第二章《2.5.1直线与圆的位置关系》教学设计-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦直线与圆的位置关系判定、弦长计算及切线方程求解，通过回顾直线研究路径类比圆的研究脉络，搭建初中定性判断到高中定量分析的知识迁移支架。 特色在于用几何画板动态演示放大图形揭示直观判断误差，培养数学眼光中的几何直观，对比几何法与代数法归纳适用场景发展数学思维中的推理能力，切线方程变式训练强化分类讨论提升数学语言严谨性，助力教师精准教学，学生逻辑推理与运算能力显著提升。

《2.5.1直线与圆的位置关系》教学设计 一、课题：《2.5.1直线与圆的位置关系》第1课时 二、第1学时 三、教学内容分析 （一）内容 直线与圆位置关系的定义回顾；直线与圆位置关系的两种判定方法；直线与圆相交时的弦长计算；过圆外一点的圆的切线方程求解. (二）内容解析 本节课选自人教版高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》第五节第 1 课时，是解析几何中 “用代数方法研究几何关系” 的核心实践课. 圆的教学在平面几何中乃至整个高中数学教学这种都占有重要的地位，而直线与圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行，为后面的圆与圆的位置关系作为铺垫，在逐步形成今后解决解析几何问题的一般研究思路上，将起到重要的作用.本节内容通过引导学生回顾初中所学，以及本章前面所学内容，提出本节研究的问题：利用直线和圆的方程，通过定量计算判断直线与圆的位置关系，意在让学生体会这种研究思路的逻辑必然，自己能提出研究问题.在教学中起到承上启下的作用，引导学生回顾初中所学知识，明确直线与圆的三种位置关系，三种位置关系的划分标准是直线与圆公共点的个数.同时提醒学生注意，这种位置关系的判定知识定性描述，初中的方法无法做到定量刻画. 从数学思想价值来看，本节课是多维思想的集中体现.数形结合思想体现在公共点个数、距离与半径关系与判别式符号、方程解的个数的双向转化，实现以数解形，以形助数；转化与化归思想体现在将直线与圆的位置判断转化为距离比较或判别式分析，将弦长计算转化为勾股定理应用或韦达定理运算，降低几何问题的复杂度；分类讨论思想体现在在求解过圆外一点的切线方程时，需分斜率存在与斜率不存在两类情况，避免遗漏，培养思维的严谨性. 四、学情分析 1.学生基本情况： 学生已具备以下知识与经验基础：①初中阶段通过公共点个数、距离与半径关系直观判断直线与圆的位置关系；②已掌握直线的各种方程形式、圆的方程，能计算圆心到直线的距离；③通过两直线位置关系的学习，熟悉联立方程→判别式→解的个数→位置关系的代数路径；④具备一元二次方程判别式、韦达定理、勾股定理等运算基础.这些为本节课从直观判断升级到代数定量分析奠定了基础. 2.学生可能遇到的困难： 困难1：对几何法与代数法的适用场景判断模糊，如已知圆的一般方程（需先求圆心半径）时，仍强行用代数法，增加运算量；或已知圆心半径但选择代数法，忽略几何法的简便性. 困难2：求解过圆外一点的切线方程时，易遗漏斜率不存在的情况，本质是缺乏图形先行的意识，未通过画图预判切线的可能形式. 3.应对策略： 为解决以上困难，将采用以下策略突破难点： 针对困难1：给出典型例题，组织学生完成同一题目用两种方法求解的任务，并让学生总结以下结论：①两种方法的解题步骤；②运算量对比；③总结已知圆心半径时，几何法更简便；未知圆心半径或需后续求交点相关量时，代数法更连贯的选择依据。 针对困难2：用几何画板动态演示过圆外一点作切线的过程，强调先画图，再讨论斜率存在情况，并总结解题步骤. 五、教学目标 （1）通过回顾初中平面几何的学习经验，提出并掌握通过定量计算判断直线与圆位置关系的方法； （2）通过对比利用公共点个数来判断直线与圆位置关系的方法和通过比较圆心到直线距离和半径大小来判断直线位置关系的方法,感悟数形结合思想的重要意义； （3）通过利用代数方法解决与圆切线相关问题，进一步体会图形性质在解析几何问题解决过程中的作用，强调数形结合思想的重要性. 六、教学重点、难点 （一）教学重点 判断直线与圆的位置关系. （二）教学难点 能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题. 七、评价设计 1.过程性评价： （1）观察学生在复习导入环节能否准确回顾初中直线与圆位置关系的判断方法，评估旧知掌握程度.关注学生在新知探究中对几何法与代数法的对比分析能力，通过小组讨论发言，判断其对数形结合思想的感悟深度.针对例1的两种解法展示，评价学生的逻辑推理与运算能力，重点关注几何法中勾股定理的应用、代数法中联立方程与判别式的运用是否正确. （2）对过圆外一点求切线方程的例4及变式题，从是否画图预判切线形式、是否讨论斜率存在性、计算过程准确性三个维度评价，检验学生思维的严谨性与知识应用能力. 2.结果性评价： 设计涵盖本节课重点难点的跟踪练习题，让学生在课堂上或课后完成,评估学生练习题的正确率和完成度，了解他们对本节课内容的掌握程度,分析学生在练习中的错误类型和原因，以便进行有针对性的辅导和讲解. 八、教学过程活动设计 环节名称 教师活动 学生活动 设计意图 时间 一、 复 习 导 入 , 引 入 新 课 引导学生回顾直线的研究路径：直线方程—直线的一般式方程——两直线的位置关系.明确圆的研究路径：圆的标准方程—圆的一般方程—圆的位置关系.从而自然引入课题：直线与圆的位置关系. 学生通过对直线的研究路径的回顾，明确圆的研究路径，对直线与圆的位置关系产生兴趣，主动参与到课堂探究中. 通过回顾旧知，梳理知识脉络，类比直线的研究方法，帮助学生建立知识迁移的意识，明确本节课的学习内容. 5 二、 新 知 探 究 , 抽 象 概 括 任务1：回顾旧知，搭建衔接 问题1：回顾初中知识，直线与圆有哪些位置关系？ 预设：相交，相切，相离. 追问1：如何判断直线与圆的位置关系？ 预设： 方法1：直线与圆的公共点的个数来判断. 方法2：由圆心到直线的距离与半径的关系来判断． 追问2：下图中，直线与圆的位置关系是什么？ 预设：相切. 师生活动：引导学生思考一定是相切吗？教师通过几何画板将图形放大，发现直线与圆没有公共点，因此位置关系为相离. 所以通过直观观察的定性分析，有时候得到的结果可能会比较粗糙，或是不够准确，因此需要利用定量分析，来得到更为准确的结论. 问题2：类比两直线的位置关系的研究方法，直线与圆的位置关系如何研究？ 预设：两直线的位置关系—联立两直线方程—方程组解的情况—两直线的位置关系. 任务2：自主尝试，归纳方法 例1已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 分析： 思路1：将判断直线与圆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长． 思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长． 师生活动：展示学生不同的解答过程，比较两种解法的区别. 问题3：把以上的方法一般化，即：在平面直角坐标系中，直线与圆,如何根据方程来判断直线与圆的位置关系？ 预设： 方法1：代数法. 联立方程： 通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系．若方程组有两个解，则直线与圆相交，且可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．若方程组有一个解，则直线与圆相切；若方程组无解，则直线与圆相离. 方法2：几何法 根据圆的方程求得圆心坐标与半径，从而求得圆心到直线的距离，通过比较与的大小，判断直线与圆的位置关系，若相交，则可利用勾股定理求得弦长． 小结：联立方程组用判别式法的代数特征更明显，更具有一般性，这在以后研究直线与圆锥曲线的位置关系时仍然适用.与的大小关系法更关注几何图形的结构特征，注重“形”的运用. 学生回顾初中知识，通过直观观察得出直线与圆的位置关系，回答对应问题. 学生通过观看几何画板将图形放大的过程，发现直线与圆没有公共点，前面所得结论不正确，知道了仅靠直观观察得到的答案是不够准确的. 学生思考,回答问题. 学生自主尝试解题，回答问题. 学生自主尝试解题，回答问题，并对比两种方法得出结论. 回顾初中直观观察得出直线与圆的位置关系的方法，通过肉眼观察的误差制造认知冲突，让学生直观感受定性判断的局限性，激发对定量方法的探究欲望，引导学生寻求定量分析的方法. 类比两直线位置关系的研究方法，引导学生激活旧知储备，实现联立方程分析解的特征这一方法的迁移应用，初步构建解析几何中曲线位置关系研究的通用方法论框架，契合从已知到未知的认知规律，有效落实知识建构与素养培养的双重教学目标. 学生经历用方程判断直线与圆的位置关系的过程,并计算在直线和圆相交时得到得弦长，两种方法都是通过坐标研究几何图形的位置关系，只是侧重点不一样，几何法还利用了图形的几何性质，计算量相对较少；代数法是坐标法的重要体现，更具程序性和普适性，在此基础上体会运用坐标法研究几何问题的一般流程，为一般化几何法和代数法做准备. 15 三、 应 用 新 知 , 深 化 概 念 例2过点作圆的切线，求切线的方程． 追问1：点与圆的位置关系是什么？ 预设：点在圆外. 追问2：过圆外一点的圆的切线有几条？在圆上呢？ 预设：2条，1条. 分析：如图2.5-2，容易知道，点位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为，为斜率．由直线与圆相切可求出的值． 师生活动：展示学生不同的答题过程. 变式：过点作圆的切线，求切线的方程． 分析：如图容易知道，点位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．但有一条切线垂直于轴，即该直线斜率不存在，应考虑全面． 问题4：怎么求过一点的圆的切线方程？ 预设： ①判断点与圆的位置关系，确定切线的条数; ②画图分析，明确是否存在斜率不存在的切线； ③分情况求解，设斜率：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论； 写方程：用点斜式写出直线的方程:.法1：利用，求出，即可求得切线方程；法2：利用建立方程，求出，即可求得切线方程； 归纳小结:利用坐标法求切线方程的最大优点是方便利用待定系数法实现代数运算,但需要注意的是，务必要画出图像，数形结合，明确过圆外一点作圆的切线有两条，因此要注意讨论切线斜率不存在的情况. 学生思考,回答问题. 学生自主作答并展示. 学生自主总结. 在研究完直线与圆的位置关系后，再让学生解决圆的切线问题，因为是熟悉的问题情景，所以学生更加容易入手.直线与圆相切是直线与圆特殊而又重要的位置关系.本例中的待定系数法求圆的切线方程具有普遍意义. 通过基础例题 + 变式拓展，结合几何画板演示，学生直观认识到 “斜率不存在的切线”，突破思维严谨性不足的难点，强化图形先行的解题意识. 12 四、 总 结 测 评 , 作 业 布 置 1.课堂小结 2.目标检测 （1）判断直线与圆的位置关系. （2）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 3.作业布置 1.复习巩固：完成教材P93练习1、2、3. 2.能力提升：完成教材p98页习题2.5第1、2、3、4题. 3.拓广探索：思考教材p99页第13题. 学生通过思维导图，归纳总结本节课主要学习内容以及本节课所涉及的思想方法. 学生完成课堂小练，检测目标达成情况. 学生课后完成作业. 通过“知识+方法+思想”三维度总结，帮助学生构建完整的认知框架. 通过练习测评学生的目标达成情况，实现教学评的一致性. 设计三种层次的作业，适配不同学情，巩固圆的方程知识，衔接后续学习，落实因材施教，培育学生数学核心素养，同时促进与后续内容衔接，完善知识体系. 8 九、板书设计 2.5.1 直线与圆的位置关系 十、作业设计 1.复习巩固：完成教材P93练习1、2、3. 2.能力提升：完成教材p98页习题2.5第1、2、3、4题. 3.拓广探索：思考教材p99页第13题. 十一、教学反思和改进 本节课通过四个环节来开展课堂的教学,各个环节环环相扣,使得融为一体,整个课堂较为连贯.注重学生的参与、思维、感悟、展示.充分体现出课堂中以学生为主体,教师为主导的地位与作用. 可本节课通过问题驱动的形式，让学生主动参与知识建构过程，培养从几何到代数的转化能力，体会其中蕴含的数学思想，最终实现“知识掌握—方法迁移—素养提升”的目标，符合数学知识螺旋上升的新课程理念. 其中，几何画板的动态演示有效突破了抽象思维障碍，但在实际教学中，需注意避免技术过度依赖；分层作业与多元测评虽能适配不同学情，但后续需进一步关注学生答题过程中的运算细节和书写规范. 未来教学中，我会继续优化问题设计的梯度，平衡技术辅助与思维训练的关系，时刻关注学生的发展，让课堂真正成为学生素养发展的舞台. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $