第2讲：空间向量基本定理讲义【五大题型+知识归纳+高分精练】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，作为平面向量基本定理的延伸，构建空间基底、正交分解的知识支架，涵盖基底判断、向量表示、位置关系证明及夹角长度计算等应用方向。 资料以“题型+例题+变式”设计，结合四棱锥、平行六面体等几何体，引导学生用数学眼光抽象空间向量关系，通过推理运算培养数学思维，用向量语言表达空间问题。课中助力教师分层教学，课后练习题帮助学生巩固提升，查漏补缺。

第2讲：空间向量基本定理 题型一、空间的基底 2 题型二：用空间基底表示向量 4 题型三、空间向量基本定理 5 题型四、求夹角、长度问题 7 题型五、空间向量证明平行、共面、垂直问题 11 知识点1:空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 知识点2:空间向量的正交分解 单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底， 常用{i，j，k}，a可以分解成三个向量，a＝xi＋yj＋zk，像这样叫做把空间向量进行正交分解。 知识点3：空间向量基本定理 1、证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2、求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3、求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 题型一、空间的基底 【例1】．（25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故A错误； 对于B，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在实数使得， 又因为构成空间的一个基底，则，方程组无解， 所以不共面，可以作为空间一个基底，故C正确； 对于D，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故D错误. 【变式1】．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 【变式2】．（25-26高二上·广东清远·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】以长方体为例，令，数形结合判断各项对应向量是否共面即可. 【详解】如下图示，令， 则，，，，，，，    A：由图，，不共面， B：由图，，不共面， C：由图，，不共面， D：由图，，共面. 故选：D 题型二：用空间基底表示向量 【例2】．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以 【变式1】．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . 【变式2】．（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，， 所以 . 题型三、空间向量基本定理 【例3】．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 【变式1】．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 【变式2】．（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）在四面体中，点满足，为的中点，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】用表示求出即可得解. 【详解】由题意知， 因为，所以，则. 故选：B 题型四、求夹角、长度问题 【例4】．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）连接，如图： 因为，，， 在，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形， 故， 因为∥且， 所以， 又为线段中点 所以， 在中，， 故平行四边形中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 【变式1】．（25-26高二下·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ，，又，， ． （2）， ，， ， ． 【变式2】．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． (1)以为一组基底表示向量； (2)求MN的长度； (3)求，两向量夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以， 所以 ， 所以． （3）因为， 所以 ， ， 所以． 题型五、空间向量证明平行、共面、垂直问题 【例5】．（25-26高二下·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 【详解】（1）设，且，分别为，的中点. 所以.则 ，所以. (2)由题意知，，因为，所以， 所以，，， 不妨设，即，解得.即 ，根据共面向量定理，共面，即四点共面. 【变式1】．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，． (1)用表示，并求； (2)求与夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由． 【答案】(1)，(2) (3)存在点且. 【详解】（1）由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． （3）当，可设，， 若，，是共面向量，即存在，，令， 即，由，解得，，， 故存在点且. 【变式2】．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，为的中点 【详解】（1）； （2）若P为棱的中点，则，，所以 ； （3）设， 则，由（1）知，所以，即， 化简得，解得， 所以这样的点存在，且为的中点. 一、单选题 1．（25-26高一下·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 2．（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 3．（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在三棱柱中，由，得，由点是的中点，得， 所以 . 4．（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以， 因为、、不共面，所以，所以，故. 5．（25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）如图，在空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用向量表示，再利用向量模长公式结合数量积计算． 【详解】因为，，所以． 又，，， 所以，，， 所以 ， 所以．故选：A． 6．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选：C. 7．（25-26高二上·山东潍坊·期末）在平行六面体中，为上一点，且，若，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得：，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意得：， 所以 ， 所以， 故选：C. 二、多选题 8．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（    ） A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【详解】选项A，由点在线段上，且，所以， 所以，即，所以， 由点，分别是边和的中点，连接，如图所示： 所以， 所以，故A正确； 选项B，由题意知，且向量两两夹角为， 所以， 由， 所以 ， 所以，故B错误； 选项C，由，故C正确， 选项D，向量在方向上的投影向量为：，故D错误. 9．（2026·江苏盐城·模拟预测）平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，由可判断，对于B，由空间向量基本定理可判断，对于C，通过可判断，对于D，通过向量夹角公式可判断. 【详解】设，，， 由题意得：，三个向量两两夹角为， 因此两两点积， 选项A， ，则 ， 因此，A正确； 选项B ，平行六面体中，对比得， ，B错误； 选项C  ，， 因此，C错误； 选项D ， ， ； 即； 因此，D正确. 10．（25-26高二下·江苏南通·期中）关于空间向量，以下说法正确的有（   ） A．向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，满足，则，，三点共线 【答案】ABD 【详解】选项A：若，则，故A正确； 选项B：空间四点共面的充要条件是： 对空间任意一点，存在实数，使得，且， 所以，因此四点共面，故B 正确； 选项C：因为，所以为共面向量，因此不能作为基底，故C 错误； 选项D：若，且，则根据共线向量定理的推论，三点共线，故D正确. 11．（25-26高二下·广东潮州·期末）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m. 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. 13．（25-26高二下·江苏泰州·期末）在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 【答案】 【分析】用基底表示出，再根据向量数量积运算律计算. 【详解】如图所示，记，以为基底. 由题意，. . . . 14．（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 【答案】 【详解】在平行六面体中，， 则， 而向量，且不共面， 所以，. 15．（25-26高二下·河南濮阳·开学考试）如图，在三棱锥中，，M，N分别为BC，AD的中点，则__________． 【答案】1 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算即可得. 【详解】由题意得，，，，， 则，，， 因为， 所以. 四、解答题 16．（25-26高二下·江苏·期中）如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且． (1)求证：四点共面； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)6. 【详解】（1）在平行六面体中，令，则是空间的一个基底， 由，得，， 因此，而点直线，则，所以四点共面. （2）依题意，， 而， 则， 因此， 所以的长度为6. 17．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在四面体中：，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． (1)求； (2)设． ①用向量表示； ②求的值． 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）由题意可知：，因为,,, 所以 （2）由题可得：因为是的中点，所以， 且，所以，又因为， 所以 . 根据题意即：. 易知， 所以 所以 18．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ，又， 所以， 所以； （2）因为， ， 所以，. 19．（25-26高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，.    (1)用向量表示向量； (2)若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； (3)若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且. 已知为空间一点，满足，，对于任意实数，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3)3 【详解】（1）易知为与的中点， 因为 ; （2）设平行六面体的底面积为，高为， 则， 则三棱锥的高也为， 则， 所以剩余几何体的体积； （3）因为， 所以， 又因为，， ， 令， 则其开口向上，对称轴为， 所以当时，取最小值， 为， 所以时，取最小值，为9， 即的最小值为9， 所以的最小值为3. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲：空间向量基本定理 、 题型一、空间的基底 2 题型二：用空间基底表示向量 2 题型三、空间向量基本定理 3 题型四、求夹角、长度问题 4 题型五、空间向量证明平行、共面、垂直问题 6 知识点1:空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 知识点2:空间向量的正交分解 单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底， 常用{i，j，k}，a可以分解成三个向量，a＝xi＋yj＋zk，像这样叫做把空间向量进行正交分解。 知识点3：空间向量基本定理 1、证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2、求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3、求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 题型一、空间的基底 【例1】．（25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·广东清远·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型二：用空间基底表示向量 【例2】．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 题型三、空间向量基本定理 【例3】．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【变式2】．（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）在四面体中，点满足，为的中点，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 题型四、求夹角、长度问题 【例4】．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【变式1】．（25-26高二下·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 【变式2】．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． (1)以为一组基底表示向量； (2)求MN的长度； (3)求，两向量夹角的余弦值． 题型五、空间向量证明平行、共面、垂直问题 【例5】．（25-26高二下·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 【变式1】．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，． (1)用表示，并求； (2)求与夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由． 【变式2】．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（25-26高一下·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）如图，在空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 7．（25-26高二上·山东潍坊·期末）在平行六面体中，为上一点，且，若，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（    ） A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 9．（2026·江苏盐城·模拟预测）平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 10．（25-26高二下·江苏南通·期中）关于空间向量，以下说法正确的有（   ） A．向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，满足，则，，三点共线 11．（25-26高二下·广东潮州·期末）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 三、填空题 12．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 13．（25-26高二下·江苏泰州·期末）在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 14．（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 15．（25-26高二下·河南濮阳·开学考试）如图，在三棱锥中， ，M，N分别为BC，AD的中点，则__________． 四、解答题 16．（25-26高二下·江苏·期中）如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且． (1)求证：四点共面； (2)求的长度． 17．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在四面体中：，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． (1)求； (2)设． ①用向量表示； ②求的值． 18．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 19．（25-26高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，.    (1)用向量表示向量； (2)若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； (3)若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且. 已知为空间一点，满足，，对于任意实数，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $