3.1 勾股定理的探究 讲义2026-2027学年苏科版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦勾股定理的探究，系统梳理直角三角形中两直角边平方和等于斜边平方的核心原理，涵盖定理定义、应用前提、公式变形及斜边性质，通过解题知识、典例与变式题构建从理论到应用的学习支架。 资料以题型分层设计为特色，题型1通过正方形面积、四边形对角线等实例强化定理应用，题型2结合拼图法、面积法培养推理能力与几何直观，课中辅助教师高效授课，课后过关验收题覆盖不同情境，助力学生查漏补缺，提升运算能力与模型意识。

3.1 勾股定理的探究 内 容 导 航 题型1 勾股定理 题型2 勾股定理的证明 考 点 演 练 题型1 勾股定理 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 【典例1】如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，AC为边向外作三个正方形，已知其中两个正方形面积分别为25，169，则正方形M的面积为（　　） A．100 B．144 C．154 D．194 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是边BC上的点，若BD＝3，DC＝2，则AB2﹣AD2的值为（　　） A．13 B．21 C．25 D．29 【变式3】如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC、BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（　　） A．20 B．18 C．16 D．1 题型2 勾股定理的证明 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 【典例1】下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（　　） A．a2﹣b2 B．2ab C．a2+b2 D．4ab 【变式2】我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，四边形AGFC、ABDE、BCIH均为正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上．若AB+AC＝10，四边形ABHJ与△CFK面积之和为37，则正方形BCIH的面积为（　　） A．100 B．63 C．58 D．56 【变式3】意大利著名画家达•芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A﹣B﹣C﹣D顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A．5 B． C． D．6 2．如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝36，S2＝64，则斜边AB的长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．100 3．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 4．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以BC和AC为边向两边分别作正方形，面积分别为S1和S2．已知S2＝36，且AB＝8，则S1的值为（　　） A．14 B．10 C．44 D．100 6．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为　 　 ． 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB+AC＝4，BC＝3，则AD＝　 　 ． 8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点，∠ADC＝120°，EF＝2，则AC＝　　 　 ． 9．若一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它斜边上的中线长为 　 　． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、BC、AC为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当AB＝13，BC＝5时，则阴影部分的面积为　 　． 11．如图，长方形网格中每个小正方形的边长是1，△ABC是格点三角形（顶点都在格点上），则点C到AB的距离为 　 　 ． 12．如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作AB⊥数轴，AB＝1个单位长度，以O为圆心，OB长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为　 　 ． 14．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为 　 　 ． 15．如图，∠AED＝90°，正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225，则以DE为直径的半圆的面积是 　 　　 ． 16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．t＝　　 　 时△ABP为直角三角形． 17．如图，网格中每个小正方形边长均为1，以O点为圆心，OA为半径画弧，交网格线于点B，则BC的长是　 　． 18．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长． 19．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”． （1）若一个三角形的三边长分别是，和2，这个三角形是否为“平方倍三角形”？请你作出判断并说明理由； （2）若一个直角三角形是“平方倍三角形”，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）； （3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD＝AD＝BD，若△BCD是“平方倍三角形”，求△ABC的面积． 20．已知，如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝8，AC＝6，求CD的长． 21．如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E．连接EA，EF＝ED． （1）求证：EA平分∠DEF； （2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长． 22．如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）在边AC上找一点D，使得点D到边BC的距离与到边AB的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母；不用写作法和证明）； （2）在（1）的条件下，若CD＝2，AB+BC＝14，求△ABC的面积． 23．在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD＝6cm，点E、F分别在边BC、DC上，且EA平分∠BEF． （1）求证：FA平分∠DFE； （2）若EF＝10cm，求△AEF的面积． 24．如图，AD是等边△ABC的中线，DF⊥AC交AB的延长线于点E，垂足为点F．（1）求证：BD＝BE； （2）连接CE，若AC＝2，则CE的长度为　 　 ． 25．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 26．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是a，b（b＞a），斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上．若AB+AC＝10，四边形ABHJ与△CFK面积之和为37，则正方形BCIH的面积为（　　） A．100 B．63 C．58 D．56 27．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b、若大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，则（a+b）2等于（　　） A．19 B．13 C．42 D．29 28．青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形ABCD、DEFG、CGHI均为正方形．若正方形ABCD、CGHI的面积分别为S1、S2，则AF＝　　 　 ．（结果用含有S1和S2的代数式表示） 29．三国时代东吴数学家赵爽于公元3世纪在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”如图1．并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形． （1）请根据图2利用割补的方法验证勾股定理． （2）应用：如图3，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长． 30．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形ABEFG的面积，可以证明勾股定理． （1）写出你的证明过程； （2）当a＝3，b＝4时，求空白部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 勾股定理的探究 内 容 导 航 题型1 勾股定理 题型2 勾股定理的证明 考 点 演 练 题型1 勾股定理 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 【典例1】如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：11， 故选：B． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，AC为边向外作三个正方形，已知其中两个正方形面积分别为25，169，则正方形M的面积为（　　） A．100 B．144 C．154 D．194 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC2＝AB2﹣BC2＝169﹣25＝144， ∴正方形M的面积为144， 故选：B． 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是边BC上的点，若BD＝3，DC＝2，则AB2﹣AD2的值为（　　） A．13 B．21 C．25 D．29 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC与Rt△ADC中，由勾股定理得， AB2＝AC2+BC2，AD2＝AC2+CD2， ∴AB2﹣AD2＝AC2+BC2﹣AC2﹣CD2 ＝BC2﹣CD2， ∵BD＝3，CD＝2， ∴BC＝5， ∴BC2﹣CD2＝52﹣22＝21， 故选：B． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC、BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（　　） A．20 B．18 C．16 D．1 【答案】A 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝（OA2+OD2）+（OB2+OC2）＝AD2+BC2＝22+42＝20， 故答案为：A． 题型2 勾股定理的证明 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 【典例1】下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意知，3+4＝7≠5，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 【变式1】四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（　　） A．a2﹣b2 B．2ab C．a2+b2 D．4ab 【答案】C 【解答】解：阴影部分面积为（a+b）2﹣4a2+b2， 故选：C． 【变式2】我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，四边形AGFC、ABDE、BCIH均为正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上．若AB+AC＝10，四边形ABHJ与△CFK面积之和为37，则正方形BCIH的面积为（　　） A．100 B．63 C．58 D．56 【答案】C 【解答】解：如图，作IP⊥EC于点P，则∠IPE＝∠IPC＝90°， ∵四边形BCIH、四边形DBAE、四边形ACFG都是正方形， ∴∠DBA＝∠HBC＝∠BCI＝90°，BD＝BA，BC＝BH， ∴∠DBH＝∠ABC＝90°﹣∠HBA， ∴△DBH≌△ABC（SAS）， ∴DB＝AB＝b，DH＝AC＝a， ∵∠PIC＝∠ACB＝90°﹣∠PCI，∠CPI＝∠BAC＝90°，CI＝BC， ∴△CIP≌△BCA（AAS）， ∴IP＝AC＝CF＝a，PC＝AB＝b， ∴， ∵∠FCK+∠ACB＝90°，∠PIJ+∠PIC＝90°， ∴∠PIJ＝∠FCK， ∵∠IPJ＝∠F＝90°， ∴△PIJ≌△FCK（ASA）， ∴S△PIJ＝S△FCK， ∵S四边形HBAJ+S△FCK＝37， ∴S四边形HBAJ+S△PIJ＝37， ∵BH＝c，S四边形BCIH﹣（S△CIP+S△BCA）＝S四边形HBAJ+S△PIJ， ∴c2﹣ab＝37， ∵a2+b2＝c2， ∴a2+b2﹣ab＝37， ∴2（a2+b2）﹣2ab＝74①， ∵AB+AC＝10， ∴a+b＝10， ∴a2+b2+2ab＝100②， 由①+②得3（a2+b2）＝174， ∴a2+b2＝58， ∴， 故选：C． 【变式3】意大利著名画家达•芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由图可得：S2＝S1，， 故选：C． 过 关 验 收 1．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A﹣B﹣C﹣D顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A．5 B． C． D．6 【答案】C 【解答】解：如图所示： 由题意，得BE＝1，EC＝2，BE⊥EC， 在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC2＝BE2+EC2， ∴， 又∵AB＝2，CD＝1， ∴按手势解锁一次的路径长为：AB+BC+CD． 故选：C． 2．如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝36，S2＝64，则斜边AB的长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．100 【答案】C 【解答】解：∵，，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴AB2＝36+64＝100， ∴AB＝10， 故选：C． 3．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 【答案】B 【解答】解： 根据勾股定理得出：AB， ∴EF＝AB＝5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 4．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝1， ∴BC＝AD＝1，∠ABC＝90°． ∵∠ABC＝90°，BC＝1，AB＝3， ∴AC， ∴AM＝AC， ∴点M所表示的数为1． 故选：D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以BC和AC为边向两边分别作正方形，面积分别为S1和S2．已知S2＝36，且AB＝8，则S1的值为（　　） A．14 B．10 C．44 D．100 【答案】D 【解答】解：∵S2＝36， ∴AC＝6， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 6．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为　 　 ． 【答案】6． 【解答】解：如图， 由勾股定理结合正方形的面积可知，SB﹣SA＝SE＝SC+SD， 又∵A、B、C三个正方形的面积分别为7、16、3， ∴正方形D的面积＝SB﹣SA﹣SC＝16﹣7﹣3＝6， 故答案为：6． 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB+AC＝4，BC＝3，则AD＝　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵AB+AC＝4， ∴（AB+AC）2＝16， ∴AB2+AC2+2AB•AC＝16， ∵AB2+AC2＝BC2＝9， ∴AB•AC， ∵， ∴AD， 故答案为：． 8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点，∠ADC＝120°，EF＝2，则AC＝　　 　 ． 【答案】4． 【解答】解：如图，连接AE、CE， ∵∠BAD＝∠DCB＝90°，∠ADC＝120°， ∴∠ABC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°， ∵∠BAD＝∠DCB＝90°，E是BD的中点， ∴AEBD＝BE，CEBD＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA，∠EBC＝∠ECB，AE＝CE， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠AED＝∠EAB+∠EBA＝2∠EBA，∠CED＝∠EBC+∠ECB＝2∠EBC， ∴∠AEC＝∠AED+∠CED＝2（∠EBA+∠EBC）＝2∠ABC＝120°， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∵AE＝CE，F是AC的中点， ∴EF⊥AC，AC＝2CF， ∴∠EFC＝90°， ∴CE＝2EF＝4， ∴CF2， ∴AC＝2CF＝4， 故答案为：4． 9．若一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它斜边上的中线长为 　 　． 【答案】5． 【解答】5解：由勾股定理可求斜边长为， 所以它斜边上的中线为． 故答案为：5． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、BC、AC为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当AB＝13，BC＝5时，则阴影部分的面积为　 　． 【答案】30． 【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2， ∴AC12， 则阴影部分的面积AC×BCπ×（）2π×（）2π×（）2 12×5π（AC2+BC2﹣AB2） ＝30π（122+52﹣132） ＝30， 故答案为：30． 11．如图，长方形网格中每个小正方形的边长是1，△ABC是格点三角形（顶点都在格点上），则点C到AB的距离为 　 　 ． 【答案】1.2 【解答】解：设点C到AB的距离为h， ∵AB5， ∴S△ABC2×35×h， ∴h＝1.2， 故答案为：1.2． 12．如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作AB⊥数轴，AB＝1个单位长度，以O为圆心，OB长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵AB⊥数轴， ∴∠OAB＝90°， ∵数轴上点O、A所表示的数分别是0，3， ∴OA＝3， ∵AB＝1， ∴， ∴， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为　 　 ． 【答案】10 【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16， ∴， ∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E． ∴AE＝BEAB20＝10（角平分线的性质）． 则AE的长为10， 故答案为：10． 14．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为， 设斜边上的高为h， 由题意得， ∴， 故答案为：． 15．如图，∠AED＝90°，正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225，则以DE为直径的半圆的面积是 　 　　 ． 【答案】8π 【解答】解：∵∠AED＝90°，正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225， ∴DE2＝AD2﹣AE2＝289﹣225＝64， ∴DE＝8， ∴以DE为直径的半圆的面积是， 故答案为：8π． 16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．t＝　　 　 时△ABP为直角三角形． 【答案】2s或s 【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16， ∴BC＝4cm， 由题意知BP＝2tcm， ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即2t＝4，t＝2； ②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3cm， 在Rt△ACP中， AP2＝32+（2t﹣4）2， 在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2， 即：52+[32+（2t﹣4）2]＝（2t）2， 解得：t， 故当△ABP为直角三角形时，t＝2或t， 故答案为：2s或s 17．如图，网格中每个小正方形边长均为1，以O点为圆心，OA为半径画弧，交网格线于点B，则BC的长是　 　． 【答案】． 【解答】解：由题意得：， ， 故答案为：． 18．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接CD， ∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E， ∴CD＝DB， ∵BD2﹣DA2＝AC2， ∴CD2﹣DA2＝AC2， ∴CD2＝AD2+AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°； （2）解：∵BC2＝56，AD：BD＝3：4， 设AD＝3a，CD＝BD＝4a， ∴ACa， ∴AB＝7a， 由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2， 即， ∴AC． 19．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”． （1）若一个三角形的三边长分别是，和2，这个三角形是否为“平方倍三角形”？请你作出判断并说明理由； （2）若一个直角三角形是“平方倍三角形”，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）； （3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD＝AD＝BD，若△BCD是“平方倍三角形”，求△ABC的面积． 【答案】（1）是，理由： ∵，， ∴， ∴这个三角形是“平方倍三角形”； （2）； （3）或． 【解答】解：（1）这个三角形是“平方倍三角形”．理由如下： ∵，， ∴， ∴这个三角形是“平方倍三角形”； （2）设△ABC两直角边长为：a，b，斜边长为：c， 由条件可知a2+b2＝c2，且c2+a2＝3b2， ∴2a2+b2＝3b2， ∴b＝a， ∴， ∴； （3）当CD2+BD2＝3×BC2时，即CD2+BD2＝3×52， 解得：， 则， 故， 则△ABC的面积为：； 当CD2+BC2＝3×BD2时，即CD2+52＝3×BD2， 解得：， 则， 故AC＝5， 则△ABC的面积为：． 综上所述，△ABC的面积为或． 20．已知，如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝8，AC＝6，求CD的长． 【答案】． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6， 由勾股定理得：BC10． 由三角形的面积得：S△ABCAB•ACBC•AD， ∴AB•AC＝BC•AD， ∴AD， ∴CD． 21．如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E．连接EA，EF＝ED． （1）求证：EA平分∠DEF； （2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长． 【答案】（1）∵BE⊥AC，∠D＝90°， 在Rt△AEF，Rt△AED中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△AED（HL）； （2）4． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，∠D＝90°， 在Rt△AEF，Rt△AED中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△AED（HL）； ∴∠AEF＝∠AED，即EA平分∠DEF； （2）解：∵AC⊥BE，∠D＝90°，EA平分∠DEF， ∴AD＝AF． 在Rt△ABF和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△ACD（HL）． ∴BF＝CD＝7． ∵DE＝3， ∴CE＝CD﹣DE＝7﹣3＝4． 22．如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）在边AC上找一点D，使得点D到边BC的距离与到边AB的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母；不用写作法和证明）； （2）在（1）的条件下，若CD＝2，AB+BC＝14，求△ABC的面积． 【答案】（1）到边BC的距离与到边AB的距离相等的点D，如图即为所求； （2）14． 【解答】解：（1）到边BC的距离与到边AB的距离相等的点D，如图即为所求； （2）由（1）得CD＝DH，DH⊥AB，且CD＝2， ∴DH＝2， ∵∠C＝90°， ∴，， ∴△ABC的面积＝S△BCD+S△BAD＝BC+AB＝14． 23．在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD＝6cm，点E、F分别在边BC、DC上，且EA平分∠BEF． （1）求证：FA平分∠DFE； （2）若EF＝10cm，求△AEF的面积． 【答案】（1）如图，过点A作AH⊥EF于H， 由题意得：AB⊥EB， ∵EA平分∠BEF，AH⊥EF， ∴AH＝AB， ∵AB＝AD， ∴AH＝AD， 在Rt△ADF和Rt△AHF中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△AHF（HL）， ∴∠AFD＝∠AFH， ∴FA平分∠DFE； （2）30cm2． 【解答】（1）证明：如图，过点A作AH⊥EF于H， 由题意得：AB⊥EB， ∵EA平分∠BEF，AH⊥EF， ∴AH＝AB， ∵AB＝AD， ∴AH＝AD， 在Rt△ADF和Rt△AHF中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△AHF（HL）， ∴∠AFD＝∠AFH， ∴FA平分∠DFE； （2）解：由（1）可得AH＝AD＝6cm， ∵EF＝10cm， ∴S△AEF10×6＝30（cm2）． 24．如图，AD是等边△ABC的中线，DF⊥AC交AB的延长线于点E，垂足为点F．（1）求证：BD＝BE； （2）连接CE，若AC＝2，则CE的长度为　 　 ． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠CAB＝∠CBA＝60°， ∵DF⊥AC， ∴∠AFE＝∠CFE＝90°， ∴∠CAB+∠AEF＝90°， ∴∠AEF＝30°， ∵∠AEF+∠BDE＝∠CBA， ∴∠BDE＝30°＝∠AEF， ∴BD＝BE； （2）解：∵AD是等边△ABC的中线，AC＝2， ∴AB＝BC＝AC＝2，BDBCAC＝1， ∴BE＝BD＝1， ∴AE＝AB+BE＝3， ∵∠AEF＝30°，∠AFE＝90°， ∴AFAE， ∴CF＝AC﹣AF，EF， ∴CE， 故答案为：． 25．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16， ∴BC＝4（cm）； （2）由题意知BP＝tcm， ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4； ②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm， 在Rt△ACP中， AP2＝32+（t﹣4）2， 在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2， 即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2， 解得：t， 故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t； （3）①当AB＝BP时，t＝5； ②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8； ③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2， 所以t2＝32+（4﹣t）2， 解得：t， 综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t． 26．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是a，b（b＞a），斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上．若AB+AC＝10，四边形ABHJ与△CFK面积之和为37，则正方形BCIH的面积为（　　） A．100 B．63 C．58 D．56 【答案】C 【解答】解：如图，作IP⊥EC于点P，则∠IPE＝∠IPC＝90°， 由条件可知BD＝BA，BC＝BH，∠DBA＝∠HBC＝∠BCI＝90°， ∴∠DBH＝∠ABC＝90°﹣∠HBA， ∴△DBH≌△ABC（SAS）， ∴DH＝AC＝a，DB＝AB＝b， ∵∠CPI＝∠BAC＝90°，∠PIC＝∠ACB＝90°﹣∠PCI，CI＝BC， ∴△CIP≌△BCA（AAS）， ∴IP＝AC＝CF＝a，PC＝AB＝b， ∴， 由条件可知∠PIJ＝∠FCK， ∵∠IPJ＝∠F＝90°， ∴△PIJ≌△FCK（ASA）， ∴S△PIJ＝S△FCK， ∵S四边形HBAJ+S△FCK＝37， ∴S四边形HBAJ+S△PIJ＝37， ∵BH＝c，S四边形BCIH﹣（S△CIP+S△BCA）＝S四边形HBAJ+S△PIJ， ∴c2﹣ab＝37， ∵a2+b2＝c2， ∴a2+b2﹣ab＝37， ∴2（a2+b2）﹣2ab＝74①， ∵AB+AC＝10， ∴a+b＝10， ∴a2+b2+2ab＝100②， 由①+②得3（a2+b2）＝174， ∴a2+b2＝58， ∴， 故选：C． 27．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b、若大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，则（a+b）2等于（　　） A．19 B．13 C．42 D．29 【答案】D 【解答】解：根据大正方形面积﹣4个直角三角形面积＝小正方形面积得：， ∴2ab＝13， 而大正方形面积为：a2+b2＝16， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝16+13＝29， 故选：D． 28．青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形ABCD、DEFG、CGHI均为正方形．若正方形ABCD、CGHI的面积分别为S1、S2，则AF＝　　 　 ．（结果用含有S1和S2的代数式表示） 【答案】2． 【解答】解：由题意得，EF＝DE＝DG， ∵AE＝CG， ∴AF＝EF﹣AE2， 故答案为：2． 29．三国时代东吴数学家赵爽于公元3世纪在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”如图1．并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形． （1）请根据图2利用割补的方法验证勾股定理． （2）应用：如图3，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长． 【答案】（1）， ， ∴c2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∴a2+b2＝c2． （2）秋千AB的长为4米． 【解答】解：（1）， ， ∴c2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∴a2+b2＝c2． （2）设AB＝xm，AE＝AB′﹣EB′＝x+0.6﹣1.4＝（x﹣0.8）m， 在Rt△ABE中，AB2＝AE2+EB2，即x2＝（x﹣0.8）2+2.42， 解得x＝4； 答：秋千AB的长为4米． 30．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形ABEFG的面积，可以证明勾股定理． （1）写出你的证明过程； （2）当a＝3，b＝4时，求空白部分的面积． 【答案】（1）五边形ABEFG的面积拆分为三角形CEF与三角形ABC、正方形ACFG的面积和， 即， 五边形ABEFG的面积也拆分为正方形与三角形IFG、ABDH、正方形IDEF、三角形AGH的面积和， 即， ∵两种方法表示的面积相等， ∴c2+ab＝a2+b2+ab， 两边消去ab，得c2＝a2+b2，即勾股定理得证； （2）13． 【解答】（1）证明：五边形ABEFG的面积拆分为三角形CEF与三角形ABC、正方形ACFG的面积和， 即， 五边形ABEFG的面积也拆分为正方形与三角形IFG、ABDH、正方形IDEF、三角形AGH的面积和， 即 ∵两种方法表示的面积相等， ∴c2+ab＝a2+b2+ab， 两边消去ab，得c2＝a2+b2，即勾股定理得证． （2）解：空白部分（正方形ACFG）的面积为， 由（1）结论c2＝a2+b2，代入得空白部分面积为a2+b2﹣ab， 当a＝3，b＝4时，a2+b2﹣ab＝32+42﹣3×4＝9+16﹣12＝13， 答：空白部分的面积为13． 学科网（北京）股份有限公司 $