专题09 导数的综合应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题09　导数进阶 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题09　导数的综合应用 一、核心知识 1．恒成立问题的转化： 在 D 上恒成立 在 D 上的最小值 ； 恒成立 最大值 。 2．存在性问题的转化：存在 使 最大值 ；存在 使 最小值 。注意“任意”配最小最大，“存在”配最大最小。 3．分离参数法：若能化成 （或 ）的形式，就转化为求 的最值；不能分离时再分类讨论含参函数的单调性。 4．分类讨论的三类常见分界点：二次导函数的判别式 、导数零点是否落在区间内、参数与区间端点的大小关系。 5．零点问题的核心工具：零点存在定理（连续 端点异号）与单调性（单调函数在区间内至多一个零点），两者配合可以定出零点个数。 6．含参函数零点个数问题：先求导确定单调区间与极值，再让极大值、极小值与 0 比较，画出“草图”分类。 7．证明不等式 的通用做法：移项构造 ，求 的最小值并说明其 ；若最小值点不易求出，可用二次求导或放缩。 8．常用放缩链：（）；（）；（）；（）。它们都由构造函数求导得到，可直接引用。 9．极值点偏移：若函数 在 处取相等的函数值（），要比较 与 （ 为极值点）的大小，标准做法是对齐函数值后构造函数。 10．极值点偏移的另一种问法是已知 证明 与某常数的大小，常用比值换元 化为单变量不等式。 11．导数与数列综合：由 令 得 ，累加即可证明与自然对数有关的不等式与和式估计。 12．隐零点：当导数零点无法显式解出时，设其为 ，用 得到的关系式整体代换，把 化成可判断符号的形式，不必求出 。 二、题型精练 题型一　恒成立与存在性问题（分离参数、分类讨论） 【方法与技巧】 先分清是“任意”还是“存在”：任意恒成立配最值（ 配最小值、 配最大值），存在性配另一个最值，记混会整题错。 能分离参数就先分离：把不等式化成 或 ，剩下只需求 在区间上的最值，计算量最小。 不能分离时分类讨论：按导数零点与区间的相对位置分类，每一类里分别求最小值再令其满足条件。 【例题精讲】 1．若 时不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上的最小值为 2（ 取到），恒成立需 。选 A。 2．已知函数 ，若 在 上恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，在 上最小值为 ，故需 ，即 。选 A。 3．若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】开口向上，恒非负需 ，得 。选 A。 【变式训练】 1．若 在 上满足 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，在 上最大值为 2，恒成立需 。选 A。 2．若存在 使 成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】存在性配最小值： 在 上最小值为 1，故需 。选 A。 3．若 对一切 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】即 ，令 ，，最大值 ，故 。选 A。 4．若不等式 在 R 上恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】需 ，得 。选 A。 5．已知函数 （）的最小值为 2，则 （　　） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】 时最小值为 ，令 得 。选 A。 6．若 对一切实数 成立，其证明中构造的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，，在 上减、 上增，最小值 ，故 。选 A。 【巩固练习】 1．若 在 上恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，在 上最小值 ，故 。选 A。 2．若对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上最大值为 1，故 。选 A。 3．若不等式 在 上恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上最小值为 （ 处），故需 ，即 。选 A。 4．若存在 使 成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】存在性配最大值： 在 上最大值为 2，故需 。选 A。 5．若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上恒成立，需 的最大值 1，即 。选 A。 6．已知 ，若 在 上恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分离参数得 在 上恒成立，右侧最小值为 2，故 。选 A。 7．若 对一切 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】即 ，其最大值为 （ 处），故 。选 A。 8．若不等式 对一切 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】即 ，令 ，最小值 ，故 。选 A。 题型二　导数与函数的零点、方程根 【方法与技巧】 判断零点个数的标准流程：求导 确定单调区间与极值 比较极值与 0 的大小 结合端点（或极限）趋势下结论。 三次函数 有三个不同零点的充要条件是极大值 且极小值 ，这是最常用的模型。 含参对数型零点问题常转化为水平线与 图象的交点个数，如 的解个数看 的图象。 【例题精讲】 1．若函数 有三个不同的零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】极大值 且极小值 ，得 。选 A。 2．函数 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】极大值 ，极小值 ，且两端趋于 ，故有 3 个零点。选 A。 3．若函数 有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时单调至多一个零点； 时最大值 ，令其 得 。故 。选 A。 【变式训练】 1．函数 的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【详解】极小值 ，故只有一个零点（在 内）。选 A。 2．若方程 恰有两个不同实根，则 （　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】A 【详解】恰有两个根说明水平线与曲线相切于极值点，故 （极大值）或 （极小值）。选 A。 3．函数 的零点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】定义域 ，最小值在 处，，故无零点。选 A。 4．若函数 有零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D．任意实数 【答案】A 【详解】 的值域为 ，故方程 有解当且仅当 。选 A。 5．函数 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】，极大值 ，极小值 ，故有 3 个零点。选 A。 6．已知函数 只有一个零点，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】 时函数单调递增且有唯一零点； 时最大值等于 0 即 时切于一点。故 或 。选 A。 【巩固练习】 1．函数 的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【详解】极大值 ，故只有一个零点（在 内）。选 A。 2．若 在 R 上恰有一个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D．任意实数 【答案】A 【详解】。 时递增，恰一个零点； 时需极大值小于 0 或极小值大于 0，即 或 ，解得 。综合得 。选 A。 3．方程 的实根个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】A 【详解】 的最大值为 （ 处），故 只有 一个解。选 A。 4．函数 有三个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】极大值 ，极小值 ，得 。选 A。 5．函数 的零点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】A 【详解】，最小值 ，两端趋于 ，故有 2 个零点。选 A。 6．已知 有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时至多一个零点； 时最小值 ，令 得 ，即 。选 A。 7．函数 有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的最大值为 ，且 时趋于 、 时趋于 0，故 时有两个交点。选 A。 8．函数 的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【详解】，只有 一个零点（三重根）。选 A。 题型三　导数证明不等式（构造函数） 【方法与技巧】 证明 就构造 ，转化为求 的最小值并说明最小值 ，这是最通行的做法。 若最小值点解不出来，可求二阶导判断一阶导单调，或利用已知放缩链（、、）直接放缩。 证明数列型不等式时用“先函数后数列”：先在连续情形证明不等式，再令 取特殊值（如 ）累加。 【例题精讲】 1．要证明 时 ，应构造的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，，最小值 ，故 ，即 。选 A。 2．下列不等式中对一切实数 都成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 的最小值 知 恒成立。选 A。 3．当 时， 与 的大小关系为（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】令 ， 且 ，故 时 ，即 。选 A。 【变式训练】 1．要证明 时 ，可先证明的较弱结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 与 （在 上）分段处理；常用的基础放缩是 。选 A。 2．由 可得 与 的关系为（　　） A． B． C．相等 D．不确定 【答案】A 【详解】令 ，由 得 。选 A。 3．函数 在 上（　　） A．恒为正 B．恒为负 C．先正后负 D．恒为 0 【答案】A 【详解】（），且 ，故 。选 A。 4．下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 取 得 ，且 时严格小于，故 。选 A。 5．要证明 ，应利用的不等式是（　　） A．（） B． C． D． 【答案】A 【详解】取 得 ，两边乘 得 ，故 。选 A。 6．已知 ，则 的最小值为（　　） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【详解】，最小值在 处，。选 A。 【巩固练习】 1．函数 的最小值为（　　） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【详解】，最小值在 处，。选 A。 2．由 可得，当 时 与 的关系（　　） A．在 上不总有 ，需分段讨论 B． 恒成立 C． 恒成立 D．相等 【答案】B 【详解】在 上显然 ； 时令 ，，故也成立。综合知 恒成立。选 B。 3．下列结论正确的是（　　） A．（） B．（） C． D．（） 【答案】A 【详解】由构造函数 的最小值为 0 知 A 正确，其余均错误。选 A。 4．要证明 …（），应利用（　　） A． 累加的反向放缩 B． 累加 C．裂项相消 D．数学归纳法 【答案】B 【详解】由 令 得 ，即 ，累加即得。选 B。 5．函数 的最小值为（　　） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】，最小值在 处，。选 A。 6．已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 且 （因 ），，故 。选 A。 7．若 ，则 与 的大小关系为（　　） A． B． C．相等 D．不确定 【答案】A 【详解】令 ，，且 ，故 。选 A。 8．利用导数可证明：当 时， 与 的大小关系为（　　） A． B． C．相等 D．不确定 【答案】A 【详解】令 ，，且 ，故 时 。选 A。 题型四　双变量问题与极值点偏移 【方法与技巧】 极值点偏移的标准提法：已知 （），比较 与 （ 为极值点）的大小。 处理办法一（构造函数法）：把结论等价变形后，构造 （或 ），判断其单调性。 处理办法二（比值换元）：令 ，把双变量不等式化为关于 的单变量不等式，再求导证明。 【例题精讲】 1．已知函数 的两个极值点为 ，则 （　　） A．0 B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】，极值点为 ，故 。选 A。 2．已知函数 有两个零点 ，则 与 的关系为（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】由 ， 相减得 ，故 。令 ，需证 ，即 ，对 成立，故 。选 A。 3．已知函数 ，若 且 ，则 （　　） A．2 B．1 C．0 D．4 【答案】A 【详解】由 得 ，因 ，故 。选 A。 【变式训练】 1．函数 的图象关于（　　）对称 A．原点 B． 轴 C．直线 D．直线 【答案】A 【详解】，是奇函数，图象关于原点对称。选 A。 2．若 在 处取相等的函数值（），则 与 的关系为（　　） A． B． C．等于 D．不确定 【答案】A 【详解】这是经典极值点偏移结论： 的两等值点满足 （极值点 ）。选 A。 3．已知函数 ，若 且 ，则 的值为（　　） A．0 或 配对之一 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】零点为 ，任取两个的和分别为 、0、；若取 与 则和为 0。选 A。 4．极值点偏移问题中，若 在 处取极值且 （），要证 ，通常构造（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造对称差函数 ，利用其单调性即可比较。选 A。 5．已知 ，若 （），则 与 0 的关系为（　　） A． B． C．等于 0 D．不确定 【答案】A 【详解】极值点 ，函数在 上减、 上增，且左侧变化更快，故等值点满足 。选 A。 6．已知 是方程 的两根，且 ，则 （　　） A．3 B．4 C． D．1 【答案】A 【详解】由韦达定理 。选 A。 【巩固练习】 1．函数 的极大值点与极小值点之和为（　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】极值点为 ，和为 0。选 A。 2．已知 ，则其极大值点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，在 上为正、 上为负，故极大值点为 。选 A。 3．已知函数 ，若 ，则其对称轴为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】等值点的中点为 ，即对称轴 。选 A。 4．若函数 有两个极值点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，有两个不等零点需 。选 A。 5．已知 ，若 且 ，则 的最小值为（　　） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】由 且 ，得 ，当 时取等号。选 A。 6．已知 ，若 （），则 与 2 的关系为（　　） A． B． C．等于 2 D．不确定 【答案】A 【详解】 关于点 中心对称，两等值点关于 不对称；由 得 ，结合 可判断 。选 A。 7．已知函数 ，则 的最小值点为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】， 且左负右正，最小值点为 ，最小值 2。选 A。 8．已知 是 的两个极值点，则 （　　） A．0 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】，，和为 0（奇函数的对称性）。选 A。 题型五　导数与数列、不等式的综合 【方法与技巧】 由函数不等式到数列不等式的桥：令 取 、 等特殊值，再累加或累乘。 常见的两条链： 用于估计调和和； 用于证明 。 与数列求和综合时，先由导数得到通项的不等式，再用裂项、累加或放缩求和，最后与结论对照。 【例题精讲】 1．由 （）可得 的上界为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】直接令 得 。选 A。 2．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】由 两边乘 得 ，故 。选 A。 3．利用 （）累加可得（　　） A．… B．… C．两式都不对 D．和等于 【答案】A 【详解】累加得 。故应是“”，即 …。选 A。 【变式训练】 1． 的值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】裂项：，累加得 。选 A。 2．已知 ，则数列 的最大项为（　　） A．第 3 项 B．第 2 项 C．第 1 项 D．不存在 【答案】A 【详解】由 在 上递增、 上递减，比较 与 ：，，故最大项为第 3 项。选 A。 3． 的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由 知 （也可用洛必达思想）。选 A。 4．若 ，则数列 的最大项为（　　） A．第 1 项与第 2 项 B．第 1 项 C．第 3 项 D．不存在 【答案】A 【详解】，，，故最大项为第 1、2 项。选 A。 5．利用 可得 与 的关系为（　　） A． B． C．相等 D．不确定 【答案】A 【详解】由 累加得 。选 A。 6．已知 ，则 … 与 的关系为（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．不确定 【答案】A 【详解】每项 ，故总和小于 。选 A。 【巩固练习】 1．数列 的单调性为（　　） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．不单调 【答案】A 【详解】，随 增大而增大，故递增。选 A。 2．… 的值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】对数的和等于积的对数，中间约去后得 。选 A。 3．若 ，则（　　） A． B． C． D．符号不定 【答案】A 【详解】由 （）取 得 ，故 。选 A。 4．数列 的最小项为（　　） A．第 1 项与第 2 项 B．第 1 项 C．第 3 项 D．第 2 项 【答案】A 【详解】，，，故最小项为第 1、2 项。选 A。 5． 的值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】，累加得 。选 A。 6．已知 ，令 （）可得（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】由 得 ，即 ，且严格大于。选 A。 7．若数列 ，则其前 100 项和为（　　） A．50 B． C．0 D．100 【答案】A 【详解】两两分组：…。选 A。 8．已知 ，数列 ，则 的最小项为（　　） A．第 1 项 B．第 2 项 C．第 0 项 D．第 3 项 【答案】A 【详解】， 时最小值为 。选 A。 题型六　导数压轴题常见模型（隐零点、端点效应） 【方法与技巧】 隐零点：导数零点解不出来时设为 ，由 得到的关系式（如 ）整体代入 ，不必求出 的具体值。 端点效应：若含参不等式在区间上恒成立，可先代入端点得到参数的必要条件，再证明其充分性，往往能大幅缩小讨论范围。 压轴题常见结构：证明不等式恒成立 求最值 最值点由隐零点给出 用隐零点关系式化简 证毕。 【例题精讲】 1．若 对一切 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】端点 处 ，故需 ，即 ；当 时 ， 递增，。选 A。 2．若 ，则 在 上（　　） A．恒为正且递增 B．恒为负 C．先减后增 D．有零点 【答案】A 【详解】，且 ，故 时 且递增。选 A。 3．设 ，则 的最小值为（　　） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】，在 处左负右正取最小值 。选 A。 【变式训练】 1．若 对一切 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】即 ，其最大值为 1（ 处），故 。选 A。 2．函数 （）的最小值为（　　） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】，在 处取最小值 。选 A。 3．已知 ，则其极大值点为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】，在 上为正、 上为负，故极大值点为 。选 A。 4．若不等式 在 上恒成立，则 的最大值为（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】 在 上最小值为 2（），故 ， 的最大值为 2。选 A。 5．函数 在 上（　　） A．恒为正 B．恒为负 C．有零点 D．先增后减 【答案】A 【详解】 时 ，而 ，故 （也可用 说明）。选 A。 6．若 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，在 上 恒成立需 或 对一切 成立，即 。选 A。 【巩固练习】 1．函数 的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】，由符号判断极小值点在 处，。选 A。 2．若 对一切 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时恒成立； 时需 ，令 ，，最小值 ，故 。选 A。 3．函数 的最小值为（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】，最小值 。选 A。 4．若函数 在 R 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 恒成立需 ，得 。选 A。 5．已知 ，则 在 上的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D．1 【答案】A 【详解】，在 上最小值为 。选 A。 6．函数 的最小值点为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】， 且左负右正，最小值点为 。选 A。 7．若 在 上恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】需 ，令 ， 在 上成立，最大值 ，故 。选 A。 8．已知函数 ，则其最小值点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，在 上为负、 上为正，最小值点为 。选 A。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．若 在 R 上恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】需 ，得 。选 A。 2．函数 有三个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】极大值 且极小值 ，得 。选 A。 3．下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 的最小值为 0 知 A 恒成立。选 A。 4．若 对一切 恒成立，则 的最小值为（　　） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】需 ，其最大值 ，故 的最小值为 。选 A。 5．函数 的极大值为（　　） A．3 B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】极大值 。选 A。 6．已知 ，则 的最小值为（　　） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【详解】最小值在 处，值为 1。选 A。 7．若 对 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】端点效应： 需 ，即 ，且此时充分。选 A。 8．由 （）可得（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】取 累加得 ，故 。选 A。 【多项选择题】 9．（多选）下列结论正确的有（　　） A．（） B． C．（） D．（） 【答案】ABCD 【详解】四条都是构造函数求导可得的经典放缩，均正确。选 ABCD。 10．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．极大值为 2 B．极小值为 C．零点个数为 3 D．在 上递减 【答案】ABCD 【详解】，极大值 、极小值 ，零点 共 3 个， 上递减，均正确。选 ABCD。 11．（多选）下列做法可用于处理恒成立问题的有（　　） A．分离参数求最值 B．端点效应先找必要条件 C．分类讨论含参函数单调性 D．构造差函数求最小值 【答案】ABCD 【详解】四种都是恒成立问题的常用通法。选 ABCD。 【填空题】 12．若 恒成立，则 的取值范围是　　　　。 【答案】 【详解】需 ，得 。 13．函数 的极大值与极小值之和为　　　　。 【答案】0 【详解】极大值 2 与极小值 之和为 0。 14．函数 的最小值为　　　　。 【答案】1 【详解】最小值在 处，。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题09　导数进阶 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题09　导数的综合应用 一、核心知识 1．恒成立问题的转化： 在 D 上恒成立 在 D 上的最小值 ； 恒成立 最大值 。 2．存在性问题的转化：存在 使 最大值 ；存在 使 最小值 。注意“任意”配最小最大，“存在”配最大最小。 3．分离参数法：若能化成 （或 ）的形式，就转化为求 的最值；不能分离时再分类讨论含参函数的单调性。 4．分类讨论的三类常见分界点：二次导函数的判别式 、导数零点是否落在区间内、参数与区间端点的大小关系。 5．零点问题的核心工具：零点存在定理（连续 端点异号）与单调性（单调函数在区间内至多一个零点），两者配合可以定出零点个数。 6．含参函数零点个数问题：先求导确定单调区间与极值，再让极大值、极小值与 0 比较，画出“草图”分类。 7．证明不等式 的通用做法：移项构造 ，求 的最小值并说明其 ；若最小值点不易求出，可用二次求导或放缩。 8．常用放缩链：（）；（）；（）；（）。它们都由构造函数求导得到，可直接引用。 9．极值点偏移：若函数 在 处取相等的函数值（），要比较 与 （ 为极值点）的大小，标准做法是对齐函数值后构造函数。 10．极值点偏移的另一种问法是已知 证明 与某常数的大小，常用比值换元 化为单变量不等式。 11．导数与数列综合：由 令 得 ，累加即可证明与自然对数有关的不等式与和式估计。 12．隐零点：当导数零点无法显式解出时，设其为 ，用 得到的关系式整体代换，把 化成可判断符号的形式，不必求出 。 二、题型精练 题型一　恒成立与存在性问题（分离参数、分类讨论） 【方法与技巧】 先分清是“任意”还是“存在”：任意恒成立配最值（ 配最小值、 配最大值），存在性配另一个最值，记混会整题错。 能分离参数就先分离：把不等式化成 或 ，剩下只需求 在区间上的最值，计算量最小。 不能分离时分类讨论：按导数零点与区间的相对位置分类，每一类里分别求最小值再令其满足条件。 【例题精讲】 1．若 时不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数 ，若 在 上恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．若 在 上满足 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若存在 使 成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若 对一切 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若不等式 在 R 上恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数 （）的最小值为 2，则 （　　） A．1 B．2 C．4 D． 6．若 对一切实数 成立，其证明中构造的函数为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若 在 上恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若不等式 在 上恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若存在 使 成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，若 在 上恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若 对一切 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．若不等式 对一切 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型二　导数与函数的零点、方程根 【方法与技巧】 判断零点个数的标准流程：求导 确定单调区间与极值 比较极值与 0 的大小 结合端点（或极限）趋势下结论。 三次函数 有三个不同零点的充要条件是极大值 且极小值 ，这是最常用的模型。 含参对数型零点问题常转化为水平线与 图象的交点个数，如 的解个数看 的图象。 【例题精讲】 1．若函数 有三个不同的零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 3．若函数 有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数 的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 2．若方程 恰有两个不同实根，则 （　　） A． B．0 C．2 D． 3．函数 的零点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．若函数 有零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D．任意实数 5．函数 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 6．已知函数 只有一个零点，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 2．若 在 R 上恰有一个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D．任意实数 3．方程 的实根个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 4．函数 有三个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．函数 的零点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 6．已知 有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．函数 有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．函数 的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 题型三　导数证明不等式（构造函数） 【方法与技巧】 证明 就构造 ，转化为求 的最小值并说明最小值 ，这是最通行的做法。 若最小值点解不出来，可求二阶导判断一阶导单调，或利用已知放缩链（、、）直接放缩。 证明数列型不等式时用“先函数后数列”：先在连续情形证明不等式，再令 取特殊值（如 ）累加。 【例题精讲】 1．要证明 时 ，应构造的函数是（　　） A． B． C． D． 2．下列不等式中对一切实数 都成立的是（　　） A． B． C． D． 3．当 时， 与 的大小关系为（　　） A． B． C． D．不确定 【变式训练】 1．要证明 时 ，可先证明的较弱结论是（　　） A． B． C． D． 2．由 可得 与 的关系为（　　） A． B． C．相等 D．不确定 3．函数 在 上（　　） A．恒为正 B．恒为负 C．先正后负 D．恒为 0 4．下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．要证明 ，应利用的不等式是（　　） A．（） B． C． D． 6．已知 ，则 的最小值为（　　） A．1 B．0 C． D．2 【巩固练习】 1．函数 的最小值为（　　） A．1 B．0 C． D．2 2．由 可得，当 时 与 的关系（　　） A．在 上不总有 ，需分段讨论 B． 恒成立 C． 恒成立 D．相等 3．下列结论正确的是（　　） A．（） B．（） C． D．（） 4．要证明 …（），应利用（　　） A． 累加的反向放缩 B． 累加 C．裂项相消 D．数学归纳法 5．函数 的最小值为（　　） A． B．0 C． D． 6．已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． 7．若 ，则 与 的大小关系为（　　） A． B． C．相等 D．不确定 8．利用导数可证明：当 时， 与 的大小关系为（　　） A． B． C．相等 D．不确定 题型四　双变量问题与极值点偏移 【方法与技巧】 极值点偏移的标准提法：已知 （），比较 与 （ 为极值点）的大小。 处理办法一（构造函数法）：把结论等价变形后，构造 （或 ），判断其单调性。 处理办法二（比值换元）：令 ，把双变量不等式化为关于 的单变量不等式，再求导证明。 【例题精讲】 1．已知函数 的两个极值点为 ，则 （　　） A．0 B．2 C． D．1 2．已知函数 有两个零点 ，则 与 的关系为（　　） A． B． C． D．不确定 3．已知函数 ，若 且 ，则 （　　） A．2 B．1 C．0 D．4 【变式训练】 1．函数 的图象关于（　　）对称 A．原点 B． 轴 C．直线 D．直线 2．若 在 处取相等的函数值（），则 与 的关系为（　　） A． B． C．等于 D．不确定 3．已知函数 ，若 且 ，则 的值为（　　） A．0 或 配对之一 B．1 C． D．2 4．极值点偏移问题中，若 在 处取极值且 （），要证 ，通常构造（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，若 （），则 与 0 的关系为（　　） A． B． C．等于 0 D．不确定 6．已知 是方程 的两根，且 ，则 （　　） A．3 B．4 C． D．1 【巩固练习】 1．函数 的极大值点与极小值点之和为（　　） A．0 B．1 C． D．2 2．已知 ，则其极大值点为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数 ，若 ，则其对称轴为（　　） A． B． C． D． 4．若函数 有两个极值点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，若 且 ，则 的最小值为（　　） A．2 B．1 C． D．0 6．已知 ，若 （），则 与 2 的关系为（　　） A． B． C．等于 2 D．不确定 7．已知函数 ，则 的最小值点为（　　） A． B． C． D．不存在 8．已知 是 的两个极值点，则 （　　） A．0 B．2 C． D．4 题型五　导数与数列、不等式的综合 【方法与技巧】 由函数不等式到数列不等式的桥：令 取 、 等特殊值，再累加或累乘。 常见的两条链： 用于估计调和和； 用于证明 。 与数列求和综合时，先由导数得到通项的不等式，再用裂项、累加或放缩求和，最后与结论对照。 【例题精讲】 1．由 （）可得 的上界为（　　） A． B． C．1 D． 2．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．不确定 3．利用 （）累加可得（　　） A．… B．… C．两式都不对 D．和等于 【变式训练】 1． 的值为（　　） A． B． C．1 D． 2．已知 ，则数列 的最大项为（　　） A．第 3 项 B．第 2 项 C．第 1 项 D．不存在 3． 的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 4．若 ，则数列 的最大项为（　　） A．第 1 项与第 2 项 B．第 1 项 C．第 3 项 D．不存在 5．利用 可得 与 的关系为（　　） A． B． C．相等 D．不确定 6．已知 ，则 … 与 的关系为（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．不确定 【巩固练习】 1．数列 的单调性为（　　） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．不单调 2．… 的值为（　　） A． B． C．1 D． 3．若 ，则（　　） A． B． C． D．符号不定 4．数列 的最小项为（　　） A．第 1 项与第 2 项 B．第 1 项 C．第 3 项 D．第 2 项 5． 的值为（　　） A． B． C．1 D． 6．已知 ，令 （）可得（　　） A． B． C． D．不确定 7．若数列 ，则其前 100 项和为（　　） A．50 B． C．0 D．100 8．已知 ，数列 ，则 的最小项为（　　） A．第 1 项 B．第 2 项 C．第 0 项 D．第 3 项 题型六　导数压轴题常见模型（隐零点、端点效应） 【方法与技巧】 隐零点：导数零点解不出来时设为 ，由 得到的关系式（如 ）整体代入 ，不必求出 的具体值。 端点效应：若含参不等式在区间上恒成立，可先代入端点得到参数的必要条件，再证明其充分性，往往能大幅缩小讨论范围。 压轴题常见结构：证明不等式恒成立 求最值 最值点由隐零点给出 用隐零点关系式化简 证毕。 【例题精讲】 1．若 对一切 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若 ，则 在 上（　　） A．恒为正且递增 B．恒为负 C．先减后增 D．有零点 3．设 ，则 的最小值为（　　） A． B．0 C． D． 【变式训练】 1．若 对一切 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．函数 （）的最小值为（　　） A． B．1 C． D．0 3．已知 ，则其极大值点为（　　） A． B． C． D．不存在 4．若不等式 在 上恒成立，则 的最大值为（　　） A．2 B． C． D．3 5．函数 在 上（　　） A．恒为正 B．恒为负 C．有零点 D．先增后减 6．若 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 2．若 对一切 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的最小值为（　　） A．1 B．0 C． D． 4．若函数 在 R 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则 在 上的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D．1 6．函数 的最小值点为（　　） A． B． C． D．不存在 7．若 在 上恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知函数 ，则其最小值点为（　　） A． B． C． D． 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．若 在 R 上恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．函数 有三个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 4．若 对一切 恒成立，则 的最小值为（　　） A． B．1 C． D．0 5．函数 的极大值为（　　） A．3 B． C．1 D．2 6．已知 ，则 的最小值为（　　） A．1 B．0 C． D．2 7．若 对 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．由 （）可得（　　） A． B． C． D．不确定 【多项选择题】 9．（多选）下列结论正确的有（　　） A．（） B． C．（） D．（） 10．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．极大值为 2 B．极小值为 C．零点个数为 3 D．在 上递减 11．（多选）下列做法可用于处理恒成立问题的有（　　） A．分离参数求最值 B．端点效应先找必要条件 C．分类讨论含参函数单调性 D．构造差函数求最小值 【填空题】 12．若 恒成立，则 的取值范围是　　　　。 13．函数 的极大值与极小值之和为　　　　。 14．函数 的最小值为　　　　。 （答案与逐题详解见《解析版》） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $