2.4 第1课时 与仰角、俯角有关的应用问题-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

2.4 解直角 ©第1课时 与仰角、 ①基础在线 >知识要点分类练 知识点1与仰角、俯角有关的应用问题 1.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修 一条隧道（点A,B在同一水平面上）.为了测 量A,B两地之间的距离，一架直升机从A地 出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察 B地的俯角α为30°，则A,B两地之间的距离 为 ( A.400米 B.8003米 3 C.1600米 D.800√3米 a A 777777777777777777 150米 第1题图 第2题图 2.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得 塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁 塔的高BC为 () A.(1.5+150tana)米 B.(1.5+150)米 tana C.(1.5+150sina)米 D.(1.5+150 米 sing 3.如图，热气球的探测器显示， 从热气球A处看一栋楼顶部 B处的仰角为36°，看这栋楼 底部C处的俯角为60°，热气 77777777777777777i 球A处与楼的水平距离为100m,则这栋楼的 高度为 (参考数据：√3≈1.73， tan36°≈0.73，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，结 果保留整数) 三角形的应用 俯角有关的应用问题 知识点2与夹角有关的应用问题 4.如图，某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕 点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为4米. 若栏杆的旋转角∠AOA'=a,则栏杆A端升高 的高度为 米.（用含α的式子表示） A A.入0.B a A 第4题图 第5题图 5.如图，电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与 BC相互垂直，∠CAB=a,则拉线BC的长度 为(A,D,B在同一条直线上) () A.点 B五 sina coSa C.h tana D.h·cosa 6.(中考·宜昌)知识小提示：要想使人安全地攀 上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角a一般要满足53°≤a≤72°.（参考数 据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin72°≈ 0.95,cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin66°≈ 0.91,cos66°≈0.41，tan66°≈2.25)如图，现有 一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上. (1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A 与地面距离的最大值； (2)当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算 ∠ABO等于多少度？并判断此时人是否能安 全使用这架梯子？ 第2章52 2 能力在线>方法规律综合练 7.如图是一台手机支架的侧面示意图，AB,BC 可分别绕点A,B转动，测量可得BC=10cm, AB=20cm,当AB,BC转动到∠BAD=∠ABC =60°，点C到AD的距离是 cm.(结果 保留根号) A 30 凰4 第7题图 第8题图 8.如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高 度，某校数学兴趣小组的同学在古塔对面的高 楼AB的底部B处和顶部A处测得古塔顶部 C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高 度为24m,则古塔CD的高度为 m (参考数据：√3≈1.732，√2≈1.414，结果保留 一位小数) 9.(中考·铜仁)为了测量高速公路某桥的桥墩 高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C,D 两处实地测量，如图所示.在C处测得桥墩顶 部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角 为40°，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为 30°，测得C,D两点之间的距离为80m,直线 AB,CD在同一平面内，请你用以上数据，计算 桥墩AB的高度.（结果保留整数，参考数据： sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84， √3≈1.73) 53探究在线九年级数学（上）·X灯 拓展在线沙路现装尖装升罐。 10.根据道路交通法规规定：普通桥梁一般限速 40km/h.为了安全，交通运输部门在桥头竖 立警示牌：“请勿超速”，并监测摄像系统监 控.如图，在某直线公路L路桥段BC内限速 40km/h,为了检测车辆是否超速，在距离公 路L500m旁的A处设立了观测点，从观测 点A测得一小车从点B到达点C行驶了 30秒钟，已知∠ABL=45°，∠ACL=30°，此车 超速了吗？请说明理由.（参考数据：√2≈ 1.414,W3≈1.732)9是13￥ 11.8312.5-2 第2课时与坡度、坡角有关的应用问题 基础在线 13.(1)原式=1.(2)原式=3十√3. 1.D2.503.1330°4.46 14.(1).在Rt△ABD中， 5.在Rt△DCE中，由DE=10,i=1W5,得DC=5=AB. cosB=BD 5 AB13,AB-13, 在Rt△ABF中，由AB=5,i2=1:4,得BF=4AB=20, ,∴.AF=/AB2+BF2=5W17≈20.62(m)」 BD-13X最-5，CD=BC-BD- 6.(1),山坡②的坡度i=1:1, 21-5=16. tan∠BCN=8-1,∠BCN=45 ,AD=√AB2-BD=√/132-5=12 ∠ACM=30°，∴.∠ACB=180°-45°-30°=105°. .在Rt△ACD中， (2),∠BCN=45°，CN=√2千米，∴.BC=2千米. AC=WAD+CD=√122+162=20. ∠ACM=30°，AM=0.6千米， (2)过点C作CH⊥AB于点H, :△ABC的面积=合AB·CH=合BC·AD, ·sin∠ACM=AM_L AC=2, ∴.AC=1.2千米，AC+BC=1.2+2=3.2(千米) 13CH=21X12,CH=252 ∴.该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米 13 能力在线 252 7.C8.20√3 ∴sin∠BAC=CH_13_63 9.(1)如图，作CD⊥AM于点D,作BEI AC2065 CD于点E,作BF⊥AM于点F, 15.AD b·sinC .'斜坡BC的长为200√2米，坡度是1：1， .BE=CE=200米. 在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°， ∴.∠A=180°-45°-75°=60°， ,A点的海拔为121米，C点的海拔为721米， ∴△ABC是锐角三角形. .CD=600米，.BF=DE=CD-CE=400(米). 根据正弦定理，得 :121+400=521(米)，.B点的海拔是521米. 2 (2),在Rt△ABF中，斜坡AB的长为200/13米，BF=400米， sinAsinC,sin60-sin45, ∴.AF=√(200√13)2-4002=600（米）， ∴BF:AF=400:600=2:3,即斜坡AB的坡度是2：3. c=2sin45° 2X 2=2y6.AB=2 (3)连接AC,.CD=600米，AD=AF十FD=AF十BE= sin60° E 3 3 600+200=800(米)，.AC=√/6002+8002=1000（米）， 即钢缆AC的长度是1000米， 2.4解直角三角形的应用 拓展在线 第1课时与仰角、俯角有关的应用问题 10.(1)在Rt△EFH中，：∠EHF=90°， 基础在线 .tanZEFH=1:0.75=-0 1.D2.A3.246m4.4sina5.B 6.(1)53≤a≤72°， 设EH=4xm,则FH=3xm, 当a=72时，AO取最大值， ∴.EF=√EH+FH=5.x=15m, 在Rt△AOB中，sin∠ABO=A0, ∴.x=3,∴.EH=4x=12m,FH=3x=9m. AB 即山坡EF的水平宽度FH为9m. ∴.AO=4sin72≈3.8(m), (2),L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13, '.梯子顶端A与地面距离的最大值为3.8m, H1=AB+EH=22.5+12=34.5,H2=0.9, BO CF+13 (2)在Rt△AOB中，cos∠ABO= AB' L:(H,-H)=34,5=0.9=33.6>1.25 cos∠AB0=1.64÷4=0.41,.∠AB0≈66， ∴.CF≥29. ,53°≤∠ABO72°，∴.此时人能安全使用这架梯子 答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F 能力在线 处至少29m远 7.538.56.8 第3课时 与方位角有关的应用问题 9.延长DC交AB于点E,依题意，得 基础在线 AB⊥DE,∠ACE=60°，∠BCE=40°，∠D 1.B2.A3.B =30°， 4.如图，过点C作CD⊥AB于点D, ∴∠CAD=∠D=30° 由题意，得AE∥CD,BF∥CD, E .'.AC=CD=80 m. ∴.∠ACD=∠CAE=60°，∠BCD= 在Rt△ACE中，AE=ACX sin60°=40W3(m), ∠CBF=45 60 CE=ACX cos60°=40(m). 在Rt△ACD中，AC=60√2， ..在Rt△BCE中，BE=CEX tan40°≈33.6(m), ∠CAD=30°， .∴.AB=AE+BE=40√5+33.6≈103(m), CD-AC-30/Z ∴.桥墩AB的高度为103m. 拓展在线 在Rt△CDB中，CD=3OW2, 10.此车已超速.理由如下： ..BC=2CD=60,. 过点A作AD⊥BC,垂足为点D,则 0-1.2(小时)， 6 AD=500m, .从B到达C需要1.2小时. '∠ABD=45°，∠ADB=90°， 5.依题意，得△ACD是直角三角形， ,∴.BD=AD=500m. .∠BCD=90°-37°=53°，∠A=90°-∠BCD=37°， 又∠ACD=30°，∴∠CAD=60° .90 tan60°-CD-BC+5O 在R△AcD中已AAC- smA≈0.60=150c米). AD 500 ,'.BC=500w3-500≈366m. ∠BDC=90°-53°=37°， 车速为5=12.2m/8 ∴.∠BCD+∠BDC=53°+37°=90°， ∴.∠CBD=90°，即△BCD是直角三角形 ,40km/h≈11.1m/s, 又12.2>11.1，.此车已超速 ÷8S-=sin∠BDC,BC=90x0.60-54(米)， 一探究在线·九年 .AB=AC-BC=150-54=96(米). 5.6√2 答：A,B两点间的距离为96米. 6.如图，过点D作DE⊥AB于点E.由题 能力在线 意，得四边形BCDE是矩形 6.B7.号海里/分 ADE AED-30 8.(1)由题意，得∠CAB=30°， ∠CBM=60°， BC-DE-aS82≈152.5C米)， ∴.∠ACB=∠CBM-∠CAB=30° ∴.AE=DE=152.5米， (2)无触礁危险.理由如下： 60 .AB=AE+BE=152.5+61≈214（米） 作CD⊥AB于点D, DM东 7.设B处距离码头O有xkm,由题意，得CO=AO· ,∠ACB=∠CAB,.BC=AB=24X tan∠CAO=(28×0.2+x)tan26.5°≈2.8+0.5x, DO=BO·tan∠DBO=xtan49°≈1.15x, 之=12（海里）， .DC=D0-C0,.1.15x-(2.8+0.5x)=6.4, 在Rt△CBD中，CD=BCX sin∠CBD=6√3≈10.392>9， 解得x≈14.2. 继续向正东方向航行，该货船无触礁危险。 答：渔船在B处时距离码头O有14.2km. 拓展在线 单元综合复习（二）锐角的正弦、余弦、正切 9.(1)过点M作MD⊥NC于点D, 城际铁路线L 热门考点突破 cosa= DMDM V13 ∠道路线 ,解得 道路线1， 1.A2.B3.-1+5 2 4.C5.D MN2√/13 13 DM=2 km 道路线， 6.(1)原式=1-4X号+22×号-1. 2 ∴.l2和l3之间的距离为2km (2)依题意，得∠BAM=30°，BM=√3千米， (2)原式=5×-2×() 2 +1=1. tan30°= 器-瓷-号解得AB=3m, 7.D8.109.A10.17 11.如图，过点D作DE⊥AB于点E, ∴.AC=3+2=5(km) 根据题意，得∠BAC=∠ABC=45°， 又DN=√(2√/13)2-22=4√3(km), ∠BAD=60°， 则NC=DN+BM=5√3(km), AD=10 n mile,BC=8v2 n mile. ∴.AN=√AC+CN=√52+(53)2=10(km), 在Rt△ABC中，AC=BC=8√2 n mile, ∴.AB=√2BC=16(n mile), 10÷150=1亏（小时） 在Rt△ADE中，AD=10 n mile,∠EAD=60°， 市民小强乘坐城际列车从站点A到站点N需要5小时. DE=AD·sin60°=10x5=55(n mile), 2 微专题5构造基本图形解直角三角形的实际应用 AE-7AD-5(n mile), 1.71.8 2.如图，过点C作CE⊥AB于点E,由题 .BE=AB-AE=16-5=11(n mile), 意知，∠CAE=∠CAD+∠DAB=65°， ∴.BD=√DE+BE=√(5√3)2+112=14(n mile). .CE=AC·sin∠CAE≈2X0.91 答：B,D间的距离为14 n mile. 1.82(米). 核心素养提升 :∠CEB=90°，AB与支撑顶杆BC的夹 12.C 角为45°， 综合与实践 坡度 ..BC=√2CE≈2.6（米）」 图② 1.122.B 3.(1)过点D作DH∥AB,交EF于点H,则 E 3.(1)0.78:15.6=(0.78÷0.78):(15.6÷0.78)=1:20, DH EF. “105D 1:20=1:20, ,DH∥AB,.∠CDH=∠DCB=75. 答：这条坡道符合坡度是1：20的轮椅坡道的设计要求， ,'.∠EDH=105°-75°=30° (2)设这条轮椅坡道的垂直高度最高可以设计成x米， 答：台灯灯管DE与水平线的夹角为30°. x:6=1:12 A F CG (2)如图，作DG⊥AB于点G, 12x=1×6 由题意可得，四边形DHFG是矩形，∴.DG=HF. x=0.5 答：这条轮椅坡道的垂直高度最高可以设计成0.5米. 在Rt△DCG中，：sin∠DCG=DC, CD' 4.(1)7.4 .DG≈50X0.97=48.5(cm),∴.HF=DG=48.5cm (2)过点D作DM⊥BC于点M, ,∠BCD=135°， 在Rt△EDH中，'sin∠EDH=F, DE ·∠DCM=45 在Rt△CMD中，∠CMD= ∴.EH=DE·sin30°=40X =20(cm), 90°，CD=6米， 2 ∴.EF=EH+HF=20+48.5=68.5(cm). DM=CM=CD=3VE米， 答：灯管顶端E到写字台AB的距离为68.5cm. 4.延长AB交CD于点H,则CH=EF=2.8m, '在Rt△MED中，∠EMD=90°，∠DEM=30°，DM=3√2， 在Rt△ADH中， ∴.EM=√3DM=3√6米， ,∠DAH=∠ADH=45°， .EC=EM-CM=(3√6-3√2)米， ..AH=DH, .BE=BC-EC=8-(36-3W2)=8+3W2-3√6≈4.9（米）. 在Rt△DBH中，∠DBH=53°，∠BHDEA 答：BE的长为4.9米. =90°， BH-.DH ≈DH, 第3章 一元二次方程 3.1一元二次方程的概念 ÷AB=AH-BH=DH-DH=8m, 基础在线 1.D2.A3.34.B '.DH=32m, 5.(1)一般形式为3x2+3x一1=0， .城市岛的高度CD=DH十CH=32十2.8=34.8≈35(m). 二次项系数是3，一次项系数是3，常数项是一1. 答：城市岛的高度约为35m. (2)一般形式为5x2十2=0， 二次项系数是5，一次项系数是0，常数项是2. 级数学（上）·XJ一 17