精品解析：江苏省镇江市丹徒区高资五校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年八年级12月数学作业 一、单选题（共10小题，每小题3分） 1. 已知一个三角形的两边长为4和7，则第三边不可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. 7，24，25 D. ，， 4. 如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于，交于，连接，则等于( ) A. B. C. D. 5. 已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为(　　) A. 40° B. 80° C. 100° D. 40°或100° 6. 在下列各数0、、、、（相邻两个1之间的0的个数依次加1）、、中，无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 8. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 9. 如图，以直角的一个锐角的顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直角边于点D，交斜边于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，用表示的面积（其它同理），则＝（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. ____． 12. 我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．圆周率按照四舍五入法对π精确到百分位是________． 13. 图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，则当双翼完全收起时，通过闸机的物体的最大宽度是______． 14. 若点在第四象限，且到x轴和y轴距离相等，则________． 15. 如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 __________ 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，点的坐标为，为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为______． 三、解答题（共8小题，72分） 17. 解方程和计算： （1）； （2） （3） 18. 如图，点在线段上，，，．求证：． 19. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点． （1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明； （2）若∠ABC＝45°，AC＝16时，求EF的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点（1，0），且与y轴平行． （1）请在图中画出△ABC； （2）若△A1B1C1与△ABC关于直线l对称．请在图中画出△A1B1C1； （3）若点P（a，b）关于直线l的对称点为P1，则点P1的坐标是　 　． 21. 如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为________； （2）若点是“完美点”，求a的值； （3）若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 23. 如图，在中，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． （1）的长为___________； （2）当点在的角平分线上，则的长为___________； （3）在整个运动中，求出以BP为腰的等腰三角形时，的值． 24. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，且． （1）若，过点B作，且，请直接写出点C的坐标是______； （2）如图1，若点D在的延长线上，连接，点E在第一象限，且满足，连接，求证：是等腰直角三角形； （3）如图2，点F在的延长线上，以为斜边向下构造等腰直角三角形，连接，若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级12月数学作业 一、单选题（共10小题，每小题3分） 1. 已知一个三角形的两边长为4和7，则第三边不可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，由三角形三边关系得出第三边，由此即可得出答案，熟练掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键． 【详解】解：一个三角形的两边长为 1，4， 第三边，即第三边， 第三边可以是4、5、6，不可能是3． 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据第二象限点的坐标特征即可求解，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点在第二象限的符号特征是横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴符合题意的只有， 故选：C． 3. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. 7，24，25 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：A、，，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、，，5，6不是勾股数，不符合题意； C、，，24，25是勾股数，符合题意； D、，，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于，交于，连接，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据中，，求出的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出，即即可解答． 【详解】解：等腰中，，， ， 是线段垂直平分线的交点， ，， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 5. 已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为(　　) A. 40° B. 80° C. 100° D. 40°或100° 【答案】D 【解析】 【详解】①若40°是顶角，则底角==70°；②若40°是底角，那么顶角 =180°﹣2×40°=100°．故选D． 6. 在下列各数0、、、、（相邻两个1之间的0的个数依次加1）、、中，无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：0，是整数，不是无理数； ，，，是小数或分数，不是无理数； ，（每两个1之间依次增加一个0），是无理数， 故无理数一共有3个， 故选：C． 7. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 8. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，因此到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线的交点． 【详解】解：∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴ 三个内角平分线的交点到三角形的三边距离相等， ∴ 该点是三条内角平分线的交点． 故选：B． 9. 如图，以直角的一个锐角的顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直角边于点D，交斜边于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，用表示的面积（其它同理），则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和尺规作图，勾股定理等知识，解答时过点G作于点H，得到，再由勾股定理求出，再推出，则问题可解 【详解】解：如图，过点G作于点H， 由尺规作图可知，为平分线， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为， 由勾股定理得：，即， ， ， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. ____． 【答案】 5 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 12. 我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．圆周率按照四舍五入法对π精确到百分位是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查取近似数，涉及四舍五入法，找准小数的百分位，根据千分位的数四舍五入是解决问题的关键． 【详解】解：，将π按照四舍五入法精确到百分位是， 故答案为：． 13. 图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，则当双翼完全收起时，通过闸机的物体的最大宽度是______． 【答案】58 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．掌握此性质是解题的关键． 作于点，于点，得，再利用含角的直角三角形的性质，求出的值，即可求出通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：作于点，于点，得， ，， ，， 通过闸机的物体的最大宽度是． 故答案为58． 14. 若点在第四象限，且到x轴和y轴距离相等，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中象限点的特点，点到坐标轴的距离，解一元一次不等式，掌握象限中点的符号，点到坐标轴的距离的计算方法是解题的关键．根据第四象限点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负）可得，．由点到坐标轴的距离相等（到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，且两者相等），列出方程，求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，． ∵点A到x轴和y轴的距离相等， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：1． 15. 如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 __________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据正方形的面积求出正方形的边长为是解题的关键． 根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可得到点E表示的数为． 【详解】解：正方形的面积为7， 正方形的边长为， ， 点表示的数为． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，点的坐标为，为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，垂线段最短，连接，根据点，，点得到，，，由勾股定理求出，过点M作于点，此时，，根据三角形面积公式可得结论． 【详解】解：连接， ∵，，点， ∴，，， ∴， ∴勾股定理得， 过点M作于点，此时，， ∵，， ∴， 即的最小值为4， 故答案为：4． 三、解答题（共8小题，72分） 17. 解方程和计算： （1）； （2） （3） 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用立方根定义开立方即可求出的值； （3）利用平方根、立方根定义计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 【小问3详解】 解： ． 18. 如图，点在线段上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后证明出，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】略 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定． 19. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点． （1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明； （2）若∠ABC＝45°，AC＝16时，求EF的长． 【答案】（1）EF⊥AC，理由如下： 连接AE、CE，如图所示： ∵∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，点E是BD的中点， ∴， ∴AE=CE， ∴△AEC是等腰三角形， ∵点F是AC的中点， ∴EF⊥AC； （2）EF=8 【解析】 【分析】（1）连接AE、CE，根据题意易得AE=CE，然后根据等腰三角形的性质可证； （2）由题意易得∠AEC=90°，然后根据直角三角形斜边中线定理可求解． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）可得：△AEC是等腰三角形，AE=BE，BE=EC， ∴∠ABE=∠BAE，∠EBC=∠ECB， ∴∠AED=2∠ABE，∠DEC=2∠EBC， ∵∠ABC=45°=∠ABE+∠EBC， ∴∠AEC=∠AED +∠DEC=2∠ABC=90°， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∴AC=2EF， ∵AC=16， ∴EF=8． 【点睛】本题主要考查直角三角形的斜边中线定理及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形的斜边中线定理及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点（1，0），且与y轴平行． （1）请在图中画出△ABC； （2）若△A1B1C1与△ABC关于直线l对称．请在图中画出△A1B1C1； （3）若点P（a，b）关于直线l的对称点为P1，则点P1的坐标是　 　． 【答案】（1）如图所示，△ABC即为所求； （2）如图所示，△A1B1C1即为所求； （3）． 【解析】 【分析】（1）依次将点表示在平面直角坐标系中，顺次连接三个点即可； （2）分别作出关于直线的对称点，再顺畅连接即可； （3）根据题意，关于直线对称，则的横坐标的和的一半是，纵坐标不变，据此解题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）设点关于直线l的对称点为，由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—轴对称变换，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21. 如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】（1）30海里 （2） 有触礁的危险，理由如下： 过C作交AB的延长线于点D， ，， ， ∵， 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 【解析】 【分析】（1）先根据已知方向角推出，再根据等角对等边可得； （2）过C作交AB的延长线于点D，求出的长，与16海里比较，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由已知条件可得：，，， ， ， ， B处到灯塔C的距离为30海里； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等，由所给方位角得出是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为________； （2）若点是“完美点”，求a的值； （3）若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】（1）4 （2）或 （3） 解：点的长距为5，且点C在第三象限内， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为， 点D到x轴、y轴的距离都是8， ∴D是“完美点”． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； 对于（1），根据“长距”的定义解答即可； 对于（2），根据完美点的定义可得，求出答案； 对于（3），先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可. 【小问1详解】 解：因为点A到x轴的距离数3，到y轴的距离是4， 所以点的“长距”为4； 故答案为：4； 【小问2详解】 解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； 【小问3详解】 略 23. 如图，在中，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． （1）的长为___________； （2）当点在的角平分线上，则的长为___________； （3）在整个运动中，求出以BP为腰的等腰三角形时，的值． 【答案】（1）8 （2）3 （3）t的值为或8 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定等知识点，灵活运用相关判定定理成为解题的关键． （1）根据勾股定理进行计算即可； （2）过点P作于点M，证明得到、，则，设，则，由勾股定理得，然后解方程即可； （3）①当时，②当时，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴． 故答案为：8． 【小问2详解】 解：如图：过点P作于点M， ∵点在的角平分线上， ， ∵，， ， 又， ， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴的值为3． 故答案为：3． 【小问3详解】 ①当时，如图 则，过点P作于M， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：； ∴； ②当时，如图所示： ， ， ∴． 综上，t的值为或8． 24. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，且． （1）若，过点B作，且，请直接写出点C的坐标是______； （2）如图1，若点D在的延长线上，连接，点E在第一象限，且满足，连接，求证：是等腰直角三角形； （3）如图2，点F在的延长线上，以为斜边向下构造等腰直角三角形，连接，若，求的面积． 【答案】（1）或； （2） 证明：如图，与交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形； （3）12 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）分点在轴上方和轴下方两种情况进行讨论求解即可； （2）先证明，再根据三角形全等的性质求解即可； （3）作，交的延长线于点，连接交于点，证明为等腰直角三角形，三线合一得到，证明，得到，，进而得到，求出三角形的面积，再根据三角形的中线平分面积，即可得出结果． 【小问1详解】 解：当点在轴上方时，如图：作轴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时， ∵，， ∴， 又∵， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴； 综上：点的坐标是或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作，交的延长线于点，连接交于点， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $