第三单元 用字母表示数（二）(知识清单）数学六年级上册北师大版（新教材）

第三单元用字母表示数（二）期中复习单元知识清单 单元知识框架 单元知识点梳理 用字母表示数 字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．比如：t可以表示时间． 用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有普遍意义．使思维过程简化，易于形成概念系统． 注意： 1．用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“•”（点）表示． 2．字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写． 3．结果含加减运算的，单位前加“（　　）”． 含字母式子的求值 在数学中，我们常常用字母来表示一个数，然后通过四则运算求解出那个字母所表示的数． 重难点题型精讲 题型1：用字母表示两个字母的数量关系 1．国庆期间，某商场某型号的笔记本电脑很受欢迎，上午卖出68台，下午卖出85台。如果该型号笔记本售价x元，且每台优惠了b元，这一天一共卖出了( )元，上午比下午少卖了( )元。 【答案】 【分析】先用加法算出一共卖了多少台，再用减法算出每台笔记本的售价，再根据单价乘数量等于总价，用减法算出上午比下午少卖的数量，再用少卖的数量乘笔记本的单价等于少卖的钱。 【详解】一共卖的数量：（台） 笔记本的单价：元 这一天一共卖出的钱：元 上午比下午少卖的数量：（台） 上午比下午少卖的钱：元 2．一箱梨重30千克，一箱苹果重35千克，李阿姨买了a箱梨和b箱苹果，一共重( )千克。 【答案】30a＋35b 【分析】先求梨和苹果各自的总重量，总重量＝每箱重量×箱数，再把两者相加即为一共的重量。 【详解】梨的总重量：30×a＝30a（千克） 苹果的总重量：35×b＝35b（千克） 一共的重量：（30a＋35b）千克 3．如图，甲、乙两个人分别从A、B两地同时出发相向而行，一段时间后在C地相遇，用含有字母的式子表示他们相遇的时间( )分。 【答案】 【分析】因为甲的速度是米/分，乙的速度是米/分，所以先计算两人的速度和，用到速度和公式：速度和＝甲速度＋乙速度。根据“相遇时间＝路程÷速度和”的公式，代入已知的总路程5000米和计算得到的速度和，即可得到相遇时间的表达式。 【详解】（分） 即他们相遇的时间分。 4．学校买了7副羽毛球拍，每副a元；买了b副乒乓球拍，每副38.6元。7a表示( )，7a＋38.6b表示( )。 【答案】 7副羽毛球拍的总价 7副羽毛球拍和b副乒乓球拍的总价 【分析】7a中，a表示每副羽毛球拍的价钱，7表示羽毛球拍的数量，根据“单价×数量＝总价”得出7a表示的含义； 7a＋38.6b中，由上一问可知，7a表示7副羽毛球拍的价钱；38.6表示每副乒乓球拍的价钱，b表示乒乓球拍的数量，那么38.6b表示b副乒乓球拍的价钱；由此得出7a＋38.6b表示的含义。 【详解】7a表示（7副羽毛球拍的总价），7a＋38.6b表示（7副羽毛球拍和b副乒乓球拍的总价）。 题型2：探索规律 1．下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗格上所贴的剪纸。 (1)第5个图中所贴剪纸“○”的个数是( )。 (2)第n个图中所贴剪纸“○”的个数是多少？请写出你发现的规律。 【答案】(1)17 (2)3n＋2； 规律：第n个图中所贴剪纸“○”的个数是（3n＋2）个，每个图形都比前一个图形增加3个“○”。 【分析】（1）观察可知，第1个图有5个“○”，第2个图有8个“○”，第3个图有11个“○”，可见每增加一个图形，“○”的数量就增加3个，因此用第3个图“○”的数量连续加2个3，即可求出第5个图中“○”的数量。 （2）根据（1）中分析，将每个图形的数量写成3×n＋2的形式，总结出第n个图中所贴剪纸“○”的个数，并写出规律。 【详解】（1）第1个图有5个“○”，第2个图有8个“○”，第3个图有11个“○”，依次多3个“○”，则第5个图中所贴剪纸“○”的个数为： 11＋3＋3＝17（个） （2）第1个图有5个“○”，5＝3×1＋2； 第2个图有8个“○”，8＝3×2＋2； 第3个图有11个“○”，11＝3×3＋2； …… 第n个图中“○”的个数为3×n＋2，即（3n＋2）个。 规律为：第n个图中所贴剪纸“○”的个数是（3n＋2）个，每个图形都比前一个图形增加3个“○”。 2．如图，用小棒拼平行四边形，拼1个平行四边形需要4根小棒，拼2个平行四边形需要7根小棒，拼3个平行四边形需要10根小棒…… (1)拼5个平行四边形需要( )根小棒。 (2)拼9个平行四边形需要多少根小棒？ 【答案】(1)16 (2)28根 【分析】观察规律：拼1个平行四边形用4根小棒，拼2个用7根，拼3个用10根。每多拼1个平行四边形，只需要增加3根小棒（因为相邻的平行四边形会共用1条边，节省1根小棒）。找出这个规律。因此，拼n个平行四边形的小棒数量公式为：3n＋1。 【详解】（1）n＝5时， 3×5＋1 ＝15＋1 ＝16（根） 所以拼5个平行四边形需要16根小棒。 （2）n＝9时， 3×9＋1 ＝27＋1 ＝28（根） 答：拼9个平行四边形需要28根小棒。 3．下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 (1)仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 【答案】(1) (2)210块 (3)（2＋n）×（n＋1）÷2；1596块 【分析】由图可知，第一个图形有3块白瓷砖，1块黑瓷砖；第二个图形有6块白瓷砖，3块黑瓷砖；第三个图形有10块白瓷砖，6块黑瓷砖。 （1）第一个图形共4块瓷砖，第二个图形共9块瓷砖，第三个图形共16块瓷砖，找出瓷砖的总块数的规律，用含有n的式子表示。 （2）将n＝20代入式子1＋2＋3＋…＋n计算即可。根据公式：（第一个数＋最后一个数）×这组数的个数÷2，代入数据计算即可。 （3）第一个图形白瓷砖比黑瓷砖多2块，第二个图形白瓷砖比黑瓷砖多3块，第三个图形白瓷砖比黑瓷砖多4块，……，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块。 由第（2）问可知，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），据此计算。 【详解】（1）第一个图形共4块瓷砖，4＝＝ 第二个图形共9块瓷砖，9＝＝ 第三个图形共16块瓷砖，16＝＝ 第n个图形瓷砖总块数： （2）1＋2＋3＋…＋20 ＝（1＋20）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝210（块） 答：第20个图形中黑瓷砖的块数是210块。 （3）由分析可知，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），所以第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为1＋2＋3＋…＋n＋（n＋1）＝（1＋n＋1）×（n＋1）÷2＝（2＋n）×（n＋1）÷2。 当n＝55时， （2＋55）×（55＋1）÷2 ＝57×56÷2 ＝3192÷2 ＝1596（块） 答：第55个图形中共有1596块白瓷砖。 4．如图，用“十字形”分割正方形，分割一次，分成了4个小正方形，分割两次，分成了7个小正方形。 (1)将表格填完整。 分的次数 0 1 2 …… 5 …… （     ） n 正方形个数 1 4 7 …… （    ） …… 31 （    ） (2)算一算，如果分成了361个正方形，那么他共用“十字形”分割了多少次？ 【答案】(1) 分的次数 0 1 2 …… 5 …… （10） n 正方形个数 l 4 7 …… （16） …… 31 （3n＋1） (2)120次 【分析】结合分图形的过程，观察正方形的个数随着分的次数的增加有怎样的变化规律。假设分的次数为n，就能用n把正方形的个数表示出来；同时，也能根据正方形的个数算出分的次数。 【详解】（1）开始有1个正方形，每分一次，就增加3个，分5次时，增加了5个3，也就是15个，此时，一共有1＋15＝16（个）。分到第n次时，增加了n个3，也就是3×n＝3n，所以，分n次时正方形的个数是（3n＋1）个。 （2）解：设他共用“十字形”分割了n次。 3n＋1＝361 3n＝361－1 3n＝360 n＝360÷3 n＝120 答：他共用“十字形”分割了120次。 题型3：日历中的数量关系 1．观察如下日历：能否找到一个类似图中的长方形框（只能竖着放），使框内三个数的和为90？ 【答案】 不能使框内3个数的和为90。 【分析】观察日历，竖列相邻两个数相差7，可以设中间的数为未知数，用含未知数的式子表示出另外两个数。 根据三个数的和为90的条件，列方程，求解得到中间数的数值。 判断求出的三个数是否都在1到31的有效日期范围内。 【详解】观察可知，长方形框中，上面的数比中间数小7，下面的数比中间数大7，假设中间数为x，则框中3个数的和为。 若和为90，则 结合图示观察，中间数为30时，下方对应的数为30＋7＝37，超出1~31的有效日期范围，因此不能使框内3个数的和为90。 2．下面是一张把自然数按一定顺序排列的数表，用一个有5个空格的“十”字框可以框出不同的五个数，认真观察“十”字框中正中间的数与其他四个数的关系，再回答问题。 (1)“十”字框中五个数的和与该“十”字框正中间的数有什么关系？ (2)如果“十”字框正中间的数是x，那么上面的数是( )，下面的数是( )。 【答案】(1)五个数的和是正中间数的5倍 (2) x－7 x＋7 【分析】（1）设“十”字框正中间的数为a，通过观察数表规律，上面的数比正中间数小7，即为a－7；下面的数比正中间数大7，即为a＋7；左边的数比正中间数小1，即为a－1；右边的数比正中间数大1，即为a＋1。这五个数的和（（a－7）＋（a－1）＋a＋（a＋1）＋（a＋7）），化简这个式子，－7与＋7抵消，－1与＋1抵消，结果为5a，所以五个数的和是正中间数的5倍。 （2）由前面分析数表规律可知，“十”字框中上面的数比正中间数小7，当正中间数是x时，上面的数就是x－7；下面的数比正中间数大7，所以下面的数是x＋7。 【详解】（1）“十”字框中五个数的和与该“十”字框正中间的数的关系：五个数的和是正中间数的5倍。 （2）如果“十”字框正中间的数是x，那么上面的数是（x－7），下面的数是（x＋7）。 3．学习了“年月日”的知识，老师让每人准备一张月历卡，四人一组做框数游戏，芳芳带来了某年5月份的月历。 (1)每次用长方形横着框出3个数（如图），想一想这3个数之间的关系。 我发现：____________________________________。像这样框3个数，如果它们的和是90，这三个数分别是( )、( )、( )。 (2)芳芳说她框出的3个数和是18，你觉得可能吗？如果不可能，说明理由；如果可能，在月历卡上框出这3个数。 【答案】(1) 3个数之和除以3等于中间的数 29 30 31 (2)不可能；18÷3＝6，所以这三个数应该是5、6、7，但是月历中的5、6、7不在同一行，不可能框出5、6、7三个数 【分析】（1）由于框出来的3个数是3个连续的数，中间的数比前面的大1，比后面的数小1，所以3个数的和除以3等于中间的数。用90除以3求出中间的数，中间的数加减1可求出前后两个数。 （2）先根据（1）的规律求出可能的三个数，再看这三个数是否在同一行即可解答。 【详解】（1）（16＋17＋18）÷3 ＝51÷3 ＝17 所以，我发现：3个数之和除以3等于中间的数。 90÷3＝30，30－1＝29，30＋1＝31 像这样框3个数，如果它们的和是90，这三个数分别是29、30、31。 （2）我觉得不可能。 因为18÷3＝6，这个数应该是5、6、7，但是月历中的5、6、7不在同一行，不可能框出5、6、7三个数。 4．如图，萌萌发现在月历表上框中5个数的和与最中间的数有一定的规律。按照这个规律，如果框中5个数的和是100，这5个数各是多少？ 【答案】这5个数各是13、19、20、21、27。 【分析】（11＋25）÷2 ＝36÷2 ＝18 （17＋19）÷2 ＝36÷2 ＝18 通过计算可知：在月历表上框出的5个数，其和是最中间数的5倍。已知这5个数的和是100，那么用和100除以5，就能得到最中间的数。得到中间数后，根据月历表上数的排列规律，同一列相邻两个数相差7，同一行相邻两个数相差1，就可以求出其余4个数。上面的数比中间数小7，下面的数比中间数大7，左边的数比中间数小1，右边的数比中间数大1。 【详解】因为5个数的和是最中间数的5倍，所以最中间的数为100÷5＝20。 上面的数：20−7＝13 下面的数：20＋7＝27 左边的数：20−1＝19 右边的数：20＋1＝21 答：这5个数分别是13、19、20、21、27。 题型4：化简求值问题 1．3月12日是中国的植树节。这天，某小学开展了植树活动。雪松和梧桐树各植了x排，已知雪松每排10棵，梧桐每排12棵。 (1)一共植树多少棵？ (2)当时，梧桐比雪松多植多少棵？ 【答案】(1)棵 (2)60棵 【分析】根据“每排棵数×排数＝总棵数”，分别用含的式子表示出雪松和梧桐的总棵数；第一问将两种树的棵数相加得到总棵数，第二问用梧桐棵数减雪松棵数得到多的棵数，再代入计算结果。 【详解】（1）雪松总棵数： 梧桐总棵数： （棵） 答：一共植树棵。 （2） （棵） 当时，（棵） 答：梧桐比雪松多植60棵。 2．如图，欢欢和乐乐同时从家出发去街心公园，9分钟后他们在街心公园相遇。 (1)用含有字母的式子表示欢欢家和乐乐家相距多远。 (2)当，时，欢欢家和乐乐家相距多少米？ 【答案】(1)米 (2)1260米 【分析】（1）两家距离等于欢欢走的路程加乐乐走的路程，依据路程＝速度×时间分别计算两人路程再求和。 （2）把a＝65、b＝75代入式子即可得到实际距离。 【详解】（1）a×9＋b×9 ＝（a＋b）×9 ＝9（a＋b）米 （2）9×（65＋75） ＝9×140 ＝1260（米） 答：欢欢家和乐乐家相距1260米。 3．学校的书法兴趣小组有人，比围棋兴趣组人数的2倍还多12人。 (1)用式子表示围棋兴趣小组的人数。 (2)时，围棋兴趣小组有多少人？ 【答案】(1) (2)42人 【分析】（1）根据“书法兴趣小组的人数比围棋兴趣组人数的2倍还多12人”，从书法兴趣小组的人数中减去12人后是围棋兴趣组人数的2倍，用减得的差除以2，可算得围棋兴趣小组的人数，数量关系式是：（书法兴趣小组的人数－12）÷2＝围棋兴趣组人数，根据此数量关系式写式子。 （2）当时，代入小问（1）中的式子进行计算可求得围棋兴趣小组人数。 【详解】（1）（书法兴趣小组的人数－12）÷2＝围棋兴趣组人数，书法兴趣小组有人。 围棋兴趣组人数： 答：式子表示围棋兴趣小组的人数是： （2）当时： 答：围棋兴趣小组有42人。 4．王奶奶家有一片果园，如图。 (1)王奶奶家苹果园和梨园的面积一共是( )平方米。 (2)如果要在果园四周插上篱笆（苹果园与梨园的中间不插篱笆），当时，篱笆有多长？ 【答案】(1)38a (2)96米 【分析】（1）因为苹果园和梨园都是长方形，且宽都为a米，所以可以分别计算两个长方形的面积再相加，再结合长方形面积公式S＝长×宽计算总面积。 （2）因为果园四周插篱笆且中间不插，所以篱笆长度是整个大长方形的周长，先根据长方形周长公式C＝（长＋宽）×2写出含a的周长表达式，再将a＝10代入表达式计算即可。 【详解】（1）30×a＋8×a ＝（30＋8）×a ＝38a（平方米） （2）（30＋8＋a）×2 ＝（38＋a）×2 ＝38×2＋a×2 ＝76＋2a（米） 当a＝10时， 76＋2×10 ＝76＋20 ＝96（米） 答：篱笆有96米长。 变式训练巩固 参考答案 1．C 【分析】当算式中含有字母时，数字与字母相乘，可以省略乘号，同时要把数字写在前，字母写在后；据此分析有几组式子相等。 【详解】m＋m，2个m相加，可以写成m×2，m×2＝2m，所以m＋m＝2m； n×2，可以省略中间的乘号，同时数字写在字母前面，所以n×2＝2n； 一个数乘1，得它本身，所以b×1＝b； 5²＝5×5＝25，5×2＝10，两者不相等。 综上可知，相等的式子有3组。 2．D 【分析】通过列举不同取值的自然数，分别计算和的结果比较大小，判断存在的情况。 【详解】当时： 此时 当a＝2时： a²＝2×2＝4， 2a＝2×2＝4， 此时a²＝2a； 当时： 此时a²＞2a 所以a²大于、等于、小于2a的情况都存在。 3．D 【分析】剩下的大米重量等于总重量减去已经吃掉的重量，每天吃的重量乘吃的天数，先求出b天吃掉的大米重量，再计算剩余重量即可。 【详解】a－0.5×b＝a－0.5b 4．C 【分析】百位上的数字表示几个百，十位上的数字表示几个十，个位上的数字表示几个一，将各数位对应的数值相加即可得到这个三位数。 【详解】百位对应数值： 十位对应数值： 个位对应数值： 这个三位数为： 5．C 【分析】每仞的长度约是180厘米，a仞的总长度就是a个180厘米相加的和，用乘法表示为（180a）厘米，将a＝2代入式子计算即可。 【详解】a×180＝180a（厘米） 当＝2时，＝180×2＝360 仞约是360厘米。 6．B 【分析】先求出五（2）班的人数，再将两个班的人数相加，化简式子即可得到结果。 【详解】五（2）班人数： 两个班总人数： ＝ 7．C 【分析】组成“U形结构”的数的规律是7个数的和是2＋4＋9＋11＋16＋17＋18＝77，77÷7＝11；商11加上6就是最底下中间数17，即7个数总和一定能被7整除，再用商＋6即可得到最底中间数。先拿四个选项除以7，把除不尽的选项直接排除；剩下能整除的选项，再看对应的日期能不能画出U形结构即可。 【详解】106÷7、78÷7都得不到整数，106和78不符合题意； 若总和98，98÷7＝14，14＋6＝20，最底中间数是20，往左推左上角日期是5，5在周五列，列位置不对，画不出U形，排除98； 若总和84：84÷7＝12，12＋6＝18，最底中间数是18，向上推出其余日期都在对应周四、周六列，能画出U形，84符合条件。 8．B 【分析】先利用乘法分配律将正确的算式展开，得到标准形式，然后与错误的算式进行对比，通过计算两者的差值来确定结果是多还是少。 【详解】根据乘法分配律，正确的算式展开过程如下： 错误结果比原来少24。 9． ab a＋b 【分析】利用乘法交换律，先把数字相乘，再和字母相乘，化简式子； 利用乘法分配律，提取相同因数7.5，把剩下的a、b相加。 【详解】a×5×b×0.2 ＝（a×b）×（5×0.2） ＝ab×1 ＝ab a×7.5＋7.5×b ＝7.5×（a＋b） 10．5a＋b 【分析】路程＝速度×时间，用速度乘上午行驶的时间得到上午行驶的路程，再加上下午行驶的路程，即可表示出一天行驶的路程。 【详解】a×5＋b＝（5a＋b）千米 因此这辆汽车一天行驶了（5a＋b）千米。 11． 【分析】首先明确总页数、已看页数和剩余页数的数量关系，因为剩余页数等于总页数减去已看页数，所以先计算6天一共看的页数，再用总页数a减去该数值得到剩余页数的表达式。 第二空的突破口是“再看2天能全部看完”，因为剩下的页数等于2天能看的页数，所以先算出2天可看的页数，结合第一空得到的剩余页数表达式列等式，即可求解a的值。 【详解】还剩的页数：a－8×6＝（a－48）页 8×2＝a－48 16＝a－48 解：16＋48＝a－48＋48 a＝64 当a是64时，照这样的速度再看2天，就能全部看完。 12．150m＋150 【分析】根据题意可知，物业费分为两部分：第一部分，第一月收取物业费是固定的300元；第二部分：从第二月开始，每月的物业费是150元，根据“单价×数量＝总价”可知这部分的物业费是（m－1）×150元；然后把两部分的物业费相加，再化简即可。 【详解】300＋（m－1）×150 ＝300＋150m－150 ＝150m＋150 那么应收物业费（150m＋150）元。 13． 【分析】相邻的两个自然数之间的差值为1，已知中间的数是a，比它小1的自然数就是减1，比它大1的自然数就是加1。求这三个数的和，就是把这三个数相加，并根据含有字母的式子的化简方法得出结果。 【详解】相邻自然数相差1，所以与非0自然数a相邻的两个自然数，分别是和； 将这三个数相加： 14．(1)15 (2)17 (3)若用字母n表示输入的数字，则输出数＝2n＋1。 【分析】观察可知：输入5，输出11，11＝5×2＋1；输入8，输出17，17＝8×2＋1；输入10，输出21，21＝10×2＋1；可发现的运算规律，用输入的数乘2，然后加上1得到输出的数。 （1）将输入数代入计算即可； （2）用输出的数减去1，再除以2即可； （3）用字母n表示输入的数字，用含有字母n的式子表示出运算规律即可。 【详解】（1）7×2＋1 ＝14＋1 ＝15 输入数7会输出数15。 （2）（35－1）÷2 ＝34÷2 ＝17 输入数17会输出数35。 （3）小程序的运算规律是：若用字母n表示输入的数字，则输出数＝2n＋1。 15．183.6 【分析】确定李阳的性别，选择对应的男孩臂展计算公式；把父亲臂展F＝175、母亲臂展M＝165代入男孩臂展公式；按照四则运算规则计算出结果即可。 【详解】 李阳成年后的臂展是183.6cm。 16．(1)81 (2)a＝2b－3 【分析】（1）观察图形，三角形个数分别是1、2、3、4、……，吸管的根数分别是3、5、7、9、……，图钉的数量分别是3、4、5、6、……；据此探索规律。 【详解】（1）一个三角形需要3根吸管：2＋1 两个三角形需要5根吸管：2×2＋1 三个三角形需要7根吸管：3×2＋1 四个三角形需要9根吸管：4×2＋1 所以n个三角形需要吸管的数量：2n＋1 40×2＋1 ＝80＋1 ＝81（根） 照这样做40个三角形要用81根吸管。 （2）一个三角形需要3颗图钉，3根吸管：2×3－3 两个三角形需要4颗图钉，5根吸管：2×4－3 三个三角形需要5颗图钉，7根吸管：2×5－3 四个三角形需要6颗图钉，9根吸管：2×6－3 所以吸管的根数＝图钉的数量×2－3，如果吸管根数用字母a表示、图钉数量用字母b表示，那么它们之间的数量关系是a＝2b－3。 17．(1)（21a＋21b）千米 (2)3360千米 【分析】（1）两车同时出发、相向而行，相遇时各自行驶的时间相同，都是21小时。根据“路程＝速度×时间”，可以分别用含字母的式子表示两辆车的路程，再相加就是总路程。 （2）当a＝60，b＝100时，即两辆汽车分别以60千米/时和100千米/时的速度同时从甲乙两地相向而行，求出两辆车一共行驶多少千米，根据“路程＝时间×（甲的速度＋乙的速度）”，代入数据即可解答。 【详解】（1）甲车行驶的路程：21a（千米） 乙车行驶的路程：21b（千米） 总路程：（21a＋21b）千米 （2）当a＝60，b＝100时， 21×（60＋100） ＝21×160 ＝3360（千米） 答：两辆车一共行驶3360千米。 18．(1) 件 (2) 408件 【分析】（1）先通过工作效率乘工作时间求出已处理的快递件数，加上未处理的件数得到总件数的字母表达式。 （2）将t的具体数值代入表达式，计算出总件数。 【详解】（1）＝（33t＋12）件 答：用含有字母的式子表示这批快递一共（33t＋12）件。 （2） ＝33×12＋12 ＝ 396＋12 ＝408（件） 答：这批快递一共408件。 19．(1)（136a＋78b） (2)70200元 【分析】（1）先明确单个智能音箱价格为元，单个扫地机器人价格为元，根据“总价＝单价×数量”，分别计算136个智能音箱的总价和78个扫地机器人的总价，再将两个总价相加，得到总费用表达式。 （2）将、代入第一问得到的总费用表达式中，按运算规则计算即可得到结果。 【详解】（1）a×136＋b×78＝（136a＋78b）元 答：买136个智能音箱和78个扫地机器人一共要花（136a＋78b）元。 （2）当a＝78，b＝764时 136a＋78b （元） 答：一共要花70200元钱。 20．(1)6米 (2)2π米 【分析】（1）石子路修在喷水池周围，外边缘圆的半径等于喷水池的半径加上石子路的宽度。 （2）根据圆的周长公式，分别求出外边缘圆的周长和喷水池的周长，再相减求出增加的长度。 【详解】（1）5＋1＝6（米） 答：石子路外边缘的圆半径是6米。 （2）2×π×6＝12π（米） 2×π×5＝10π（米） 12π－10π＝2π（米） 答：石子路外边缘的周长比喷水池的周长增加了2π米。 21．(1)20个 (2)45平方分米 【分析】（1）由图可知，堆1层需要1个小正方体； 堆2层需要4个小正方体，增加了3个小正方体（1＋2＝3个）； 堆3层需要10个小正方体，增加了6个小正方体（1＋2＋3＝6个）； 所以堆4层需要增加的小正方体个数为1＋2＋3＋4＝10个，用堆3层的小正方体数量加上增加的10个小正方体即可求出堆4层一共用去的小正方体个数。 （2）堆到第5层时，从前面看到的图形是，共15个小正方形；从右面看到的图形是，共15个小正方形；从上面看到的图形是，共15个小正方形；所以露在外面的面一共有15×3＝45个小正方形。正方形面积＝边长×边长，求出一个正方形的面积；用一个正方形的面积乘45即可求出露在外面的面的面积。 【详解】（1）堆1层用去1个小正方体； 1＋2＝3（个） 1＋3＝4（个） 堆2层用去4个小正方体； 1＋2＋3＝6（个） 6＋4＝10（个） 堆3层用去10个小正方体； 1＋2＋3＋4＝10（个） 10＋10＝20（个） 答：当堆到4层时一共用去20个小正方体。 （2）1＋2＋3＋4＋5 ＝3×5 ＝15（个） 15×3＝45（个） 1×1×45 ＝1×45 ＝45（平方分米） 答：露在外面的面的面积是45平方分米。 22．(1)（36m－13n＋16）平方厘米 (2)98平方厘米 (3)（0.5a＋14）元；（0.4a＋15.2）元；12 【分析】（1）长方体的表面积：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，题目要求计算一个大纸盒和一个小纸盒的总用料，即求这两个长方体的表面积之和。 （2）将给定的m和n的值代入第一问求出的代数式中进行计算即可。 （3）需要分别根据 A、B 两家商店的优惠规则计算总费用。 A 商店：买10个大纸盒会赠送10个小纸盒。因为总共需要a个小纸盒且 a＞10，所以还需要额外购买（a－10）个小纸盒。 B商店：所有纸盒（10个大纸盒和a个小纸盒）的总价打八折（即乘0.8）。 最后令两家商店的费用相等，即可求出a的值。 【详解】（1）做一个小纸盒用料： 做一个大纸盒用料： 答：制作一大一小两个纸盒共用料（36m－13n＋16）平方厘米。 （2）当m＝3，n＝2时 答：制作一大一小两个纸盒共用料98平方厘米。 （3）由题意得，A商店应付款： B商店应付款： 当时，到两家商店购买付款一样多 解： 答：到A商店付款，到B商店付款，当a为12时，到两家商店购买付款一样多。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元用字母表示数（二）期中复习单元知识清单 单元知识框架 单元知识点梳理 用字母表示数 字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．比如：t可以表示时间． 用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有普遍意义．使思维过程简化，易于形成概念系统． 注意： 1．用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“•”（点）表示． 2．字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写． 3．结果含加减运算的，单位前加“（　　）”． 含字母式子的求值 在数学中，我们常常用字母来表示一个数，然后通过四则运算求解出那个字母所表示的数． 重难点题型精讲 题型1：用字母表示两个字母的数量关系 1．国庆期间，某商场某型号的笔记本电脑很受欢迎，上午卖出68台，下午卖出85台。如果该型号笔记本售价x元，且每台优惠了b元，这一天一共卖出了( )元，上午比下午少卖了( )元。 2．一箱梨重30千克，一箱苹果重35千克，李阿姨买了a箱梨和b箱苹果，一共重( )千克。 3．如图，甲、乙两个人分别从A、B两地同时出发相向而行，一段时间后在C地相遇，用含有字母的式子表示他们相遇的时间( )分。 4．学校买了7副羽毛球拍，每副a元；买了b副乒乓球拍，每副38.6元。7a表示( )，7a＋38.6b表示( )。 题型2：探索规律 1．下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗格上所贴的剪纸。 (1)第5个图中所贴剪纸“○”的个数是( )。 (2)第n个图中所贴剪纸“○”的个数是多少？请写出你发现的规律。 2．如图，用小棒拼平行四边形，拼1个平行四边形需要4根小棒，拼2个平行四边形需要7根小棒，拼3个平行四边形需要10根小棒…… (1)拼5个平行四边形需要( )根小棒。 (2)拼9个平行四边形需要多少根小棒？ 3．下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 (1)仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 4．如图，用“十字形”分割正方形，分割一次，分成了4个小正方形，分割两次，分成了7个小正方形。 (1)将表格填完整。 分的次数 0 1 2 …… 5 …… （     ） n 正方形个数 1 4 7 …… （    ） …… 31 （    ） (2)算一算，如果分成了361个正方形，那么他共用“十字形”分割了多少次？ 题型3：日历中的数量关系 1．观察如下日历：能否找到一个类似图中的长方形框（只能竖着放），使框内三个数的和为90？ 2．下面是一张把自然数按一定顺序排列的数表，用一个有5个空格的“十”字框可以框出不同的五个数，认真观察“十”字框中正中间的数与其他四个数的关系，再回答问题。 (1)“十”字框中五个数的和与该“十”字框正中间的数有什么关系？ (2)如果“十”字框正中间的数是x，那么上面的数是( )，下面的数是( )。 3．学习了“年月日”的知识，老师让每人准备一张月历卡，四人一组做框数游戏，芳芳带来了某年5月份的月历。 (1)每次用长方形横着框出3个数（如图），想一想这3个数之间的关系。 我发现：____________________________________。像这样框3个数，如果它们的和是90，这三个数分别是( )、( )、( )。 (2)芳芳说她框出的3个数和是18，你觉得可能吗？如果不可能，说明理由；如果可能，在月历卡上框出这3个数。 4．如图，萌萌发现在月历表上框中5个数的和与最中间的数有一定的规律。按照这个规律，如果框中5个数的和是100，这5个数各是多少？ 题型4：化简求值问题 1．3月12日是中国的植树节。这天，某小学开展了植树活动。雪松和梧桐树各植了x排，已知雪松每排10棵，梧桐每排12棵。 (1)一共植树多少棵？ (2)当时，梧桐比雪松多植多少棵？ 2．如图，欢欢和乐乐同时从家出发去街心公园，9分钟后他们在街心公园相遇。 (1)用含有字母的式子表示欢欢家和乐乐家相距多远。 (2)当，时，欢欢家和乐乐家相距多少米？ 3．学校的书法兴趣小组有人，比围棋兴趣组人数的2倍还多12人。 (1)用式子表示围棋兴趣小组的人数。 (2)时，围棋兴趣小组有多少人？ 4．王奶奶家有一片果园，如图。 (1)王奶奶家苹果园和梨园的面积一共是( )平方米。 (2)如果要在果园四周插上篱笆（苹果园与梨园的中间不插篱笆），当时，篱笆有多长？ 变式训练巩固 一、选择题 1．下面两个式子相等的有（    ）组。 m＋m和2m      n×2和2n      b和b×1      和5×2 A．1 B．2 C．3 D．4 2．a是自然数，a2和2a比较大小，a2（    ）2a。 A．＞或＝ B．＞ C．＜ D．以上三种情况都可能 3．爸爸买了a千克大米，如果每天吃0.5千克，吃了b天。剩下的大米数量表示为（    ）。 A．a－0.5 B．0.5a－b C．a÷b－0.5 D．a－0.5b 4．一个三位数，百位上的数是a，十位上的数是b，个位上的数是c，这个三位数用字母表示为（    ）。 A．abc B．10abc C．100a＋10b＋c D．a＋c＋b 5．“黄河远上白云间，一片孤城万仞山。”中的“仞”是一种长度计量单位，如果每“仞”大约是，当时，仞约是（    ）厘米。 A．180 B．1800 C．360 D．3600 6．五（1）班有学生x人，五（2）班比五（1）班的2倍少30人，两个班共有（    ）人。 A．2x－30 B．3x－30 C．2x＋30 D．3x＋30 7．如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“U”形框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月的这7个数的和可能是（    ）。 A．106 B．98 C．84 D．78 8．奇思在计算9（x＋3）时，错写成9x＋3，结果比原来（    ）。 A．多24 B．少24 C．多27 D．少27 二、填空题 9．a×5×b×0.2可以简写成( )，a×7.5＋7.5×b＝7.5×( )。 10．一辆汽车每小时行驶a千米，上午行驶5小时，下午行驶b千米，这辆汽车一天行驶了( )千米。 11．一本书有a页，小梁每天看8页，6天后还剩( )页；当a是( )时，照这样的速度再看2天，就能全部看完。 12．物业公司规定，居民入住第一月收取物业费300元，以后每月物业费为150元，那么一户居民入住m个月后（m＞1），应收物业费( )元。 13．a是不为0的自然数，与a相邻的两个自然数是( )和( )，这3个数的和是( )。 14．聪聪在人工智能课上编写了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数（如图）。 (1)输入数7会输出数( )； (2)输入数( )会输出数35； (3)小程序的运算规律是( )。 15．估算成年后臂展长度有多种方法，“父母臂展预测法”依据父母臂展与子女臂展的关系形成一组预测公式，用F表示父亲臂展长度（cm），M表示母亲臂展长度（cm），具体公式如表所示。李阳是一个男孩，他父亲的臂展是175cm，母亲的臂展是165cm。按照公式预测，李阳成年后的臂展是( )cm。 男孩臂展＝（F＋M）×1.08÷2 女孩臂展＝（F×0.923＋M）÷2 16．小乐用吸管和图钉做三角形图案。（如图，点表示图钉，线段表示吸管） (1)照这样做40个三角形要用( )根吸管。 (2)如果吸管根数用字母a表示、图钉数量用字母b表示，那么它们之间的数量关系是( )。 三、解答题 17．两辆汽车分别以a千米/时和b千米/时的速度同时从甲乙两地相向而行。行驶21小时两车相遇。 (1)用含有字母的式子表示两辆车行驶的总路程。 (2)当a＝60，b＝100时，求出两辆车一共行驶多少千米？ 18．机器人“背着”货物跑，传送带上包裹自己“认路”……这样的场景在青岛某物流园区每天都在发生。一个智能机器人平均每分钟可以处理33件快递，这样的一个智能机器人工作��分钟后，还剩下12件快递未处理，这批快递一共有多少件？ (1)用含有字母的式子表示这批快递一共多少件。 (2)当t＝12时，这批快递一共多少件？ 19．如今智能设备广泛应用于服务行业，酒店客房内的桌面智能音箱，可智能管控房间设施；扫地机器人则负责自动清洁卫生。一家酒店准备采购一批桌面智能音箱和扫地机器人投入日常使用。 (1)买136个智能音箱和78个扫地机器人一共要花多少元钱？ (2)当时，一共要花多少元钱？ 20．一个圆形喷水池的半径是5米。现在要在喷水池周围修一条宽1米的环形石子路。 (1)修好后，石子路外边缘的圆半径是多少米？ (2)石子路外边缘的周长比喷水池的周长增加了多少米？（结果用含π的式子表示） 21．如下图，探探把若干棱长为1分米的小正方体按如下方式层层堆放在墙角。 (1)按这样摆下去，当堆到4层时一共用去多少个小正方体？ (2)当堆到5层时，露在外面的面的面积是多少平方分米？ 22．工厂制作大小两种长方体纸盒的尺寸如下：（单位：cm，接头处忽略不计） 长 宽 高 小纸盒 m－0.5n 1 2 大纸盒 3m－n 2 3 (1)做一个大纸盒和一个小纸盒共用料多少平方厘米（用含m、n的代数式表示）？ (2)当m＝3，n＝2时，求制作一大一小两个纸盒共用料多少平方厘米？ (3)班级现计划购买大纸盒10个，小纸盒a个（a＞10），现从A，B两家商店了解到；两家商店的纸盒价格相同，大纸盒每个1.9元，小纸盒每个0.5元。A商店的优惠政策为：每买一个大纸盒赠送一个小纸盒，B商店的优惠政策为：大小纸盒都按八折优惠。那么学校到两家商店购买各应付款多少元（用含a的式子表示）？若规定只能选择一家商店购买，当a为何值时，到两家商店购买付款一样多？ 学科网（北京）股份有限公司 $