精品解析：江苏镇江市丹徒区宜城中学四校2026-2027学年八年级上学期9月阶段检测数学试题

八年级数学当堂作业 一、单项选择题（本题共10小题，每小题只有1个选项符合题意，每小题3分，共30分．） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 2，3，6 C. 6，6，12 D. 4，6，8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟记任意两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，逐项判断即可． 【详解】A．，不能组成三角形，故A不符合题意； B．，不能组成三角形，故B不符合题意； C．，不能组成三角形，故C不符合题意； D．，能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 2. 到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）． A. 三条边中线的交点 B. 三条边的高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴到三角形任意一边的两个端点距离相等的点，在该边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点距离都相等的点，是三角形三条边的垂直平分线的交点． 3. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 4. 等腰三角形的一个角是，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的内角的情况分类讨论即可. 【详解】解:若30°是等腰三角形的顶角 ∴等腰三角形的底角为: ; 若30°是等腰三角形的底角, ∴等腰三角形的底角为30° 综上所述: 这个等腰三角形的底角为或 故选C. 【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质,根据等腰三角形的内角的情况分类讨论是解决此题的关键. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 周长相等的两个三角形全等 D. 全等三角形的对应边相等 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查全等三角形的定义、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形要求形状和大小完全相同是解题的关键． 根据全等三角形的定义和性质逐项判断即可． 【分析】解：A．形状相同的三角形大小可能不相等，不不一定全等，该选项错误，不符合题意； B．面积相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； C．周长相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； D．全等三角形的对应边相等，故该选项正确，符合题意． 故选D． 6. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知  即 ，且隐含公共边 ，根据全等三角形判定定理 逐项验证即可． 【详解】解：由图可知 ，    在和 中，隐含条件 A 项：添加，结合，，属于，不符合全等三角形判定定理，不能判定  B 项：添加，结合，，符合，能判定   C 项：添加，结合，，符合 ，能判定   D 项：添加，结合，，符合，能判定  ． 7. 如图，在中，，平分，，，则的面积是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】作于点E，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解． 【详解】解：作于点E，如图， ∵平分，，，， ∴， ． 8. 如图，已知，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 9. 已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：∵三角形三边长为，，， ∴，即， 选项中只有符合该范围． 10. 如图，在中，，，垂足为，点，分别为，上的动点，且，，则的最小值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，交于，连接，则最小，即． 【详解】解：过作于，交于，连接，则最小根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短， ，， 和关于直线对称， ，即， ∵，， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握和运用等腰三角形的性质是解决本题的关键．分两种情况分别计算，即可求得． 【详解】解：当此等腰三角形的腰长为2，底边长为4时，，不能构成三角形，舍去； 当此等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，，能构成三角形； 则它的周长为：． 故答案为：10． 12. 如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则_____． 【答案】##48度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，于点P，，添加一个条件，能利用“”判定的条件是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定 ， 需添加斜边相等的条件，即 ． 14. 如图，在中，、的角平分线交于点，过点，且，分别交、于点、若，，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线性质的应用．证出是解题的关键． 根据平行线的性质和角平分线的定义先证出，从而得出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵、的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，在四边形中，若，，则点到的距离是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．作交延长线于，交于，可证，则可求，根据平行线间距离处处相等，则． 【详解】解：作交延长线于，交于， ∵， ∴， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 根据平行线间间距相等， 则， 故答案为：4． 16. 如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 运动的速度之比为， 设，， ， ∴， ①当，时，， ， 解得：， ； ②当，时，， ， 解得：， ； 综上，线段的长为或． 三、解答题（本题共8小题，共72分．） 17. 如图，和相交于点，，．求证：． 【答案】证明：∵，， 又， ∴． 【解析】 【分析】利用即可证明． 【详解】略 18. 如图，，且，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】首先得到，，然后证明，即可得到． 【详解】略 19. 如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，P点即为所求． 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，先作的平分线，然后连接，再作的垂直平分线，与相交于点P，则点P即为建中转站的位置． 【详解】解：由作图可知点在的平分线上， ∴点到公路、的距离相等， 又∵由作图可知点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴P点就是货物中转站的位置． 图略． 20. 如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． （1）若，求的长度； （2）若，则___________°． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一得到是的垂直平分线，推出，再结合是的垂直平分线得，通过等量代换求出结果． （2）先根据等腰三角形三线合一得到，结合第（1）问，用等边对等角求出的度数． 【小问1详解】 解：，， ，（等腰三角形三线合一） 垂直平分， ．（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 又垂直平分， ，（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ．（等量代换） 【小问2详解】 ，， ，（等腰三角形三线合一） ， ， ．（等边对等角） 21. 如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． （1）求证：； （2）若，，则______． 【答案】（1） 证明：连接， 垂直平分， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的性质和证明和全等，进而解答即可； （2）先证明得到，设，然后根据，得出方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在，中， ， ∴， ∴， 设， 则，， ， ， ， ． 故答案为： ． 22. 如图所示，E为AB延长线上的一点，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD，求证：∠CEA=∠DEA． 【答案】 证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 在Rt△ABC和Rt△ABD中，， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）， ∴∠CAB=∠DAB， 在△ACE和△ADE中，， ∴△ACE≌△ADE（SAS）， ∴∠CEA=∠DEA． 【解析】 【分析】首先利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，得出∠CAB=∠DAB，进一步利用“SAS”证得△ACE≌△ADE，证得∠CEA=∠DEA． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定（HL和SAS），解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定（HL和SAS）. 23. 如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 【答案】（1） 证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 24. 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 　　　 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A.    　　B.    　　C.　 D. （2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，线段的长为 ． （4）如图3，是的中线，，点E在的延长线上，．求证：． 【答案】（1）C （2） （3） （4）证明：如图所示，延长到点，使，连接，标记， ∵是的中线， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 即， 又∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算即可； （3）延长到点，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质，推出，即可得出答案； （4）延长到点，使，连接，由证得，再证，即可证明． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴在和中 ， ∴（）， ∴依据是， 故选：C； 解：由（1）知， ∴，， 在中，， ∴， 即， ∴， 故答案为：； 解：如图所示，延长到点，使，连接，标记， ∵是的中线， ∴， 在和中 ， ∴（SAS）， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴线段的长为； （4）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学当堂作业 一、单项选择题（本题共10小题，每小题只有1个选项符合题意，每小题3分，共30分．） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 2，3，6 C. 6，6，12 D. 4，6，8 2. 到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）． A. 三条边中线的交点 B. 三条边的高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 3. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 4. 等腰三角形的一个角是，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 5. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 周长相等的两个三角形全等 D. 全等三角形的对应边相等 6. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，平分，，，则的面积是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 8. 如图，已知，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在中，，，垂足为，点，分别为，上的动点，且，，则的最小值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是__________． 12. 如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则_____． 13. 如图，于点P，，添加一个条件，能利用“”判定的条件是___________． 14. 如图，在中，、的角平分线交于点，过点，且，分别交、于点、若，，则__________． 15. 如图，在四边形中，若，，则点到的距离是_________． 16. 如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为___________． 三、解答题（本题共8小题，共72分．） 17. 如图，和相交于点，，．求证：． 18. 如图，，且，，求证：． 19. 如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． （1）若，求的长度； （2）若，则___________°． 21. 如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． （1）求证：； （2）若，，则______． 22. 如图所示，E为AB延长线上的一点，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD，求证：∠CEA=∠DEA． 23. 如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 24. 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 　　　 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A.    　　B.    　　C.　 D. （2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，线段的长为 ． （4）如图3，是的中线，，点E在的延长线上，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $