第3章 勾股定理 题型精讲讲义-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

苏科版·八年级上册·第3章 勾股定理·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第3章 勾股定理 题型精讲（讲义）-2026-2027学年八年级上册数学苏科版 苏科版（2024年版）八年级数学上册　第3章　勾股定理　3.1勾股定理的探究　3.2勾股定理的逆定理　3.3勾股定理的简单应用 含 10 个考点例题　/　共 77 题（变式 36 · 易错 7 · 作业 24）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”（a²＋b²＝c²），会借助方格纸上三个正方形的面积和赵爽弦图说明定理成立，会在直角三角形中由任意两边求第三边，结果不是整数时用算术平方根表示。 2．能说出勾股定理的逆定理“三边满足a²＋b²＝c²的三角形是直角三角形”，会先找最长边再判定直角；知道勾股数是满足a²＋b²＝c²的三个正整数，会用ka、kb、kc与m²－n²、2mn、m²＋n²写出勾股数。 3．会在数轴上画出表示、这类数的点，会用勾股定理说明垂线段最短，会在梯子滑动、折断、折叠、航向、立体图形表面最短路线等问题中构造直角三角形并列方程求解。 学习重难点 重点：勾股定理求边（分清斜边与直角边）；勾股定理的逆定理判定直角（先找最长边）；折叠与实际问题中设未知数、用勾股定理列方程。 难点：没有指明直角或高的位置时的分类讨论；立体图形表面最短路线要比较几种展开方式；勾股数必须都是正整数，能组成直角三角形的三个数不一定是勾股数。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　勾股定理的探究：三个正方形的面积 2 知识点 02　勾股定理及赵爽弦图证法 3 知识点 03　用勾股定理由两边求第三边 3 知识点 04　勾股定理的逆定理 4 知识点 05　勾股数及其构造方法 4 知识点 06　勾股定理的简单应用：数轴上的点与垂线段最短 5 考点 1　已知直角三角形的两边求第三边 5 考点 2　以直角三角形的三边为边的图形面积 7 考点 3　用面积法证明勾股定理 9 考点 4　分类讨论：斜边不确定与高的位置不确定 10 考点 5　用勾股定理的逆定理判定直角 11 考点 6　勾股数的判断与构造 12 考点 7　方格纸与数轴上的线段长 13 考点 8　折叠问题中列方程求线段 15 考点 9　勾股定理的实际应用 17 考点 10　（拓展）立体图形表面与内部的最短距离 19 易错专练 20 课后作业（一）基础巩固 21 课后作业（二）能力进阶 23 课后作业（三）拓展延伸 24 参考答案与解析 26 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　勾股定理的探究：三个正方形的面积 教材从面积入手研究直角三角形三边的关系：以直角三角形ABC的三边为边分别向外画正方形，用“大正方形减去四个直角三角形”或“四个直角三角形加一个小正方形”的割补法算出面积，发现以两条直角边为边的两个正方形面积之和，恰好等于以斜边为边的正方形面积。三个正方形的面积分别是BC²、AC²、AB²，于是AB²＝BC²＋AC²，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。在方格纸上任意画一个顶点在格点上的直角三角形，重复这样的操作，结论都成立。例：直角边上两个正方形的面积是11和25，那么斜边上正方形的面积是36，斜边长为6。 以两条直角边为边的正方形面积之和＝以斜边为边的正方形面积 正方形面积＝边长的平方：S(斜边)＝AB²，S(直角边)＝BC²、AC² 小提示：这种面积关系只对直角三角形成立；题目给的是面积时，面积本身就是边长的平方，不要再平方一次。 知识点　02　勾股定理及赵爽弦图证法 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²＋b²＝c²。我国古代把较短的直角边叫“勾”，较长的直角边叫“股”，斜边叫“弦”，西周时期的商高就提出过“勾三股四弦五”。公元3世纪初，数学家赵爽用“弦图”完成了证明：把4个全等的直角三角形拼成一个边长为c的大正方形，中间空出一个边长为(b－a)的小正方形。大正方形的面积有两种表示：c²，以及4×ab÷2＋(b－a)²＝2ab＋b²－2ab＋a²＝a²＋b²，两种表示相等，得到a²＋b²＝c²。例：a＝2、b＝5时，4个直角三角形的面积和是20，小正方形的面积是9，合起来是29，正好等于2²＋5²。 a²＋b²＝c²（c是斜边，也就是直角所对的边） 弦图：c²＝4×ab÷2＋(b－a)² 小提示：证明的关键是“同一个图形的面积用两种方法表示”，写证明时两种表示都要写全，再把展开式整理到a²＋b²。 知识点　03　用勾股定理由两边求第三边 用勾股定理计算之前，先认准直角和斜边：斜边是直角所对的边，也是三边中最长的边。已知两条直角边求斜边，用c²＝a²＋b²；已知斜边和一条直角边求另一条直角边，用b²＝c²－a²。求出第三边的平方以后，如果它是完全平方数，就直接写出边长（如c²＝169，c＝13）；如果不是，就用第2章学过的算术平方根表示结果（如b²＝21，b＝），本章不对根号作化简运算。例：两条直角边分别为2和7时，斜边为；斜边为11、一条直角边为6时，另一条直角边为。 求斜边：c²＝a²＋b² 求直角边：b²＝c²－a²（用斜边的平方去减） 小提示：题目只说“两边长”而没有指明哪条是斜边时，较长的那条边既可能是斜边，也可能是直角边，要分两种情况讨论。 知识点　04　勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。教材的证法是“先造一个直角三角形，再证全等”：作一个直角三角形DEF，使∠E＝90°，EF＝a，DE＝b，由勾股定理得DF²＝a²＋b²＝c²，所以DF＝c；这样两个三角形的三边分别相等，由“SSS”得两个三角形全等，原三角形中c所对的角就等于∠E，是直角。四千多年前，古埃及人在绳子上打等距离的结，拉成三边分别为3段、4段、5段的三角形来得到直角，用的正是这个道理。例：三边为1.2、3.5、3.7时，1.2²＋3.5²＝1.44＋12.25＝13.69＝3.7²，所以这是直角三角形，直角是3.7所对的角。 三边满足a²＋b²＝c² → 最长边c所对的角是直角 判断步骤：找出最长边 → 算另两边的平方和 → 与最长边的平方比较 小提示：直角是最长边所对的角，不一定是∠C；两短边平方和不等于最长边的平方时，这个三角形就不是直角三角形。 知识点　05　勾股数及其构造方法 如果三个正整数a、b、c满足a²＋b²＝c²，那么a、b、c叫作勾股数。教材例题证明了：若a、b、c是勾股数，k为正整数，则ka、kb、kc也是勾股数，因为(ka)²＋(kb)²＝k²(a²＋b²)＝(kc)²。章末的数学探究还给出一种构造方法：由(m²＋n²)²－(m²－n²)²＝(2mn)²，当m、n为正整数且m＞n时，m²－n²、2mn、m²＋n²是一组勾股数，取不同的m、n就能写出无数组。例：m＝5、n＝2时得到21、20、29，检验：21²＋20²＝441＋400＝841＝29²。 勾股数：满足a²＋b²＝c²的三个正整数 构造：m＞n的正整数m、n → m²－n²，2mn，m²＋n²；倍数：ka，kb，kc 小提示：勾股数必须三个都是正整数：0.8、1.5、1.7能组成直角三角形，但不是勾股数。 知识点　06　勾股定理的简单应用：数轴上的点与垂线段最短 勾股定理把“有一个直角”这一图形条件变成“两边平方和等于第三边平方”这一数量关系，常见用法有三类。①在数轴上画出表示的点：画一个两直角边都是整数的直角三角形，使斜边的平方等于n，再以原点为圆心、斜边长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示。②说明“垂线段最短”：点P在直线l外，PA⊥l于点A，Q是l上异于A的任意一点，则PQ²＝PA²＋AQ²，因为AQ＞0，所以PQ²＞PA²，PA＜PQ。③解决实际问题：在图中找出或者添线构造直角三角形，把已知量标到三边上，未知量设为x，用勾股定理列方程。例：两直角边为4和2时，斜边为，图中点P就表示。 数轴上画：找整数a、b使a²＋b²＝n，以原点为圆心、为半径画弧 实际问题：找直角 → 标三边 → 设未知数 → 由a²＋b²＝c²列方程 小提示：画弧时圆心必须是表示0的原点；如果圆心是表示其他数的点，交点表示的数要在那个数的基础上加减弧的半径。 【题型1】已知直角三角形的两边求第三边 直角已经确定时，第三边只有一个答案。先看要求的是斜边还是直角边：求斜边用平方和，求直角边用平方差；结果不是整数时用算术平方根表示。 例1　如图，在△ABC中，∠C＝90°。(1)若AC＝11，BC＝60，求AB的长；(2)若AB＝53，BC＝28，求AC的长。 【分析】∠C＝90°，所以AB是斜边，AC、BC是直角边。第(1)问已知两条直角边求斜边，用平方和；第(2)问已知斜边和一条直角边求另一条直角边，用斜边的平方减去已知直角边的平方。 【解答】(1)在△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理，得AB²＝AC²＋BC²＝11²＋60²＝121＋3600＝3721。 因为61²＝3721，所以AB＝61。 (2)根据勾股定理，得AC²＝AB²－BC²＝53²－28²＝2809－784＝2025。 因为45²＝2025，所以AC＝45。 答：(1)AB的长是61；(2)AC的长是45。 【方法小结】动笔前先写出“谁是斜边”，再决定用加还是用减；两问的直角都在C处，所以斜边始终是AB。 题型1　变式：直接求边、结果用根号表示、斜边上的高与连续用两次勾股定理 五道变式把“两边求第三边”走完整：先直接求直角边，再求一条不是整数的斜边，然后在选择题里辨认常见错法，接着用两种方法表示面积求斜边上的高，最后在两个相连的直角三角形里连续用两次勾股定理。 变式1　如图，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝7，DF＝25，则EF的长为____。 变式2　如图，直角三角形MNP的两条直角边MN、NP分别长2和5，那么斜边MP＝____（结果用根号表示）。 变式3　如图，一个直角三角形的斜边GK长6.1，直角边HK长1.1，则另一条直角边GH的长为（　　）。 A．5 B．6 C．7.2 D．36 变式4　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AC＝21，BC＝28。求斜边AB的长和斜边上的高CD的长。 变式5　如图，∠B＝90°，∠ACD＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝6。(1)求AC²的值；(2)求AD的长。 【题型2】以直角三角形的三边为边的图形面积 以三边为边向外作正方形，三个面积分别是三边的平方，勾股定理就变成“两个小面积之和等于大面积”。给面积的题直接加减面积，不必先开平方。 例1　如图，以△ABC的三边为边分别向外作正方形，∠ACB＝90°，以AC为边的正方形面积是81，以AB为边的正方形面积是1681。(1)求以BC为边的正方形的面积；(2)求BC的长。 【分析】AB是斜边，以AB为边的正方形最大；它的面积等于另外两个正方形面积之和。 【解答】(1)由勾股定理，AB²＝AC²＋BC²，即以AB为边的正方形面积＝以AC为边的正方形面积＋以BC为边的正方形面积。 所以以BC为边的正方形面积＝1681－81＝1600。 (2)BC²＝1600，因为40²＝1600，所以BC＝40。 答：(1)以BC为边的正方形面积是1600；(2)BC的长是40。 【方法小结】面积就是边长的平方：面积之间直接加减，最后要求边长时再开平方，中途不要开平方又平方。 题型2　变式：由面积求面积、向外作半圆与三块面积之和 三道变式换三种图形与问法：两个已知正方形求第三个、把正方形换成半圆、已知三个正方形面积的总和反求最大的一个。 变式1　如图，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为30和34，则字母M所在正方形的面积为____。 变式2　如图，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三边为直径向外作半圆，以BC、AC为直径的两个半圆面积分别为18和10，则以AB为直径的半圆面积为（　　）。 A．8 B．14 C．28 D．56 变式3　如图，在直角三角形ABC（∠ACB＝90°）的三边外侧各拼接一个正方形，三个正方形合起来的面积是72，那么斜边AB上的正方形面积是____，AB＝____。 【题型3】用面积法证明勾股定理 面积法证明只有一个套路：把同一个图形的面积用两种方法表示，列等式后整理。教材用的是赵爽弦图，下面换成由三个直角三角形拼成的直角梯形。 例1　如图，两个全等的直角三角形ABE与ECD的直角边分别为a、b（AB＝EC＝a，BE＝CD＝b），斜边AE＝ED＝c，点B、E、C在同一条直线上，∠ABE＝∠ECD＝90°。(1)求证∠AED＝90°；(2)利用直角梯形ABCD的面积证明a²＋b²＝c²。 【分析】梯形ABCD由三个直角三角形拼成：两个全等的直角三角形与一个两腰都等于c的直角三角形。先证中间那个角是直角，再把梯形面积写成两种形式。 【解答】(1)∵△ABE≌△ECD，∴∠BAE＝∠CED。 ∵∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠CED＋∠AEB＝90°。 ∵点B、E、C在同一条直线上，∴∠AED＝180°－(∠AEB＋∠CED)＝180°－90°＝90°。 (2)AB∥CD（都垂直于BC），四边形ABCD是直角梯形，上底AB＝a，下底CD＝b，高BC＝a＋b。 梯形面积＝(a＋b)×(a＋b)÷2＝(a²＋2ab＋b²)÷2。 梯形面积又等于三个直角三角形面积之和：ab÷2＋ab÷2＋c²÷2＝(2ab＋c²)÷2。 所以(a²＋2ab＋b²)÷2＝(2ab＋c²)÷2，整理得a²＋b²＝c²。 【方法小结】面积法的两步：先说明拼出的图形是什么（这里要先证∠AED是直角），再写两种面积表示并化简。这种梯形拼法据说出自美国第20任总统加菲尔德。 题型3　变式：由弦图中的面积求两直角边的积与和、大正方形套小正方形 两道变式把面积关系反过来用：已知弦图中大、小正方形的面积，求直角边的积与和；以及外面是边长为a＋b的大正方形、里面斜放一个小正方形的拼法。 变式1　如图是一个赵爽弦图，它由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成。已知大正方形ABCD的面积为61，小正方形的面积为1，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b（a＜b）。(1)求ab的值；(2)求(a＋b)²的值。 变式2　如图，用4个全等的直角三角形拼成一个边长为14的大正方形EFGH，中间围成的四边形是一个面积为106的正方形。求每个直角三角形的面积。 【题型4】分类讨论：斜边不确定与高的位置不确定 题目没有交代直角在哪里、高落在三角形内还是外时，一个条件对应两种图形。分类要做到“不漏”：每种情形各画一个图，各算一遍，最后检验两种情形是否都成立。 例1　已知一个直角三角形的两条边长分别为2和3，这个直角三角形的斜边可能是多长？ 【分析】题目只说“两条边”，3这条边可能是直角边，也可能是斜边（2不可能是斜边，因为斜边最长）。 【解答】第一种情形：2和3都是直角边，则斜边的平方为2²＋3²＝13，斜边长为。 第二种情形：3就是斜边，2是直角边，这时另一条直角边的平方为3²－2²＝5，直角边长为，三边2、、3满足2²＋＝3²，这种情形成立，斜边长为3。 答：斜边长为或3。 【方法小结】两边中较短的那条一定是直角边，较长的那条要分“直角边”“斜边”两种情形；已经指明直角的题不必讨论。 题型4　变式：两种情形的第三边、高在形内与形外、非负数条件与等腰三角形腰上的高 四道变式从不同入口触发分类：直接给两边、给两边与第三边上的高、用非负数的和为0给出两边、以及等腰三角形一腰上的高落在形内还是形外。 变式1　直角三角形有两条边分别长5和6，它的第三条边长为____。 变式2　在△ABC中，AB＝37，AC＝15，BC边上的高AD＝12，求BC的长。 变式3　已知实数x、y满足|x－1|＋|y－2|＝0，一个直角三角形有两条边的长恰好是x和y，那么它的第三边长为（　　）。 A． B． C．或 D．3 变式4　△ABC的两腰AB、AC都等于25，从点B向AC所在直线作垂线，垂线段BD＝24，求底边BC的长。 【题型5】用勾股定理的逆定理判定直角 逆定理把“三边的数量关系”变回“有一个直角”。用法固定：找最长边，算另两边的平方和，与最长边的平方比较；相等就得直角，直角是最长边所对的角。 例1　如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，CD＝60，AD＝65。(1)求证∠ACD＝90°；(2)求四边形ABCD的面积。 【分析】连接AC，先在直角三角形ABC里求出AC，再看△ACD的三边是否满足勾股定理的逆定理。 【解答】(1)在△ABC中，∠B＝90°，由勾股定理得AC²＝AB²＋BC²＝7²＋24²＝625，所以AC＝25。 在△ACD中，AC²＋CD²＝25²＋60²＝625＋3600＝4225，AD²＝65²＝4225， 所以AC²＋CD²＝AD²，由勾股定理的逆定理得∠ACD＝90°。 (2)四边形ABCD的面积＝△ABC的面积＋△ACD的面积＝7×24÷2＋25×60÷2＝84＋750＝834。 答：(2)四边形ABCD的面积是834。 【方法小结】不规则四边形求面积，常用一条对角线分成两个三角形；已知一个直角时，另一个直角往往要用逆定理先证出来。 题型5　变式：挑出直角三角形、由三边求面积、证明角是直角与按比例求面积 四道变式覆盖逆定理的四种用法：在几组数中挑出能组成直角三角形的一组、先判定直角再求面积、在有高的三角形里证明顶角是直角、以及按三边之比设未知数。 变式1　以下面各组数为三角形的三边长，其中能组成直角三角形的一组是（　　）。 A．6，7，8 B．19，22，29 C．23，24，33 D．60，91，109 变式2　如图，△ABC的三边长分别为BC＝80，AC＝39，AB＝89，则△ABC的面积为____。 变式3　如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝16，DC＝4，AD＝8。(1)求证：∠BAC＝90°；(2)若M是BC的中点，连接AM，求AM的长。 变式4　有一块三角形绿地，三条边的长度之比是13∶84∶85，沿绿地边缘走一圈是364 m。这块绿地的面积是多少平方米？ 【题型6】勾股数的判断与构造 判断勾股数要过两关：三个数都是正整数，较小两数的平方和等于最大数的平方。构造勾股数有两条现成的路：已知一组的整数倍，以及m²－n²、2mn、m²＋n²这组公式。 例1　(1)36，77，85是不是一组勾股数？(2)取m＝8，n＝3，按m²－n²、2mn、m²＋n²写出一组勾股数，并检验。 【分析】第(1)问先确认都是正整数，再比较两个较小数的平方和与最大数的平方；第(2)问代入公式后仍要检验一次。 【解答】(1)36、77、85都是正整数，最大的数是85。 36²＋77²＝1296＋5929＝7225，85²＝7225，所以36²＋77²＝85²，36，77，85是一组勾股数。 (2)m²－n²＝8²－3²＝55，2mn＝2×8×3＝48，m²＋n²＝8²＋3²＝73。 检验：55²＋48²＝3025＋2304＝5329，73²＝5329，所以55，48，73是一组勾股数。 答：(1)是一组勾股数；(2)这组勾股数是55，48，73。 【方法小结】公式里m²＋n²一定是最大的数；另外两个数谁大谁小要看具体数值（这里55＞48）。 题型6　变式：挑勾股数、补全勾股数、证明一类勾股数与倍数变化 四道变式从四个方向练勾股数：在四组数里挑、已知两个数补第三个并排除非整数情形、证明教材数学探究里的一组表达式、以及判断哪种变化后仍是勾股数。 变式1　下面给出四组数，其中是勾股数的一组为（　　）。 A．2.8，4.5，5.3 B．20，99，101 C．14，15，16 D．9，12，14 变式2　若16，63，x是一组勾股数，则x＝____。 变式3　已知n为正整数。(1)求证：2n＋1，2n²＋2n，2n²＋2n＋1是一组勾股数；(2)写出n＝4时的这组勾股数。 变式4　若a，b，c是一组勾股数，则在下面四组数中一定还是勾股数的一组是（　　）。 A．a＋1，b＋1，c＋1 B．a²，b²，c² C．a÷2，b÷2，c÷2 D．3a，3b，3c 【题型7】方格纸与数轴上的线段长 方格纸上的斜线段，都可以看成一个直角三角形的斜边：水平方向数几格、竖直方向数几格，就是两条直角边。数轴上表示的点，就是把这样的斜边用圆规“转”到数轴上。 例1　如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C都是网格线的交点。(1)分别求AB²、BC²、AC²；(2)△ABC是直角三角形吗？证明你的结论。 【分析】每条边都是某个小直角三角形的斜边，数出水平、竖直方向的格数再用勾股定理。 【解答】(1)AB：水平方向1格，竖直方向2格，AB²＝1²＋2²＝5。 BC：水平方向4格，竖直方向2格，BC²＝4²＋2²＝20。 AC：水平方向3格，竖直方向4格，AC²＝3²＋4²＝25。 (2)AB²＋BC²＝5＋20＝25＝AC²，由勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，AC所对的∠ABC＝90°。 答：(1)AB²＝5，BC²＝20，AC²＝25；(2)△ABC是直角三角形。 【方法小结】格点三角形判直角，只需三边的平方，不必求出边长本身；平方都是整数，比较起来最省事。 题型7　变式：数轴上画√13、格点线段、格点三角形的高与依次画弧 四道变式在数轴与方格纸之间来回切换：用直角三角形在数轴上确定一个点、读一条格点线段的长、用割补法求格点三角形的面积再求高、以及连续画弧找出规律。 变式1　如图，点O、A在数轴上分别表示0和3，在点A处作数轴的垂线段AB，使AB＝2，再用圆规以O为圆心、OB长为半径作弧，与数轴正半轴相交于点P。点P表示的数为____。 变式2　如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，线段MN的两个端点都在格点上，则MN的长为____。 变式3　如图，△DEF画在单位正方形网格里，三个顶点都落在格点上。(1)求△DEF的面积；(2)求EF边上的高。 变式4　如图，点A在数轴上表示1，作AB⊥数轴且AB＝1，以原点O为圆心、OB长为半径画弧交数轴正半轴于点C；再作CD⊥数轴且CD＝1，以O为圆心、OD长为半径画弧交数轴正半轴于点E。点E表示的数是____；照这样一直作下去，第8次画弧得到的点表示的数是____。 【题型8】折叠问题中列方程求线段 折叠前后的两部分全等，对应线段相等、对应角相等。做法固定：把折叠带来的相等线段标到图上，找一个三边都能用同一个未知数表示的直角三角形，用勾股定理列方程。 例1　如图，把长方形纸片ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，AB＝20，AD＝29。(1)求BF的长；(2)求CE的长。 【分析】折叠后△AFE≌△ADE，所以AF＝AD，EF＝ED。先在△ABF中求BF，再在△ECF中列方程。 【解答】(1)由折叠得AF＝AD＝29。四边形ABCD是长方形，∠B＝90°，BC＝AD＝29，CD＝AB＝20。 在△ABF中，BF²＝AF²－AB²＝29²－20²＝841－400＝441，BF＝21。 (2)FC＝BC－BF＝29－21＝8。设CE＝x，则ED＝20－x，由折叠得EF＝ED＝20－x。 在△ECF中，∠ECF＝90°，由勾股定理得CE²＋FC²＝EF²，即x²＋8²＝(20－x)²。 整理得x²＋64＝400－40x＋x²，40x＝336，x＝8.4。 答：(1)BF的长是21；(2)CE的长是8.4。 【方法小结】折叠题先写“由折叠得”哪些线段相等；设未知数时选让直角三角形三边都能表示出来的那一段。 题型8　变式：直角三角形纸片的两种折法与沿对角线折长方形 三道变式换三种折法：使两个锐角顶点重合、使一条直角边落到斜边上、以及沿对角线折叠长方形求重叠部分，未知数分别设在三个不同的位置。 变式1　如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝18，BC＝12。折叠这张三角形纸片，使点A与点B重合，折痕与AC交于点D、与AB交于点E。求CD的长。 变式2　如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝40。把△ACD沿AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，点C落在点E处，点D在BC上。求CD的长。 变式3　如图，把长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，AB＝10，AD＝20，则DF的长为____，重叠部分△BFD的面积为____。 【题型9】勾股定理的实际应用 实际问题的关键是“画出直角三角形”：墙与地面、竹竿与地面、水面与芦苇、两个互相垂直的航向，都给出一个直角。把已知长度标到三边上，要求的量设为x，用勾股定理列式或列方程。 例1　如图，梯子AB长6.5 m，上端A靠在竖直的墙面OA上，下端B在水平地面上，与墙脚O相距1.6 m。(1)梯子顶端A离地面多高？(2)如果梯子顶端沿墙下滑0.7 m到点C，那么梯子底端B向外滑动了多少米？ 【分析】墙与地面垂直，梯子、墙、地面围成直角三角形；梯子滑动前后长度不变，是两个直角三角形共同的斜边。 【解答】(1)在△AOB中，∠AOB＝90°，AO²＝AB²－OB²＝6.5²－1.6²＝42.25－2.56＝39.69，AO＝6.3。 (2)OC＝AO－AC＝6.3－0.7＝5.6。设梯子底端滑到点D，则CD＝AB＝6.5。 在△COD中，OD²＝CD²－OC²＝6.5²－5.6²＝42.25－31.36＝10.89，OD＝3.3。 BD＝OD－OB＝3.3－1.6＝1.7。 答：(1)梯子顶端离地面6.3 m；(2)梯子底端向外滑动了1.7 m。 【方法小结】梯子滑动题抓住“梯长不变”：前后两个直角三角形各用一次勾股定理；本题顶端下滑0.7 m，底端却外移1.7 m，两者一般不相等。 题型9　变式：台风折树、荷花出水、两船航向与拉船靠岸 四道变式对应四种建模：折断后的上下两段加一段地面、花茎倾斜前后长度不变、由三段距离判定航向垂直、以及绳长缩短时船走过的水平距离。 变式1　如图，一棵高24 m的杉树被台风从点B处吹折，树梢A着地处离树根C 12 m。求折断处B离地面的高度。 变式2　如图，平静的湖面上，一朵荷花的顶端A高出水面0.4 m，一阵风吹来，荷花被吹到一边，花茎绕着根部B转动，顶端恰好落在水面上的点D处，点D与荷花原来位置的水平距离CD为1.2 m。求这里的水深BC。 变式3　如图，甲、乙两船同时从港口P出发，甲船每小时航行20 n mile，乙船每小时航行21 n mile，2小时后甲船到达A处、乙船到达B处，此时两船相距58 n mile。已知甲船沿北偏东40°方向航行，乙船航行在港口的南面，求乙船的航行方向。 变式4　如图，岸上一人用绳子拉船靠岸，拉绳的手C离水面的高度CA＝4.8 m。开始时绳长CB＝7.3 m，拉动一段时间后，船从点B到达点D，此时绳长CD＝5 m。船向岸边移动了多少米？ 【题型10】（拓展）立体图形表面与内部的最短距离 立体图形表面上两点间的最短路线，要先把曲面或几个面展开成平面，再用“两点之间线段最短”与勾股定理计算；长方体内部的最长线段，要连续用两次勾股定理。 例1　如图，圆柱形储油罐的高为16 m，底面周长为30 m。工人要在罐的外侧面修一段旋梯，从罐底的点A出发，绕油罐侧面一圈，到达点A正上方罐顶的点B。旋梯最短为多少米？ 【分析】沿过点A的母线把侧面剪开展成长方形，绕一圈的路线就变成长方形的一条对角线。 【解答】侧面展开图是一个长方形，长等于底面周长30 m，宽等于油罐的高16 m。 从A绕一圈到B，在展开图上连成一条线段，它是这个长方形的对角线，此时路线最短。 由勾股定理，旋梯的最短长度的平方为30²＋16²＝900＋256＝1156，34²＝1156，所以最短为34 m。 答：旋梯最短为34 m。 【方法小结】曲面上的最短路线先“展开”再“连线”；绕一圈时，长方形的长取整个底面周长，而不是直径。 题型10　变式：盒内最长木棒、长方体表面爬行与台阶展开 三道变式分别练：长方体内部的最长线段（连续两次勾股定理）、长方体表面三种展开路线的比较、以及把台阶的各级台面展开成一个长方形。 变式1　如图，一个长方体包装盒的长AB＝80 cm，宽BC＝40 cm，高AE＝10 cm，则盒内能放进的木棒最长为____cm（木棒粗细不计）。 变式2　如图，一块长方体木块的长AB＝12 cm，宽BC＝4 cm，高AE＝5 cm。一只蚂蚁从顶点A出发，沿木块表面爬到顶点G，求它爬行的最短路程。 变式3　如图是一段四级台阶，每级台阶高0.3 m、宽0.5 m、长6 m。一只壁虎从台阶最下端的点A出发，沿台阶表面爬到最上端的点B（A、B是台阶两端相对的顶点），它爬行的最短路程为____m。 　易错专练 本章的失分集中在六处：没分清斜边就套公式、逆定理不找最长边、在不是直角三角形的图形里用勾股定理、高的位置只画一种、把非整数当勾股数、以及最短路线只试一种展开。下面七题各守一处，先独立做，再对照答案里的错解与错因。 易错1　一块直角三角形木板有两条边长4 dm和5 dm，要沿它的三条边都包上铝条，铝条总长是多少分米？ 易错2　在△ABC中，BC＝125，CA＝44，AB＝117，判断△ABC的形状；若有直角，指出哪个角是直角。 易错3　在△ABC中，AB＝17，BC＝144。(1)AC的长能确定吗？(2)若再添加条件∠B＝90°，求AC的长。 易错4　△ABC中，AD是BC边上的高，AD＝9，AB＝41，AC＝15，求△ABC的面积。 易错5　判断2.0，2.1，2.9是不是一组勾股数，再判断以这三个数为边长的三角形按角分类属于哪一类。 易错6　如图，一个长方体盒子的三条棱AB＝6，BC＝3，AE＝2，求沿盒子表面从A走到G的最短路线的长。 易错7　如图，数轴上点A表示－1，点C表示2，BC⊥数轴于点C，BC＝2。以点A为圆心、AB为半径画弧，交数轴正半轴于点P，则点P表示的数是____。 　课后作业（一）基础巩固 下面8题每题只有一个选项符合题意，把字母填进括号里。考查次序是：求边、判定直角三角形、弦图、数轴上的点、逆定理的字母形式、面积、圆柱侧面的最短路线与折断问题。 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8.8，BC＝10.5，则AB的长为（　　）。 A．13.7 B．19.3 C．1.7 D．187.69 2．下列每组数分别是一个三角形三边的长，其中有一个角是直角的是（　　）。 A．2，3，4 B．16，30，34 C．5，6，7 D．10，11，12 3．如图是赵爽弦图，4个全等的直角三角形的两条直角边分别为a、b（a＜b），斜边为c，则中间小正方形的边长为（　　）。 A．a＋b B．c－a C．b－a D．ab 4．在每个小正方形边长都为1的方格纸上，以格点为端点画线段，下列长度中画不出来的是（　　）。 A． B． C． D． 5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a²－b²＝c²，则（　　）。 A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．△ABC不是直角三角形 6．如图，∠C＝90°，AB＝10.1，AC＝2，则△ABC的面积为（　　）。 A．10.1 B．9.9 C．20.2 D．19.8 7．如图，一只蚂蚁在一根圆柱形蜡烛的侧面上爬行，蜡烛高12 cm、底面周长10 cm，它从下底边上的点A出发，爬到上底边上与A正对的点B（A、B分别在蜡烛相对的两侧），最短要爬（　　）。 A． cm B．22 cm C．13 cm D．17 cm 8．如图，一根竖直的竹竿在离地面0.9 m的点B处折断，竹竿顶端A落在离竹竿底端C 4 m的地面上，则竹竿折断前的高度为（　　）。 A．4.9 m B．4.1 m C．8.1 m D．5 m 　课后作业（二）能力进阶 第9～16题只要求写出结果，不必写过程。这一组把求边、等腰三角形的高、非负数条件、斜边上的高、实际测量、勾股数公式、方向与面积各考一遍。 9．如图，一块直角三角形铁皮ABC的斜边AB长8.5 dm，直角边BC长7.7 dm，另一条直角边AC长____dm。 10．如图，等腰三角形ABC的腰长为29，底边BC＝40，AD是底边上的高，则AD＝____，△ABC的面积为____。 11．若△ABC的三边长a、b、c满足|a－18|＋(b－80)²＋|c－82|＝0，则△ABC的面积为____。 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝4，DB＝9，则CD的长为____。 13．如图，一根长3.4 m的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，竹竿底端B离墙脚O 1.6 m，则竹竿顶端A离地面____m。 14．按m²－n²、2mn、m²＋n²构造勾股数，当m＝4，n＝1时，得到的一组勾股数是____。 15．如图，某人从点A出发向正东走360 m到达点B，再向正北走770 m到达点C，则A、C两点间的距离为____m。 16．两条直角边的长度之和为41、斜边长为29的直角三角形，面积是____。 　课后作业（三）拓展延伸 第17～24题要写出完整的证明或计算过程。这一组把勾股定理与逆定理放进四边形、轴对称、行驶与运动、代数证明中综合使用。 17．如图，AD是△ABC的高。求证：AB²－AC²＝BD²－CD²。 18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝39，AD＝52，BC＝33，CD＝56。求四边形ABCD的面积。 19．如图，A、B两村在一条笔直的水渠l的同侧，A村到l的距离AC＝0.4 km，B村到l的距离BD＝0.5 km，CD＝4 km。要在l上建一个抽水站P，分别向两村铺设管道，使PA＋PB最小。求管道总长的最小值。 20．如图，一条笔直的公路l旁有一所学校P，学校到公路的距离PH＝280 m。一辆货车行驶时，周围530 m以内会受到噪声影响。若货车以每小时18 km的速度沿公路行驶，学校受噪声影响的时间有多长？ 21．如图，△ABC的两边AB与AC相等，D是底边BC上任意一点。求证：AB²－AD²＝BD·DC。 22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15 cm，BC＝25 cm。动点P从C出发沿边CB向B匀速运动，速度为1 cm/s，运动t s时恰好有PA＝PB，求t。 23．如图，锐角三角形ABC的高AD把BC分成BD、CD两段。(1)求证：AB²＝AC²＋BC²－2BC·CD；(2)若AC＝61，BC＝74，CD＝11，求AB的长。 24．如图，放风筝时，手中握线的点E离地面1.5 m，风筝F与点E的水平距离EK为65 m，放出的风筝线EF长97 m（线看作直的）。求风筝离地面的高度。 　参考答案与解析 　题型1　变式：直接求边、结果用根号表示、斜边上的高与连续用两次勾股定理 变式1　【答案】24 【解析】∠E＝90°，所以DF是斜边。 EF²＝DF²－DE²＝25²－7²＝625－49＝576。 因为24²＝576，所以EF＝24。 变式2　【答案】 【解析】∠N＝90°，MP是斜边。 MP²＝MN²＋NP²＝2²＋5²＝4＋25＝29。 29不是完全平方数，所以MP＝。 变式3　【答案】B 【解析】把斜边与直角边直接相减得6.1－1.1＝5，这是把“平方差”误当成“差”，A不对。 由勾股定理，GH²＝GK²－HK²＝6.1²－1.1²＝37.21－1.21＝36，所以GH＝6，选B。 把两边相加得6.1＋1.1＝7.2，直角边不可能比斜边还长，C不对。 算出GH²＝36以后忘了开平方，把36当成GH的长，D不对。 变式4　【答案】AB＝35，CD＝16.8 【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得AB²＝AC²＋BC²＝21²＋28²＝441＋784＝1225，所以AB＝35。 △ABC的面积可以用两种方法表示：AC×BC÷2，也可以写成AB×CD÷2。 所以AC×BC＝AB×CD，即21×28＝35×CD，CD＝588÷35＝16.8。 答：AB的长是35，CD的长是16.8。 变式5　【答案】(1)AC²＝13；(2)AD＝7 【解析】(1)在△ABC中，∠B＝90°，由勾股定理得AC²＝AB²＋BC²＝2²＋3²＝13。 (2)在△ACD中，∠ACD＝90°，由勾股定理得AD²＝AC²＋CD²＝13＋6²＝13＋36＝49，所以AD＝7。 答：(1)AC²＝13；(2)AD的长是7。 说明：AC的长是，但第二步只用到AC²，把13直接代入更简便，不必先求AC。 　题型2　变式：由面积求面积、向外作半圆与三块面积之和 变式1　【答案】64 【解析】M所在的正方形以斜边AB为边。 由勾股定理，它的面积＝AC²＋BC²＝30＋34＝64。 变式2　【答案】C 【解析】以直径d为边的半圆面积是π×(d÷2)²÷2＝πd²÷8，三个半圆面积都等于各自直径的平方乘同一个数π÷8。 由AB²＝AC²＋BC²，两边同乘π÷8，得以AB为直径的半圆面积＝10＋18＝28，选C。 A是用18－10＝8，把“和”算成了“差”；B是取两者的平均数；D是把面积和又乘了2，都不对。 变式3　【答案】36；6 【解析】设以AB为边的正方形面积为x，由勾股定理，另外两个正方形的面积之和也等于x。 三个正方形面积之和为x＋x＝72，所以x＝36。 AB²＝36，AB＝6。 　题型3　变式：由弦图中的面积求两直角边的积与和、大正方形套小正方形 变式1　【答案】(1)ab＝30；(2)(a＋b)²＝121 【解析】(1)大正方形的面积＝4个直角三角形的面积＋小正方形的面积，即61＝4×ab÷2＋1＝2ab＋1。 所以2ab＝60，ab＝30。 (2)大正方形的边长是直角三角形的斜边，由勾股定理得a²＋b²＝61。 (a＋b)²＝a²＋2ab＋b²＝61＋60＝121。 答：(1)ab的值是30；(2)(a＋b)²的值是121。 变式2　【答案】每个直角三角形的面积是22.5 【解析】大正方形EFGH的面积是14²＝196。 大正方形由4个直角三角形与中间的正方形组成，所以4个直角三角形的面积和为196－106＝90。 每个直角三角形的面积为90÷4＝22.5。 答：每个直角三角形的面积是22.5。 　题型4　变式：两种情形的第三边、高在形内与形外、非负数条件与等腰三角形腰上的高 变式1　【答案】或 【解析】5和6都是直角边时，第三边的平方为5²＋6²＝61，第三边为。 6是斜边时，第三边的平方为6²－5²＝11，第三边为。 所以第三条边的长为或。 变式2　【答案】BC的长为44或26 【解析】在△ABD中，∠ADB＝90°，BD²＝AB²－AD²＝37²－12²＝1369－144＝1225，BD＝35。 在△ACD中，∠ADC＝90°，CD²＝AC²－AD²＝15²－12²＝225－144＝81，CD＝9。 第一种情形：高AD在△ABC内部，点D在线段BC上，BC＝BD＋CD＝35＋9＝44。 第二种情形：高AD在△ABC外部，点D在BC的延长线上，BC＝BD－CD＝35－9＝26。 答：BC的长为44或26。 变式3　【答案】C 【解析】两个绝对值都不小于0，和为0，所以x－1＝0，y－2＝0，即x＝1，y＝2。 1和2都是直角边时，第三边为＝；2是斜边时，第三边为＝。 所以第三边的长为或，选C。A、B各漏掉一种情形，D是把两边相加，都不对。 变式4　【答案】BC的长为30或40 【解析】在△ABD中，∠ADB＝90°，AD²＝AB²－BD²＝25²－24²＝625－576＝49，AD＝7。 第一种情形：顶角∠A是锐角，垂足D在腰AC上，CD＝AC－AD＝25－7＝18，BC²＝BD²＋CD²＝24²＋18²＝900，BC＝30。 第二种情形：顶角∠A是钝角，垂足D在CA的延长线上，CD＝AC＋AD＝25＋7＝32，BC²＝BD²＋CD²＝24²＋32²＝1600，BC＝40。 答：底边BC的长为30或40。 　题型5　变式：挑出直角三角形、由三边求面积、证明角是直角与按比例求面积 变式1　【答案】D 【解析】A：6²＋7²＝85，8²＝64，85≠64，不是直角三角形。 B：19²＋22²＝845，29²＝841，845≠841，不是直角三角形（两者很接近，要算准）。 C：23²＋24²＝1105，33²＝1089，1105≠1089，不是直角三角形。 D：60²＋91²＝3600＋8281＝11881＝109²，是直角三角形，选D。 变式2　【答案】1560 【解析】最长边是AB。AC²＋BC²＝39²＋80²＝1521＋6400＝7921，AB²＝89²＝7921。 所以AC²＋BC²＝AB²，由勾股定理的逆定理得∠C＝90°。 △ABC的面积＝AC×BC÷2＝39×80÷2＝1560。 变式3　【答案】(1)证明见解析；(2)AM＝10 【解析】(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°。 在△ABD中，由勾股定理得AB²＝BD²＋AD²＝16²＋8²＝320。 在△ACD中，由勾股定理得AC²＝DC²＋AD²＝4²＋8²＝80。 又BC＝BD＋DC＝16＋4＝20，BC²＝400。 ∵AB²＋AC²＝320＋80＝400＝BC²， ∴由勾股定理的逆定理得∠BAC＝90°。 (2)M是BC的中点，BM＝20÷2＝10，所以DM＝BD－BM＝16－10＝6。 在△ADM中，∠ADM＝90°，由勾股定理得AM²＝AD²＋DM²＝8²＋6²＝100，AM＝10。 答：(2)AM的长是10。 变式4　【答案】这块绿地的面积是2184 m² 【解析】设三边长分别为13k、84k、85k，则13k＋84k＋85k＝364，182k＝364，k＝2。 三边长分别为26 m、168 m、170 m。 26²＋168²＝676＋28224＝28900，170²＝28900，所以26²＋168²＝170²， 由勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，两条直角边分别为26和168。 面积＝26×168÷2＝2184（m²）。 答：这块绿地的面积是2184 m²。 　题型6　变式：挑勾股数、补全勾股数、证明一类勾股数与倍数变化 变式1　【答案】B 【解析】A：2.8²＋4.5²＝5.3²，能组成直角三角形，但三个数不是正整数，不是勾股数。 B：20²＋99²＝400＋9801＝10201＝101²，三个数都是正整数，是勾股数，选B。 C：14²＋15²＝421，16²＝256，不相等。 D：9²＋12²＝225，14²＝196，不相等。 变式2　【答案】65 【解析】若x是最大的数，则x²＝16²＋63²＝256＋3969＝4225，x＝65。 若63是最大的数，则x²＝63²－16²＝3969－256＝3713，而60²＝3600，61²＝3721，3713不是完全平方数，x不是正整数，舍去。 所以x＝65。 变式3　【答案】(1)证明见解析；(2)9，40，41 【解析】(1)证明：n为正整数，所以2n＋1，2n²＋2n，2n²＋2n＋1都是正整数，并且2n²＋2n＋1最大。 (2n²＋2n＋1)²－(2n²＋2n)²＝(2n²＋2n＋1＋2n²＋2n)(2n²＋2n＋1－2n²－2n)＝4n²＋4n＋1， 而(2n＋1)²＝4n²＋4n＋1， 所以(2n＋1)²＋(2n²＋2n)²＝(2n²＋2n＋1)²，这三个数是一组勾股数。 (2)n＝4时，2n＋1＝9，2n²＋2n＝40，2n²＋2n＋1＝41，这组勾股数是9，40，41。 变式4　【答案】D 【解析】取a、b、c为9、40、41检验：A得10、41、42，10²＋41²＝1781≠42²＝1764，不是勾股数。 B得81、1600、1681，81²＋1600²＝2566561，1681²＝2825761，两者不相等，不是勾股数。 C得4.5、20、20.5，不是正整数，不一定是勾股数。 D：(3a)²＋(3b)²＝9(a²＋b²)＝9c²＝(3c)²，且都是正整数，一定是勾股数，选D。 　题型7　变式：数轴上画√13、格点线段、格点三角形的高与依次画弧 变式1　【答案】 【解析】在△OAB中，∠OAB＝90°，OB²＝OA²＋AB²＝3²＋2²＝13，OB＝。 OP＝OB＝，点P在原点右侧，所以点P表示的数是。 变式2　【答案】 【解析】从M到N，水平方向4格，竖直方向1格。 MN²＝4²＋1²＝17，MN＝。 变式3　【答案】(1)6.5；(2)2.6 【解析】(1)用割补法：以E、F、D所在格点为顶点的最小长方形是4×4的正方形，面积为16。 去掉三个直角三角形：EF外侧的一个面积为4×3÷2＝6，ED外侧的一个面积为1×4÷2＝2，DF外侧的一个面积为3×1÷2＝1.5。 △DEF的面积＝16－6－2－1.5＝6.5。 (2)EF：水平方向4格，竖直方向3格，EF²＝4²＋3²＝25，EF＝5。 设EF边上的高为h，则5h÷2＝6.5，h＝2×6.5÷5＝2.6。 答：(1)△DEF的面积是6.5；(2)EF边上的高是2.6。 变式4　【答案】；3 【解析】OB²＝OA²＋AB²＝1²＋1²＝2，第1次画弧得到的点C表示。 OD²＝OC²＋CD²＝2＋1＝3，第2次画弧得到的点E表示。 每作一次，半径的平方就增加1，第n次画弧得到的点表示。 第8次画弧得到的点表示＝＝3。 　题型8　变式：直角三角形纸片的两种折法与沿对角线折长方形 变式1　【答案】CD＝5 【解析】由折叠得AD＝BD。设CD＝x，则AD＝BD＝18－x。 在△BCD中，∠C＝90°，由勾股定理得CD²＋BC²＝BD²，即x²＋12²＝(18－x)²。 整理得x²＋144＝324－36x＋x²，36x＝180，x＝5。 答：CD的长是5。 变式2　【答案】CD＝7.2 【解析】在△ABC中，AB²＝AC²＋BC²＝9²＋40²＝1681，AB＝41。 由折叠得AE＝AC＝9，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°，所以BE＝41－9＝32，∠BED＝90°。 设CD＝x，则DE＝x，BD＝40－x。 在△BED中，由勾股定理得DE²＋BE²＝BD²，即x²＋32²＝(40－x)²。 整理得x²＋1024＝1600－80x＋x²，80x＝576，x＝7.2。 答：CD的长是7.2。 变式3　【答案】12.5；62.5 【解析】由折叠得∠CBD＝∠EBD；又AD∥BC，∠CBD＝∠ADB，所以∠FBD＝∠FDB，FB＝FD。 设DF＝x，则FB＝x，AF＝20－x。在△ABF中，∠BAF＝90°，AF²＋AB²＝FB²，即(20－x)²＋10²＝x²。 整理得400－40x＋100＝0，x＝12.5。 △BFD的面积＝DF×AB÷2＝12.5×10÷2＝62.5。 　题型9　变式：台风折树、荷花出水、两船航向与拉船靠岸 变式1　【答案】折断处离地面9 m 【解析】设BC＝x m，则折下的一段AB＝(24－x) m。 在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得BC²＋AC²＝AB²，即x²＋12²＝(24－x)²。 整理得x²＋144＝576－48x＋x²，48x＝432，x＝9。 答：折断处B离地面9 m。 变式2　【答案】水深1.6 m 【解析】设水深BC＝x m，则花茎长BA＝BD＝(x＋0.4) m。 在△BCD中，∠BCD＝90°，由勾股定理得BC²＋CD²＝BD²，即x²＋1.2²＝(x＋0.4)²。 整理得x²＋1.44＝x²＋0.8x＋0.16，0.8x＝1.28，x＝1.6。 答：这里的水深是1.6 m。 变式3　【答案】乙船沿南偏东50°方向航行 【解析】PA＝20×2＝40（n mile），PB＝21×2＝42（n mile），AB＝58 n mile。 PA²＋PB²＝40²＋42²＝1600＋1764＝3364，AB²＝58²＝3364，所以PA²＋PB²＝AB²。 由勾股定理的逆定理得∠APB＝90°。 甲船的航向与正北方向成40°角，乙船在港口南面，乙船的航向与正南方向所成的角为180°－40°－90°＝50°，且偏向东方。 答：乙船沿南偏东50°方向航行。 变式4　【答案】船向岸边移动了4.1 m 【解析】CA与水面垂直，∠CAB＝90°。 在△CAB中，AB²＝CB²－CA²＝7.3²－4.8²＝53.29－23.04＝30.25，AB＝5.5。 在△CAD中，AD²＝CD²－CA²＝5²－4.8²＝25－23.04＝1.96，AD＝1.4。 BD＝AB－AD＝5.5－1.4＝4.1。 答：船向岸边移动了4.1 m。 　题型10　变式：盒内最长木棒、长方体表面爬行与台阶展开 变式1　【答案】90 【解析】盒内最长的线段是体对角线AG。先求底面对角线AC：AC²＝AB²＋BC²＝80²＋40²＝8000。 棱CG垂直于底面，所以△ACG是以AG为斜边的直角三角形，AG²＝AC²＋CG²＝8000＋10²＝8100，AG＝90。 所以最长能放进90 cm的木棒。 变式2　【答案】最短路程为15 cm 【解析】蚂蚁要经过两个相邻的面，把这两个面展开成一个长方形，A、G之间的线段就是一条路线，共有三种展开方式： ①经过前面和上面：展开后长方形的两边为12 cm和4＋5＝9（cm），路程的平方为12²＋9²＝225，路程为15 cm。 ②经过前面和右面：两边为12＋4＝16（cm）和5 cm，路程的平方为16²＋5²＝281。 ③经过底面和右面：两边为12＋5＝17（cm）和4 cm，路程的平方为17²＋4²＝305。 225＜281＜305，所以最短路程为15 cm。 变式3　【答案】6.8 【解析】把台阶的各个台面与立面展开成一个长方形，长方形的一边是台阶的长6 m， 另一边是所有台阶高与宽的总和：4×(0.3＋0.5)＝3.2（m）。 A、B是这个长方形相对的两个顶点，最短路程的平方为3.2²＋6²＝10.24＋36＝46.24，所以最短路程为6.8 m。 　易错专练 易错1　【答案】铝条总长为12 dm或(9＋ dm 【解析】错解示例：斜边²＝4²＋5²＝41，斜边为，周长为4＋5＋＝9＋。 错因：默认4和5都是直角边，漏掉了5是斜边的情形。 正解：①4和5都是直角边时，斜边为＝，周长为9＋；②5是斜边时，另一条直角边为＝3，周长为4＋5＋3＝12。铝条总长就是木板的周长，所以为12 dm或(9＋ dm。 提醒：没有指明直角或斜边时，较长的已知边要分“直角边”“斜边”两种情形。 易错2　【答案】△ABC是直角三角形，∠A＝90° 【解析】错解示例：BC²＋CA²＝125²＋44²＝17561，AB²＝13689，两者不相等，所以△ABC不是直角三角形。 错因：逆定理比较的是“两条较短边的平方和”与“最长边的平方”，不能按题目给出的先后顺序拿前两条边去算。 正解：最长边是BC＝125。CA²＋AB²＝44²＋117²＝1936＋13689＝15625，BC²＝125²＝15625，CA²＋AB²＝BC²，所以△ABC是直角三角形，直角是BC所对的∠A。 提醒：先找最长边，直角就是最长边所对的角。 易错3　【答案】(1)不能确定；(2)AC＝145 【解析】错解示例：(1)由勾股定理，AC²＝17²＋144²＝21025，AC＝145。 错因：勾股定理只能用在直角三角形中；题目没有给出直角，两边的长确定不了第三边。 正解：(1)只知道两边，第三边的长随∠B的大小而变化，不能确定。(2)∠B＝90°时，AC是斜边，AC²＝AB²＋BC²＝17²＋144²＝289＋20736＝21025，AC＝145。 提醒：用勾股定理前先写“在直角三角形××中，∠×＝90°”，这一句写不出来就不能用。 易错4　【答案】△ABC的面积为234或126 【解析】错解示例：BD²＝41²－9²＝1600，BD＝40；CD²＝15²－9²＝144，CD＝12；BC＝40＋12＝52，面积＝52×9÷2＝234。 错因：只画了高在三角形内部的图，漏掉了∠C为钝角、垂足D落在BC延长线上的情形。 正解：BD＝40，CD＝12。高在形内时，BC＝BD＋CD＝52，面积＝52×9÷2＝234；高在形外时，BC＝BD－CD＝40－12＝28，面积＝28×9÷2＝126。所以△ABC的面积为234或126。 提醒：只给“某边上的高”而没有图时，要画出高在形内、形外两种图。 易错5　【答案】不是勾股数；以它们为边长的三角形是直角三角形 【解析】错解示例：2.0²＋2.1²＝4＋4.41＝8.41＝2.9²，所以2.0，2.1，2.9是勾股数。 错因：勾股数要求三个数都是正整数，只满足平方关系还不够。 正解：2.0²＋2.1²＝8.41＝2.9²，以它们为边长的三角形是直角三角形；但2.1和2.9不是整数，所以这三个数不是勾股数。 提醒：“能组成直角三角形”与“是勾股数”是两回事，后者多一条“都是正整数”。 易错6　【答案】最短路程为 【解析】错解示例：把前面和右面展开，两边为6＋3＝9和2，路程为＝。 错因：只试了一种展开方式，没有比较三种路线。 正解：①前面与上面展开：两边为6和3＋2＝5，路程的平方为6²＋5²＝61；②前面与右面展开：两边为9和2，路程的平方为85；③底面与右面展开：两边为6＋2＝8和3，路程的平方为73。61最小，所以最短路程为。 提醒：长方体表面的最短路线要把三种展开方式都算出来比较；一般是把最长的一条棱单独作一边时最短。 易错7　【答案】－1＋ 【解析】错解示例：AB²＝3²＋2²＝13，AB＝，所以点P表示的数是。 错因：弧的圆心是表示－1的点A，不是原点，AP＝并不等于点P到原点的距离。 正解：AC＝2－(－1)＝3，AB²＝AC²＋BC²＝3²＋2²＝13，AP＝AB＝。点P在点A右侧个单位处，表示的数是－1＋。 提醒：数轴上“圆心不是原点”时，交点表示的数＝圆心表示的数±半径。 　课后作业（一）基础巩固 1．【答案】A 【解析】AB²＝AC²＋BC²＝8.8²＋10.5²＝77.44＋110.25＝187.69，AB＝13.7，选A。 B是把两边直接相加，C是两边相减，都没有用勾股定理；D算出了AB²却忘了开平方。 2．【答案】B 【解析】A：2²＋3²＝13≠4²＝16；C：5²＋6²＝61≠7²＝49；D：10²＋11²＝221≠12²＝144。 B：16²＋30²＝256＋900＝1156＝34²，是直角三角形，选B。 3．【答案】C 【解析】每个直角三角形较长的直角边b上，有一段与相邻三角形较短的直角边a重合，剩下的部分就是小正方形的边，长为b－a，选C。 a＋b是题型3变式2中外面大正方形的边长；c－a是把斜边c当成较长的直角边去减；ab是直角三角形面积的2倍，不是长度，都不对。 4．【答案】C 【解析】以格点为端点的线段，长度的平方等于两个整数的平方和（水平格数²＋竖直格数²）。 2＝1²＋1²，5＝2²＋1²，10＝3²＋1²，所以、、都能画出。 7写不成两个整数的平方和（0＋7、1＋6、4＋3中都有一个不是平方数），所以画不出来，选C。 5．【答案】A 【解析】由a²－b²＝c²得b²＋c²＝a²，a是最长边。 由勾股定理的逆定理，a所对的角是直角，即∠A＝90°，选A。 6．【答案】B 【解析】BC²＝AB²－AC²＝10.1²－2²＝102.01－4＝98.01，BC＝9.9。 面积＝AC×BC÷2＝2×9.9÷2＝9.9，选B。 A是用斜边乘直角边再除以2；C是斜边乘直角边；D忘了除以2。 7．【答案】C 【解析】把侧面展开，A到B只需绕半圈，水平方向的距离是底面周长的一半10÷2＝5（cm），竖直方向是高12 cm。 最短路程的平方为12²＋5²＝169，最短路程为13 cm，选C。 A错把整个周长当成水平距离；B、D是把两段路程直接相加，没有走直线。 8．【答案】D 【解析】折下的一段AB是直角三角形ABC的斜边，AB²＝BC²＋AC²＝0.9²＋4²＝0.81＋16＝16.81，AB＝4.1 m。 折断前的高度＝BC＋AB＝0.9＋4.1＝5（m），选D。 A把两条直角边相加；B只求了折下的那一段；C把折下的一段与地面上的距离相加，都不对。 　课后作业（二）能力进阶 9．【答案】3.6 【解析】AC²＝AB²－BC²＝8.5²－7.7²＝72.25－59.29＝12.96。 3.6²＝12.96，所以AC＝3.6。 10．【答案】21；420 【解析】AB＝AC，AD⊥BC，由等腰三角形“三线合一”得BD＝CD＝40÷2＝20。 在△ABD中，AD²＝AB²－BD²＝29²－20²＝841－400＝441，AD＝21。 △ABC的面积＝BC×AD÷2＝40×21÷2＝420。 11．【答案】720 【解析】三个非负数的和为0，每一个都为0，所以a＝18，b＝80，c＝82。 18²＋80²＝324＋6400＝6724＝82²，由勾股定理的逆定理，∠C＝90°。 面积＝18×80÷2＝720。 12．【答案】6 【解析】在△ADC中，AC²＝CD²＋AD²；在△BDC中，BC²＝CD²＋DB²；在△ABC中，AC²＋BC²＝AB²。 所以CD²＋4²＋CD²＋9²＝(4＋9)²，2CD²＋97＝169，CD²＝36，CD＝6。 13．【答案】3 【解析】∠AOB＝90°，AO²＝AB²－OB²＝3.4²－1.6²＝11.56－2.56＝9，AO＝3。 14．【答案】15，8，17 【解析】m²－n²＝16－1＝15，2mn＝2×4×1＝8，m²＋n²＝16＋1＝17。 检验：15²＋8²＝225＋64＝289＝17²。 15．【答案】850 【解析】向东与向北互相垂直，∠ABC＝90°。 AC²＝AB²＋BC²＝360²＋770²＝129600＋592900＝722500，AC＝850。 16．【答案】210 【解析】设两条直角边为a、b，则a＋b＝41，a²＋b²＝29²＝841。 (a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，即1681＝841＋2ab，2ab＝840，ab＝420。 面积＝ab÷2＝210。 　课后作业（三）拓展延伸 17．【答案】证明见解析 【解析】证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°。 在△ABD中，由勾股定理得AB²＝AD²＋BD²； 在△ACD中，由勾股定理得AC²＝AD²＋CD²。 两式相减，得AB²－AC²＝(AD²＋BD²)－(AD²＋CD²)＝BD²－CD²。 18．【答案】1938 【解析】连接BD。在△ABD中，∠BAD＝90°，BD²＝AB²＋AD²＝39²＋52²＝1521＋2704＝4225，BD＝65。 在△BCD中，BC²＋CD²＝33²＋56²＝1089＋3136＝4225＝BD²，由勾股定理的逆定理得∠BCD＝90°。 四边形ABCD的面积＝39×52÷2＋33×56÷2＝1014＋924＝1938。 答：四边形ABCD的面积是1938。 19．【答案】管道总长的最小值为4.1 km 【解析】作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，此时PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B最小（两点之间线段最短）。 过点A′作A′E⊥BD，交BD的延长线于点E，则A′E＝CD＝4 km，DE＝A′C＝AC＝0.4 km，BE＝BD＋DE＝0.5＋0.4＝0.9（km）。 在△A′EB中，A′B²＝A′E²＋BE²＝4²＋0.9²＝16＋0.81＝16.81，A′B＝4.1。 答：管道总长的最小值为4.1 km。 20．【答案】学校受影响的时间为3分钟 【解析】以P为圆心、530 m为半径画弧，交公路l于点M、N，货车在线段MN上行驶时学校受影响。 PM＝PN＝530 m，PH⊥MN，在△PHM中，MH²＝PM²－PH²＝530²－280²＝280900－78400＝202500，MH＝450 m。 同理NH＝450 m，MN＝2×450＝900（m）。 18 km/h＝18000÷60＝300（m/min），受影响的时间为900÷300＝3（min）。 答：学校受噪声影响的时间为3分钟。 21．【答案】证明见解析 【解析】证明：过点A作AH⊥BC，垂足为H。 ∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH（等腰三角形三线合一）。 在△ABH中，AB²＝AH²＋BH²；在△ADH中，AD²＝AH²＋DH²。 ∴AB²－AD²＝BH²－DH²＝(BH＋DH)(BH－DH)。 不妨设点D在线段BH上，则BH－DH＝BD，BH＋DH＝CH＋DH＝DC， ∴AB²－AD²＝BD·DC（点D在线段CH上时同理可证）。 22．【答案】t＝8 【解析】CP＝t cm，PB＝(25－t) cm。 在△ACP中，∠ACP＝90°，PA²＝AC²＋CP²＝15²＋t²。 由PA＝PB得15²＋t²＝(25－t)²，即225＋t²＝625－50t＋t²，50t＝400，t＝8。 0＜8＜25，符合题意。 答：当t＝8时，PA＝PB。 23．【答案】(1)证明见解析；(2)AB＝87 【解析】(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°。 在△ADC中，AD²＝AC²－CD²；BD＝BC－CD。 在△ADB中，AB²＝AD²＋BD²＝AC²－CD²＋(BC－CD)²＝AC²－CD²＋BC²－2BC·CD＋CD²＝AC²＋BC²－2BC·CD。 (2)AB²＝61²＋74²－2×74×11＝3721＋5476－1628＝7569，AB＝87。 答：(2)AB的长是87。 24．【答案】风筝离地面73.5 m 【解析】FK⊥EK，∠EKF＝90°。 在△EKF中，FK²＝EF²－EK²＝97²－65²＝9409－4225＝5184，FK＝72。 风筝离地面的高度＝FK＋1.5＝72＋1.5＝73.5（m）。 答：风筝离地面73.5 m。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版·八年级上册·第3章 勾股定理·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第3章 勾股定理 题型精讲（讲义）-2026-2027学年八年级上册数学苏科版 苏科版（2024年版）八年级数学上册　第3章　勾股定理　3.1勾股定理的探究　3.2勾股定理的逆定理　3.3勾股定理的简单应用 含 10 个考点例题　/　共 77 题（变式 36 · 易错 7 · 作业 24）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”（a²＋b²＝c²），会借助方格纸上三个正方形的面积和赵爽弦图说明定理成立，会在直角三角形中由任意两边求第三边，结果不是整数时用算术平方根表示。 2．能说出勾股定理的逆定理“三边满足a²＋b²＝c²的三角形是直角三角形”，会先找最长边再判定直角；知道勾股数是满足a²＋b²＝c²的三个正整数，会用ka、kb、kc与m²－n²、2mn、m²＋n²写出勾股数。 3．会在数轴上画出表示、这类数的点，会用勾股定理说明垂线段最短，会在梯子滑动、折断、折叠、航向、立体图形表面最短路线等问题中构造直角三角形并列方程求解。 学习重难点 重点：勾股定理求边（分清斜边与直角边）；勾股定理的逆定理判定直角（先找最长边）；折叠与实际问题中设未知数、用勾股定理列方程。 难点：没有指明直角或高的位置时的分类讨论；立体图形表面最短路线要比较几种展开方式；勾股数必须都是正整数，能组成直角三角形的三个数不一定是勾股数。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　勾股定理的探究：三个正方形的面积 2 知识点 02　勾股定理及赵爽弦图证法 3 知识点 03　用勾股定理由两边求第三边 3 知识点 04　勾股定理的逆定理 4 知识点 05　勾股数及其构造方法 4 知识点 06　勾股定理的简单应用：数轴上的点与垂线段最短 5 考点 1　已知直角三角形的两边求第三边 5 考点 2　以直角三角形的三边为边的图形面积 8 考点 3　用面积法证明勾股定理 9 考点 4　分类讨论：斜边不确定与高的位置不确定 11 考点 5　用勾股定理的逆定理判定直角 12 考点 6　勾股数的判断与构造 13 考点 7　方格纸与数轴上的线段长 14 考点 8　折叠问题中列方程求线段 16 考点 9　勾股定理的实际应用 18 考点 10　（拓展）立体图形表面与内部的最短距离 20 易错专练 22 课后作业（一）基础巩固 23 课后作业（二）能力进阶 25 课后作业（三）拓展延伸 27 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　勾股定理的探究：三个正方形的面积 教材从面积入手研究直角三角形三边的关系：以直角三角形ABC的三边为边分别向外画正方形，用“大正方形减去四个直角三角形”或“四个直角三角形加一个小正方形”的割补法算出面积，发现以两条直角边为边的两个正方形面积之和，恰好等于以斜边为边的正方形面积。三个正方形的面积分别是BC²、AC²、AB²，于是AB²＝BC²＋AC²，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。在方格纸上任意画一个顶点在格点上的直角三角形，重复这样的操作，结论都成立。例：直角边上两个正方形的面积是11和25，那么斜边上正方形的面积是36，斜边长为6。 以两条直角边为边的正方形面积之和＝以斜边为边的正方形面积 正方形面积＝边长的平方：S(斜边)＝AB²，S(直角边)＝BC²、AC² 小提示：这种面积关系只对直角三角形成立；题目给的是面积时，面积本身就是边长的平方，不要再平方一次。 知识点　02　勾股定理及赵爽弦图证法 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²＋b²＝c²。我国古代把较短的直角边叫“勾”，较长的直角边叫“股”，斜边叫“弦”，西周时期的商高就提出过“勾三股四弦五”。公元3世纪初，数学家赵爽用“弦图”完成了证明：把4个全等的直角三角形拼成一个边长为c的大正方形，中间空出一个边长为(b－a)的小正方形。大正方形的面积有两种表示：c²，以及4×ab÷2＋(b－a)²＝2ab＋b²－2ab＋a²＝a²＋b²，两种表示相等，得到a²＋b²＝c²。例：a＝2、b＝5时，4个直角三角形的面积和是20，小正方形的面积是9，合起来是29，正好等于2²＋5²。 a²＋b²＝c²（c是斜边，也就是直角所对的边） 弦图：c²＝4×ab÷2＋(b－a)² 小提示：证明的关键是“同一个图形的面积用两种方法表示”，写证明时两种表示都要写全，再把展开式整理到a²＋b²。 知识点　03　用勾股定理由两边求第三边 用勾股定理计算之前，先认准直角和斜边：斜边是直角所对的边，也是三边中最长的边。已知两条直角边求斜边，用c²＝a²＋b²；已知斜边和一条直角边求另一条直角边，用b²＝c²－a²。求出第三边的平方以后，如果它是完全平方数，就直接写出边长（如c²＝169，c＝13）；如果不是，就用第2章学过的算术平方根表示结果（如b²＝21，b＝），本章不对根号作化简运算。例：两条直角边分别为2和7时，斜边为；斜边为11、一条直角边为6时，另一条直角边为。 求斜边：c²＝a²＋b² 求直角边：b²＝c²－a²（用斜边的平方去减） 小提示：题目只说“两边长”而没有指明哪条是斜边时，较长的那条边既可能是斜边，也可能是直角边，要分两种情况讨论。 知识点　04　勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。教材的证法是“先造一个直角三角形，再证全等”：作一个直角三角形DEF，使∠E＝90°，EF＝a，DE＝b，由勾股定理得DF²＝a²＋b²＝c²，所以DF＝c；这样两个三角形的三边分别相等，由“SSS”得两个三角形全等，原三角形中c所对的角就等于∠E，是直角。四千多年前，古埃及人在绳子上打等距离的结，拉成三边分别为3段、4段、5段的三角形来得到直角，用的正是这个道理。例：三边为1.2、3.5、3.7时，1.2²＋3.5²＝1.44＋12.25＝13.69＝3.7²，所以这是直角三角形，直角是3.7所对的角。 三边满足a²＋b²＝c² → 最长边c所对的角是直角 判断步骤：找出最长边 → 算另两边的平方和 → 与最长边的平方比较 小提示：直角是最长边所对的角，不一定是∠C；两短边平方和不等于最长边的平方时，这个三角形就不是直角三角形。 知识点　05　勾股数及其构造方法 如果三个正整数a、b、c满足a²＋b²＝c²，那么a、b、c叫作勾股数。教材例题证明了：若a、b、c是勾股数，k为正整数，则ka、kb、kc也是勾股数，因为(ka)²＋(kb)²＝k²(a²＋b²)＝(kc)²。章末的数学探究还给出一种构造方法：由(m²＋n²)²－(m²－n²)²＝(2mn)²，当m、n为正整数且m＞n时，m²－n²、2mn、m²＋n²是一组勾股数，取不同的m、n就能写出无数组。例：m＝5、n＝2时得到21、20、29，检验：21²＋20²＝441＋400＝841＝29²。 勾股数：满足a²＋b²＝c²的三个正整数 构造：m＞n的正整数m、n → m²－n²，2mn，m²＋n²；倍数：ka，kb，kc 小提示：勾股数必须三个都是正整数：0.8、1.5、1.7能组成直角三角形，但不是勾股数。 知识点　06　勾股定理的简单应用：数轴上的点与垂线段最短 勾股定理把“有一个直角”这一图形条件变成“两边平方和等于第三边平方”这一数量关系，常见用法有三类。①在数轴上画出表示的点：画一个两直角边都是整数的直角三角形，使斜边的平方等于n，再以原点为圆心、斜边长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示。②说明“垂线段最短”：点P在直线l外，PA⊥l于点A，Q是l上异于A的任意一点，则PQ²＝PA²＋AQ²，因为AQ＞0，所以PQ²＞PA²，PA＜PQ。③解决实际问题：在图中找出或者添线构造直角三角形，把已知量标到三边上，未知量设为x，用勾股定理列方程。例：两直角边为4和2时，斜边为，图中点P就表示。 数轴上画：找整数a、b使a²＋b²＝n，以原点为圆心、为半径画弧 实际问题：找直角 → 标三边 → 设未知数 → 由a²＋b²＝c²列方程 小提示：画弧时圆心必须是表示0的原点；如果圆心是表示其他数的点，交点表示的数要在那个数的基础上加减弧的半径。 【题型1】已知直角三角形的两边求第三边 直角已经确定时，第三边只有一个答案。先看要求的是斜边还是直角边：求斜边用平方和，求直角边用平方差；结果不是整数时用算术平方根表示。 例1　如图，在△ABC中，∠C＝90°。(1)若AC＝11，BC＝60，求AB的长；(2)若AB＝53，BC＝28，求AC的长。 【分析】∠C＝90°，所以AB是斜边，AC、BC是直角边。第(1)问已知两条直角边求斜边，用平方和；第(2)问已知斜边和一条直角边求另一条直角边，用斜边的平方减去已知直角边的平方。 【解答】(1)在△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理，得AB²＝AC²＋BC²＝11²＋60²＝121＋3600＝3721。 因为61²＝3721，所以AB＝61。 (2)根据勾股定理，得AC²＝AB²－BC²＝53²－28²＝2809－784＝2025。 因为45²＝2025，所以AC＝45。 答：(1)AB的长是61；(2)AC的长是45。 【方法小结】动笔前先写出“谁是斜边”，再决定用加还是用减；两问的直角都在C处，所以斜边始终是AB。 题型1　变式：直接求边、结果用根号表示、斜边上的高与连续用两次勾股定理 五道变式把“两边求第三边”走完整：先直接求直角边，再求一条不是整数的斜边，然后在选择题里辨认常见错法，接着用两种方法表示面积求斜边上的高，最后在两个相连的直角三角形里连续用两次勾股定理。 变式1　如图，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝7，DF＝25，则EF的长为____。 变式2　如图，直角三角形MNP的两条直角边MN、NP分别长2和5，那么斜边MP＝____（结果用根号表示）。 变式3　如图，一个直角三角形的斜边GK长6.1，直角边HK长1.1，则另一条直角边GH的长为（　　）。 A．5 B．6 C．7.2 D．36 变式4　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AC＝21，BC＝28。求斜边AB的长和斜边上的高CD的长。 变式5　如图，∠B＝90°，∠ACD＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝6。(1)求AC²的值；(2)求AD的长。 【题型2】以直角三角形的三边为边的图形面积 以三边为边向外作正方形，三个面积分别是三边的平方，勾股定理就变成“两个小面积之和等于大面积”。给面积的题直接加减面积，不必先开平方。 例1　如图，以△ABC的三边为边分别向外作正方形，∠ACB＝90°，以AC为边的正方形面积是81，以AB为边的正方形面积是1681。(1)求以BC为边的正方形的面积；(2)求BC的长。 【分析】AB是斜边，以AB为边的正方形最大；它的面积等于另外两个正方形面积之和。 【解答】(1)由勾股定理，AB²＝AC²＋BC²，即以AB为边的正方形面积＝以AC为边的正方形面积＋以BC为边的正方形面积。 所以以BC为边的正方形面积＝1681－81＝1600。 (2)BC²＝1600，因为40²＝1600，所以BC＝40。 答：(1)以BC为边的正方形面积是1600；(2)BC的长是40。 【方法小结】面积就是边长的平方：面积之间直接加减，最后要求边长时再开平方，中途不要开平方又平方。 题型2　变式：由面积求面积、向外作半圆与三块面积之和 三道变式换三种图形与问法：两个已知正方形求第三个、把正方形换成半圆、已知三个正方形面积的总和反求最大的一个。 变式1　如图，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为30和34，则字母M所在正方形的面积为____。 变式2　如图，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三边为直径向外作半圆，以BC、AC为直径的两个半圆面积分别为18和10，则以AB为直径的半圆面积为（　　）。 A．8 B．14 C．28 D．56 变式3　如图，在直角三角形ABC（∠ACB＝90°）的三边外侧各拼接一个正方形，三个正方形合起来的面积是72，那么斜边AB上的正方形面积是____，AB＝____。 【题型3】用面积法证明勾股定理 面积法证明只有一个套路：把同一个图形的面积用两种方法表示，列等式后整理。教材用的是赵爽弦图，下面换成由三个直角三角形拼成的直角梯形。 例1　如图，两个全等的直角三角形ABE与ECD的直角边分别为a、b（AB＝EC＝a，BE＝CD＝b），斜边AE＝ED＝c，点B、E、C在同一条直线上，∠ABE＝∠ECD＝90°。(1)求证∠AED＝90°；(2)利用直角梯形ABCD的面积证明a²＋b²＝c²。 【分析】梯形ABCD由三个直角三角形拼成：两个全等的直角三角形与一个两腰都等于c的直角三角形。先证中间那个角是直角，再把梯形面积写成两种形式。 【解答】(1)∵△ABE≌△ECD，∴∠BAE＝∠CED。 ∵∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠CED＋∠AEB＝90°。 ∵点B、E、C在同一条直线上，∴∠AED＝180°－(∠AEB＋∠CED)＝180°－90°＝90°。 (2)AB∥CD（都垂直于BC），四边形ABCD是直角梯形，上底AB＝a，下底CD＝b，高BC＝a＋b。 梯形面积＝(a＋b)×(a＋b)÷2＝(a²＋2ab＋b²)÷2。 梯形面积又等于三个直角三角形面积之和：ab÷2＋ab÷2＋c²÷2＝(2ab＋c²)÷2。 所以(a²＋2ab＋b²)÷2＝(2ab＋c²)÷2，整理得a²＋b²＝c²。 【方法小结】面积法的两步：先说明拼出的图形是什么（这里要先证∠AED是直角），再写两种面积表示并化简。这种梯形拼法据说出自美国第20任总统加菲尔德。 题型3　变式：由弦图中的面积求两直角边的积与和、大正方形套小正方形 两道变式把面积关系反过来用：已知弦图中大、小正方形的面积，求直角边的积与和；以及外面是边长为a＋b的大正方形、里面斜放一个小正方形的拼法。 变式1　如图是一个赵爽弦图，它由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成。已知大正方形ABCD的面积为61，小正方形的面积为1，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b（a＜b）。(1)求ab的值；(2)求(a＋b)²的值。 变式2　如图，用4个全等的直角三角形拼成一个边长为14的大正方形EFGH，中间围成的四边形是一个面积为106的正方形。求每个直角三角形的面积。 【题型4】分类讨论：斜边不确定与高的位置不确定 题目没有交代直角在哪里、高落在三角形内还是外时，一个条件对应两种图形。分类要做到“不漏”：每种情形各画一个图，各算一遍，最后检验两种情形是否都成立。 例1　已知一个直角三角形的两条边长分别为2和3，这个直角三角形的斜边可能是多长？ 【分析】题目只说“两条边”，3这条边可能是直角边，也可能是斜边（2不可能是斜边，因为斜边最长）。 【解答】第一种情形：2和3都是直角边，则斜边的平方为2²＋3²＝13，斜边长为。 第二种情形：3就是斜边，2是直角边，这时另一条直角边的平方为3²－2²＝5，直角边长为，三边2、、3满足2²＋＝3²，这种情形成立，斜边长为3。 答：斜边长为或3。 【方法小结】两边中较短的那条一定是直角边，较长的那条要分“直角边”“斜边”两种情形；已经指明直角的题不必讨论。 题型4　变式：两种情形的第三边、高在形内与形外、非负数条件与等腰三角形腰上的高 四道变式从不同入口触发分类：直接给两边、给两边与第三边上的高、用非负数的和为0给出两边、以及等腰三角形一腰上的高落在形内还是形外。 变式1　直角三角形有两条边分别长5和6，它的第三条边长为____。 变式2　在△ABC中，AB＝37，AC＝15，BC边上的高AD＝12，求BC的长。 变式3　已知实数x、y满足|x－1|＋|y－2|＝0，一个直角三角形有两条边的长恰好是x和y，那么它的第三边长为（　　）。 A． B． C．或 D．3 变式4　△ABC的两腰AB、AC都等于25，从点B向AC所在直线作垂线，垂线段BD＝24，求底边BC的长。 【题型5】用勾股定理的逆定理判定直角 逆定理把“三边的数量关系”变回“有一个直角”。用法固定：找最长边，算另两边的平方和，与最长边的平方比较；相等就得直角，直角是最长边所对的角。 例1　如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，CD＝60，AD＝65。(1)求证∠ACD＝90°；(2)求四边形ABCD的面积。 【分析】连接AC，先在直角三角形ABC里求出AC，再看△ACD的三边是否满足勾股定理的逆定理。 【解答】(1)在△ABC中，∠B＝90°，由勾股定理得AC²＝AB²＋BC²＝7²＋24²＝625，所以AC＝25。 在△ACD中，AC²＋CD²＝25²＋60²＝625＋3600＝4225，AD²＝65²＝4225， 所以AC²＋CD²＝AD²，由勾股定理的逆定理得∠ACD＝90°。 (2)四边形ABCD的面积＝△ABC的面积＋△ACD的面积＝7×24÷2＋25×60÷2＝84＋750＝834。 答：(2)四边形ABCD的面积是834。 【方法小结】不规则四边形求面积，常用一条对角线分成两个三角形；已知一个直角时，另一个直角往往要用逆定理先证出来。 题型5　变式：挑出直角三角形、由三边求面积、证明角是直角与按比例求面积 四道变式覆盖逆定理的四种用法：在几组数中挑出能组成直角三角形的一组、先判定直角再求面积、在有高的三角形里证明顶角是直角、以及按三边之比设未知数。 变式1　以下面各组数为三角形的三边长，其中能组成直角三角形的一组是（　　）。 A．6，7，8 B．19，22，29 C．23，24，33 D．60，91，109 变式2　如图，△ABC的三边长分别为BC＝80，AC＝39，AB＝89，则△ABC的面积为____。 变式3　如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝16，DC＝4，AD＝8。(1)求证：∠BAC＝90°；(2)若M是BC的中点，连接AM，求AM的长。 变式4　有一块三角形绿地，三条边的长度之比是13∶84∶85，沿绿地边缘走一圈是364 m。这块绿地的面积是多少平方米？ 【题型6】勾股数的判断与构造 判断勾股数要过两关：三个数都是正整数，较小两数的平方和等于最大数的平方。构造勾股数有两条现成的路：已知一组的整数倍，以及m²－n²、2mn、m²＋n²这组公式。 例1　(1)36，77，85是不是一组勾股数？(2)取m＝8，n＝3，按m²－n²、2mn、m²＋n²写出一组勾股数，并检验。 【分析】第(1)问先确认都是正整数，再比较两个较小数的平方和与最大数的平方；第(2)问代入公式后仍要检验一次。 【解答】(1)36、77、85都是正整数，最大的数是85。 36²＋77²＝1296＋5929＝7225，85²＝7225，所以36²＋77²＝85²，36，77，85是一组勾股数。 (2)m²－n²＝8²－3²＝55，2mn＝2×8×3＝48，m²＋n²＝8²＋3²＝73。 检验：55²＋48²＝3025＋2304＝5329，73²＝5329，所以55，48，73是一组勾股数。 答：(1)是一组勾股数；(2)这组勾股数是55，48，73。 【方法小结】公式里m²＋n²一定是最大的数；另外两个数谁大谁小要看具体数值（这里55＞48）。 题型6　变式：挑勾股数、补全勾股数、证明一类勾股数与倍数变化 四道变式从四个方向练勾股数：在四组数里挑、已知两个数补第三个并排除非整数情形、证明教材数学探究里的一组表达式、以及判断哪种变化后仍是勾股数。 变式1　下面给出四组数，其中是勾股数的一组为（　　）。 A．2.8，4.5，5.3 B．20，99，101 C．14，15，16 D．9，12，14 变式2　若16，63，x是一组勾股数，则x＝____。 变式3　已知n为正整数。(1)求证：2n＋1，2n²＋2n，2n²＋2n＋1是一组勾股数；(2)写出n＝4时的这组勾股数。 变式4　若a，b，c是一组勾股数，则在下面四组数中一定还是勾股数的一组是（　　）。 A．a＋1，b＋1，c＋1 B．a²，b²，c² C．a÷2，b÷2，c÷2 D．3a，3b，3c 【题型7】方格纸与数轴上的线段长 方格纸上的斜线段，都可以看成一个直角三角形的斜边：水平方向数几格、竖直方向数几格，就是两条直角边。数轴上表示的点，就是把这样的斜边用圆规“转”到数轴上。 例1　如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C都是网格线的交点。(1)分别求AB²、BC²、AC²；(2)△ABC是直角三角形吗？证明你的结论。 【分析】每条边都是某个小直角三角形的斜边，数出水平、竖直方向的格数再用勾股定理。 【解答】(1)AB：水平方向1格，竖直方向2格，AB²＝1²＋2²＝5。 BC：水平方向4格，竖直方向2格，BC²＝4²＋2²＝20。 AC：水平方向3格，竖直方向4格，AC²＝3²＋4²＝25。 (2)AB²＋BC²＝5＋20＝25＝AC²，由勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，AC所对的∠ABC＝90°。 答：(1)AB²＝5，BC²＝20，AC²＝25；(2)△ABC是直角三角形。 【方法小结】格点三角形判直角，只需三边的平方，不必求出边长本身；平方都是整数，比较起来最省事。 题型7　变式：数轴上画√13、格点线段、格点三角形的高与依次画弧 四道变式在数轴与方格纸之间来回切换：用直角三角形在数轴上确定一个点、读一条格点线段的长、用割补法求格点三角形的面积再求高、以及连续画弧找出规律。 变式1　如图，点O、A在数轴上分别表示0和3，在点A处作数轴的垂线段AB，使AB＝2，再用圆规以O为圆心、OB长为半径作弧，与数轴正半轴相交于点P。点P表示的数为____。 变式2　如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，线段MN的两个端点都在格点上，则MN的长为____。 变式3　如图，△DEF画在单位正方形网格里，三个顶点都落在格点上。(1)求△DEF的面积；(2)求EF边上的高。 变式4　如图，点A在数轴上表示1，作AB⊥数轴且AB＝1，以原点O为圆心、OB长为半径画弧交数轴正半轴于点C；再作CD⊥数轴且CD＝1，以O为圆心、OD长为半径画弧交数轴正半轴于点E。点E表示的数是____；照这样一直作下去，第8次画弧得到的点表示的数是____。 【题型8】折叠问题中列方程求线段 折叠前后的两部分全等，对应线段相等、对应角相等。做法固定：把折叠带来的相等线段标到图上，找一个三边都能用同一个未知数表示的直角三角形，用勾股定理列方程。 例1　如图，把长方形纸片ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，AB＝20，AD＝29。(1)求BF的长；(2)求CE的长。 【分析】折叠后△AFE≌△ADE，所以AF＝AD，EF＝ED。先在△ABF中求BF，再在△ECF中列方程。 【解答】(1)由折叠得AF＝AD＝29。四边形ABCD是长方形，∠B＝90°，BC＝AD＝29，CD＝AB＝20。 在△ABF中，BF²＝AF²－AB²＝29²－20²＝841－400＝441，BF＝21。 (2)FC＝BC－BF＝29－21＝8。设CE＝x，则ED＝20－x，由折叠得EF＝ED＝20－x。 在△ECF中，∠ECF＝90°，由勾股定理得CE²＋FC²＝EF²，即x²＋8²＝(20－x)²。 整理得x²＋64＝400－40x＋x²，40x＝336，x＝8.4。 答：(1)BF的长是21；(2)CE的长是8.4。 【方法小结】折叠题先写“由折叠得”哪些线段相等；设未知数时选让直角三角形三边都能表示出来的那一段。 题型8　变式：直角三角形纸片的两种折法与沿对角线折长方形 三道变式换三种折法：使两个锐角顶点重合、使一条直角边落到斜边上、以及沿对角线折叠长方形求重叠部分，未知数分别设在三个不同的位置。 变式1　如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝18，BC＝12。折叠这张三角形纸片，使点A与点B重合，折痕与AC交于点D、与AB交于点E。求CD的长。 变式2　如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝40。把△ACD沿AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，点C落在点E处，点D在BC上。求CD的长。 变式3　如图，把长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，AB＝10，AD＝20，则DF的长为____，重叠部分△BFD的面积为____。 【题型9】勾股定理的实际应用 实际问题的关键是“画出直角三角形”：墙与地面、竹竿与地面、水面与芦苇、两个互相垂直的航向，都给出一个直角。把已知长度标到三边上，要求的量设为x，用勾股定理列式或列方程。 例1　如图，梯子AB长6.5 m，上端A靠在竖直的墙面OA上，下端B在水平地面上，与墙脚O相距1.6 m。(1)梯子顶端A离地面多高？(2)如果梯子顶端沿墙下滑0.7 m到点C，那么梯子底端B向外滑动了多少米？ 【分析】墙与地面垂直，梯子、墙、地面围成直角三角形；梯子滑动前后长度不变，是两个直角三角形共同的斜边。 【解答】(1)在△AOB中，∠AOB＝90°，AO²＝AB²－OB²＝6.5²－1.6²＝42.25－2.56＝39.69，AO＝6.3。 (2)OC＝AO－AC＝6.3－0.7＝5.6。设梯子底端滑到点D，则CD＝AB＝6.5。 在△COD中，OD²＝CD²－OC²＝6.5²－5.6²＝42.25－31.36＝10.89，OD＝3.3。 BD＝OD－OB＝3.3－1.6＝1.7。 答：(1)梯子顶端离地面6.3 m；(2)梯子底端向外滑动了1.7 m。 【方法小结】梯子滑动题抓住“梯长不变”：前后两个直角三角形各用一次勾股定理；本题顶端下滑0.7 m，底端却外移1.7 m，两者一般不相等。 题型9　变式：台风折树、荷花出水、两船航向与拉船靠岸 四道变式对应四种建模：折断后的上下两段加一段地面、花茎倾斜前后长度不变、由三段距离判定航向垂直、以及绳长缩短时船走过的水平距离。 变式1　如图，一棵高24 m的杉树被台风从点B处吹折，树梢A着地处离树根C 12 m。求折断处B离地面的高度。 变式2　如图，平静的湖面上，一朵荷花的顶端A高出水面0.4 m，一阵风吹来，荷花被吹到一边，花茎绕着根部B转动，顶端恰好落在水面上的点D处，点D与荷花原来位置的水平距离CD为1.2 m。求这里的水深BC。 变式3　如图，甲、乙两船同时从港口P出发，甲船每小时航行20 n mile，乙船每小时航行21 n mile，2小时后甲船到达A处、乙船到达B处，此时两船相距58 n mile。已知甲船沿北偏东40°方向航行，乙船航行在港口的南面，求乙船的航行方向。 变式4　如图，岸上一人用绳子拉船靠岸，拉绳的手C离水面的高度CA＝4.8 m。开始时绳长CB＝7.3 m，拉动一段时间后，船从点B到达点D，此时绳长CD＝5 m。船向岸边移动了多少米？ 【题型10】（拓展）立体图形表面与内部的最短距离 立体图形表面上两点间的最短路线，要先把曲面或几个面展开成平面，再用“两点之间线段最短”与勾股定理计算；长方体内部的最长线段，要连续用两次勾股定理。 例1　如图，圆柱形储油罐的高为16 m，底面周长为30 m。工人要在罐的外侧面修一段旋梯，从罐底的点A出发，绕油罐侧面一圈，到达点A正上方罐顶的点B。旋梯最短为多少米？ 【分析】沿过点A的母线把侧面剪开展成长方形，绕一圈的路线就变成长方形的一条对角线。 【解答】侧面展开图是一个长方形，长等于底面周长30 m，宽等于油罐的高16 m。 从A绕一圈到B，在展开图上连成一条线段，它是这个长方形的对角线，此时路线最短。 由勾股定理，旋梯的最短长度的平方为30²＋16²＝900＋256＝1156，34²＝1156，所以最短为34 m。 答：旋梯最短为34 m。 【方法小结】曲面上的最短路线先“展开”再“连线”；绕一圈时，长方形的长取整个底面周长，而不是直径。 题型10　变式：盒内最长木棒、长方体表面爬行与台阶展开 三道变式分别练：长方体内部的最长线段（连续两次勾股定理）、长方体表面三种展开路线的比较、以及把台阶的各级台面展开成一个长方形。 变式1　如图，一个长方体包装盒的长AB＝80 cm，宽BC＝40 cm，高AE＝10 cm，则盒内能放进的木棒最长为____cm（木棒粗细不计）。 变式2　如图，一块长方体木块的长AB＝12 cm，宽BC＝4 cm，高AE＝5 cm。一只蚂蚁从顶点A出发，沿木块表面爬到顶点G，求它爬行的最短路程。 变式3　如图是一段四级台阶，每级台阶高0.3 m、宽0.5 m、长6 m。一只壁虎从台阶最下端的点A出发，沿台阶表面爬到最上端的点B（A、B是台阶两端相对的顶点），它爬行的最短路程为____m。 　易错专练 本章的失分集中在六处：没分清斜边就套公式、逆定理不找最长边、在不是直角三角形的图形里用勾股定理、高的位置只画一种、把非整数当勾股数、以及最短路线只试一种展开。下面七题各守一处，先独立做，再对照答案里的错解与错因。 易错1　一块直角三角形木板有两条边长4 dm和5 dm，要沿它的三条边都包上铝条，铝条总长是多少分米？ 易错2　在△ABC中，BC＝125，CA＝44，AB＝117，判断△ABC的形状；若有直角，指出哪个角是直角。 易错3　在△ABC中，AB＝17，BC＝144。(1)AC的长能确定吗？(2)若再添加条件∠B＝90°，求AC的长。 易错4　△ABC中，AD是BC边上的高，AD＝9，AB＝41，AC＝15，求△ABC的面积。 易错5　判断2.0，2.1，2.9是不是一组勾股数，再判断以这三个数为边长的三角形按角分类属于哪一类。 易错6　如图，一个长方体盒子的三条棱AB＝6，BC＝3，AE＝2，求沿盒子表面从A走到G的最短路线的长。 易错7　如图，数轴上点A表示－1，点C表示2，BC⊥数轴于点C，BC＝2。以点A为圆心、AB为半径画弧，交数轴正半轴于点P，则点P表示的数是____。 　课后作业（一）基础巩固 下面8题每题只有一个选项符合题意，把字母填进括号里。考查次序是：求边、判定直角三角形、弦图、数轴上的点、逆定理的字母形式、面积、圆柱侧面的最短路线与折断问题。 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8.8，BC＝10.5，则AB的长为（　　）。 A．13.7 B．19.3 C．1.7 D．187.69 2．下列每组数分别是一个三角形三边的长，其中有一个角是直角的是（　　）。 A．2，3，4 B．16，30，34 C．5，6，7 D．10，11，12 3．如图是赵爽弦图，4个全等的直角三角形的两条直角边分别为a、b（a＜b），斜边为c，则中间小正方形的边长为（　　）。 A．a＋b B．c－a C．b－a D．ab 4．在每个小正方形边长都为1的方格纸上，以格点为端点画线段，下列长度中画不出来的是（　　）。 A． B． C． D． 5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a²－b²＝c²，则（　　）。 A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．△ABC不是直角三角形 6．如图，∠C＝90°，AB＝10.1，AC＝2，则△ABC的面积为（　　）。 A．10.1 B．9.9 C．20.2 D．19.8 7．如图，一只蚂蚁在一根圆柱形蜡烛的侧面上爬行，蜡烛高12 cm、底面周长10 cm，它从下底边上的点A出发，爬到上底边上与A正对的点B（A、B分别在蜡烛相对的两侧），最短要爬（　　）。 A． cm B．22 cm C．13 cm D．17 cm 8．如图，一根竖直的竹竿在离地面0.9 m的点B处折断，竹竿顶端A落在离竹竿底端C 4 m的地面上，则竹竿折断前的高度为（　　）。 A．4.9 m B．4.1 m C．8.1 m D．5 m 　课后作业（二）能力进阶 第9～16题只要求写出结果，不必写过程。这一组把求边、等腰三角形的高、非负数条件、斜边上的高、实际测量、勾股数公式、方向与面积各考一遍。 9．如图，一块直角三角形铁皮ABC的斜边AB长8.5 dm，直角边BC长7.7 dm，另一条直角边AC长____dm。 10．如图，等腰三角形ABC的腰长为29，底边BC＝40，AD是底边上的高，则AD＝____，△ABC的面积为____。 11．若△ABC的三边长a、b、c满足|a－18|＋(b－80)²＋|c－82|＝0，则△ABC的面积为____。 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝4，DB＝9，则CD的长为____。 13．如图，一根长3.4 m的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，竹竿底端B离墙脚O 1.6 m，则竹竿顶端A离地面____m。 14．按m²－n²、2mn、m²＋n²构造勾股数，当m＝4，n＝1时，得到的一组勾股数是____。 15．如图，某人从点A出发向正东走360 m到达点B，再向正北走770 m到达点C，则A、C两点间的距离为____m。 16．两条直角边的长度之和为41、斜边长为29的直角三角形，面积是____。 　课后作业（三）拓展延伸 第17～24题要写出完整的证明或计算过程。这一组把勾股定理与逆定理放进四边形、轴对称、行驶与运动、代数证明中综合使用。 17．如图，AD是△ABC的高。求证：AB²－AC²＝BD²－CD²。 18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝39，AD＝52，BC＝33，CD＝56。求四边形ABCD的面积。 19．如图，A、B两村在一条笔直的水渠l的同侧，A村到l的距离AC＝0.4 km，B村到l的距离BD＝0.5 km，CD＝4 km。要在l上建一个抽水站P，分别向两村铺设管道，使PA＋PB最小。求管道总长的最小值。 20．如图，一条笔直的公路l旁有一所学校P，学校到公路的距离PH＝280 m。一辆货车行驶时，周围530 m以内会受到噪声影响。若货车以每小时18 km的速度沿公路行驶，学校受噪声影响的时间有多长？ 21．如图，△ABC的两边AB与AC相等，D是底边BC上任意一点。求证：AB²－AD²＝BD·DC。 22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15 cm，BC＝25 cm。动点P从C出发沿边CB向B匀速运动，速度为1 cm/s，运动t s时恰好有PA＝PB，求t。 23．如图，锐角三角形ABC的高AD把BC分成BD、CD两段。(1)求证：AB²＝AC²＋BC²－2BC·CD；(2)若AC＝61，BC＝74，CD＝11，求AB的长。 24．如图，放风筝时，手中握线的点E离地面1.5 m，风筝F与点E的水平距离EK为65 m，放出的风筝线EF长97 m（线看作直的）。求风筝离地面的高度。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $