径。 以任务驱动分设基础、拓展、挑战目标，引导学生结合图象与代数运算研究幂函数性质，如证明单调性培养逻辑推理素养，帮助学生形成研究函数的系统方法，为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 3.3.1 幂函数 设计时间 授课时间 课标要求 1.通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2.通过研究函数图象与性质，理解函数图象与性质的探究方法，感受图形直观与代数运算相结合的思想方法，发展直观想象、逻辑推理和数学运算素养. 教材分析 前面学习了函数的一般概念、函数性质的刻画方法，本单元将利用这些知识研究一类基本初等函数-幂函数. 幂函数是一类重要的基本初等函数，很多函数都是由幂函数及其他基本初等函数经过运算、复合得到的.由于学生已经学习了正比例、反比例函数、一次函数、二次函数，幂函数学习从学生熟悉的,y=x ,出发，在归纳五个具体幂函数共性的基础上给出幂函数概念，通过五个具体幂函数的图象和解析式，得出幂函数的一些性质，再用幂函数的概念与性质解决一些简单的问题. 函数是由正比例函数y=x与反比例函数通过加法运算构造而成的，因此可以看成是幂函数的延伸，同时要引导学生运用研究幂函数的思想方法探究这个函数的图象与性质.它的学习需要突破用代数运算研究函数图象与性质这个难点.如问题串中，你画的函数图象与几何画板生成的图象类似吗？你能用函数y=x和的图象变化趋势说明 图象变化趋势吗？引导学生又回到了解析式的代数结构进行思考，这不但提供了用代数运算研究函数性质的“拆分法”而且将用代数运算研究函数性质的思想提高到一个新的高度. 教科书将“幂函数”内容安排到“函数的概念与性质”中的第3节，是在学习完一般函数的概念和基本性质后，以一类简单的基本初等函数为载体，使学生明确研究一类具体函数的基本构架（背景一概念一图象一性质一应用），并体会如何在一般函数的概念及基本性质的指导下展开研究.因此幂函数的学习既是对前面所学内容的巩固，也为后面指数函数、对数函数的学习打下基础. 学情分析 高中阶段学习函数的要求与初中学习一次函数、二次函数和反比例函数的要求差别较大.作为高中第一个系统学习的基本初等函数，要求用函数图象和代数运算的方法研究幂函数的性质，并利用抽象的符号语言来表达，这对高一学生而言具有挑战性. 函数的学习强化了研究一类函数的基本路径，研究过程中要充分利用函数 y=x 和 的图象与性质，从代数角度分析的结构特点，得出一些性质（如函数是奇函数，在(0,+∞)上有最小值2等），再通过描点法作图，并由图象得出函数的其他性质．这样的研究方法是学生不熟悉的. 对于作图，学生的认知基础主要还是利用描点法作图.其实学生可以先分析函数性质，利用性质简化和辅助作图，然后结合图象与函数性质，进一步完善图象，要用联系的观点数形结合地分析函数，学生在这方面的经验有所欠缺. 单元教学目标 1.通过对具体实例的分析，能从自变量、函数值及函数解析式的结构等角度，归纳共性，抽象出幂函数的一般形式，获得幂函数的概念.会画出五个常见幂函数的图象，并利用图象得到它们的性质；能利用幂函数的性质解决一些简单的问题. 2.类比幂函数的研究方法，能通过代数运算和函数图象探究函数，在探究过程中体会数形结合思想，积累研究一类函数的经验. 单元教学重点 难点 1.教学重点：五个幂函数的图象与性质、函数的图象与性质. 2.教学难点：画 和的图象，通过图象概括出它们的性质并用代数运算严谨证明性质. 单元课时分配 本单元分2课时： 第1课时， 幂函数； 第2课时，探究函数的图象与性质. 第一课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，从生活实例抽象出五个幂函数，能从自变量、函数值及函数解析式的结构等角度归纳共性，抽象出幂函数的一般形式，体会研究一类函数的基本路径与方法. 拓展性目标：★★ 通过任务二，会画出五个具体幂函数的图象，能利用图象和代数运算的方法得到它们的性质. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，归纳这五个函数的共性差异性，得出幂函数的一些基本性质，再利用代数运算对结论进行严格证明，发展学生的数学逻辑，数学运算的核心素养. 课时学习重难点 教学重点：五个幂函数的图象与性质． 教学难点：画和的图象，通过五个函数的图象概括出它们的性质. 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 一、创设情境，提出问题： 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识、方法研究一类新的函数. 2、 预习课本：(通过阅读课本P89，思考问题1的答案) 一起看看几个实例. （1）如果张红以1元/kg 的价格购买了蔬菜ω kg，那么她需要支付p=ω元，这里p是ω的函数； （2）如果正方形的边长为 ，那么正方形的面积 S＝ , ，这里 S是 的函数； （3）如果立方体的棱长为 b，那么立方体的体积 V＝, ，这里V是b的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为 S，那么这个正方形的边长 c= ，这里 c是 S的函数； （5）如果某人t s内．骑车行进了1km．那么他骑车的平均速度v= km/s,，即这里 v是 t的函数. 问题1: 为了方便观察共性，可以按照习惯的书写方式（以为自变量，y为因变量）表示函数五个解析式吗？ 答：（1）y= ;（2）y= ;（3）y= ; （4）y= ;（5）y= . 预习评估： 问题3: 观察这五个函数的解析式，从自变量、函数值和解析式的结构特征看，它们有什么共性？ 答：①底数都是自变量x；②指数都是常数． 3、 目标一：从生活实例抽象出五个幂函数，能从自变量、函数值及函数解析式的结构等角度归纳共性，抽象出幂函数的一般形式,体会研究一类函数的基本路径与方法. 任务一：从生活实例抽象出五个幂函数，归纳得出幂函数的定义 问题4: 观察这五个函数的解析式，请归纳得出幂函数的定义，能否根据幂函数的概念各举出一个幂函数的例子？ 答： 1.幂函数的定义： 一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量，是常数. 举例如：等.注意：幂的指数 除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当取不同的实数时幂的含义也不同， 教师强调：对于幂函数，高中阶段我们只研究 =1,2,3, 时的图象与性质. 评估一：体会研究一类函数的基本路径与方法. 问题5：（1）有了幂函数的定义，结合初中学习一次函数、二次函数及反比例函数的经验及前面学习的函数知识，说一说接着应该研究什么？ （2）如何研究一类函数的这些性质呢，按照怎样的过程进行研究？ 答:（1）定义域、值域、单调性、奇偶性、图象等. （2） 四、目标二：会画出五个具体幂函数的图象，能利用图象和代数运算的方法得到它们的性质. 任务二：会画出五个具体幂函数的图象． 问题6: 五个幂函数中 , 和= 是我们熟悉的，请在同一个坐标系中画出它们的图象，并分析它们的共性，填写表格3.3-1. 函数 图象 定义域 值城 奇偶性 单调性 表3.3-1 答： 函数 图象 定义域 值城 奇偶性 单调性 R R 奇函数 增函数 R 偶函数 在（-,0）上递减, 在（0,+）上递增 奇函数 在（-,0）上递减 在（0,+）上递减 评估二：能利用图象和代数运算的方法得到它们的性质. （小组讨论）问题7:请在前面的同一个坐标系中，再画出 , 的图象. （1） 如何画出图象？观察与的解析式结构，你能先说出它们的一些性质吗？ （2） 由解析式得到的性质，对作图有什么帮助吗？ （3） 观察函数图象结合函数解析式，将你发现的结论写在表3.3-2中． 函数 图象 定义域 值城 奇偶性 单调性 y=x3 表3.3-2 解: （1） 描点法作图，通过解析式可知： 的定义域是R，它是奇函数，图象关于原点对称， 的定义域是[0,+∞)，它既不是奇函数也不是偶函数. （2） 通过奇偶性可以得出y轴另一侧的图象，y=图象可以画出第一象限部分，然后由对称性得到第三象限部分，且两者在第一象限内都是增函数，由此可以把握图象的大致趋势，这表明性质可以简化与辅助作图. （3） ①列表： x ... 0 1 2 3 ... ... 0 1 8 27 ... x 0 1 2 3 4 9 ... 0 1 2 3 ... ②描点作图到刚才的平面直角坐标系中 注意：学生可能会把图象的弯曲方向弄反，因为还没有学习导数与函数的凹凸性，如果学生出现这样的疑问，那么教师可以引导学生用代数验证的方法来排除：f(2)-f(1)≈1.414-1=0.414,f(3)-f(2)≈1.732-1.414=0.318,f(4)-f(3)≈0.268. f(2)-f(1)>f(3)-f(2)>f(4)-f(3)，所以y=不是增加得越来越快而是增加得越来越慢. 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 R R 奇函数 增函数 非奇非偶函数 增函数 五、目标三：归纳这五个函数的共性差异性，得出幂函数的一些基本性质，再利用代数运算对结论进行严格证明，发展学生的数学逻辑，数学运算的核心素养. 任务三：归纳这五个函数的共性差异性，得出幂函数的一些基本性质 问题：从上述表格中，你能总结这些函数具有哪些共同性质吗？它们又有哪些不同的性质？ 答: （1） 图象分布的区域和公共点：函数 和 的图象都过点（1,1)． （2）函数的奇偶性：函数，是奇函数，函数 是偶函数. （3）函数的变化趋势：在区间(0,+∞)上，函数 单调递增，函数 y=单调递减. （4）在第一象限内，函数的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近. 评估三：利用代数运算对结论进行严格证明． 思考：我们从形的角度观察到幂函数在[0,+∞)上单调递增，能否从代数角度证明幂函数在[0,+∞)上是增函数？ 例：证明幂函数在[0,+∞)上是增函数. 证明：函数的定义域是[0,+∞). ，当，有 -=— = = 因为>0， 所以， <，即幂函数是增函数. 学生回答问题，教师随着学生的回答，用课件逐步展示填空内容. 教师直接说明可以表示为 学生思考并回答，教师点评并归纳共性 教师核对幂函数的定义，并进行板书. 学生思考后回答，教师根据学生的回答，将学生举出的幂函数的解析式写到黑板上进行评价纠错. 学生思考，回顾前面学习的函数性质,教师在学生回答基础上进行补充,最后总结为思维导图. 学生用描点法（列表一描点一连线），把图象依次画到同一个坐标系中． 学生自主思考，采用描点法作图，再小组讨论，核对结论，形成小组答案，上台展示 教师引导学生回顾上节课最后的思考，利用函数的单调性与奇偶性补全图象的结论. 教师提问，学生观察图形作答，教师引导归纳幂函数的共性和分析差异性，可以从图象分布的区域、公共点、对称性、变化趋势等角度思考五个幂函数的性质. 通过学生熟悉的实际问题引出幂函数的概念，通过迫问引导学生抓住幂函数的形式特点，板书学生的例子，进一步辨析幂函数的结构. 引导学生根据已有经验，明确一类函数的研究内容与路径，形成系统化的学习方法，为下面系统研究五个函数的图象与性质做铺垫. 从特殊到一般研究幂函数，引导学生用这个思路来研究后面的函数和，同时也起到了回顾熟悉的三个幂函数的作用. 首先引导学生体会研究一类函数的方法.再从学生熟悉的三个函数入手，启发学生观察函数和解析式的特点，对函数的定义域、单调性、奇偶性等进行初步判断，这样可以使学生更加合理地取点画图，简化作图过程，促进学生养成先观察代数特征再研究图形的思维习惯，这可以使学生体会高中阶段研究函数性质的新特点. 引导学生通过 观察函数的图象，归纳共性和分析差异性，得出幂函数的一些基本性质，填写表格可以将新的知识纳入旧的知识结构中，使学生更加全面地理解幂函数. 课堂小结 1.幂函数的定义； 2.五种幂函数的性质； 3.幂函数的一般性质. 学生作业 1.基础性作业：教科书第91页练习第1、2、3题； 答案： 1. 解:设所求幂函数的解析式为 ,因为幂函数的图象过点(2,),所以有= ,解得＝,所以所求函数的解析式为 (ｘ≥０). 2. (１)令＝. ∵在R上单调递增,且－1.5<－1.4, ∴ ｆ( －1.5) <ｆ( －1.4),即( －1.5)３ <(－1.4)３. (2))令 ｇ(ｘ)＝ . ∵ ｇ(ｘ) 在( － ∞ ,０)上单调递减,且－1.5<－1.4, ∴ ｇ(－1.5) >ｇ(－1.4), . 3.，且，所以 -=—＝ (－)(２＋＋２) ＝ (－)[(２＋)2＋２] ∵ ∴>0,，< ∴＝在上单调递增. ∵ ＝的定义域 Ｒ 关于原点对称， 且＝＝ －ｘ３ ＝ －， ∴ ｆ(ｘ)是Ｒ上的奇函数. 2.提升性作业：教科书第91页习题3.3第1、2题； 答案： 1.函数ｙ＝｜ｘ｜的图象，如图 ∵ 函数ｙ＝＝的定义域为Ｒ,关于原点对称, 又＝ ＝＝ ∴ ｙ＝＝为偶函数. 函数ｙ＝在( －∞,０]上单调递减, 在[０,＋∞ )上单调递增 2.(１)由题意得(ｋ>０). (２)将＝３,＝400代入得 ｋ＝ 故流量速率 的表达式为 ＝ (ｒ>０). (３)当＝5时, ＝ ＝×５４≈３086(ｃｍ３ /ｓ) 3.拓展性作业:教科书第91页习题3.3第3题. 答案： 3.利用函数解析式列出表格: 根据表中的数据作出函数图象如图所示: 通过观察图象得函数的定义域为{ｘ｜ｘ≠０},值域为(０,＋∞ ) ∵ 函数的定义域关于原点对称, ＝ , ∴ ＝ｘ－２为偶函数. 函数ｆ(ｘ)＝ｘ－２在( －∞ ,０) 上单调递增,在 (０,+∞ )上单调递减. 证明:，且，所以 -= — = = ∵<０,∴<０,<０, ∴ ->０, ∴< , ∴ ＝ｘ－２在( －∞ ,０)上单调递增, 同理可证: ＝ｘ－２在(０,＋∞ )上单调递减. 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $