2.4 解直角三角形的应用（随堂反馈）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（湘教版·新教材）

2.4解直角三角形的应用 第1课时与仰角、俯角有关的应用问题 1.如图，从一艘船上（点A处）测得海岸上高为42m的灯塔顶部（点B处）的仰角是30°， 则船离灯塔的水平距离OA为 ) A.423m B.14√3m C.21m D.42m 30 B D (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，一架人字梯的梯长AB=AC=2m,AC与地面BC的夹角为a,则两梯脚之间的 距离BC为 ) A.4cos a m B.4sin a m C.4tan a m D.-4m cos a 3.如图，在热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°，45°，热气球C的高度CD为 100m,点A,D,B在同一条直线上，则A,B两点的距离为 () A.200m B.200√3m C.2203m D.(1003+100)m 4.如图，为测量某建筑物AB的高度，在离该建筑物底部20的点C处，目测建筑物顶端 A处的仰角为38.5°.已知目高CD为1.6m,求建筑物AB的高度.（结果精确到1m, 参考数据：sin38.5°≈0.623，c0s38.5°≈0.783，tan38.5°≈0.795) Da38.5 ·18· 第2课时与坡度、方位角有关的应用问题 1.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔5 n mile的点A处.若轮船沿 正南方向航行到灯塔的正东方向，则轮船航行的路程AB是 ( ) A.5√3 n mile B.5 n mile C.2.5 n mile D.3°n mile B D 北 i=l:5 B东 →东 E (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，一山坡的坡度i=1：√3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200到达点B, 则小辰上升了 m 3.如图，湖泊AB旁有C,D两个村庄，点B在点A的正北方向，AB⊥AC,AB⊥BD,村庄D位 于村庄C的北偏东30°方向上.若CD=8km,则该湖泊两端的距离AB约为 km. (结果精确到0.01km,参考数据：W2≈1.414，√3≈1.732) 4.如图，已知扶梯AB的坡度为4：3，滑梯CD的坡度为1：2.梯高BE=CF,AE=3m, 则滑梯坡面CD的长为 m. 5.如图，一艘海轮位于灯塔P的西南方向，距离灯塔P40√2 n mile的A处，它沿正东方 向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB. 北 45o'60 ·19·O 5解：：△AC与△DEF位似，六合祭-8是=号=子AC=4,DF=3AC= 12.(2由蜘哈架=吉小3-（传）广=日5am=95c=54 SADEF 第2课时平面直角坐标系中的位似 9 1.A2.D3.24.(2,1D 5.解：(1)如图，四边形A'B'CD'即为所求.(2)A'(-3,3),B(-4,1),C(-2,0), D(-1,2). 第2章锐角的正弦、余弦、正切 2.1锐角的正弦和余弦 第1课时锐角的正弦 1.A2B364g5.40 6舞：原式=2x号4×号-反-2度②原式-（停+号×夏吉+9 7.解：在R△ABC中，AB=8,sinA=令，BC=AB:sinA=5.AC=VAB-BC =V39.∴sinB=AC=3g AB-8· 第2课时锐角的余弦 1.A2.A3.C4.(1)0.6947(2)63.4°5.25 5 6解：1原式-（合）‘+()°=1.(2)原式=2×号-合= 7.解：四边形ABCD是菱形，AC⊥BD,OB=BD=3.∴∠AOB=90.在 R△A0B中，0A=VaAB-0B-万，o∠BAC-器-9 2.2锐角的正切 1.A2.11.4998(212”3.号 4解：1原式=×5+2×号=3+V巨.(2原式=8×()°+1-4×号=7-2. 5.解：(I)在R△ABC中，BC=4,sinB=?,∴AC=BC·SinB=万.∴AB VBC-AC=3.(2②在R△ABc中，AB=3,AC-7anC-是-39 —46 2.3解直角三角形 1.C2.C3.D 4解：1)在R△ABC中，b=6,e=2,csA=么=号.∠A=45:(2)在 R△ABC中，c=12,cosB=合a=c·cosB=6.∴b=V-a=6V5 5解：在R△ACD中，：∠C=90,AC=8,AD=165,as∠CAD=S- .∠CAD=30°.，AD平分∠CAB,∴.∠CAB=2∠CAD=60°..∠B=90°-∠CAB= 30.c 2.4解直角三角形的应用 第1课时与仰角、俯角有关的应用问题 1.A2.A3.D 4.解：过点D作DE⊥AB于点E,则四边形BCDE为矩形，.DE=BC=20m,BE= CD=1.6m.在Rt△ADE中，∠ADE=38.5°，∴.AE=DE·tan∠ADE≈15.9m. .AB=AE+BE≈18m.答：建筑物AB的高度约为18m. 第2课时与坡度、方位角有关的应用问题 1.C2.1003.6.934.4√5 5.解：过点P作PC⊥AB于点C.在Rt△ACP中，AP=40W2 n mile,∠APC=45°， .PC=AC=AP·sin∠APC=40 n mile.在Rt△BCP中，∠BPC=60°，.BC=PC· tan∠BPC=40W3 n mile..∴.AB=AC+BC=(40+40W3)n mile.答：航程AB为(40+ 40√3)n mile. 第3章一元二次方程 3.1一元二次方程的概念 1.D2.A3.2(答案不唯一) 4.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为2x2+3x-1=0.它的二次项系数为2， 一次项系数为3，常数项为-1.(2)去括号，得3x2+3x-2x一2=2x2十x.移项、合并同 类项，得一元二次方程的一般形式为x2一2=0.它的二次项系数为1，一次项系数为0， 常数项为一2. 5.解：(1)设这两个数中较小的数为x.根据题意，得x(x十2)=120，化为一般形式为x2 十2x一120=0.(2)设充电桩区域的宽度为xm.根据题意，得(130-x)(80一x)= 5000.化成一般形式为x2-210x十5400=0. 3.2一元二次方程的解法 3.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 1.C2.B3.-1 4.解：(1)原方程可化为x2=16.根据平方根的意义，得x=4或x=一4.因此，原方程 的根为x1=4,x2=一4.(2)原方程可化为(x一1)2=9.根据平方根的意义，得x一1=3 或x一1=一3.因此，原方程的根为1=4，x2=一2. 第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1.A2.B3.3 4.解：(1)配方，得x2-4x+22=-1+22,因此(x-2)2=3.由此得x-2=√3或x-2 =-√3，解得x1=2十√3，x2=2-√3.(2)移项，得x2一3x=-2.配方，得x2-3x十 —47 (侵)》°=-2+（名），因此(x一）°=子由此得红一昌=合或x一号=-合，解得 x1=2,x2=1. 第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1.D2.C3.C 4解：1)将二次项系数化为1，得2-受-是配方，得2-音+(）广=是+ (分）》”，因此(x-子)广=是由此得x-子=是或x-子=-，解得石=1，函 -合(2)将=次项系数化为1，得r-12x=14.配方，得士-12x十6=14+6，因此 (x-6)2=50.由此得x-6=5√2或x-6=-5√2，解得x1=6+5V2,x2=6-5√2. (3)移项，得5x-2x=3将二次项系数化为1，得广-号x=是配方，得文-号x十 ()》°-是+（号）》，因此(x-号)-由此得x一吉-号或x一吉=-吾，解得 x=1=-号.(4)整理，得2x-8x=10,将二次项系数化为1，得2-4x=5,配方， 得x2-4x十22=5十22，因此(x-2)2=9.由此得x-2=3或x-2=-3,解得x1=5, x2=-1. 3.2.2公式法 1.A2.C3.A 4.解：(1)移项，得x2-x-3=0.这里a=1,b=-1,c=-3.因而2一4ac=（-1)2-4 ×1×(-3)=13>0,x=1±，.因此，原方程的根为=1+)压，，=1二区 2 2 (2)这里a=4,b=-8,c=1,因而形-4ac=(-8)2-4X4X1=48>0,“x=8+y4s 2×4 =2生5.因此，原方程的根为-2生5-2(3)移项，得24-x十2=0这里 2 a=2,b=-1,c=2.因而6-4ac=(-1)2-4×2×2=-15<0,.原方程无实数根. (0这里a=6=-厄，c=子.因而8-4ac=(-②-4X号×分=1>0，∴x=厄 士1.因此，原方程的根为x1=√2+1，x2=√2-1. 3.2.3因式分解法 第1课时用因式分解法解一元二次方程 1.C2.B3.A4.x-1-2=0x1=-1,x2=3 5.解：(1)把方程左边因式分解，得x(x十5)=0.由此得x=0或x十5=0，解得x=0, x2=-5.(2)原方程可化为(x-1)2十（x-1)=0.把方程左边因式分解，得(x-1)(x 1十1)=0.由此得x-1=0或x=0,解得x1=1,x2=0.(3)原方程可化为3x(x-2)一 (x-2)=0.把方程左边因式分解，得(x-2)(3x-1)=0.由此得x-2=0或3x-1= 0,解得五=2，=子.()配方，得x-8x十4-4华-9=0，因而(x一42-5=0.把方 程左边因式分解，得(x-4十5)(x-4-5)=0,即(x十1)(x-9)=0.由此得x十1=0或 x-9=0,解得x1=一1，x2=9. 第2课时选择合适的方法解一元二次方程 1.A2.D3.B4.(1)直接开平方(2)配方(3)公式(4)因式分解 5.解：(1)根据平方根的意义，得x+1=3或x十1=一3.因此，原方程的根为x1=2,x2 =-4.(2)配方，得x2-4x十22=2十22，因此(x-2)2=6.由此得x-2=√6或x-2= —48