第六章 数据的分析 题型精讲讲义-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版·八年级上册·第六章 数据的分析·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第六章 数据的分析 题型精讲讲义-2026-2027学年八年级上册数学北师大版 北师大版（2024年版）八年级数学上册　第六章　数据的分析　1 平均数与方差　2 中位数与箱线图　3 哪个团队收益大 含 10 个考点例题　/　共 81 题（变式 40 · 易错 6 · 作业 25）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出众数、算术平均数、加权平均数、中位数的意义，会从数据、统计表和条形、扇形、折线统计图中求出它们，知道平均数易受极端值影响、中位数受极端值影响小。 2．能说出离差平方和、方差、标准差的意义，会按“求平均数→求差→平方相加→除以个数”计算方差与标准差，并用“方差越小越稳定”比较两组数据、作出选择。 3．会求一组数据的下四分位数、中位数、上四分位数，会读、会画箱线图，能用平均数、方差、四分位数多角度分析数据；了解按组内离差平方和最小分组的方法。 学习重难点 重点：加权平均数的计算（百分比、比例、人数作权）；方差与标准差的计算与应用；中位数、四分位数的求法；从统计图中获取统计量。 难点：给了权仍求算术平均数、方差漏步、众数写成次数、四分位数分错前后两半是四大失分点；根据问题的目标（求稳或求突破、描述一般水平）选用合适的统计量。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　众数：出现次数最多的那个数据 2 知识点 02　算术平均数：刻画数据“中心”的指标 2 知识点 03　加权平均数：按“重要程度”赋权 3 知识点 04　离散程度：离差平方和、方差与标准差 3 知识点 05　中位数：处于“位置中心”的数据 3 知识点 06　百分位数与四分位数 4 知识点 07　箱线图：五个数看整体分布 4 考点 1　众数与算术平均数的计算 5 考点 2　加权平均数（一）：按百分比或比例计算综合成绩 6 考点 3　加权平均数（二）：以个数、人数为权 7 考点 4　从统计图中获取众数与平均数 8 考点 5　离差平方和、方差与标准差的计算 10 考点 6　用方差比较稳定性并作出选择 11 考点 7　数据变动后平均数、方差的变化 12 考点 8　中位数与三个集中趋势统计量的比较 13 考点 9　四分位数的计算与箱线图 14 考点 10　（拓展）按组内离差平方和最小分组与数据的综合评价 16 易错专练 17 课后作业（一）基础巩固 17 课后作业（二）能力进阶 18 课后作业（三）拓展延伸 19 参考答案与解析 20 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　众数：出现次数最多的那个数据 教材从射击成绩的统计图讲起：一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数。众数是数据本身，不是它出现的次数；如果有两个数据出现的次数并列最多，它们都是众数，教材中丁的射击成绩就有6环和10环两个众数。例：一周里某便利店每天卖出的饭团个数是31，28，35，28，40，35，28，这组数据中28出现了3次，最多，所以众数是28。小提示：从条形统计图找众数，看的是最高的那根直条对应的类别，而不是直条的高度。 众数＝出现次数最多的数据（可以不止一个） 读统计图：最高直条所对的横轴类别就是众数 知识点　02　算术平均数：刻画数据“中心”的指标 一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，就得到这组数据的算术平均数，简称平均数。平均数是刻画一组数据集中趋势的一项指标，反映了一组数据的“中心”。计算时所有数据都参加运算，所以它能充分利用数据提供的信息，但容易受极端值的影响；平均数也不一定是这组数据中的某一个数。例：三次跳远成绩3.6 m，4.1 m，3.8 m的平均数是 (3.6＋4.1＋3.8)÷3≈3.83（m），不等于其中任何一次。小提示：数据个数要数清，漏数一个或多数一个，结果就错了。 平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)÷n 特点：用到全部数据；易受极端值影响 知识点　03　加权平均数：按“重要程度”赋权 在很多实际问题中，一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同，计算平均数时往往按重要程度给每个数据赋一个“权”，这样算出的平均数叫作加权平均数。权可以是个数、人数，也可以是百分比或比例。教材还算了两家网站的日人均上网时间：A家用户平均a h、有m人，B家用户平均b h、有n人，合在一起的日人均上网时间是 h，它不是a与b的算术平均数。例：一次练习中，8人得5分、12人得4分，平均分是 (5×8＋4×12)÷20＝4.4（分）。小提示：权用百分比给出且和为100%时，各项“成绩×百分比”直接相加即可，不必再除。 加权平均数＝(x1w1＋x2w2＋…＋xnwn)÷(w1＋w2＋…＋wn) 两组合并：，一般不等于 (a＋b)÷2 知识点　04　离散程度：离差平方和、方差与标准差 除了集中趋势，人们还关注数据的离散程度，即数据相对于集中趋势的偏离情况。离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和；方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，记作；标准差是方差的算术平方根。一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定。例：数据1，3，5，7的平均数是4，离差平方和是9＋1＋1＋9＝20，方差是20÷4＝5，标准差是 。小提示：先求平均数，再求差、平方、求和，最后除以数据个数；只求出离差平方和就停笔，是最常见的漏步。教材还介绍了按“组内离差平方和达到最小”把一组数据分成几组的方法。 方差＝＋＋…＋÷n 标准差＝；方差、标准差越小，数据越稳定 知识点　05　中位数：处于“位置中心”的数据 n个数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数。数据个数为奇数时取正中间的那个，为偶数时取中间两个的平均数。中位数计算简单，受极端值影响小；这组数据中至少有50%的数据小于或等于中位数，至少有50%的数据大于或等于中位数。众数、平均数和中位数都是描述数据集中趋势的统计量：数据多次重复出现时众数常被关心，数据中有极端值时中位数往往更能代表“中等水平”。例：数据2，9，4，7先排成2，4，7，9，中位数是 (4＋7)÷2＝5.5。小提示：求中位数前必须先排序。 奇数个：排序后正中间的数；偶数个：中间两数的平均数 有极端值时，中位数比平均数更能代表中等水平 知识点　06　百分位数与四分位数 中位数也称为第50百分位数或50%分位数，记为m50。类似地可以找出其他p%分位数，记为mp，制作百分位数值表来反映数据的分布情况。把一组数据从小到大排列，m50把数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数；m25，m50，m75分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。例：数据1，2，4，5，7，8，10，11的中位数是 (5＋7)÷2＝6，前半部分1，2，4，5的中位数是3，后半部分7，8，10，11的中位数是9，所以m25＝3，m75＝9。小提示：分前后两半时，数据个数为偶数，正好对半分。 m25＝前半部分的中位数；m50＝中位数；m75＝后半部分的中位数 至少25%的数据 ≤ m25，至少75%的数据 ≤ m75 知识点　07　箱线图：五个数看整体分布 箱线图由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值这五个数画成：“箱子”的两端是m25和m75，箱内横线是中位数，箱子两端各引一条线到最小值和最大值。箱线图包含了最小值、最大值和四分位数信息，可以用来反映一组数据的整体分布情况，特别适用于多组数据整体分布情况的比较。例：五个数为40，52，60，65，78时，箱子从52画到65，箱内横线在60。小提示：箱子越短，中间一半数据越集中；中位数横线把箱子分成长短不同的两截，说明数据在中位数两侧的分布疏密不同。比较两组数据的整体情况，可以借助平均数和方差，也可以借助四分位数和箱线图。 五个数：最小值、m25、m50、m75、最大值 箱子长度＝m75－m25，越短中间一半数据越集中 【题型1】众数与算术平均数的计算 北师大版本章先讲众数、再讲平均数。找众数只数“出现次数”，求平均数要“全部相加再除以个数”，两件事分开做、分开检查。 例1　航模社8名同学各放飞一次纸飞机，留空时间（单位：s）依次为22，25，21，25，28，23，25，23。(1)这组留空时间的众数是多少？(2)求这8次留空时间的平均数。 【分析】众数看哪一个数据出现的次数最多；平均数把8个数据全部加起来再除以8。 【解答】(1)25出现了3次，23出现了2次，其余各出现1次，所以众数是25 s。 (2)平均数为 (22＋25＋21＋25＋28＋23＋25＋23)÷8＝192÷8＝24（s）。 答：(1)众数是25 s；(2)平均留空时间是24 s。 【方法小结】数数据个数时可以在草稿上逐个打勾；平均数24 s并不在这组数据中出现，这正说明平均数不一定是数据中的某个数。 题型1　变式：选出平均数、由平均数求未知数、双众数与高于平均数的个数 五道变式从三个方向练：直接求平均数、已知平均数反求一个数据、一组数据有两个众数，以及把平均数当作一条“分界线”来数人数。 变式1　某小区统计了7天里每天回收的旧电池质量（单位：kg），依次为6，9，9，4，9，4，8。这7天回收量的平均数是（　　） A．9 B．7 C．8 D．49 变式2　一组数据5，8，x，10，7的平均数是8，则x＝____，这组数据的众数是____。 变式3　某兴趣小组8名同学一周的课外阅读量（单位：页）为32，46，46，58，67，67，74，90。这组数据的众数是____，平均数是____页。 变式4　体育课上，某小组6名同学1 min仰卧起坐的个数依次为36，50，42，57，50，44。(1)求这6名同学仰卧起坐个数的平均数；(2)个数高于平均数的有几人？ 变式5　气象站记录了某山区连续5天的最低气温（单位：℃）：-4，1，-3，0，-4。这5天最低气温的平均数是____℃。 【题型2】加权平均数（一）：按百分比或比例计算综合成绩 评比、招聘、学期总评常常把几项成绩按不同的百分比或比例合成一个综合成绩。算法只有一句话：每项成绩乘它的权，相加后除以权的和。 例1　社区评选“优秀志愿服务小队”，从服务时长、服务质量、居民评价三项打分（每项满分100分），三支小队的得分见下表。若三项得分依次按25%，35%，40%计算综合成绩，(1)分别求三支小队的综合成绩；(2)哪支小队的综合成绩最高？ 小队 服务时长 服务质量 居民评价 星火队 88 92 85 青禾队 94 86 88 启航队 90 90 86 【分析】三项的权是25%，35%，40%，和为100%，每支小队的综合成绩就是各项“得分×百分比”的和。 【解答】(1)把百分比化成小数：25%＝0.25，35%＝0.35，40%＝0.4。星火队：88×0.25＋92×0.35＋85×0.4＝22＋32.2＋34＝88.2（分）； 青禾队：94×0.25＋86×0.35＋88×0.4＝23.5＋30.1＋35.2＝88.8（分）； 启航队：90×0.25＋90×0.35＋86×0.4＝22.5＋31.5＋34.4＝88.4（分）。 (2)88.8＞88.4＞88.2，所以青禾队的综合成绩最高。 【方法小结】若直接求三项的算术平均数，星火队约88.3分、青禾队约89.3分、启航队约88.7分，名次虽然没变，但分值都不对；题目给了权，就必须用加权平均数。 题型2　变式：音乐学期成绩、按比例招聘、权变结论变与反求期末成绩 四道变式覆盖权的三种给法——百分比、连比、两项比例，并练一次“已知综合成绩反求某一项”。 变式1　某校音乐学期成绩由平时表现、演唱、乐理笔试三部分组成，依次占30%，40%，30%。小晴这三部分的成绩依次是96分、87分、71分，她的音乐学期成绩是____分。 变式2　某图书馆招聘管理员，笔试、面试、试岗三项成绩按2∶3∶5的比例确定最终成绩。应聘者小林三项成绩依次为72分、90分、84分，她的最终成绩是（　　） A．82分 B．79.8分 C．87分 D．83.4分 变式3　校园演讲比赛从“内容”“表达”两项评分，甲的内容得分93分、表达得分77分，乙的内容得分86分、表达得分89分。(1)若内容与表达按6∶4计算总分，谁的总分高？(2)若内容与表达按7∶3计算总分，谁的总分高？ 变式4　某校数学学期总评由平时成绩、期中成绩、期末成绩三部分组成（各部分满分均为150分），依次占30%，30%，40%。小宇的平时成绩为126分，期中成绩为118分，学期总评恰好是125分，他的期末成绩是多少分？ 【题型3】加权平均数（二）：以个数、人数为权 数据以“某个值出现了几次”的方式给出时（统计表、混合定价、两组合并），出现的次数、人数就是权。求和时乘上次数，除的时候除以总次数。 例1　八(3)班50名同学参加“书香校园”捐书活动，捐书情况见下表。(1)求这个班平均每人捐书多少本；(2)捐书本数的众数是多少？ 捐书本数/本 1 2 3 4 5 人数 6 15 18 8 3 【分析】每个捐书本数出现的人数不同，人数就是权，总人数50是权的和。 【解答】(1)平均数为 (1×6＋2×15＋3×18＋4×8＋5×3)÷50＝137÷50＝2.74（本）。 (2)捐3本的有18人，人数最多，所以众数是3本。 答：(1)平均每人捐书2.74本；(2)众数是3本。 【方法小结】表格里“人数”一行是权，不是数据本身；众数是3本而不是18，平均数也不能写成 (1＋2＋3＋4＋5)÷5＝3。 题型3　变式：什锦糖定价、两班合并与反求平均分、字母表示合并平均数、影院票价 四道变式都在“按份数加权”：混合定价、两个班合在一起、用字母写出合并平均数，以及多卖了若干张票后平均票价的变化。 变式1　糖果店把单价20元/kg的奶糖3 kg、单价30元/kg的软糖5 kg、单价36元/kg的巧克力糖2 kg混合成什锦糖。按总价不变计算，什锦糖每千克应定价____元。 变式2　一次数学测验中，一班36人的平均分是81分，二班24人的平均分是76分。(1)求两个班合在一起的平均分；(2)若一班成绩不变，要使两班合在一起的平均分达到80分，二班的平均分应是多少？ 变式3　甲组有m名同学，平均身高是a cm；乙组的人数是甲组的2倍，平均身高是b cm。两组同学合在一起的平均身高是（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 变式4　某影院周六售出成人票120张（每张45元）、学生票200张（每张30元）、儿童票80张（每张20元）。(1)这天平均每张票的售价是多少元？(2)周日成人票、儿童票的张数与票价都和周六相同，学生票比周六多卖了若干张，结果平均每张票的售价是32元，周日学生票多卖了多少张？ 【题型4】从统计图中获取众数与平均数 条形统计图的直条高度、扇形统计图的百分比、折线统计图的各点纵坐标，都是求统计量的原料。条形图、扇形图里“人数”“百分比”是权，折线图的每个点就是一个数据。 例1　如图是学校合唱团20名团员年龄的条形统计图。(1)团员年龄的众数是多少？(2)求团员的平均年龄。 【分析】横轴是年龄，直条高度是人数；人数是每个年龄的权。 【解答】(1)14岁对应的直条最高，有7人，所以众数是14岁。 (2)平均年龄为 (13×4＋14×7＋15×6＋16×3)÷20＝288÷20＝14.4（岁）。 答：(1)众数是14岁；(2)平均年龄是14.4岁。 【方法小结】从条形统计图读数据时，先把“类别→人数”抄成一行表，再按加权平均数计算；众数写横轴上的年龄，不写直条高度7。 题型4　变式：扇形图求平均分、折线图求平均数、条形图选平均时长与扇形图求总时长 四道变式各用一种统计图：扇形图里的百分比当权、折线图上的点直接是数据、条形图读人数，最后再由平均数推总量。 变式1　一次测验中有一道满分6分的解答题，按0分、2分、4分、6分四档给分。全年级该题得分情况如扇形统计图所示，则该题得分的众数是____分，平均分是____分。 变式2　如图是社区图书角某周7天每天借出图书本数的折线统计图。(1)求这7天平均每天借出多少本；(2)借出本数超过平均数的有几天？ 变式3　如图是某兴趣小组20名同学一周课外锻炼时间的条形统计图，这20名同学一周课外锻炼时间的平均数是（　　） A．3.5 h B．4 h C．3.65 h D．18.25 h 变式4　某校八年级200名学生参加一次志愿服务，每人的服务时长（取整数小时）情况如扇形统计图所示。(1)求这200名学生的平均服务时长；(2)这200名学生一共服务了多少小时？ 【题型5】离差平方和、方差与标准差的计算 北师大版按“离差平方和→方差→标准差”的次序刻画离散程度。计算分四步：求平均数、求各数据与平均数的差、把差平方后相加、除以数据个数；标准差再开平方。 例1　果园抽检5个脐橙，质量（单位：g）依次为196，204，200，198，202。(1)这5个脐橙质量的平均数与方差各是多少？(2)这5个脐橙质量的标准差约是多少克（结果精确到0.01 g）？ 【分析】先求平均数，再求离差平方和，除以5得方差，最后开平方得标准差。 【解答】(1)平均数为 (196＋204＋200＋198＋202)÷5＝1000÷5＝200（g）。 离差平方和为 ＋＋＋＋＝16＋16＋0＋4＋4＝40， 所以方差＝40÷5＝8。 (2)标准差为 ＝≈2.83（g）。 答：(1)平均数是200 g，方差是8；(2)标准差约为2.83 g。 【方法小结】把“差”列成一行 -4，4，0，-2，2，先核对它们的和为0（和不为0说明平均数算错），再平方相加，可以少出错。 题型5　变式：离差平方和与方差、选出方差、方差与标准差、先求未知数再求方差 四道变式把四步算法走熟：先分别写出离差平方和与方差，再在选项里分清方差、离差平方和与标准差，最后一题要先由平均数求出未知数。 变式1　一组数据2，5，6，8，9的离差平方和是____，方差是____。 变式2　某6名同学一周做家务的次数分别为6，8，9，9，11，11，这组数据的方差是（　　） A．18 B．3.6 C． D．3 变式3　某小组8名同学引体向上的个数依次为5，8，7，9，6，10，7，4。(1)这8个个数的方差是多少？(2)把方差开平方，写出标准差的近似值（保留两位小数）。 变式4　在4，6，x，8这四个数中，x的取值使四个数的平均数恰好为6，那么x等于____，此时这四个数的方差为____。 【题型6】用方差比较稳定性并作出选择 平均数相同或相近时，比的是方差：方差小的更稳定。作选择时还要看题目的目标——求稳选方差小的，求突破要看谁有冲高的成绩。 例1　学校要从甲、乙两名同学中选一人参加口算竞赛，两人最近6次训练中每次答对的题数如折线统计图所示。(1)分别求甲、乙答对题数的平均数与方差；(2)选谁参赛成绩更稳定？ 【分析】先从图中读出两组数据：甲45，51，48，52，49，49；乙43，55，50，44，53，49。 【解答】(1)甲的平均数为 (45＋51＋48＋52＋49＋49)÷6＝294÷6＝49， 甲的方差为 ＋＋＋＋＋÷6＝(16＋4＋1＋9＋0＋0)÷6＝5； 乙的平均数为 (43＋55＋50＋44＋53＋49)÷6＝294÷6＝49， 乙的方差为 ＋＋＋＋＋÷6＝(36＋36＋1＋25＋16＋0)÷6＝19。 (2)两人平均数相同，5＜19，甲的方差小，成绩更稳定，选甲参赛。 【方法小结】折线越平缓，数据越集中，方差越小；看图先作估计，再用计算核实。 题型6　变式：番茄品种的选择、跳绳选手的两种目标、两组劳动时长与面包质检 四道变式练“比较—决策”：从平均数与方差的表中挑品种、按不同目标选选手、从复式条形图算方差比较，以及用给定标准判断机器是否运行正常。 变式1　农科站试种四个番茄品种，每个品种单株产量（单位：kg）的平均数与方差见下表。要选一个产量高且产量稳定的品种推广，应选（　　） 品种 红珠 金果 紫玉 粉冠 平均数/kg 4.6 4.9 4.9 4.6 方差 0.8 0.8 0.3 0.3 A．红珠 B．金果 C．紫玉 D．粉冠 变式2　甲、乙两名跳绳选手最近5次1 min跳绳的个数如下。甲：178，182，180，176，184；乙：170，192，186，168，184。(1)分别求两人成绩的方差；(2)若比赛中跳到190个以上才有可能夺冠，应选谁参赛？ 变式3　如图是A、B两个劳动小组各5名组员一周劳动时长（单位：h）的复式条形统计图，两组的平均时长都是3 h。A组劳动时长的方差是____，B组劳动时长的方差是____，时长更整齐的是____组。 变式4　某面包房用甲、乙两台机器分装标准质量为100 g的面包。规定：抽检样品的平均质量与100 g相差不超过1 g，且质量的方差不大于4时，机器运行正常。现从两台机器分装的面包中各抽5个，质量（单位：g）如下。甲：98，101，100，102，99；乙：97，104，100，96，103。(1)分别求两组样品质量的平均数与方差；(2)哪台机器运行正常？ 【题型7】数据变动后平均数、方差的变化 教材在射击问题里追问过：再射一次脱靶，平均成绩怎么变？又射了几次，平均数没变而方差变小了，说明什么？这类题的稳妥做法是把变动后的数据写出来，重新算一遍。 例1　一组数据3，5，6，7，9的平均数是6，方差是4。(1)把每个数据都加上10，求新数据的平均数与方差；(2)把每个数据都乘2，求新数据的平均数与方差。 【分析】写出新数据，按定义重新计算，再和原来的结果对照。 【解答】(1)新数据为13，15，16，17，19，平均数为 (13＋15＋16＋17＋19)÷5＝80÷5＝16， 方差为 ＋＋＋＋÷5＝20÷5＝4。 (2)新数据为6，10，12，14，18，平均数为 (6＋10＋12＋14＋18)÷5＝60÷5＝12， 方差为 ＋＋＋＋÷5＝80÷5＝16。 答：(1)平均数是16，方差是4；(2)平均数是12，方差是16。 【方法小结】对照结果：都加10后，每个数据与平均数的差不变，所以方差不变；都乘2后，每个差都变成原来的2倍，平方后变成4倍，方差由4变成16。 题型7　变式：添入一个数据、去掉最高分与最低分、更正录错的数据与整体加常数 四道变式对应数据变动的四种常见情形：多了一个数据、去掉两个极端数据、发现录错后更正、所有数据同时增加同一个数。 变式1　一组数据4，6，8，10的平均数是7，方差是5。在这组数据中再添入一个数据7，新数据的平均数是____，方差是____。 变式2　校园歌手大赛中，7位评委给某选手的打分依次为9.2，9.5，8.8，9.6，9.3，8.4，9.4。按规则去掉一个最高分和一个最低分后求平均分，该选手的最后得分是（　　） A．9.0分 B．9.24分 C．9.3分 D．9.35分 变式3　某小组10名同学体检后算得平均体重为48 kg。复核时发现，一名同学的体重52 kg被误录成了42 kg。这10名同学的平均体重实际是多少千克？ 变式4　某班5个劳动小组上周各自种下的树苗棵数之和为40棵。本周每个小组都比上周多种了3棵，本周5个小组平均每组种树____棵。 【题型8】中位数与三个集中趋势统计量的比较 中位数先排序、再取中间。当数据里出现特别大或特别小的数时，平均数会被拉偏，中位数和众数更能说明“一般情况”。 例1　某楼栋9户家庭5月的用电量（单位：kW·h）依次为86，120，95，102，95，307，88，95，110。(1)这9户用电量的平均数、中位数、众数各是多少千瓦时？(2)用电量不超过中位数的有几户？ 【分析】中位数要先排序；数据个数9是奇数，第5个数就是中位数。 【解答】(1)平均数为 (86＋120＋95＋102＋95＋307＋88＋95＋110)÷9＝1098÷9＝122（kW·h）。 从小到大排列：86，88，95，95，95，102，110，120，307，第5个数是95，中位数是95 kW·h。 95出现了3次，最多，众数是95 kW·h。 (2)不超过95的有86，88，95，95，95，共5户。 答：(1)平均数是122 kW·h，中位数和众数都是95 kW·h；(2)有5户。 【方法小结】9户中只有1户超过平均数122，原因是307这个极端值把平均数拉高了；描述这栋楼一般家庭的用电水平，中位数比平均数更合适。 题型8　变式：偶数个数据的中位数、从条形图选中位数、极端值更正与由中位数求未知数 四道变式练中位数的四个要点：个数为偶数时取中间两个的平均数、从统计图里按人数累计找位置、极端值变化时平均数变而中位数不变，以及列方程求数据。 变式1　小雨最近6次英语口语测评（满分10分）的得分依次为7.5，9，6，9.5，8，8.5，这组数据的中位数是____。 变式2　某班25名同学平均每天的睡眠时间统计如条形图所示。把睡眠时间按从短到长排列后，处在正中间位置的时间是（　　） A．7.5 h B．9 h C．8 h D．8.5 h 变式3　某街道7个快递驿站某天的派件量（单位：件）依次为644，180，210，190，200，190，220。(1)这7个驿站派件量的平均数是多少？中位数呢？(2)复核发现644是把245录错了，更正后平均数与中位数分别是多少？ 变式4　已知数据5，7，x，10，12已经按从小到大的顺序排列，并且这组数据的中位数与平均数相等，则x＝____。 【题型9】四分位数的计算与箱线图 求四分位数的顺序固定：先排序，再求中位数，然后在前一半、后一半里各求一次中位数。五个数（最小值、三个四分位数、最大值）齐了，箱线图就能画出来。 例1　某班12名同学上周做家务的时间（单位：h）依次为3，5，2，6，4，8，5，3，7，4，6，9。(1)先排序，再把中位数和上、下两个四分位数找出来；(2)写出画这组数据的箱线图需要的五个数。 【分析】12个数据排好序后前后各6个，前6个的中位数是m25，后6个的中位数是m75。 【解答】(1)从小到大排列：2，3，3，4，4，5，5，6，6，7，8，9。 中位数m50＝(5＋5)÷2＝5（h）； 前半部分2，3，3，4，4，5的中位数为 (3＋4)÷2＝3.5，即m25＝3.5 h； 后半部分5，6，6，7，8，9的中位数为 (6＋7)÷2＝6.5，即m75＝6.5 h。 (2)最小值2，下四分位数3.5，中位数5，上四分位数6.5，最大值9。 答：(1)中位数5 h，下四分位数3.5 h，上四分位数6.5 h；(2)五个数依次为2，3.5，5，6.5，9。 【方法小结】前半部分、后半部分各有6个数，都要再取“中间两个的平均数”；不要把中位数所在的两个数漏掉。 题型9　变式：求四分位数、读箱线图、由四分位数推人数与画箱线图 四道变式由算到读：先按定义求四分位数，再从箱线图读出五个数并判断说法，接着用“至少50%”估计人数，最后由原始数据画出箱线图。 变式1　数据131，134，136，137，139，142，143，147的中位数是____，下四分位数是____，上四分位数是____。 变式2　如图是八(2)班一次物理小测成绩的箱线图。根据箱线图，下列判断中正确的是（　　） A．全班成绩的平均数是76分 B．全班成绩的最高分是84分 C．约有四分之一的同学成绩低于52分 D．至少有一半的同学成绩不低于76分 变式3　某校八年级240名学生立定跳远成绩的四分位数为：m25＝168 cm，m50＝183 cm，m75＝196 cm。(1)成绩不低于183 cm的至少有多少人？(2)成绩不高于196 cm的至少有多少人？ 变式4　某地铁站连续12个工作日早高峰5分钟内的进站人数依次为106，113，121，109，128，115，112，123，107，118，116，111。(1)这12天进站人数的最小值、最大值与三个四分位数各是多少？(2)画出这组数据的箱线图。 【题型10】（拓展）按组内离差平方和最小分组与数据的综合评价 教材用“组内离差平方和达到最小”把10个苹果按直径分成两组，并用平均数、方差、四分位数多角度评价两个团队（拓展）。分组的要领是：先排序，只在相邻位置切开，逐种计算后取最小。 例1　兴趣小组测得6株向日葵幼苗的高度（单位：cm）从小到大依次为31，33，38，44，46，48，要按“组内离差平方和达到最小”把它们分成两组。(1)分别计算“第一组2株、第二组4株”与“第一组3株、第二组3株”两种分法的组内离差平方和；(2)已知其余三种分法的组内离差平方和依次为152.8，103，173.2，应怎样分组？ 【分析】组内离差平方和是两组各自离差平方和的和。 【解答】(1)第一种：{31，33}的平均数为32，离差平方和为1＋1＝2；{38，44，46，48}的平均数为44，离差平方和为36＋0＋4＋16＝56；组内离差平方和为2＋56＝58。 第二种：{31，33，38}的平均数为34，离差平方和为9＋1＋16＝26；{44，46，48}的平均数为46，离差平方和为4＋0＋4＝8；组内离差平方和为26＋8＝34。 (2)五种分法的组内离差平方和为152.8，58，34，103，173.2，其中34最小，所以分成{31，33，38}与{44，46，48}两组。 【方法小结】分组只在排好序的相邻数据之间切开，6个数据共5种分法；组内越“挤”，组内离差平方和越小。 题型10　变式：听力测试的多角度比较、按赋分规则评选与五个数据的分组 三道变式分别用平均数与方差、赋分加权、组内离差平方和，从不同角度分析同一类问题（拓展）。 变式1　甲、乙两名同学8次英语听力测试的得分（满分10分）如下。甲：7，9，8，8，10，6，9，7；乙：9，4，6，10，9，7，10，9。(1)两人得分的平均数都是多少？方差各是多少？(2)两人得分的中位数分别是多少？ 变式2　学校食堂评选“最受欢迎窗口”，对卫生、口味、价格、服务四项作评价，“满意”记3分，“较满意”记2分，“一般”记1分，总分＝3×卫生＋2×口味＋价格＋服务。四个窗口的评价见下表，总分最高的是（　　） 窗口 卫生 口味 价格 服务 一号 满意 一般 较满意 较满意 二号 一般 满意 满意 较满意 三号 较满意 满意 满意 一般 四号 满意 较满意 一般 一般 A．一号窗口 B．二号窗口 C．三号窗口 D．四号窗口 变式3　5个数据1，3，8，10，12要分成两组。(1)按{1，3}与{8，10，12}分组时，组内离差平方和是多少？(2)改按{1，3，8}与{10，12}分组，组内离差平方和是多少？两种分法哪一种更符合“组内离差平方和达到最小”？ 　易错专练 本章失分集中在六处：把众数写成次数、不排序就取中位数、给了权却求算术平均数、方差计算把差直接相加、方差与标准差混用、四分位数分错前后两半。下面六题各守一处，做完再对照答案里的错解与错因。 易错1　某文具店一周卖出某款中性笔笔芯的情况为：0.35 mm的8盒，0.5 mm的15盒，0.7 mm的12盒，1.0 mm的5盒。求这组笔芯规格数据的众数。 易错2　求数据7，3，9，5，4，8的中位数。 易错3　某岗位招聘时，笔试成绩占60%，面试成绩占40%。应聘者小周笔试91分，面试76分，求她的综合成绩。 易错4　求数据4，7，7，10的方差。 易错5　测得某组同学身高（单位：cm）的方差为6.25，求这组身高数据的标准差。 易错6　求数据2，4，5，6，8，9，11，12，14，15的下四分位数与上四分位数。 　课后作业（一）基础巩固 下面8题是本章必会的基础，每题只有一个选项符合题意。考查次序是众数、平均数、加权平均数、稳定性、中位数、标准差、统计量的选择与四分位数。 1．数据2，5，6，7，9，9，11的众数是（　　） A．9 B．7 C．2 D．11 2．某小组5名同学植树的棵数依次为3，5，4，6，7，平均每人植树（　　） A．5棵 B．4.5棵 C．25棵 D．6.25棵 3．小刚的平时成绩为74分，期末成绩为88分。若按平时成绩与期末成绩3∶7的比例计算总评，他的总评成绩是（　　） A．81分 B．83.8分 C．78.2分 D．88分 4．甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别为2.3和0.8，则（　　） A．乙组数据更稳定 B．甲组数据更稳定 C．两组数据一样稳定 D．无法比较两组数据的稳定性 5．数据233，227，238，230，229，236的中位数是（　　） A．234 B．233 C．230 D．231.5 6．数据3，5，9，11的标准差是（　　） A． B．10 C．40 D． 7．服装厂准备按订单生产一批校服，决定生产数量最多的尺码时，最值得参考的统计量是订单尺码的（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 8．数据1，3，4，6，7，8，10，12的下四分位数是（　　） A．4 B．3.5 C．6.5 D．3 　课后作业（二）能力进阶 第9～16题只要求写出结果。这一组把由平均数求数据、混合定价、方差与标准差、条形图中的中位数、四分位数和数据整体变化各考一遍。 9．五个数据16，21，a，24，b的平均数是19，并且这组数据只有一个众数17，则a＋b＝____，这组数据的中位数是____。 10．水果店把单价8元/kg的苹果5 kg、10元/kg的香梨3 kg、12元/kg的橙子2 kg装成果篮，按总价不变折算，果篮里的水果平均每千克____元。 11．五名同学某周分别读了1，2，3，4，5本课外书，所读本数的方差是____，标准差是____。 12．某组5个数据的离差平方和是45，则这组数据的方差是____，标准差是____。 13．如图是某班30名同学家庭人口数的条形统计图，这组数据的中位数是____人，众数是____人。 14．八名同学的身高（单位：cm）从小到大排列为151，153，154，156，x，159，160，164，已知这组数据的中位数是156.5 cm，则x＝____，这组数据的上四分位数是____cm。 15．八(5)班数学单元练习中，男生16人的平均分是72分，女生24人的平均分是77分，全班的平均分是____分。 16．数据3，4，6，7的平均数是5。把每个数据都加上3，得到的新数据的平均数是____，方差是____。 　课后作业（三）拓展延伸 第17～25题要写出完整的计算过程。这一组把加权平均数、方差与标准差、三个集中趋势统计量、四分位数与箱线图放进真实情境里综合使用。 17．校广播站招募主持人，从形象、语言、应变三项打分，三项按2∶5∶3计算总分。甲三项得分依次为68分、95分、71分，乙依次为92分、78分、85分。(1)分别求甲、乙的总分；(2)按总分录取一人，应录取谁？ 18．甲、乙两条生产线连续5天的次品数（单位：件）如下。甲：1，3，3，4，4；乙：0，5，3，6，1。(1)两条生产线5天次品数的平均数各是多少？方差呢？(2)哪条生产线的次品数更稳定？ 19．某家政公司20名员工某月的服务时长统计如下表。(1)求这20名员工服务时长的平均数、中位数和众数；(2)公司要定一个月服务时长的达标线，使至少一半员工能达标，并且达标线尽量高，应把达标线定为多少小时？ 服务时长/h 120 150 160 180 240 人数 2 5 8 4 1 20．面粉厂用分装机分装标准质量为1000 g的袋装面粉，随机抽取6袋，质量（单位：g）为996，1002，1001，999，1004，998。(1)求这6袋面粉质量的平均数与标准差（标准差精确到0.01 g）；(2)质量在“平均数－标准差”与“平均数＋标准差”之间的有几袋？ 21．小敏记录了8天完成数学作业的用时（单位：min）：32，28，35，30，41，26，33，37。(1)求这组数据的下四分位数、中位数和上四分位数；(2)用时不少于上四分位数的有几天？ 22．某班42名同学一次测验的平均分算得为79分。复核发现有两名同学的成绩录错：一名同学实得93分被录成39分，另一名同学实得64分被录成55分。这个班的实际平均分是多少？ 23．某课程的总评由平时成绩和期末成绩两部分组成，两部分所占百分比之和为100%。小婷平时成绩92分，期末成绩77分，总评成绩为83分。平时成绩在总评中占百分之几？ 24．如图是八(4)班两次1 min踢毽子测试成绩（单位：个）的箱线图。(1)两次成绩的中位数各是多少？第二次比第一次提高了多少？(2)分别求两次成绩的上四分位数与下四分位数之差。 25．某奶茶店某天售出的奶茶按杯型分为大杯、中杯、小杯，单价依次为16元、13元、10元，各杯型的销量占比如扇形统计图所示。(1)这天售出奶茶的平均单价是多少元？(2)若这天共售出400杯，营业额是多少元？ 　参考答案与解析 　题型1　变式：选出平均数、由平均数求未知数、双众数与高于平均数的个数 变式1　【答案】B 【解析】平均数为 (6＋9＋9＋4＋9＋4＋8)÷7＝49÷7＝7，选B。 A是众数，C是排序后正中间的数，D是忘记除以7得到的总和。 变式2　【答案】10；10 【解析】由平均数的意义，(5＋8＋x＋10＋7)÷5＝8，即30＋x＝40，所以x＝10。 这时数据为5，8，10，10，7，10出现了2次，众数是10。 变式3　【答案】46和67；60 【解析】46和67都出现了2次，并列最多，所以众数是46和67。 平均数为 (32＋46＋46＋58＋67＋67＋74＋90)÷8＝480÷8＝60（页）。 变式4　【答案】(1)46.5个；(2)3人 【解析】(1)平均数为 (36＋50＋42＋57＋50＋44)÷6＝279÷6＝46.5（个）。 (2)高于46.5的数据有50，57，50，共3人。 答：(1)平均数是46.5个；(2)有3人高于平均数。 变式5　【答案】-2 【解析】五个数的和为 (-4)＋1＋(-3)＋0＋(-4)＝-10。 平均数为 -10÷5＝-2（℃）。负数参与求和时要按有理数加法法则计算。 　题型2　变式：音乐学期成绩、按比例招聘、权变结论变与反求期末成绩 变式1　【答案】84.9 【解析】96×0.3＋87×0.4＋71×0.3＝28.8＋34.8＋21.3＝84.9（分）。 变式2　【答案】D 【解析】最终成绩为 (72×2＋90×3＋84×5)÷(2＋3＋5)＝834÷10＝83.4（分），选D。 A是三项的算术平均数；B是把权的次序弄反了；C是漏掉了笔试成绩。 变式3　【答案】(1)甲86.6分，乙87.2分，乙高；(2)甲88.2分，乙86.9分，甲高 【解析】(1)甲：(93×6＋77×4)÷10＝86.6（分）；乙：(86×6＋89×4)÷10＝87.2（分）。87.2＞86.6，乙的总分高。 (2)甲：(93×7＋77×3)÷10＝88.2（分）；乙：(86×7＋89×3)÷10＝86.9（分）。88.2＞86.9，甲的总分高。 答：(1)乙的总分高；(2)甲的总分高。权改变了，比较结果也可能随之改变。 变式4　【答案】129.5分 【解析】设小宇的期末成绩是x分。 由题意得126×0.3＋118×0.3＋0.4x＝125，即37.8＋35.4＋0.4x＝125。 移项，得0.4x＝51.8，解得x＝129.5。 检验：37.8＋35.4＋0.4×129.5＝125，符合题意。 答：小宇的期末成绩是129.5分。 　题型3　变式：什锦糖定价、两班合并与反求平均分、字母表示合并平均数、影院票价 变式1　【答案】28.2 【解析】总价为20×3＋30×5＋36×2＝60＋150＋72＝282（元），总质量为3＋5＋2＝10（kg）。 每千克定价为282÷10＝28.2（元）。 变式2　【答案】(1)79分；(2)78.5分 【解析】(1)两班总分为81×36＋76×24＝2916＋1824＝4740（分），合在一起的平均分为4740÷60＝79（分）。 (2)设二班的平均分为x分，由题意得 (2916＋24x)÷60＝80，即2916＋24x＝4800，解得x＝78.5。 答：(1)两班合在一起的平均分是79分；(2)二班的平均分应是78.5分。 变式3　【答案】C 【解析】甲组身高总和是ma cm，乙组有2m人，身高总和是2mb cm，合在一起共3m人。 所以合在一起的平均身高是 ＝ cm，选C。乙组人数多，b的权更大，结果不等于 。 变式4　【答案】(1)32.5元；(2)100张 【解析】(1)票款总额为45×120＋30×200＋20×80＝5400＋6000＋1600＝13000（元），共400张，平均售价为13000÷400＝32.5（元）。 (2)设周日学生票多卖了x张，由题意得 (13000＋30x)÷(400＋x)＝32。 去分母，得13000＋30x＝12800＋32x，解得x＝100。 检验：(13000＋3000)÷500＝32，符合题意。 答：(1)平均售价是32.5元；(2)周日学生票多卖了100张。 　题型4　变式：扇形图求平均分、折线图求平均数、条形图选平均时长与扇形图求总时长 变式1　【答案】4；3.5 【解析】得4分的占45%，最多，所以众数是4分。 平均分为0×10%＋2×25%＋4×45%＋6×20%＝0＋0.5＋1.8＋1.2＝3.5（分）。 变式2　【答案】(1)26本；(2)3天 【解析】(1)由图知，7天借出的本数依次为23，18，26，30，18，35，32。 平均数为 (23＋18＋26＋30＋18＋35＋32)÷7＝182÷7＝26（本）。 (2)超过26本的有周四30本、周六35本、周日32本，共3天。 答：(1)平均每天借出26本；(2)有3天超过平均数。 变式3　【答案】C 【解析】平均数为 (2×3＋3×5＋4×8＋5×4)÷20＝73÷20＝3.65（h），选C。 A是没有乘人数、只把四个时间取平均；B是众数；D是总时间除以了类别个数4。 变式4　【答案】(1)2.6h；(2)520h 【解析】(1)平均服务时长为1×15%＋2×30%＋3×35%＋4×20%＝0.15＋0.6＋1.05＋0.8＝2.6（h）。 (2)总时长为2.6×200＝520（h）。 答：(1)平均服务时长是2.6 h；(2)一共服务了520 h。 　题型5　变式：离差平方和与方差、选出方差、方差与标准差、先求未知数再求方差 变式1　【答案】30；6 【解析】平均数为 (2＋5＋6＋8＋9)÷5＝6。 离差平方和为 ＋＋＋＋＝16＋1＋0＋4＋9＝30。 方差为30÷5＝6。 变式2　【答案】D 【解析】平均数为 (6＋8＋9＋9＋11＋11)÷6＝9。 离差平方和为 ＋＋＋＋＋＝18，方差为18÷6＝3，选D。 A是离差平方和，忘了除以6；B是除以了5；C是标准差。 变式3　【答案】(1)3.5；(2)约1.87 【解析】(1)平均数为 (5＋8＋7＋9＋6＋10＋7＋4)÷8＝56÷8＝7。 离差平方和为 ＋＋＋＋＋＋＋＝4＋1＋0＋4＋1＋9＋0＋9＝28， 方差为28÷8＝3.5。 (2)标准差为 ≈1.87。 答：(1)方差是3.5；(2)标准差约为1.87。 变式4　【答案】6；2 【解析】由 (4＋6＋x＋8)÷4＝6，得18＋x＝24，所以x＝6。 方差为 ＋＋＋÷4＝8÷4＝2。 　题型6　变式：番茄品种的选择、跳绳选手的两种目标、两组劳动时长与面包质检 变式1　【答案】C 【解析】先比平均数：金果、紫玉都是4.9 kg，产量更高。 再比这两个品种的方差：0.3＜0.8，紫玉的产量更稳定，选C。 变式2　【答案】(1)甲的方差8，乙的方差88；(2)选乙 【解析】(1)甲的平均数为 (178＋182＋180＋176＋184)÷5＝180，乙的平均数为 (170＋192＋186＋168＋184)÷5＝180。 甲的方差为 ＋＋＋＋÷5＝40÷5＝8； 乙的方差为 ＋＋＋＋÷5＝440÷5＝88。 (2)甲5次成绩都没有超过184个；乙虽然波动大，但有一次跳到了192个，超过190个。为了夺冠，应选乙参赛。 答：(1)甲、乙的方差分别是8和88；(2)应选乙。 变式3　【答案】0.4；2；A 【解析】A组数据为2，3，3，4，3，方差为 ＋0＋0＋＋0]÷5＝2÷5＝0.4。 B组数据为1，4，3，5，2，方差为 ＋＋＋＋÷5＝10÷5＝2。 0.4＜2，A组的时长更整齐。 变式4　【答案】(1)甲：平均数100g，方差2；乙：平均数100g，方差10；(2)甲正常，乙不正常 【解析】(1)甲的平均数为 (98＋101＋100＋102＋99)÷5＝100（g），方差为 ＋＋＋＋÷5＝10÷5＝2； 乙的平均数为 (97＋104＋100＋96＋103)÷5＝100（g），方差为 ＋＋＋＋÷5＝50÷5＝10。 (2)两台机器的平均质量都等于100 g；甲的方差2≤4，运行正常；乙的方差10＞4，运行不正常，需要检修。 答：(1)见解答；(2)甲运行正常，乙运行不正常。 　题型7　变式：添入一个数据、去掉最高分与最低分、更正录错的数据与整体加常数 变式1　【答案】7；4 【解析】新数据为4，6，8，10，7，平均数为35÷5＝7。 方差为 ＋＋＋＋÷5＝20÷5＝4。 添入的数据恰好等于平均数，平均数不变，而离差平方和不变、个数变多，方差变小。 变式2　【答案】B 【解析】最高分是9.6，最低分是8.4，去掉后剩下9.2，9.5，8.8，9.3，9.4。 平均分为 (9.2＋9.5＋8.8＋9.3＋9.4)÷5＝46.2÷5＝9.24（分），选B。 A是把去掉的两个分数取了平均；C是7个分数的中位数；D是又多去掉了8.8。 变式3　【答案】49kg 【解析】按误录数据算得的总体重为48×10＝480（kg）。 更正后总体重为480－42＋52＝490（kg）。 实际平均体重为490÷10＝49（kg）。 答：实际平均体重是49 kg。 变式4　【答案】11 【解析】本周的总棵数为40＋3×5＝55（棵）。 平均每组种55÷5＝11（棵）。 　题型8　变式：偶数个数据的中位数、从条形图选中位数、极端值更正与由中位数求未知数 变式1　【答案】8.25 【解析】从小到大排列：6，7.5，8，8.5，9，9.5。 数据个数是6，中位数是第3、4个数的平均数：(8＋8.5)÷2＝8.25。 变式2　【答案】C 【解析】共25个数据，中位数是从小到大排列后的第13个数。 7 h有3人，7.5 h有6人，累计9人；再加上8 h的9人，累计18人。第13个数落在8 h这一组，中位数是8 h，选C。 A是把累计到第9人的7.5 h当成了中间；B是把8 h这一组的人数9误当成数据；D是8 h与9 h的平均数，与位置无关。 变式3　【答案】(1)平均数262件，中位数200件；(2)平均数205件，中位数200件 【解析】(1)平均数为 (644＋180＋210＋190＋200＋190＋220)÷7＝1834÷7＝262（件）。 从小到大排列：180，190，190，200，210，220，644，中位数是第4个数200件。 (2)更正后平均数为 (245＋180＋210＋190＋200＋190＋220)÷7＝1435÷7＝205（件）。 排列为180，190，190，200，210，220，245，中位数仍是200件。 答：(1)平均数262件，中位数200件；(2)平均数205件，中位数200件。平均数受极端值影响大，中位数几乎不受影响。 变式4　【答案】8.5 【解析】5个数据已排好序，中位数是第3个数x。 由中位数与平均数相等，得x＝(5＋7＋x＋10＋12)÷5，即5x＝34＋x，解得x＝8.5。 检验：7≤8.5≤10，排列顺序成立。 　题型9　变式：求四分位数、读箱线图、由四分位数推人数与画箱线图 变式1　【答案】138；135；142.5 【解析】数据已从小到大排列，共8个。 中位数为 (137＋139)÷2＝138；前半部分131，134，136，137的中位数为 (134＋136)÷2＝135；后半部分139，142，143，147的中位数为 (142＋143)÷2＝142.5。 变式2　【答案】D 【解析】箱线图中五个数依次是：最小值52，下四分位数68，中位数76，上四分位数84，最大值98。 箱线图不能读出平均数，A错误；最高分是98分，B错误；52分是最低分，没有人低于52分，C错误； 中位数是76，至少有50%的数据大于或等于中位数，D正确，选D。 变式3　【答案】(1)至少120人；(2)至少180人 【解析】(1)183 cm是中位数，至少有50%的数据大于或等于中位数，240×0.5＝120，所以至少有120人。 (2)196 cm是上四分位数，至少有75%的数据小于或等于它，240×0.75＝180，所以至少有180人。 答：(1)至少120人；(2)至少180人。 变式4　【答案】(1)106，110，114，119.5，128；(2)箱子上下两端为119.5和110，箱内横线在114，两端的线分别画到128和106 【解析】(1)从小到大排列：106，107，109，111，112，113，115，116，118，121，123，128。 最小值106，最大值128；中位数为 (113＋115)÷2＝114； 前半部分106，107，109，111，112，113的中位数为 (109＋111)÷2＝110；后半部分115，116，118，121，123，128的中位数为 (118＋121)÷2＝119.5。 (2)画竖直数轴，以110和119.5为箱子的下上两端、在114处画箱内横线，再从箱子上端画线到128、从下端画线到106，并在两条线的端点处画短横线。 　题型10　变式：听力测试的多角度比较、按赋分规则评选与五个数据的分组 变式1　【答案】(1)甲：平均数8分，方差1.5；乙：平均数8分，方差4；(2)甲8分，乙9分 【解析】(1)甲的平均数为 (7＋9＋8＋8＋10＋6＋9＋7)÷8＝64÷8＝8（分）， 甲的方差为 ＋＋＋＋＋＋＋÷8＝12÷8＝1.5； 乙的平均数为 (9＋4＋6＋10＋9＋7＋10＋9)÷8＝64÷8＝8（分）， 乙的方差为 ＋＋＋＋＋＋＋÷8＝32÷8＝4。 (2)甲的得分排序为6，7，7，8，8，9，9，10，中位数为 (8＋8)÷2＝8（分）； 乙的得分排序为4，6，7，9，9，9，10，10，中位数为 (9＋9)÷2＝9（分）。 答：(1)两人平均数都是8分，甲的方差1.5，乙的方差4；(2)甲的中位数8分，乙的中位数9分。 从方差看甲更稳定；从中位数看，乙有一半以上的次数得分不低于9分，只是个别几次失误拉低了平均数。 变式2　【答案】C 【解析】一号：3×3＋2×1＋2＋2＝15（分）；二号：3×1＋2×3＋3＋2＝14（分）； 三号：3×2＋2×3＋3＋1＝16（分）；四号：3×3＋2×2＋1＋1＝15（分）。 三号窗口总分16分最高，选C。二号窗口有两项“满意”，但卫生只得1分，而卫生的权最大。 变式3　【答案】(1)10；(2)28，按{1，3}与{8，10，12}分组更符合 【解析】(1){1，3}的平均数为2，离差平方和为1＋1＝2；{8，10，12}的平均数为10，离差平方和为4＋0＋4＝8；组内离差平方和为2＋8＝10。 (2){1，3，8}的平均数为4，离差平方和为9＋1＋16＝26；{10，12}的平均数为11，离差平方和为1＋1＝2；组内离差平方和为26＋2＝28。 10＜28，“第一组2个、第二组3个”即{1，3}与{8，10，12}的分法组内离差平方和更小。 　易错专练 易错1　【答案】0.5mm 【解析】错解示例：0.5 mm的笔芯卖出的盒数最多，是15盒，所以众数是15。 错因：众数是出现次数最多的那个数据本身，这里的数据是笔芯规格，15是0.5 mm出现的次数。 正解：0.5 mm出现了15次，次数最多，所以众数是0.5 mm。 提醒：写众数前先问一句“数据是什么”，答案必须是数据中的某个值。 易错2　【答案】6 【解析】错解示例：6个数据中间的两个是9和5，中位数是 (9＋5)÷2＝7。 错因：没有先排序就取了“位置在中间”的两个数。 正解：从小到大排列为3，4，5，7，8，9，中间两个数是5和7，中位数是 (5＋7)÷2＝6。 提醒：求中位数第一步永远是排序，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数。 易错3　【答案】85分 【解析】错解示例：(91＋76)÷2＝83.5（分）。 错因：两项的权不同，求的应是加权平均数，直接取算术平均数等于把两项看成同样重要。 正解：91×60%＋76×40%＝91×0.6＋76×0.4＝54.6＋30.4＝85（分）。 提醒：题目给出百分比或比例时，每项先乘权再相加。 易错4　【答案】4.5 【解析】错解示例：平均数是7，各数据与平均数的差为 -3，0，0，3，方差为 (-3＋0＋0＋3)÷4＝0。 错因：方差要把每个差先平方再求平均数；差直接相加的结果总是0，反映不了离散程度。 正解：方差为 ＋＋＋÷4＝18÷4＝4.5。 提醒：“差→平方→相加→除以个数”，四步一步都不能少。 易错5　【答案】2.5 【解析】错解示例：标准差是方差的平方，＝39.0625。 错因：把关系记反了。标准差是方差的算术平方根，不是方差的平方。 正解：标准差为 ＝2.5。 提醒：方差的单位是原数据单位的平方，标准差与原数据单位相同，所以要开平方“还原”。 易错6　【答案】5；12 【解析】错解示例：前半部分取2，4，5，6，下四分位数是 (4＋5)÷2＝4.5。 错因：10个数据的前半部分应有5个数，错解漏掉了第5个数8。 正解：数据已排好序，前半部分2，4，5，6，8的中位数是5，即下四分位数是5；后半部分9，11，12，14，15的中位数是12，即上四分位数是12。 提醒：先按个数对半分，数一数两部分个数是否相等，再在各部分中求中位数。 　课后作业（一）基础巩固 1．【答案】A 【解析】9出现了2次，其余数据各出现1次，众数是9，选A。B是平均数（也是中位数），C是9出现的次数，D是最大值。 2．【答案】A 【解析】(3＋5＋4＋6＋7)÷5＝25÷5＝5（棵），选A。B漏了一个数据，C忘了除以5，D除错了个数。 3．【答案】B 【解析】(74×3＋88×7)÷(3＋7)＝838÷10＝83.8（分），选B。A是算术平均数，C把权的次序弄反了，D只看了期末成绩。 4．【答案】A 【解析】方差越小，数据越稳定。0.8＜2.3，乙组数据更稳定，选A。 5．【答案】D 【解析】从小到大排列为227，229，230，233，236，238，中位数是 (230＋233)÷2＝231.5，选D。A是没排序就取中间两个数的平均数。 6．【答案】A 【解析】平均数为 (3＋5＋9＋11)÷4＝7，方差为 ＋＋＋÷4＝40÷4＝10，标准差为 ，选A。 B是方差，C是离差平方和，D是把离差平方和直接开平方。 7．【答案】C 【解析】生产数量最多的尺码应是订购人数最多的尺码，即出现次数最多的数据，参考众数，选C。 8．【答案】B 【解析】前半部分为1，3，4，6，其中位数为 (3＋4)÷2＝3.5，下四分位数是3.5，选B。C是整组数据的中位数。 　课后作业（二）能力进阶 9．【答案】34；17 【解析】五个数据的和是19×5＝95，所以a＋b＝95－16－21－24＝34。 众数只有一个且是17，说明17至少出现2次，而16，21，24都不是17，所以a，b都是17（17＋17＝34，符合）。 数据从小到大排列为16，17，17，21，24，中位数是17。 10．【答案】9.4 【解析】(8×5＋10×3＋12×2)÷(5＋3＋2)＝94÷10＝9.4（元）。 11．【答案】2； 【解析】平均数为3，方差为 ＋＋＋＋÷5＝10÷5＝2，标准差为 。 12．【答案】9；3 【解析】方差为45÷5＝9，标准差为 ＝3。 13．【答案】3.5；3 【解析】共30个数据，中位数是第15、16个数的平均数。2人的有3户，累计到3人共15户，所以第15个数是3，第16个数是4，中位数为 (3＋4)÷2＝3.5（人）。 3人的户数最多，众数是3人。 14．【答案】157；159.5 【解析】8个数据的中位数是第4、5个数的平均数，所以 (156＋x)÷2＝156.5，解得x＝157。 后半部分157，159，160，164的中位数为 (159＋160)÷2＝159.5，即上四分位数是159.5 cm。 15．【答案】75 【解析】(72×16＋77×24)÷(16＋24)＝3000÷40＝75（分）。 16．【答案】8；2.5 【解析】新数据为6，7，9，10，平均数为32÷4＝8。 方差为 ＋＋＋÷4＝10÷4＝2.5，与原数据的方差2.5相同。 　课后作业（三）拓展延伸 17．【答案】(1)甲82.4分，乙82.9分；(2)录取乙 【解析】(1)甲：(68×2＋95×5＋71×3)÷10＝824÷10＝82.4（分）；乙：(92×2＋78×5＋85×3)÷10＝829÷10＝82.9（分）。 (2)82.9＞82.4，应录取乙。甲的语言一项得分最高，但另外两项偏低，按权合成后仍比乙低。 18．【答案】(1)甲：平均数3件，方差1.2；乙：平均数3件，方差5.2；(2)甲 【解析】(1)甲的平均数为 (1＋3＋3＋4＋4)÷5＝3（件），方差为 ＋＋＋＋÷5＝6÷5＝1.2； 乙的平均数为 (0＋5＋3＋6＋1)÷5＝3（件），方差为 ＋＋＋＋÷5＝26÷5＝5.2。 (2)1.2＜5.2，甲生产线的次品数更稳定。 19．【答案】(1)平均数161.5h，中位数160h，众数160h；(2)160h 【解析】(1)平均数为 (120×2＋150×5＋160×8＋180×4＋240×1)÷20＝3230÷20＝161.5（h）。 前两组共7人，加上160 h的8人共15人，所以排序后第10、11个数都是160，中位数为160 h；160 h的人数最多，众数为160 h。 (2)达标线定为160 h时，达标的有8＋4＋1＝13人，超过一半；若高于160 h，达标的只有180 h与240 h的5人，不到一半。所以达标线定为160 h。 20．【答案】(1)平均数1000g，标准差约2.65g；(2)4袋 【解析】(1)平均数为 (996＋1002＋1001＋999＋1004＋998)÷6＝6000÷6＝1000（g）。 方差为 ＋＋＋＋＋÷6＝42÷6＝7，标准差为 ≈2.65（g）。 (2)平均数－标准差≈1000－2.65＝997.35（g），平均数＋标准差≈1000＋2.65＝1002.65（g）。 在997.35 g与1002.65 g之间的有1002 g，1001 g，999 g，998 g，共4袋；996 g与1004 g在这个范围之外。 21．【答案】(1)29min，32.5min，36min；(2)2天 【解析】(1)从小到大排列：26，28，30，32，33，35，37，41。 中位数为 (32＋33)÷2＝32.5（min）；前半部分26，28，30，32的中位数为 (28＋30)÷2＝29（min）；后半部分33，35，37，41的中位数为 (35＋37)÷2＝36（min）。 (2)不少于36 min的有37 min与41 min，共2天。 22．【答案】80.5分 【解析】按录错的成绩算得总分为79×42＝3318（分）。 更正后总分为3318－39＋93－55＋64＝3381（分）。 实际平均分为3381÷42＝80.5（分）。 23．【答案】40% 【解析】设平时成绩占x，则期末成绩占1－x。 由题意得92x＋77(1－x)＝83，即15x＋77＝83，解得x＝0.4。 答：平时成绩在总评中占40%。 24．【答案】(1)71个，78个，提高了7个；(2)18个，14个 【解析】(1)箱内横线表示中位数，第一次为71个，第二次为78个，提高了78－71＝7（个）。 (2)第一次：80－62＝18（个）；第二次：84－70＝14（个）。第二次的箱子更短，中间一半同学的成绩更集中。 25．【答案】(1)12.85元；(2)5140元 【解析】(1)平均单价为16×25%＋13×45%＋10×30%＝16×0.25＋13×0.45＋10×0.3＝4＋5.85＋3＝12.85（元）。 (2)营业额为12.85×400＝5140（元）。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版·八年级上册·第六章 数据的分析·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第六章 数据的分析 题型精讲讲义-2026-2027学年八年级上册数学北师大版 北师大版（2024年版）八年级数学上册　第六章　数据的分析　1 平均数与方差　2 中位数与箱线图　3 哪个团队收益大 含 10 个考点例题　/　共 81 题（变式 40 · 易错 6 · 作业 25）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出众数、算术平均数、加权平均数、中位数的意义，会从数据、统计表和条形、扇形、折线统计图中求出它们，知道平均数易受极端值影响、中位数受极端值影响小。 2．能说出离差平方和、方差、标准差的意义，会按“求平均数→求差→平方相加→除以个数”计算方差与标准差，并用“方差越小越稳定”比较两组数据、作出选择。 3．会求一组数据的下四分位数、中位数、上四分位数，会读、会画箱线图，能用平均数、方差、四分位数多角度分析数据；了解按组内离差平方和最小分组的方法。 学习重难点 重点：加权平均数的计算（百分比、比例、人数作权）；方差与标准差的计算与应用；中位数、四分位数的求法；从统计图中获取统计量。 难点：给了权仍求算术平均数、方差漏步、众数写成次数、四分位数分错前后两半是四大失分点；根据问题的目标（求稳或求突破、描述一般水平）选用合适的统计量。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　众数：出现次数最多的那个数据 2 知识点 02　算术平均数：刻画数据“中心”的指标 2 知识点 03　加权平均数：按“重要程度”赋权 3 知识点 04　离散程度：离差平方和、方差与标准差 3 知识点 05　中位数：处于“位置中心”的数据 3 知识点 06　百分位数与四分位数 4 知识点 07　箱线图：五个数看整体分布 4 考点 1　众数与算术平均数的计算 5 考点 2　加权平均数（一）：按百分比或比例计算综合成绩 6 考点 3　加权平均数（二）：以个数、人数为权 7 考点 4　从统计图中获取众数与平均数 8 考点 5　离差平方和、方差与标准差的计算 10 考点 6　用方差比较稳定性并作出选择 11 考点 7　数据变动后平均数、方差的变化 13 考点 8　中位数与三个集中趋势统计量的比较 14 考点 9　四分位数的计算与箱线图 15 考点 10　（拓展）按组内离差平方和最小分组与数据的综合评价 17 易错专练 19 课后作业（一）基础巩固 20 课后作业（二）能力进阶 20 课后作业（三）拓展延伸 21 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　众数：出现次数最多的那个数据 教材从射击成绩的统计图讲起：一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数。众数是数据本身，不是它出现的次数；如果有两个数据出现的次数并列最多，它们都是众数，教材中丁的射击成绩就有6环和10环两个众数。例：一周里某便利店每天卖出的饭团个数是31，28，35，28，40，35，28，这组数据中28出现了3次，最多，所以众数是28。小提示：从条形统计图找众数，看的是最高的那根直条对应的类别，而不是直条的高度。 众数＝出现次数最多的数据（可以不止一个） 读统计图：最高直条所对的横轴类别就是众数 知识点　02　算术平均数：刻画数据“中心”的指标 一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，就得到这组数据的算术平均数，简称平均数。平均数是刻画一组数据集中趋势的一项指标，反映了一组数据的“中心”。计算时所有数据都参加运算，所以它能充分利用数据提供的信息，但容易受极端值的影响；平均数也不一定是这组数据中的某一个数。例：三次跳远成绩3.6 m，4.1 m，3.8 m的平均数是 (3.6＋4.1＋3.8)÷3≈3.83（m），不等于其中任何一次。小提示：数据个数要数清，漏数一个或多数一个，结果就错了。 平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)÷n 特点：用到全部数据；易受极端值影响 知识点　03　加权平均数：按“重要程度”赋权 在很多实际问题中，一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同，计算平均数时往往按重要程度给每个数据赋一个“权”，这样算出的平均数叫作加权平均数。权可以是个数、人数，也可以是百分比或比例。教材还算了两家网站的日人均上网时间：A家用户平均a h、有m人，B家用户平均b h、有n人，合在一起的日人均上网时间是 h，它不是a与b的算术平均数。例：一次练习中，8人得5分、12人得4分，平均分是 (5×8＋4×12)÷20＝4.4（分）。小提示：权用百分比给出且和为100%时，各项“成绩×百分比”直接相加即可，不必再除。 加权平均数＝(x1w1＋x2w2＋…＋xnwn)÷(w1＋w2＋…＋wn) 两组合并：，一般不等于 (a＋b)÷2 知识点　04　离散程度：离差平方和、方差与标准差 除了集中趋势，人们还关注数据的离散程度，即数据相对于集中趋势的偏离情况。离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和；方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，记作；标准差是方差的算术平方根。一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定。例：数据1，3，5，7的平均数是4，离差平方和是9＋1＋1＋9＝20，方差是20÷4＝5，标准差是 。小提示：先求平均数，再求差、平方、求和，最后除以数据个数；只求出离差平方和就停笔，是最常见的漏步。教材还介绍了按“组内离差平方和达到最小”把一组数据分成几组的方法。 方差＝＋＋…＋÷n 标准差＝；方差、标准差越小，数据越稳定 知识点　05　中位数：处于“位置中心”的数据 n个数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数。数据个数为奇数时取正中间的那个，为偶数时取中间两个的平均数。中位数计算简单，受极端值影响小；这组数据中至少有50%的数据小于或等于中位数，至少有50%的数据大于或等于中位数。众数、平均数和中位数都是描述数据集中趋势的统计量：数据多次重复出现时众数常被关心，数据中有极端值时中位数往往更能代表“中等水平”。例：数据2，9，4，7先排成2，4，7，9，中位数是 (4＋7)÷2＝5.5。小提示：求中位数前必须先排序。 奇数个：排序后正中间的数；偶数个：中间两数的平均数 有极端值时，中位数比平均数更能代表中等水平 知识点　06　百分位数与四分位数 中位数也称为第50百分位数或50%分位数，记为m50。类似地可以找出其他p%分位数，记为mp，制作百分位数值表来反映数据的分布情况。把一组数据从小到大排列，m50把数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数；m25，m50，m75分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。例：数据1，2，4，5，7，8，10，11的中位数是 (5＋7)÷2＝6，前半部分1，2，4，5的中位数是3，后半部分7，8，10，11的中位数是9，所以m25＝3，m75＝9。小提示：分前后两半时，数据个数为偶数，正好对半分。 m25＝前半部分的中位数；m50＝中位数；m75＝后半部分的中位数 至少25%的数据 ≤ m25，至少75%的数据 ≤ m75 知识点　07　箱线图：五个数看整体分布 箱线图由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值这五个数画成：“箱子”的两端是m25和m75，箱内横线是中位数，箱子两端各引一条线到最小值和最大值。箱线图包含了最小值、最大值和四分位数信息，可以用来反映一组数据的整体分布情况，特别适用于多组数据整体分布情况的比较。例：五个数为40，52，60，65，78时，箱子从52画到65，箱内横线在60。小提示：箱子越短，中间一半数据越集中；中位数横线把箱子分成长短不同的两截，说明数据在中位数两侧的分布疏密不同。比较两组数据的整体情况，可以借助平均数和方差，也可以借助四分位数和箱线图。 五个数：最小值、m25、m50、m75、最大值 箱子长度＝m75－m25，越短中间一半数据越集中 【题型1】众数与算术平均数的计算 北师大版本章先讲众数、再讲平均数。找众数只数“出现次数”，求平均数要“全部相加再除以个数”，两件事分开做、分开检查。 例1　航模社8名同学各放飞一次纸飞机，留空时间（单位：s）依次为22，25，21，25，28，23，25，23。(1)这组留空时间的众数是多少？(2)求这8次留空时间的平均数。 【分析】众数看哪一个数据出现的次数最多；平均数把8个数据全部加起来再除以8。 【解答】(1)25出现了3次，23出现了2次，其余各出现1次，所以众数是25 s。 (2)平均数为 (22＋25＋21＋25＋28＋23＋25＋23)÷8＝192÷8＝24（s）。 答：(1)众数是25 s；(2)平均留空时间是24 s。 【方法小结】数数据个数时可以在草稿上逐个打勾；平均数24 s并不在这组数据中出现，这正说明平均数不一定是数据中的某个数。 题型1　变式：选出平均数、由平均数求未知数、双众数与高于平均数的个数 五道变式从三个方向练：直接求平均数、已知平均数反求一个数据、一组数据有两个众数，以及把平均数当作一条“分界线”来数人数。 变式1　某小区统计了7天里每天回收的旧电池质量（单位：kg），依次为6，9，9，4，9，4，8。这7天回收量的平均数是（　　） A．9 B．7 C．8 D．49 变式2　一组数据5，8，x，10，7的平均数是8，则x＝____，这组数据的众数是____。 变式3　某兴趣小组8名同学一周的课外阅读量（单位：页）为32，46，46，58，67，67，74，90。这组数据的众数是____，平均数是____页。 变式4　体育课上，某小组6名同学1 min仰卧起坐的个数依次为36，50，42，57，50，44。(1)求这6名同学仰卧起坐个数的平均数；(2)个数高于平均数的有几人？ 变式5　气象站记录了某山区连续5天的最低气温（单位：℃）：-4，1，-3，0，-4。这5天最低气温的平均数是____℃。 【题型2】加权平均数（一）：按百分比或比例计算综合成绩 评比、招聘、学期总评常常把几项成绩按不同的百分比或比例合成一个综合成绩。算法只有一句话：每项成绩乘它的权，相加后除以权的和。 例1　社区评选“优秀志愿服务小队”，从服务时长、服务质量、居民评价三项打分（每项满分100分），三支小队的得分见下表。若三项得分依次按25%，35%，40%计算综合成绩，(1)分别求三支小队的综合成绩；(2)哪支小队的综合成绩最高？ 小队 服务时长 服务质量 居民评价 星火队 88 92 85 青禾队 94 86 88 启航队 90 90 86 【分析】三项的权是25%，35%，40%，和为100%，每支小队的综合成绩就是各项“得分×百分比”的和。 【解答】(1)把百分比化成小数：25%＝0.25，35%＝0.35，40%＝0.4。星火队：88×0.25＋92×0.35＋85×0.4＝22＋32.2＋34＝88.2（分）； 青禾队：94×0.25＋86×0.35＋88×0.4＝23.5＋30.1＋35.2＝88.8（分）； 启航队：90×0.25＋90×0.35＋86×0.4＝22.5＋31.5＋34.4＝88.4（分）。 (2)88.8＞88.4＞88.2，所以青禾队的综合成绩最高。 【方法小结】若直接求三项的算术平均数，星火队约88.3分、青禾队约89.3分、启航队约88.7分，名次虽然没变，但分值都不对；题目给了权，就必须用加权平均数。 题型2　变式：音乐学期成绩、按比例招聘、权变结论变与反求期末成绩 四道变式覆盖权的三种给法——百分比、连比、两项比例，并练一次“已知综合成绩反求某一项”。 变式1　某校音乐学期成绩由平时表现、演唱、乐理笔试三部分组成，依次占30%，40%，30%。小晴这三部分的成绩依次是96分、87分、71分，她的音乐学期成绩是____分。 变式2　某图书馆招聘管理员，笔试、面试、试岗三项成绩按2∶3∶5的比例确定最终成绩。应聘者小林三项成绩依次为72分、90分、84分，她的最终成绩是（　　） A．82分 B．79.8分 C．87分 D．83.4分 变式3　校园演讲比赛从“内容”“表达”两项评分，甲的内容得分93分、表达得分77分，乙的内容得分86分、表达得分89分。(1)若内容与表达按6∶4计算总分，谁的总分高？(2)若内容与表达按7∶3计算总分，谁的总分高？ 变式4　某校数学学期总评由平时成绩、期中成绩、期末成绩三部分组成（各部分满分均为150分），依次占30%，30%，40%。小宇的平时成绩为126分，期中成绩为118分，学期总评恰好是125分，他的期末成绩是多少分？ 【题型3】加权平均数（二）：以个数、人数为权 数据以“某个值出现了几次”的方式给出时（统计表、混合定价、两组合并），出现的次数、人数就是权。求和时乘上次数，除的时候除以总次数。 例1　八(3)班50名同学参加“书香校园”捐书活动，捐书情况见下表。(1)求这个班平均每人捐书多少本；(2)捐书本数的众数是多少？ 捐书本数/本 1 2 3 4 5 人数 6 15 18 8 3 【分析】每个捐书本数出现的人数不同，人数就是权，总人数50是权的和。 【解答】(1)平均数为 (1×6＋2×15＋3×18＋4×8＋5×3)÷50＝137÷50＝2.74（本）。 (2)捐3本的有18人，人数最多，所以众数是3本。 答：(1)平均每人捐书2.74本；(2)众数是3本。 【方法小结】表格里“人数”一行是权，不是数据本身；众数是3本而不是18，平均数也不能写成 (1＋2＋3＋4＋5)÷5＝3。 题型3　变式：什锦糖定价、两班合并与反求平均分、字母表示合并平均数、影院票价 四道变式都在“按份数加权”：混合定价、两个班合在一起、用字母写出合并平均数，以及多卖了若干张票后平均票价的变化。 变式1　糖果店把单价20元/kg的奶糖3 kg、单价30元/kg的软糖5 kg、单价36元/kg的巧克力糖2 kg混合成什锦糖。按总价不变计算，什锦糖每千克应定价____元。 变式2　一次数学测验中，一班36人的平均分是81分，二班24人的平均分是76分。(1)求两个班合在一起的平均分；(2)若一班成绩不变，要使两班合在一起的平均分达到80分，二班的平均分应是多少？ 变式3　甲组有m名同学，平均身高是a cm；乙组的人数是甲组的2倍，平均身高是b cm。两组同学合在一起的平均身高是（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 变式4　某影院周六售出成人票120张（每张45元）、学生票200张（每张30元）、儿童票80张（每张20元）。(1)这天平均每张票的售价是多少元？(2)周日成人票、儿童票的张数与票价都和周六相同，学生票比周六多卖了若干张，结果平均每张票的售价是32元，周日学生票多卖了多少张？ 【题型4】从统计图中获取众数与平均数 条形统计图的直条高度、扇形统计图的百分比、折线统计图的各点纵坐标，都是求统计量的原料。条形图、扇形图里“人数”“百分比”是权，折线图的每个点就是一个数据。 例1　如图是学校合唱团20名团员年龄的条形统计图。(1)团员年龄的众数是多少？(2)求团员的平均年龄。 【分析】横轴是年龄，直条高度是人数；人数是每个年龄的权。 【解答】(1)14岁对应的直条最高，有7人，所以众数是14岁。 (2)平均年龄为 (13×4＋14×7＋15×6＋16×3)÷20＝288÷20＝14.4（岁）。 答：(1)众数是14岁；(2)平均年龄是14.4岁。 【方法小结】从条形统计图读数据时，先把“类别→人数”抄成一行表，再按加权平均数计算；众数写横轴上的年龄，不写直条高度7。 题型4　变式：扇形图求平均分、折线图求平均数、条形图选平均时长与扇形图求总时长 四道变式各用一种统计图：扇形图里的百分比当权、折线图上的点直接是数据、条形图读人数，最后再由平均数推总量。 变式1　一次测验中有一道满分6分的解答题，按0分、2分、4分、6分四档给分。全年级该题得分情况如扇形统计图所示，则该题得分的众数是____分，平均分是____分。 变式2　如图是社区图书角某周7天每天借出图书本数的折线统计图。(1)求这7天平均每天借出多少本；(2)借出本数超过平均数的有几天？ 变式3　如图是某兴趣小组20名同学一周课外锻炼时间的条形统计图，这20名同学一周课外锻炼时间的平均数是（　　） A．3.5 h B．4 h C．3.65 h D．18.25 h 变式4　某校八年级200名学生参加一次志愿服务，每人的服务时长（取整数小时）情况如扇形统计图所示。(1)求这200名学生的平均服务时长；(2)这200名学生一共服务了多少小时？ 【题型5】离差平方和、方差与标准差的计算 北师大版按“离差平方和→方差→标准差”的次序刻画离散程度。计算分四步：求平均数、求各数据与平均数的差、把差平方后相加、除以数据个数；标准差再开平方。 例1　果园抽检5个脐橙，质量（单位：g）依次为196，204，200，198，202。(1)这5个脐橙质量的平均数与方差各是多少？(2)这5个脐橙质量的标准差约是多少克（结果精确到0.01 g）？ 【分析】先求平均数，再求离差平方和，除以5得方差，最后开平方得标准差。 【解答】(1)平均数为 (196＋204＋200＋198＋202)÷5＝1000÷5＝200（g）。 离差平方和为 ＋＋＋＋＝16＋16＋0＋4＋4＝40， 所以方差＝40÷5＝8。 (2)标准差为 ＝≈2.83（g）。 答：(1)平均数是200 g，方差是8；(2)标准差约为2.83 g。 【方法小结】把“差”列成一行 -4，4，0，-2，2，先核对它们的和为0（和不为0说明平均数算错），再平方相加，可以少出错。 题型5　变式：离差平方和与方差、选出方差、方差与标准差、先求未知数再求方差 四道变式把四步算法走熟：先分别写出离差平方和与方差，再在选项里分清方差、离差平方和与标准差，最后一题要先由平均数求出未知数。 变式1　一组数据2，5，6，8，9的离差平方和是____，方差是____。 变式2　某6名同学一周做家务的次数分别为6，8，9，9，11，11，这组数据的方差是（　　） A．18 B．3.6 C． D．3 变式3　某小组8名同学引体向上的个数依次为5，8，7，9，6，10，7，4。(1)这8个个数的方差是多少？(2)把方差开平方，写出标准差的近似值（保留两位小数）。 变式4　在4，6，x，8这四个数中，x的取值使四个数的平均数恰好为6，那么x等于____，此时这四个数的方差为____。 【题型6】用方差比较稳定性并作出选择 平均数相同或相近时，比的是方差：方差小的更稳定。作选择时还要看题目的目标——求稳选方差小的，求突破要看谁有冲高的成绩。 例1　学校要从甲、乙两名同学中选一人参加口算竞赛，两人最近6次训练中每次答对的题数如折线统计图所示。(1)分别求甲、乙答对题数的平均数与方差；(2)选谁参赛成绩更稳定？ 【分析】先从图中读出两组数据：甲45，51，48，52，49，49；乙43，55，50，44，53，49。 【解答】(1)甲的平均数为 (45＋51＋48＋52＋49＋49)÷6＝294÷6＝49， 甲的方差为 ＋＋＋＋＋÷6＝(16＋4＋1＋9＋0＋0)÷6＝5； 乙的平均数为 (43＋55＋50＋44＋53＋49)÷6＝294÷6＝49， 乙的方差为 ＋＋＋＋＋÷6＝(36＋36＋1＋25＋16＋0)÷6＝19。 (2)两人平均数相同，5＜19，甲的方差小，成绩更稳定，选甲参赛。 【方法小结】折线越平缓，数据越集中，方差越小；看图先作估计，再用计算核实。 题型6　变式：番茄品种的选择、跳绳选手的两种目标、两组劳动时长与面包质检 四道变式练“比较—决策”：从平均数与方差的表中挑品种、按不同目标选选手、从复式条形图算方差比较，以及用给定标准判断机器是否运行正常。 变式1　农科站试种四个番茄品种，每个品种单株产量（单位：kg）的平均数与方差见下表。要选一个产量高且产量稳定的品种推广，应选（　　） 品种 红珠 金果 紫玉 粉冠 平均数/kg 4.6 4.9 4.9 4.6 方差 0.8 0.8 0.3 0.3 A．红珠 B．金果 C．紫玉 D．粉冠 变式2　甲、乙两名跳绳选手最近5次1 min跳绳的个数如下。甲：178，182，180，176，184；乙：170，192，186，168，184。(1)分别求两人成绩的方差；(2)若比赛中跳到190个以上才有可能夺冠，应选谁参赛？ 变式3　如图是A、B两个劳动小组各5名组员一周劳动时长（单位：h）的复式条形统计图，两组的平均时长都是3 h。A组劳动时长的方差是____，B组劳动时长的方差是____，时长更整齐的是____组。 变式4　某面包房用甲、乙两台机器分装标准质量为100 g的面包。规定：抽检样品的平均质量与100 g相差不超过1 g，且质量的方差不大于4时，机器运行正常。现从两台机器分装的面包中各抽5个，质量（单位：g）如下。甲：98，101，100，102，99；乙：97，104，100，96，103。(1)分别求两组样品质量的平均数与方差；(2)哪台机器运行正常？ 【题型7】数据变动后平均数、方差的变化 教材在射击问题里追问过：再射一次脱靶，平均成绩怎么变？又射了几次，平均数没变而方差变小了，说明什么？这类题的稳妥做法是把变动后的数据写出来，重新算一遍。 例1　一组数据3，5，6，7，9的平均数是6，方差是4。(1)把每个数据都加上10，求新数据的平均数与方差；(2)把每个数据都乘2，求新数据的平均数与方差。 【分析】写出新数据，按定义重新计算，再和原来的结果对照。 【解答】(1)新数据为13，15，16，17，19，平均数为 (13＋15＋16＋17＋19)÷5＝80÷5＝16， 方差为 ＋＋＋＋÷5＝20÷5＝4。 (2)新数据为6，10，12，14，18，平均数为 (6＋10＋12＋14＋18)÷5＝60÷5＝12， 方差为 ＋＋＋＋÷5＝80÷5＝16。 答：(1)平均数是16，方差是4；(2)平均数是12，方差是16。 【方法小结】对照结果：都加10后，每个数据与平均数的差不变，所以方差不变；都乘2后，每个差都变成原来的2倍，平方后变成4倍，方差由4变成16。 题型7　变式：添入一个数据、去掉最高分与最低分、更正录错的数据与整体加常数 四道变式对应数据变动的四种常见情形：多了一个数据、去掉两个极端数据、发现录错后更正、所有数据同时增加同一个数。 变式1　一组数据4，6，8，10的平均数是7，方差是5。在这组数据中再添入一个数据7，新数据的平均数是____，方差是____。 变式2　校园歌手大赛中，7位评委给某选手的打分依次为9.2，9.5，8.8，9.6，9.3，8.4，9.4。按规则去掉一个最高分和一个最低分后求平均分，该选手的最后得分是（　　） A．9.0分 B．9.24分 C．9.3分 D．9.35分 变式3　某小组10名同学体检后算得平均体重为48 kg。复核时发现，一名同学的体重52 kg被误录成了42 kg。这10名同学的平均体重实际是多少千克？ 变式4　某班5个劳动小组上周各自种下的树苗棵数之和为40棵。本周每个小组都比上周多种了3棵，本周5个小组平均每组种树____棵。 【题型8】中位数与三个集中趋势统计量的比较 中位数先排序、再取中间。当数据里出现特别大或特别小的数时，平均数会被拉偏，中位数和众数更能说明“一般情况”。 例1　某楼栋9户家庭5月的用电量（单位：kW·h）依次为86，120，95，102，95，307，88，95，110。(1)这9户用电量的平均数、中位数、众数各是多少千瓦时？(2)用电量不超过中位数的有几户？ 【分析】中位数要先排序；数据个数9是奇数，第5个数就是中位数。 【解答】(1)平均数为 (86＋120＋95＋102＋95＋307＋88＋95＋110)÷9＝1098÷9＝122（kW·h）。 从小到大排列：86，88，95，95，95，102，110，120，307，第5个数是95，中位数是95 kW·h。 95出现了3次，最多，众数是95 kW·h。 (2)不超过95的有86，88，95，95，95，共5户。 答：(1)平均数是122 kW·h，中位数和众数都是95 kW·h；(2)有5户。 【方法小结】9户中只有1户超过平均数122，原因是307这个极端值把平均数拉高了；描述这栋楼一般家庭的用电水平，中位数比平均数更合适。 题型8　变式：偶数个数据的中位数、从条形图选中位数、极端值更正与由中位数求未知数 四道变式练中位数的四个要点：个数为偶数时取中间两个的平均数、从统计图里按人数累计找位置、极端值变化时平均数变而中位数不变，以及列方程求数据。 变式1　小雨最近6次英语口语测评（满分10分）的得分依次为7.5，9，6，9.5，8，8.5，这组数据的中位数是____。 变式2　某班25名同学平均每天的睡眠时间统计如条形图所示。把睡眠时间按从短到长排列后，处在正中间位置的时间是（　　） A．7.5 h B．9 h C．8 h D．8.5 h 变式3　某街道7个快递驿站某天的派件量（单位：件）依次为644，180，210，190，200，190，220。(1)这7个驿站派件量的平均数是多少？中位数呢？(2)复核发现644是把245录错了，更正后平均数与中位数分别是多少？ 变式4　已知数据5，7，x，10，12已经按从小到大的顺序排列，并且这组数据的中位数与平均数相等，则x＝____。 【题型9】四分位数的计算与箱线图 求四分位数的顺序固定：先排序，再求中位数，然后在前一半、后一半里各求一次中位数。五个数（最小值、三个四分位数、最大值）齐了，箱线图就能画出来。 例1　某班12名同学上周做家务的时间（单位：h）依次为3，5，2，6，4，8，5，3，7，4，6，9。(1)先排序，再把中位数和上、下两个四分位数找出来；(2)写出画这组数据的箱线图需要的五个数。 【分析】12个数据排好序后前后各6个，前6个的中位数是m25，后6个的中位数是m75。 【解答】(1)从小到大排列：2，3，3，4，4，5，5，6，6，7，8，9。 中位数m50＝(5＋5)÷2＝5（h）； 前半部分2，3，3，4，4，5的中位数为 (3＋4)÷2＝3.5，即m25＝3.5 h； 后半部分5，6，6，7，8，9的中位数为 (6＋7)÷2＝6.5，即m75＝6.5 h。 (2)最小值2，下四分位数3.5，中位数5，上四分位数6.5，最大值9。 答：(1)中位数5 h，下四分位数3.5 h，上四分位数6.5 h；(2)五个数依次为2，3.5，5，6.5，9。 【方法小结】前半部分、后半部分各有6个数，都要再取“中间两个的平均数”；不要把中位数所在的两个数漏掉。 题型9　变式：求四分位数、读箱线图、由四分位数推人数与画箱线图 四道变式由算到读：先按定义求四分位数，再从箱线图读出五个数并判断说法，接着用“至少50%”估计人数，最后由原始数据画出箱线图。 变式1　数据131，134，136，137，139，142，143，147的中位数是____，下四分位数是____，上四分位数是____。 变式2　如图是八(2)班一次物理小测成绩的箱线图。根据箱线图，下列判断中正确的是（　　） A．全班成绩的平均数是76分 B．全班成绩的最高分是84分 C．约有四分之一的同学成绩低于52分 D．至少有一半的同学成绩不低于76分 变式3　某校八年级240名学生立定跳远成绩的四分位数为：m25＝168 cm，m50＝183 cm，m75＝196 cm。(1)成绩不低于183 cm的至少有多少人？(2)成绩不高于196 cm的至少有多少人？ 变式4　某地铁站连续12个工作日早高峰5分钟内的进站人数依次为106，113，121，109，128，115，112，123，107，118，116，111。(1)这12天进站人数的最小值、最大值与三个四分位数各是多少？(2)画出这组数据的箱线图。 【题型10】（拓展）按组内离差平方和最小分组与数据的综合评价 教材用“组内离差平方和达到最小”把10个苹果按直径分成两组，并用平均数、方差、四分位数多角度评价两个团队（拓展）。分组的要领是：先排序，只在相邻位置切开，逐种计算后取最小。 例1　兴趣小组测得6株向日葵幼苗的高度（单位：cm）从小到大依次为31，33，38，44，46，48，要按“组内离差平方和达到最小”把它们分成两组。(1)分别计算“第一组2株、第二组4株”与“第一组3株、第二组3株”两种分法的组内离差平方和；(2)已知其余三种分法的组内离差平方和依次为152.8，103，173.2，应怎样分组？ 【分析】组内离差平方和是两组各自离差平方和的和。 【解答】(1)第一种：{31，33}的平均数为32，离差平方和为1＋1＝2；{38，44，46，48}的平均数为44，离差平方和为36＋0＋4＋16＝56；组内离差平方和为2＋56＝58。 第二种：{31，33，38}的平均数为34，离差平方和为9＋1＋16＝26；{44，46，48}的平均数为46，离差平方和为4＋0＋4＝8；组内离差平方和为26＋8＝34。 (2)五种分法的组内离差平方和为152.8，58，34，103，173.2，其中34最小，所以分成{31，33，38}与{44，46，48}两组。 【方法小结】分组只在排好序的相邻数据之间切开，6个数据共5种分法；组内越“挤”，组内离差平方和越小。 题型10　变式：听力测试的多角度比较、按赋分规则评选与五个数据的分组 三道变式分别用平均数与方差、赋分加权、组内离差平方和，从不同角度分析同一类问题（拓展）。 变式1　甲、乙两名同学8次英语听力测试的得分（满分10分）如下。甲：7，9，8，8，10，6，9，7；乙：9，4，6，10，9，7，10，9。(1)两人得分的平均数都是多少？方差各是多少？(2)两人得分的中位数分别是多少？ 变式2　学校食堂评选“最受欢迎窗口”，对卫生、口味、价格、服务四项作评价，“满意”记3分，“较满意”记2分，“一般”记1分，总分＝3×卫生＋2×口味＋价格＋服务。四个窗口的评价见下表，总分最高的是（　　） 窗口 卫生 口味 价格 服务 一号 满意 一般 较满意 较满意 二号 一般 满意 满意 较满意 三号 较满意 满意 满意 一般 四号 满意 较满意 一般 一般 A．一号窗口 B．二号窗口 C．三号窗口 D．四号窗口 变式3　5个数据1，3，8，10，12要分成两组。(1)按{1，3}与{8，10，12}分组时，组内离差平方和是多少？(2)改按{1，3，8}与{10，12}分组，组内离差平方和是多少？两种分法哪一种更符合“组内离差平方和达到最小”？ 　易错专练 本章失分集中在六处：把众数写成次数、不排序就取中位数、给了权却求算术平均数、方差计算把差直接相加、方差与标准差混用、四分位数分错前后两半。下面六题各守一处，做完再对照答案里的错解与错因。 易错1　某文具店一周卖出某款中性笔笔芯的情况为：0.35 mm的8盒，0.5 mm的15盒，0.7 mm的12盒，1.0 mm的5盒。求这组笔芯规格数据的众数。 易错2　求数据7，3，9，5，4，8的中位数。 易错3　某岗位招聘时，笔试成绩占60%，面试成绩占40%。应聘者小周笔试91分，面试76分，求她的综合成绩。 易错4　求数据4，7，7，10的方差。 易错5　测得某组同学身高（单位：cm）的方差为6.25，求这组身高数据的标准差。 易错6　求数据2，4，5，6，8，9，11，12，14，15的下四分位数与上四分位数。 　课后作业（一）基础巩固 下面8题是本章必会的基础，每题只有一个选项符合题意。考查次序是众数、平均数、加权平均数、稳定性、中位数、标准差、统计量的选择与四分位数。 1．数据2，5，6，7，9，9，11的众数是（　　） A．9 B．7 C．2 D．11 2．某小组5名同学植树的棵数依次为3，5，4，6，7，平均每人植树（　　） A．5棵 B．4.5棵 C．25棵 D．6.25棵 3．小刚的平时成绩为74分，期末成绩为88分。若按平时成绩与期末成绩3∶7的比例计算总评，他的总评成绩是（　　） A．81分 B．83.8分 C．78.2分 D．88分 4．甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别为2.3和0.8，则（　　） A．乙组数据更稳定 B．甲组数据更稳定 C．两组数据一样稳定 D．无法比较两组数据的稳定性 5．数据233，227，238，230，229，236的中位数是（　　） A．234 B．233 C．230 D．231.5 6．数据3，5，9，11的标准差是（　　） A． B．10 C．40 D． 7．服装厂准备按订单生产一批校服，决定生产数量最多的尺码时，最值得参考的统计量是订单尺码的（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 8．数据1，3，4，6，7，8，10，12的下四分位数是（　　） A．4 B．3.5 C．6.5 D．3 　课后作业（二）能力进阶 第9～16题只要求写出结果。这一组把由平均数求数据、混合定价、方差与标准差、条形图中的中位数、四分位数和数据整体变化各考一遍。 9．五个数据16，21，a，24，b的平均数是19，并且这组数据只有一个众数17，则a＋b＝____，这组数据的中位数是____。 10．水果店把单价8元/kg的苹果5 kg、10元/kg的香梨3 kg、12元/kg的橙子2 kg装成果篮，按总价不变折算，果篮里的水果平均每千克____元。 11．五名同学某周分别读了1，2，3，4，5本课外书，所读本数的方差是____，标准差是____。 12．某组5个数据的离差平方和是45，则这组数据的方差是____，标准差是____。 13．如图是某班30名同学家庭人口数的条形统计图，这组数据的中位数是____人，众数是____人。 14．八名同学的身高（单位：cm）从小到大排列为151，153，154，156，x，159，160，164，已知这组数据的中位数是156.5 cm，则x＝____，这组数据的上四分位数是____cm。 15．八(5)班数学单元练习中，男生16人的平均分是72分，女生24人的平均分是77分，全班的平均分是____分。 16．数据3，4，6，7的平均数是5。把每个数据都加上3，得到的新数据的平均数是____，方差是____。 　课后作业（三）拓展延伸 第17～25题要写出完整的计算过程。这一组把加权平均数、方差与标准差、三个集中趋势统计量、四分位数与箱线图放进真实情境里综合使用。 17．校广播站招募主持人，从形象、语言、应变三项打分，三项按2∶5∶3计算总分。甲三项得分依次为68分、95分、71分，乙依次为92分、78分、85分。(1)分别求甲、乙的总分；(2)按总分录取一人，应录取谁？ 18．甲、乙两条生产线连续5天的次品数（单位：件）如下。甲：1，3，3，4，4；乙：0，5，3，6，1。(1)两条生产线5天次品数的平均数各是多少？方差呢？(2)哪条生产线的次品数更稳定？ 19．某家政公司20名员工某月的服务时长统计如下表。(1)求这20名员工服务时长的平均数、中位数和众数；(2)公司要定一个月服务时长的达标线，使至少一半员工能达标，并且达标线尽量高，应把达标线定为多少小时？ 服务时长/h 120 150 160 180 240 人数 2 5 8 4 1 20．面粉厂用分装机分装标准质量为1000 g的袋装面粉，随机抽取6袋，质量（单位：g）为996，1002，1001，999，1004，998。(1)求这6袋面粉质量的平均数与标准差（标准差精确到0.01 g）；(2)质量在“平均数－标准差”与“平均数＋标准差”之间的有几袋？ 21．小敏记录了8天完成数学作业的用时（单位：min）：32，28，35，30，41，26，33，37。(1)求这组数据的下四分位数、中位数和上四分位数；(2)用时不少于上四分位数的有几天？ 22．某班42名同学一次测验的平均分算得为79分。复核发现有两名同学的成绩录错：一名同学实得93分被录成39分，另一名同学实得64分被录成55分。这个班的实际平均分是多少？ 23．某课程的总评由平时成绩和期末成绩两部分组成，两部分所占百分比之和为100%。小婷平时成绩92分，期末成绩77分，总评成绩为83分。平时成绩在总评中占百分之几？ 24．如图是八(4)班两次1 min踢毽子测试成绩（单位：个）的箱线图。(1)两次成绩的中位数各是多少？第二次比第一次提高了多少？(2)分别求两次成绩的上四分位数与下四分位数之差。 25．某奶茶店某天售出的奶茶按杯型分为大杯、中杯、小杯，单价依次为16元、13元、10元，各杯型的销量占比如扇形统计图所示。(1)这天售出奶茶的平均单价是多少元？(2)若这天共售出400杯，营业额是多少元？ 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $