第二十六章 重难点提升小卷 二次函数的综合应用-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（人教版·新教材）

重难点提升小卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.如图，Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y= ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得 到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P 的坐标为 () A.(2,2) B.(2,2) C.(2,2) D.(2,√2) +Y 1题图 2题图 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4， -2),点B的坐标是(-1，-2)，连接AB,若 抛物线y=-ax2(a≠0)与线段AB恰有一个 公共点，则a的值可能是 () A.-4 B.-2 C.1 D.1 3.如图，两条抛物线=-分+1，=7 -1分别与经过点(-2,0)，(2,0)且平行于 y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 A.8 B.6 C.10 D.4 3题图 4题图 4.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC 与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y =ax2的图象上，则a的值为 () A号 B. 3 3 D.② 第二十六章二次函数 二次函数的综合应用 ⊙满分：50分得分： 5.如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2,正方形 CDEF的顶点D,F分别在AC,BC边上，设CD 的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分 的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间 的函数关系的是 5题图 6题图 6.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 图象的一部分，对称轴是直线x=方，且经过 点(2,0)，下列说法：①abc>0;②b2-4ac>0; ③x=-1是关于x的方程ax2+bx+c=0的 一个根；④a+b=0.其中正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题3分，共12分） 7.如图，抛物线顶点C的坐标为(1,4)，交x轴于 点A(3,0),交y轴于点B,则△ABC的面积为 7题图 8题图 8.如图，抛物线y=ax2+bx+4经过点A(-3, 0),B,C,点C在y轴上，CB∥x轴，且AB平分 ∠CAO,则此抛物线的函数解析式是 13 口全程时习测试卷·九年级数学·上册 9.如图，已知抛物线y=-x2+ px+q的对称轴为直线x=-3, 过其顶点M的一条直线y= x+b与该抛物线的另一个交 点为N(-1,1).要在y轴上找 9题图 一点P,使得△PMN的周长最小，则点P的坐 标为 10.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，c<0) 经过(1,1)，(m,0),(n,0)三点，且n≥3.下 列四个结论：①b<0;②4ac-b2<4a;③当n =3时，若点(2，t)在该抛物线上，则t>1; ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x 有两个相等的实数根，则0<m≤子其中正 确的是 ·(请填写序号) 三、解答题（共20分） 11.(8分)如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴 交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴 交于点C,D为抛物线的顶点， (1)求点A,B,C的坐标： (2)连接AC,AD,CD,在抛物线上是否存在点 M(不与点D重合)，使SAACM=SAACD?若 存在，请直接写出点M的坐标；若不存 在，请说明理由， 11题图 14 12.(12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx-6经 过A(-1,-4),B(3,0)两点，与y轴交于点 C,连接AC,BC.P是线段OB上一动点，过点 P作PM⊥x轴，交抛物线于点M,交线段BC 于点N. (1)求抛物线的函数解析式； (2)当PN=0C时，求点M的坐标； (3)连接AN,是否存在点P使得△ACN是等 腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由， 12题图(2)解：在抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m中，令x=0, 则y=m2-m,即抛物线与y轴的交点为(0，m2-m). 在直线y=x-3m+4中，令x=0,则y=-3m+4, 即直线与y轴的交点为(0，-3m+4). :该抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上， .m2-m=-3m+4, 解得m1=-1+5,m2=-1-√5. 13.解：(1)把点A(1,0),B(5,0)代入y=-x2+bx+c, 利[25600得65. .这条抛物线的函数解析式为y=-x2+6x-5. (2)点A(1,0),B(5,0),∴.AB=4. Sw=2ABl=2×4x1l=8, 1 ∴.lypl=4,∴.yp=±4. 当yp=4时，-x2+6x-5=4, 解得x1=x2=3; 当yp=-4时，-x2+6x-5=-4, 解得x1=3+22,x2=3-22. 综上所述，当△PAB的面积为8时，点P的坐标为(3， 4),(3+22,-4)或(3-2√2，-4). (3)把y=-5代人y=-x2+6x-5, 得-x2+6x-5=-5, 解得x1=0,x2=6. 抛物线开口向下， .当y≥-5时，x的取值范围为0≤x≤6. 考点小卷3实际问题与二次函数 1.B2.C3.A4.B5.D6.C 7.908.4cm9.1<m<5 10.解：(1)根据题意，得w与x之间的函数解析式为 w=(x-30)y=(x-30)(-x+60)=-x2+90x-1 800. (2)令-x2+90x-1800=200. 解得x1=40,x2=50. 要最大限度让利给顾客，x=40 答：销售单价应定为40元/件。 1解：1)：点A的坐标为（子） :设该抛物线的函数解析式为y=a(-)+名(a ≠0) :该抛物线经过点(0,0)， 9 9 六164+16=0，解得a=-l, 2 (2)该运动员此次跳水不会失误， 理由：点D的坐标为(-1，-10)， ·.该运动员在空中调整好入水姿势时的横坐标为3. 当x=3时，y=-子+子×3=-是， 参考答案及解析何 :该运动员此时距水面的高度为10-号=5.5（米）。 .…5.5>5 .该运动员此次跳水不会失误 重难点提升小卷二次函数的综合应用 1.B2.D3.A4.C 5.A[解析]当0<x≤1时，y=x2,当1<x≤2时，如答 图，设ED交AB于点M,EF交AB于点N,CD=x, .∴.AD=2-x..RL△ABC中，AC=BC=2,.∠B=∠A= 45°，.△ADM为等腰直角三角形，.DM=AD=2-x,易 1 知△BFN≌△MDM,S△w=SADI,y=2X2X2- 2(2-x2×2=-+4x-2,对照选项可知只有A 项符合 D 5题答图 6c138y=-6+名+490,2) 10.②③④[解析]①c<0,∴抛物线与y轴的负半轴 有交点.抛物线经过(1,1)，∴.假设抛物线的开口向 上，那么抛物线与x轴的交点都在(1,0)的左侧.·.·抛 物线经过(n,0),n≥3，∴.抛物线与x轴的一个交点一 定是(3,0)或在(3,0)的右侧，.假设错误，抛物线的开 口向下，即a<0.把(1,1)代入y=ax2+bx+c得a+b +c=1,即b=1-a-ca<0,c<0,.b>0,故①错 误；②：a<0,b>0,c<0,.C>0,.方程a2+bx+c =0的两个根的积大于0，即mn>0..n≥3，.m>0, .m+”>1.5,即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右 2 侧，抛物线的顶点在点(1,1)的右侧，4如c=B>1 4a 4a<0,∴.4ac-b2<4a,故②正确；③m>0,.当n =3时，m>1.5,抛物线的对称轴在直线x=1.5 的右侧，∴点(1,1)到对称轴的距离大于点(2，t)到对 称轴的距离，抛物线开口向下，距离抛物线对称轴越近 的函数值越大，∴.t>1,故③正确；④方程ax2+bx+c=x 可变形为ax2+(b-1)x+c=0,:方程有两个相等的实 数根，.4=(b-1)2-4ac=0.把(1,1)代入y=ax2+bx +c,得a+b+c=1,即1-b=a+c,∴.(a+c)2-4ac= 0,即a2+2ac+c2-4ac=0,.(a-c)2=0,∴.a-c=0, 即a=c.(m,0),（n,0)在抛物线上，∴.m,n为方程 ar2+bx+c=0的两个根，mn=￡=l,n=.n a ≥3，…≥3,0<m≤了，故④正确综上，正璃的结 。1 论是②③④. 33 口全程时习测试卷·九年级数学·上册 11.解：(1)令y=0,解得x1=-3,x2=1. 点A在点B的左侧， .A(-3,0),B(1,0) 令x=0,得y=3,.C(0,3). (2)存在.点M的坐标为(-2,3) (3,(3, 12.解：(1)将A(-1,-4),B(3,0)分别代入抛物线的函 数部折式得66邦特公 b=-1 .抛物线的函数解析式为y=x2-x-6. (2)B(3,0),C(0,-6), ∴.直线BC的函数解析式为y=2x-6,0C=6. 设点P的坐标为(t,0)(0<t<3),则N(t,2t-6), ∴PN=6-2t. PN=}0C,6-2=2t=2. 将x=2代人y=x2-x-6,得y=-4,.M(2,-4). (3)存在 A(-1,-4),C(0,-6),.AC=5. 由(2)知直线BC的函数解析式为y=2x-6, 设点N的坐标为(m,2m-6)(0<m<3),∴.P(m,0), AW2=(m+1)2+(2m-6+4)2=5m2-6m+5,CW2= m2+(2m-6+6)2=5m2. :△ACW为等腰三角形，∴需分三种情况： ①当CN=AC时，则CN2=AC2, .5m2=(5)2,解得m=-1(舍去)或m=1, 点P(1,0); ②当AN=AC时，则AW2=AC2, .5m2-6m+5=(5)2, 解得m=0(合去)或m=号P(号.)： ③当AW=CW时，则AW2=CW2, 5 .5m2-6m+5=5m2,解得m= 综上所述，点P的坐标为(1,0)或（号，0成（名，0 第二十七章反比例函数 考点小卷1反比例函数的概念、图象和性质 1.D2.A3.C4.A5.C 6.D[解析]设AD与BC交于点FAD⊥x轴，BE⊥ x轴，BC⊥y轴，∴.∠BE0=∠EOC=∠BC0=∠FD0= ∠AFC=90°，∴四边形BEOC与四边形FD0C均是矩 形，BE=DF=0C=1.:0D=子0E,设0E=4m,则 OD=CF=3m,∴.点A的横坐标为-3m,点B(-4m,1) 花点B(-4m,1)代入y=卓得=-4m反比例函 数解折式为y=-细点A(-3m,)AC=AD 34 号AF=AD-DF=子在R△ACF中，AC=C+A, (}扩=(3m户+（兮郎得网=5=西 9 (不特合题意，合去)，k=-4m=45故选D 9 7.C8.19.-1-510.411.2<n<6 12.解：设AE=a,BE=2AE,∴AB=3AE=3a. 又.在□ABCD中，AB∥x轴， ∴.CD=AB=3a,且CD∥x轴. A(1,2),D(0,1),∴.C(3a,1),E(a+1,2): :反比例函数y=k(k≠0)的图象经过点C,E, ∴.3a=2(a+1),解得a=2, .E(3,2). 13.解：(1)：点C(m,2),点D(1,m+3)均在反比例函数y= 冬（≠0x>0)的图象上. .∴.2m=m+3,解得m=3, ∴.点C的坐标为(3,2)，点D的坐标为(1,6)， .k=6, “反比例函数的解析式为y=6(x>0). （2存在设P,名） 由题意可知FC=6,BE=2. 5m=B-plx6=分x2x8, 解得p=或p=子， 17 点P的坐标号，1)成（号，》 4解：(1)把点A(1,@代人反比例函数y=2,得a=3, .A(1,3) 将点A(1,3)和B(3,1)代入一次函数y=kx+b, ,「k=-1, 得+6=3，解得b=4, L3k+b=1, ∴.一次函数的解析式为y=-x+4 (2)由图象知0<x<1或x>3. (3)如答图，作点B关于x轴的对称点D,连接BD,交x轴 于点C,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小， .D(3,-1), D 14题答图