1.1 空间向量及其运算（一）—— 空间向量及其线性运算 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.1空间向量及其运算（一）—— 空间向量及其线性运算 知识归纳与题型总结 考点01 空间向量的概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 注：(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 考向01 空间向量的有关概念 【例1】（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【对点1】与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 考点02 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 注：(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 考向01 空间向量的加减运算 【例1】在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 考向02 空间向量加减运算的几何表示 【例2】如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考向03 空间向量的数乘运算 【例3】如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 考向04 空间向量数乘运算的几何表示 【例4】（多选）如图，正方体的棱长为2，点E为棱的中点，点F在正方体表面及其内部运动，则（   ） A．存在点，使得平面 B．当时，直线与直线所成角的余弦值为 C．当时，三棱锥的体积最小值为 D．当点F与点D重合时，三棱锥的外接球表面积为 【对点1】在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【对点2】在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【对点3】如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【对点4】如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 考点03 共线向量定理 1．共线向量定理 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 定义：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. 3．共线向量定理的用途 (1)判定两条直线平行； (2)证明三点共线. 注：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 考向01 空间向量共线的判定 【例1】已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 考向02 由空间向量共线求参数或值 【例2】若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 考向03 空间共线向量定理的推论及应用 【例3】（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【对点1】设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【对点2】已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【对点3】在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 考点04 共面向量定理 1．共面向量 定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．共面向量定理 (1)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (2)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 考向01 判断空间向量共面 【例1】已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 考向02 空间向量共面求参数 【例2】（多选）已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考向03 空间共面向量定理的推论及应用 【例3】已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 【对点1】（多选）若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【对点2】已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【对点3】已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 一、单选题 1．已知动点D在所在的平面内运动，若对于空间中任意一点（不在平面中），都有，则实数λ的值为（    ） A． B．－ C．2 D．－2 2．已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 4．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 5．如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 6．在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 7．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 8．已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，，其中，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．（多选）下列命题正确的有（    ） A．空间中不相交的两条直线是异面直线 B．已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则 C．若两个非零向量，满足，则A，B，C，D四点共线 D．若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线，则存在，使得，且 10．（多选）如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（     ） A．存在点，使平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积不是定值 D．若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 11．（多选）在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（    ） A．若时，直线与直线的夹角余弦值为 B．若时，周长的最小值为 C．若时，三棱锥的体积为定值 D．当时，有且仅有一个点，使得 三、填空题 12．已知四点共面，对空间任意一点，若，则______. 13．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 14．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 15．已知四面体，点在内，满足的面积之比，在线段上，直线交平面于点，且，则四面体与的体积之比为__________. 四、解答题 16．如图，已知四棱锥中，底面是正方形，是正三角形，且平面平面，． (1)求二面角的正切值； (2)若点满足，点满足，且平面，求的值； (3)若点分别为的中点，在图中作出四棱锥与四棱锥相交的公共部分，并直接写出它的体积（不写求解过程）． 17．如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 18．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 19．如图，已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量，，，． (1)求证：四点E，F，G，H共面； (2)求证：平面ABCD∥平面EFGH． 20．已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线，，分别交于点，，且，点在直线上，为的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)证明，四面体中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形； (3)证明，对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.1空间向量及其运算（一）—— 空间向量及其线性运算 知识归纳与题型总结 考点01 空间向量的概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 注：(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 考向01 空间向量的有关概念 【例1】（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 【对点1】与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接求解，再结合选项即可求解. 【详解】由题知， 所以与向量共线的单位向量为，即或， 所以，选项中只有满足. 考点02 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 注：(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 考向01 空间向量的加减运算 【例1】在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加减法运算，. 考向02 空间向量加减运算的几何表示 【例2】如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 考向03 空间向量的数乘运算 【例3】如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】设平面与直线的交点为，由题意可得点在线段的延长线上，进而根据面面平行、线面平行的性质得到，，可得四边形为平行四边形，进而结合空间向量的线性运算可得，进而求解即可. 【详解】设平面与直线的交点为， 由于平面截所得截面是一个五边形， 则点在线段的延长线上， 在平行六面体中，平面平面， 因为平面，所以平面， 又平面，平面平面，则，同理可得， 所以四边形为平行四边形， 则， ， 由于点在线段的延长线上，则，即， 又点F在棱上，则，且时，点F与点重合，此时截面为四边形，不满足题意， 因此，则的取值范围是. 考向04 空间向量数乘运算的几何表示 【例4】（多选）如图，正方体的棱长为2，点E为棱的中点，点F在正方体表面及其内部运动，则（   ） A．存在点，使得平面 B．当时，直线与直线所成角的余弦值为 C．当时，三棱锥的体积最小值为 D．当点F与点D重合时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】对于A，在上取一个点，使得，通过线面平行性质定理得到，再通过必相交，推出矛盾，即可判断，对于B，取的中点，通过，得到即为直线与直线所成角，结合余弦定理即可判断，对于C，由，结合是在以为球心，半径为的球面上，即可判断，对于D，将三棱锥外接球转换成直三棱柱的外接球，即可判断. 【详解】在上取一个点，使得，再取的中点，连接， 则平面平面， 若平面， 因为平面， 由线面平行的性质定理可得， 而，可得，且，故必相交，矛盾，故A错误， 由，可得为的三等分点，且， 取的中点，， 又为中点， 故在正方形中， 又，则为平行四边形， 故，所以， 则即为直线与直线所成角， 又， 由余弦定理可得，故B正确， 当时，易知在以为球心，半径为的球面上，（正方体内部）， 由， 四面体为正四面体， 由正弦定理得：底面外接圆半径为， 所以点到平面的距离为， 所以，故C正确， 当重合时，三棱锥即为， 其外接球就是直三棱柱的外接球， 由， 由余弦定理可得：， 所以， 所以的外接圆半径为， 所以外接球的半径， 所以球的表面积为，故D正确. 【对点1】在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的三角形法则和相反向量的性质，逐步化简向量表达式即可得到结果. 【详解】由于，故C正确. 【对点2】在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 所以. 【对点3】如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 【对点4】如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 考点03 共线向量定理 1．共线向量定理 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 定义：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. 3．共线向量定理的用途 (1)判定两条直线平行； (2)证明三点共线. 注：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 考向01 空间向量共线的判定 【例1】已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 考向02 由空间向量共线求参数或值 【例2】若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 考向03 空间共线向量定理的推论及应用 【例3】（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 【对点1】设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据空间向量共线和共面的定义逐一判断即可. 【详解】①由，所以与共线，因此本序号结论正确； ②， 所以与共线，所以本序号结论不正确； ③由上可知：， 所以由， 所以，，共面，因此本序号说法正确； ④由与共线，所以，，是共面向量，因此本序号说法不正确； 故选：A 【对点2】已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 【对点3】在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，设正四面体的棱长为4，则，， ，则为正三角形，所以， 由余弦定理得， ， 故. 考点04 共面向量定理 1．共面向量 定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．共面向量定理 (1)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (2)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 考向01 判断空间向量共面 【例1】已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 【答案】 【分析】由条件可得存在实数，使得，再用向量 表示出向量，即可得出答案. 【详解】， ， ， P，A，B，C四点共面，则存在实数，使得 ， 所以， 即， 所以 ，解得. 考向02 空间向量共面求参数 【例2】（多选）已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为平面外一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 考向03 空间共面向量定理的推论及应用 【例3】已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 【答案】2 【分析】根据空间向量共面定理的推论求解. 【详解】因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2. 【对点1】（多选）若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】空间基底判定：三个向量不共面才能构成空间基底； 若存在不全为 0 实数使，则三向量共面，不能作为基底， A：因为，系数不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； B：因为，系数全为 1 不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； C：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底； D：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底. 【对点2】已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，，， 设， 则，解得， 则“”是“A，B，C，M四点共面”的充要条件. 【对点3】已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 一、单选题 1．已知动点D在所在的平面内运动，若对于空间中任意一点（不在平面中），都有，则实数λ的值为（    ） A． B．－ C．2 D．－2 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以． 又动点D在所在的平面内运动，所以，解得． 2．已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 3．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 4．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 5．如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，. 6．在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 7．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共面的推论求出，再根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】根据空间向量共面定理：若点在平面内，且， 则系数和满足，解得： , 已知正三棱锥侧棱长，底面边长, 在中，，故，得, 同理在中，，故，得, 展开： 因此结果为. 8．已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，，其中，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】以空间向量为工具，将几何中的共面问题转化为向量系数关系，再将体积比问题转化为函数最值问题，通过代数方法求解即可. 【详解】设平面与棱分别交于点，设，其中， 直线与平面交于点， 由点为外接球的球心，有， 又由，得到， 因为四点共面，所以，即. 易知：，其中为棱之间的夹角， 下面求的取值范围， 由，又，可得，其中， 令，则，因此， 又因为，，所以. 故的最大值为， 故选：B. 二、多选题 9．（多选）下列命题正确的有（    ） A．空间中不相交的两条直线是异面直线 B．已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则 C．若两个非零向量，满足，则A，B，C，D四点共线 D．若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线，则存在，使得，且 【答案】BD 【分析】依次判断每个命题，利用空间直线位置关系、向量加法法则、共线向量性质、共面向量定理判定真假． 【详解】对于A，空间中不相交的两条直线是异面直线或平行直线，故A项错误； 对于B，已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则，故B项正确； 对于C，若两个非零向量，满足，则A，B，C，D四点共线或，故C项错误； 对于D，若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线， 由共面向量定理，存在实数使得， 展开，整理得 ， 对比，可得， 所以，故D项正确． 10．（多选）如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（     ） A．存在点，使平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积不是定值 D．若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【分析】根据线面垂直的判定定理可得平面，判断A，对于B：可证平面，即可得面面垂直；对于C：根据平行关系可知点P到平面的距离相等，结合锥体的体积公式分析判断；对于D：作辅助线，分析可知所求截面即为四边形，进而可得结果. 【详解】对于A，连接，如图， 由于平面，平面，故; 又在正方形中，平面， 故平面，平面，故； 同理可证，而平面， 故平面，由于点为线段上的动点， 当P与B重合时，即有平面，A正确； 对于选项B：结合图可知平面即为平面， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面，故B正确； 对于选项C：因为平面平面，且平面， 则点P到平面的距离等于正方体棱长2，即三棱锥的高为定值， 又因为的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故C错误； 对于选项D：连接并延长交BC于点M， 因为，则，可知M为BC的中点， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则，， 且，，可得，， 可知四边形为平行四边形，则， 同理可得，所以， 可知所求截面即为四边形，可得， 即四边形为菱形，且， 所以所求截面面积为，故D正确. 11．（多选）在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（    ） A．若时，直线与直线的夹角余弦值为 B．若时，周长的最小值为 C．若时，三棱锥的体积为定值 D．当时，有且仅有一个点，使得 【答案】AC 【分析】根据平行求出直线与直线所成的角，解三角形得解判断A，取特殊点判断B，由点到面的距离为定值判断C，点位于或时满足即可判断D. 【详解】对于A，当时，，如图， 所以点为线段的中点，因为， 所以直线与直线的夹角即为直线与直线的夹角， ， 同理可得，在等腰中，故A正确； 对于B，当时，根据三点共线的充要条件可知，点P在线段上， 当点P是线段的中点时，可知周长为，故B错误； 对于C，当时，点P在线段上， 因为平面，所以点到平面的距离为定值， 所以为定值，故C正确； 对于D，因为，，，取，中点分别为，， 所以点在线段上运动，当点位于或时，，故D错误. 三、填空题 12．已知四点共面，对空间任意一点，若，则______. 【答案】 【分析】根据共面定理得到，再化为，即可求解. 【详解】因为四点共面， 所以，使得， 即， 又， 故，所以. 13．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 14．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 15．已知四面体，点在内，满足的面积之比，在线段上，直线交平面于点，且，则四面体与的体积之比为__________. 【答案】10 【分析】设，由题意结合向量共线定理可得，进而可得，于是，进而可求四面体与的体积之比. 【详解】如图，设，且表示到的距离，表示到的距离， 由的面积之比，所以， 设表示到的距离，表示到的距离， 同理，即，    则，即， 所以， 因为B，，F三点共线，则，解得， 由，可得，则，且， 于是，即， 若分别表示到平面的距离， 所以. 四、解答题 16．如图，已知四棱锥中，底面是正方形，是正三角形，且平面平面，． (1)求二面角的正切值； (2)若点满足，点满足，且平面，求的值； (3)若点分别为的中点，在图中作出四棱锥与四棱锥相交的公共部分，并直接写出它的体积（不写求解过程）． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）由题意作出所求二面角的平面角，解直角三角形即可求解； （2）设的中点为G，连接，连接,设交点为H，推出平面平面，继而推出，即可求解； （3）先确定四棱锥与四棱锥相交的公共部分的形状，再结合割补法即可求解. 【详解】（1）设的中点为，连接， 是正三角形，故，而平面， 平面平面，平面平面，故平面， 平面，故； 结合，可得， 底面是正方形，则 ， 而平面，故平面， 平面平面，平面平面， 故为二面角的平面角， 在中，， 即二面角的正切值为. （2）设的中点为G，连接，连接,设交点为H， 底面是正方形，则H为的中点， 由于，故，结合，可得， 即E为的中点，则在中有， 平面，平面，故平面， 结合平面，且平面，故平面平面， 又平面平面，平面平面， 故，结合G为的中点，可知F为的中点， 即，而，可得, （3）如图，连接，则，而，故， 则可得共面，设交于点R，交于点S， 则四棱锥与四棱锥相交的公共部分为以为顶点的五面体， 该五面体的体积等于, 由题意可知P到底面的距离为，则N到底面的距离为， 故， ， 由于，故， 则，结合题意知,则, 由平面平面，平面平面，，平面， 得平面， 故； 又，则，则， 故，则，故, 故 ， 即四棱锥与四棱锥相交的公共部分的体积为. 17．如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1) 平面平面， 平面，平面平面， 而平面平面， 平面平面． (2) 由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面，. (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到平面，再结合面面平行的判定定理求解即可. （2）利用面面平行的性质定理求解即可. （3）结合题意与空间向量的线性运算得到，最后利用空间向量基本定理建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，作出符合题意的图形， ，点是的中点， ，，点是的中点，． ，且三棱锥各棱长均为1， ，． 点在上且与端点不重合，，解得． ，， 又， 而， 由（2）知，， ，使得， 即， 由空间向量基本定理可得，解得. 18．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 【答案】(1) 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． (2) ， 所以. (3) . 【分析】（1）由得到，，共面，进而得到四点共面；同理可证四点共面. （2）根据空间向量的线性运算得到，进而得到向量平行. （3）根据空间向量的线性运算即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 19．如图，已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量，，，． (1)求证：四点E，F，G，H共面； (2)求证：平面ABCD∥平面EFGH． 【答案】(1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴E，F，G，H共面 (2) 证明：∵，∴， 又平面EFGH，平面EFGH， ∴∥平面EFGH． ∵，∴， 又平面EFGH，平面EFGH， ∴∥平面EFGH． 又，平面ABCD. 所以，平面ABCD∥平面EFGH． 【分析】（1）根据向量的线性运算可得,由空间向量,可判断向量共面,进而可得点共面. （2）根据向量共线可得直线与直线平行,进而可证明线面平行,进而可证明面面平行. 【详解】（1）略 （2）略 20．已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线，，分别交于点，，且，点在直线上，为的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)证明，四面体中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形； (3)证明，对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上. 【答案】(1)； (2)证明：不妨设是四面体最长的棱，则在，中，，， ∴，即， 故，至少有一个大于，不妨设， ∴，，构成三角形. (3)证明：设，，，由（1）知. 又，有，，， ∴， ， ， 设，又 ∴ 因为平面，所以存在实数，使得：， ∴ ∴，消元：在有解. 当时，，即； 当时，，解得. 综上，有. 所以对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上. 【分析】（1）利用向量加减法的几何意义有，，即可求； （2）假设四面体的最长棱为，只需以为顶点的其它两组棱中或即得证至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形； （3）由平面，令结合向量共面定理有，即得一元二次方程在有解，求的范围且范围长度为即得证. 【详解】（1）∵，而， ∴， 所以. （2）略 （3）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $