2.5.1 直线与圆的位置关系教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

教学设计 2.5.1　《直线与圆的位置关系》 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 书名：高中数学选择性必修第一册（2019A 版） 教科书 出版社： 人民教育出版社 教材分析 本课在解析几何体系中承上启下，既巩固直线与圆的方程应用，又培养数形结合与数学运算素养。 学情分析 学生已掌握直线方程与圆的方程的求法，也学过初中几何中直线与圆位置关系的定性判断。但将几何特征转化为代数条件、利用方程定量研究位置关系仍是薄弱环节，尤其对坐标法解决实际问题的“三步曲”尚缺乏系统认识。 课程标准及目标分析 课标要求：能用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，会求弦长。 教学目标：1、通过具体问题体会用方程判断直线与圆位置关系的方法，感悟坐标法思想。 2、能利用直线与圆的方程解决弦长计算与切线方程等问题，提升数学运算素养。 教学重难点 教学重点：用方程判断直线与圆的位置关系并求弦长。 教学难点：将几何问题转化为代数问题的坐标法运用。 教学方法 教法：启发引导式。 教学环境 录播教室。 课时安排 1 课时 教学过程 教师活动 学生活动 设计意图 环节一：开门见山 1 前面我们学习了直线的方程和圆的方程。 初中我们知道直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系。 如何用方程定量判断呢？ 环节二：判断位置关系与求弦长 例1．如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的示意图。 圆拱跨度米，拱高米。建造时每间隔米需要用一根支柱支撑。以为原点、所在直线为横轴、所在直线为纵轴建立平面直角坐标系，则、、。 设圆拱所在圆的方程为，其中圆心在纵轴上。从端点起每隔米设一根支柱，依次为、、等，对应顶点为、、等。求支柱的高度（精确到米）。 1．要求支柱的高度，只需求什么？ 2．以为原点建立坐标系后，、、都在圆上，设圆方程为，如何确定和？ 3．将和的坐标代入方程，得，解得、。 4．支柱的横坐标是多少？ 5．由每隔米，的横坐标为，代入圆方程求纵坐标。 6．将代入，解得米，即支柱高度。 答案： 例2．如图2，已知直线：和圆心为的圆。 判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长。 巩固直线与圆位置关系的判断方法。 回答问题 讨论 运算 2 直线与圆有几个公共点？ 1．判断位置关系有哪些方法？ 2．方法一：联立方程组求解。 联立。 3．将代入圆方程，消去得。 4．判别式，方程组有两组解，直线与圆相交。两交点为、，弦长。 5．方法二：利用圆心到直线的距离判断。圆方程化为，圆心，半径。圆心到直线的距离，因为，所以直线与圆相交。这种方法不需要解方程组，只需计算距离并与半径比较，运算更简便。 弦长。 6．由垂径定理求弦长。 由勾股定理，弦长，代入、，得。 7．两种方法结果一致，体现了数形结合。 代数法与几何法互通。 答案： 回答问题 运算中将几何条件转化为代数条件。 通过代数运算解决几何位置关系问题。 讨论 环节三：参数与位置关系 2 。 例3．已知直线：和圆：： x 2 当取何值时，直线与圆的位置关系分别满足以下情形？ （1）相交时，求的取值范围； （2）相切时，求的值； （3）相离时，求的取值范围。 3 1．回顾初中方法，判断位置关系的关键是什么？ 比较圆心到直线的距离与半径的大小关系：相交，相切，相离。 2．圆：的圆心和半径分别是什么？ 圆心，半径。 3．圆心到直线的距离怎么求？ 。 4．比较与即可判断三种情形。 答案： 变1：已知直线：与圆，判断位置关系。 变2：若上题直线与圆相切，求圆的半径。 变3：已知直线与圆相交，求的取值范围；相切时求的值。 变4：过圆外一点作切线，求切线方程。 设切线斜率为，讨论斜率不存在情形，由距离等于半径求。 变1解析：圆心，半径，圆心到直线距离，，故相交。 答案： 变2解析：相切时半径等于距离，。 答案： 变3解析：圆心，半径，距离。相交时，即；相切时。 答案： 变4解析：设切线，即。由距离等于半径，，解得。斜率不存在时距离为，不是切线。 答案： 类比判断两条直线位置关系的方法，寻找判断直线与圆位置关系的途径。 依次作答 发现距离比较法的核心作用。 相交、相切、相离三种情形。 关注圆心到直线距离与半径的大小关系，可简化运算。 本课所用坐标法将几何问题转化为代数问题，体现数形结合。 运算 通过代数运算定量解决直线与圆位置关系的判断与弦长计算。 环节四：课堂小结 本节课学了哪些内容？ 回答问题 小结。 环节五：布置作业 思考：（1）已知直线：与圆心在原点的圆相切， 2 c 设圆的方程为， a （ c a 求的值及圆的方程。解析：圆心到直线的距离，相切时。 答案： 2 2 （2）已知点与点： x + y 机器人绕点顺时针而行，与点的距离恒为。课后思考 巩固提升。 25 9 求机器人在行进过程中到直线的距离的最值。解析：直线方程为，圆心到直线的距离。 行进过程中到直线的最近距离是多少？ 最远呢？ 答案： 作业：课本第2.5节练习第1题、第2题、第3题。 4 2.5.1　直线与圆的位置关系 位置关系判断、弦长与切线方程。 （1）代数法：联立方程组，看解的个数。 （2）几何法：比较距离与半径，垂径定理。 （3）数形结合。 教学反思 本课在解析几何中承上启下，将初中几何中直线与圆的定性位置关系提升为用方程进行定量判断，体现了坐标法的核心思想。 设计以实际情境引入，通过三个例题层层递进：先建立坐标系求圆拱方程，再判断位置关系并求弦长，最后探究参数变化下的三种情形，学生在运算中体会数形结合。 学生通过本课学会了用代数方法解决几何位置关系问题，掌握了距离比较法判断相交、相切、相离，以及垂径定理求弦长，运算素养得到提升。 为后续学习圆与圆的位置关系及圆锥曲线奠定基础。 5 学科网（北京）股份有限公司 $