专题06 二次函数的综合应用压轴题（1）---线段、周长、面积问题 同步练习 - 2026‑2027学年人教版九年级数学上册

专题06 二次函数的综合应用压轴题（1） ---线段、周长、面积问题 题型一 二次函数与线段的综合 1．如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 2．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 3．已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 4．已知抛物线（为常数，）的顶点为D，与y轴交于 点C． (1)当时，求顶点D的坐标； (2)直线与抛物线交于A，B两点（点B在y轴的右侧）． ①若，求的值； ②设P为A，B两点间抛物线上的一个动点（含端点A，B）．过点P作，垂足为Q，若线段长的最大值为5，求的值． 题型二 二次函数与线段和差的综合 5．如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 8．已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 题型三 二次函数与周长的综合 9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标． 10．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 11．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）求△ABC的面积； （3）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标． 12．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)求的面积． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四 二次函数与面积的综合 13．如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 14．如图，直线经过点，抛物线经过点，点在线段上，轴，交抛物线对称轴右侧部分于点，且． (1)设点，求点的纵坐标（用两种不同的含的代数式表示） (2)连接，求的面积． 15．如图，已知抛物线过与且有最小值． (1)求此二次函数的解析式； (2)抛物线与轴交于点，在抛物线上存在一点使的面积为24，求出点的坐标． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点和，交y轴于点 C，轴，交抛物线于点 D． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上是否存在一点Q，连接，，使 ，若存在，请直接写出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点P是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线下方，当点移动到什么位置时能使的面积最大？求出此时点坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，请直接写出的面积的最大值．（直接写答案，不需要过程） 19．如图，抛物线与x轴交与，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在第二象限内的抛物线上的是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 20．如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数的综合应用压轴题（1） ---线段、周长、面积问题 题型一 二次函数与线段的综合 1．如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值是2，此时的P点坐标是 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）运用待定系数法解答即可； （2）求出直线l的解析式，设点P的坐标为，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ． 把A，B两点坐标代入解析式，得 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， 直线l的解析式为； 轴， 设点P的坐标为，则， ． ∴当时，有最大值是2， 当时，， ， 的最大值是2，此时的P点坐标是． （3）解：，， ． ∵在中，， ． 轴，， ． 在中，，． ， ． 在中，，， ， ．此时最大， ， 的最大值是． 2．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，然后配方成顶点式即可； （2）首先求出直线的解析式为，设，则，，则，，由题意可得方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵ ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为 如图，设，，则 ∵抛物线对称轴为直线，轴 ∴点M和点N关于对称轴对称 ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴或 当时，整理得 解得，（舍去） ∴； 当时，整理得 解得（舍去）， ∴； 综上所述，点P点坐标为或． 3．已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)为定值3，证明见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，． ∴， ∴的值为定值； （3）设，则， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴当时，线段长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 4．已知抛物线（为常数，）的顶点为D，与y轴交于 点C． (1)当时，求顶点D的坐标； (2)直线与抛物线交于A，B两点（点B在y轴的右侧）． ①若，求的值； ②设P为A，B两点间抛物线上的一个动点（含端点A，B）．过点P作，垂足为Q，若线段长的最大值为5，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）将m的值代入到抛物线解析式，再将解析式配成顶点式即可求得顶点的坐标； （2）令求出C点坐标，联立直线与抛物线的解析式求出A、B的坐标，①根据点的坐标表示出，即可求出此时m的值；②作且与抛物线相切于P点，直线交x轴于G点，过P点作于Q点，可知此时线段为最大值，过G点作于D点，则有，根据直线的图像可知，根据矩形的性质可知，则可得到直线的解析式，根据与抛物线只有一个交点，即可求得m的值． 【详解】（1）解：将代入到中，得， 配成顶点式得：， 则顶点D的坐标为； （2）解：令，可得，则C点坐标为， 根据题意联立： ，解得：或者， ∵点B在y轴的右侧， ∴B点坐标为，A点坐标为， ①∵B点坐标为，A点坐标为，C点坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）； ②作，直线交x轴于G点，过P点作于Q点， 当直线与抛物线只有一个交点时，此时线段的值最大为5， 过G点作于D点，如图， ∵直线的解析式为， ∴直线与x轴所夹锐角为，即， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴则直线相当于是将直线向右平移了个单位得到的， ∴直线的解析式为：， ∴联立， 可得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相同的解， ∴方程的， 解得， 即m的值为：． 题型二 二次函数与线段和差的综合 5．如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后设，则，然后再分情况或，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将分别代入， 得，解得， 直线的解析式为， 设，则， 为的三等分点， 或， 即或， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去） 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②最大值，此时 【分析】（1）A，D两点既在直线上又在抛物线上，先通过直线方程求出A，D两点坐标，再代入抛物线方程即可． （2）①根据为直角三角形进行分类讨论，依据不同情况时具有的几何特征找出等量关系列方程求解． ②利用隐含的角度关系，得出，将所求的目标进行转化，将双变量化为单变量再通过函数求出最值． 【详解】（1）解：∵A点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， ∵D点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， 又∵点A，点D在抛物线上， 则有，解得， 故抛物线的解析式为． （2）由题设 ， ①∵点A，点C为直线与坐标轴的两交点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴当为直角三角形时有两种情况，或， 1）当时，， ∵轴，即， ∴为等腰直角三角形， 则有， ∴，解得或（舍）， ∴， 2）当时，点P与点B重合，即此时点P在x轴上 ， ∴令，解得或（舍）， ∴， 综上为直角三角形时，点P坐标为或． ②∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即，此时符合有． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由一次函数的解析式求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点M作轴，交于点D，设，则，可得，则可得到，据此可得答案； （3）作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接，则，可证明当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长；过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T，求出的长，根据，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴， ∵抛物线经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点M作轴，交于点D， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， 此时， ∴当的面积最大时，点M的坐标为； （3）解：如图3-1所示，作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接， 在中，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长； 如图3-2所示，当有最小值时，过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T， 由（2）得点M的坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 8．已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①连接，根据题意可得点，，从而得到当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即，再求出点，可证明四边形为菱形，即可求解； ②在射线上取点G，使，连接，证明为等腰直角三角形，可得，可证明为等腰直角三角形，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， ∵将点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点E的坐标为； （2）解：①如图，连接， ∵，， ∴轴，， ∴， ∴点，， ∵， ∴当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即， 对于， 当时，， ∴点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为； ②如图，在射线上取点G，使，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴轴，即， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即的最小值为． 题型三 二次函数与周长的综合 9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）（1，2）． 【分析】（1）根据题意可以得到关于a、b、c的三元一次方程组，从而可引求得a、b、c的值，进而求得抛物线的函数解析式； （2）根据两点之间线段最短可以求得点P的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点， ∴， 解得，， 即抛物线的函数解析式是y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣x2+2x+3， ∴该函数的对称轴是直线x， ∵点C（0，3）关于直线x＝1对称的点为D（2，3）， 则过点A和点D的直线与直线l的交点为P，此时△PAC的周长最小， 设过点A（﹣1，0）和点D（2，3）的直线解析式为y＝kx+b， ，得， ∴过点A（﹣1，0）和点D（2，3）的直线解析式为y＝x+1， 当x＝1时，y＝2， ∴点P的坐标为（1，2）． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、轴对称最短路径问题，解答本题的关键是明确用待定系数法求二次函数解析式的方法，利用轴对称和数形结合的思想解答． 10．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 11．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）求△ABC的面积； （3）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）6； （3）（1，2）． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点， ∴， ∴， ∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）， ∴AB＝4， ∴S△ABC4×3＝6； （3）找出C关于直线x＝1的对称点C′（2，3），连接AC′，与直线x＝1交于点P，此时△PAC的周长最小， 设直线AC′解析式为y＝kx+b， 把A（﹣1，0），C′（2，3）代入得：， 解得：k＝1，b＝1， ∴直线AC′解析式为y＝x+1， 把x＝1代入得：y＝2， 则P坐标为（1，2）． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积的计算方法，对称的性质，解本题的关键是确定出抛物线的解析式，是一道比较简单数形结合的试题． 12．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)求的面积． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4 (3)存在， 【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为，再将点代入求出的值，即可得抛物线的解析式，然后抛物线的解析式写成顶点式即可得对称轴； （2）先由已知得，进而可得、的值，再根据计算即可； （3）先求出点关于对称轴的对称点的坐标为，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小，由待定系数法求出直线的解析式，再根据点的横坐标为3，可求其纵坐标． 【详解】（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， ， ∴抛物线的对称轴是直线； （2）解：∵抛物线的对称轴与x轴相交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：点的坐标为．理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是直线， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 如图，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ， ∵点的横坐标为3， ， ． 题型四 二次函数与面积的综合 13．如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入求出的值，再写出顶点的坐标即可； （2）由可得，代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 14．如图，直线经过点，抛物线经过点，点在线段上，轴，交抛物线对称轴右侧部分于点，且． (1)设点，求点的纵坐标（用两种不同的含的代数式表示） (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先通过直线的解析式求出点的坐标，进而求出抛物线的解析式，由轴得点，点的纵坐标相等；由的长可求出点的横坐标，代入抛物线的解析式中即可表示出点的纵坐标； （2）由即可得解． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 把代入，得，解得， ∴ ∵轴，点， ∴； ∵轴，点， ∴点的横坐标为， 又∵点在抛物线上， ∴； （2）解：由（1）得，解得，或（舍去）， ∴， ∴的面积． 15．如图，已知抛物线过与且有最小值． (1)求此二次函数的解析式； (2)抛物线与轴交于点，在抛物线上存在一点使的面积为24，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式和二次函数的图象和性质 （1）根据与的坐标可得对称轴为直线，顶点坐标为，进而利用待定系数法把代入二次函数中，即可算出的值，进而得到函数解析式是； （2）首先求出、两点坐标，计算出的长，再设，，根据的面积为可以计算出的值，然后再利用二次函数解析式计算出的值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：∵与在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， 设函数的解析式为， 将代入得， ∴ 解得， ∴函数的解析式，即； （2）解：当时，， 解得：； ，， ． 设， 的面积为， ， 解得：， 当时，， 解得：或， 或； 当时，， 方程无解，舍去． 故或． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点和，交y轴于点 C，轴，交抛物线于点 D． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上是否存在一点Q，连接，，使 ，若存在，请直接写出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点Q的横坐标是 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，交点法求三角形的面积，熟练掌握待定系数法，灵活分割表示三角形的面积是解题的关键． （1）根据抛物线交x轴于点和，根据交点式求解析式即可． （2）先求出，得到，，得到，设，过作轴交直线于，则，最后根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线交x轴于点和， ∴． （2）解：∵令，得． ∴． 当时，，解得， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 设， 过作轴交直线于， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点Q的横坐标为． 17．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点P是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线下方，当点移动到什么位置时能使的面积最大？求出此时点坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出抛物线的对称轴为直线，结合二次函数的性质可得点、关于对称轴对称，故对称轴上任意点满足，的周长，由为定值，只需要最小即可，由两点之间，线段最短可得，当点在直线上时，最小，即点为直线与对称轴的交点，求出直线的解析式为，代入，计算即可得出结果； （3）由（2）可得直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，，根据，并结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， 解得，， ∴， ∵， ∴点、关于对称轴对称， 故对称轴上任意点满足， ∴的周长， ∵为定值， ∴只需要最小即可， 由两点之间，线段最短可得，当点在直线上时，最小，即点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：由（2）可得直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的面积最大，此时，即． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，请直接写出的面积的最大值．（直接写答案，不需要过程） 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)的面积的最大值为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点关于对称轴的对称点为点，当对称轴与直线交于点时，的值最小，将抛物线的对称轴代入直线的解析式即可； （3）作轴交直线于点，设，则，再得，根据铅直法得，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 把，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为点，当对称轴与直线交于点时，的值最小，如图，， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 把代入，得， ； （3）解：如图，作轴交直线于点， 由（2）知，直线的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题．对于求最小值问题，则考虑用对称性，转化为“两点之间线段最短”来解决，在坐标系中求三角形的面积最值问题，通常用铅直法计算三角形的面积，再根据二次函数的最值来解决． 19．如图，抛物线与x轴交与，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在第二象限内的抛物线上的是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，，的面积最大值是 【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A关于对称轴的对称点B，利用待定系数法求出直线的解析式，直线与对称轴的交点即是所求的点Q； （3）首先求得的坐标，然后设P的横坐标是x，利用a表示出的面积，利用二次函数的性质求解； 【详解】（1）根据题意得：，解得， 则抛物线的解析式是； （2）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与的交点即为Q点，此时周长最小， 对于，令，则， 故点， 设的解析式是， 则，解得， 则的解析式是． 时，， ∴点Q的坐标是； （3）过点P作y轴的平行线交于点D， 设P的横坐标是x，则P的坐标是，对称轴与的交点D是． 则． 则， ∵，故的面积有最大值是． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，求最值问题一般是转化为函数最值问题求解 20．如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $