第5章 一次函数 题型精讲讲义-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

苏科版·八年级上册·第5章 一次函数·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第5章 一次函数 题型精讲讲义-2026-2027学年苏科版数学八年级上册 苏科版（2024年版）八年级数学上册　第5章　一次函数　5.1变量与函数　5.2一次函数的概念　5.3一次函数的图象与性质　5.4用一次函数解决问题　5.5一次函数与二元一次方程 含 10 个考点例题　/　共 88 题（变式 42 · 易错 7 · 作业 29）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出常量、变量、函数、自变量、函数值的含义，会用函数表达式、表格、图象三种方式表示函数，会按表达式本身和实际意义写出自变量的取值范围，会从折线图中读出停留、上升、下降等信息。 2．能说出一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）与正比例函数y=kx（k≠0）的定义，会由条件求参数；会用待定系数法由两组对应值求出一次函数的表达式。 3．知道一次函数的图象是一条直线，会用两点法画图；能由k的符号说出函数的变化趋势，由k、b的符号说出图象经过的象限，会求直线沿y轴平移后的表达式；会用一次函数解决分段计费、方案比较问题，会用两条直线的交点求二元一次方程组的解。 学习重难点 重点：一次函数、正比例函数的概念；用待定系数法求函数表达式；k、b对图象与变化趋势的影响；一次函数与二元一次方程（组）的联系。 难点：实际问题中自变量的取值范围与分段函数；由图象读取信息建立模型；方案比较时按交点把自变量分成几段讨论。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　常量、变量与函数 2 知识点 02　函数的三种表示方式与自变量的取值范围 3 知识点 03　一次函数与正比例函数的概念 3 知识点 04　用待定系数法求一次函数的表达式 3 知识点 05　正比例函数与一次函数的图象和性质 4 知识点 06　用一次函数解决实际问题 4 知识点 07　一次函数与二元一次方程（组） 5 考点 1　常量、变量与函数关系的判断 6 考点 2　函数的表示方法与读图 7 考点 3　辨认一次函数、正比例函数并求字母的值 8 考点 4　待定系数法：由两组对应值确定一次函数 9 考点 5　正比例函数的图象与性质 11 考点 6　直线y=kx+b的位置：象限、k与b的正负、沿y轴平移 12 考点 7　一次函数的变化趋势与函数值的大小 13 考点 8　用一次函数解决实际问题：建立模型与分段计费 15 考点 9　两个一次函数的比较：方案选择与相遇问题 17 考点 10　一次函数与二元一次方程（组） 19 易错专练 21 课后作业（一）基础巩固 22 课后作业（二）能力进阶 23 课后作业（三）拓展延伸 24 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　常量、变量与函数 教材从列车匀速行驶、篱笆靠墙围长方形、按单价买橘子这几个变化过程引入：数值保持不变的量叫作常量，数值发生变化的量叫作变量。在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量。对于自变量x的每一个取值，函数y的对应值称为函数值。换句话说，判断“y是不是x的函数”只盯两件事：x取定一个值，y是否跟着确定；确定下来的y是否只有一个。即时小例：一桶纯净水共18 L，每天取用1.5 L，取用的天数记为n，桶里剩下的水记为w L，则18与1.5是常量，n与w是变量，w=18-1.5n，n=4时的函数值是12。 常量：数值保持不变的量；变量：数值发生变化的量 x取每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应 ⇒ y是x的函数 函数值：自变量取某个值时y的对应值 小提示：“唯一”是关键：x取一个值却对应两个y，就不是函数；不同的x对应同一个y是允许的。常量与变量要放在具体过程里判断，同一个量在另一个过程中可能变成变量。 知识点　02　函数的三种表示方式与自变量的取值范围 教材用一根长2 m的铁丝围长方形作比较：列式表示比较简洁，方便求值；列表表示函数值与自变量的值之间的关系一目了然；画图表示很直观，可以看到变化趋势。像y=1-x、y=30t这样用自变量和常量组成的表示函数的表达式，教材称为函数表达式；把自变量的取值作为横坐标、对应的函数值作为纵坐标描出的点组成的图形，教材称为函数的图象。在实际问题中，自变量的取值通常有一定的范围，写范围时既要看表达式本身，也要看实际意义（人数、件数只能取整数，长度、时间不能为负）。即时小例：一个人每分钟跳绳120次，跳了t min共跳N次，N=120t，若一次最多连续跳5 min，则0≤t≤5。 表示函数：函数表达式、表格、图象 图象：以(自变量的值，函数值)为坐标的点组成的图形 取值范围：表达式有意义，并且实际问题有意义 小提示：读图时横轴是自变量、纵轴是函数值；折线中平行于横轴的一段表示函数值不变（如途中停留）。写取值范围别漏掉“为整数”这类实际限制。 知识点　03　一次函数与正比例函数的概念 从加油时“金额随油量变化”“油箱油量随加油时间变化”两个例子出发，教材把形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数；特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0）叫作x的正比例函数。所以正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。判断时先把式子整理成y=kx+b的样子，再核对三点：自变量的次数是1、k≠0、自变量不在分母里。即时小例：y=0.5x+3中k=0.5，b=3，是一次函数但不是正比例函数；y=-7x中k=-7，b=0，是正比例函数。 一次函数：y=kx+b（k，b为常数，k≠0） 正比例函数：y=kx（k为常数，k≠0） 正比例函数是特殊的一次函数 小提示：由“是一次函数”求参数时，最后一步必须回头核对一次项系数k≠0；由“是正比例函数”求参数时，要同时满足b=0与k≠0两个条件。 知识点　04　用待定系数法求一次函数的表达式 苏科版在5.2节就讲求一次函数表达式：以弹簧长度随所挂物体质量变化为例，先设y=kx+b，把两组对应值分别代入得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b。教材把这种“先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法”叫作待定系数法。求正比例函数y=kx只需1组（非原点的）对应值，求一次函数y=kx+b需要2组对应值。即时小例：一次函数的图象过(1，4)和(3，10)，由k+b=4、3k+b=10解得k=3，b=1，所以y=3x+1。 一设：y=kx+b（或y=kx） 二代：把已知的对应值代入，得关于k、b的方程（组） 三解：解出k、b；四写：写出函数表达式 小提示：代入时横坐标对应x、纵坐标对应y，别颠倒；两点的纵坐标之差除以横坐标之差等于k，可用来检验。 知识点　05　正比例函数与一次函数的图象和性质 画函数图象一般经过列表、描点、连线三个步骤。教材先画y=x、y=-2x，得到结论：正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线；k>0时，直线经过第一、三象限，函数值随x增大而增大；k<0时，直线经过第二、四象限，函数值随x增大而减小。再比较y=2x与y=2x+3的函数值，发现一次函数y=kx+b的图象可以由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到，因此一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，画图时只要确定图象上的两个点即可（常取它与两条坐标轴的交点）。k的符号决定函数的变化趋势，k和b的符号决定图象经过的象限：k>0，b>0时经过第一、二、三象限；k>0，b<0时经过第一、三、四象限；k<0，b>0时经过第一、二、四象限；k<0，b<0时经过第二、三、四象限。即时小例：图中y=-x、y=-x+2.5、y=-x-1.5三条直线互相平行，后两条分别由第一条向上平移2.5个、向下平移1.5个单位长度得到。 y=kx：过原点的直线；k>0增大，k<0减小 y=kx+b：由y=kx沿y轴平移|b|个单位长度（b>0向上，b<0向下） k相同的两条直线互相平行 小提示：“y随x的增大而减小”只看k，与b无关；判断象限要k、b一起看。平移只改变b，不改变k。 知识点　06　用一次函数解决实际问题 教材以叠放纸杯的总高度、工厂每天的利润、两种运输方式的费用为例说明：建立一次函数的模型，可以帮助我们解决一类实际问题。一般步骤是：找出两个变量，判断它们是否“均匀变化”，写出函数表达式并注明自变量的取值范围，再代入求值或列方程求解，最后检验结果是否符合实际。当同一情境里有两个一次函数（如两种收费方案）时，可以把它们的图象画在同一坐标系中：两条直线相交时对应的两个函数值相等，交点左右两侧哪条直线在下方，对应的方案花费就较少。即时小例：图中两条直线表示方案甲y=2x+12与方案乙y=6x的费用，交点左侧乙的直线在下方，右侧甲的直线在下方。 设变量 → 写表达式与取值范围 → 求值或解方程 → 检验作答 分段计费：每一段各写一个表达式，端点处函数值相接 方案比较：先求交点，再看交点两侧哪条直线在下方 小提示：分段问题先判断给出的数值落在哪一段；方案比较要把“相等”“甲省”“乙省”三种情况都说完整。 知识点　07　一次函数与二元一次方程（组） 二元一次方程2x-y-3=0可以写成一次函数y=2x-3的形式；反过来，一次函数y=2x-3也可以写成二元一次方程的形式。教材指出：一次函数y=2x-3的图象上的点的坐标都是二元一次方程2x-y-3=0的解；反之，以这个方程的解为坐标的点都在一次函数y=2x-3的图象上。进一步地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。教材习题还借助图象探索方程组解的情况：两条直线平行时方程组没有解，两条直线重合时方程组有无数组解。即时小例：直线y=x+2和直线y=-2x+8相交于点(2，4)，所以方程组x-y=-2，2x+y=8的解是x=2，y=4。 方程ax+by=c（b≠0）⇔ 一次函数y=+ 两直线交点的坐标= 相应二元一次方程组的解 两直线平行 ⇔ 相应方程组无解 小提示：用图象解方程组时，先把每个方程都化成y=kx+b的形式再画图；从图上读出的交点坐标可能是近似值，要代回方程组验证。 【题型1】常量、变量与函数关系的判断 拿到一个变化过程，先分清谁不变（常量）、谁在变（变量），再看“自变量取定一个值后，另一个变量是否有唯一的值与它对应”。写函数表达式时顺手把自变量的取值范围写出来：表达式本身的限制与实际意义的限制都要考虑。 例1　某自助打印机打印黑白文件时，每次先收服务费1元，另外每打印1页收0.3元。小周一次打印x页，共付费y元。(1) 指出这一过程中的常量与变量，并写出y关于x的函数表达式；(2) 这台打印机一次最多打印60页，写出自变量x的取值范围，并求小周一次打印25页时的付费。 【分析】服务费和每页单价在整个过程中不变，是常量；打印页数和总费用随着打印的多少而变化，是变量。页数每确定一个值，费用就唯一确定，所以y是x的函数。 【解答】(1) 常量是1和0.3，变量是x和y。 总费用＝服务费＋每页单价×页数，所以y=0.3x+1。 (2) 一次至少打印1页、最多打印60页，页数只能取整数，所以自变量的取值范围是1≤x≤60，且x为整数。 当x=25时，y=0.3×25+1=8.5。 答：(1) y=0.3x+1；(2) 1≤x≤60且x为整数，打印25页付费8.5元。 【方法小结】写实际问题的取值范围要回答三件事：最小能取多少、最大能取多少、能否取小数。本题页数是整数，这一句不能省。 题型1　变式：多值对应的辨认、剩余量模型与三角形边长的范围 四道变式分别练：用“一个x对应几个y”排除非函数、写剩余量型函数并求范围、由三角形两边之和大于第三边定范围、以及把自变量的值代入求函数值。 变式1　当x=1时，按下面某个等式求出的y不只一个，因而y不是x的函数，这个等式是（　　）。 A．y=2x-5 B．y=|x| C．|y|=x+3 D．y= 变式2　一台加湿器的水箱装满水是3.6 L，工作时每小时耗水0.24 L。加满水后工作x h，水箱里剩下的水为y L，则y与x之间的函数表达式是________，自变量x的取值范围是________。 变式3　某等腰三角形的周长是32 cm，腰长为x cm，底边长为y cm。(1) 底边长y与腰长x有怎样的函数关系？腰长x能在什么范围内取值？(2) 腰长为10 cm时，底边多长？ 变式4　把x=-3代入函数y=-2x+7，得到的函数值是（　　）。 A．13 B．1 C．-13 D．6 【题型2】函数的表示方法与读图 同一个函数可以用表格、表达式、图象三种方式呈现。由表格找规律写表达式时，看自变量每增加一个固定值，函数值是否也增加（或减少）同一个值；读图时先认清横轴、纵轴表示什么，再把折线分段，逐段说出实际意义。 例1　一台扫地机器人充满电后开始工作，剩余电量Q（%）随工作时间t（min）变化。测得t=0，10，20，30时，Q依次为100，92，84，76。(1) 电量Q与时间t之间有怎样的函数表达式？(2) 电量降到20%时机器人会自动返回充电座，它连续工作多少分钟后返回？ 【分析】t每增加10，Q都减少8，变化是均匀的，每分钟减少8÷10=0.8个百分点；t=0时Q=100。 【解答】(1) 每分钟电量减少0.8个百分点，工作t min共减少0.8t，所以Q=100-0.8t。 (2) 令100-0.8t=20， 移项，得0.8t=80， 解得t=100。 答：(1) Q=100-0.8t；(2) 连续工作100 min后返回充电座。 【方法小结】由表格写表达式分两步：先找“起点值”（自变量为0时的函数值），再找“每增加1个单位的变化量”；最后任取表中一组数代回验证。 题型2　变式：分段折线的读图、气温曲线与由对应值定表达式 四道变式覆盖读图与读表的常见问法：由折线求停留时间与速度、由气温折线找最值与变化快慢、由几组对应值挑出表达式、由拼桌规律写表达式并求值。 变式1　一部观光电梯从地面出发匀速上升，在观景平台停靠一段时间后再匀速上升到顶层。图中折线描述了电梯运行x s时离地面的高度y m，折线的两个拐点是A(16，32)，B(36，32)，终点是C(51，77)。(1) 电梯在观景平台停靠了多少秒？观景平台离地面多高？(2) 两次上升时，电梯每秒分别上升多少米？ 变式2　如图，折线表示某蔬菜大棚一天中的气温y（℃）与时刻x（时）之间的关系，折线经过点(0，12)，(6，8)，(14，28)，(24，14)，每一段都是线段。(1) 大棚里哪一时刻最热、哪一时刻最冷？对应的气温各是多少？(2) 气温持续上升的是哪一段时间？这段时间里平均每小时上升多少摄氏度？ 变式3　y是x的函数，x=1，2，3，4时，y依次为5，8，11，14。能表示这组对应值的函数表达式是（　　）。 A．y=x+4 B．y=3x+2 C．y=5x D．y=4x+1 变式4　餐厅把同样的方桌拼成一长排：1张方桌四边各坐1人，可坐4人；每多拼1张方桌，就多坐2人。设拼了n张方桌，可坐y人。(1) 可坐人数y怎样随方桌张数n变化？用函数表达式表示；(2) 一个50人的团队要坐成一长排，至少要拼多少张方桌？ 【题型3】辨认一次函数、正比例函数并求字母的值 识别时先把式子整理成y=kx+b的样子，再看三个条件：自变量的次数是1、k≠0、自变量不在分母里。由“是一次函数”“是正比例函数”求参数，就是把这些条件翻译成关于参数的等式或不等式。 例1　设a，b为常数，函数y=(2a+4)x+(3-b)以x为自变量。(1) 要使y是x的一次函数，a，b需满足什么条件？(2) 要使y是x的正比例函数，a，b又需满足什么条件？ 【分析】一次函数只要求一次项系数不为0；正比例函数除此之外，还要求常数项为0。 【解答】(1) 由2a+4≠0，得a≠-2，b不受限制。所以a≠-2，b为任意实数时，y是x的一次函数。 (2) 在(1)的基础上还要3-b=0， 解得b=3。 所以a≠-2且b=3时，y是x的正比例函数。 【方法小结】“一次函数”对应一个不等式k≠0，“正比例函数”对应一个不等式加一个等式：k≠0，b=0，两者缺一不可。 题型3　变式：挑出一次函数、由正比例求参数、写实例表达式与读k和b 四道变式从不同入口考概念：在四个式子里挑出“一次但不正比例”的一个、由正比例函数求参数、在实际情境里写表达式后归类、以及把式子整理后读出k和b。 变式1　四个函数y=，y=-3，y=(x-6)，y=6中，是一次函数但不是正比例函数的是（　　）。 A．y= B．y=-3 C．y=(x-6) D．y=6 变式2　若函数y=(4-2n)x+n+5是正比例函数，则n=________，此时函数表达式为________。 变式3　分别写出下面两个变化过程中的函数表达式，并说明它是不是一次函数、是不是正比例函数：(1) 边长为x cm的正三角形的周长C cm随x的变化而变化；(2) 一张面值200元的交通卡，每天乘地铁固定花6元，使用x天后卡内余额为y元。 变式4　一次函数y=5-0.8x中，k与b的值分别是（　　）。 A．k=5，b=-0.8 B．k=0.8，b=5 C．k=-5，b=0.8 D．k=-0.8，b=5 【题型4】待定系数法：由两组对应值确定一次函数 苏科版把待定系数法放在5.2节：设y=kx+b，把两组对应值代入得到关于k、b的方程组，解出后写回表达式。实际问题里“是一次函数”“均匀变化”“每……增加（减少）相同的量”都是可以设y=kx+b的信号。 例1　某台3D打印机工作时，一卷耗材的剩余长度y（m）是打印时间x（h）的一次函数。打印2 h后剩余252 m，打印5 h后剩余225 m。(1) 求y关于x的函数表达式，并说出其中常数项的实际意义；(2) 这卷耗材最多可以连续打印多少小时？ 【分析】已知是一次函数，设y=kx+b，两组对应值是(2，252)和(5，225)。 【解答】(1) 设y=kx+b。由题意得2k+b=252，5k+b=225。 两式相减，得3k=-27， 解得k=-9。 把k=-9代入2k+b=252，得b=270。 所以y=-9x+270。常数项270是x=0时的函数值，表示这卷耗材原有270 m。 (2) 耗材用完时y=0，即-9x+270=0， 解得x=30。 答：(1) y=-9x+270；(2) 最多可以连续打印30 h。 【方法小结】待定系数法四步：设、代、解、写。实际问题中b往往表示“开始时的量”，k表示“每单位时间的变化量”，k为负说明量在减少。 题型4　变式：两点定直线、正比例函数上的动点、由对应值求零点与冰层厚度 四道变式把待定系数法在纯数学和实际情境里各走两遍：两点确定一条直线、正比例函数图象上求动点坐标、由两组对应值求表达式再求函数值为0时的x、以及由两次测量值预测何时达到指定厚度。 变式1　一条直线经过A(-1，7)，B(3，-5)两点。这条直线对应的一次函数是什么？它与y轴交于哪一点？ 变式2　正比例函数y=kx的图象过点(-4，6)，它还过一个纵坐标比横坐标小5的点P(a，a-5)。求k的值与点P的坐标。 变式3　一个一次函数在x=-2处的函数值为-9，在x=4处的函数值为9，它的表达式是________；函数值为0时x=________。 变式4　入冬后某湖面开始结冰，冰层厚度y（cm）与持续降温的天数x近似满足一次函数关系。第3天测得冰厚8 cm，第7天测得冰厚14 cm。(1) 冰层厚度y与天数x之间的函数表达式是什么？(2) 冰层厚度达到20 cm时才允许开放冰上活动，按此规律，第几天可以开放？ 【题型5】正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx的图象是经过原点的直线，画图只需再找一个点。k>0时图象在第一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时图象在第二、四象限，y随x的增大而减小。由象限或变化趋势反推参数，就是解关于参数的不等式。 例1　直线y=(3m-2)x是一个正比例函数的图象，它从左往右逐渐下降。(1) 求m的取值范围；(2) 若m取符合条件的最大整数，写出函数表达式，并判断点(-2，4)是否在它的图象上。 【分析】直线从左往右下降，说明y随x的增大而减小，k<0，即3m-2<0。 【解答】(1) 由3m-2<0，得m<。 (2) 小于的最大整数是0，此时3m-2=3×0-2=-2，函数表达式为y=-2x。 当x=-2时，y=-2×(-2)=4，与点的纵坐标相等，所以点(-2，4)在图象上。 【方法小结】判断点是否在图象上，把横坐标代入表达式，算出的函数值等于纵坐标就在，不等就不在。 题型5　变式：由变化趋势求参数、由图上一点求表达式、对称的两条直线与画图 四道变式练正比例函数的四个角度：由“y随x增大而增大”与所过的点求参数、由图上的点写表达式再求另一点、比较y=kx与y=-kx两条直线的位置、以及用两点画图并求图象上的点。 变式1　对于正比例函数y=(5-2a)x，函数值随自变量增大而增大，a应满足________；若它的图象还经过点(1，3)，则a=________。 变式2　如图，直线OA是一个正比例函数的图象，点A的坐标是(4，3)。(1) 由点A的坐标求k，写出函数表达式；(2) 直线上点B的纵坐标是-6，求点B的坐标。 变式3　在同一坐标系中画出y=与y=的图象，两条直线的位置关系是（　　）。 A．两条直线重合 B．都经过原点，并且关于y轴对称 C．两条直线互相平行 D．都经过第一、三象限 变式4　画出正比例函数y=的图象（写出所取的点），并求图象上横坐标为-3的点的坐标。 【题型6】直线y=kx+b的位置：象限、k与b的正负、沿y轴平移 一次函数y=kx+b的图象是一条直线：k的符号管“从左往右上升还是下降”，b的符号管“与y轴交在正半轴、原点还是负半轴”，两者合起来决定经过哪三个象限。沿y轴平移时k不变，只有b变：向上平移加，向下平移减。 例1　对于一次函数y=(2-m)x+m-5：(1) 若它的图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围；(2) 若它的图象可以由直线y=-x沿y轴平移得到，求m的值，并说明是怎样平移的。 【分析】经过第一、三、四象限的直线从左往右上升且与y轴交于负半轴，即k>0，b<0；由y=-x平移得到，说明两条直线的k相同。 【解答】(1) 由题意，2-m>0且m-5<0， 解得m<2且m<5，所以m<2。 (2) 平移不改变k，所以2-m=-1， 解得m=3。 此时b=m-5=3-5=-2，函数为y=-x-2，是由直线y=-x向下平移2个单位长度得到的。 【方法小结】“经过哪三个象限”翻译成k、b的两个不等式，两个范围取公共部分；“由某直线平移得到”翻译成k相等。 题型6　变式：不经过的象限、由示意图定k和b的符号、平移过定点、两点法画图与由kb定象限 五道变式覆盖本题型的主要问法：由表达式说出不经过的象限、由示意图判断k、b的符号、由平移后所过的点求平移距离、用与坐标轴的交点画图、以及由k、b的符号关系定象限。 变式1　画出y=0.5x-3的图象后可以看出，图象没有经过的象限是（　　）。 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式2　如图是一次函数y=kx+b的示意图，下面对k，b符号的判断正确的是（　　）。 A．k>0，b>0 B．k<0，b<0 C．k<0，b>0 D．k>0，b<0 变式3　将直线y=3x-1沿y轴平移后，所得直线经过点(2，9)，则所得直线对应的函数表达式为________，这次平移是向上平移了________个单位长度。 变式4　(1) 用两点法画出一次函数y=+2的图象，写出图象与x轴、y轴的交点坐标；(2) 观察所画图象，x在什么范围内时函数值为正？ 变式5　已知k与b异号，并且直线y=kx+b从左往右下降。这条直线穿过的三个象限是（　　）。 A．一、二、三 B．一、三、四 C．二、三、四 D．一、二、四 【题型7】一次函数的变化趋势与函数值的大小 比较图象上两点的纵坐标，不必算出具体的值：先由k的符号定变化趋势，再比较两点的横坐标。求自变量在一段范围内时函数值的范围，同样先定趋势，再把两个端点代入。 例1　对于一次函数y=(a-4)x+3，函数值会随x的增大而变小。(1) 求a的取值范围；(2) 该图象上有两点P(-5，m)，Q(2，n)，m与n哪个大？ 【分析】y随x的增大而减小说明k=a-4<0；两点横坐标-5<2，函数值随之变小。 【解答】(1) 由a-4<0，得a<4。 (2) 因为y随x的增大而减小，而-5<2，所以点P的纵坐标大于点Q的纵坐标，即m>n。 【方法小结】这类比较题只看两件事：k的符号与两点横坐标的大小。k<0时“横坐标小的，纵坐标反而大”。 题型7　变式：横坐标差与纵坐标差、端点求最值、参数范围与由图读范围 四道变式把“变化趋势”用到四个方向：由横坐标的差求纵坐标的差、在一段范围内求函数的最大值、由变化趋势与交点位置求参数范围、以及从图上读出函数值大于某数时x的范围。 变式1　点M(a，5)，N(a+6，t)都在一次函数y=-2的图象上，则t-5=________。 变式2　自变量x在-1到3之间取值（含两端）时，一次函数y=-x+4能取到的最大函数值是（　　）。 A．5 B．1 C．3 D．4 变式3　已知一次函数y=(3-k)x+2k-1。(1) 当k满足什么条件时，y随x的增大而增大？(2) 若y随x的增大而增大，且图象与y轴交于负半轴，求k的取值范围。 变式4　如图，过A(-2，0)，B(0，3)两点的直线是一次函数y=kx+b的图象，函数值大于3时x应满足（　　）。 A．x<0 B．x>-2 C．x<-2 D．x>0 【题型8】用一次函数解决实际问题：建立模型与分段计费 建立函数模型时，先找出自变量和函数，再看变化是否“每增加1个单位，改变同一个量”。收费标准在某个值前后不同，就要分段写表达式：每一段各写一个，并写清这一段自变量的范围；求值时先判断数值落在哪一段。 例1　某景区租用电动自行车的计费标准：骑行时间不超过20 min时，每分钟0.3元；超过20 min的部分，每分钟0.2元。设骑行时间为x min，费用为y元，其图象如图。(1) 分别写出0≤x≤20和x>20时y关于x的函数表达式；(2) 小许某次付费9.2元，他骑行了多少分钟？ 【分析】前20 min按0.3元/min计，20 min共6元；超过20 min的部分另按0.2元/min计，所以图象是在x=20处相接的两段。 【解答】(1) 当0≤x≤20时，y=0.3x； 当x>20时，y=0.3×20+0.2(x-20)， 整理，得y=0.2x+2。 (2) 骑行20 min付6元，9.2>6，所以骑行时间超过20 min， 由0.2x+2=9.2，得x=36。 答：(1) 0≤x≤20时y=0.3x，x>20时y=0.2x+2；(2) 小许骑行了36 min。 【方法小结】分段计费先算“分界点的费用”，拿已知费用与它比较，确定用哪一段的表达式，避免套错段。 题型8　变式：叠放高度、通话时长剩余、由分段图象求收入与动点面积 四道变式各对应一种建模入口：“第1个特殊、以后每个增加相同量”的叠放问题、“总量减去消耗量”的剩余问题、由分段折线图写后一段表达式、以及点在长方形边上运动时的面积函数。 变式1　一把塑料凳高45 cm，把同样的凳子一把一把竖直叠放，每多叠1把，总高度增加6 cm。设叠放x把凳子的总高度为y cm。(1) 一摞凳子的总高度y随凳子数x如何变化？写出函数表达式；(2) 仓库货架层高2 m，一摞凳子最多叠放多少把？ 变式2　某手机月套餐含通话时长300 min，小胡平均每天通话8 min，月初起用了x天后套餐剩余通话时长为y min，则y=________；剩余时长为60 min时，已经用了________天。 变式3　某快递站点快递员的月收入y（元）与当月派件数x（件）之间的函数图象是如图所示的折线，折线经过点(0，3000)，A(1000，4500)，B(2000，7000)。(1) 求派件数超过1000件时y关于x的函数表达式；(2) 快递员小邵某月收入6000元，他这个月派了多少件？ 变式4　长方形ABCD中，AB=6 cm，AD=4 cm。动点P从点A出发，沿边AB以1 cm/s的速度向点B运动，设运动时间为t s（0<t≤6），△APD的面积为S cm²。(1) △APD的面积S随时间t怎样变化？写出S与t的函数表达式；(2) 当△APD的面积为9 cm²时，求t的值。 【题型9】两个一次函数的比较：方案选择与相遇问题 同一情境中有两个一次函数时，把它们画在同一坐标系里：交点处两个函数值相等；交点左右两侧，哪条直线在下方，哪个量就较小。计算上就是先令两个表达式相等求出交点的横坐标，再分段下结论。 例1　某写字楼要租用绿植，甲公司每月收基础服务费80元，另外每盆3元；乙公司不收基础服务费，每盆每月5元。设租用x盆，甲、乙两公司每月的费用分别为y1元、y2元，两个函数的图象如图。(1) 用含x的式子表示y1、y2；(2) 租用多少盆时选择甲公司更省钱？ 【分析】两条直线交点处两家费用相等；交点右侧甲的直线在乙的下方，甲更省钱。 【解答】(1) y1=3x+80，y2=5x。 (2) 令3x+80=5x， 解得x=40。 由图象可知，x>40时表示甲公司费用的直线在下方，所以租用超过40盆时选择甲公司更省钱（租40盆时两家都是3×40+80=200元，少于40盆时乙更省钱）。 【方法小结】方案比较三句话：何时相等、何时甲省、何时乙省。先求交点，再由图象或代入一个值判断两侧的大小。 题型9　变式：两架无人机同高、两种优惠的选择、两池水量与节能灯的费用 四道变式分别练：一升一降两个量何时相等、先比较再选择优惠方式、由图上已知点求两条直线再求交点、以及把“买价＋电费”写成两个一次函数找分界点。 变式1　无人机甲从地面以2 m/s的速度竖直匀速上升，同时无人机乙从离地60 m处以3 m/s的速度竖直匀速下降，两架无人机离地面的高度y（m）与飞行时间x（s）之间的函数图象如图。(1) 甲、乙的高度y各是x的什么函数？分别写出来；(2) 飞行多少秒时两架无人机高度相同？此时离地面多高？ 变式2　某文具店有两种优惠：甲种，所有商品按原价打八折；乙种，购物原价满100元后，超出100元的部分打七折。李老师要买原价400元的文具，下面结论正确的是（　　）。 A．选甲种，比乙种省10元 B．选乙种，比甲种省10元 C．两种优惠付款一样 D．选乙种，比甲种省20元 变式3　如图，直线l1、l2分别表示蓄水池A排水、蓄水池B进水时池中的水量y（m³）与时间x（h）之间的关系：l1经过点(0，120)和(6，0)，l2经过点(0，40)和(4，120)。(1) 由图中已知点分别确定l1、l2的k和b；(2) 经过多少小时，两个蓄水池的水量相等？ 变式4　一只节能灯售价60元，功率为0.01 kW；一只白炽灯售价5元，功率为0.06 kW；电费为0.5元/(kW·h)。设照明时间为x h，使用节能灯、白炽灯的总费用（售价＋电费）分别为y1元、y2元。(1) 把y1、y2分别表示成x的函数；(2) 照明时间超过多少小时时，使用节能灯更省钱？ 【题型10】一次函数与二元一次方程（组） 二元一次方程与一次函数可以互相转化：方程的解就是直线上点的坐标，两个方程组成的方程组的解就是两条直线交点的坐标。求交点就是解方程组；反过来，由交点坐标又能求出直线里待定的系数。 例1　如图，l1、l2分别是一次函数y=2x+5和y=-x-4的图象，它们的交点记作P。(1) P的横、纵坐标各是多少？(2) 由此直接写出方程组2x-y=-5，x+y=-4的解。 【分析】交点P同时在两条直线上，它的坐标同时满足两个函数表达式。 【解答】(1) 令2x+5=-x-4， 移项，得3x=-9， 解得x=-3。 把x=-3代入y=2x+5，得y=-1，所以P(-3，-1)。 (2) 方程2x-y=-5可化为y=2x+5，方程x+y=-4可化为y=-x-4，它们分别对应直线l1、l2，所以方程组的解就是交点P的坐标：x=-3，y=-1。 【方法小结】看到方程组先把每个方程化成y=kx+b，就知道它对应哪两条直线；交点坐标＝方程组的解，两者可以互相转化。 题型10　变式：方程化函数、方程组有无数组解、由交点定参数、交点两侧与交点反求系数 五道变式覆盖函数与方程的五种互化：把方程写成一次函数并找图象上的点、由两条直线重合求参数、由交点横坐标求正比例函数、由交点与图象比较两个函数值、以及由交点坐标反求两条直线里的待定系数。 变式1　把二元一次方程3x+y=5写成一次函数的形式为y=________；这条直线上横坐标为-1的点，纵坐标m=________。 变式2　关于x，y的方程组x-2y=4，2x-4y=a有无数组解，则a的值是（　　）。 A．4 B．2 C．8 D．-8 变式3　直线y=-2x+5与直线y=kx相交，交点的横坐标为3。(1) 求k的值；(2) 写出方程组y=-2x+5，y=kx的解。 变式4　如图，两条直线y=x+1和y=-0.5x+4交于一点A。(1) 求点A的坐标；(2) 当x取何值时，函数y=x+1的值大于函数y=-0.5x+4的值？ 变式5　已知一次函数y=kx-2与y=-2x+b的图象相交于点(-1，3)，求k，b的值。 　易错专练 本章的失分集中在七处：求正比例函数的参数时漏掉k≠0、实际问题的取值范围漏掉隐含条件、平移方向说反、“不经过某象限”漏掉b=0、比较函数值时想当然认为y随x增大而增大、待定系数法求k时符号出错、以及把方程组改写成函数时移项出错。下面七题各守一处，做完再对照答案里的错解与错因。 易错1　若关于x的函数y=(3k-6)x+k-2是正比例函数，求k的值。 易错2　一个长方形相框的周长是60 cm，设它的长为x cm，宽为y cm（长不小于宽）。请用含x的式子表示y，并指出x可以在什么范围内取值。 易错3　直线y=-3x-4是由直线y=-3x+2沿y轴怎样平移得到的？ 易错4　要使一次函数y=(m-2)x+m的图象不穿过第三象限，m应在什么范围内取值？ 易错5　点A(-1，y1)，B(2，y2)都在一次函数y=+1)x+3的图象上，比较y1与y2的大小。 易错6　某一次函数，x=2时y=-1，x=-2时y=7，求它的表达式。 易错7　用图象法解方程组x+y=1，2x-y=5时，先把两个方程分别化成一次函数，再求两条直线的交点。写出两个一次函数，并求方程组的解。 　课后作业（一）基础巩固 下面10题是本章最低限度的必会内容，每题只有一个选项符合题意，把字母填进括号里。考查次序是常量与变量、正比例函数、与坐标轴的交点、待定系数法、图象性质、平移、函数值、象限与交点。 1．在圆的周长公式C=2πr中，常量与变量分别是（　　）。 A．常量是2，变量是C，π，r B．常量是2和π，变量是C和r C．常量是π，变量是C，2，r D．常量是C，变量是r 2．在y=+1，y=，y=-4x，y=4-x这四个函数中，属于正比例函数的是（　　）。 A．y=+1 B．y= C．y=-4x D．y=4-x 3．一次函数y=-2x+6的图象与x轴的交点坐标是（　　）。 A．(0，6) B．(3，0) C．(-3，0) D．(6，0) 4．x=-2时，正比例函数y=kx的函数值是8，那么k=（　　）。 A．-4 B．4 C． D．16 5．关于直线y=-x+2，下列说法正确的是（　　）。 A．经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而增大 C．与y轴交于点(0，2) D．与x轴交于点(-2，0) 6．直线y=4x沿y轴向下平移3个单位长度后变成（　　）。 A．y=4x+3 B．y=4(x-3) C．y=x-3 D．y=4x-3 7．点A(-1，a)，B(2，b)都在直线y=-3x+1上，则a-b的值是（　　）。 A．9 B．-9 C．3 D．-3 8．一条直线y=kx+b从左往右下降，并且与y轴交在原点下方，那么k，b的符号是（　　）。 A．k，b同为正 B．k为正，b为负 C．k为负，b为正 D．k，b同为负 9．解方程组x-y=1，2x+y=5，可以借助直线y=x-1与y=-2x+5的交点。这个方程组的解是（　　）。 A．x=1，y=0 B．x=2，y=1 C．x=-2，y=-3 D．x=3，y=2 10．如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(2，0)与(0，-3)，则当y>0时，x的取值范围是（　　）。 A．x>2 B．x<2 C．x>-3 D．x<-3 　课后作业（二）能力进阶 本组10题只要求写出结果，不必写过程，把求函数值、由条件求参数、平移、交点与面积各考一遍。 1．函数y=+3的图象经过点(-4，m)和(n，0)，则m=________，n=________。 2．若y=(m+4)x+m-1是一次函数，且它的图象经过原点，则m=________。 3．点(-2，1)在直线y=kx+5上，那么k=________。 4．点(1，-7)在直线y=-3x+b上，由此b=________；这条直线交x轴于点________。 5．要让直线y=(2a-3)x+4从左往右下降，a的取值范围是________。 6．某电子阅读器充满电后连续阅读，剩余电量y（%）与阅读时间x（h）之间满足y=100-4x。剩余电量为20%时，已经连续阅读了________h。 7．直线y=0.5x+1向下移动若干个单位长度后恰好过点(4，-2)，移动的距离是________个单位长度。 8．直线y=2x-4与直线y=-x+b相交于x轴上的同一点，则b=________。 9．直线经过(0，3)和(1，1)两点，点(3，m)也在这条直线上，则m=________。 10．直线y=-3x+6、x轴、y轴三者围出一个三角形，这个三角形的面积是________。 　课后作业（三）拓展延伸 本组9题要写出完整的计算或求解过程，把待定系数法、图象与性质、分段函数、方案比较、函数与方程组合在一起用。 1．中国鞋码用脚长（cm）标注，欧洲鞋码是另一套数字。某品牌的鞋，中国码y（cm）是欧洲码x的一次函数：欧洲码38对应中国码24 cm，欧洲码42对应中国码26 cm。(1) 用待定系数法求出y与x的函数表达式；(2) 欧洲码44的鞋对应中国码多少厘米？ 2．已知一次函数y=-2。(1) 先求出图象与两条坐标轴的交点，再过这两点画出图象；(2) 当-2≤x≤6时，求函数值y的取值范围。 3．某图书馆规定：借出的书超期归还要交超期费，超期不超过5天时每天0.5元；超过5天的部分每天1元。设超期x天，应交超期费y元，其图象如图。(1) 超期不超过5天、超过5天两种情形下，超期费y各怎样用x表示？(2) 小邱还书时交了7.5元超期费，这本书超期了多少天？ 4．学校要买x个（x>10）同一款篮球，每个原价120元。甲商店：买10个以内（含10个）按原价，超过10个的部分每个打八折；乙商店：全部打九折。设在甲、乙商店购买的费用分别为y1元、y2元。(1) 当x>10时，请把y1、y2都写成x的一次函数；(2) 学校准备买30个，在哪家买花钱少？ 5．某实验室恒温箱开机后，箱内温度y（℃）与时间x（min）的关系如图：开机时箱内温度为10 ℃，先匀速升温到A(15，40)，保持恒温到B(30，40)，然后断电匀速降温到C(50，10)。(1) 降温阶段，温度y随时间x变化的函数表达式是什么？(2) 箱内温度不低于28 ℃的时间一共有多少分钟？ 6．如图，直线l1：y=-x+3，直线l2经过点C(-2，0)和D(0，1)，两直线相交于点P。(1) 由C、D两点确定l2的k与b；(2) 求点P的坐标，并写出方程组x+y=3，x-2y=-2的解。 7．已知一次函数y=(m-1)x+m+3（m≠1）。(1) 当x=1时函数值为8，求m；(2) 无论m取何值，这个函数的图象都经过一个固定的点，求这个点的坐标。 8．甲、乙两部手机同时开始连续使用，甲开始时电量为100%，每小时耗电12个百分点；乙开始时电量为70%，每小时耗电7个百分点。设使用x h后甲、乙的电量分别为y1%，y2%。(1) y1、y2与x之间各满足怎样的函数表达式？(2) 使用多少小时后两部手机的电量相同？此时电量是多少？ 9．在平面直角坐标系中，点A(1，3)，B(5，1)，正比例函数y=kx的图象与线段AB有公共点，求k的取值范围。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版·八年级上册·第5章 一次函数·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第5章 一次函数 题型精讲讲义-2026-2027学年苏科版数学八年级上册 苏科版（2024年版）八年级数学上册　第5章　一次函数　5.1变量与函数　5.2一次函数的概念　5.3一次函数的图象与性质　5.4用一次函数解决问题　5.5一次函数与二元一次方程 含 10 个考点例题　/　共 88 题（变式 42 · 易错 7 · 作业 29）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出常量、变量、函数、自变量、函数值的含义，会用函数表达式、表格、图象三种方式表示函数，会按表达式本身和实际意义写出自变量的取值范围，会从折线图中读出停留、上升、下降等信息。 2．能说出一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）与正比例函数y=kx（k≠0）的定义，会由条件求参数；会用待定系数法由两组对应值求出一次函数的表达式。 3．知道一次函数的图象是一条直线，会用两点法画图；能由k的符号说出函数的变化趋势，由k、b的符号说出图象经过的象限，会求直线沿y轴平移后的表达式；会用一次函数解决分段计费、方案比较问题，会用两条直线的交点求二元一次方程组的解。 学习重难点 重点：一次函数、正比例函数的概念；用待定系数法求函数表达式；k、b对图象与变化趋势的影响；一次函数与二元一次方程（组）的联系。 难点：实际问题中自变量的取值范围与分段函数；由图象读取信息建立模型；方案比较时按交点把自变量分成几段讨论。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　常量、变量与函数 2 知识点 02　函数的三种表示方式与自变量的取值范围 3 知识点 03　一次函数与正比例函数的概念 3 知识点 04　用待定系数法求一次函数的表达式 3 知识点 05　正比例函数与一次函数的图象和性质 4 知识点 06　用一次函数解决实际问题 4 知识点 07　一次函数与二元一次方程（组） 5 考点 1　常量、变量与函数关系的判断 6 考点 2　函数的表示方法与读图 7 考点 3　辨认一次函数、正比例函数并求字母的值 8 考点 4　待定系数法：由两组对应值确定一次函数 9 考点 5　正比例函数的图象与性质 10 考点 6　直线y=kx+b的位置：象限、k与b的正负、沿y轴平移 11 考点 7　一次函数的变化趋势与函数值的大小 13 考点 8　用一次函数解决实际问题：建立模型与分段计费 14 考点 9　两个一次函数的比较：方案选择与相遇问题 15 考点 10　一次函数与二元一次方程（组） 17 易错专练 18 课后作业（一）基础巩固 19 课后作业（二）能力进阶 20 课后作业（三）拓展延伸 21 参考答案与解析 22 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　常量、变量与函数 教材从列车匀速行驶、篱笆靠墙围长方形、按单价买橘子这几个变化过程引入：数值保持不变的量叫作常量，数值发生变化的量叫作变量。在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量。对于自变量x的每一个取值，函数y的对应值称为函数值。换句话说，判断“y是不是x的函数”只盯两件事：x取定一个值，y是否跟着确定；确定下来的y是否只有一个。即时小例：一桶纯净水共18 L，每天取用1.5 L，取用的天数记为n，桶里剩下的水记为w L，则18与1.5是常量，n与w是变量，w=18-1.5n，n=4时的函数值是12。 常量：数值保持不变的量；变量：数值发生变化的量 x取每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应 ⇒ y是x的函数 函数值：自变量取某个值时y的对应值 小提示：“唯一”是关键：x取一个值却对应两个y，就不是函数；不同的x对应同一个y是允许的。常量与变量要放在具体过程里判断，同一个量在另一个过程中可能变成变量。 知识点　02　函数的三种表示方式与自变量的取值范围 教材用一根长2 m的铁丝围长方形作比较：列式表示比较简洁，方便求值；列表表示函数值与自变量的值之间的关系一目了然；画图表示很直观，可以看到变化趋势。像y=1-x、y=30t这样用自变量和常量组成的表示函数的表达式，教材称为函数表达式；把自变量的取值作为横坐标、对应的函数值作为纵坐标描出的点组成的图形，教材称为函数的图象。在实际问题中，自变量的取值通常有一定的范围，写范围时既要看表达式本身，也要看实际意义（人数、件数只能取整数，长度、时间不能为负）。即时小例：一个人每分钟跳绳120次，跳了t min共跳N次，N=120t，若一次最多连续跳5 min，则0≤t≤5。 表示函数：函数表达式、表格、图象 图象：以(自变量的值，函数值)为坐标的点组成的图形 取值范围：表达式有意义，并且实际问题有意义 小提示：读图时横轴是自变量、纵轴是函数值；折线中平行于横轴的一段表示函数值不变（如途中停留）。写取值范围别漏掉“为整数”这类实际限制。 知识点　03　一次函数与正比例函数的概念 从加油时“金额随油量变化”“油箱油量随加油时间变化”两个例子出发，教材把形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数；特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0）叫作x的正比例函数。所以正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。判断时先把式子整理成y=kx+b的样子，再核对三点：自变量的次数是1、k≠0、自变量不在分母里。即时小例：y=0.5x+3中k=0.5，b=3，是一次函数但不是正比例函数；y=-7x中k=-7，b=0，是正比例函数。 一次函数：y=kx+b（k，b为常数，k≠0） 正比例函数：y=kx（k为常数，k≠0） 正比例函数是特殊的一次函数 小提示：由“是一次函数”求参数时，最后一步必须回头核对一次项系数k≠0；由“是正比例函数”求参数时，要同时满足b=0与k≠0两个条件。 知识点　04　用待定系数法求一次函数的表达式 苏科版在5.2节就讲求一次函数表达式：以弹簧长度随所挂物体质量变化为例，先设y=kx+b，把两组对应值分别代入得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b。教材把这种“先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法”叫作待定系数法。求正比例函数y=kx只需1组（非原点的）对应值，求一次函数y=kx+b需要2组对应值。即时小例：一次函数的图象过(1，4)和(3，10)，由k+b=4、3k+b=10解得k=3，b=1，所以y=3x+1。 一设：y=kx+b（或y=kx） 二代：把已知的对应值代入，得关于k、b的方程（组） 三解：解出k、b；四写：写出函数表达式 小提示：代入时横坐标对应x、纵坐标对应y，别颠倒；两点的纵坐标之差除以横坐标之差等于k，可用来检验。 知识点　05　正比例函数与一次函数的图象和性质 画函数图象一般经过列表、描点、连线三个步骤。教材先画y=x、y=-2x，得到结论：正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线；k>0时，直线经过第一、三象限，函数值随x增大而增大；k<0时，直线经过第二、四象限，函数值随x增大而减小。再比较y=2x与y=2x+3的函数值，发现一次函数y=kx+b的图象可以由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到，因此一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，画图时只要确定图象上的两个点即可（常取它与两条坐标轴的交点）。k的符号决定函数的变化趋势，k和b的符号决定图象经过的象限：k>0，b>0时经过第一、二、三象限；k>0，b<0时经过第一、三、四象限；k<0，b>0时经过第一、二、四象限；k<0，b<0时经过第二、三、四象限。即时小例：图中y=-x、y=-x+2.5、y=-x-1.5三条直线互相平行，后两条分别由第一条向上平移2.5个、向下平移1.5个单位长度得到。 y=kx：过原点的直线；k>0增大，k<0减小 y=kx+b：由y=kx沿y轴平移|b|个单位长度（b>0向上，b<0向下） k相同的两条直线互相平行 小提示：“y随x的增大而减小”只看k，与b无关；判断象限要k、b一起看。平移只改变b，不改变k。 知识点　06　用一次函数解决实际问题 教材以叠放纸杯的总高度、工厂每天的利润、两种运输方式的费用为例说明：建立一次函数的模型，可以帮助我们解决一类实际问题。一般步骤是：找出两个变量，判断它们是否“均匀变化”，写出函数表达式并注明自变量的取值范围，再代入求值或列方程求解，最后检验结果是否符合实际。当同一情境里有两个一次函数（如两种收费方案）时，可以把它们的图象画在同一坐标系中：两条直线相交时对应的两个函数值相等，交点左右两侧哪条直线在下方，对应的方案花费就较少。即时小例：图中两条直线表示方案甲y=2x+12与方案乙y=6x的费用，交点左侧乙的直线在下方，右侧甲的直线在下方。 设变量 → 写表达式与取值范围 → 求值或解方程 → 检验作答 分段计费：每一段各写一个表达式，端点处函数值相接 方案比较：先求交点，再看交点两侧哪条直线在下方 小提示：分段问题先判断给出的数值落在哪一段；方案比较要把“相等”“甲省”“乙省”三种情况都说完整。 知识点　07　一次函数与二元一次方程（组） 二元一次方程2x-y-3=0可以写成一次函数y=2x-3的形式；反过来，一次函数y=2x-3也可以写成二元一次方程的形式。教材指出：一次函数y=2x-3的图象上的点的坐标都是二元一次方程2x-y-3=0的解；反之，以这个方程的解为坐标的点都在一次函数y=2x-3的图象上。进一步地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。教材习题还借助图象探索方程组解的情况：两条直线平行时方程组没有解，两条直线重合时方程组有无数组解。即时小例：直线y=x+2和直线y=-2x+8相交于点(2，4)，所以方程组x-y=-2，2x+y=8的解是x=2，y=4。 方程ax+by=c（b≠0）⇔ 一次函数y=+ 两直线交点的坐标= 相应二元一次方程组的解 两直线平行 ⇔ 相应方程组无解 小提示：用图象解方程组时，先把每个方程都化成y=kx+b的形式再画图；从图上读出的交点坐标可能是近似值，要代回方程组验证。 【题型1】常量、变量与函数关系的判断 拿到一个变化过程，先分清谁不变（常量）、谁在变（变量），再看“自变量取定一个值后，另一个变量是否有唯一的值与它对应”。写函数表达式时顺手把自变量的取值范围写出来：表达式本身的限制与实际意义的限制都要考虑。 例1　某自助打印机打印黑白文件时，每次先收服务费1元，另外每打印1页收0.3元。小周一次打印x页，共付费y元。(1) 指出这一过程中的常量与变量，并写出y关于x的函数表达式；(2) 这台打印机一次最多打印60页，写出自变量x的取值范围，并求小周一次打印25页时的付费。 【分析】服务费和每页单价在整个过程中不变，是常量；打印页数和总费用随着打印的多少而变化，是变量。页数每确定一个值，费用就唯一确定，所以y是x的函数。 【解答】(1) 常量是1和0.3，变量是x和y。 总费用＝服务费＋每页单价×页数，所以y=0.3x+1。 (2) 一次至少打印1页、最多打印60页，页数只能取整数，所以自变量的取值范围是1≤x≤60，且x为整数。 当x=25时，y=0.3×25+1=8.5。 答：(1) y=0.3x+1；(2) 1≤x≤60且x为整数，打印25页付费8.5元。 【方法小结】写实际问题的取值范围要回答三件事：最小能取多少、最大能取多少、能否取小数。本题页数是整数，这一句不能省。 题型1　变式：多值对应的辨认、剩余量模型与三角形边长的范围 四道变式分别练：用“一个x对应几个y”排除非函数、写剩余量型函数并求范围、由三角形两边之和大于第三边定范围、以及把自变量的值代入求函数值。 变式1　当x=1时，按下面某个等式求出的y不只一个，因而y不是x的函数，这个等式是（　　）。 A．y=2x-5 B．y=|x| C．|y|=x+3 D．y= 变式2　一台加湿器的水箱装满水是3.6 L，工作时每小时耗水0.24 L。加满水后工作x h，水箱里剩下的水为y L，则y与x之间的函数表达式是________，自变量x的取值范围是________。 变式3　某等腰三角形的周长是32 cm，腰长为x cm，底边长为y cm。(1) 底边长y与腰长x有怎样的函数关系？腰长x能在什么范围内取值？(2) 腰长为10 cm时，底边多长？ 变式4　把x=-3代入函数y=-2x+7，得到的函数值是（　　）。 A．13 B．1 C．-13 D．6 【题型2】函数的表示方法与读图 同一个函数可以用表格、表达式、图象三种方式呈现。由表格找规律写表达式时，看自变量每增加一个固定值，函数值是否也增加（或减少）同一个值；读图时先认清横轴、纵轴表示什么，再把折线分段，逐段说出实际意义。 例1　一台扫地机器人充满电后开始工作，剩余电量Q（%）随工作时间t（min）变化。测得t=0，10，20，30时，Q依次为100，92，84，76。(1) 电量Q与时间t之间有怎样的函数表达式？(2) 电量降到20%时机器人会自动返回充电座，它连续工作多少分钟后返回？ 【分析】t每增加10，Q都减少8，变化是均匀的，每分钟减少8÷10=0.8个百分点；t=0时Q=100。 【解答】(1) 每分钟电量减少0.8个百分点，工作t min共减少0.8t，所以Q=100-0.8t。 (2) 令100-0.8t=20， 移项，得0.8t=80， 解得t=100。 答：(1) Q=100-0.8t；(2) 连续工作100 min后返回充电座。 【方法小结】由表格写表达式分两步：先找“起点值”（自变量为0时的函数值），再找“每增加1个单位的变化量”；最后任取表中一组数代回验证。 题型2　变式：分段折线的读图、气温曲线与由对应值定表达式 四道变式覆盖读图与读表的常见问法：由折线求停留时间与速度、由气温折线找最值与变化快慢、由几组对应值挑出表达式、由拼桌规律写表达式并求值。 变式1　一部观光电梯从地面出发匀速上升，在观景平台停靠一段时间后再匀速上升到顶层。图中折线描述了电梯运行x s时离地面的高度y m，折线的两个拐点是A(16，32)，B(36，32)，终点是C(51，77)。(1) 电梯在观景平台停靠了多少秒？观景平台离地面多高？(2) 两次上升时，电梯每秒分别上升多少米？ 变式2　如图，折线表示某蔬菜大棚一天中的气温y（℃）与时刻x（时）之间的关系，折线经过点(0，12)，(6，8)，(14，28)，(24，14)，每一段都是线段。(1) 大棚里哪一时刻最热、哪一时刻最冷？对应的气温各是多少？(2) 气温持续上升的是哪一段时间？这段时间里平均每小时上升多少摄氏度？ 变式3　y是x的函数，x=1，2，3，4时，y依次为5，8，11，14。能表示这组对应值的函数表达式是（　　）。 A．y=x+4 B．y=3x+2 C．y=5x D．y=4x+1 变式4　餐厅把同样的方桌拼成一长排：1张方桌四边各坐1人，可坐4人；每多拼1张方桌，就多坐2人。设拼了n张方桌，可坐y人。(1) 可坐人数y怎样随方桌张数n变化？用函数表达式表示；(2) 一个50人的团队要坐成一长排，至少要拼多少张方桌？ 【题型3】辨认一次函数、正比例函数并求字母的值 识别时先把式子整理成y=kx+b的样子，再看三个条件：自变量的次数是1、k≠0、自变量不在分母里。由“是一次函数”“是正比例函数”求参数，就是把这些条件翻译成关于参数的等式或不等式。 例1　设a，b为常数，函数y=(2a+4)x+(3-b)以x为自变量。(1) 要使y是x的一次函数，a，b需满足什么条件？(2) 要使y是x的正比例函数，a，b又需满足什么条件？ 【分析】一次函数只要求一次项系数不为0；正比例函数除此之外，还要求常数项为0。 【解答】(1) 由2a+4≠0，得a≠-2，b不受限制。所以a≠-2，b为任意实数时，y是x的一次函数。 (2) 在(1)的基础上还要3-b=0， 解得b=3。 所以a≠-2且b=3时，y是x的正比例函数。 【方法小结】“一次函数”对应一个不等式k≠0，“正比例函数”对应一个不等式加一个等式：k≠0，b=0，两者缺一不可。 题型3　变式：挑出一次函数、由正比例求参数、写实例表达式与读k和b 四道变式从不同入口考概念：在四个式子里挑出“一次但不正比例”的一个、由正比例函数求参数、在实际情境里写表达式后归类、以及把式子整理后读出k和b。 变式1　四个函数y=，y=-3，y=(x-6)，y=6中，是一次函数但不是正比例函数的是（　　）。 A．y= B．y=-3 C．y=(x-6) D．y=6 变式2　若函数y=(4-2n)x+n+5是正比例函数，则n=________，此时函数表达式为________。 变式3　分别写出下面两个变化过程中的函数表达式，并说明它是不是一次函数、是不是正比例函数：(1) 边长为x cm的正三角形的周长C cm随x的变化而变化；(2) 一张面值200元的交通卡，每天乘地铁固定花6元，使用x天后卡内余额为y元。 变式4　一次函数y=5-0.8x中，k与b的值分别是（　　）。 A．k=5，b=-0.8 B．k=0.8，b=5 C．k=-5，b=0.8 D．k=-0.8，b=5 【题型4】待定系数法：由两组对应值确定一次函数 苏科版把待定系数法放在5.2节：设y=kx+b，把两组对应值代入得到关于k、b的方程组，解出后写回表达式。实际问题里“是一次函数”“均匀变化”“每……增加（减少）相同的量”都是可以设y=kx+b的信号。 例1　某台3D打印机工作时，一卷耗材的剩余长度y（m）是打印时间x（h）的一次函数。打印2 h后剩余252 m，打印5 h后剩余225 m。(1) 求y关于x的函数表达式，并说出其中常数项的实际意义；(2) 这卷耗材最多可以连续打印多少小时？ 【分析】已知是一次函数，设y=kx+b，两组对应值是(2，252)和(5，225)。 【解答】(1) 设y=kx+b。由题意得2k+b=252，5k+b=225。 两式相减，得3k=-27， 解得k=-9。 把k=-9代入2k+b=252，得b=270。 所以y=-9x+270。常数项270是x=0时的函数值，表示这卷耗材原有270 m。 (2) 耗材用完时y=0，即-9x+270=0， 解得x=30。 答：(1) y=-9x+270；(2) 最多可以连续打印30 h。 【方法小结】待定系数法四步：设、代、解、写。实际问题中b往往表示“开始时的量”，k表示“每单位时间的变化量”，k为负说明量在减少。 题型4　变式：两点定直线、正比例函数上的动点、由对应值求零点与冰层厚度 四道变式把待定系数法在纯数学和实际情境里各走两遍：两点确定一条直线、正比例函数图象上求动点坐标、由两组对应值求表达式再求函数值为0时的x、以及由两次测量值预测何时达到指定厚度。 变式1　一条直线经过A(-1，7)，B(3，-5)两点。这条直线对应的一次函数是什么？它与y轴交于哪一点？ 变式2　正比例函数y=kx的图象过点(-4，6)，它还过一个纵坐标比横坐标小5的点P(a，a-5)。求k的值与点P的坐标。 变式3　一个一次函数在x=-2处的函数值为-9，在x=4处的函数值为9，它的表达式是________；函数值为0时x=________。 变式4　入冬后某湖面开始结冰，冰层厚度y（cm）与持续降温的天数x近似满足一次函数关系。第3天测得冰厚8 cm，第7天测得冰厚14 cm。(1) 冰层厚度y与天数x之间的函数表达式是什么？(2) 冰层厚度达到20 cm时才允许开放冰上活动，按此规律，第几天可以开放？ 【题型5】正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx的图象是经过原点的直线，画图只需再找一个点。k>0时图象在第一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时图象在第二、四象限，y随x的增大而减小。由象限或变化趋势反推参数，就是解关于参数的不等式。 例1　直线y=(3m-2)x是一个正比例函数的图象，它从左往右逐渐下降。(1) 求m的取值范围；(2) 若m取符合条件的最大整数，写出函数表达式，并判断点(-2，4)是否在它的图象上。 【分析】直线从左往右下降，说明y随x的增大而减小，k<0，即3m-2<0。 【解答】(1) 由3m-2<0，得m<。 (2) 小于的最大整数是0，此时3m-2=3×0-2=-2，函数表达式为y=-2x。 当x=-2时，y=-2×(-2)=4，与点的纵坐标相等，所以点(-2，4)在图象上。 【方法小结】判断点是否在图象上，把横坐标代入表达式，算出的函数值等于纵坐标就在，不等就不在。 题型5　变式：由变化趋势求参数、由图上一点求表达式、对称的两条直线与画图 四道变式练正比例函数的四个角度：由“y随x增大而增大”与所过的点求参数、由图上的点写表达式再求另一点、比较y=kx与y=-kx两条直线的位置、以及用两点画图并求图象上的点。 变式1　对于正比例函数y=(5-2a)x，函数值随自变量增大而增大，a应满足________；若它的图象还经过点(1，3)，则a=________。 变式2　如图，直线OA是一个正比例函数的图象，点A的坐标是(4，3)。(1) 由点A的坐标求k，写出函数表达式；(2) 直线上点B的纵坐标是-6，求点B的坐标。 变式3　在同一坐标系中画出y=与y=的图象，两条直线的位置关系是（　　）。 A．两条直线重合 B．都经过原点，并且关于y轴对称 C．两条直线互相平行 D．都经过第一、三象限 变式4　画出正比例函数y=的图象（写出所取的点），并求图象上横坐标为-3的点的坐标。 【题型6】直线y=kx+b的位置：象限、k与b的正负、沿y轴平移 一次函数y=kx+b的图象是一条直线：k的符号管“从左往右上升还是下降”，b的符号管“与y轴交在正半轴、原点还是负半轴”，两者合起来决定经过哪三个象限。沿y轴平移时k不变，只有b变：向上平移加，向下平移减。 例1　对于一次函数y=(2-m)x+m-5：(1) 若它的图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围；(2) 若它的图象可以由直线y=-x沿y轴平移得到，求m的值，并说明是怎样平移的。 【分析】经过第一、三、四象限的直线从左往右上升且与y轴交于负半轴，即k>0，b<0；由y=-x平移得到，说明两条直线的k相同。 【解答】(1) 由题意，2-m>0且m-5<0， 解得m<2且m<5，所以m<2。 (2) 平移不改变k，所以2-m=-1， 解得m=3。 此时b=m-5=3-5=-2，函数为y=-x-2，是由直线y=-x向下平移2个单位长度得到的。 【方法小结】“经过哪三个象限”翻译成k、b的两个不等式，两个范围取公共部分；“由某直线平移得到”翻译成k相等。 题型6　变式：不经过的象限、由示意图定k和b的符号、平移过定点、两点法画图与由kb定象限 五道变式覆盖本题型的主要问法：由表达式说出不经过的象限、由示意图判断k、b的符号、由平移后所过的点求平移距离、用与坐标轴的交点画图、以及由k、b的符号关系定象限。 变式1　画出y=0.5x-3的图象后可以看出，图象没有经过的象限是（　　）。 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式2　如图是一次函数y=kx+b的示意图，下面对k，b符号的判断正确的是（　　）。 A．k>0，b>0 B．k<0，b<0 C．k<0，b>0 D．k>0，b<0 变式3　将直线y=3x-1沿y轴平移后，所得直线经过点(2，9)，则所得直线对应的函数表达式为________，这次平移是向上平移了________个单位长度。 变式4　(1) 用两点法画出一次函数y=+2的图象，写出图象与x轴、y轴的交点坐标；(2) 观察所画图象，x在什么范围内时函数值为正？ 变式5　已知k与b异号，并且直线y=kx+b从左往右下降。这条直线穿过的三个象限是（　　）。 A．一、二、三 B．一、三、四 C．二、三、四 D．一、二、四 【题型7】一次函数的变化趋势与函数值的大小 比较图象上两点的纵坐标，不必算出具体的值：先由k的符号定变化趋势，再比较两点的横坐标。求自变量在一段范围内时函数值的范围，同样先定趋势，再把两个端点代入。 例1　对于一次函数y=(a-4)x+3，函数值会随x的增大而变小。(1) 求a的取值范围；(2) 该图象上有两点P(-5，m)，Q(2，n)，m与n哪个大？ 【分析】y随x的增大而减小说明k=a-4<0；两点横坐标-5<2，函数值随之变小。 【解答】(1) 由a-4<0，得a<4。 (2) 因为y随x的增大而减小，而-5<2，所以点P的纵坐标大于点Q的纵坐标，即m>n。 【方法小结】这类比较题只看两件事：k的符号与两点横坐标的大小。k<0时“横坐标小的，纵坐标反而大”。 题型7　变式：横坐标差与纵坐标差、端点求最值、参数范围与由图读范围 四道变式把“变化趋势”用到四个方向：由横坐标的差求纵坐标的差、在一段范围内求函数的最大值、由变化趋势与交点位置求参数范围、以及从图上读出函数值大于某数时x的范围。 变式1　点M(a，5)，N(a+6，t)都在一次函数y=-2的图象上，则t-5=________。 变式2　自变量x在-1到3之间取值（含两端）时，一次函数y=-x+4能取到的最大函数值是（　　）。 A．5 B．1 C．3 D．4 变式3　已知一次函数y=(3-k)x+2k-1。(1) 当k满足什么条件时，y随x的增大而增大？(2) 若y随x的增大而增大，且图象与y轴交于负半轴，求k的取值范围。 变式4　如图，过A(-2，0)，B(0，3)两点的直线是一次函数y=kx+b的图象，函数值大于3时x应满足（　　）。 A．x<0 B．x>-2 C．x<-2 D．x>0 【题型8】用一次函数解决实际问题：建立模型与分段计费 建立函数模型时，先找出自变量和函数，再看变化是否“每增加1个单位，改变同一个量”。收费标准在某个值前后不同，就要分段写表达式：每一段各写一个，并写清这一段自变量的范围；求值时先判断数值落在哪一段。 例1　某景区租用电动自行车的计费标准：骑行时间不超过20 min时，每分钟0.3元；超过20 min的部分，每分钟0.2元。设骑行时间为x min，费用为y元，其图象如图。(1) 分别写出0≤x≤20和x>20时y关于x的函数表达式；(2) 小许某次付费9.2元，他骑行了多少分钟？ 【分析】前20 min按0.3元/min计，20 min共6元；超过20 min的部分另按0.2元/min计，所以图象是在x=20处相接的两段。 【解答】(1) 当0≤x≤20时，y=0.3x； 当x>20时，y=0.3×20+0.2(x-20)， 整理，得y=0.2x+2。 (2) 骑行20 min付6元，9.2>6，所以骑行时间超过20 min， 由0.2x+2=9.2，得x=36。 答：(1) 0≤x≤20时y=0.3x，x>20时y=0.2x+2；(2) 小许骑行了36 min。 【方法小结】分段计费先算“分界点的费用”，拿已知费用与它比较，确定用哪一段的表达式，避免套错段。 题型8　变式：叠放高度、通话时长剩余、由分段图象求收入与动点面积 四道变式各对应一种建模入口：“第1个特殊、以后每个增加相同量”的叠放问题、“总量减去消耗量”的剩余问题、由分段折线图写后一段表达式、以及点在长方形边上运动时的面积函数。 变式1　一把塑料凳高45 cm，把同样的凳子一把一把竖直叠放，每多叠1把，总高度增加6 cm。设叠放x把凳子的总高度为y cm。(1) 一摞凳子的总高度y随凳子数x如何变化？写出函数表达式；(2) 仓库货架层高2 m，一摞凳子最多叠放多少把？ 变式2　某手机月套餐含通话时长300 min，小胡平均每天通话8 min，月初起用了x天后套餐剩余通话时长为y min，则y=________；剩余时长为60 min时，已经用了________天。 变式3　某快递站点快递员的月收入y（元）与当月派件数x（件）之间的函数图象是如图所示的折线，折线经过点(0，3000)，A(1000，4500)，B(2000，7000)。(1) 求派件数超过1000件时y关于x的函数表达式；(2) 快递员小邵某月收入6000元，他这个月派了多少件？ 变式4　长方形ABCD中，AB=6 cm，AD=4 cm。动点P从点A出发，沿边AB以1 cm/s的速度向点B运动，设运动时间为t s（0<t≤6），△APD的面积为S cm²。(1) △APD的面积S随时间t怎样变化？写出S与t的函数表达式；(2) 当△APD的面积为9 cm²时，求t的值。 【题型9】两个一次函数的比较：方案选择与相遇问题 同一情境中有两个一次函数时，把它们画在同一坐标系里：交点处两个函数值相等；交点左右两侧，哪条直线在下方，哪个量就较小。计算上就是先令两个表达式相等求出交点的横坐标，再分段下结论。 例1　某写字楼要租用绿植，甲公司每月收基础服务费80元，另外每盆3元；乙公司不收基础服务费，每盆每月5元。设租用x盆，甲、乙两公司每月的费用分别为y1元、y2元，两个函数的图象如图。(1) 用含x的式子表示y1、y2；(2) 租用多少盆时选择甲公司更省钱？ 【分析】两条直线交点处两家费用相等；交点右侧甲的直线在乙的下方，甲更省钱。 【解答】(1) y1=3x+80，y2=5x。 (2) 令3x+80=5x， 解得x=40。 由图象可知，x>40时表示甲公司费用的直线在下方，所以租用超过40盆时选择甲公司更省钱（租40盆时两家都是3×40+80=200元，少于40盆时乙更省钱）。 【方法小结】方案比较三句话：何时相等、何时甲省、何时乙省。先求交点，再由图象或代入一个值判断两侧的大小。 题型9　变式：两架无人机同高、两种优惠的选择、两池水量与节能灯的费用 四道变式分别练：一升一降两个量何时相等、先比较再选择优惠方式、由图上已知点求两条直线再求交点、以及把“买价＋电费”写成两个一次函数找分界点。 变式1　无人机甲从地面以2 m/s的速度竖直匀速上升，同时无人机乙从离地60 m处以3 m/s的速度竖直匀速下降，两架无人机离地面的高度y（m）与飞行时间x（s）之间的函数图象如图。(1) 甲、乙的高度y各是x的什么函数？分别写出来；(2) 飞行多少秒时两架无人机高度相同？此时离地面多高？ 变式2　某文具店有两种优惠：甲种，所有商品按原价打八折；乙种，购物原价满100元后，超出100元的部分打七折。李老师要买原价400元的文具，下面结论正确的是（　　）。 A．选甲种，比乙种省10元 B．选乙种，比甲种省10元 C．两种优惠付款一样 D．选乙种，比甲种省20元 变式3　如图，直线l1、l2分别表示蓄水池A排水、蓄水池B进水时池中的水量y（m³）与时间x（h）之间的关系：l1经过点(0，120)和(6，0)，l2经过点(0，40)和(4，120)。(1) 由图中已知点分别确定l1、l2的k和b；(2) 经过多少小时，两个蓄水池的水量相等？ 变式4　一只节能灯售价60元，功率为0.01 kW；一只白炽灯售价5元，功率为0.06 kW；电费为0.5元/(kW·h)。设照明时间为x h，使用节能灯、白炽灯的总费用（售价＋电费）分别为y1元、y2元。(1) 把y1、y2分别表示成x的函数；(2) 照明时间超过多少小时时，使用节能灯更省钱？ 【题型10】一次函数与二元一次方程（组） 二元一次方程与一次函数可以互相转化：方程的解就是直线上点的坐标，两个方程组成的方程组的解就是两条直线交点的坐标。求交点就是解方程组；反过来，由交点坐标又能求出直线里待定的系数。 例1　如图，l1、l2分别是一次函数y=2x+5和y=-x-4的图象，它们的交点记作P。(1) P的横、纵坐标各是多少？(2) 由此直接写出方程组2x-y=-5，x+y=-4的解。 【分析】交点P同时在两条直线上，它的坐标同时满足两个函数表达式。 【解答】(1) 令2x+5=-x-4， 移项，得3x=-9， 解得x=-3。 把x=-3代入y=2x+5，得y=-1，所以P(-3，-1)。 (2) 方程2x-y=-5可化为y=2x+5，方程x+y=-4可化为y=-x-4，它们分别对应直线l1、l2，所以方程组的解就是交点P的坐标：x=-3，y=-1。 【方法小结】看到方程组先把每个方程化成y=kx+b，就知道它对应哪两条直线；交点坐标＝方程组的解，两者可以互相转化。 题型10　变式：方程化函数、方程组有无数组解、由交点定参数、交点两侧与交点反求系数 五道变式覆盖函数与方程的五种互化：把方程写成一次函数并找图象上的点、由两条直线重合求参数、由交点横坐标求正比例函数、由交点与图象比较两个函数值、以及由交点坐标反求两条直线里的待定系数。 变式1　把二元一次方程3x+y=5写成一次函数的形式为y=________；这条直线上横坐标为-1的点，纵坐标m=________。 变式2　关于x，y的方程组x-2y=4，2x-4y=a有无数组解，则a的值是（　　）。 A．4 B．2 C．8 D．-8 变式3　直线y=-2x+5与直线y=kx相交，交点的横坐标为3。(1) 求k的值；(2) 写出方程组y=-2x+5，y=kx的解。 变式4　如图，两条直线y=x+1和y=-0.5x+4交于一点A。(1) 求点A的坐标；(2) 当x取何值时，函数y=x+1的值大于函数y=-0.5x+4的值？ 变式5　已知一次函数y=kx-2与y=-2x+b的图象相交于点(-1，3)，求k，b的值。 　易错专练 本章的失分集中在七处：求正比例函数的参数时漏掉k≠0、实际问题的取值范围漏掉隐含条件、平移方向说反、“不经过某象限”漏掉b=0、比较函数值时想当然认为y随x增大而增大、待定系数法求k时符号出错、以及把方程组改写成函数时移项出错。下面七题各守一处，做完再对照答案里的错解与错因。 易错1　若关于x的函数y=(3k-6)x+k-2是正比例函数，求k的值。 易错2　一个长方形相框的周长是60 cm，设它的长为x cm，宽为y cm（长不小于宽）。请用含x的式子表示y，并指出x可以在什么范围内取值。 易错3　直线y=-3x-4是由直线y=-3x+2沿y轴怎样平移得到的？ 易错4　要使一次函数y=(m-2)x+m的图象不穿过第三象限，m应在什么范围内取值？ 易错5　点A(-1，y1)，B(2，y2)都在一次函数y=+1)x+3的图象上，比较y1与y2的大小。 易错6　某一次函数，x=2时y=-1，x=-2时y=7，求它的表达式。 易错7　用图象法解方程组x+y=1，2x-y=5时，先把两个方程分别化成一次函数，再求两条直线的交点。写出两个一次函数，并求方程组的解。 　课后作业（一）基础巩固 下面10题是本章最低限度的必会内容，每题只有一个选项符合题意，把字母填进括号里。考查次序是常量与变量、正比例函数、与坐标轴的交点、待定系数法、图象性质、平移、函数值、象限与交点。 1．在圆的周长公式C=2πr中，常量与变量分别是（　　）。 A．常量是2，变量是C，π，r B．常量是2和π，变量是C和r C．常量是π，变量是C，2，r D．常量是C，变量是r 2．在y=+1，y=，y=-4x，y=4-x这四个函数中，属于正比例函数的是（　　）。 A．y=+1 B．y= C．y=-4x D．y=4-x 3．一次函数y=-2x+6的图象与x轴的交点坐标是（　　）。 A．(0，6) B．(3，0) C．(-3，0) D．(6，0) 4．x=-2时，正比例函数y=kx的函数值是8，那么k=（　　）。 A．-4 B．4 C． D．16 5．关于直线y=-x+2，下列说法正确的是（　　）。 A．经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而增大 C．与y轴交于点(0，2) D．与x轴交于点(-2，0) 6．直线y=4x沿y轴向下平移3个单位长度后变成（　　）。 A．y=4x+3 B．y=4(x-3) C．y=x-3 D．y=4x-3 7．点A(-1，a)，B(2，b)都在直线y=-3x+1上，则a-b的值是（　　）。 A．9 B．-9 C．3 D．-3 8．一条直线y=kx+b从左往右下降，并且与y轴交在原点下方，那么k，b的符号是（　　）。 A．k，b同为正 B．k为正，b为负 C．k为负，b为正 D．k，b同为负 9．解方程组x-y=1，2x+y=5，可以借助直线y=x-1与y=-2x+5的交点。这个方程组的解是（　　）。 A．x=1，y=0 B．x=2，y=1 C．x=-2，y=-3 D．x=3，y=2 10．如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(2，0)与(0，-3)，则当y>0时，x的取值范围是（　　）。 A．x>2 B．x<2 C．x>-3 D．x<-3 　课后作业（二）能力进阶 本组10题只要求写出结果，不必写过程，把求函数值、由条件求参数、平移、交点与面积各考一遍。 1．函数y=+3的图象经过点(-4，m)和(n，0)，则m=________，n=________。 2．若y=(m+4)x+m-1是一次函数，且它的图象经过原点，则m=________。 3．点(-2，1)在直线y=kx+5上，那么k=________。 4．点(1，-7)在直线y=-3x+b上，由此b=________；这条直线交x轴于点________。 5．要让直线y=(2a-3)x+4从左往右下降，a的取值范围是________。 6．某电子阅读器充满电后连续阅读，剩余电量y（%）与阅读时间x（h）之间满足y=100-4x。剩余电量为20%时，已经连续阅读了________h。 7．直线y=0.5x+1向下移动若干个单位长度后恰好过点(4，-2)，移动的距离是________个单位长度。 8．直线y=2x-4与直线y=-x+b相交于x轴上的同一点，则b=________。 9．直线经过(0，3)和(1，1)两点，点(3，m)也在这条直线上，则m=________。 10．直线y=-3x+6、x轴、y轴三者围出一个三角形，这个三角形的面积是________。 　课后作业（三）拓展延伸 本组9题要写出完整的计算或求解过程，把待定系数法、图象与性质、分段函数、方案比较、函数与方程组合在一起用。 1．中国鞋码用脚长（cm）标注，欧洲鞋码是另一套数字。某品牌的鞋，中国码y（cm）是欧洲码x的一次函数：欧洲码38对应中国码24 cm，欧洲码42对应中国码26 cm。(1) 用待定系数法求出y与x的函数表达式；(2) 欧洲码44的鞋对应中国码多少厘米？ 2．已知一次函数y=-2。(1) 先求出图象与两条坐标轴的交点，再过这两点画出图象；(2) 当-2≤x≤6时，求函数值y的取值范围。 3．某图书馆规定：借出的书超期归还要交超期费，超期不超过5天时每天0.5元；超过5天的部分每天1元。设超期x天，应交超期费y元，其图象如图。(1) 超期不超过5天、超过5天两种情形下，超期费y各怎样用x表示？(2) 小邱还书时交了7.5元超期费，这本书超期了多少天？ 4．学校要买x个（x>10）同一款篮球，每个原价120元。甲商店：买10个以内（含10个）按原价，超过10个的部分每个打八折；乙商店：全部打九折。设在甲、乙商店购买的费用分别为y1元、y2元。(1) 当x>10时，请把y1、y2都写成x的一次函数；(2) 学校准备买30个，在哪家买花钱少？ 5．某实验室恒温箱开机后，箱内温度y（℃）与时间x（min）的关系如图：开机时箱内温度为10 ℃，先匀速升温到A(15，40)，保持恒温到B(30，40)，然后断电匀速降温到C(50，10)。(1) 降温阶段，温度y随时间x变化的函数表达式是什么？(2) 箱内温度不低于28 ℃的时间一共有多少分钟？ 6．如图，直线l1：y=-x+3，直线l2经过点C(-2，0)和D(0，1)，两直线相交于点P。(1) 由C、D两点确定l2的k与b；(2) 求点P的坐标，并写出方程组x+y=3，x-2y=-2的解。 7．已知一次函数y=(m-1)x+m+3（m≠1）。(1) 当x=1时函数值为8，求m；(2) 无论m取何值，这个函数的图象都经过一个固定的点，求这个点的坐标。 8．甲、乙两部手机同时开始连续使用，甲开始时电量为100%，每小时耗电12个百分点；乙开始时电量为70%，每小时耗电7个百分点。设使用x h后甲、乙的电量分别为y1%，y2%。(1) y1、y2与x之间各满足怎样的函数表达式？(2) 使用多少小时后两部手机的电量相同？此时电量是多少？ 9．在平面直角坐标系中，点A(1，3)，B(5，1)，正比例函数y=kx的图象与线段AB有公共点，求k的取值范围。 　参考答案与解析 　题型1　变式：多值对应的辨认、剩余量模型与三角形边长的范围 变式1　【答案】C 【解析】A：x=1时y=-3，只有一个值。 B：x=1时y=1，只有一个值。 C：x=1时|y|=4，y可以是4也可以是-4，一个x对应两个y，所以y不是x的函数，选C。 D：x=1时y=1，只有一个值。 变式2　【答案】y=3.6-0.24x；0≤x≤15 【解析】剩下的水＝原有的水－已耗的水，所以y=3.6-0.24x。 水不能是负数，令3.6-0.24x=0，得x=15，所以0≤x≤15。 变式3　【答案】(1) y=32-2x，8<x<16；(2) 12 cm 【解析】(1) 两腰与底边的和是32 cm，所以2x+y=32，即y=32-2x。 底边长必须大于0：32-2x>0，得x<16；两腰之和必须大于底边：2x>32-2x，得x>8。所以8<x<16。 (2) 当x=10时，y=32-2×10=12，底边长12 cm。 变式4　【答案】A 【解析】y=-2×(-3)+7=6+7=13，选A。 B是把-3当成3代入得到的；C是代入时把-3当成3、又把+7错成-7得到的；D是漏掉了常数项7。 　题型2　变式：分段折线的读图、气温曲线与由对应值定表达式 变式1　【答案】(1) 停靠20 s，观景平台离地面32 m；(2) 第一次每秒上升2 m，第二次每秒上升3 m 【解析】(1) 线段AB平行于横轴，表示高度不变，即停靠：36-16=20（s），高度是32 m。 (2) 第一次上升：16 s升高32 m，每秒上升32÷16=2（m）。 第二次上升：从第36 s到第51 s升高77-32=45（m），每秒上升45÷(51-36)=3（m）。 变式2　【答案】(1) 最高气温28 ℃，出现在14时；最低气温8 ℃，出现在6时；(2) 6时到14时，平均每小时上升2.5 ℃ 【解析】(1) 折线的最高点是(14，28)，最低点是(6，8)，所以14时气温最高，为28 ℃；6时气温最低，为8 ℃。 (2) 从6时到14时折线一直上升，这段时间气温升高28-8=20（℃），平均每小时上升20÷(14-6)=2.5（℃）。 变式3　【答案】B 【解析】x每增加1，y都增加3，把x=1，y=5逐一检验四个选项，四个都满足；再用x=2，y=8检验：A得6，B得8，C得10，D得9，只有B满足。 再用x=3、x=4检验B：3×3+2=11，3×4+2=14，都对，选B。 变式4　【答案】(1) y=2n+2（n为正整数）；(2) 24张 【解析】(1) 1张方桌坐4人，以后每张多2人，y=4+2(n-1)=2n+2，n为正整数。 (2) 令2n+2=50，解得n=24，即拼24张方桌恰好坐50人。 　题型3　变式：挑出一次函数、由正比例求参数、写实例表达式与读k和b 变式1　【答案】C 【解析】A：y=即k=，b=0，是正比例函数。 B：自变量的次数是2，不是一次函数。 C：整理得y=-3，k=，b=-3，是一次函数但不是正比例函数，选C。 D：没有一次项，不是一次函数。 变式2　【答案】-5；y=14x 【解析】正比例函数的常数项为0：n+5=0，n=-5。 此时4-2n=4-2×(-5)=14≠0，所以函数表达式为y=14x。 变式3　【答案】(1) C=3x，是一次函数，也是正比例函数；(2) y=200-6x，是一次函数，不是正比例函数 【解析】(1) 正三角形三边相等，C=3x，k=3，b=0，既是一次函数又是正比例函数。 (2) x天共花6x元，余额y=200-6x，即y=-6x+200，k=-6，b=200，是一次函数但不是正比例函数。 变式4　【答案】D 【解析】把式子整理成y=kx+b的顺序：y=-0.8x+5，所以k=-0.8，b=5，选D。 A把两个数的位置弄反了；B漏掉了一次项前面的负号；C把两个数的位置和符号都弄错了。 　题型4　变式：两点定直线、正比例函数上的动点、由对应值求零点与冰层厚度 变式1　【答案】y=-3x+4；与y轴交于点(0，4) 【解析】设y=kx+b。把两点坐标代入，得-k+b=7，3k+b=-5。 两式相减，得4k=-12，k=-3；代入-k+b=7，得3+b=7，b=4。 所以这条直线对应的一次函数是y=-3x+4，令x=0得y=4，它与y轴交于点(0，4)。 变式2　【答案】k=；P(2，-3) 【解析】把x=-4，y=6代入y=kx，得-4k=6，k=，函数为y=。 点P在图象上，所以a-5=，两边乘2得2a-10=-3a，5a=10，a=2。 a-5=2-5=-3，所以点P的坐标是(2，-3)。 变式3　【答案】y=3x-3；1 【解析】k=(9-(-9))÷(4-(-2))=3，把x=4，y=9代入y=3x+b，得12+b=9，b=-3，所以y=3x-3。 令3x-3=0，得x=1。 变式4　【答案】(1) y=1.5x+3.5；(2) 第11天 【解析】(1) 设y=kx+b，由3k+b=8，7k+b=14，两式相减得4k=6，k=1.5；代入3k+b=8，得4.5+b=8，b=3.5。所以y=1.5x+3.5。 (2) 令1.5x+3.5=20，得1.5x=16.5，x=11，即第11天可以开放。 　题型5　变式：由变化趋势求参数、由图上一点求表达式、对称的两条直线与画图 变式1　【答案】a<；1 【解析】y随x的增大而增大，k>0：5-2a>0，得a<。 把x=1，y=3代入，得5-2a=3，a=1，满足a<。 变式2　【答案】(1) y=；(2) B(-8，-6) 【解析】(1) 设y=kx，把x=4，y=3代入，得4k=3，k=，所以y=。 (2) 令=-6，解得x=-8，所以点B的坐标是(-8，-6)。 变式3　【答案】B 【解析】两个都是正比例函数，图象都经过原点，不可能平行，也不重合，排除A、C。 y=的k<0，图象经过第二、四象限，D错。 在y=上任取一点(a，，它关于y轴的对称点(-a，满足y=，所以两条直线关于y轴对称，选B。 变式4　【答案】取点(0，0)和(3，-4)画直线；点的坐标为(-3，4) 【解析】正比例函数的图象是过原点的直线，再取一点：x=3时，y=×3=-4，过(0，0)和(3，-4)画直线即可。 x=-3时，y=×(-3)=4，所求点的坐标为(-3，4)。 　题型6　变式：不经过的象限、由示意图定k和b的符号、平移过定点、两点法画图与由kb定象限 变式1　【答案】B 【解析】k=0.5>0，直线从左往右上升；b=-3<0，与y轴交于负半轴，所以图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，选B。 变式2　【答案】C 【解析】直线从左往右下降，说明y随x的增大而减小，k<0。 直线与y轴交于正半轴，说明b>0。所以k<0，b>0，选C。 变式3　【答案】y=3x+3；4 【解析】平移后k不变，设所得直线为y=3x+b，把(2，9)代入，得6+b=9，b=3，即y=3x+3。 b由-1变为3，增加了3-(-1)=4，所以向上平移了4个单位长度。 变式4　【答案】(1) 与y轴交于(0，2)，与x轴交于(4，0)；(2) x<4 【解析】(1) 令x=0，得y=2；令y=0，得+2=0，x=4。过(0，2)，(4，0)画直线即得图象。 (2) 图象在x轴上方的部分对应y>0，由图可知这部分在点(4，0)的左侧，所以x<4。 变式5　【答案】D 【解析】y随x的增大而减小，k<0；又kb<0，k、b异号，所以b>0。 k<0，b>0，图象经过第一、二、四象限，选D。 　题型7　变式：横坐标差与纵坐标差、端点求最值、参数范围与由图读范围 变式1　【答案】2 【解析】横坐标增加6，函数值增加×6=2，所以t-5=2。 也可以代入：由点M得5=-2，所以=7；再由点N得t=-2=+2-2==7，t-5=2。 变式2　【答案】A 【解析】k=-1<0，y随x的增大而减小，所以x取最小值-1时y最大：y=-(-1)+4=5，选A。 B是把x=3代入得到的最小值；C是代入-1时符号算错得到的；D是误取x=0得到的。 变式3　【答案】(1) k<3；(2) k< 【解析】(1) 由3-k>0，得k<3。 (2) 与y轴交于负半轴，2k-1<0，得k<；与(1)的k<3取公共部分，得k<。 变式4　【答案】D 【解析】直线从左往右上升，y随x的增大而增大。点B(0，3)处函数值恰为3，所以y>3对应点B右侧的部分，即x>0，选D。 B选项x>-2对应的是y>0。 　题型8　变式：叠放高度、通话时长剩余、由分段图象求收入与动点面积 变式1　【答案】(1) y=6x+39（x为正整数）；(2) 最多26把 【解析】(1) 第1把高45 cm，以后每把增加6 cm，y=45+6(x-1)=6x+39，x为正整数。 (2) 2 m=200 cm，令6x+39=200，得x=，约为26.8。 x只能取整数，叠26把时高6×26+39=195（cm），不超过200 cm；叠27把时高201 cm，超过层高。所以最多叠放26把。 变式2　【答案】300-8x；30 【解析】剩余时长＝套餐总时长－已用时长，y=300-8x。 令300-8x=60，得8x=240，x=30。 变式3　【答案】(1) y=2.5x+2000；(2) 1600件 【解析】(1) 超过1000件的一段过A(1000，4500)，B(2000，7000)。设y=kx+b，k=(7000-4500)÷(2000-1000)=2.5；把A点代入，2500+b=4500，b=2000，所以y=2.5x+2000（x>1000）。 (2) 派1000件的收入是4500元，6000>4500，应代入后一段：2.5x+2000=6000，x=1600。 变式4　【答案】(1) S=2t（0<t≤6）；(2) t=4.5 【解析】(1) AP=t cm，△APD是以AP、AD为直角边的直角三角形，S=×AD×AP=×4×t=2t，0<t≤6。 (2) 令2t=9，得t=4.5，在0<t≤6内，符合题意。 　题型9　变式：两架无人机同高、两种优惠的选择、两池水量与节能灯的费用 变式1　【答案】(1) 甲：y=2x，乙：y=60-3x；(2) 12 s，离地面24 m 【解析】(1) 甲：y=2x；乙：y=60-3x。 (2) 令2x=60-3x，得5x=60，x=12；此时y=2×12=24。 所以飞行12 s时两架无人机高度相同，都离地面24 m。 变式2　【答案】B 【解析】甲种：0.8×400=320（元）。 乙种：100+0.7×(400-100)=310（元）。 320-310=10，选乙种比甲种省10元，选B。 变式3　【答案】(1) l1：y=-20x+120，l2：y=20x+40；(2) 2 h 【解析】(1) l1：k=(0-120)÷6=-20，b=120，y=-20x+120。 l2：k=(120-40)÷4=20，b=40，y=20x+40。 (2) 令-20x+120=20x+40，得40x=80，x=2，即经过2 h两池水量相等。 变式4　【答案】(1) y1=0.005x+60，y2=0.03x+5；(2) 超过2200 h 【解析】(1) 节能灯每小时电费0.01×0.5=0.005（元），y1=0.005x+60；白炽灯每小时电费0.06×0.5=0.03（元），y2=0.03x+5。 (2) 令0.005x+60=0.03x+5，得0.025x=55，x=2200。 x>2200时，白炽灯的费用增加得更快，y1<y2，所以照明时间超过2200 h时使用节能灯更省钱。 　题型10　变式：方程化函数、方程组有无数组解、由交点定参数、交点两侧与交点反求系数 变式1　【答案】-3x+5；8 【解析】由3x+y=5，得y=-3x+5。 把x=-1代入，m=-3×(-1)+5=8。 变式2　【答案】C 【解析】方程组有无数组解，说明两个方程对应同一条直线。 第二个方程两边除以2，得x-2y=，所以=4，a=8，选C。 A是直接照抄第一个方程的右边；B是把4除以2而不是乘2；D是把符号弄反了。 变式3　【答案】(1) k=；(2) x=3，y=-1 【解析】(1) 把x=3代入y=-2x+5，得y=-1，交点为(3，-1)；把它代入y=kx，得3k=-1，k=。 (2) 方程组的解就是交点坐标：x=3，y=-1。 变式4　【答案】(1) A(2，3)；(2) x>2 【解析】(1) 令x+1=-0.5x+4，得1.5x=3，x=2，y=3，所以A(2，3)。 (2) 由图象可知，在点A的右侧，直线y=x+1在直线y=-0.5x+4的上方，所以x>2时y=x+1的值较大。 变式5　【答案】k=-5，b=1 【解析】交点(-1，3)在直线y=kx-2上：-k-2=3，k=-5。 交点(-1，3)也在直线y=-2x+b上：2+b=3，b=1。 　易错专练 易错1　【答案】不存在这样的k 【解析】错解示例：由k-2=0，得k=2。 错因：只用了“常数项为0”，没有检验一次项系数。k=2时3k-6=0，函数变成y=0，不是正比例函数。 正解：正比例函数要求k-2=0且3k-6≠0。由k-2=0得k=2，但此时3k-6=0，两个条件不能同时满足，所以不存在这样的k。 提醒：求出参数后必须代回一次项系数检验，检验不过就要舍去。 易错2　【答案】y=30-x，15≤x<30 【解析】错解示例：y=30-x，0<x<30。 错因：漏掉了“长不小于宽”这个隐含条件。 正解：长与宽的和是60÷2=30（cm），y=30-x。由y>0得x<30；由长不小于宽得x≥30-x，x≥15。所以15≤x<30。 提醒：写取值范围时把题目里的每一个条件都翻译成不等式，一个都不能漏。 易错3　【答案】向下平移6个单位长度 【解析】错解示例：-4与2相差6，所以向上平移6个单位长度。 错因：只算了相差多少，没有看b是变大还是变小。 正解：两条直线的k相同，b由2变为-4，减少了2-(-4)=6，所以是向下平移6个单位长度。 提醒：b变大是向上平移，b变小是向下平移，平移的距离是两个b之差的绝对值。 易错4　【答案】0≤m<2 【解析】错解示例：图象经过第一、二、四象限，所以m-2<0且m>0，得0<m<2。 错因：漏掉了图象经过原点的情况。m=0时，函数为y=-2x，图象经过第二、四象限，也不经过第三象限。 正解：不经过第三象限，k<0且b≥0，即m-2<0且m≥0，所以0≤m<2。 提醒：“不经过某象限”包括“经过三个象限”和“只经过两个象限（过原点）”两种情形。 易错5　【答案】y1>y2 【解析】错解示例：-1<2，所以y1<y2。 错因：默认了y随x的增大而增大，没有看k的符号。 正解：无论a取何值，+1>0，所以k=+1)<0，y随x的增大而减小。因为-1<2，所以y1>y2。 提醒：比较大小前先确定k的符号；k里含字母时，用平方的非负性判断。 易错6　【答案】y=-2x+3 【解析】错解示例：k=(7-1)÷(-2-2)=，所以y=+2。 错因：计算纵坐标之差时把-1当成了1。 正解：设y=kx+b，把两点代入，得2k+b=-1，-2k+b=7，两式相减得4k=-8，k=-2；代入2k+b=-1，得-4+b=-1，b=3。所以y=-2x+3。 提醒：代入负数要带括号；求出后把两点都代回检验：x=-2时y=-2×(-2)+3=7，正确。 易错7　【答案】y=-x+1，y=2x-5；x=2，y=-1 【解析】错解示例：由2x-y=5，得y=-2x+5，两直线y=-x+1与y=-2x+5交于(4，-3)。 错因：移项时漏变符号，2x-y=5应化为y=2x-5。 正解：x+y=1化为y=-x+1；2x-y=5化为y=2x-5。令-x+1=2x-5，得x=2，y=-1，所以方程组的解是x=2，y=-1。 提醒：化成一次函数后，任取一个x代回原方程检验，能及早发现移项错误。 　课后作业（一）基础巩固 1．【答案】B 【解析】2和π在任何圆里都不变，是常量；周长C和半径r随圆的大小而变化，是变量，选B。 2．【答案】C 【解析】A的常数项为1，B的自变量次数为2，D的常数项为4，都不是正比例函数；y=-4x符合y=kx（k≠0），选C。 3．【答案】B 【解析】与x轴的交点纵坐标为0：令-2x+6=0，得x=3，交点为(3，0)，选B。 A是与y轴的交点；C是解方程时符号出错；D是把b当成了横坐标。 4．【答案】A 【解析】把x=-2，y=8代入y=kx，得-2k=8，k=-4，选A。 B漏掉了负号；C是用横坐标除以纵坐标；D是把两个数相乘。 5．【答案】C 【解析】k=-1<0，b=2>0，图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，A、B错。 令x=0得y=2，与y轴交于(0，2)，C对；令y=0得x=2，与x轴交于(2，0)，D错。选C。 6．【答案】D 【解析】沿y轴向下平移3个单位长度，k不变，b减少3，得y=4x-3，选D。 A是向上平移；B是把平移作用在x上；C把k也改了。 7．【答案】A 【解析】a=-3×(-1)+1=4，b=-3×2+1=-5，a-b=4-(-5)=9，选A。 B是算成了b-a；C只算了a中的一次项；D是把两点横坐标之差错算成2-1=1（漏看-1的负号）得到的。 8．【答案】D 【解析】直线从左往右下降，y随x的增大而减小，k<0；与y轴交在原点下方，即交于负半轴，b<0。所以k，b同为负，选D。 9．【答案】B 【解析】x-y=1化为y=x-1，2x+y=5化为y=-2x+5。令x-1=-2x+5，得3x=6，x=2，y=1，两直线交于(2，1)，方程组的解是x=2，y=1，选B。 A、D只满足第一个方程，C也只满足第一个方程，代入2x+y=5都不成立。 10．【答案】A 【解析】直线从左往右上升，在点(2，0)的右侧图象位于x轴上方，所以y>0时x>2，选A。 　课后作业（二）能力进阶 1．【答案】5；6 【解析】把x=-4代入，m=+3=2+3=5。 把y=0代入，+3=0，得n=6。 2．【答案】1 【解析】图象经过原点，常数项为0：m-1=0，m=1；此时m+4=5≠0，符合一次函数的要求。 3．【答案】2 【解析】把x=-2，y=1代入，得-2k+5=1，k=2。 4．【答案】-4；，0) 【解析】把(1，-7)代入，得-3+b=-7，b=-4。 令-3x-4=0，得x=，与x轴的交点坐标是，0)。 5．【答案】a< 【解析】y随x的增大而减小，k<0：2a-3<0，a<。 6．【答案】20 【解析】令100-4x=20，得4x=80，x=20。 7．【答案】5 【解析】设向下平移d个单位长度，所得直线为y=0.5x+1-d。 把(4，-2)代入：0.5×4+1-d=-2，3-d=-2，d=5。 8．【答案】2 【解析】直线y=2x-4与x轴交于点(2，0)，令2x-4=0得x=2。 点(2，0)也在直线y=-x+b上：-2+b=0，b=2。 9．【答案】-3 【解析】由(0，3)得b=3；k=(1-3)÷(1-0)=-2，所以直线为y=-2x+3。 x=3时，m=-2×3+3=-3。 10．【答案】6 【解析】直线与x轴交于(2，0)，与y轴交于(0，6)。 围成的直角三角形两条直角边长为2和6，面积为×2×6=6。 　课后作业（三）拓展延伸 1．【答案】(1) y=0.5x+5；(2) 27 cm 【解析】(1) 设y=kx+b，由38k+b=24，42k+b=26，两式相减得4k=2，k=0.5；代入38k+b=24，得19+b=24，b=5。所以y=0.5x+5。 (2) 当x=44时，y=0.5×44+5=27，对应中国码27 cm。 2．【答案】(1) 与x轴交于(4，0)，与y轴交于(0，-2)；(2) -3≤y≤1 【解析】(1) 令y=0，-2=0，x=4；令x=0，y=-2。过(4，0)，(0，-2)画直线即得图象。 (2) k=>0，y随x的增大而增大。x=-2时，y=×(-2)-2=-3；x=6时，y=×6-2=1。所以-3≤y≤1。 3．【答案】(1) 0<x≤5时，y=0.5x；x>5时，y=x-2.5；(2) 10天 【解析】(1) 0<x≤5时，y=0.5x；x>5时，y=0.5×5+1×(x-5)=x-2.5。 (2) 超期5天交2.5元，7.5>2.5，所以超期超过5天：x-2.5=7.5，x=10。 4．【答案】(1) y1=96x+240，y2=108x；(2) 选甲商店 【解析】(1) y1=120×10+120×0.8×(x-10)=96x+240；y2=120×0.9x=108x。 (2) 当x=30时，y1=96×30+240=3120，y2=108×30=3240。3120<3240，选甲商店更省钱。 5．【答案】(1) y=-1.5x+85（30≤x≤50）；(2) 29 min（从第9 min到第38 min） 【解析】(1) 降温阶段过B(30，40)，C(50，10)，k=(10-40)÷(50-30)=-1.5，由40=-1.5×30+b得b=85，所以y=-1.5x+85（30≤x≤50）。 (2) 升温阶段过(0，10)，A(15，40)，k=(40-10)÷15=2，y=2x+10。令2x+10=28，得x=9；令-1.5x+85=28，得x=38。 由图象可知，从第9 min到第38 min温度不低于28 ℃，共38-9=29（min）。 6．【答案】(1) y=+1；(2) ，，方程组的解是x=，y= 【解析】(1) l2过D(0，1)，b=1；过C(-2，0)，-2k+1=0，k=。所以y=+1。 (2) 令-x+3=+1，得=2，x=，y=+3=，，。 方程x+y=3化为y=-x+3，方程x-2y=-2化为y=+1，分别对应l1、l2，所以方程组的解是x=，y=。 7．【答案】(1) m=3；(2) (-1，4) 【解析】(1) 把x=1，y=8代入，得(m-1)+m+3=8，2m+2=8，m=3。 (2) 整理：y=mx-x+m+3=m(x+1)-x+3。当x=-1时，m(x+1)=0，y=-(-1)+3=4，与m无关，所以图象一定经过点(-1，4)。 8．【答案】(1) y1=100-12x，y2=70-7x；(2) 6 h，电量都是28% 【解析】(1) y1=100-12x，y2=70-7x。 (2) 令100-12x=70-7x，得5x=30，x=6；此时y1=100-12×6=28。 所以使用6 h后两部手机的电量相同，都是28%。 9．【答案】≤k≤3 【解析】直线y=kx过原点，绕原点转动时，与线段AB有公共点的两个极端位置是经过点A和经过点B。 经过A(1，3)时，k=3÷1=3；经过B(5，1)时，k=1÷5=。 在这两个位置之间，直线都与线段AB相交，所以≤k≤3。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $