第2章有理数的运算复习-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（浙教版2024）

40 第2章复习 ▶ “答案与解析”见P14 考点一 有理数的基本运算 典例1 下列各式的计算结果最小的是 ( ) A. -3+(-2) B. 3-(-2) C. 3×(-2) D. (-3)÷(-2) 跟踪训练 1. 下列各式的计算结果最大的是 ( ) A. 0-3 B. -42+3 C. -4×0 D. -|-15|÷(-3) 考点二 科学记数法与近似数 典例2 第七次全国人口普查数据显示,浙江省 常住人口约为6456.76万人,将6456.76万用 科学记数法(精确到十万位)表示为 ( ) A. 6.5×107 B. 0.65×108 C. 6.46×107 D. 0.646×108 跟踪训练 2. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 近似数0.780精确到百分位 B. 近似数30万精确到个位 C. 近似数3.076×104精确到千分位 D. 将279500精确到千位为2.80×105 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级上 41 考点三 有理数的混合运算 典例3 ★计算: (1) 3 2 2 × -112 - -23 2 -12÷ (-0.52). (2) 316×3 1 7-7 1 3 ×619÷1121. (3) +823 ÷(-2.9)- -1023 ÷(-2.9)+ 923÷ (-2.9). 跟踪训练 3. 计算: (1) (-1)4+130- - 2 3+ 3 5 ÷(-2). (2) -32× - 3 5 2 -2519× 19 43× -1 1 2 + 4 5 2 × -32 . 考点四 与乘方运算有关的探索规律问题 典例4 观察下列运算:81=8,82=64,83=512, 84=4 096,85=32 768,86=262 144,…,则81+ 82+83+84+…+82024的个位数字是 . 先判断8n 的个位数字的规律,进而再找出相邻 几个幂的和的结果的个位数字的规律,由此进行 判断. 跟踪训练 4. 观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16, 25=32,26=64,27=128,28=256,…,则 21+22+23+24+25+…+22024 的末位数 字是 ( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 0 考点五 有理数运算的实际应用 典例5 气象资料表明:在连云港地区,海拔每 上升100m,气温就会上升约-0.7℃.小明和小 林为考证江苏第一高峰———玉女峰的海拔,国庆 期间他们进行了实地测量.小明在山下一个海拔 为25m的小山坡上测得气温为20℃,同一时 刻,小林在玉女峰的最高位置测得气温为 15.8℃,则玉女峰的海拔约是多少米? 跟踪训练 5. 因强冷空气南下,预计某地平均每小时气温 变化-1.5℃.如果某天上午10时测得该地 的气温是8℃,那么下午5时该地的气温是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　有理数的运算 42 1. 下列计算结果最小的是 ( ) A. (-1-2)2 B. 3× -45 ÷54 C. -52÷(-5)3 D. (-1)2 025 2. 某市2022年年底机动车的数量约为2.32× 106辆,2023年约新增3.26×105 辆,用科学 记数法表示该市2023年年底机动车的数量 约是(精确到万位) ( ) A. 2.6×105辆 B. 2.646×105辆 C. 2.65×106辆 D. 2.6×106辆 答案讲解 3. 各数位上的数字的立方和与其本身 相等的正整数称为“水仙花数”,例 如:153,因为13+53+33=153,所 以153为“水仙花数”.有下列各数:① 370; ② 371;③ 407;④ 502.其中,“水仙花数”的 个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 某种金属丝,当温度每下降100℃时,其长度 缩短0.2mm.已知15℃时一根这种金属丝 的长度为15mm,若把这根金属丝冷却到零 下5℃,则这根金属丝的长为 mm. 5. 计算: (1) -512 × 1 3- 1 2 ×311÷1-14 . (2) -52×1-1915 + 3 4× - 4 3 2 -23 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 . (3) (-2×3)2÷ 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 -12 2 + -213 ×14+ 1.75+56 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 . 答案讲解 6. 太阳是巨大的气体星球,它的质量 正以每秒约400万吨的速度减少. 已知太阳的直径约为139.2万千 米,地球的半径约为6378千米.请将上述三 个数据用科学记数法表示,并计算: (1) 在一年(按365天计算)内,太阳的质量 大约要减少多少万吨? (2) 在太阳的直径上,大约能摆放多少个地 球(结果保留整数)? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级上 11. 因为23=3+5,“分裂”出的第一 个数是3,3=2×1+1,33=7+9+ 11,“分裂”出的第一个数是7,7=3× 2+1,43=13+15+17+19,“分裂”出 的第一个数是13,13=4×3+1,…, 所以n3“分裂”出的第一个数是n× (n-1)+1. 所以63“分裂”出的第一个数是6× 5+1=31. 所以易得63“分裂”出的奇数中,最大 的奇数是31+2×(6-1)=41. 第2章复习 ［知识体系构建］ 相反数 1 倒数 乘方 乘除 加减 括号里的运算 ［高频考点突破］ 典例1 C [解析] -3+(-2)= -5,3-(-2)=3+2=5,3× (-2)=-6,(-3)÷(-2)=1.5.因 为-6<-5<1.5<5,所以计算结果 最小的是3×(-2). [跟踪训练] 1. D [解析] 0- 3=-3,-42+3=-16+3=-13, -4×0=0,-|-15|÷(-3)= -15÷(-3)=5.因为-13<-3< 0<5,所 以 计 算 结 果 最 大 的 是 -|-15|÷(-3). 典例2 C [解析] 6456.76万= 64567600=6.45676×107 ≈ 6.46×107. [跟踪训练] 2. D [解析] 近似数 0.780精确到千分位,故选项A错误; 近似数30万精确到万位,故选项B错 误;近似数3.076×104 精确到十位, 故选项C错误;279500的千位上的数 字为9,将279500精确到千位为 2.80×105,故选项D正确. 典例3 (1) 原式=94× - 3 2 - 4 9- 1 2 ÷ - 1 4 =-278 - 49 + 2=-13172. (2) 原式=196× 22 7- 22 3 ×619× 21 22= 19 6× 6 19 × 227-223 ×2122= 1× 227× 21 22- 22 3× 21 22 =3-7=-4. (3) 原式=263÷ - 29 10 ― ―323 ÷ -2910 + 293 ÷ -2910 = 263 × -1029 ― ―323 × -1029 +293× -1029 = -1029 × 263 - -323 +293 =-1029×29=-10. 进行有理数的混合运算 要过三关 (1) 顺序关:先判断是否含括 号,若不含括号,则按照先乘方,再 乘除,最后加减的顺序进行计算; 若含括号,则按照先算小括号内 的,再算中括号内的,最后算大括 号内的顺序进行计算. (2) 转化关:除法转化为乘法; 在乘除运算中,小数转化为分数, 带分数转化为假分数. (3) 简算关:合理地使用运算 律,不仅可以化繁为简,还可以保 证运算正确、迅速. [跟踪训练] 3. (1) 原式=1+130- 1 3- 3 10 =1+130-130=1. (2) 原式 =-32× -35 2 -2519× 19 43+ 4 5 2 =-32× 925-4319× 19 43+ 16 25 =-32× 925+1625-1 = -32×0=0. 典例4 0 [解析] 由81=8,82=64, 83=512,84=4096,85=32768,86= 262144……发现8n 的个位数字的规 律是8,4,2,6四个数字为一组循环. 因为81 的个位数字是8,81,82 的个 位数字的和是8+4=12,即81+82的 个位数字是2,同理,可得81+82+ 83 的个位数字是4,81+82+83+ 84 的个位数字是0,81+82+83+ 84+85 的个位数字是8,所以81+ 82+83+84+…+8n 的个位数字的规 律是8,2,4,0四个数字为一组循环. 因为2024÷4=506,所以81+82+ 83+84+…+82024的个位数字是0. [跟踪训练] 4. D [解析] 因为 21=2,22=4,23=8,24=16,25=32, 26=64,27=128,28=256,…,所以末 尾数字每4个循环一次.因为2024÷4= 506,所以21+22+23+24+25+…+ 22024 的末位数字与21+22+23+ 24的末位数字相同.因为21=2,22= 4,23=8,24=16,所以21+22+23+ 24的末位数字是0.所以21+22+ 23+24+25+…+22024 的末位数字 是0. 典例5 根据题意,得25+[(15.8- 20)÷(-0.7)]×100=625(m), 所以玉女峰的海拔约是625m. [跟踪训练] 5. -2.5℃ [解析] (12+5-10)×(-1.5)=-10.5(℃), 8+(-10.5)=-2.5(℃),所以下午 5时该地的气温是-2.5℃. ［综合素能提升］ 1. B [解析] (-1-2)2=(-3)2= 9,3× -45 ÷ 54 =-3× 45 × 4 5=- 48 25 ,-52÷(-5)3= 15 , 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 (-1)2 025=-1.因为-4825<-1< 1 5<9 ,所以计算结果最小的是3× -45 ÷54. 2. C [解析] 2023年年底机动车的 数量为3.26×105+2.32×106= 326000+2320000=2646000≈ 2.65×106(辆). 3. C [解析] 因为33+73+03= 370,所以370是“水仙花数”.因为 33+73+13=371,所以371是“水仙 花数”.因为43+03+73=407,所以 407是“水仙花数”.因为53+03+ 23=133<502,所以502不是“水仙花 数”.所以“水仙花数”的个数为3. 4. 14.96 [解析] 15-(0.2÷100)× [15-(-5)]=15-0.002×(15+ 5)=15-0.002×20=15-0.04= 14.96(mm),所以若把这根金属丝冷 却到零下5℃,则这根金属丝的长为 14.96mm. 5. (1) 原式=112× 1 3- 1 2 ×311÷ 3 4= 11 2× 3 11× 4 3 × 13-12 = 2× 13- 1 2 =2×13-2×12= 2 3-1=- 1 3. (2) 原 式 = -25× 415+ 3 4 × 16 9-8 =-203+34×169-34× 8=-203+ 4 3-6=-11 1 3. (3) 原式=(-6)2÷ 14+ -73 × 1 4+1.75+ 5 6 =36÷ 14-712+ 7 4+ 5 6 =36÷94=36×49=16. 6. 400 万 =4×106,139.2 万 = 1.392×106,6371=6.371×103. (1) 在一年内,太阳的质量大约要减少 400×365×24×60×60=1.26144× 1010(万吨). (2) 在太阳的直径上,大约能摆放 1392000÷(6378×2)≈109(个) 地球. 第3章　实　数 3.1　平 方 根 1. C 2. B 3. C 4. -10 [解析] 因为25的算术平方 根为x,所以x= 25=5.因为4是 y+1的一个平方根,所以y+1=42, 解得y=15.所以x-y=5-15= -10. 5. (1) ± 400表示400的平方根, ± 400=±20. (2) 4 49 表示 4 49 的算术平方根, 4 49= 2 7. (3) - 0.25表示0.25的负平方 根,- 0.25=-0.5. 6. D [解析] -64没有算术平方根, 故A不符合题意;17是(-17)2 的算 术平方根,故B不符合题意;916 的平 方根 是 ± 34 ,故 C 不 符 合 题 意; 49=7,±7是7的平方根,故D符 合题意. 7. B [解析] 因为 0的绝对值是0, 且0的算术平方根是0;1的绝对值是 1,且1的算术平方根是1,所以这个 数是0或1. 8. 0.8 [解 析] 由 题 意 可 知, 10000块完全相同的正方形大理石的 面积之和为6400m2,所以每块正方 形大理石的面积为6400÷10000= 0.64(m2).所以所需正方形大理石的 边长是 0.64=0.8(m). 9. (1) 因为 2 11 2 = 4121 , 所以这个正数为2 11. (2) 因为(-0.9)2=0.81, 所以这个负数为-0.9. (3) 因为一个数的平方为13, 所以这个数是13的平方根. 又因为13的平方根为± 13, 所以这个数为± 13. 10. 分两种情况讨论: ① 当a+3=2a-15时,解得a=18. 所以a+3=21. 所以这个正数为212=441. ② 当a+3≠2a-15时, 因为一个正数的两个平方根互为相 反数, 所以a+3+2a-15=0,解得a=4. 所以a+3=7. 所以这个正数为72=49. 综上所述,这个正数是441或49. 忽略题目中的隐含条件导致漏解 正数有两个平方根,且这两个 平方根互为相反数.在未告知是 两个不同的平方根的基础上就需 要分类讨论,这两个平方根有可能 相等,也有可能互为相反数.本题 易因忽略“是两个相同的平方根” 这一情况而导致漏解. 3.2　实　数 1. D 2. B 3. 23 ±6 4. (1) ②⑦⑧ (2) ①④⑤⑨ (3) ③⑥⑩ 5. 点A 表示的数为-1.5,点B 表示 的数为 2,点C 表示的数为 5,点D 表示的数为3,点E 表示的数为π. -1.5<2<5<3<π. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51