专题1.1 空间向量及其线性运算（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的概念、线性运算及共线（面）向量定理，从定义、特殊向量到加减数乘运算，再到共线共面判定，构建从基础到应用的学习支架。 资料通过10类题型分层设计，例题与变式题结合，通过概念辨析（如单位向量、共线向量）和几何体中运算（如正方体、四面体），培养抽象能力与推理意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题1.1 空间向量及其线性运算（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 空间向量的有关概念】 2 【题型2 空间向量的加减运算】 4 【题型3 空间向量的线性运算】 6 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 8 【题型5 空间向量共线的判定】 12 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 14 【题型7 空间共线向量定理的推论及应用】 16 【题型8 判定空间向量共面】 18 【题型9 由空间向量共面求参数】 20 【题型10 空间共面向量定理的推论及应用】 23 考点1 空间向量的概念 知识点1 空间向量的概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】：(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解题思路】根据向量的定义（大小、方向）、零向量性质、共线向量的方向特征，逐一判断各选项的正确性. 【解答过程】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【解题思路】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【解答过程】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·山东·阶段检测）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【解答过程】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 考点2 空间向量的线性运算 知识点2 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】：(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【题型2 空间向量的加减运算】 【例2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】运用向量加减法的法则即可得解. 【解答过程】. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的加减运算进行求解即可. 【解答过程】因为平行六面体， 所以，， 所以. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高二上·云南昭通·期中）在四面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量的加减运算计算即可. 【解答过程】根据向量的加法、减法法则，得， 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量的加法及减法运算计算判断即可. 【解答过程】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 故选：B. 【题型3 空间向量的线性运算】 【例3】（25-26高一下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量的线性运算即可求解. 【解答过程】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间向量的线性运算求解即可. 【解答过程】由题意， , 故选：A. 【变式3-2】（25-26高二上·上海·课后作业）化简下列算式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量数乘运算即可求得答案； （2）根据向量的线性运算，即可求得答案. 【解答过程】（1） . （2） . 【变式3-3】（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】结合图形，根据空间向量的线性运算依次化简求解即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 【例4】（2026·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解. 【解答过程】如图，， ， ，. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间向量的运算法则确定，得到答案. 【解答过程】， 故，，，. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值.    （1）； （2）. 【答案】(1)x＝1，y＝－1，z＝1 (2)x＝，y＝，z＝1 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算算出答案即可； （2）根据空间向量的线性运算算出答案即可. 【解答过程】(1)因为， 又， 所以x＝1，y＝－1，z＝1. (2)因为 ， 又， 所以x＝，y＝，z＝1. 【变式4-3】（25-26高二·湖南·课后作业）如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由向量加法的三角形法则和四边形法则得和，由此即可求出结果； （2）由向量加法的三角形法则和四边形法则得和，由此即可求出结果； （3）因为，由（1），（2）可知，，由此即可求出结果. 【解答过程】（1）解：由向量加法的三角形法则得，， 由平行四边形法则和向量相等得，； 所以， 所以； （2）解：由向量加法的三角形法则得，， 由四边形法则和向量相等得，； 所以， 所以． （3）解： 由（1），（2）可知， ， 所以. 考点3 共线向量定理与共面向量定理 知识点3 共线向量定理 1．共线向量定理 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 定义：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. 3．共线向量定理的用途 (1)判定两条直线平行； (2)证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 知识点4 共面向量定理 1．共面向量 定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．共面向量定理 (1)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (2)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【题型5 空间向量共线的判定】 【例5】（25-26高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【解答过程】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 【变式5-1】（25-26高三上·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【解答过程】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【解题思路】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断. 【解答过程】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 【变式5-3】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解题思路】（1）由已知得，由此可得答案； （2）由已知得 ，由此可得证. 【解答过程】解：（1）因为， ， 所以， 所以； （2） ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 【例6】（25-26高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【解答过程】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】由，列出方程求解即可. 【解答过程】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A. 【变式6-2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【解答过程】因为 . 因为、、三点共线，所以. 所以 . 故选：D. 【变式6-3】（25-26高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解题思路】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【解答过程】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即 ， ∴，，解得． 故选：C． 【题型7 空间共线向量定理的推论及应用】 【例7】（25-26高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【解答过程】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 ， 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【解题思路】根据三点共线的推理即可求得，. 【解答过程】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B. 【变式7-2】（25-26高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则__________． 【答案】 【解题思路】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得. 【解答过程】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 【变式7-3】（25-26高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【解题思路】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【解答过程】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 【题型8 判定空间向量共面】 【例8】（2026高二上·全国·专题练习）若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解题思路】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案． 【解答过程】A选项：，所以，，是共面向量； B选项：，所以，，是共面向量； C选项：， 所以，，是共面向量； D选项：令，即， 则，显然方程组无解，故，，不是共面向量． 故选：D． 【变式8-1】（25-26高二上·安徽铜陵·阶段检测）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【解题思路】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【解答过程】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 【变式8-2】（25-26高二上·全国·期中）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【解题思路】取，，，由向量的线性运算得与，共面可得答案. 【解答过程】取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 【变式8-3】（25-26高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【解答过程】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面. 【题型9 由空间向量共面求参数】 【例9】（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据四点共面的向量关系，即可求得答案. 【解答过程】因为，，，四点共面，且， 所以，解得. 故选：A. 【变式9-1】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）为空间任意一点，点与共面，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量共面的性质，整理计算，即可得答案. 【解答过程】因为， 所以， 因为点与共面， 所以，解得. 故选：D. 【变式9-2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）在四面体OABC中，空间的一点M满足，若共面，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】法一：根据空间向量运算结合共面向量定理即可得到相关方程组，解出即可； 法二：利用四点共面的结论即可. 【解答过程】法一：由题意，， ， 共面，所以存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得 法二：由共面得四点共面， 则根据四点共面的充要条件可得，即． 故选：A. 【变式9-3】（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案. 【解答过程】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 【题型10 空间共面向量定理的推论及应用】 【例10】（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且 ，若，，，四点共面，则实数的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用向量的共面定理及推论，得到，即可求解. 【解答过程】由四点共面，则存在实数，使得， 可得，即， 可得， 因为，即， 所以，解得. 故选：C. 【变式10-1】（25-26高二上·四川达州·期中）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】借助平面向量线性运算及空间中四点共面性质可得，再利用基本不等式“1”的活用计算即可得解. 【解答过程】因为，则， 所以， ， 当且仅当“”即“”时取“”， 故的最小值为 故选：B. 【变式10-2】（25-26高二上·广东茂名·阶段检测）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量共面的推论求解即可. 【解答过程】，即， 即， 四点共面且任意三点不共线， ，． 故选：D. 【变式10-3】（25-26高二上·广东深圳·期中）空间中有5个点，，，，，若不共线的，，，四点在平面内，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间共面向量定理的推论求的值即可． 【解答过程】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得． 故选：C． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 空间向量及其线性运算（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 空间向量的有关概念】 2 【题型2 空间向量的加减运算】 3 【题型3 空间向量的线性运算】 4 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 5 【题型5 空间向量共线的判定】 7 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 9 【题型7 空间共线向量定理的推论及应用】 9 【题型8 判定空间向量共面】 10 【题型9 由空间向量共面求参数】 11 【题型10 空间共面向量定理的推论及应用】 11 考点1 空间向量的概念 知识点1 空间向量的概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】：(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【变式1-1】（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【变式1-2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【变式1-3】（25-26高二上·山东·阶段检测）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A． B． C． D． 考点2 空间向量的线性运算 知识点2 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】：(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【题型2 空间向量的加减运算】 【例2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·云南昭通·期中）在四面体中，（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量的线性运算】 【例3】（25-26高一下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·上海·课后作业）化简下列算式： (1)； (2)． 【变式3-3】（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 【例4】（2026·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（25-26高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值.    （1）； （2）. 【变式4-3】（25-26高二·湖南·课后作业）如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值． (1)； (2)； (3)． 考点3 共线向量定理与共面向量定理 知识点3 共线向量定理 1．共线向量定理 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 定义：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. 3．共线向量定理的用途 (1)判定两条直线平行； (2)证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 知识点4 共面向量定理 1．共面向量 定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．共面向量定理 (1)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (2)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【题型5 空间向量共线的判定】 【例5】（25-26高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三上·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【变式5-3】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 【例6】（25-26高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式6-2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【题型7 空间共线向量定理的推论及应用】 【例7】（25-26高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【变式7-2】（25-26高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则__________． 【变式7-3】（25-26高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【题型8 判定空间向量共面】 【例8】（2026高二上·全国·专题练习）若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式8-1】（25-26高二上·安徽铜陵·阶段检测）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【变式8-2】（25-26高二上·全国·期中）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【变式8-3】（25-26高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【题型9 由空间向量共面求参数】 【例9】（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）为空间任意一点，点与共面，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）在四面体OABC中，空间的一点M满足，若共面，则（   ） A． B． C． D．1 【变式9-3】（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【题型10 空间共面向量定理的推论及应用】 【例10】（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且 ，若，，，四点共面，则实数的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【变式10-1】（25-26高二上·四川达州·期中）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高二上·广东茂名·阶段检测）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则（    ） A．5 B．2 C． D． 【变式10-3】（25-26高二上·广东深圳·期中）空间中有5个点，，，，，若不共线的，，，四点在平面内，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $