第2章 实数的初步认识 题型精讲讲义-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

苏科版·八年级上册·第2章 实数的初步认识·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第2章 实数的初步认识 题型精讲讲义-2026-2027学年苏科版数学八年级上册 苏科版（2024年版）八年级数学上册　第2章　实数的初步认识　2.1平方根　2.2立方根　2.3实数　2.4近似值 含 10 个考点例题　/　共 94 题（变式 46 · 易错 8 · 作业 30）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出算术平方根、平方根、立方根的意义，会用、±、∛a表示；会求、0.0169、这类数的算术平方根、平方根与立方根，知道正数有两个平方根、0的平方根是0、负数没有平方根，而任何数都有唯一的立方根。 2．会用开平方、开立方解x²＝a、(x＋m)³＝n这类方程；会用≥0、a≥0求字母的值或范围；能把“X的平方根是±m”“Y的立方根是n”翻译成X＝m²、Y＝n³解综合题。 3．知道无理数是无限不循环小数，会把实数按有理数、无理数或按正、负分类；会在数轴上作出表示－1、的点，会用平方、立方夹逼估算、∛100的范围，会比较实数大小、求相反数与绝对值、做简单的实数运算并按要求取近似值。 学习重难点 重点：算术平方根、平方根、立方根的求法与区别；用开方解方程；无理数的识别、实数与数轴的一一对应、估算与比较大小。 难点：＝|a|与非负性的综合；无理数的整数部分与小数部分；近似值的精确程度（2.50与2.5不同）。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　算术平方根 2 知识点 02　平方根与开平方 3 知识点 03　立方根与开立方 3 知识点 04　无理数与实数的分类 3 知识点 05　实数与数轴，估算与比较大小 4 知识点 06　实数的运算与近似值 4 考点 1　求算术平方根与平方根 5 考点 2　用平方根的意义解方程 6 考点 3　算术平方根的非负性 7 考点 4　求立方根与用立方根解方程 8 考点 5　平方根与立方根的综合运用 9 考点 6　无理数的识别与实数的分类 9 考点 7　实数与数轴上的点 10 考点 8　无理数的估算：范围、整数部分与小数部分 12 考点 9　实数的大小比较 13 考点 10　实数的运算与近似值 14 易错专练 15 课后作业（一）基础巩固 15 课后作业（二）能力进阶 17 课后作业（三）拓展延伸 18 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　算术平方根 教材从“已知正方形纸片的面积，求它的边长”引出新的数：面积为a的正方形，边长x满足x²＝a。一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”；规定0的算术平方根是0，即＝0。由定义，只有a≥0时才有意义，而且本身也不小于0。例：因为1.2²＝1.44，所以1.44的算术平方根是1.2，即＝1.2。 x²＝a且x≥0 ⇔ x＝ a≥0时，≥0（两个“非负”） 小提示：算术平方根只取不小于0的那一个；根号下面出现负数时，这个式子没有意义。 知识点　02　平方根与开平方 当x取哪些值时，x²＝a？一般地，如果x²＝a（a≥0），那么x叫作a的平方根，也称为二次方根。因为x与－x的平方相等，所以一个正数有两个平方根，它们互为相反数，记作±，其中正的平方根就是算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根。求一个数的平方根的运算叫作开平方，开平方与平方互为逆运算。由定义还能得到：＝a（a≥0），等于a的绝对值。例：因为14²＝196，所以196的平方根是±14，其中14是196的算术平方根。 a＞0：平方根为±（两个，互为相反数） a＝0：平方根是0；a＜0：没有平方根 ＝a（a≥0）；＝|a| 小提示：“求平方根”与“求算术平方根”的答案个数不同：正数的平方根有两个，算术平方根只有一个。 知识点　03　立方根与开立方 体积为2的正方体，它的棱长x满足x³＝2。一般地，如果x³＝a，那么x叫作a的立方根，也称为三次方根，记作∛a，读作“三次根号a”。求一个数的立方根的运算叫作开立方，开立方与立方互为逆运算。正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，所以任何一个数都有并且只有一个立方根。例：因为(－7)³＝－343，所以－343的立方根是－7，记作∛(－343)＝－7。 x³＝a ⇔ x＝∛a（a可以是任意数） ∛(－a)＝－∛a；(∛a)³＝a 小提示：负数没有平方根，却有立方根；正数开平方得到两个结果，开立方只得到一个结果。 知识点　04　无理数与实数的分类 有理数包括整数和分数，所有的分数都能写成有限小数或循环小数。无限不循环小数叫作无理数，它不能写成（m、n是整数，n≠0）的形式；和有理数一样，无理数也分为正无理数和负无理数。本章常见的无理数有三类：开方开不尽的数，如、∛5；含π的数，如π－3；按规律构造的无限不循环小数，如5.0505505550…（每两个0之间5的个数依次多1个）。有理数和无理数统称为实数。例：是分数，属于有理数；＝7，也是有理数——带根号的数不一定是无理数。 实数：有理数（整数、有限小数或循环小数）与无理数（无限不循环小数） 实数：正实数、0、负实数 小提示：判断前先化简：、∛(－8)化简后是整数；π/2里的π约不掉，所以π/2是无理数，不是分数。 知识点　05　实数与数轴，估算与比较大小 有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以。把四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，依次连接它的四条边的中点，得到的正方形面积是2，边长是，这条边恰好是一个小正方形的对角线。以原点为圆心、这条对角线的长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示。事实上，实数与数轴上的点一一对应：每个实数都能用数轴上的一个点表示，数轴上的每个点都表示一个实数；数轴上右边的点表示的实数比左边的大。估计一个无理数的范围，常用平方（或立方）去夹：例如2.6²＝6.76，2.7²＝7.29，而6.76＜7＜7.29，所以2.6＜＜2.7。 单位正方形的对角线长为 0≤a＜b时，＜；a＜b时，∛a＜∛b 小提示：“面积为n的正方形的边长是”是把无理数画到数轴上的依据；用圆规截取时，圆心放在哪个点，就从哪个点表示的数出发加减。 知识点　06　实数的运算与近似值 在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，也可以开立方，非负实数还可以开平方；有理数的相反数、绝对值、倒数的意义以及运算律、运算法则，在实数范围内仍然适用。例如－3的相反数是3－；因为＜3，所以－3|＝3－。生产、生活中的许多数据是近似值，取近似值一般用四舍五入法，并说明精确到哪一位；π、这类无理数参与实际计算时，按要求取近似值，也可以借助计算器。近似值0.3与0.30的精确程度不同：前者精确到十分位，后者精确到百分位。 a的相反数是－a；a≥0时|a|＝a，a＜0时|a|＝－a 近似值：四舍五入，写明“精确到0.1（十分位）”等 小提示：去绝对值前先判断里面的数的正负；近似值末尾的0表示精确程度，不能随手去掉。 【题型1】求算术平方根与平方根 求算术平方根、平方根都从“哪个数的平方等于它”入手：先找出平方等于这个数的非负数，得到算术平方根；再补上它的相反数，得到平方根。分数分子、分母分别看，小数看小数位数，答案要写清是一个还是一对。 例1　分别求出下列各数的算术平方根与平方根：(1)；(2)0.0169。 【分析】先找平方等于已知数的正数，它就是算术平方根；平方根再添上它的相反数。121＝11²，36＝6²；0.0169有四位小数，对应的数有两位小数。 【解答】(1)因为＝，所以的算术平方根是，即＝；的平方根是±。 (2)因为0.13²＝0.0169，所以0.0169的算术平方根是0.13，即＝0.13；0.0169的平方根是±0.13。 【方法小结】求平方根＝先求算术平方根，再写“±”；小数开平方时，结果的小数位数是原数小数位数的一半。 题型1　变式：先化简再开方、符号写法、负数的平方与反求原数 五道变式分别练：对一个算术平方根再开平方、带“±”与带“－”的式子求值、辨认平方根的规范写法、先算负数的平方再开方，以及由算术平方根、平方根反求原数。 变式1　的平方根是____。 变式2　写出下列各式的值：±＝____；＝____。 变式3　把“的平方根是±”写成式子，规范的写法是（　　）。 A．＝± B．±＝± C．±＝ D．＝ 变式4　(－6)²的算术平方根是____，(－6)²的平方根是____。 变式5　若＝1.3，则a＝____；若b的平方根是±0.2，则b＝____。 【题型2】用平方根的意义解方程 形如x²＝a的方程，先整理成“x²＝一个数”或“(整体)²＝一个数”，再开平方：右边是正数时有两个解，是0时有一个解，是负数时无解。整体开平方以后，别忘了再解出x。 例1　求下列各式中x的值：(1)9x²－121＝0；(2)(2x＋1)²＝2.25。 【分析】(1)先移项、再两边同除以9，化成x²＝；(2)把2x＋1看成一个整体，它的平方是2.25，所以它等于±1.5。 【解答】(1)移项，得9x²＝121；两边同除以9，得x²＝。 因为(±＝，所以x＝或x＝。 (2)由平方根的意义，得2x＋1＝1.5或2x＋1＝－1.5。 由2x＋1＝1.5，得x＝0.25；由2x＋1＝－1.5，得x＝－1.25。 【方法小结】开平方前把平方项的系数化为1；整体开平方得到两个一次方程，分别求解。 题型2　变式：结果带根号、系数不为1、取值范围与实际中的半径 五道变式依次练：解出结果不是有理数的方程、整体的系数不为1、由解的个数反推字母的范围、由算术平方根列方程、以及求圆形水池的半径。 变式1　方程5x²＝35的解是____。 变式2　求方程25(x－3)²＝64中x的值。 变式3　要使x²＝k－2恰好有两个互为相反数的解，k应满足（　　）。 A．k＞2 B．k≥2 C．k＜2 D．k＝2 变式4　若(x＋2)²的算术平方根是5，则x＝____。 变式5　一个圆形喷水池的水面面积是50.24 m²，求这个水池的半径（π取3.14）。 【题型3】算术平方根的非负性 有两层非负：根号下的a≥0，结果≥0。几个非负数（算术平方根、平方、绝对值）的和为0时，每一个都等于0；式子有意义，先写出a≥0。 例1　已知与|b＋5|互为相反数，求a－b的立方根。 【分析】两数互为相反数，和为0；与|b＋5|都是非负数，和为0时两个都等于0。 【解答】由题意，得＋|b＋5|＝0。 因为≥0，|b＋5|≥0，所以2a－6＝0，b＋5＝0，解得a＝3，b＝－5。 所以a－b＝3－(－5)＝8，因为2³＝8，所以a－b的立方根是2。 【方法小结】见到“算术平方根＋绝对值（或平方）＝0”，立刻拆成“各部分都等于0”，再求字母。 题型3　变式：有意义的条件、两式和为0与夹出一个确定的值 四道变式练非负性的四种出现方式：式子有意义的条件、平方与算术平方根之和为0、两个算术平方根同时有意义夹出唯一值、以及列二元一次方程组求字母。 变式1　当x满足____时，表示一个实数。 变式2　若(m－2)²＋＝0，则3m－n的算术平方根是____。 变式3　已知y＝＋＋4，则x＋y的算术平方根是（　　）。 A．3 B．±3 C．9 D． 变式4　已知实数a、b满足＋(a－b＋3)²＝0，求2a＋b的平方根。 【题型4】求立方根与用立方根解方程 开立方只找一个数：它的立方恰好等于已知数；正数、0、负数的立方根依次是正数、0、负数。解方程时先化成“x³＝一个数”或“(整体)³＝一个数”，再开立方，只有一个解。 例1　(1)求的立方根；(2)解方程：2(x＋5)³＋54＝0。 【分析】(1)负数的立方根是负数，64＝4³，125＝5³；(2)把(x＋5)看成整体，先化成(x＋5)³＝－27。 【解答】(1)因为＝，所以的立方根是。 (2)移项，得2(x＋5)³＝－54；两边同除以2，得(x＋5)³＝－27。 因为(－3)³＝－27，所以x＋5＝－3，解得x＝－8。 【方法小结】开立方不分正负两种情况；负数开立方，结果带负号。 题型4　变式：小数与分数开立方、概念辨析、整体开立方、容积与由立方根求字母 五道变式覆盖立方根的常见用法：小数、分数的立方根，概念辨析，整体开立方解方程，正方体容器的容积与棱长，以及由立方根反求字母。 变式1　∛0.216＝____；－∛＝____。 变式2　下列说法中，正确的是（　　）。 A．0.001的立方根是±0.1 B．－27没有立方根 C．∛＝ D．立方根等于本身的数只有0和1 变式3　求下列各式中x的值：(1)27x³＋64＝0；(2)(3x－1)³＝。 变式4　一个正方体水箱的容积是1.728 m³。现要改造成容积为13.824 m³的正方体水箱，它的棱长要增加多少米？ 变式5　若∛(2a－1)＝－3，则a＝____。 【题型5】平方根与立方根的综合运用 这类题把两种开方连在一起：先由一个条件（平方根、算术平方根或立方根）列出等式求字母，再代入所求式子开方。每一步都要看清题目问的是算术平方根、平方根还是立方根。 例1　已知2a－1的平方根是±5，3a＋b－1的立方根是4，求a＋2b的平方根。 【分析】“2a－1的平方根是±5”说明2a－1＝25；“3a＋b－1的立方根是4”说明3a＋b－1＝4³＝64。 【解答】由题意，得2a－1＝25，解得a＝13。 又3a＋b－1＝64，即3×13＋b－1＝64，解得b＝26。 所以a＋2b＝13＋2×26＝65，65的平方根是±。 【方法小结】把“X的平方根是±m”翻译成X＝m²，把“Y的立方根是n”翻译成Y＝n³，问题就变成解一元一次方程。 题型5　变式：两个平方根的和为0、两种开方同题与选择中的连环开方 四道变式练：由一个正数的两个平方根互为相反数列方程、平方根与立方根同时给出、先求字母再求平方根，以及选择题里的连续两次开方。 变式1　若一个正数的两个平方根分别是2m－3和m＋9，则m＝____，这个正数是____。 变式2　－3既是a的一个平方根，又是b的立方根，那么a－b的算术平方根是____。 变式3　实数x、y满足＝3，∛(2x－y＋1)＝3。求x＋y的平方根。 变式4　的算术平方根与－8的立方根的和是（　　）。 A．0 B．2 C．4 D．－4 【题型6】无理数的识别与实数的分类 判断一个数是不是无理数，先化简或写成小数再看：能化成整数、分数、有限小数或循环小数的都是有理数；开方开不尽的数、含π的数（π约不掉）、按规律构造的无限不循环小数才是无理数。 例1　把下列各数分别填入相应的集合里：－∛27，π/3，，3.14159，，0，，1.3030030003…（每两个3之间的0依次多1个）。(1)有理数集合；(2)无理数集合。 【分析】先把带根号的数化简：－∛27＝－3，＝都是有理数；0.4不是某个有理数的平方，开方开不尽。 【解答】因为(－3)³＝－27，所以－∛27＝－3；因为＝，所以＝。 (1)有理数集合：－∛27，3.14159，，0，。 (2)无理数集合：π/3，，1.3030030003…（每两个3之间的0依次多1个）。 【方法小结】3.14159是有限小数，是有理数；π/3含π，是无理数。分类前“先化简、再归类”。 题型6　变式：数出无理数的个数、写出指定范围的无理数、按正负分类与概念辨析 四道变式从四个方向练分类：数一组数里的无理数、按要求写出一个无理数、按正负与有理无理双重标准归类，以及对概念的辨析。 变式1　在，，∛(－8)，π－3，3.3，，0.7中，无理数的个数是（　　）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2　写出一个比－2大且比－1小的无理数：____。 变式3　在，∛64，π/2，－0.5，0，这六个数中，正实数有____个，负无理数有____个。 变式4　关于有理数、无理数与数轴，叙述正确的一项是（　　）。 A．无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．无理数都可以用数轴上的点表示 D．两个无理数的和一定是无理数 【题型7】实数与数轴上的点 实数与数轴上的点一一对应。把无理数画到数轴上，靠“面积为n的正方形的边长是”配合圆规截取；由点的位置读数时，先看它在哪两个整数之间，再用距离求数：数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数。 例1　如图，正方形ABCD的边AB落在数轴上，点A、B分别对应－1和0，正方形在数轴上方。以A为圆心、对角线AC为半径画弧，与数轴交于A右侧的点P。(1)求AC的长；(2)求点P表示的数。 【分析】AC是边长为1的正方形的对角线，由知识梳理可知它的长是；点P在A的右边，到A的距离等于AC。 【解答】(1)正方形ABCD的边长AB＝0－(－1)＝1，AC是它的对角线。四个这样的正方形拼成的大正方形中，连接各边中点得到的正方形面积为2，其边长就是AC，所以AC＝。 (2)AP＝AC＝，点P在点A右侧，所以点P表示的数是－1＋，即－1。 因为＞1，所以－1＞0，点P在原点右侧，与图一致。 【方法小结】点在圆心的右边就“加上半径”，在左边就“减去半径”；最后用估算检查位置是否合理。 题型7　变式：两点间距离、读出点表示的数、方格纸上的负无理数、平移与到定点距离 五道变式练数轴上的五个动作：求两点间的距离、判断点表示的是哪个无理数、读出方格纸上作出的负无理数、点的平移，以及到一个定点距离为无理数的点。 变式1　如图，点A、B在数轴上，对应的实数分别为和2，线段AB的长为____。 变式2　如图，观察点P在数轴上的位置，它对应的实数最可能是（　　）。 A． B． C． D． 变式3　如图，在单位长度为1的数轴上方铺着方格纸（小方格边长也是1），以原点O为一个顶点画出格点正方形OEFG，再以O为圆心、OE的长为半径画弧，交数轴负半轴于点M。(1)求正方形OEFG的面积；(2)求点M表示的数。 变式4　如图，数轴上点M表示，把点M向左移动3个单位长度得到点N，则点N表示的数是____，点N到原点的距离是____。 变式5　如图，数轴上点A表示1，与点A的距离为的点所表示的数是____。 【题型8】无理数的估算：范围、整数部分与小数部分 估算，先找两个相邻的完全平方数把n夹住；估算∛n，找两个相邻的立方数。要更精确，就在两个整数之间再取一位小数继续夹。整数部分由估算得到，小数部分＝这个数－整数部分。 例1　(1)在哪两个相邻的整数之间？(2)设的整数部分为a，小数部分为b，求a－b的值。 【分析】49＜55＜64，而49＝7²，64＝8²。 【解答】(1)因为7²＝49，8²＝64，而49＜55＜64，所以7＜＜8，即在7与8之间。 (2)由(1)知a＝7，b＝－7。 a－b＝7－－7)＝14－。 【方法小结】小数部分不能写成“0.4…”这样的近似数，要写成“原数－整数部分”的准确形式。 题型8　变式：估算后再加减、夹出立方根、差的整数部分、精确到0.1与实际判断 五道变式把估算走完整：估算一个“无理数减整数”、用立方数夹住立方根、求“整数减无理数”的整数部分与小数部分、夹逼到十分位，以及用估算做实际判断。 变式1　估计－2的值在（　　）。 A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 变式2　已知m、n是两个连续整数，且m＜∛100＜n，则m＋n＝____。 变式3　把8－写成“整数部分＋小数部分”，其中整数部分为____，小数部分为____。 变式4　不用计算器，把精确到0.1（写出夹逼过程）。 变式5　学校要做一块面积为40 m²的正方形展板，现有一根长6.5 m的木条，它能否整根用作展板一条边的边框（木条不短于展板边长即可）？ 【题型9】实数的大小比较 比较实数大小的常用办法：①估算成小数再比；②比较平方（两个正数，平方大的数大）或立方；③借助数轴，右边的点表示的数大；④作差看正负。两个负数比较，绝对值大的反而小。 例1　比较下列各组数的大小：(1)－与－4；(2)与0.5。 【分析】(1)先比绝对值：15＜16；(2)把0.5改写成与左边同结构的式子，或估出的范围。 【解答】(1)因为15＜16，所以＜4，两个负数绝对值大的反而小，所以＞－4。 (2)因为2.5²＝6.25＜7，所以＞2.5，于是－1＞1.5，＞1.5÷3＝0.5。 【方法小结】比较含根号的数，把有理数写成“根号”形式或把无理数夹在两个有理数之间，是两条最常用的路。 题型9　变式：立方比较与作差、四个负数排序、绝对值小于一个无理数的整数 四道变式练比较的四种方法：立方比较与作差、把几个负数从小到大排列、把一个数与有理数作差比较，以及由大小关系找整数。 变式1　比较大小：∛30____3.2；－1____2。（填“＞”“＜”或“＝”） 变式2　把，－1.5，－∛2，－π/2按从小到大的顺序排列，正确的是（　　）。 A．－∛2＜＜－1.5＜－π/2 B．－1.5＜－π/2＜＜－∛2 C．－π/2＜＜－1.5＜－∛2 D．－π/2＜－1.5＜＜－∛2 变式3　比较－2与的大小。 变式4　如图，数轴上标出了表示与的点，绝对值小于的整数共有____个，它们的和是____。 【题型10】实数的运算与近似值 实数运算沿用有理数的运算顺序与运算律：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；含无理数的绝对值先判断正负再去掉。实际问题要按“精确到××”的要求用四舍五入取近似值。 例1　(1)按运算顺序求值：－∛＋|1－；(2)物体从高处自由下落，下落高度h（m）与时间t（s）近似满足h＝5t²。一个物体从70 m高处落下，落到地面大约需要几秒？（结果精确到0.01 s，≈3.7417） 【分析】(1)与∛都能开尽；1－的正负由＞1判断。(2)把h＝70代入，求出t²，再开平方取正值。 【解答】(1)因为1.1²＝1.21，所以＝1.1；因为＝，所以∛＝；因为＞1，所以|1－＝－1。 原式＝1.1－＋－1＝1.1＋1.5－1＋＝1.6＋。 (2)由5t²＝70，得t²＝14；时间为正数，所以t＝≈3.7417≈3.74。 答：落到地面大约需要3.74 s。 【方法小结】开方能开尽的先开出来，开不尽的保留根号；实际问题只取有意义的正值，最后一步才取近似值。 题型10　变式：相反数与绝对值、去绝对值求和、混合运算、精确程度与取近似值 五道变式依次练：写出无理数的相反数与绝对值、连续去掉几个绝对值、含开方的混合运算、判断近似值的精确程度，以及按要求取近似值。 变式1　－2的相反数是____，绝对值是____。 变式2　先去掉绝对值符号，再求值：－＋|1－＋|2－。 变式3　按运算顺序计算：(－2)³÷∛(－8)＋×(－2)＝____。 变式4　由四舍五入得到的近似值2.30精确到（　　）。 A．个位 B．十分位 C．百分位 D．千分位 变式5　已知≈2.6458，π≈3.14159，则π－精确到0.01约为____。 　易错专练 本章的失分集中在七处：式中已有根号却忘了先化简、负数开平方、x²＝a漏解、忘了非负、近似值的精确程度、负数比较大小、取值范围丢等号，外加立方根的特殊值。下面八题各守一处，先独立做，再对照答案里的错解与错因。 易错1　的平方根是____。 易错2　∛(－8)的平方根是____。 易错3　若(x－1)²＝(－3)²，求x的值。 易错4　化简：＝____；＝____。 易错5　某零件长度的近似值为2.50 cm（由四舍五入得到），则这个零件的实际长度a的范围是____。 易错6　比较大小：____－1.7。（填“＞”或“＜”） 易错7　若＝2－a，则a的取值范围是____。 易错8　立方根等于它本身的数一共有____个，它们是____。 　课后作业（一）基础巩固 下面10题每题只有一个选项符合题意，把字母填进括号里。考查次序是：算术平方根、无理数、立方根、实数与数轴、开方的写法、估算、数轴上的距离、准确值与近似值、连续开方与立方根的应用。 1．9的算术平方根是（　　）。 A．±3 B．3 C．－3 D．81 2．在∛8，3.1415，，这四个数中，是无理数的是（　　）。 A．∛8 B．3.1415 C． D． 3．－27的立方根是（　　）。 A．3 B．－3 C．±3 D．－9 4．每一个都能用数轴上唯一的一个点表示，而且数轴上每一个点都表示其中的一个数，这样的一类数是（　　）。 A．有理数 B．无理数 C．整数 D．实数 5．四个等式中，成立的是（　　）。 A．＝±4 B．±＝0.5 C．∛(－125)＝－5 D．＝－3 6．估计的值在（　　）。 A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 7．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和，点C在点A的左侧，且AC＝AB，则点C表示的数是（　　）。 A．－2－ B．－1－ C．－2＋ D．1＋ 8．准确值与近似值要分清：四项里给出准确值的一项是（　　）。 A．某地全年降水量约为1100 mm B．一本书有256页 C．一名学生身高1.62 m D．光速约为3×10⁸ m/s 9．若x是64的平方根，则∛x等于（　　）。 A．2 B．－2 C．2或－2 D．±4 10．一个正方体木块的体积是343立方厘米，把它锯成8个同样大小的小正方体，每个小正方体的棱长是（　　）。 A．3.5 cm B． cm C．42.875 cm D． cm 　课后作业（二）能力进阶 第11～21题只要求写出结果，不必写过程。这一组把平方根、立方根、绝对值、估算、相反数与倒数、近似值、数轴上的对称以及算术平方根的小数点移动规律各考一遍。 11．0.0036的平方根是____。 12．若a的立方根是－0.5，则a＝____。 13．若|a|＝，则a＝____。 14．在数轴上，表示的点落在表示两个相邻整数____与____的点之间。 15．与最接近的整数是____。 16．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则－∛(a＋b)＋3＝____。 17．一个自然数的算术平方根是m，则比这个自然数大1的自然数的算术平方根是____。 18．把3.96582精确到0.01是____，精确到0.1是____。 19．如图，点C表示1，点A表示。在数轴上取一点B，使C恰好是线段AB的中点，那么B对应的实数是____。 20．若是整数，则正整数n的最小值是____。 21．已知≈1.536，≈4.858，则≈____，≈____。 　课后作业（三）拓展延伸 第22～30题要写出完整的计算或求解过程。这一组把实数的混合运算、开方解方程、公式求值、近似值、估算、新定义运算与正方体的棱长综合使用。 22．按运算顺序计算：×(－5)＋∛÷＋－2|。 23．求下列各式中x的值：(1)3(x－1)²＝75；(2)(x＋1)³＋0.001＝0。 24．单摆摆动一个来回所用的时间T（s）与摆长l（m）之间近似满足T＝。一个单摆的摆长是0.9 m，求它摆动一个来回所用的时间（π取3.14，结果精确到0.1 s）。 25．把一张长8 cm、宽5 cm的长方形纸片剪拼成一个正方形（面积不变）。(1)求这个正方形的边长（精确到0.01 cm，≈6.3246）；(2)再沿这个正方形的四周各剪掉一条宽度相同的纸条，使剩下的正方形面积为25 cm²，求纸条的宽（精确到0.01 cm）。 26．已知5＋的整数部分是x，小数部分是y，求x＋|y－1|的值。 27．一个长方体箱子的长、宽、高之比为3∶2∶1，它的体积是162立方分米。(1)求这个箱子的长；(2)求它的表面积。 28．规定一种新运算：a※b＝－∛b（a≥0）。计算(16※8)※(－27)。 29．甲、乙两个正方形花坛，甲的面积为20 m²，乙的周长为18 m。通过计算比较，哪个花坛的边长更长？ 30．一个正方体的体积是125立方厘米，现要做一个形状相同的新正方体，使它的表面积是原来的4倍。求新正方体的棱长和体积。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版·八年级上册·第2章 实数的初步认识·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第2章 实数的初步认识 题型精讲讲义-2026-2027学年苏科版数学八年级上册 苏科版（2024年版）八年级数学上册　第2章　实数的初步认识　2.1平方根　2.2立方根　2.3实数　2.4近似值 含 10 个考点例题　/　共 94 题（变式 46 · 易错 8 · 作业 30）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出算术平方根、平方根、立方根的意义，会用、±、∛a表示；会求、0.0169、这类数的算术平方根、平方根与立方根，知道正数有两个平方根、0的平方根是0、负数没有平方根，而任何数都有唯一的立方根。 2．会用开平方、开立方解x²＝a、(x＋m)³＝n这类方程；会用≥0、a≥0求字母的值或范围；能把“X的平方根是±m”“Y的立方根是n”翻译成X＝m²、Y＝n³解综合题。 3．知道无理数是无限不循环小数，会把实数按有理数、无理数或按正、负分类；会在数轴上作出表示－1、的点，会用平方、立方夹逼估算、∛100的范围，会比较实数大小、求相反数与绝对值、做简单的实数运算并按要求取近似值。 学习重难点 重点：算术平方根、平方根、立方根的求法与区别；用开方解方程；无理数的识别、实数与数轴的一一对应、估算与比较大小。 难点：＝|a|与非负性的综合；无理数的整数部分与小数部分；近似值的精确程度（2.50与2.5不同）。 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　算术平方根 3 知识点 02　平方根与开平方 3 知识点 03　立方根与开立方 4 知识点 04　无理数与实数的分类 4 知识点 05　实数与数轴，估算与比较大小 5 知识点 06　实数的运算与近似值 5 考点 1　求算术平方根与平方根 6 考点 2　用平方根的意义解方程 7 考点 3　算术平方根的非负性 7 考点 4　求立方根与用立方根解方程 8 考点 5　平方根与立方根的综合运用 9 考点 6　无理数的识别与实数的分类 9 考点 7　实数与数轴上的点 10 考点 8　无理数的估算：范围、整数部分与小数部分 12 考点 9　实数的大小比较 13 考点 10　实数的运算与近似值 14 易错专练 15 课后作业（一）基础巩固 15 课后作业（二）能力进阶 16 课后作业（三）拓展延伸 17 参考答案与解析 18 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　算术平方根 教材从“已知正方形纸片的面积，求它的边长”引出新的数：面积为a的正方形，边长x满足x²＝a。一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”；规定0的算术平方根是0，即＝0。由定义，只有a≥0时才有意义，而且本身也不小于0。例：因为1.2²＝1.44，所以1.44的算术平方根是1.2，即＝1.2。 x²＝a且x≥0 ⇔ x＝ a≥0时，≥0（两个“非负”） 小提示：算术平方根只取不小于0的那一个；根号下面出现负数时，这个式子没有意义。 知识点　02　平方根与开平方 当x取哪些值时，x²＝a？一般地，如果x²＝a（a≥0），那么x叫作a的平方根，也称为二次方根。因为x与－x的平方相等，所以一个正数有两个平方根，它们互为相反数，记作±，其中正的平方根就是算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根。求一个数的平方根的运算叫作开平方，开平方与平方互为逆运算。由定义还能得到：＝a（a≥0），等于a的绝对值。例：因为14²＝196，所以196的平方根是±14，其中14是196的算术平方根。 a＞0：平方根为±（两个，互为相反数） a＝0：平方根是0；a＜0：没有平方根 ＝a（a≥0）；＝|a| 小提示：“求平方根”与“求算术平方根”的答案个数不同：正数的平方根有两个，算术平方根只有一个。 知识点　03　立方根与开立方 体积为2的正方体，它的棱长x满足x³＝2。一般地，如果x³＝a，那么x叫作a的立方根，也称为三次方根，记作∛a，读作“三次根号a”。求一个数的立方根的运算叫作开立方，开立方与立方互为逆运算。正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，所以任何一个数都有并且只有一个立方根。例：因为(－7)³＝－343，所以－343的立方根是－7，记作∛(－343)＝－7。 x³＝a ⇔ x＝∛a（a可以是任意数） ∛(－a)＝－∛a；(∛a)³＝a 小提示：负数没有平方根，却有立方根；正数开平方得到两个结果，开立方只得到一个结果。 知识点　04　无理数与实数的分类 有理数包括整数和分数，所有的分数都能写成有限小数或循环小数。无限不循环小数叫作无理数，它不能写成（m、n是整数，n≠0）的形式；和有理数一样，无理数也分为正无理数和负无理数。本章常见的无理数有三类：开方开不尽的数，如、∛5；含π的数，如π－3；按规律构造的无限不循环小数，如5.0505505550…（每两个0之间5的个数依次多1个）。有理数和无理数统称为实数。例：是分数，属于有理数；＝7，也是有理数——带根号的数不一定是无理数。 实数：有理数（整数、有限小数或循环小数）与无理数（无限不循环小数） 实数：正实数、0、负实数 小提示：判断前先化简：、∛(－8)化简后是整数；π/2里的π约不掉，所以π/2是无理数，不是分数。 知识点　05　实数与数轴，估算与比较大小 有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以。把四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，依次连接它的四条边的中点，得到的正方形面积是2，边长是，这条边恰好是一个小正方形的对角线。以原点为圆心、这条对角线的长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示。事实上，实数与数轴上的点一一对应：每个实数都能用数轴上的一个点表示，数轴上的每个点都表示一个实数；数轴上右边的点表示的实数比左边的大。估计一个无理数的范围，常用平方（或立方）去夹：例如2.6²＝6.76，2.7²＝7.29，而6.76＜7＜7.29，所以2.6＜＜2.7。 单位正方形的对角线长为 0≤a＜b时，＜；a＜b时，∛a＜∛b 小提示：“面积为n的正方形的边长是”是把无理数画到数轴上的依据；用圆规截取时，圆心放在哪个点，就从哪个点表示的数出发加减。 知识点　06　实数的运算与近似值 在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，也可以开立方，非负实数还可以开平方；有理数的相反数、绝对值、倒数的意义以及运算律、运算法则，在实数范围内仍然适用。例如－3的相反数是3－；因为＜3，所以－3|＝3－。生产、生活中的许多数据是近似值，取近似值一般用四舍五入法，并说明精确到哪一位；π、这类无理数参与实际计算时，按要求取近似值，也可以借助计算器。近似值0.3与0.30的精确程度不同：前者精确到十分位，后者精确到百分位。 a的相反数是－a；a≥0时|a|＝a，a＜0时|a|＝－a 近似值：四舍五入，写明“精确到0.1（十分位）”等 小提示：去绝对值前先判断里面的数的正负；近似值末尾的0表示精确程度，不能随手去掉。 【题型1】求算术平方根与平方根 求算术平方根、平方根都从“哪个数的平方等于它”入手：先找出平方等于这个数的非负数，得到算术平方根；再补上它的相反数，得到平方根。分数分子、分母分别看，小数看小数位数，答案要写清是一个还是一对。 例1　分别求出下列各数的算术平方根与平方根：(1)；(2)0.0169。 【分析】先找平方等于已知数的正数，它就是算术平方根；平方根再添上它的相反数。121＝11²，36＝6²；0.0169有四位小数，对应的数有两位小数。 【解答】(1)因为＝，所以的算术平方根是，即＝；的平方根是±。 (2)因为0.13²＝0.0169，所以0.0169的算术平方根是0.13，即＝0.13；0.0169的平方根是±0.13。 【方法小结】求平方根＝先求算术平方根，再写“±”；小数开平方时，结果的小数位数是原数小数位数的一半。 题型1　变式：先化简再开方、符号写法、负数的平方与反求原数 五道变式分别练：对一个算术平方根再开平方、带“±”与带“－”的式子求值、辨认平方根的规范写法、先算负数的平方再开方，以及由算术平方根、平方根反求原数。 变式1　的平方根是____。 变式2　写出下列各式的值：±＝____；＝____。 变式3　把“的平方根是±”写成式子，规范的写法是（　　）。 A．＝± B．±＝± C．±＝ D．＝ 变式4　(－6)²的算术平方根是____，(－6)²的平方根是____。 变式5　若＝1.3，则a＝____；若b的平方根是±0.2，则b＝____。 【题型2】用平方根的意义解方程 形如x²＝a的方程，先整理成“x²＝一个数”或“(整体)²＝一个数”，再开平方：右边是正数时有两个解，是0时有一个解，是负数时无解。整体开平方以后，别忘了再解出x。 例1　求下列各式中x的值：(1)9x²－121＝0；(2)(2x＋1)²＝2.25。 【分析】(1)先移项、再两边同除以9，化成x²＝；(2)把2x＋1看成一个整体，它的平方是2.25，所以它等于±1.5。 【解答】(1)移项，得9x²＝121；两边同除以9，得x²＝。 因为(±＝，所以x＝或x＝。 (2)由平方根的意义，得2x＋1＝1.5或2x＋1＝－1.5。 由2x＋1＝1.5，得x＝0.25；由2x＋1＝－1.5，得x＝－1.25。 【方法小结】开平方前把平方项的系数化为1；整体开平方得到两个一次方程，分别求解。 题型2　变式：结果带根号、系数不为1、取值范围与实际中的半径 五道变式依次练：解出结果不是有理数的方程、整体的系数不为1、由解的个数反推字母的范围、由算术平方根列方程、以及求圆形水池的半径。 变式1　方程5x²＝35的解是____。 变式2　求方程25(x－3)²＝64中x的值。 变式3　要使x²＝k－2恰好有两个互为相反数的解，k应满足（　　）。 A．k＞2 B．k≥2 C．k＜2 D．k＝2 变式4　若(x＋2)²的算术平方根是5，则x＝____。 变式5　一个圆形喷水池的水面面积是50.24 m²，求这个水池的半径（π取3.14）。 【题型3】算术平方根的非负性 有两层非负：根号下的a≥0，结果≥0。几个非负数（算术平方根、平方、绝对值）的和为0时，每一个都等于0；式子有意义，先写出a≥0。 例1　已知与|b＋5|互为相反数，求a－b的立方根。 【分析】两数互为相反数，和为0；与|b＋5|都是非负数，和为0时两个都等于0。 【解答】由题意，得＋|b＋5|＝0。 因为≥0，|b＋5|≥0，所以2a－6＝0，b＋5＝0，解得a＝3，b＝－5。 所以a－b＝3－(－5)＝8，因为2³＝8，所以a－b的立方根是2。 【方法小结】见到“算术平方根＋绝对值（或平方）＝0”，立刻拆成“各部分都等于0”，再求字母。 题型3　变式：有意义的条件、两式和为0与夹出一个确定的值 四道变式练非负性的四种出现方式：式子有意义的条件、平方与算术平方根之和为0、两个算术平方根同时有意义夹出唯一值、以及列二元一次方程组求字母。 变式1　当x满足____时，表示一个实数。 变式2　若(m－2)²＋＝0，则3m－n的算术平方根是____。 变式3　已知y＝＋＋4，则x＋y的算术平方根是（　　）。 A．3 B．±3 C．9 D． 变式4　已知实数a、b满足＋(a－b＋3)²＝0，求2a＋b的平方根。 【题型4】求立方根与用立方根解方程 开立方只找一个数：它的立方恰好等于已知数；正数、0、负数的立方根依次是正数、0、负数。解方程时先化成“x³＝一个数”或“(整体)³＝一个数”，再开立方，只有一个解。 例1　(1)求的立方根；(2)解方程：2(x＋5)³＋54＝0。 【分析】(1)负数的立方根是负数，64＝4³，125＝5³；(2)把(x＋5)看成整体，先化成(x＋5)³＝－27。 【解答】(1)因为＝，所以的立方根是。 (2)移项，得2(x＋5)³＝－54；两边同除以2，得(x＋5)³＝－27。 因为(－3)³＝－27，所以x＋5＝－3，解得x＝－8。 【方法小结】开立方不分正负两种情况；负数开立方，结果带负号。 题型4　变式：小数与分数开立方、概念辨析、整体开立方、容积与由立方根求字母 五道变式覆盖立方根的常见用法：小数、分数的立方根，概念辨析，整体开立方解方程，正方体容器的容积与棱长，以及由立方根反求字母。 变式1　∛0.216＝____；－∛＝____。 变式2　下列说法中，正确的是（　　）。 A．0.001的立方根是±0.1 B．－27没有立方根 C．∛＝ D．立方根等于本身的数只有0和1 变式3　求下列各式中x的值：(1)27x³＋64＝0；(2)(3x－1)³＝。 变式4　一个正方体水箱的容积是1.728 m³。现要改造成容积为13.824 m³的正方体水箱，它的棱长要增加多少米？ 变式5　若∛(2a－1)＝－3，则a＝____。 【题型5】平方根与立方根的综合运用 这类题把两种开方连在一起：先由一个条件（平方根、算术平方根或立方根）列出等式求字母，再代入所求式子开方。每一步都要看清题目问的是算术平方根、平方根还是立方根。 例1　已知2a－1的平方根是±5，3a＋b－1的立方根是4，求a＋2b的平方根。 【分析】“2a－1的平方根是±5”说明2a－1＝25；“3a＋b－1的立方根是4”说明3a＋b－1＝4³＝64。 【解答】由题意，得2a－1＝25，解得a＝13。 又3a＋b－1＝64，即3×13＋b－1＝64，解得b＝26。 所以a＋2b＝13＋2×26＝65，65的平方根是±。 【方法小结】把“X的平方根是±m”翻译成X＝m²，把“Y的立方根是n”翻译成Y＝n³，问题就变成解一元一次方程。 题型5　变式：两个平方根的和为0、两种开方同题与选择中的连环开方 四道变式练：由一个正数的两个平方根互为相反数列方程、平方根与立方根同时给出、先求字母再求平方根，以及选择题里的连续两次开方。 变式1　若一个正数的两个平方根分别是2m－3和m＋9，则m＝____，这个正数是____。 变式2　－3既是a的一个平方根，又是b的立方根，那么a－b的算术平方根是____。 变式3　实数x、y满足＝3，∛(2x－y＋1)＝3。求x＋y的平方根。 变式4　的算术平方根与－8的立方根的和是（　　）。 A．0 B．2 C．4 D．－4 【题型6】无理数的识别与实数的分类 判断一个数是不是无理数，先化简或写成小数再看：能化成整数、分数、有限小数或循环小数的都是有理数；开方开不尽的数、含π的数（π约不掉）、按规律构造的无限不循环小数才是无理数。 例1　把下列各数分别填入相应的集合里：－∛27，π/3，，3.14159，，0，，1.3030030003…（每两个3之间的0依次多1个）。(1)有理数集合；(2)无理数集合。 【分析】先把带根号的数化简：－∛27＝－3，＝都是有理数；0.4不是某个有理数的平方，开方开不尽。 【解答】因为(－3)³＝－27，所以－∛27＝－3；因为＝，所以＝。 (1)有理数集合：－∛27，3.14159，，0，。 (2)无理数集合：π/3，，1.3030030003…（每两个3之间的0依次多1个）。 【方法小结】3.14159是有限小数，是有理数；π/3含π，是无理数。分类前“先化简、再归类”。 题型6　变式：数出无理数的个数、写出指定范围的无理数、按正负分类与概念辨析 四道变式从四个方向练分类：数一组数里的无理数、按要求写出一个无理数、按正负与有理无理双重标准归类，以及对概念的辨析。 变式1　在，，∛(－8)，π－3，3.3，，0.7中，无理数的个数是（　　）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2　写出一个比－2大且比－1小的无理数：____。 变式3　在，∛64，π/2，－0.5，0，这六个数中，正实数有____个，负无理数有____个。 变式4　关于有理数、无理数与数轴，叙述正确的一项是（　　）。 A．无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．无理数都可以用数轴上的点表示 D．两个无理数的和一定是无理数 【题型7】实数与数轴上的点 实数与数轴上的点一一对应。把无理数画到数轴上，靠“面积为n的正方形的边长是”配合圆规截取；由点的位置读数时，先看它在哪两个整数之间，再用距离求数：数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数。 例1　如图，正方形ABCD的边AB落在数轴上，点A、B分别对应－1和0，正方形在数轴上方。以A为圆心、对角线AC为半径画弧，与数轴交于A右侧的点P。(1)求AC的长；(2)求点P表示的数。 【分析】AC是边长为1的正方形的对角线，由知识梳理可知它的长是；点P在A的右边，到A的距离等于AC。 【解答】(1)正方形ABCD的边长AB＝0－(－1)＝1，AC是它的对角线。四个这样的正方形拼成的大正方形中，连接各边中点得到的正方形面积为2，其边长就是AC，所以AC＝。 (2)AP＝AC＝，点P在点A右侧，所以点P表示的数是－1＋，即－1。 因为＞1，所以－1＞0，点P在原点右侧，与图一致。 【方法小结】点在圆心的右边就“加上半径”，在左边就“减去半径”；最后用估算检查位置是否合理。 题型7　变式：两点间距离、读出点表示的数、方格纸上的负无理数、平移与到定点距离 五道变式练数轴上的五个动作：求两点间的距离、判断点表示的是哪个无理数、读出方格纸上作出的负无理数、点的平移，以及到一个定点距离为无理数的点。 变式1　如图，点A、B在数轴上，对应的实数分别为和2，线段AB的长为____。 变式2　如图，观察点P在数轴上的位置，它对应的实数最可能是（　　）。 A． B． C． D． 变式3　如图，在单位长度为1的数轴上方铺着方格纸（小方格边长也是1），以原点O为一个顶点画出格点正方形OEFG，再以O为圆心、OE的长为半径画弧，交数轴负半轴于点M。(1)求正方形OEFG的面积；(2)求点M表示的数。 变式4　如图，数轴上点M表示，把点M向左移动3个单位长度得到点N，则点N表示的数是____，点N到原点的距离是____。 变式5　如图，数轴上点A表示1，与点A的距离为的点所表示的数是____。 【题型8】无理数的估算：范围、整数部分与小数部分 估算，先找两个相邻的完全平方数把n夹住；估算∛n，找两个相邻的立方数。要更精确，就在两个整数之间再取一位小数继续夹。整数部分由估算得到，小数部分＝这个数－整数部分。 例1　(1)在哪两个相邻的整数之间？(2)设的整数部分为a，小数部分为b，求a－b的值。 【分析】49＜55＜64，而49＝7²，64＝8²。 【解答】(1)因为7²＝49，8²＝64，而49＜55＜64，所以7＜＜8，即在7与8之间。 (2)由(1)知a＝7，b＝－7。 a－b＝7－－7)＝14－。 【方法小结】小数部分不能写成“0.4…”这样的近似数，要写成“原数－整数部分”的准确形式。 题型8　变式：估算后再加减、夹出立方根、差的整数部分、精确到0.1与实际判断 五道变式把估算走完整：估算一个“无理数减整数”、用立方数夹住立方根、求“整数减无理数”的整数部分与小数部分、夹逼到十分位，以及用估算做实际判断。 变式1　估计－2的值在（　　）。 A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 变式2　已知m、n是两个连续整数，且m＜∛100＜n，则m＋n＝____。 变式3　把8－写成“整数部分＋小数部分”，其中整数部分为____，小数部分为____。 变式4　不用计算器，把精确到0.1（写出夹逼过程）。 变式5　学校要做一块面积为40 m²的正方形展板，现有一根长6.5 m的木条，它能否整根用作展板一条边的边框（木条不短于展板边长即可）？ 【题型9】实数的大小比较 比较实数大小的常用办法：①估算成小数再比；②比较平方（两个正数，平方大的数大）或立方；③借助数轴，右边的点表示的数大；④作差看正负。两个负数比较，绝对值大的反而小。 例1　比较下列各组数的大小：(1)－与－4；(2)与0.5。 【分析】(1)先比绝对值：15＜16；(2)把0.5改写成与左边同结构的式子，或估出的范围。 【解答】(1)因为15＜16，所以＜4，两个负数绝对值大的反而小，所以＞－4。 (2)因为2.5²＝6.25＜7，所以＞2.5，于是－1＞1.5，＞1.5÷3＝0.5。 【方法小结】比较含根号的数，把有理数写成“根号”形式或把无理数夹在两个有理数之间，是两条最常用的路。 题型9　变式：立方比较与作差、四个负数排序、绝对值小于一个无理数的整数 四道变式练比较的四种方法：立方比较与作差、把几个负数从小到大排列、把一个数与有理数作差比较，以及由大小关系找整数。 变式1　比较大小：∛30____3.2；－1____2。（填“＞”“＜”或“＝”） 变式2　把，－1.5，－∛2，－π/2按从小到大的顺序排列，正确的是（　　）。 A．－∛2＜＜－1.5＜－π/2 B．－1.5＜－π/2＜＜－∛2 C．－π/2＜＜－1.5＜－∛2 D．－π/2＜－1.5＜＜－∛2 变式3　比较－2与的大小。 变式4　如图，数轴上标出了表示与的点，绝对值小于的整数共有____个，它们的和是____。 【题型10】实数的运算与近似值 实数运算沿用有理数的运算顺序与运算律：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；含无理数的绝对值先判断正负再去掉。实际问题要按“精确到××”的要求用四舍五入取近似值。 例1　(1)按运算顺序求值：－∛＋|1－；(2)物体从高处自由下落，下落高度h（m）与时间t（s）近似满足h＝5t²。一个物体从70 m高处落下，落到地面大约需要几秒？（结果精确到0.01 s，≈3.7417） 【分析】(1)与∛都能开尽；1－的正负由＞1判断。(2)把h＝70代入，求出t²，再开平方取正值。 【解答】(1)因为1.1²＝1.21，所以＝1.1；因为＝，所以∛＝；因为＞1，所以|1－＝－1。 原式＝1.1－＋－1＝1.1＋1.5－1＋＝1.6＋。 (2)由5t²＝70，得t²＝14；时间为正数，所以t＝≈3.7417≈3.74。 答：落到地面大约需要3.74 s。 【方法小结】开方能开尽的先开出来，开不尽的保留根号；实际问题只取有意义的正值，最后一步才取近似值。 题型10　变式：相反数与绝对值、去绝对值求和、混合运算、精确程度与取近似值 五道变式依次练：写出无理数的相反数与绝对值、连续去掉几个绝对值、含开方的混合运算、判断近似值的精确程度，以及按要求取近似值。 变式1　－2的相反数是____，绝对值是____。 变式2　先去掉绝对值符号，再求值：－＋|1－＋|2－。 变式3　按运算顺序计算：(－2)³÷∛(－8)＋×(－2)＝____。 变式4　由四舍五入得到的近似值2.30精确到（　　）。 A．个位 B．十分位 C．百分位 D．千分位 变式5　已知≈2.6458，π≈3.14159，则π－精确到0.01约为____。 　易错专练 本章的失分集中在七处：式中已有根号却忘了先化简、负数开平方、x²＝a漏解、忘了非负、近似值的精确程度、负数比较大小、取值范围丢等号，外加立方根的特殊值。下面八题各守一处，先独立做，再对照答案里的错解与错因。 易错1　的平方根是____。 易错2　∛(－8)的平方根是____。 易错3　若(x－1)²＝(－3)²，求x的值。 易错4　化简：＝____；＝____。 易错5　某零件长度的近似值为2.50 cm（由四舍五入得到），则这个零件的实际长度a的范围是____。 易错6　比较大小：____－1.7。（填“＞”或“＜”） 易错7　若＝2－a，则a的取值范围是____。 易错8　立方根等于它本身的数一共有____个，它们是____。 　课后作业（一）基础巩固 下面10题每题只有一个选项符合题意，把字母填进括号里。考查次序是：算术平方根、无理数、立方根、实数与数轴、开方的写法、估算、数轴上的距离、准确值与近似值、连续开方与立方根的应用。 1．9的算术平方根是（　　）。 A．±3 B．3 C．－3 D．81 2．在∛8，3.1415，，这四个数中，是无理数的是（　　）。 A．∛8 B．3.1415 C． D． 3．－27的立方根是（　　）。 A．3 B．－3 C．±3 D．－9 4．每一个都能用数轴上唯一的一个点表示，而且数轴上每一个点都表示其中的一个数，这样的一类数是（　　）。 A．有理数 B．无理数 C．整数 D．实数 5．四个等式中，成立的是（　　）。 A．＝±4 B．±＝0.5 C．∛(－125)＝－5 D．＝－3 6．估计的值在（　　）。 A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 7．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和，点C在点A的左侧，且AC＝AB，则点C表示的数是（　　）。 A．－2－ B．－1－ C．－2＋ D．1＋ 8．准确值与近似值要分清：四项里给出准确值的一项是（　　）。 A．某地全年降水量约为1100 mm B．一本书有256页 C．一名学生身高1.62 m D．光速约为3×10⁸ m/s 9．若x是64的平方根，则∛x等于（　　）。 A．2 B．－2 C．2或－2 D．±4 10．一个正方体木块的体积是343立方厘米，把它锯成8个同样大小的小正方体，每个小正方体的棱长是（　　）。 A．3.5 cm B． cm C．42.875 cm D． cm 　课后作业（二）能力进阶 第11～21题只要求写出结果，不必写过程。这一组把平方根、立方根、绝对值、估算、相反数与倒数、近似值、数轴上的对称以及算术平方根的小数点移动规律各考一遍。 11．0.0036的平方根是____。 12．若a的立方根是－0.5，则a＝____。 13．若|a|＝，则a＝____。 14．在数轴上，表示的点落在表示两个相邻整数____与____的点之间。 15．与最接近的整数是____。 16．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则－∛(a＋b)＋3＝____。 17．一个自然数的算术平方根是m，则比这个自然数大1的自然数的算术平方根是____。 18．把3.96582精确到0.01是____，精确到0.1是____。 19．如图，点C表示1，点A表示。在数轴上取一点B，使C恰好是线段AB的中点，那么B对应的实数是____。 20．若是整数，则正整数n的最小值是____。 21．已知≈1.536，≈4.858，则≈____，≈____。 　课后作业（三）拓展延伸 第22～30题要写出完整的计算或求解过程。这一组把实数的混合运算、开方解方程、公式求值、近似值、估算、新定义运算与正方体的棱长综合使用。 22．按运算顺序计算：×(－5)＋∛÷＋－2|。 23．求下列各式中x的值：(1)3(x－1)²＝75；(2)(x＋1)³＋0.001＝0。 24．单摆摆动一个来回所用的时间T（s）与摆长l（m）之间近似满足T＝。一个单摆的摆长是0.9 m，求它摆动一个来回所用的时间（π取3.14，结果精确到0.1 s）。 25．把一张长8 cm、宽5 cm的长方形纸片剪拼成一个正方形（面积不变）。(1)求这个正方形的边长（精确到0.01 cm，≈6.3246）；(2)再沿这个正方形的四周各剪掉一条宽度相同的纸条，使剩下的正方形面积为25 cm²，求纸条的宽（精确到0.01 cm）。 26．已知5＋的整数部分是x，小数部分是y，求x＋|y－1|的值。 27．一个长方体箱子的长、宽、高之比为3∶2∶1，它的体积是162立方分米。(1)求这个箱子的长；(2)求它的表面积。 28．规定一种新运算：a※b＝－∛b（a≥0）。计算(16※8)※(－27)。 29．甲、乙两个正方形花坛，甲的面积为20 m²，乙的周长为18 m。通过计算比较，哪个花坛的边长更长？ 30．一个正方体的体积是125立方厘米，现要做一个形状相同的新正方体，使它的表面积是原来的4倍。求新正方体的棱长和体积。 　参考答案与解析 　题型1　变式：先化简再开方、符号写法、负数的平方与反求原数 变式1　【答案】±4 【解析】表示256的算术平方根，＝16。 再求16的平方根：因为(±4)²＝16，所以的平方根是±4。 变式2　【答案】±1.5； 【解析】1.5²＝2.25，所以±＝±1.5。 13²＝169，20²＝400，所以＝，于是＝。 变式3　【答案】B 【解析】“平方根”对应“±√”，结果也带“±”：±＝±，选B。 A的左边只表示算术平方根，右边却写成两个值；C左右不一致；D把算术平方根写成了负数。 变式4　【答案】6；±6 【解析】先算(－6)²＝36。 36的算术平方根是6，平方根是±6。 变式5　【答案】1.69；0.04 【解析】＝1.3，说明1.3是a的算术平方根，a＝1.3²＝1.69。 ±0.2是b的平方根，b＝0.2²＝0.04。 　题型2　变式：结果带根号、系数不为1、取值范围与实际中的半径 变式1　【答案】x＝或x＝ 【解析】两边同除以5，得x²＝7。 7的平方根是±，所以x＝或x＝。 变式2　【答案】x＝或x＝ 【解析】两边同除以25，得(x－3)²＝。 所以x－3＝或x－3＝。 解得x＝或x＝。 变式3　【答案】A 【解析】方程有两个互为相反数的解（不相等），说明k－2是正数，即k－2＞0，所以k＞2，选A。 k＝2时方程只有一个解x＝0；k＜2时方程无解。 变式4　【答案】3或－7 【解析】(x＋2)²的算术平方根是5，所以(x＋2)²＝25。 x＋2＝5或x＋2＝－5，解得x＝3或x＝－7。 变式5　【答案】4 m 【解析】设半径为r m，则3.14r²＝50.24。 r²＝50.24÷3.14＝16。 半径是正数，所以r＝＝4。 答：这个水池的半径是4 m。 　题型3　变式：有意义的条件、两式和为0与夹出一个确定的值 变式1　【答案】x≤4 【解析】根号下的数必须是非负数，所以4－x≥0，解得x≤4。 变式2　【答案】 【解析】(m－2)²≥0，≥0，和为0，所以m－2＝0，n＋1＝0，得m＝2，n＝－1。 3m－n＝3×2－(－1)＝7，7的算术平方根是。 变式3　【答案】A 【解析】要使两个算术平方根都有意义，x－5≥0且5－x≥0，所以x＝5，此时y＝4。 x＋y＝9，9的算术平方根是3，选A。B是9的平方根；C没有开平方；D是只把x开了平方。 变式4　【答案】± 【解析】由非负性，得3a＋b－7＝0，a－b＋3＝0。 两式相加，得4a－4＝0，所以a＝1；代入a－b＋3＝0，得b＝4。 检验：3×1＋4－7＝0，1－4＋3＝0。 2a＋b＝2×1＋4＝6，6的平方根是±。 　题型4　变式：小数与分数开立方、概念辨析、整体开立方、容积与由立方根求字母 变式1　【答案】0.6； 【解析】因为0.6³＝0.216，所以∛0.216＝0.6。 因为＝，所以∛＝，于是－∛＝。 变式2　【答案】C 【解析】A错：0.001的立方根只有一个，是0.1；B错：－27的立方根是－3。 C对：因为＝，所以∛＝。 D错：立方根等于本身的数有0、1、－1三个。选C。 变式3　【答案】(1)x＝；(2)x＝ 【解析】(1)移项，得27x³＝－64，所以x³＝。因为＝，所以x＝。 (2)由立方根的意义，得3x－1＝，所以3x＝，x＝。 变式4　【答案】1.2 m 【解析】原水箱棱长：因为1.2³＝1.728，所以棱长为1.2 m。 新水箱棱长：因为2.4³＝13.824，所以棱长为2.4 m。 2.4－1.2＝1.2（m）。 答：棱长要增加1.2 m。 变式5　【答案】－13 【解析】由立方根的意义，2a－1＝(－3)³＝－27。 解得a＝－13。 　题型5　变式：两个平方根的和为0、两种开方同题与选择中的连环开方 变式1　【答案】－2；49 【解析】一个正数的两个平方根互为相反数，和为0：2m－3＋m＋9＝0，解得m＝－2。 m＋9＝7，这个正数是7²＝49。 变式2　【答案】6 【解析】a＝(－3)²＝9，b＝(－3)³＝－27。 a－b＝9－(－27)＝36，36的算术平方根是6。 变式3　【答案】± 【解析】由＝3，得x－2＝3²＝9，所以x＝11。 由∛(2x－y＋1)＝3，得2x－y＋1＝3³＝27，即22－y＋1＝27，所以y＝－4。 x＋y＝11＋(－4)＝7，7的平方根是±。 变式4　【答案】A 【解析】＝4，4的算术平方根是2；－8的立方根是－2。 2＋(－2)＝0，选A。 B是把直接当作4去加；C是把－8的立方根算成了2；D是把4的算术平方根取成了－2。 　题型6　变式：数出无理数的个数、写出指定范围的无理数、按正负分类与概念辨析 变式1　【答案】B 【解析】、3.3、0.7是有理数；∛(－8)＝－2，＝，也是有理数。 无理数只有和π－3，共2个，选B。 变式2　【答案】（答案不唯一，如、－π/2） 【解析】1＜2＜4，所以1＜＜2，从而－2＜＜－1。 所以符合要求。 变式3　【答案】3；1 【解析】∛64＝4是正有理数，π/2和是正无理数，它们都是正实数；0既不是正数也不是负数。 负数有和－0.5，其中－0.5是有理数，负无理数只有。 所以正实数有3个（∛64，π/2，），负无理数有1个。 变式4　【答案】C 【解析】A错：无限循环小数是有理数；B错：＝2是有理数；D错：与的和是0，是有理数。 C对：实数与数轴上的点一一对应，无理数都能用数轴上的点表示。选C。 　题型7　变式：两点间距离、读出点表示的数、方格纸上的负无理数、平移与到定点距离 变式1　【答案】2＋ 【解析】点B在点A右侧，AB＝2－＝2＋。 变式2　【答案】D 【解析】点P在2与3之间，而且更靠近3。 ≈3.16，在3的右侧；≈1.73，≈2.24，都不到2.5；≈2.65，在2与3之间且靠近3，选D。 变式3　【答案】(1)5；(2)－ 【解析】(1)正方形OEFG恰好放在一个3×3的大正方形里，四个角上各有一个两条直角边分别为1和2的直角三角形。 用割补法：S＝3×3－4×(1×2÷2)＝9－4＝5。 (2)正方形的面积是5，所以边长OE＝；OM＝OE＝，点M在原点左侧，表示的数是。 变式4　【答案】－3；3－ 【解析】向左移动3个单位长度，表示的数减3：N表示－3。 ＜3，所以－3＜0，点N到原点的距离是－3|＝3－。 变式5　【答案】1＋或1－ 【解析】所求的点可能在表示1的点的右侧，也可能在左侧。 右侧：1＋；左侧：1－。 　题型8　变式：估算后再加减、夹出立方根、差的整数部分、精确到0.1与实际判断 变式1　【答案】C 【解析】36＜38＜49，所以6＜＜7，于是4＜－2＜5，选C。 变式2　【答案】9 【解析】4³＝64，5³＝125，64＜100＜125，所以4＜∛100＜5。 m＝4，n＝5，m＋n＝9。 变式3　【答案】4；4－ 【解析】3²＝9＜11＜16＝4²，所以3＜＜4，从而4＜8－＜5。 整数部分是4，小数部分是8－－4＝4－。 变式4　【答案】≈3.6 【解析】3.6²＝12.96，3.7²＝13.69，12.96＜13＜13.69，所以3.6＜＜3.7。 再看中间值：3.65²＝13.3225＞13，所以＜3.65。 因此精确到0.1约为3.6。 变式5　【答案】能 【解析】展板边长为 m。 6.5²＝42.25＞40，所以＜6.5。 木条比边长长，能用作一条边的边框。 　题型9　变式：立方比较与作差、四个负数排序、绝对值小于一个无理数的整数 变式1　【答案】＜；＞ 【解析】3.2³＝32.768＞30，所以∛30＜3.2。 ＞3，所以－1＞2。 变式2　【答案】D 【解析】估算：≈1.414，∛2≈1.260，π/2≈1.571。 绝对值从大到小是π/2，1.5，，∛2，所以－π/2＜－1.5＜＜－∛2，选D。 变式3　【答案】－2＜ 【解析】因为2.5²＝6.25＞6，所以＜2.5。 于是－2＜2.5－2＝0.5，即－2＜。 变式4　【答案】7；0 【解析】3²＝9＜10＜16＝4²，所以3＜＜4。 绝对值小于的整数是－3，－2，－1，0，1，2，3，共7个。 它们两两互为相反数，和为－3＋(－2)＋(－1)＋0＋1＋2＋3＝0。 　题型10　变式：相反数与绝对值、去绝对值求和、混合运算、精确程度与取近似值 变式1　【答案】2－；2－ 【解析】－2的相反数是－2)＝2－。 ＜2，所以－2＜0，－2|＝2－。 变式2　【答案】1 【解析】＜，1＜，＜2，所以三个绝对值里依次是负数、负数、正数。 原式＝－＋－1)＋(2－＝－＋－－1＋2＝1。 变式3　【答案】－5 【解析】(－2)³＝－8，∛(－8)＝－2，＝。 原式＝－8÷(－2)＋×(－2)＝4－9＝－5。 变式4　【答案】C 【解析】2.30的最后一位0在百分位上，所以精确到百分位，选C。 末尾的0不能去掉：写成2.3只精确到十分位。 变式5　【答案】0.50 【解析】π－≈3.14159－2.6458＝0.49579。 精确到0.01（百分位），看千分位上的5，四舍五入得0.50，末尾的0要保留。 　易错专练 易错1　【答案】±3 【解析】错解示例：的平方根是±9。 错因：把“的平方根”看成了“81的平方根”，漏掉了先算这一步。 正解：＝9，9的平方根是±3。 提醒：式子里已经有根号时，先把它化简出来，再按题目要求开方。 易错2　【答案】没有平方根 【解析】错解示例：∛(－8)的平方根是±。 错因：把∛(－8)算成了2，丢掉了负号，又对2开平方。 正解：∛(－8)＝－2，－2是负数，负数没有平方根，所以∛(－8)没有平方根。 提醒：开平方前先看这个数是不是非负数。 易错3　【答案】x＝4或x＝－2 【解析】错解示例：由(x－1)²＝(－3)²，得x－1＝－3，所以x＝－2。 错因：看到两边“形状相同”就直接对应，漏掉了x－1＝3这个解。 正解：(－3)²＝9，(x－1)²＝9，所以x－1＝3或x－1＝－3，解得x＝4或x＝－2。 提醒：(整体)²＝a（a＞0）永远有两个解。 易错4　【答案】5；π－3 【解析】错解示例：＝－5；＝3－π。 错因：忘了算术平方根是非负数，等于a的绝对值。 正解：＝＝5；3－π＜0，所以＝|3－π|＝π－3。 提醒：结果先判断正负，负的要取相反数。 易错5　【答案】2.495 cm≤a＜2.505 cm 【解析】错解示例：2.45 cm≤a＜2.55 cm。 错因：把2.50当成2.5，看错了精确程度。 正解：2.50精确到百分位，千分位上四舍五入得到它，所以2.495≤a＜2.505（单位：cm）。 提醒：近似值末尾的0表示精确到哪一位，不能忽略。 易错6　【答案】＜ 【解析】错解示例：因为＞1.7，所以＞－1.7。 错因：两个负数比较大小时，没有把不等号反过来。 正解：1.7²＝2.89＜3，所以＞1.7；两个负数，绝对值大的反而小，所以＜－1.7。 提醒：负数比较先比绝对值，再“反过来”。 易错7　【答案】a≤2 【解析】错解示例：a＜2。 错因：漏掉了a－2＝0的情形。 正解：＝|a－2|＝2－a，说明a－2≤0，所以a≤2。 提醒：|m|＝－m对应m≤0，等号不能丢。 易错8　【答案】0，1，－1 【解析】错解示例：0和1。 错因：只想到了非负数，漏掉了负数也有立方根。 正解：0³＝0，1³＝1，(－1)³＝－1，所以立方根等于它本身的数是0，1，－1。 提醒：平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数是0和1，立方根等于本身的数是0，1，－1。 　课后作业（一）基础巩固 1．【答案】B 【解析】因为3²＝9且3＞0，所以9的算术平方根是3，选B。 A是9的平方根；C是负的平方根；D是9的平方。 2．【答案】C 【解析】∛8＝2是整数；3.1415是有限小数；是分数；15不是整数的平方，是无理数，选C。 3．【答案】B 【解析】(－3)³＝－27，所以－27的立方根是－3，选B。 负数的立方根只有一个，而且是负数。 4．【答案】D 【解析】实数与数轴上的点一一对应，选D。 有理数、整数都填不满数轴，无理数也不行。 5．【答案】C 【解析】A：＝4；B：±＝±0.5；D：＝3。 C：(－5)³＝－125，所以∛(－125)＝－5，成立，选C。 6．【答案】D 【解析】8²＝64，9²＝81，64＜70＜81，所以8＜＜9，选D。 7．【答案】A 【解析】AB＝－(－1)＝＋1。 点C在点A左侧，AC＝＋1，所以C表示－1－＋1)＝－2－，选A。 B是把AC当成了；C是符号弄反；D是把AB的长当成了点C表示的数。 8．【答案】B 【解析】一本书的页数可以一页一页数清楚，256页是准确值，选B。 降水量、身高、光速都是测量或估计得到的，是近似值。 9．【答案】C 【解析】64的平方根是±8，所以x＝8或x＝－8。 ∛8＝2，∛(－8)＝－2，所以∛x等于2或－2，选C。 10．【答案】A 【解析】每个小正方体的体积是343÷8＝（立方厘米）。 因为＝，所以棱长是 cm，即3.5 cm，选A。 B是把棱长也除以8；C没有开立方；D是把棱长除以4。 　课后作业（二）能力进阶 11．【答案】±0.06 【解析】0.06²＝0.0036，所以0.0036的平方根是±0.06。 12．【答案】－0.125 【解析】a＝(－0.5)³＝－0.125。 13．【答案】± 【解析】绝对值等于的数有两个：和。 14．【答案】－6；－5 【解析】25＜35＜36，所以5＜＜6。 两边取相反数，不等号方向改变：－6＜＜－5。 15．【答案】5 【解析】5²＝25＜30＜36＝6²，所以5＜＜6。 5.5²＝30.25＞30，所以＜5.5，更接近5。 16．【答案】4 【解析】a＋b＝0，cd＝1。 原式＝－∛0＋3＝1－0＋3＝4。 17．【答案】 【解析】这个自然数是m²，比它大1的自然数是m²＋1。 它的算术平方根是。 18．【答案】3.97；4.0 【解析】精确到0.01，看千分位上的5，进一得3.97。 精确到0.1，看百分位上的6，进一后十分位9变成10，向个位进1，得4.0，末尾的0要保留。 19．【答案】2－ 【解析】表示1的点是AB的中点，设B表示x，则(x＋÷2＝1。 解得x＝2－。 20．【答案】5 【解析】20n要是一个整数的平方。20＝4×5，只需再乘一个5，20×5＝100＝10²。 所以n的最小值是5。 21．【答案】15.36；0.4858 【解析】236＝2.36×100，根号下的数扩大到原来的100倍，算术平方根扩大到原来的10倍：≈1.536×10＝15.36（验算：15.36²＝235.9296，与236很接近）。 0.236＝23.6÷100，算术平方根缩小到原来的：≈4.858÷10＝0.4858（验算：0.4858²＝0.23600164）。 　课后作业（三）拓展延伸 22．【答案】－5－ 【解析】＝0.6；＝，所以∛＝；＜2，所以－2|＝2－。 原式＝0.6×(－5)＋÷＋2－＝－3－4＋2－＝－5－。 23．【答案】(1)x＝6或x＝－4；(2)x＝－1.1 【解析】(1)两边同除以3，得(x－1)²＝25，所以x－1＝5或x－1＝－5，x＝6或x＝－4。 (2)移项，得(x＋1)³＝－0.001，因为(－0.1)³＝－0.001，所以x＋1＝－0.1，x＝－1.1。 24．【答案】约1.9 s 【解析】把l＝0.9代入：＝0.09，＝0.3。 T＝2π×0.3＝0.6π≈0.6×3.14＝1.884≈1.9。 答：大约需要1.9 s。 25．【答案】(1)约6.32 cm；(2)约0.66 cm 【解析】(1)面积为8×5＝40（cm²），正方形边长为 cm，≈6.3246≈6.32（cm）。 (2)剩下的正方形边长为＝5（cm）。每边两侧各剪去一条纸条，所以纸条宽为－5)÷2≈(6.3246－5)÷2＝0.6623≈0.66（cm）。 答：(1)边长约6.32 cm；(2)纸条宽约0.66 cm。 26．【答案】12－ 【解析】3²＝9＜13＜16＝4²，所以3＜＜4，8＜5＋＜9。 x＝8，y＝5＋－8＝－3。 y－1＝－4＜0，所以|y－1|＝4－。 x＋|y－1|＝8＋4－＝12－。 27．【答案】(1)9 dm；(2)198 dm² 【解析】(1)设高为k dm，则长、宽分别为3k dm、2k dm，3k×2k×k＝162，即6k³＝162，k³＝27。 因为3³＝27，所以k＝3，长为3×3＝9（dm）。 (2)长、宽、高分别为9 dm、6 dm、3 dm，表面积为2×(9×6＋9×3＋6×3)＝2×(54＋27＋18)＝198（dm²）。 28．【答案】＋3 【解析】16※8＝－∛8＝4－2＝2。 2※(－27)＝－∛(－27)＝－(－3)＝＋3。 29．【答案】乙花坛的边长更长 【解析】甲的边长为 m，乙的边长为18÷4＝4.5（m）。 4.5²＝20.25＞20，所以＜4.5。 答：乙花坛的边长更长。 30．【答案】棱长10 cm，体积1000立方厘米 【解析】原正方体：因为5³＝125，所以棱长为5 cm，表面积为6×5²＝150（cm²）。 新正方体的表面积为150×4＝600（cm²），每个面的面积为600÷6＝100（cm²），棱长为＝10（cm）。 体积为10³＝1000（立方厘米）。 答：新正方体的棱长为10 cm，体积为1000立方厘米。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $