第4章 平面直角坐标系 题型精讲讲义-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

苏科版·八年级上册·第4章 平面直角坐标系·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第4章 平面直角坐标系 题型精讲讲义-2026-2027学年苏科版数学八年级上册 苏科版（2024年版）八年级数学上册　第4章　平面直角坐标系　4.1点的位置与坐标表示　4.2图形变换与坐标变化 含 10 个考点例题　/　共 85 题（变式 40 · 易错 7 · 作业 28）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出平面直角坐标系、x轴（横轴）、y轴（纵轴）、原点、横坐标、纵坐标、有序实数对、象限的含义，会由点写出坐标、由坐标描出点，会用四个象限内点的坐标符号(+，+)(-，+)(-，-)(+，-)和坐标轴上点的特点（x轴上纵坐标为0、y轴上横坐标为0）求字母的值。 2．会求点P(a，b)到x轴的距离|b|、到y轴的距离|a|，会由距离反求坐标；知道垂直于x轴的直线上的点横坐标相同、垂直于y轴的直线上的点纵坐标相同、两坐标轴正半轴夹角平分线上的点横纵坐标相同；会建立合适的平面直角坐标系写出长方形、等腰三角形等图形的顶点坐标，会用割补法求图形面积。 3．会写出点(x，y)向左右、上下平移后的坐标（右加左减、上加下减），会写出关于x轴(a，-b)、关于y轴(-a，b)、关于原点(-a，-b)对称的点的坐标并画出平移、对称后的图形；会用“参照点＋方向＋距离”描述物体的相对位置。 学习重难点 重点：点与有序实数对一一对应；象限与坐标轴上点的坐标特点；点到坐标轴的距离；平移与对称引起的坐标变化；建立合适的平面直角坐标系。 难点：由距离、平行线段长求点时的多种情况；含字母的点按象限或对称关系列方程；平移反求原来的点；割补法求不规则图形面积。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　平面直角坐标系与点的坐标 2 知识点 02　象限与坐标轴上的点 3 知识点 03　建立合适的平面直角坐标系 3 知识点 04　平移与坐标变化 4 知识点 05　对称与坐标变化 5 知识点 06　垂直于坐标轴的直线与角平分线上的点 5 知识点 07　用方向和距离确定位置 6 考点 1　看图读坐标与按坐标描点 7 考点 2　由象限确定坐标的符号 8 考点 3　点在坐标轴上时求坐标 9 考点 4　由坐标求距离与由距离写坐标 10 考点 5　垂直于坐标轴的直线上的点 11 考点 6　根据图形特点建立平面直角坐标系 12 考点 7　平移前后点的坐标变化 14 考点 8　翻折与对称：对称点的坐标规律 15 考点 9　用坐标求图形的面积 16 考点 10　用方向和距离描述相对位置 18 易错专练 20 课后作业（一）基础巩固 21 课后作业（二）能力进阶 22 课后作业（三）拓展延伸 22 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　平面直角坐标系与点的坐标 本章开篇用城市地图引入：把东西向的长安街与南北向的中轴线看成横、纵两条数轴，两线的交点作公共原点，西直门的位置就能用一对有序实数来描述。教材接着给出定义：平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；竖直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向；两轴的公共原点O称为原点。过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上表示的数分别是a，b，有序实数对(a，b)称为点P的坐标，a称为点P的横坐标，b称为点P的纵坐标。建立平面直角坐标系后，平面内的点与有序实数对是一一对应的。换成自己的话：写坐标时横坐标在前、纵坐标在后；描点时先在x轴上找到横坐标对应的位置，再在y轴上找到纵坐标对应的位置，分别过这两处作坐标轴的垂线，交点就是要描的点。即时小例：如图，点K在原点右侧2.5个单位长度、下方1.5个单位长度处，它的坐标写作(2.5，-1.5)。 点P的坐标(a，b)：a是横坐标，b是纵坐标 原点O的坐标是(0，0) 平面内的点 ↔ 有序实数对（一一对应） 小提示：(a，b)与(b，a)通常是两个不同的点，只有a=b时才重合；点的坐标习惯与表示该点的大写字母写在一起，如P(a，b)。 知识点　02　象限与坐标轴上的点 教材规定：两条坐标轴将平面分成的四个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限；坐标轴不属于任何象限。结合本章小结里的符号图，可以读出各部分点的坐标特点：第一象限的点坐标形如(+，+)，第二象限形如(-，+)，第三象限形如(-，-)，第四象限形如(+，-)；x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。用自己的话说，判断一个点落在哪里，只看两个坐标的正负以及是否为0，与数值的大小无关。即时小例：点(-0.4，9)横坐标为负、纵坐标为正，位于第二象限；点(6，0)在x轴的正半轴上，不属于任何象限。 第一象限(+，+)　第二象限(-，+) 第三象限(-，-)　第四象限(+，-) x轴上的点：(a，0)；y轴上的点：(0，b) 小提示：编号按逆时针顺序，右上方是第一象限、左上方是第二象限；坐标轴上的点不属于任何象限，写答案时要写“在x轴上”或“在y轴上”。 知识点　03　建立合适的平面直角坐标系 教材用景区游览图说明：以中心广场为原点，以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向，以小方格的边长为单位长度，就可以写出碑林等景点的坐标；又以线路板上排成正方形的四个焊孔为例，让一个顶点作原点、两条边落在坐标轴上，四个焊孔的坐标都容易写出。教材的结论是：根据实际问题的需要，建立合适的平面直角坐标系，更便于研究和解决问题。换成自己的话，建系要交代三件事——原点在哪里、两条坐标轴的正方向朝哪里、单位长度是多少；同一个图形放进不同的坐标系，各点的坐标会变，但各点之间的相对位置不变。即时小例：如图，长方形EFGH中，EF=5，EH=3，以E为原点、EF所在直线为x轴、EH所在直线为y轴，点G在第一象限，所以G(5，3)，H(0，3)。 建系三要素：原点、正方向、单位长度 常用做法：顶点作原点，边落在坐标轴上 对称图形：对称轴作坐标轴 小提示：题目没有指定建系方法时，答案不唯一，但必须先写清“以哪点为原点、哪条直线为x轴”，再写坐标。 知识点　04　平移与坐标变化 教材让一只甲虫沿网格线爬行，记录每一段的平移方向、平移距离与坐标变化，发现：当一个点沿着与x轴平行的方向移动时，它的纵坐标不变；沿着与y轴平行的方向移动时，它的横坐标不变。具体地说（a，b为正数），把点(x，y)向右平移a个单位长度得到(x+a，y)，向左平移a个单位长度得到(x-a，y)；向上平移b个单位长度得到(x，y+b)，向下平移b个单位长度得到(x，y-b)。图形平移时，图形上每一个点都按同样的方式移动，所以把各顶点的坐标作同样的加减，再依次连接对应点即可。即时小例：如图，点T(-3.5，2)先向右平移6个单位长度到(2.5，2)，再向下平移3.5个单位长度，到达点(2.5，-1.5)。 左右平移：横坐标右加左减，纵坐标不变 上下平移：纵坐标上加下减，横坐标不变 图形平移：各顶点坐标作同样的加减 小提示：已知平移后的点反求原来的点时，要把平移“倒着做”：原来向右平移就向左移回去，原来向下平移就向上移回去。 知识点　05　对称与坐标变化 教材在透明方格纸上描点并翻折，得到结论：如果点P的坐标为(a，b)，那么点P关于x轴对称的点的坐标为(a，-b)，关于y轴对称的点的坐标为(-a，b)，关于坐标原点O对称的点的坐标为(-a，-b)。教材还讨论了两次翻折：点P关于x轴对称得到P'，P'再关于y轴对称得到P''，那么点P与点P''关于原点对称。用自己的话说：关于哪条坐标轴对称，哪一个坐标就不变，另一个坐标变为相反数；至于关于原点的对称点，两个坐标要同时改变符号。即时小例：如图，点P(2，-3.5)关于x轴的对称点是S(2，3.5)，关于y轴的对称点是T(-2，-3.5)，关于原点的对称点是R(-2，3.5)。 关于x轴对称：(a，b) → (a，-b) 关于y轴对称：(a，b) → (-a，b) 关于原点对称：(a，b) → (-a，-b) 小提示：记忆口诀“关于谁对称谁不变，另一个变相反；关于原点全变号”。连续关于x轴、y轴各对称一次，效果等同于关于原点对称。 知识点　06　垂直于坐标轴的直线与角平分线上的点 教材过第一象限内的一点分别作x轴、y轴的垂线，又画出两坐标轴正半轴所成角的平分线，观察后得出：在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线上的点的横坐标都相同，垂直于y轴的直线上的点的纵坐标都相同；两坐标轴正半轴所成角的平分线上的点的横坐标与纵坐标相同。教材例题中，到原点和x轴上另一个定点距离相等的动点，形成一条垂直于x轴的直线，动点的横坐标始终不变。用自己的话说，与y轴平行的线段两端点横坐标相同，长度等于纵坐标之差的绝对值；与x轴平行的线段两端点纵坐标相同，长度等于横坐标之差的绝对值。即时小例：如图，点(-1，3)与点(-1，-2)所连线段垂直于x轴，长为3-(-2)=5；射线l上的点横坐标与纵坐标相同。 垂直于x轴的直线上：横坐标都相同 垂直于y轴的直线上：纵坐标都相同 两正半轴夹角平分线上：横坐标=纵坐标 小提示：已知一个端点和线段长求另一个端点时，另一个端点可能在已知点的两侧，要写出两种情况。 知识点　07　用方向和距离确定位置 本章“数学探究”指出：在日常生活中，除了建立平面直角坐标系确定物体的位置外，还经常用方向和距离来确定物体之间的相对位置。以学校为参照点描述图书馆时，要同时说出图书馆在学校的哪个方向（北偏西多少度）和距离学校多远——一个方向、一个距离，两个数据缺一不可。描述的顺序是：先说参照点，再说方向（先写“北”或“南”，再写偏东或偏西的度数），最后说距离。两地互相描述时，方向相反、距离不变。即时小例：如图，以气象站为参照点，雷达塔在南偏东40°方向、距离气象站3 km处；反过来，气象站在雷达塔的北偏西40°方向、3 km处。 相对位置＝参照点＋方向＋距离 方向角：先“北/南”，后“偏东/偏西” 互看：方向相反，距离不变 小提示：参照点换了，方向也跟着变；“北偏东”与“东偏北”读法不同，初中统一先写“北”或“南”。 【题型1】看图读坐标与按坐标描点 本题型对应教材4.1的例1、例2：看图时两条垂线各读一个数，横坐标写在前；按坐标描点时，从坐标轴上的两个刻度出发各作一条垂线，交点即所求。某个坐标是0，点就在另一条坐标轴上。 例1　如图，平面直角坐标系中标出了A，B，C，D四个点。(1) 写出这四个点的坐标；(2) 在图中描出点E(-2.5，0)与点F(0，3)，并指出它们分别在哪条坐标轴上。 【分析】过每个点分别作x轴、y轴的垂线，两个垂足表示的数就是横坐标和纵坐标；描点时先找坐标轴上对应的位置。 【解答】(1) 过点A作x轴的垂线，垂足表示-3；作y轴的垂线，垂足表示2，所以A(-3，2)。 同理，B(1，4)，C(-4，-3)，D(3，-1)。 (2) 点E的纵坐标为0，在x轴上表示-2.5的位置，即x轴负半轴上原点左侧2.5个单位长度处；点F的横坐标为0，在y轴上表示3的位置。 【方法小结】写坐标“先横后纵”；横坐标为0的点在y轴上，纵坐标为0的点在x轴上。 题型1　变式：有序实数对的读法、由位置写坐标、描点连线求周长与面积、交换坐标 四道变式分别练：看图选出点的坐标、由“左右几个、上下几个单位长度”写坐标、描点连成长方形后算周长和面积，以及交换横、纵坐标后得到的点。 变式1　如图，平面直角坐标系中标出了点N，与点N对应的有序实数对是（　　）。 A．(-3，-2) B．(2，-3) C．(-2，-3) D．(-2，3) 变式2　在平面直角坐标系中，点G在原点左侧3.5个单位长度、上方6个单位长度处，则点G的坐标是____。 变式3　在平面直角坐标系中描出点A(-3，-2)，B(4，-2)，C(4，2)，D(-3，2)，并依次连接AB，BC，CD，DA，得到长方形ABCD。求这个长方形的周长与面积。 变式4　把点P(m，n)的横坐标与纵坐标交换位置，得到点Q(n，m)。若P(5，-2)，则点Q的坐标是____，点Q在第____象限。 【题型2】由象限确定坐标的符号 由象限写符号、由符号定象限是本章最常用的翻译：一(+，+)、二(-，+)、三(-，-)、四(+，-)。坐标里有字母时，把“在第几象限”改写成两个不等式，解出范围后按题目要求取值。 例1　已知点P(2a-6，a+1)在第二象限，且a为整数。求a的值及对应的点P的坐标。 【分析】第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，由此得到关于a的两个不等式，再在范围内取整数。 【解答】由题意，2a-6<0，得a<3；a+1>0，得a>-1。所以-1<a<3，整数a为0，1，2。 当a=0时，2×0-6=-6，0+1=1，P(-6，1)； 当a=1时，2×1-6=-4，1+1=2，P(-4，2)； 当a=2时，2×2-6=-2，2+1=3，P(-2，3)。 【方法小结】“在某象限”翻译成两个坐标的符号条件；求出范围后若要求整数，要逐个代回写出点的坐标。 题型2　变式：含根号的坐标、由已知象限推出新点的象限、坐标之积为0、交换并变号后的象限 四道变式分别练：带无理数的坐标看符号、由一个点所在象限推出另一个点所在象限、横纵坐标之积为0的含义，以及同一组字母组成不同的点。 变式1　在点(-4，，，-1)，(0，-7)，(-1.5，-4)中，位于第四象限的点是（　　）。 A．(-4， B．，-1) C．(0，-7) D．(-1.5，-4) 变式2　已知A(m，n)位于第三象限，由此可知B(n-1，-m)位于第____象限。 变式3　横坐标与纵坐标的乘积为0的点，一定落在____上。 变式4　已知点P(a，b)在第二象限，分别求点Q(b，a)与点R(-a，-b)所在的象限。 【题型3】点在坐标轴上时求坐标 题目说点“在横轴上”，就让它的纵坐标等于0；说“在纵轴上”，就让横坐标等于0。列出的是一元一次方程，求出字母后别忘了代回去把两个坐标都算出来。 例1　已知点P(3m-6，m+4)。(1) 点P在横轴上时，求m的值和点P的坐标；(2) 点P在纵轴上时，先求出点P的坐标，再求它到原点的距离。 【分析】落在横轴（x轴）上看纵坐标，落在纵轴（y轴）上看横坐标，令它等于0。 【解答】(1) 点P在x轴上，纵坐标为0：m+4=0，解得m=-4。 横坐标为3×(-4)-6=-18，所以P(-18，0)。 (2) 点P在y轴上，横坐标为0：3m-6=0，解得m=2。 纵坐标为2+4=6，所以P(0，6)，它与原点相距6个单位长度。 【方法小结】“在x轴上→纵坐标为0”“在y轴上→横坐标为0”，千万别把两者对调；y轴上的点到原点的距离等于纵坐标的绝对值。 题型3　变式：由在y轴上选坐标、由在x轴上求字母、负半轴上的点、两轴上各一点连成的线段长 四道变式分别练：点在y轴上时选出坐标、点在x轴上时求字母并写坐标、由“负半轴”与到原点的距离写坐标，以及两条坐标轴上各一点之间的距离（用到勾股定理）。 变式1　y轴上有一点A，它的坐标可写作(a+2，a-6)，那么点A的坐标为（　　）。 A．(-8，0) B．(0，8) C．(8，0) D．(0，-8) 变式2　点B(2-n，4n+2)在x轴上，则n=____，点B的坐标为____。 变式3　点C在y轴的负半轴上，且到原点的距离是7，则点C的坐标是____。 变式4　点E(k-1，2k+10)落在x轴上，点F(h-4，2h)落在y轴上，线段EF与两条坐标轴围成一个直角三角形。求斜边EF的长和这个三角形的面积。 【题型4】由坐标求距离与由距离写坐标 从点向x轴作的垂线段是竖直的，长度由纵坐标决定；向y轴作的垂线段是水平的，长度由横坐标决定，所以(a，b)离x轴|b|、离y轴|a|。倒过来由距离写坐标时，符号靠象限判断，没交代象限就要分情况。 例1　第四象限内有一点P，它与x轴相距4个单位长度，与y轴相距2.5个单位长度。(1) 写出点P的坐标；(2) 若点Q到x轴、y轴的距离分别与点P相同，且Q与P不重合，写出点Q所有可能的坐标。 【分析】到x轴的距离决定纵坐标的绝对值，到y轴的距离决定横坐标的绝对值，符号由象限决定。 【解答】(1) 点P在第四象限，横坐标为正、纵坐标为负。到y轴的距离2.5是横坐标的绝对值，到x轴的距离4是纵坐标的绝对值，所以P(2.5，-4)。 (2) 点Q的横坐标是2.5或-2.5，纵坐标是4或-4，共有四种组合，去掉与P重合的(2.5，-4)， 点Q的坐标为(2.5，4)或(-2.5，4)或(-2.5，-4)。 【方法小结】先把“距离”翻译成“坐标的绝对值”，再由象限确定符号；没有给象限时，一个距离对应两个符号。 题型4　变式：到y轴的距离、含字母的横坐标、到两轴距离相等、距离成倍数且和给定 四道变式分别练：判断到y轴的距离、由到y轴的距离求字母（两种情况）、到两坐标轴距离相等列绝对值方程，以及到两轴距离成倍数关系时求点。 变式1　点T(-7，-2.4)到y轴的距离是（　　）。 A．-7 B．2.4 C．7 D．-2.4 变式2　点P(2a-1，5)到y轴的距离是3，则a=____。 变式3　点M(m+3，2m)与x轴、y轴的距离一样远，则点M的坐标为____。 变式4　第二象限内的点N离x轴的距离恰好是离y轴距离的3倍，两个距离加起来是8，求点N的坐标。 【题型5】垂直于坐标轴的直线上的点 垂直于y轴（平行于x轴）的直线上各点纵坐标相同，垂直于x轴（平行于y轴）的直线上各点横坐标相同；两坐标轴正半轴所成角的平分线上的点横、纵坐标相同。已知线段长找端点时注意两侧。 例1　已知点A(-3，2)，点B(m，2m-4)，且直线AB与x轴平行。(1) 求m的值及点B的坐标；(2) 求线段AB的长。 【分析】直线AB与x轴平行，A，B两点的纵坐标相同；线段长等于横坐标之差的绝对值。 【解答】(1) 由题意，2m-4=2，解得m=3，所以B(3，2)。 (2) AB=3-(-3)=6。 【方法小结】“平行于x轴→纵坐标相等”，“平行于y轴→横坐标相等”；求长度用“大减小”。 题型5　变式：与y轴平行的线段找端点、由平行于y轴求字母、角平分线上的点、到两点距离相等的点 四道变式分别练：已知线段平行于y轴及长度找另一端点、由两点连线平行于y轴求字母、两坐标轴正半轴夹角平分线上的点，以及到原点和x轴上一点距离相等的点。 变式1　在方格纸上画一条与y轴平行的线段CD，端点C(5，-1)，长为4个单位长度，则另一端点D的坐标为____。 变式2　点E(a-1，4)与点F(2，-3)的连线与y轴平行，则a的值是（　　）。 A．3 B．-1 C．5 D．2 变式3　若点P(2k+1，7-k)在两坐标轴正半轴所成角的平分线上，则k=____，点P的坐标为____。 变式4　在平面直角坐标系中，点B的坐标为(-6，0)，动点Q到原点O与到点B的距离相等，且△OBQ的面积为15。求点Q的坐标。 【题型6】根据图形特点建立平面直角坐标系 建系没有唯一答案，但要选让坐标最好写的方法：让顶点或对称中心作原点，让边或对称轴落在坐标轴上。写坐标前先说清原点、坐标轴和正方向；顶点不在格点上时，借助勾股定理求线段长。 例1　如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=5。(1) 以点B为原点，BC所在直线为x轴、BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系（点C在x轴正半轴上，点A在y轴正半轴上），写出四个顶点的坐标；(2) 若改以长方形两条对角线的交点为原点，x轴与BC平行、y轴与AB平行，点D在第一象限，写出四个顶点的坐标。 【分析】长方形的边分别平行于两坐标轴，顶点的坐标由边长决定；换原点后，坐标跟着变，但边长不变。 【解答】(1) 点B是原点，B(0，0)；BC=5，C(5，0)；BA=8，A(0，8)；CD∥BA且CD=8，D(5，8)。 (2) 对角线交点到左右两边的距离都是5÷2=2.5，到上下两边的距离都是8÷2=4。 点D在第一象限，D(2.5，4)；A在第二象限，A(-2.5，4)；B在第三象限，B(-2.5，-4)；C在第四象限，C(2.5，-4)。 【方法小结】同一个长方形，以顶点为原点时坐标都非负，以中心为原点时四个顶点关于坐标轴、原点对称；选哪种看题目需要。 题型6　变式：等腰三角形以底边中点为原点、中心在原点的正方形、由两处已知坐标推出第三处、直角梯形 四道变式分别练：等腰三角形的对称轴作y轴、正方形的中心作原点、在只画网格的地图上由两个已知坐标确定原点，以及以直角顶点为原点写直角梯形的顶点坐标。 变式1　如图是一个等腰三角形屋架ABC，两根斜梁AB=AC=10 m，跨度BC=12 m。取跨度BC的中点作原点，BC所在直线作x轴，屋顶A在x轴上方，单位长度为1 m。求A，B，C三点的坐标。 变式2　正方形EFGH的边长为4，它的中心在原点，各边分别与坐标轴平行，点E在第二象限，点G在第四象限，则点E的坐标为____，点G的坐标为____。 变式3　如图，湿地公园导览图的网格线间距都是1个单位长度。若游客中心的坐标为(-1，2)，码头的坐标为(3，-1)，则观景台的坐标为____。 变式4　直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4，AD=3，BC=6。让直角顶点B与原点重合，下底BC落在x轴正半轴上，腰BA落在y轴正半轴上。写出四个顶点的坐标，并求腰CD的长。 【题型7】平移前后点的坐标变化 左右平移改横坐标（右加左减），上下平移改纵坐标（上加下减）；图形平移时每个顶点作同样的变化。已知对应点求平移方式，就用“新坐标减旧坐标”。 例1　如图，在网格坐标系里画了一个风筝形状的三角形，三个角的位置是A(-4，1)，B(-1，-2)，C(-2，3)。(1) 把△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△DEF（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），画出△DEF并写出它的顶点坐标；(2) 若△ABC内一点P(x，y)经过同样的平移，写出其对应点的坐标。 【分析】向右平移5个单位长度，横坐标加5；向下平移2个单位长度，纵坐标减2。 【解答】(1) 点A(-4，1)：横坐标-4+5=1，纵坐标1-2=-1，得D(1，-1)。 点B(-1，-2)：-1+5=4，-2-2=-4，得E(4，-4)。 点C(-2，3)：-2+5=3，3-2=1，得F(3，1)。描出D，E，F并依次连接，得到△DEF。 (2) 点P(x，y)平移后对应点的坐标为(x+5，y-2)。 【方法小结】图形平移先算顶点、再连线；平移不改变图形的形状和大小。 题型7　变式：两次平移后的点、由平移后的点反求原来的点、编队航行、平移后落在坐标轴上 四道变式分别练：连续两次平移后的坐标、把平移“倒着做”求原来的点、保持相对位置不变的编队运动，以及让端点平移到坐标轴上时求平移方式。 变式1　点P(-2，5)向左移动3个单位长度后，又向下移动6个单位长度，最终位置的坐标是（　　）。 A．(1，-1) B．(-5，11) C．(-5，-1) D．(1，11) 变式2　点M先向上平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点N(-3，2)，则点M的坐标是____。 变式3　两艘巡逻船保持相对位置不变编队航行，其中一艘从点G(-6，1)驶到点G'(2，4)，那么另一艘从点H(-3，-2)驶到的位置坐标是____。 变式4　线段AB的两个端点为A(2，5)，B(-1，1)。平移线段AB，使点A的对应点A'落在x轴上，点B的对应点B'落在y轴上。求点A'，B'的坐标，并说明平移方式。 【题型8】翻折与对称：对称点的坐标规律 沿哪条坐标轴翻折，那条轴方向上的坐标保持原样，另一个坐标变号；关于原点对称则两个坐标一起变号。已知两点对称求字母，就逐个坐标写出“相等”或“和为0”的方程。 例1　点A(2a+1，-4)与点B(5，b-3)满足下列对称关系时，分别求字母的值：(1) A，B关于x轴对称，求a，b；(2) A，B关于原点对称，求a+b。 【分析】关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数。 【解答】(1) 横坐标相等：2a+1=5，得a=2；纵坐标互为相反数：b-3=4，得b=7。 (2) 横坐标互为相反数：2a+1=-5，得a=-3；纵坐标互为相反数：b-3=4，同样得b=7。 所以a+b=-3+7=4。 【方法小结】先判断“哪一对坐标相等、哪一对互为相反数”，再列方程；关于原点对称时两对都互为相反数。 题型8　变式：写关于y轴的对称点、同时写两种对称点、先后两次对称反求原来的点、对称点间的距离与到原点的距离 四道变式分别练：直接写关于y轴的对称点、带根号的点关于原点与x轴的对称点、由两次对称后的结果反推原来的点，以及由对称求字母后计算距离。 变式1　在画有平面直角坐标系的透明纸上描出点(-6，1)，再把纸沿y轴对折，与这个点重合的点的坐标是（　　）。 A．(6，-1) B．(-6，-1) C．(6，1) D．(-1，6) 变式2　点P(-5，关于原点对称的点的坐标是____，关于x轴对称的点的坐标是____。 变式3　点Q先关于x轴对称，所得的点再关于y轴对称，最后得到点(6，-1)，则点Q的坐标是____。 变式4　已知点E(15，m)与点F(n，-8)关于y轴对称，求线段EF的长和点E到原点的距离。 【题型9】用坐标求图形的面积 有一边平行于坐标轴时，直接用“底×高÷2”，底和高都是坐标之差的绝对值；各边都不平行于坐标轴时，用割补法：补成边平行于坐标轴的长方形，再减去周围的直角三角形。 例1　如图，学校在坐标纸上规划一块三角形花坛ABC，三个顶点A(-3，-2)，B(3，1)，C(0，4)都在格点上，每个单位长度表示1 m。求花坛的面积。 【分析】三边都不平行于坐标轴，用长方形把△ABC围起来，再减去三个直角三角形。 【解答】过A，B，C作坐标轴的平行线，围成的长方形横向长3-(-3)=6，纵向长4-(-2)=6，面积为6×6=36。 长方形内△ABC之外有三个直角三角形：以AB为斜边的，两直角边为6和3，面积6×3÷2=9；以BC为斜边的，两直角边为3和3，面积3×3÷2=4.5；以CA为斜边的，两直角边为3和6，面积3×6÷2=9。 所以花坛的面积为36-9-4.5-9=13.5（m²）。 【方法小结】割补法的关键是找准每个直角三角形的两条直角边，它们都等于两个顶点横坐标之差或纵坐标之差的绝对值。 题型9　变式：底边在x轴上的三角形、已知面积求y轴上的点、补形求四边形面积、已知面积求角平分线上的点 四道变式分别练：底在坐标轴上直接算面积、已知面积反求坐标轴上的点（两种位置）、用长方形减三角形求四边形面积，以及已知面积确定角平分线上的点。 变式1　在坐标纸上（单位长度为1 cm），小亮以A(-1，0)，B(7，0)，C(3，-5)为顶点剪下一块三角形纸片，这块纸片的面积是（　　）cm²。 A．40 B．20 C．15 D．17.5 变式2　原点O、点B(5，0)与y轴上的点C组成的三角形面积是10，则点C的坐标为____。 变式3　如图，一块菜地的四个角在坐标系中分别是M(0，0)，N(5，0)，P(6，3)，Q(2，5)，单位长度为1 m。求这块菜地的面积。 变式4　点C(m，m)在第一象限，它与x轴上的两点A(-1，0)，B(3，0)构成面积为6的三角形，求点C的坐标。 【题型10】用方向和距离描述相对位置 用方向和距离描述位置，先说参照点，再说方向，最后说距离；两地互看时方向相反、距离不变。把方向和距离放进坐标系后，东西、南北方向上的距离就是坐标的绝对值。 例1　如图，以港口O为参照点，货轮A和渔船B的位置已在图中标出。(1) 分别用方向和距离描述货轮A、渔船B相对于港口O的位置；(2) 以货轮A为参照点，描述港口O的位置。 【分析】方向角从正北或正南方向量起；换参照点后方向变为相反方向，距离不变。 【解答】(1) 从图中读出：货轮A在港口O北偏东35°方向，距离16 km；渔船B在港口O南偏西25°方向，距离10 km。 (2) “北偏东35°”的相反方向是“南偏西35°”，距离仍是16 km，所以港口O在货轮A南偏西35°方向、距离货轮16 km处。 【方法小结】描述相对位置三要素：参照点、方向、距离；互看时“北↔南、东↔西”对调，度数不变。 题型10　变式：互看时的方向、看图说方向与距离、沿网格线行走的坐标路线、方向与坐标结合求距离 四道变式分别练：换参照点后的方向、从方位图中读出方向与距离、用坐标描述一条沿网格线的路线，以及把正东、正南方向的位置写成坐标后求距离。 变式1　小颖家在学校的南偏东20°方向、距离学校1.2 km处，则学校在小颖家的（　　）。 A．北偏西20°方向、1.2 km处 B．南偏东20°方向、1.2 km处 C．北偏东20°方向、1.2 km处 D．北偏西70°方向、1.2 km处 变式2　如图，以电视塔为参照点，科技馆在电视塔的____方向、距离电视塔____处。 变式3　如图，某小区示意图画在网格上，快递柜位于原点，x轴指向正东、y轴指向正北，小方格边长为1个单位长度。快递员从快递柜出发，沿网格线先向东走4个单位长度、再向北走3个单位长度到达A楼，接着向西走6个单位长度到达B楼，最后向南走5个单位长度到达C楼。写出A，B，C三栋楼的坐标，并求快递员一共走了多少个单位长度。 变式4　海图上把灯塔O记作(0，0)，向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，每个单位长度代表1 km。船P在灯塔的正西方向9 km处，船Q在灯塔的正南方向12 km处。(1) 写出P，Q两船的坐标；(2) 求两船之间的距离。 　易错专练 下面七道题都是作业里反复出错的地方，先独立写出结果，再看答案区的“错解示例—错因—正解—提醒”四步，对照自己属于哪一种错误：轴上的点当成象限内的点、横纵坐标看反、漏写情况、翻折改错坐标、平移反推方向没改。 易错1　点R(0，-6)位于第几象限或哪条坐标轴上？ 易错2　在坐标纸上，从点A(3，-8)向y轴作垂线段，这条垂线段的长是多少？ 易错3　已知点B与x轴相距2个单位长度，与y轴相距5个单位长度，但不知道它在哪个象限，写出点B所有可能的坐标。 易错4　线段GH与x轴平行，端点G(-4，6)，GH=7，求端点H的坐标。 易错5　小丽在坐标纸上描出点M(-9，2)，把坐标纸沿横轴对折，点M落在点N处，写出点N的坐标。 易错6　点N(a+3，a-1)落在横轴上，求字母a的值，并写出点N的坐标。 易错7　点E向左平移2个单位长度后得到点(1，-3)，求点E的坐标。 　课后作业（一）基础巩固 下面8题每题只有一个选项符合题意，把字母填进括号里。考查次序是象限、坐标轴上的点与对称、到原点的距离、平移、原点对称求字母、平行于坐标轴的直线、建系写坐标、平移与对称的组合。 1．与点，-9)落在同一个象限的点是（　　）。 A．，9) B．(-3，0.5) C．(-0.1，-7) D．(4， 2．y轴上有一点P(m，4)，把它沿x轴翻折后得到的点是（　　）。 A．(0，-4) B．(4，0) C．(0，4) D．(-4，0) 3．从原点O沿直线走到点Q(5，-12)，所走的路程是（　　）个单位长度。 A．5 B．12 C．13 D．17 4．将点A(-1，-3)向右平移4个单位长度后得到点B，则点B的坐标是（　　）。 A．(-5，-3) B．(-1，1) C．(-1，-7) D．(3，-3) 5．点F(b，-3)恰好是点E(2，a)关于坐标原点的对称点，由此算出a-b等于（　　）。 A．5 B．-5 C．1 D．-1 6．在点A(-2，1)，B(-2，-4)，C(3，1)中任取两点连线，所连线段与x轴平行的是（　　）。 A．A和B B．A和C C．B和C D．没有这样的两点 7．正方形ABCD的边长为3，点A(1，1)，AB∥x轴，点B在点A右侧，点D在点A上方，则点C的坐标是（　　）。 A．(4，1) B．(1，4) C．(3，3) D．(4，4) 8．把点P(3，-2)先向上平移5个单位长度，再作关于y轴的对称点，得到的点的坐标是（　　）。 A．(3，3) B．(-3，-7) C．(3，-3) D．(-3，3) 　课后作业（二）能力进阶 第9～19题只要求写出结果。这一组把象限与距离、对称、平行线段、平移、非负数、角平分线、面积、不等式与方向合在一起用。 9．第二象限内的点P(a-4，3a)与两条坐标轴等距，则a=____。 10．若点K与点(-3，4)关于y轴对称，则点K到x轴的距离为____，到原点的距离为____。 11．点A(m，-2)与点B(6，n)所连的线段与x轴平行，长为5，则m=____。 12．把点P(2，-3)向左平移a个单位长度后，所得的点恰好落在y轴上，则a=____。 13．若|x-2|+=0，则点(x，y)关于原点对称的点的坐标是____。 14．点M(3，t)在第四象限，且到x轴的距离为6，则点M关于x轴对称的点的坐标是____。 15．三角形A'B'C'是由三角形ABC平移得到的，点A(1，-4)的对应点是A'(-2，-1)。若点B(3，0)，则它的对应点B'的坐标是____。 16．坐标之和为10的点中，有一个恰好落在两坐标轴正半轴所成角的平分线上，它的坐标为____。 17．由x轴上的两点A(-5，0)，B(1，0)和y轴负半轴上的点C(0，-4)围成的三角形，面积为____。 18．若点P(2-m，3m+6)在x轴下方、y轴右侧，则m的取值范围是____。 19．某城区地图上，钟楼记作(0，0)，x轴指向正东、y轴指向正北，每个单位长度代表1 km。书店位于(0，-2.5)，那么书店在钟楼的正____方。 　课后作业（三）拓展延伸 第20～28题要写出完整的计算或求解过程。这一组把坐标轴上的点、对称作图、等腰三角形的顶点、平移规律、改变原点、对称求字母、平移作图、方向与距离、长方形的顶点合在一起用。 20．已知点P(2m+4，m-1)。求满足下列条件的点P的坐标：(1) 点P在y轴上；(2) 点P的纵坐标比横坐标大3。 21．如图，△DEF的顶点坐标分别为D(-4，3)，E(-1，1)，F(-2，-2)。(1) 画出△DEF关于y轴对称的△PQR（点D，E，F的对应点分别为P，Q，R），并写出P，Q，R的坐标；(2) 把△DEF每个顶点的横、纵坐标都乘-1，写出所得三个点的坐标。 22．等腰三角形ABC的底边AB两端点为A(-2，4)，B(6，4)，顶点C在AB下方，且△ABC的面积为20。求顶点C的坐标。 23．点P从原点出发，第1次向右平移1个单位长度，第2次向上平移2个单位长度，第3次向左平移3个单位长度，第4次向下平移4个单位长度，第5次再向右平移……方向按“右、上、左、下”循环，每次平移的距离比前一次多1个单位长度。求第8次平移后点P的坐标。 24．在某平面直角坐标系中，鸡舍的坐标为(2，-1)，鱼塘的坐标为(-3，2)，果园的坐标为(4，5)。若改以鱼塘为原点，坐标轴的方向和单位长度都不变，求鸡舍与果园的新坐标。 25．若M(2a-b，5+a)，N(2b-1，-a+b)两点沿x轴翻折后恰好重合，求a，b以及点M的坐标。 26．如图，△ABC的顶点A(-3，-1)，B(0，-3)，C(-1，1)。将△ABC平移，使点A移到点A'(2，2)，画出平移后的△A'B'C'，并写出点B'，C'的坐标。 27．救援指挥屏上，救援中心O位于坐标原点，横轴朝东、纵轴朝北，单位长度为1 km。求助船A显示为(20，0)，救援艇B在救援中心正南方向21 km处。(1) 写出点B的坐标；(2) 求A，B之间的距离。 28．在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB∥x轴，A(-1，2)，AB=4，AD=3，点B在点A右侧，点D在点A下方。(1) 求B，C，D三点的坐标；(2) 若把长方形ABCD整体向左平移4个单位长度，求点C移动后的坐标。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版·八年级上册·第4章 平面直角坐标系·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第4章 平面直角坐标系 题型精讲讲义-2026-2027学年苏科版数学八年级上册 苏科版（2024年版）八年级数学上册　第4章　平面直角坐标系　4.1点的位置与坐标表示　4.2图形变换与坐标变化 含 10 个考点例题　/　共 85 题（变式 40 · 易错 7 · 作业 28）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出平面直角坐标系、x轴（横轴）、y轴（纵轴）、原点、横坐标、纵坐标、有序实数对、象限的含义，会由点写出坐标、由坐标描出点，会用四个象限内点的坐标符号(+，+)(-，+)(-，-)(+，-)和坐标轴上点的特点（x轴上纵坐标为0、y轴上横坐标为0）求字母的值。 2．会求点P(a，b)到x轴的距离|b|、到y轴的距离|a|，会由距离反求坐标；知道垂直于x轴的直线上的点横坐标相同、垂直于y轴的直线上的点纵坐标相同、两坐标轴正半轴夹角平分线上的点横纵坐标相同；会建立合适的平面直角坐标系写出长方形、等腰三角形等图形的顶点坐标，会用割补法求图形面积。 3．会写出点(x，y)向左右、上下平移后的坐标（右加左减、上加下减），会写出关于x轴(a，-b)、关于y轴(-a，b)、关于原点(-a，-b)对称的点的坐标并画出平移、对称后的图形；会用“参照点＋方向＋距离”描述物体的相对位置。 学习重难点 重点：点与有序实数对一一对应；象限与坐标轴上点的坐标特点；点到坐标轴的距离；平移与对称引起的坐标变化；建立合适的平面直角坐标系。 难点：由距离、平行线段长求点时的多种情况；含字母的点按象限或对称关系列方程；平移反求原来的点；割补法求不规则图形面积。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　平面直角坐标系与点的坐标 2 知识点 02　象限与坐标轴上的点 3 知识点 03　建立合适的平面直角坐标系 3 知识点 04　平移与坐标变化 4 知识点 05　对称与坐标变化 5 知识点 06　垂直于坐标轴的直线与角平分线上的点 5 知识点 07　用方向和距离确定位置 6 考点 1　看图读坐标与按坐标描点 7 考点 2　由象限确定坐标的符号 8 考点 3　点在坐标轴上时求坐标 9 考点 4　由坐标求距离与由距离写坐标 10 考点 5　垂直于坐标轴的直线上的点 10 考点 6　根据图形特点建立平面直角坐标系 11 考点 7　平移前后点的坐标变化 13 考点 8　翻折与对称：对称点的坐标规律 14 考点 9　用坐标求图形的面积 15 考点 10　用方向和距离描述相对位置 16 易错专练 18 课后作业（一）基础巩固 18 课后作业（二）能力进阶 19 课后作业（三）拓展延伸 20 参考答案与解析 21 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　平面直角坐标系与点的坐标 本章开篇用城市地图引入：把东西向的长安街与南北向的中轴线看成横、纵两条数轴，两线的交点作公共原点，西直门的位置就能用一对有序实数来描述。教材接着给出定义：平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；竖直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向；两轴的公共原点O称为原点。过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上表示的数分别是a，b，有序实数对(a，b)称为点P的坐标，a称为点P的横坐标，b称为点P的纵坐标。建立平面直角坐标系后，平面内的点与有序实数对是一一对应的。换成自己的话：写坐标时横坐标在前、纵坐标在后；描点时先在x轴上找到横坐标对应的位置，再在y轴上找到纵坐标对应的位置，分别过这两处作坐标轴的垂线，交点就是要描的点。即时小例：如图，点K在原点右侧2.5个单位长度、下方1.5个单位长度处，它的坐标写作(2.5，-1.5)。 点P的坐标(a，b)：a是横坐标，b是纵坐标 原点O的坐标是(0，0) 平面内的点 ↔ 有序实数对（一一对应） 小提示：(a，b)与(b，a)通常是两个不同的点，只有a=b时才重合；点的坐标习惯与表示该点的大写字母写在一起，如P(a，b)。 知识点　02　象限与坐标轴上的点 教材规定：两条坐标轴将平面分成的四个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限；坐标轴不属于任何象限。结合本章小结里的符号图，可以读出各部分点的坐标特点：第一象限的点坐标形如(+，+)，第二象限形如(-，+)，第三象限形如(-，-)，第四象限形如(+，-)；x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。用自己的话说，判断一个点落在哪里，只看两个坐标的正负以及是否为0，与数值的大小无关。即时小例：点(-0.4，9)横坐标为负、纵坐标为正，位于第二象限；点(6，0)在x轴的正半轴上，不属于任何象限。 第一象限(+，+)　第二象限(-，+) 第三象限(-，-)　第四象限(+，-) x轴上的点：(a，0)；y轴上的点：(0，b) 小提示：编号按逆时针顺序，右上方是第一象限、左上方是第二象限；坐标轴上的点不属于任何象限，写答案时要写“在x轴上”或“在y轴上”。 知识点　03　建立合适的平面直角坐标系 教材用景区游览图说明：以中心广场为原点，以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向，以小方格的边长为单位长度，就可以写出碑林等景点的坐标；又以线路板上排成正方形的四个焊孔为例，让一个顶点作原点、两条边落在坐标轴上，四个焊孔的坐标都容易写出。教材的结论是：根据实际问题的需要，建立合适的平面直角坐标系，更便于研究和解决问题。换成自己的话，建系要交代三件事——原点在哪里、两条坐标轴的正方向朝哪里、单位长度是多少；同一个图形放进不同的坐标系，各点的坐标会变，但各点之间的相对位置不变。即时小例：如图，长方形EFGH中，EF=5，EH=3，以E为原点、EF所在直线为x轴、EH所在直线为y轴，点G在第一象限，所以G(5，3)，H(0，3)。 建系三要素：原点、正方向、单位长度 常用做法：顶点作原点，边落在坐标轴上 对称图形：对称轴作坐标轴 小提示：题目没有指定建系方法时，答案不唯一，但必须先写清“以哪点为原点、哪条直线为x轴”，再写坐标。 知识点　04　平移与坐标变化 教材让一只甲虫沿网格线爬行，记录每一段的平移方向、平移距离与坐标变化，发现：当一个点沿着与x轴平行的方向移动时，它的纵坐标不变；沿着与y轴平行的方向移动时，它的横坐标不变。具体地说（a，b为正数），把点(x，y)向右平移a个单位长度得到(x+a，y)，向左平移a个单位长度得到(x-a，y)；向上平移b个单位长度得到(x，y+b)，向下平移b个单位长度得到(x，y-b)。图形平移时，图形上每一个点都按同样的方式移动，所以把各顶点的坐标作同样的加减，再依次连接对应点即可。即时小例：如图，点T(-3.5，2)先向右平移6个单位长度到(2.5，2)，再向下平移3.5个单位长度，到达点(2.5，-1.5)。 左右平移：横坐标右加左减，纵坐标不变 上下平移：纵坐标上加下减，横坐标不变 图形平移：各顶点坐标作同样的加减 小提示：已知平移后的点反求原来的点时，要把平移“倒着做”：原来向右平移就向左移回去，原来向下平移就向上移回去。 知识点　05　对称与坐标变化 教材在透明方格纸上描点并翻折，得到结论：如果点P的坐标为(a，b)，那么点P关于x轴对称的点的坐标为(a，-b)，关于y轴对称的点的坐标为(-a，b)，关于坐标原点O对称的点的坐标为(-a，-b)。教材还讨论了两次翻折：点P关于x轴对称得到P'，P'再关于y轴对称得到P''，那么点P与点P''关于原点对称。用自己的话说：关于哪条坐标轴对称，哪一个坐标就不变，另一个坐标变为相反数；至于关于原点的对称点，两个坐标要同时改变符号。即时小例：如图，点P(2，-3.5)关于x轴的对称点是S(2，3.5)，关于y轴的对称点是T(-2，-3.5)，关于原点的对称点是R(-2，3.5)。 关于x轴对称：(a，b) → (a，-b) 关于y轴对称：(a，b) → (-a，b) 关于原点对称：(a，b) → (-a，-b) 小提示：记忆口诀“关于谁对称谁不变，另一个变相反；关于原点全变号”。连续关于x轴、y轴各对称一次，效果等同于关于原点对称。 知识点　06　垂直于坐标轴的直线与角平分线上的点 教材过第一象限内的一点分别作x轴、y轴的垂线，又画出两坐标轴正半轴所成角的平分线，观察后得出：在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线上的点的横坐标都相同，垂直于y轴的直线上的点的纵坐标都相同；两坐标轴正半轴所成角的平分线上的点的横坐标与纵坐标相同。教材例题中，到原点和x轴上另一个定点距离相等的动点，形成一条垂直于x轴的直线，动点的横坐标始终不变。用自己的话说，与y轴平行的线段两端点横坐标相同，长度等于纵坐标之差的绝对值；与x轴平行的线段两端点纵坐标相同，长度等于横坐标之差的绝对值。即时小例：如图，点(-1，3)与点(-1，-2)所连线段垂直于x轴，长为3-(-2)=5；射线l上的点横坐标与纵坐标相同。 垂直于x轴的直线上：横坐标都相同 垂直于y轴的直线上：纵坐标都相同 两正半轴夹角平分线上：横坐标=纵坐标 小提示：已知一个端点和线段长求另一个端点时，另一个端点可能在已知点的两侧，要写出两种情况。 知识点　07　用方向和距离确定位置 本章“数学探究”指出：在日常生活中，除了建立平面直角坐标系确定物体的位置外，还经常用方向和距离来确定物体之间的相对位置。以学校为参照点描述图书馆时，要同时说出图书馆在学校的哪个方向（北偏西多少度）和距离学校多远——一个方向、一个距离，两个数据缺一不可。描述的顺序是：先说参照点，再说方向（先写“北”或“南”，再写偏东或偏西的度数），最后说距离。两地互相描述时，方向相反、距离不变。即时小例：如图，以气象站为参照点，雷达塔在南偏东40°方向、距离气象站3 km处；反过来，气象站在雷达塔的北偏西40°方向、3 km处。 相对位置＝参照点＋方向＋距离 方向角：先“北/南”，后“偏东/偏西” 互看：方向相反，距离不变 小提示：参照点换了，方向也跟着变；“北偏东”与“东偏北”读法不同，初中统一先写“北”或“南”。 【题型1】看图读坐标与按坐标描点 本题型对应教材4.1的例1、例2：看图时两条垂线各读一个数，横坐标写在前；按坐标描点时，从坐标轴上的两个刻度出发各作一条垂线，交点即所求。某个坐标是0，点就在另一条坐标轴上。 例1　如图，平面直角坐标系中标出了A，B，C，D四个点。(1) 写出这四个点的坐标；(2) 在图中描出点E(-2.5，0)与点F(0，3)，并指出它们分别在哪条坐标轴上。 【分析】过每个点分别作x轴、y轴的垂线，两个垂足表示的数就是横坐标和纵坐标；描点时先找坐标轴上对应的位置。 【解答】(1) 过点A作x轴的垂线，垂足表示-3；作y轴的垂线，垂足表示2，所以A(-3，2)。 同理，B(1，4)，C(-4，-3)，D(3，-1)。 (2) 点E的纵坐标为0，在x轴上表示-2.5的位置，即x轴负半轴上原点左侧2.5个单位长度处；点F的横坐标为0，在y轴上表示3的位置。 【方法小结】写坐标“先横后纵”；横坐标为0的点在y轴上，纵坐标为0的点在x轴上。 题型1　变式：有序实数对的读法、由位置写坐标、描点连线求周长与面积、交换坐标 四道变式分别练：看图选出点的坐标、由“左右几个、上下几个单位长度”写坐标、描点连成长方形后算周长和面积，以及交换横、纵坐标后得到的点。 变式1　如图，平面直角坐标系中标出了点N，与点N对应的有序实数对是（　　）。 A．(-3，-2) B．(2，-3) C．(-2，-3) D．(-2，3) 变式2　在平面直角坐标系中，点G在原点左侧3.5个单位长度、上方6个单位长度处，则点G的坐标是____。 变式3　在平面直角坐标系中描出点A(-3，-2)，B(4，-2)，C(4，2)，D(-3，2)，并依次连接AB，BC，CD，DA，得到长方形ABCD。求这个长方形的周长与面积。 变式4　把点P(m，n)的横坐标与纵坐标交换位置，得到点Q(n，m)。若P(5，-2)，则点Q的坐标是____，点Q在第____象限。 【题型2】由象限确定坐标的符号 由象限写符号、由符号定象限是本章最常用的翻译：一(+，+)、二(-，+)、三(-，-)、四(+，-)。坐标里有字母时，把“在第几象限”改写成两个不等式，解出范围后按题目要求取值。 例1　已知点P(2a-6，a+1)在第二象限，且a为整数。求a的值及对应的点P的坐标。 【分析】第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，由此得到关于a的两个不等式，再在范围内取整数。 【解答】由题意，2a-6<0，得a<3；a+1>0，得a>-1。所以-1<a<3，整数a为0，1，2。 当a=0时，2×0-6=-6，0+1=1，P(-6，1)； 当a=1时，2×1-6=-4，1+1=2，P(-4，2)； 当a=2时，2×2-6=-2，2+1=3，P(-2，3)。 【方法小结】“在某象限”翻译成两个坐标的符号条件；求出范围后若要求整数，要逐个代回写出点的坐标。 题型2　变式：含根号的坐标、由已知象限推出新点的象限、坐标之积为0、交换并变号后的象限 四道变式分别练：带无理数的坐标看符号、由一个点所在象限推出另一个点所在象限、横纵坐标之积为0的含义，以及同一组字母组成不同的点。 变式1　在点(-4，，，-1)，(0，-7)，(-1.5，-4)中，位于第四象限的点是（　　）。 A．(-4， B．，-1) C．(0，-7) D．(-1.5，-4) 变式2　已知A(m，n)位于第三象限，由此可知B(n-1，-m)位于第____象限。 变式3　横坐标与纵坐标的乘积为0的点，一定落在____上。 变式4　已知点P(a，b)在第二象限，分别求点Q(b，a)与点R(-a，-b)所在的象限。 【题型3】点在坐标轴上时求坐标 题目说点“在横轴上”，就让它的纵坐标等于0；说“在纵轴上”，就让横坐标等于0。列出的是一元一次方程，求出字母后别忘了代回去把两个坐标都算出来。 例1　已知点P(3m-6，m+4)。(1) 点P在横轴上时，求m的值和点P的坐标；(2) 点P在纵轴上时，先求出点P的坐标，再求它到原点的距离。 【分析】落在横轴（x轴）上看纵坐标，落在纵轴（y轴）上看横坐标，令它等于0。 【解答】(1) 点P在x轴上，纵坐标为0：m+4=0，解得m=-4。 横坐标为3×(-4)-6=-18，所以P(-18，0)。 (2) 点P在y轴上，横坐标为0：3m-6=0，解得m=2。 纵坐标为2+4=6，所以P(0，6)，它与原点相距6个单位长度。 【方法小结】“在x轴上→纵坐标为0”“在y轴上→横坐标为0”，千万别把两者对调；y轴上的点到原点的距离等于纵坐标的绝对值。 题型3　变式：由在y轴上选坐标、由在x轴上求字母、负半轴上的点、两轴上各一点连成的线段长 四道变式分别练：点在y轴上时选出坐标、点在x轴上时求字母并写坐标、由“负半轴”与到原点的距离写坐标，以及两条坐标轴上各一点之间的距离（用到勾股定理）。 变式1　y轴上有一点A，它的坐标可写作(a+2，a-6)，那么点A的坐标为（　　）。 A．(-8，0) B．(0，8) C．(8，0) D．(0，-8) 变式2　点B(2-n，4n+2)在x轴上，则n=____，点B的坐标为____。 变式3　点C在y轴的负半轴上，且到原点的距离是7，则点C的坐标是____。 变式4　点E(k-1，2k+10)落在x轴上，点F(h-4，2h)落在y轴上，线段EF与两条坐标轴围成一个直角三角形。求斜边EF的长和这个三角形的面积。 【题型4】由坐标求距离与由距离写坐标 从点向x轴作的垂线段是竖直的，长度由纵坐标决定；向y轴作的垂线段是水平的，长度由横坐标决定，所以(a，b)离x轴|b|、离y轴|a|。倒过来由距离写坐标时，符号靠象限判断，没交代象限就要分情况。 例1　第四象限内有一点P，它与x轴相距4个单位长度，与y轴相距2.5个单位长度。(1) 写出点P的坐标；(2) 若点Q到x轴、y轴的距离分别与点P相同，且Q与P不重合，写出点Q所有可能的坐标。 【分析】到x轴的距离决定纵坐标的绝对值，到y轴的距离决定横坐标的绝对值，符号由象限决定。 【解答】(1) 点P在第四象限，横坐标为正、纵坐标为负。到y轴的距离2.5是横坐标的绝对值，到x轴的距离4是纵坐标的绝对值，所以P(2.5，-4)。 (2) 点Q的横坐标是2.5或-2.5，纵坐标是4或-4，共有四种组合，去掉与P重合的(2.5，-4)， 点Q的坐标为(2.5，4)或(-2.5，4)或(-2.5，-4)。 【方法小结】先把“距离”翻译成“坐标的绝对值”，再由象限确定符号；没有给象限时，一个距离对应两个符号。 题型4　变式：到y轴的距离、含字母的横坐标、到两轴距离相等、距离成倍数且和给定 四道变式分别练：判断到y轴的距离、由到y轴的距离求字母（两种情况）、到两坐标轴距离相等列绝对值方程，以及到两轴距离成倍数关系时求点。 变式1　点T(-7，-2.4)到y轴的距离是（　　）。 A．-7 B．2.4 C．7 D．-2.4 变式2　点P(2a-1，5)到y轴的距离是3，则a=____。 变式3　点M(m+3，2m)与x轴、y轴的距离一样远，则点M的坐标为____。 变式4　第二象限内的点N离x轴的距离恰好是离y轴距离的3倍，两个距离加起来是8，求点N的坐标。 【题型5】垂直于坐标轴的直线上的点 垂直于y轴（平行于x轴）的直线上各点纵坐标相同，垂直于x轴（平行于y轴）的直线上各点横坐标相同；两坐标轴正半轴所成角的平分线上的点横、纵坐标相同。已知线段长找端点时注意两侧。 例1　已知点A(-3，2)，点B(m，2m-4)，且直线AB与x轴平行。(1) 求m的值及点B的坐标；(2) 求线段AB的长。 【分析】直线AB与x轴平行，A，B两点的纵坐标相同；线段长等于横坐标之差的绝对值。 【解答】(1) 由题意，2m-4=2，解得m=3，所以B(3，2)。 (2) AB=3-(-3)=6。 【方法小结】“平行于x轴→纵坐标相等”，“平行于y轴→横坐标相等”；求长度用“大减小”。 题型5　变式：与y轴平行的线段找端点、由平行于y轴求字母、角平分线上的点、到两点距离相等的点 四道变式分别练：已知线段平行于y轴及长度找另一端点、由两点连线平行于y轴求字母、两坐标轴正半轴夹角平分线上的点，以及到原点和x轴上一点距离相等的点。 变式1　在方格纸上画一条与y轴平行的线段CD，端点C(5，-1)，长为4个单位长度，则另一端点D的坐标为____。 变式2　点E(a-1，4)与点F(2，-3)的连线与y轴平行，则a的值是（　　）。 A．3 B．-1 C．5 D．2 变式3　若点P(2k+1，7-k)在两坐标轴正半轴所成角的平分线上，则k=____，点P的坐标为____。 变式4　在平面直角坐标系中，点B的坐标为(-6，0)，动点Q到原点O与到点B的距离相等，且△OBQ的面积为15。求点Q的坐标。 【题型6】根据图形特点建立平面直角坐标系 建系没有唯一答案，但要选让坐标最好写的方法：让顶点或对称中心作原点，让边或对称轴落在坐标轴上。写坐标前先说清原点、坐标轴和正方向；顶点不在格点上时，借助勾股定理求线段长。 例1　如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=5。(1) 以点B为原点，BC所在直线为x轴、BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系（点C在x轴正半轴上，点A在y轴正半轴上），写出四个顶点的坐标；(2) 若改以长方形两条对角线的交点为原点，x轴与BC平行、y轴与AB平行，点D在第一象限，写出四个顶点的坐标。 【分析】长方形的边分别平行于两坐标轴，顶点的坐标由边长决定；换原点后，坐标跟着变，但边长不变。 【解答】(1) 点B是原点，B(0，0)；BC=5，C(5，0)；BA=8，A(0，8)；CD∥BA且CD=8，D(5，8)。 (2) 对角线交点到左右两边的距离都是5÷2=2.5，到上下两边的距离都是8÷2=4。 点D在第一象限，D(2.5，4)；A在第二象限，A(-2.5，4)；B在第三象限，B(-2.5，-4)；C在第四象限，C(2.5，-4)。 【方法小结】同一个长方形，以顶点为原点时坐标都非负，以中心为原点时四个顶点关于坐标轴、原点对称；选哪种看题目需要。 题型6　变式：等腰三角形以底边中点为原点、中心在原点的正方形、由两处已知坐标推出第三处、直角梯形 四道变式分别练：等腰三角形的对称轴作y轴、正方形的中心作原点、在只画网格的地图上由两个已知坐标确定原点，以及以直角顶点为原点写直角梯形的顶点坐标。 变式1　如图是一个等腰三角形屋架ABC，两根斜梁AB=AC=10 m，跨度BC=12 m。取跨度BC的中点作原点，BC所在直线作x轴，屋顶A在x轴上方，单位长度为1 m。求A，B，C三点的坐标。 变式2　正方形EFGH的边长为4，它的中心在原点，各边分别与坐标轴平行，点E在第二象限，点G在第四象限，则点E的坐标为____，点G的坐标为____。 变式3　如图，湿地公园导览图的网格线间距都是1个单位长度。若游客中心的坐标为(-1，2)，码头的坐标为(3，-1)，则观景台的坐标为____。 变式4　直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4，AD=3，BC=6。让直角顶点B与原点重合，下底BC落在x轴正半轴上，腰BA落在y轴正半轴上。写出四个顶点的坐标，并求腰CD的长。 【题型7】平移前后点的坐标变化 左右平移改横坐标（右加左减），上下平移改纵坐标（上加下减）；图形平移时每个顶点作同样的变化。已知对应点求平移方式，就用“新坐标减旧坐标”。 例1　如图，在网格坐标系里画了一个风筝形状的三角形，三个角的位置是A(-4，1)，B(-1，-2)，C(-2，3)。(1) 把△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△DEF（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），画出△DEF并写出它的顶点坐标；(2) 若△ABC内一点P(x，y)经过同样的平移，写出其对应点的坐标。 【分析】向右平移5个单位长度，横坐标加5；向下平移2个单位长度，纵坐标减2。 【解答】(1) 点A(-4，1)：横坐标-4+5=1，纵坐标1-2=-1，得D(1，-1)。 点B(-1，-2)：-1+5=4，-2-2=-4，得E(4，-4)。 点C(-2，3)：-2+5=3，3-2=1，得F(3，1)。描出D，E，F并依次连接，得到△DEF。 (2) 点P(x，y)平移后对应点的坐标为(x+5，y-2)。 【方法小结】图形平移先算顶点、再连线；平移不改变图形的形状和大小。 题型7　变式：两次平移后的点、由平移后的点反求原来的点、编队航行、平移后落在坐标轴上 四道变式分别练：连续两次平移后的坐标、把平移“倒着做”求原来的点、保持相对位置不变的编队运动，以及让端点平移到坐标轴上时求平移方式。 变式1　点P(-2，5)向左移动3个单位长度后，又向下移动6个单位长度，最终位置的坐标是（　　）。 A．(1，-1) B．(-5，11) C．(-5，-1) D．(1，11) 变式2　点M先向上平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点N(-3，2)，则点M的坐标是____。 变式3　两艘巡逻船保持相对位置不变编队航行，其中一艘从点G(-6，1)驶到点G'(2，4)，那么另一艘从点H(-3，-2)驶到的位置坐标是____。 变式4　线段AB的两个端点为A(2，5)，B(-1，1)。平移线段AB，使点A的对应点A'落在x轴上，点B的对应点B'落在y轴上。求点A'，B'的坐标，并说明平移方式。 【题型8】翻折与对称：对称点的坐标规律 沿哪条坐标轴翻折，那条轴方向上的坐标保持原样，另一个坐标变号；关于原点对称则两个坐标一起变号。已知两点对称求字母，就逐个坐标写出“相等”或“和为0”的方程。 例1　点A(2a+1，-4)与点B(5，b-3)满足下列对称关系时，分别求字母的值：(1) A，B关于x轴对称，求a，b；(2) A，B关于原点对称，求a+b。 【分析】关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数。 【解答】(1) 横坐标相等：2a+1=5，得a=2；纵坐标互为相反数：b-3=4，得b=7。 (2) 横坐标互为相反数：2a+1=-5，得a=-3；纵坐标互为相反数：b-3=4，同样得b=7。 所以a+b=-3+7=4。 【方法小结】先判断“哪一对坐标相等、哪一对互为相反数”，再列方程；关于原点对称时两对都互为相反数。 题型8　变式：写关于y轴的对称点、同时写两种对称点、先后两次对称反求原来的点、对称点间的距离与到原点的距离 四道变式分别练：直接写关于y轴的对称点、带根号的点关于原点与x轴的对称点、由两次对称后的结果反推原来的点，以及由对称求字母后计算距离。 变式1　在画有平面直角坐标系的透明纸上描出点(-6，1)，再把纸沿y轴对折，与这个点重合的点的坐标是（　　）。 A．(6，-1) B．(-6，-1) C．(6，1) D．(-1，6) 变式2　点P(-5，关于原点对称的点的坐标是____，关于x轴对称的点的坐标是____。 变式3　点Q先关于x轴对称，所得的点再关于y轴对称，最后得到点(6，-1)，则点Q的坐标是____。 变式4　已知点E(15，m)与点F(n，-8)关于y轴对称，求线段EF的长和点E到原点的距离。 【题型9】用坐标求图形的面积 有一边平行于坐标轴时，直接用“底×高÷2”，底和高都是坐标之差的绝对值；各边都不平行于坐标轴时，用割补法：补成边平行于坐标轴的长方形，再减去周围的直角三角形。 例1　如图，学校在坐标纸上规划一块三角形花坛ABC，三个顶点A(-3，-2)，B(3，1)，C(0，4)都在格点上，每个单位长度表示1 m。求花坛的面积。 【分析】三边都不平行于坐标轴，用长方形把△ABC围起来，再减去三个直角三角形。 【解答】过A，B，C作坐标轴的平行线，围成的长方形横向长3-(-3)=6，纵向长4-(-2)=6，面积为6×6=36。 长方形内△ABC之外有三个直角三角形：以AB为斜边的，两直角边为6和3，面积6×3÷2=9；以BC为斜边的，两直角边为3和3，面积3×3÷2=4.5；以CA为斜边的，两直角边为3和6，面积3×6÷2=9。 所以花坛的面积为36-9-4.5-9=13.5（m²）。 【方法小结】割补法的关键是找准每个直角三角形的两条直角边，它们都等于两个顶点横坐标之差或纵坐标之差的绝对值。 题型9　变式：底边在x轴上的三角形、已知面积求y轴上的点、补形求四边形面积、已知面积求角平分线上的点 四道变式分别练：底在坐标轴上直接算面积、已知面积反求坐标轴上的点（两种位置）、用长方形减三角形求四边形面积，以及已知面积确定角平分线上的点。 变式1　在坐标纸上（单位长度为1 cm），小亮以A(-1，0)，B(7，0)，C(3，-5)为顶点剪下一块三角形纸片，这块纸片的面积是（　　）cm²。 A．40 B．20 C．15 D．17.5 变式2　原点O、点B(5，0)与y轴上的点C组成的三角形面积是10，则点C的坐标为____。 变式3　如图，一块菜地的四个角在坐标系中分别是M(0，0)，N(5，0)，P(6，3)，Q(2，5)，单位长度为1 m。求这块菜地的面积。 变式4　点C(m，m)在第一象限，它与x轴上的两点A(-1，0)，B(3，0)构成面积为6的三角形，求点C的坐标。 【题型10】用方向和距离描述相对位置 用方向和距离描述位置，先说参照点，再说方向，最后说距离；两地互看时方向相反、距离不变。把方向和距离放进坐标系后，东西、南北方向上的距离就是坐标的绝对值。 例1　如图，以港口O为参照点，货轮A和渔船B的位置已在图中标出。(1) 分别用方向和距离描述货轮A、渔船B相对于港口O的位置；(2) 以货轮A为参照点，描述港口O的位置。 【分析】方向角从正北或正南方向量起；换参照点后方向变为相反方向，距离不变。 【解答】(1) 从图中读出：货轮A在港口O北偏东35°方向，距离16 km；渔船B在港口O南偏西25°方向，距离10 km。 (2) “北偏东35°”的相反方向是“南偏西35°”，距离仍是16 km，所以港口O在货轮A南偏西35°方向、距离货轮16 km处。 【方法小结】描述相对位置三要素：参照点、方向、距离；互看时“北↔南、东↔西”对调，度数不变。 题型10　变式：互看时的方向、看图说方向与距离、沿网格线行走的坐标路线、方向与坐标结合求距离 四道变式分别练：换参照点后的方向、从方位图中读出方向与距离、用坐标描述一条沿网格线的路线，以及把正东、正南方向的位置写成坐标后求距离。 变式1　小颖家在学校的南偏东20°方向、距离学校1.2 km处，则学校在小颖家的（　　）。 A．北偏西20°方向、1.2 km处 B．南偏东20°方向、1.2 km处 C．北偏东20°方向、1.2 km处 D．北偏西70°方向、1.2 km处 变式2　如图，以电视塔为参照点，科技馆在电视塔的____方向、距离电视塔____处。 变式3　如图，某小区示意图画在网格上，快递柜位于原点，x轴指向正东、y轴指向正北，小方格边长为1个单位长度。快递员从快递柜出发，沿网格线先向东走4个单位长度、再向北走3个单位长度到达A楼，接着向西走6个单位长度到达B楼，最后向南走5个单位长度到达C楼。写出A，B，C三栋楼的坐标，并求快递员一共走了多少个单位长度。 变式4　海图上把灯塔O记作(0，0)，向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，每个单位长度代表1 km。船P在灯塔的正西方向9 km处，船Q在灯塔的正南方向12 km处。(1) 写出P，Q两船的坐标；(2) 求两船之间的距离。 　易错专练 下面七道题都是作业里反复出错的地方，先独立写出结果，再看答案区的“错解示例—错因—正解—提醒”四步，对照自己属于哪一种错误：轴上的点当成象限内的点、横纵坐标看反、漏写情况、翻折改错坐标、平移反推方向没改。 易错1　点R(0，-6)位于第几象限或哪条坐标轴上？ 易错2　在坐标纸上，从点A(3，-8)向y轴作垂线段，这条垂线段的长是多少？ 易错3　已知点B与x轴相距2个单位长度，与y轴相距5个单位长度，但不知道它在哪个象限，写出点B所有可能的坐标。 易错4　线段GH与x轴平行，端点G(-4，6)，GH=7，求端点H的坐标。 易错5　小丽在坐标纸上描出点M(-9，2)，把坐标纸沿横轴对折，点M落在点N处，写出点N的坐标。 易错6　点N(a+3，a-1)落在横轴上，求字母a的值，并写出点N的坐标。 易错7　点E向左平移2个单位长度后得到点(1，-3)，求点E的坐标。 　课后作业（一）基础巩固 下面8题每题只有一个选项符合题意，把字母填进括号里。考查次序是象限、坐标轴上的点与对称、到原点的距离、平移、原点对称求字母、平行于坐标轴的直线、建系写坐标、平移与对称的组合。 1．与点，-9)落在同一个象限的点是（　　）。 A．，9) B．(-3，0.5) C．(-0.1，-7) D．(4， 2．y轴上有一点P(m，4)，把它沿x轴翻折后得到的点是（　　）。 A．(0，-4) B．(4，0) C．(0，4) D．(-4，0) 3．从原点O沿直线走到点Q(5，-12)，所走的路程是（　　）个单位长度。 A．5 B．12 C．13 D．17 4．将点A(-1，-3)向右平移4个单位长度后得到点B，则点B的坐标是（　　）。 A．(-5，-3) B．(-1，1) C．(-1，-7) D．(3，-3) 5．点F(b，-3)恰好是点E(2，a)关于坐标原点的对称点，由此算出a-b等于（　　）。 A．5 B．-5 C．1 D．-1 6．在点A(-2，1)，B(-2，-4)，C(3，1)中任取两点连线，所连线段与x轴平行的是（　　）。 A．A和B B．A和C C．B和C D．没有这样的两点 7．正方形ABCD的边长为3，点A(1，1)，AB∥x轴，点B在点A右侧，点D在点A上方，则点C的坐标是（　　）。 A．(4，1) B．(1，4) C．(3，3) D．(4，4) 8．把点P(3，-2)先向上平移5个单位长度，再作关于y轴的对称点，得到的点的坐标是（　　）。 A．(3，3) B．(-3，-7) C．(3，-3) D．(-3，3) 　课后作业（二）能力进阶 第9～19题只要求写出结果。这一组把象限与距离、对称、平行线段、平移、非负数、角平分线、面积、不等式与方向合在一起用。 9．第二象限内的点P(a-4，3a)与两条坐标轴等距，则a=____。 10．若点K与点(-3，4)关于y轴对称，则点K到x轴的距离为____，到原点的距离为____。 11．点A(m，-2)与点B(6，n)所连的线段与x轴平行，长为5，则m=____。 12．把点P(2，-3)向左平移a个单位长度后，所得的点恰好落在y轴上，则a=____。 13．若|x-2|+=0，则点(x，y)关于原点对称的点的坐标是____。 14．点M(3，t)在第四象限，且到x轴的距离为6，则点M关于x轴对称的点的坐标是____。 15．三角形A'B'C'是由三角形ABC平移得到的，点A(1，-4)的对应点是A'(-2，-1)。若点B(3，0)，则它的对应点B'的坐标是____。 16．坐标之和为10的点中，有一个恰好落在两坐标轴正半轴所成角的平分线上，它的坐标为____。 17．由x轴上的两点A(-5，0)，B(1，0)和y轴负半轴上的点C(0，-4)围成的三角形，面积为____。 18．若点P(2-m，3m+6)在x轴下方、y轴右侧，则m的取值范围是____。 19．某城区地图上，钟楼记作(0，0)，x轴指向正东、y轴指向正北，每个单位长度代表1 km。书店位于(0，-2.5)，那么书店在钟楼的正____方。 　课后作业（三）拓展延伸 第20～28题要写出完整的计算或求解过程。这一组把坐标轴上的点、对称作图、等腰三角形的顶点、平移规律、改变原点、对称求字母、平移作图、方向与距离、长方形的顶点合在一起用。 20．已知点P(2m+4，m-1)。求满足下列条件的点P的坐标：(1) 点P在y轴上；(2) 点P的纵坐标比横坐标大3。 21．如图，△DEF的顶点坐标分别为D(-4，3)，E(-1，1)，F(-2，-2)。(1) 画出△DEF关于y轴对称的△PQR（点D，E，F的对应点分别为P，Q，R），并写出P，Q，R的坐标；(2) 把△DEF每个顶点的横、纵坐标都乘-1，写出所得三个点的坐标。 22．等腰三角形ABC的底边AB两端点为A(-2，4)，B(6，4)，顶点C在AB下方，且△ABC的面积为20。求顶点C的坐标。 23．点P从原点出发，第1次向右平移1个单位长度，第2次向上平移2个单位长度，第3次向左平移3个单位长度，第4次向下平移4个单位长度，第5次再向右平移……方向按“右、上、左、下”循环，每次平移的距离比前一次多1个单位长度。求第8次平移后点P的坐标。 24．在某平面直角坐标系中，鸡舍的坐标为(2，-1)，鱼塘的坐标为(-3，2)，果园的坐标为(4，5)。若改以鱼塘为原点，坐标轴的方向和单位长度都不变，求鸡舍与果园的新坐标。 25．若M(2a-b，5+a)，N(2b-1，-a+b)两点沿x轴翻折后恰好重合，求a，b以及点M的坐标。 26．如图，△ABC的顶点A(-3，-1)，B(0，-3)，C(-1，1)。将△ABC平移，使点A移到点A'(2，2)，画出平移后的△A'B'C'，并写出点B'，C'的坐标。 27．救援指挥屏上，救援中心O位于坐标原点，横轴朝东、纵轴朝北，单位长度为1 km。求助船A显示为(20，0)，救援艇B在救援中心正南方向21 km处。(1) 写出点B的坐标；(2) 求A，B之间的距离。 28．在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB∥x轴，A(-1，2)，AB=4，AD=3，点B在点A右侧，点D在点A下方。(1) 求B，C，D三点的坐标；(2) 若把长方形ABCD整体向左平移4个单位长度，求点C移动后的坐标。 　参考答案与解析 　题型1　变式：有序实数对的读法、由位置写坐标、描点连线求周长与面积、交换坐标 变式1　【答案】C 【解析】过点N作x轴的垂线，垂足表示-2；作y轴的垂线，垂足表示-3，所以点N对应(-2，-3)，选C。 A是把横、纵坐标的次序写反了。 变式2　【答案】(-3.5，6) 【解析】原点左侧意味着横坐标为负，数值是3.5；上方意味着纵坐标为正，数值是6，所以G(-3.5，6)。 变式3　【答案】周长为22，面积为28 【解析】按坐标描出四点，依次连接得长方形ABCD。 A，B的纵坐标都是-2，AB平行于x轴，AB=4-(-3)=7。 B，C的横坐标都是4，BC平行于y轴，BC=2-(-2)=4。 周长为2×(7+4)=22，面积为7×4=28。 变式4　【答案】(-2，5)；二 【解析】交换后横坐标为-2，纵坐标为5，所以Q(-2，5)。 Q的横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限；而P(5，-2)在第四象限，二者不是同一个点。 　题型2　变式：含根号的坐标、由已知象限推出新点的象限、坐标之积为0、交换并变号后的象限 变式1　【答案】B 【解析】第四象限的点横坐标为正、纵坐标为负，只有，-1)符合，选B。 A在第二象限；C在y轴上，不属于任何象限；D在第三象限。 变式2　【答案】二 【解析】点A在第三象限，所以m<0，n<0。 于是n-1<0，-m>0，点B横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限。 变式3　【答案】坐标轴 【解析】设这个点为(x，y)，xy=0说明x=0或y=0。 x=0时点在y轴上，y=0时点在x轴上，所以这个点一定在坐标轴上。 变式4　【答案】点Q在第四象限，点R在第四象限 【解析】点P在第二象限，所以a<0，b>0。 点Q(b，a)：横坐标b>0，纵坐标a<0，在第四象限。 点R(-a，-b)：-a>0，-b<0，也在第四象限。 　题型3　变式：由在y轴上选坐标、由在x轴上求字母、负半轴上的点、两轴上各一点连成的线段长 变式1　【答案】D 【解析】点A在y轴上，横坐标为0：a+2=0，a=-2，纵坐标a-6=-2-6=-8，所以A(0，-8)，选D。 A是把点写到了x轴上；B是把纵坐标的符号弄反了；C既写到了x轴上又弄反了符号。 变式2　【答案】；，0) 【解析】点B在x轴上，纵坐标为0：4n+2=0，n=。 横坐标为2-=，所以，0)。 变式3　【答案】(0，-7) 【解析】y轴上的点横坐标为0；在负半轴上，纵坐标为负，到原点距离为7，所以C(0，-7)。 变式4　【答案】EF=10，面积为24 【解析】点E在x轴上：2k+10=0，k=-5，横坐标为-5-1=-6，E(-6，0)。 点F在y轴上：h-4=0，h=4，纵坐标为2×4=8，F(0，8)。 OE=6，OF=8，∠EOF=90°，由勾股定理得EF==10。 这个直角三角形的两条直角边OE=6，OF=8，面积为6×8÷2=24。 　题型4　变式：到y轴的距离、含字母的横坐标、到两轴距离相等、距离成倍数且和给定 变式1　【答案】C 【解析】点到y轴的距离等于横坐标的绝对值：|-7|=7，选C。 B是把到y轴的距离看成了纵坐标的绝对值；距离不会是负数，A，D都不对。 变式2　【答案】2或-1 【解析】点P到y轴的距离是|2a-1|=3，所以2a-1=3或2a-1=-3。 解得a=2或a=-1。 变式3　【答案】(6，6)或(2，-2) 【解析】到两坐标轴距离相等，即|m+3|=|2m|。 若m+3=2m，则m=3，M(6，6)； 若m+3=-2m，则m=-1，横坐标为-1+3=2，M(2，-2)。 变式4　【答案】N(-2，6) 【解析】设点N到y轴的距离为d，则到x轴的距离为3d。 由d+3d=8，得d=2，3d=3×2=6。 点N在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，所以N(-2，6)。 　题型5　变式：与y轴平行的线段找端点、由平行于y轴求字母、角平分线上的点、到两点距离相等的点 变式1　【答案】(5，3)或(5，-5) 【解析】CD∥y轴，点D的横坐标也是5。 点D在点C上方时，纵坐标为-1+4=3；在下方时，纵坐标为-1-4=-5。 所以D(5，3)或(5，-5)。 变式2　【答案】A 【解析】连线与y轴平行，两点横坐标相同：a-1=2，a=3，选A。 B是把方程解成a-1=-2；C是误令a-1与点E的纵坐标4相等；D是把a直接当成横坐标。 变式3　【答案】2；(5，5) 【解析】角平分线上的点横坐标与纵坐标相同：2k+1=7-k，解得k=2。 横坐标为2×2+1=5，所以P(5，5)，两个坐标都为正，符合题意。 变式4　【答案】Q(-3，5)或(-3，-5) 【解析】点Q到O，B的距离相等，所以点Q在线段OB的垂直平分线上，这条直线过点(-3，0)且垂直于x轴（-6÷2=-3）。 所以点Q的横坐标始终为-3。 △OBQ的底OB=6，设点Q到x轴的距离为t，由6×t÷2=15，得t=5，所以点Q的纵坐标为5或-5，Q(-3，5)或(-3，-5)。 　题型6　变式：等腰三角形以底边中点为原点、中心在原点的正方形、由两处已知坐标推出第三处、直角梯形 变式1　【答案】A(0，8)，B(-6，0)，C(6，0) 【解析】原点O是BC的中点，OB=OC=12÷2=6，点B在原点左侧，B(-6，0)，C(6，0)。 AB=AC，等腰三角形底边上的中线也是高，所以AO⊥BC，点A在y轴上。 在直角三角形AOB中，OA==8，点A在x轴上方，所以A(0，8)。 变式2　【答案】(-2，2)；(2，-2) 【解析】中心到各边的距离都是4÷2=2。 E在第二象限：E(-2，2)；G在第四象限：G(2，-2)。 变式3　【答案】(-3，-2) 【解析】由游客中心(-1，2)可知，原点在游客中心右边1格、下方2格处；用码头(3，-1)检验：原点在码头左边3格、上方1格，两者指向同一个格点。 观景台在原点左边3格、下方2格处，坐标为(-3，-2)。 变式4　【答案】A(0，4)，B(0，0)，C(6，0)，D(3，4)；CD=5 【解析】B(0，0)，A(0，4)，C(6，0)；AD∥BC且AD=3，点D在点A右侧，D(3，4)。 过点D作DE⊥BC于点E，则E(3，0)，DE=4，EC=6-3=3。 在直角三角形DEC中，CD==5。 　题型7　变式：两次平移后的点、由平移后的点反求原来的点、编队航行、平移后落在坐标轴上 变式1　【答案】C 【解析】向左平移3个单位长度，横坐标-2-3=-5；向下平移6个单位长度，纵坐标5-6=-1，得(-5，-1)，选C。 A是把“向左”算成了加；B是把“向下”算成了加；D是两个方向都算反了。 变式2　【答案】(-4，-2) 【解析】把平移倒着做：点N向左平移1个单位长度，横坐标-3-1=-4；再向下平移4个单位长度，纵坐标2-4=-2。 所以M(-4，-2)。 变式3　【答案】(5，1) 【解析】点G到G'：横坐标增加2-(-6)=8，纵坐标增加4-1=3。 点H作同样的变化：-3+8=5，-2+3=1，到达(5，1)。 变式4　【答案】A'(3，0)，B'(0，-4)；先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度 【解析】点A'在x轴上，纵坐标为0，所以纵坐标减少5，线段向下平移5个单位长度。 点B'在y轴上，横坐标为0，所以横坐标增加1，线段向右平移1个单位长度。 A'：横坐标2+1=3，A'(3，0)；B'：纵坐标1-5=-4，B'(0，-4)。 　题型8　变式：写关于y轴的对称点、同时写两种对称点、先后两次对称反求原来的点、对称点间的距离与到原点的距离 变式1　【答案】C 【解析】沿y轴对折，重合的两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，得(6，1)，选C。 A是关于原点的对称点，B是关于x轴的对称点。 变式2　【答案】(5，；(-5， 【解析】关于原点对称，两个坐标都变为相反数：(5，。 关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数：(-5，。 变式3　【答案】(-6，1) 【解析】倒推：(6，-1)关于y轴对称回去得(-6，-1)，再关于x轴对称回去得(-6，1)。 也可以直接用“连续关于两轴对称等于关于原点对称”：Q与(6，-1)关于原点对称。 变式4　【答案】EF=30；点E到原点的距离为17 【解析】关于y轴对称，纵坐标相等、横坐标互为相反数：m=-8，n=-15，所以E(15，-8)，F(-15，-8)。 EF平行于x轴，EF=15-(-15)=30。 点E到x轴的距离为8，到y轴的距离为15，由勾股定理，点E到原点的距离为=17。 　题型9　变式：底边在x轴上的三角形、已知面积求y轴上的点、补形求四边形面积、已知面积求角平分线上的点 变式1　【答案】B 【解析】AB在x轴上，AB=7-(-1)=8，点C到x轴的距离为5，面积为8×5÷2=20，选B。 A忘了除以2；C把底算成了7-1=6；D把底当成了7。 变式2　【答案】(0，4)或(0，-4) 【解析】OB=5，设OC=c，则5×c÷2=10，得c=4。 点C在y轴上，可以在原点上方或下方，所以C(0，4)或(0，-4)。 变式3　【答案】19.5 m² 【解析】过P作y轴的平行线、过Q作x轴的平行线，与两条坐标轴围成长为6、宽为5的长方形，面积为6×5=30。 长方形内菜地之外有三个直角三角形：右下角的直角边为1和3，面积1×3÷2=1.5；右上角的直角边为4和2，面积4×2÷2=4；左上角的直角边为2和5，面积2×5÷2=5。 所以菜地的面积为30-1.5-4-5=19.5（m²）。 变式4　【答案】C(3，3) 【解析】AB在x轴上，AB=3-(-1)=4。 点C(m，m)在第一象限，到x轴的距离为m。 由4×m÷2=6，得m=3，所以C(3，3)。 　题型10　变式：互看时的方向、看图说方向与距离、沿网格线行走的坐标路线、方向与坐标结合求距离 变式1　【答案】A 【解析】互看时方向相反：南偏东20°的相反方向是北偏西20°，距离不变，选A。 B没有改变方向；C只把南改成北、忘了把东改成西；D把度数改错了。 变式2　【答案】北偏西40°；2.5 km 【解析】从正北方向向西量出40°，所以科技馆在电视塔的北偏西40°方向，距离为2.5 km。 变式3　【答案】A(4，3)，B(-2，3)，C(-2，-2)；一共走了18个单位长度 【解析】从原点向东走4、向北走3，得A(4，3)。 向西走6，横坐标4-6=-2，得B(-2，3)。 向南走5，纵坐标3-5=-2，得C(-2，-2)。 一共走了4+3+6+5=18个单位长度。 变式4　【答案】(1) P(-9，0)，Q(0，-12)；(2) 15 km 【解析】(1) 正西方向在x轴负半轴上，P(-9，0)；正南方向在y轴负半轴上，Q(0，-12)。 (2) OP=9，OQ=12，∠POQ=90°，PQ==15，两船相距15 km。 　易错专练 易错1　【答案】在y轴的负半轴上，不属于任何象限 【解析】错解示例：纵坐标为负，点R在第四象限。 错因：横坐标为0的点在y轴上，坐标轴不属于任何象限。 正解：点R在y轴的负半轴上，不属于任何象限。 提醒：先看有没有0，再看正负。 易错2　【答案】3 【解析】错解示例：点A到y轴的距离是|-8|=8。 错因：到y轴的距离要看横坐标，不是纵坐标。 正解：点A到y轴的距离是|3|=3（到x轴的距离才是8）。 提醒：“到x轴看纵，到y轴看横”。 易错3　【答案】(5，2)或(5，-2)或(-5，2)或(-5，-2) 【解析】错解示例：B(5，2)。 错因：没有给出象限，横、纵坐标都可正可负，只写了一种。 正解：横坐标为±5，纵坐标为±2，B(5，2)或(5，-2)或(-5，2)或(-5，-2)。 提醒：到x轴的距离决定纵坐标、到y轴的距离决定横坐标，象限未知时四种都要写。 易错4　【答案】(3，6)或(-11，6) 【解析】错解示例：H(3，6)。 错因：点H可以在点G的左侧，也可以在右侧，只找了一侧。 正解：纵坐标仍为6，横坐标为-4+7=3或-4-7=-11，H(3，6)或(-11，6)。 提醒：已知端点与长度找另一端点，默认两种情况。 易错5　【答案】(-9，-2) 【解析】错解示例：(9，2)。 错因：沿x轴翻折得到的是关于x轴的对称点，应改纵坐标，错解改成了横坐标。 正解：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得(-9，-2)。 提醒：“关于谁对称谁不变”。 易错6　【答案】a=1，N(4，0) 【解析】错解示例：令a+3=0，得a=-3。 错因：x轴上的点纵坐标为0，错解令横坐标为0。 正解：a-1=0，a=1，横坐标为1+3=4，所以N(4，0)。 提醒：在x轴上→纵坐标为0；在y轴上→横坐标为0。 易错7　【答案】(3，-3) 【解析】错解示例：1-2=-1，E(-1，-3)。 错因：已知的是平移后的点，求原来的点要把平移倒过来，应向右移回2个单位长度。 正解：横坐标1+2=3，E(3，-3)。 提醒：反求原来的点，“左变右、上变下”。 　课后作业（一）基础巩固 1．【答案】C 【解析】，-9)的横、纵坐标都为负，在第三象限；四个选项中只有(-0.1，-7)的两个坐标都为负，选C。 A在第一象限，B在第二象限，D在第四象限。 2．【答案】A 【解析】点P在y轴上，m=0，P(0，4)；关于x轴对称，纵坐标变为相反数，得(0，-4)，选A。 C是点P本身。 3．【答案】C 【解析】点Q到y轴、x轴的距离分别是5和12，由勾股定理，到原点的距离为=13，选C。 A，B分别是到y轴、x轴的距离；D是把两个距离直接相加。 4．【答案】D 【解析】向右平移4个单位长度，横坐标-1+4=3，纵坐标不变，得(3，-3)，选D。 A是向左平移；B是向上平移。 5．【答案】A 【解析】关于原点对称，两个坐标都互为相反数：b=-2，a=3，a-b=3-(-2)=5，选A。 B是把a，b的符号都弄反了（a=-3，b=2）；C是把a-b算成了a+b；D是把a误当成-3。 6．【答案】B 【解析】与x轴平行的线段两端点纵坐标相同，A，C的纵坐标都是1，选B。 A和B的横坐标相同，连线与y轴平行。 7．【答案】D 【解析】B在A右侧3个单位长度：B(4，1)；D在A上方3个单位长度：D(1，4)；C与B横坐标相同、与D纵坐标相同，C(4，4)，选D。 A，B分别是点B，D的坐标；C是把边长3直接当成了点C的坐标，忘了从点A(1，1)出发。 8．【答案】D 【解析】向上平移5个单位长度：纵坐标-2+5=3，得(3，3)；再关于y轴对称，得(-3，3)，选D。 A只平移没有对称。 　课后作业（二）能力进阶 9．【答案】1 【解析】第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，与两轴等距即-(a-4)=3a，也就是4-a=3a，解得a=1。 此时P(-3，3)，确实在第二象限。 10．【答案】4；5 【解析】点K的坐标为(3，4)，到x轴的距离是纵坐标的绝对值4。 由勾股定理，点K到原点的距离为=5。 11．【答案】11或1 【解析】AB平行于x轴，纵坐标相同，n=-2。 |m-6|=5，m=6+5=11或m=6-5=1。 12．【答案】2 【解析】向左平移a个单位长度后横坐标为2-a，落在y轴上则2-a=0，a=2。 13．【答案】(-2，5) 【解析】绝对值与平方都是非负数，和为0时两者都为0：x-2=0，y+5=0，所以x=2，y=-5。 点(2，-5)关于原点对称的点是(-2，5)。 14．【答案】(3，6) 【解析】点M在第四象限，纵坐标为负，到x轴距离为6，t=-6，M(3，-6)。 关于x轴对称，得(3，6)。 15．【答案】(0，3) 【解析】横坐标变化-2-1=-3，纵坐标变化-1-(-4)=3，即向左平移3个单位长度、向上平移3个单位长度。 B'：横坐标3-3=0，纵坐标0+3=3，B'(0，3)。 16．【答案】(5，5) 【解析】设这个点为(a，b)，角平分线上的点横、纵坐标相同，a=b，又a+b=10，所以2a=10，a=b=5，该点为(5，5)。 17．【答案】12 【解析】AB=1-(-5)=6，点C到x轴的距离为4，面积为6×4÷2=12。 18．【答案】m<-2 【解析】点P在第四象限：2-m>0，得m<2；3m+6<0，得m<-2。 两个条件同时成立，所以m<-2。 19．【答案】南 【解析】书店的横坐标为0，在y轴上；纵坐标为-2.5，在y轴负半轴上，也就是钟楼的正南方，距离2.5 km。 　课后作业（三）拓展延伸 20．【答案】(1) P(0，-3)；(2) P(-12，-9) 【解析】(1) 点P在y轴上，横坐标为0：2m+4=0，m=-2，纵坐标为-2-1=-3，P(0，-3)。 (2) 由题意m-1=2m+4+3，解得m=-8。 横坐标为2×(-8)+4=-12，纵坐标为-8-1=-9，P(-12，-9)。 21．【答案】(1) P(4，3)，Q(1，1)，R(2，-2)，描出这三点并依次连接得△PQR；(2) (4，-3)，(1，-1)，(2，2) 【解析】(1) 关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数：P(4，3)，Q(1，1)，R(2，-2)，描点后依次连接得△PQR。 (2) 横、纵坐标都乘-1，D(-4，3)变为(4，-3)，E(-1，1)变为(1，-1)，F(-2，-2)变为(2，2)，所得三角形与△DEF关于原点对称。 22．【答案】C(2，-1) 【解析】AB平行于x轴，AB=6-(-2)=8。 设点C到AB的距离为h，由8×h÷2=20，得h=5。 等腰三角形的顶点C在底边AB的垂直平分线上，其横坐标为(-2+6)÷2=2。 点C在AB下方，纵坐标为4-5=-1，所以C(2，-1)。 23．【答案】(-4，-4) 【解析】横坐标只在第1，3，5，7次改变：1-3+5-7=-4。 纵坐标只在第2，4，6，8次改变：2-4+6-8=-4。 所以第8次平移后点P的坐标为(-4，-4)。 24．【答案】鸡舍(5，-3)，果园(7，3) 【解析】原点移到鱼塘(-3，2)，相当于每个点的坐标都减去鱼塘的坐标。 鸡舍：2-(-3)=5，-1-2=-3，新坐标(5，-3)。 果园：4-(-3)=7，5-2=3，新坐标(7，3)。 25．【答案】a=-8，b=-5，M(-11，-3) 【解析】沿x轴翻折后重合，说明两点关于x轴对称，横坐标相等、纵坐标互为相反数：2a-b=2b-1，5+a=-(-a+b)。 由第二个等式得5+a=a-b，即5=-b，b=-5。 代入第一个等式：2a-(-5)=2×(-5)-1，解得a=-8。 M的横坐标为2×(-8)-(-5)=-11，纵坐标为5+(-8)=-3，所以M(-11，-3)。 26．【答案】B'(5，0)，C'(4，4)，描出B'，C'并与A'依次连接得△A'B'C' 【解析】点A到A'：横坐标增加2-(-3)=5，纵坐标增加2-(-1)=3，即向右平移5个单位长度、向上平移3个单位长度。 B'：0+5=5，-3+3=0，B'(5，0)；C'：-1+5=4，1+3=4，C'(4，4)。 描出B'，C'，与A'依次连接得△A'B'C'。 27．【答案】(1) B(0，-21)；(2) 29 km 【解析】(1) 正南方向在y轴负半轴上，所以B(0，-21)。 (2) OA=20，OB=21，∠AOB=90°，AB==29，A，B相距29 km。 28．【答案】(1) B(3，2)，C(3，-1)，D(-1，-1)；(2) (-1，-1) 【解析】(1) AB∥x轴，B的纵坐标为2，横坐标为-1+4=3，B(3，2)。 AD∥y轴，D的横坐标为-1，纵坐标为2-3=-1，D(-1，-1)。 C与B横坐标相同、与D纵坐标相同，C(3，-1)。 (2) 向左平移4个单位长度，横坐标3-4=-1，纵坐标不变，点C移到(-1，-1)，恰好与原来的点D重合。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $