第五章 二元一次方程组题型精讲讲义2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版·八年级上册·第五章 二元一次方程组·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第五章 二元一次方程组 题型精讲讲义-2026-2027学年北师大版数学八年级上册 北师大版（2024年版）八年级数学上册　第五章　二元一次方程组　1 认识二元一次方程组　2 二元一次方程组的解法　3 二元一次方程组的应用　4 二元一次方程与一次函数　*5 三元一次方程组 含 10 个考点例题　/　共 86 题（变式 45 · 易错 6 · 作业 25）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，会判断一组数是不是方程组的解，会由“次数是1、系数不为0”求方程中的参数，会在限定条件下找方程的正整数解。 2．会用代入消元法与加减消元法解二元一次方程组，能根据系数特点选择消元方法，会先去括号、去分母再消元，并能用整体代入、整体加减处理含参数的方程组。 3．能用表格、线段图梳理实际问题中的等量关系并列方程组求解；能说出二元一次方程与一次函数图象的关系，用两条直线的交点解释方程组的解，会用待定系数法由两个条件确定一次函数的表达式。 学习重难点 重点：代入消元法与加减消元法；列二元一次方程组解决实际问题（表格法、线段图）；方程组的解与两条直线交点坐标的对应；待定系数法确定一次函数的表达式。 难点：代入时漏加括号、相减时漏变号、乘系数时漏乘常数项是三大计算失分点；百分率问题要以原来的量为基准；图象只能估计交点，准确的坐标一律解方程组求得，两直线平行对应方程组无解。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　二元一次方程与二元一次方程组 2 知识点 02　二元一次方程（组）的解 3 知识点 03　代入消元法 3 知识点 04　加减消元法 3 知识点 05　列二元一次方程组解决实际问题 4 知识点 06　二元一次方程与一次函数 4 知识点 07　用二元一次方程组确定一次函数的表达式；（拓展）三元一次方程组 5 考点 1　二元一次方程（组）的识别与由定义求参数 5 考点 2　二元一次方程（组）的解：检验、求参数与整数解 6 考点 3　代入消元法解方程组 7 考点 4　加减消元法解方程组 9 考点 5　列方程组解决实际问题（一）：总量与倍分关系 10 考点 6　列方程组解决实际问题（二）：用表格梳理增收节支、百分率与配料 11 考点 7　列方程组解决实际问题（三）：用线段图梳理行程与数位 13 考点 8　二元一次方程组与一次函数：交点、无解与图象法 15 考点 9　用二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法） 17 考点 10　（拓展）三元一次方程组 18 易错专练 19 课后作业（一）基础巩固 20 课后作业（二）能力进阶 21 课后作业（三）拓展延伸 22 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　二元一次方程与二元一次方程组 教材从两个情境出发：栽种绿植时“小明比小颖多2株”，公园徒步时“一共8人、门票34元”，各自得到含两个未知数的方程。它们的共同特征写成定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。两个方程里同一个字母表示同一个对象时，未知数必须同时满足这两个方程，于是把它们联立起来：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。识别时抓三件事：未知数恰好两个；每一个含未知数的项次数都是1（xy这样的项次数是2）；方程两边都是整式。例：4a-b=9是二元一次方程；ab=6与+n=1都不是，前者含有次数为2的项ab，后者含有。 二元：含有两个未知数；一次：含有未知数的项的次数都是1 二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方程 小提示：“项的次数”看的是一整项：3xy里x与y的次数各是1，但这一项的次数是2，所以含有xy的方程不是二元一次方程。字母前面的系数若含参数，还要保证系数不为0。 知识点　02　二元一次方程（组）的解 使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解；一个二元一次方程确定不了两个未知数，它的解通常有无数个。二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。检验一组数是不是方程组的解，要把它分别代入每一个方程，两个方程都成立才算；只满足其中一个不行。用列表的办法找解也是教材给出的思路：先让一个未知数取几个值，再算出另一个未知数，两张表里相同的那一组就是公共解。例：p=5，q=1满足p+q=6，也满足2p-q=9，所以它是由这两个方程组成的方程组的解。 方程的解：使方程左、右两边相等的一组未知数的值（通常有无数组） 方程组的解：各个方程的公共解，要逐个方程代入检验 小提示：解要成对写：用大括号或“x=…，y=…”把两个值放在一起。实际问题里常要求正整数解或非负整数解，这时要按其中一个未知数逐个取值，再看另一个是否也符合要求。 知识点　03　代入消元法 解二元一次方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。教材先用种植问题示范：由其中一个方程把y用含x的代数式表示出来，再代入另一个方程，得到只含x的一元一次方程。主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法。求出一个未知数后，再代回变形后的那个方程求另一个；最后把两个值代入原方程组检验。例：解由b=3a与a+b=12组成的方程组，把b=3a代入第二个方程得4a=12，于是a=3，b=9。 变形：选系数为1或-1的未知数，用含另一个未知数的式子表示它 代入：代入另一个方程，得一元一次方程；回代：求出另一个未知数；检验 小提示：代入时把整个式子加上括号，括号前是负号或系数时逐项相乘；代回时代入的是变形后的式子，省得再解一次方程。 知识点　04　加减消元法 当两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或者相等时，把两个方程相加或相减，就能直接消去这个未知数。教材的说法是：解方程组的基本思路仍然是“消元”，主要步骤是通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数，这种解方程组的方法称为加减消元法。系数既不相同也不相反时，先把一个或两个方程的两边同乘适当的数，让某个未知数的系数的绝对值相等，再加减。选哪一个未知数来消，看哪一组系数的最小公倍数更小。例：由u+v=10与u-v=4组成的方程组，两式相加得2u=14，u=7；两式相减得2v=6，v=3。 系数相反→两式相加；系数相同→两式相减 都不相同→先乘（每一项都乘，常数项也乘）再加减 小提示：两式相减最容易错在符号：把②整行加上括号再减，常数项是负数时尤其要小心。方程先要整理成ax+by=c的形式，含括号、含分母的先去括号、去分母。 知识点　05　列二元一次方程组解决实际问题 《孙子算经》的“雉兔同笼”问题，设鸡x只、兔y只，由“头”与“足”两个等量关系列出x+y=35，2x+4y=94，解得鸡23只、兔12只，比只设一个未知数更直接。一般步骤是：审清题意，找出两个等量关系；设两个未知数；列出方程组；解方程组；检验所得的解是否符合实际意义；写出答案。梳理关键信息有两种常用工具：数量多、分成几类的问题（总收入与总支出、几种原料的成分、两个班的人数与达标人数）用表格，一行一个对象、一列一种量；运动过程的问题（火车过隧道、相向与同向、环形跑道）用线段图，把“路程和”“路程差”画出来。 步骤：审—设—列—解—验—答 表格：行是对象，列是数量，最后一行或一列放“合计” 线段图：一段路程＝速度×时间，按先后画在同一条线上 小提示：两个未知数就要找两个相互独立的等量关系，每个关系只用一次。解出来的人数、件数要是非负整数，路程、速度要合常识，不合题意的解要舍去或回头查等量关系。 知识点　06　二元一次方程与一次函数 方程x+y=5的解有无数个，以它的解为坐标的点都在一次函数y=5-x的图象上，反过来图象上每一点的坐标也都满足x+y=5。教材的结论是：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线。两个方程合在一起时：从图形的角度看，确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点坐标。两条直线平行时没有交点，对应的方程组没有解。借助图象可以直观地获得结果，但往往难以获得准确的结果，为了获得准确的结果，一般用代数方法。例：方程组y=5-x，y=x-3的解是x=4，y=1，所以两条直线交于点(4，1)。 一个二元一次方程↔一条直线；方程组的解↔两条直线交点的坐标 k相同、b不同的两条直线平行→方程组无解 小提示：看图读出的交点坐标只能作估计，题目要求“求”交点坐标时一律联立方程组计算。 知识点　07　用二元一次方程组确定一次函数的表达式；（拓展）三元一次方程组 先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法。一次函数y=kx+b有k，b两个参数，要确定它需要两个条件：把两组对应值分别代入y=kx+b，得到关于k，b的二元一次方程组，解出k，b即可。教材的行李费问题就是这样：由两位乘客的行李质量与行李费确定关系式，再令行李费为0求出免费携带的最大质量。拓展（选学，不作考试要求）：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组；解它的基本思路仍然是“消元”，把“三元”化为“二元”，再化为“一元”。例：y=kx+b经过(0，1)与(1，4)时，b=1，k+b=4，所以k=3，y=3x+1。 待定系数法：先设y=kx+b，再代入两组对应值，解关于k，b的方程组，最后写出表达式 三元一次方程组：三元→二元→一元（选学） 小提示：代点时横坐标代x、纵坐标代y，别把点(2，0)写成2=0·k+b。求出表达式后，用题中第三个数据回代检验一次。 【题型1】二元一次方程（组）的识别与由定义求参数 判断一个方程是不是二元一次方程，只看三点：两个未知数、含未知数的项次数都是1、两边是整式。题目给出指数或系数里带参数时，把“次数是1”“系数不为0”分别翻译成式子。 例1　已知方程-(n+2)=9是关于x，y的二元一次方程。(1)求m，n的值；(2)写出这个二元一次方程。 【分析】二元一次方程要求含未知数的项的次数都是1，所以两个指数都等于1；还要检查y前面的系数-(n+2)不能为0，否则方程里就只剩一个未知数。 【解答】(1)由x的次数是1，得3m-5=1，解得m=2。 由y的次数是1，得2n+3=1，解得n=-1。 此时n+2=1≠0，y的系数不为0，符合要求。 (2)把m=2，n=-1代入，方程为2x-(-1+2)y=9，即2x-y=9。 【方法小结】由定义求参数分两步：指数等于1列方程；再验系数不为0。两步缺一步，常常会多出一个不合要求的值。 题型1　变式：挑出二元一次方程与方程组、改写方程与实际情境列方程 四道变式依次练：从四个方程里认出二元一次方程、从四个方程组里认出二元一次方程组、把一个方程改写成用一个未知数表示另一个、由购物情境列出方程并求值。 变式1　小明写了四个方程，其中未知数恰好两个、含未知数的项次数都是1的那一个是（　　）。 A．+y=4 B．2x-=1 C．3xy-x=2 D．x+y+z=10 变式2　四组方程联立后，共含两个未知数且每个方程都是一次方程的一组是（　　）。 A．x+y=3，y+z=5 B．mn=2，m-n=1 C．=9，a+b=4 D．p=4，2p-3q=5 变式3　把方程4x-3y=12改写成用含x的式子表示y的形式，得y=____；改写成用含y的式子表示x的形式，得x=____。 变式4　学校图书角买了甲种笔记本x本、乙种笔记本y本，甲种每本6元，乙种每本4元，一共花了96元。列出关于x，y的二元一次方程是____；若乙种买了9本，则甲种买了____本。 【题型2】二元一次方程（组）的解：检验、求参数与整数解 方程组的解是“公共解”，它必须同时满足每一个方程。围绕这一点有三类问题：检验一组数是不是解、由已知的解反求参数、在限定范围里找整数解。 例1　已知x=2，y=-1是方程组ax+by=7 ①，bx+ay=-8 ②的解。(1)求a，b的值；(2)求代数式2a+3b的值。 【分析】方程组的解满足每一个方程，把x=2，y=-1分别代入①②，就得到关于a，b的新方程组；它的未知数换成了a，b。 【解答】(1)把x=2，y=-1代入①，得2a-b=7；代入②，得2b-a=-8。 由2a-b=7，得b=2a-7。代入2b-a=-8，得2(2a-7)-a=-8，即3a=6，所以a=2。 把a=2代入b=2a-7，得b=-3。 检验：2×2+(-3)×(-1)=7，(-3)×2+2×(-1)=-8，两个方程都成立。 (2)2a+3b=2×2+3×(-3)=-5。 【方法小结】“已知解求参数”就是把解代回原方程组，未知数与参数交换角色；新方程组照样用消元法解。 题型2　变式：逐一检验、正整数解、两组解定参数、同解方程组与整体相加 五道变式把“解”的用法铺开：四组数逐一检验、列举正整数解、由两组解确定方程、两个方程组同解、以及方程组的解满足附加条件时整体相加求参数。 变式1　下列各组数中，是方程组x+3y=10，2x-y=6的解的是（　　）。 A．x=1，y=3 B．x=4，y=2 C．x=3，y=0 D．x=7，y=1 变式2　方程2x+3y=17的正整数解共有____组，其中x最小的一组是____。 变式3　已知x=2，y=5和x=-1，y=-4都是关于x，y的方程kx-y=b的解。(1)求k，b的值；(2)判断x=3，y=8是否也是这个方程的解。 变式4　方程组2x-y=7，ax+y=b与方程组x+by=a，3x+y=8有相同的解，求a，b的值。 变式5　已知关于x，y的方程组3x+2y=m+3 ①，2x+3y=m-1 ②的解满足x+y=4。(1)求m的值；(2)求这个方程组的解。 【题型3】代入消元法解方程组 当方程组里某个未知数的系数是1或-1，或者已经写成“y＝…”的形式时，用代入消元法最顺手。关键在于把“二元”化成“一元”的那一步。 例1　方程①中x的系数是1，适合先把x用含y的式子表示出来。请用代入消元法求方程组x-2y=1 ①，3x+4y=18 ②的解，并检验。 【分析】①中x的系数是1，由①把x用含y的式子表示出来，代入②，就消去了x。 【解答】由①，得x=2y+1 ③。 把③代入②，得3(2y+1)+4y=18， 去括号，得6y+3+4y=18，即10y=15， 所以y=。 把y=代入③，得x=2×+1=4。 检验：4-3=1，12+6=18，所以原方程组的解是x=4，y=。 【方法小结】代入消元法的三个动作：挑系数为±1的未知数变形、整体加括号代入、回代到变形后的式子。解出分数不要慌，检验一次就放心。 题型3　变式：直接代入、先变形再代入、整体代入与挑选变形方式 五道变式从易到难：已经写好y＝…的直接代入、先变形再代入、把一个整体代进去、挑出代入后不出现分数的变形，以及整体思想用于求代数式的值。 变式1　第一个方程已经是“y＝…”的形式，可以直接代入第二个方程。解方程组：y=3x-5 ①，2x+y=15 ②。 变式2　先挑出系数为-1的那个未知数并把它单独表示出来，再代入另一个方程，求方程组5x-y=3 ①，3x+2y=20 ②的解。 变式3　解方程组：x+2y=5 ①，3(x+2y)-4y=7 ②。 变式4　对3x+2y=8 ①，x-4y=5 ②作代入消元，下列四种变形里，代入后不会出现分数的是（　　）。 A．由①得y= B．由①得x= C．由②得x=5+4y D．由②得y= 变式5　不必分别求出x和y：若x-3y=4，则7-2x+6y的结果为____。 【题型4】加减消元法解方程组 同一个未知数的系数相等或互为相反数时，两式相减或相加一步消元；都不是时先乘后加减。含括号的方程组先整理成ax+by=c的形式再动手。 例1　两个方程中同一未知数的系数既不相等也不相反，需要两个方程都先乘一个数。用加减消元法解：3x+4y=10 ①，5x-6y=42 ②。 【分析】x的系数3与5、y的系数4与-6都不相同也不相反。y的系数一正一负，4与6的最小公倍数是12，把①×3、②×2后相加就能消去y。 【解答】①×3，得9x+12y=30 ③； ②×2，得10x-12y=84 ④。 ③+④，得19x=114，所以x=6。 把x=6代入①，得18+4y=10，4y=-8，所以y=-2。 检验：5×6-6×(-2)=42，成立。所以原方程组的解是x=6，y=-2。 【方法小结】两个方程都要乘时，挑系数异号的那个未知数来消，乘完直接相加，少一次变号出错的机会；每一项连同常数项都要乘。 题型4　变式：直接相减、乘一个再减、先整理再消元、非负数之和与整体加减 五道变式覆盖加减消元的几种局面：系数相同直接相减、只乘一个方程、含括号的方程组先整理、由两个非负数的和为0得方程组、不解方程组而整体相加相减。 变式1　观察到x的系数都是2，两式相减一步就能消元。求2x+5y=4 ①与2x-3y=-12 ②组成的方程组的解。 变式2　只需把第二个方程乘2，x的系数就相同了。按这个思路解方程组4x-3y=11 ①，2x+5y=25 ②。 变式3　解方程组：2(x+y)-3(x-y)=6 ①，3(x+y)+2(x-y)=22 ②。 变式4　若|x-2y+1|+=0，则x=____，y=____。 变式5　已知2x+y=5，x+2y=7，不解方程组，可得x-y=____，x+y=____。 【题型5】列方程组解决实际问题（一）：总量与倍分关系 两个未知数、两个总量或两个倍分关系，是列方程组最基本的样子。“雉兔同笼”型、盈亏型、和倍型、年龄型都属于这一类，先把两个等量关系用文字写出来再设元。 例1　某停车场停着四轮小汽车和两轮电动车共28辆，数一数轮子，一共有86个。表中x，y分别表示小汽车、电动车的辆数。小汽车和电动车各有多少辆？ 车型 小汽车 电动车 合计 辆数 x y 28 每辆轮子数 4 2 — 轮子总数 4x 2y 86 【分析】这是“雉兔同笼”的现代版：车的辆数对应“头”，轮子个数对应“足”。两个等量关系：小汽车辆数＋电动车辆数＝28；小汽车的轮子数＋电动车的轮子数＝86。 【解答】设小汽车有x辆，电动车有y辆。根据题意，得x+y=28，4x+2y=86。 由第一个方程得y=28-x，代入第二个方程，得4x+2(28-x)=86， 2x=30，x=15，y=28-15=13。 检验：15+13=28，60+26=86，且都是正整数，符合题意。 答：小汽车有15辆，电动车有13辆。 【方法小结】“两类对象、两种总量”的问题一律设两个未知数：一个总量列一个方程。用表格把每一类的单个数量与总数量排好，方程就能直接读出来。 题型5　变式：盈亏分配、邮票选方程组、和倍关系与年龄问题 五道变式换五种情境：分苹果的盈亏问题、从四个方程组里挑出正确的一个、植树的和倍问题、两个时刻的年龄倍数关系、以及大小盒装鸡蛋。 变式1　若干名同学分一箱苹果：若每人分4个，则多出9个；若每人分6个，则还差7个。有多少名同学？这箱苹果有多少个？ 变式2　小红用面值为1.2元和2元的两种邮票共10枚，付了16元邮资。设1.2元的邮票x枚，2元的邮票y枚，所列方程组正确的是（　　）。 A．x+y=10，2x+1.2y=16 B．x+y=16，1.2x+2y=10 C．x-y=10，1.2x+2y=16 D．x+y=10，1.2x+2y=16 变式3　八年级两个班共植树94棵，一班植树的棵数比二班的2倍少5棵。两个班各植树多少棵？ 变式4　父亲现在的年龄是儿子的3倍，6年后父亲的年龄是儿子的2.5倍。父子现在各多少岁？ 变式5　食堂用大、小两种盒子装鸡蛋，大盒每盒装12个，小盒每盒装8个。一共用了11个盒子，正好装了108个鸡蛋，每个盒子都装满。大盒、小盒各用了几个？ 【题型6】列方程组解决实际问题（二）：用表格梳理增收节支、百分率与配料 教材用“增收节支”和营养配餐两个问题示范了表格法：量多、对象多的问题，先画一张表，每行一个对象，每列一种量，填满以后方程自己就出来了。 例1　某设计工作室今年的经营数据与去年相比：总收入多了15%，总支出少了10%，今年的总利润达到104万元；而去年总收入比总支出多60万元。设去年的总收入为x万元、总支出为y万元，各量如下表（总利润＝总收入-总支出）。去年的总收入、总支出各是多少万元？ 年份 总收入／万元 总支出／万元 总利润／万元 去年 x y 60 今年 (1+15%)x (1-10%)y 104 【分析】涉及两年、三种量（总收入、总支出、总利润），用表格按“行＝年份、列＝量”排好。设去年总收入x万元、总支出y万元，今年的总收入是(1+15%)x万元，总支出是(1-10%)y万元，两个年份各有一个“收入-支出＝利润”的关系。 【解答】设去年的总收入为x万元，总支出为y万元。根据题意，得x-y=60，1.15x-0.9y=104。 由第一个方程得x=y+60，代入第二个方程，得1.15(y+60)-0.9y=104， 0.25y+69=104，0.25y=35，y=140，x=140+60=200。 检验：今年收入230万元，支出126万元，利润104万元，符合题意。 答：去年的总收入是200万元，总支出是140万元。 【方法小结】增长率问题的基准是“原来的量”：增加15%是乘1.15，减少10%是乘0.9。表格把每一格填满，两行的“利润”就是两个方程。 题型6　变式：获奖率、饲料配比、进价与租船 四道变式都先列表再列方程：按获奖率求人数、按蛋白质含量配饲料、由进价差与总价求单价、按船的座位数分配人数。 变式1　某厂甲、乙两个车间共有180名工人参加技能比赛，甲车间获奖率为20%，乙车间获奖率为15%，全厂共有31人获奖。设甲、乙两个车间参赛人数分别为x名、y名，各量如下表。甲、乙两个车间各有多少名工人参赛？ 车间 甲车间 乙车间 合计 参赛人数 x y 180 获奖率 20% 15% — 获奖人数 20%x 15%y 31 变式2　养殖场用甲、乙两种饲料配制混合饲料，甲种饲料的蛋白质含量为30%，乙种为10%。现要配制50 kg蛋白质含量为18%的混合饲料，设需甲种饲料x kg、乙种饲料y kg，各量如下表。甲、乙两种饲料各需多少千克？ 成分 甲种饲料 乙种饲料 混合饲料 质量／kg x y 50 蛋白质／kg 0.3x 0.1y 50×18% 变式3　商店购进A，B两种书包，A种每个的进价比B种多20元，购进A种3个、B种4个共付480元。A，B两种书包每个的进价各是多少元？ 变式4　42名同学去公园划船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，一共租了8条船，每条船都正好坐满。大船、小船各租了几条？ 【题型7】列方程组解决实际问题（三）：用线段图梳理行程与数位 运动过程的问题，教材建议画线段图：过隧道的两种状态、相向与同向、环形跑道的“一圈”，都能在图上直接看出“路程和”“路程差”。数位问题则用“十位数字×10＋个位数字”表示两位数。 例1　如图，一列火车匀速通过一座长1200 m的大桥，从车头上桥到车尾离开桥共用了50 s，整列火车完全在桥上的时间是30 s。求火车的速度和火车的长度。 【分析】画线段图看路程：从车头上桥到车尾离桥，火车走过的路程是“桥长＋车长”；整列车都在桥上的那一段，走过的路程是“桥长-车长”。 【解答】设火车的速度为x m/s，火车的长度为y m。根据题意，得50x=1200+y，30x=1200-y。 两式相加，得80x=2400，所以x=30。 把x=30代入50x=1200+y，得y=1500-1200=300。 检验：30 m/s即108 km/h，合乎常识；30×30=900=1200-300，符合题意。 答：火车的速度是30 m/s，火车长300 m。 【方法小结】过桥、过隧道只盯车头（或车尾）走了多远：完全通过是“桥长加车长”，完全在桥上是“桥长减车长”。两式相加正好消去车长。 题型7　变式：相向与同向、环形跑道、平路与坡路、数字对调 四道变式把行程问题的几种画法练一遍：同一段路相向又同向、环形跑道反向与同向、往返时上坡下坡互换，最后用两位数的表示法处理数字对调。 变式1　如图，甲、乙两地相距30 km，小丁骑电动自行车、小陈骑自行车。若两人分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1.5 h后相遇；若两人同时从甲、乙两地出发同向而行（小陈在前），5 h后小丁追上小陈。两人的速度各是多少？ 变式2　甲、乙两人在一圈300 m的环形跑道上练跑，从同一起点同时出发。两人背向跑时，每40 s相遇一次；两人同向跑时，甲每200 s追上乙一次。求甲、乙两人的速度。 变式3　小林从家到书店，先走一段平路，再走一段下坡路。他在平路上每小时走4 km，下坡每小时走5 km，上坡每小时走3 km。去书店用了42 min，按原路回家用了54 min。平路和坡路各有多少千米？ 变式4　一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，把十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，新数与原数的和是121。求原来的两位数。 【题型8】二元一次方程组与一次函数：交点、无解与图象法 北师大版在学完一次函数后学方程组，最大的好处是能用图象解释方程组的解：一个二元一次方程是一条直线，方程组的解就是两条直线的交点；两条直线平行，方程组无解。 例1　如图，直线m：y=-x+4与直线n：y=2x-2相交于点P。(1)求点P的坐标；(2)直线m，n和x轴围出一个三角形，求它的面积。 【分析】两条直线交点的坐标就是两个表达式组成的方程组的解；三角形的底在x轴上，先求两条直线与x轴的交点，高就是点P的纵坐标。 【解答】(1)联立y=-x+4，y=2x-2，得-x+4=2x-2，3x=6，x=2， 代入y=-x+4，得y=2，所以点P的坐标是(2，2)。 (2)令y=0：由-x+4=0得x=4，直线m与x轴交于点(4，0)；由2x-2=0得x=1，直线n与x轴交于点(1，0)。 底边长4-1=3，高为点P的纵坐标2，面积为×3×2=3。 【方法小结】“交点坐标＝方程组的解”，图只帮我们看清位置，数值一律靠解方程组得到。求与x轴围成的面积，先求两条直线与x轴的交点。 题型8　变式：由交点写解、挑出无解的方程组、看图定直线再求交点、相向骑行的图象 五道变式把“数”与“形”来回对应：由交点坐标直接写方程组的解、从k，b看出哪个方程组无解、先由图上的点确定两条直线再求交点，用两个一次函数的图象解决相遇问题，最后由一个方程写出对应的一次函数。 变式1　已知一次函数y=3x-2与y=-x+6的图象的交点坐标是(2，4)，则方程组3x-y=2，x+y=6的解是____。 变式2　每个方程组对应坐标系里的两条直线。两条直线互相平行、因而方程组无解的一组是（　　）。 A．2x-y=1，x+y=5 B．y=3x-1，y=x+3 C．x-2y=4，2x-y=5 D．y=-2x+3，2x+y=7 变式3　如图，直线m经过点A(0，8)与B(4，0)，直线n经过点C(0，-1)与D(1，0)，两直线交于点P。(1)求直线m，n对应的一次函数的表达式；(2)写出以点P的坐标为解的二元一次方程组，并求出点P的坐标。 变式4　如图，甲从A地、乙从B地同时出发，骑车相向而行，A，B两地相距45 km，两人速度都不变。两条线段分别表示两人与A地的距离y km随骑行时间x h的变化：甲骑行3 h时与A地相距36 km，乙骑行1 h时与A地相距27 km。两人出发后多久相遇？相遇地点离A地多少千米？ 变式5　以方程2x-y=4的解为坐标的所有点组成的图象，就是一次函数y=____的图象；这条直线与x轴的交点坐标是____。 【题型9】用二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法） 确定y=kx+b要两个条件：两个点、两组对应值、或一个点加一个关系。把条件代入得到关于k，b的二元一次方程组，这是本章与一次函数衔接最紧的一个题型。 例1　如图，景区缆车从山顶站匀速下行到山脚站，缆车所在位置的海拔y m是运行时间x min的一次函数。运行2 min时海拔为860 m，运行6 min时海拔为620 m。(1)求y与x之间的关系式；(2)山脚站的海拔为380 m，缆车从山顶站到山脚站需要多少分钟？ 【分析】一次函数有k，b两个待定的系数，题目恰好给了两组对应值，代入y=kx+b得到关于k，b的二元一次方程组。到达山脚站就是海拔降到380 m。 【解答】(1)设y=kx+b。根据题意，得860=2k+b，620=6k+b。 两式相减，得4k=-240，k=-60。 代入860=2k+b，得860=2×(-60)+b，b=980。所以y=-60x+980。 (2)令y=380，得-60x+980=380，x=10。 答：缆车从山顶站到山脚站需要10 min。 【方法小结】待定系数法：设式—代值—解方程组—写式子。b=980是山顶站的海拔，k=-60表示缆车每分钟下降60 m，求出后用实际意义核一遍。 题型9　变式：两点定直线、点坐标含参数、表格数据定关系式与选择 五道变式依次练：由两个点直接写表达式、点的坐标里含未知数、由表格中的两组数据确定关系式并求值、在四组k，b里挑出正确的一组、由两组对应值求第三个函数值。 变式1　已知当x=1时kx+b=5，当x=-2时kx+b=-1，那么一次函数y=kx+b就是y=____。 变式2　直线y=-2x+b上有两点M(a，5)，N(3，a)。求a，b的值，并写出这条直线对应的函数。 变式3　某卡丁车场按驾驶时间收费，另收一次性的装备费，总费用y（元）是驾驶时间x min的一次函数，部分数据如下表。(1)求y与x之间的关系式；(2)小宇带了100元，最多可以驾驶多少分钟？ 驾驶时间x／min 10 25 总费用y／元 35 65 变式4　若直线y=kx+b经过点(2，-1)和(-1，5)，则k，b的值分别是（　　）。 A．k=-2，b=3 B．k=2，b=-5 C．k=-2，b=-3 D．k=3，b=-2 变式5　已知y是x的一次函数，当x=-1时y=-4，当x=3时y=8，则当x=5时y=____。 【题型10】（拓展）三元一次方程组 本节是选学内容，不作考试要求，但它把“消元”的思路又用了一次：三元化二元，二元化一元。会解的同学可以把它当作加减消元与代入消元的综合练习。 例1　（拓展）三个方程中z的系数依次是1，1，-1，先消去z把三元化为二元。解方程组：x+y+z=6 ①，2x-y+z=3 ②，x+2y-z=2 ③。 【分析】解三元一次方程组的基本思路仍是“消元”。③中z的系数是-1，①②中z的系数都是1，分别与③相加就能同时消去z，得到只含x，y的二元一次方程组。 【解答】①+③，得2x+3y=8 ④； ②+③，得3x+y=5 ⑤。 由⑤得y=5-3x，代入④，得2x+3(5-3x)=8，-7x=-7，x=1，y=2。 把x=1，y=2代入①，得z=6-1-2=3。 所以原方程组的解是x=1，y=2，z=3。 【方法小结】先选定要消去的那个未知数，用两次加减把三个方程变成两个；千万别一次消x、一次消z，那样得不到二元一次方程组。 题型10　变式：密码数字、文具单价与轮换对称的方程组 三道变式各有一个特点：用代入直接化成一元、两式相减先求出一个未知数、三个方程轮换对称时整体相加。 变式1　（拓展）一把密码锁的密码由三个数字组成：三个数字之和是17，第一位比第二位大1，第三位是第二位的2倍。这个密码是多少？ 变式2　（拓展）文具店里，买1支钢笔、1本笔记本、1个文件袋共需17元；买1支钢笔、2本笔记本、3个文件袋共需29元；买2支钢笔、1本笔记本、1个文件袋共需25元。钢笔、笔记本、文件袋的单价各是多少元？ 变式3　（拓展）方程组x+y=5，y+z=7，z+x=8的解是____。 　易错专练 本章的失分集中在六处：由定义求参数漏验系数、代入时漏加括号、两式相减漏变号、乘系数漏乘常数项、百分率找错基准、以及把“没有交点”与“方程组无解”对应不上。下面六题各守一处，做完再对照答案里的错解与错因。 易错1　已知(k+2)x+=5是关于x，y的二元一次方程，求k的值。 易错2　小涛把②代入①时写成了2x-3x-2=1。指出他错在哪一步，并写出方程组2x-3y=1 ①，y=x-2 ②的正确解答。 易错3　小慧由①-②得到-2y=2。找出她的错误，再正确求出方程组3x+2y=7 ①，3x-4y=-5 ②的解。 易错4　阿杰把①乘2后写成2x+6y=4。纠正这一步，并完整求出方程组x+3y=4 ①，2x-5y=-3 ②的解。 易错5　某车间计划生产甲、乙两种零件共500个，实际生产时甲种零件超产12%，乙种零件超产10%，实际共生产552个。实际生产甲、乙两种零件各多少个？ 易错6　已知直线y=kx+3与直线y=2x-1没有交点，则k=____，此时方程组y=kx+3，y=2x-1的解的情况是____。 　课后作业（一）基础巩固 下面8题是本章必会的基础，每题只有一个选项符合题意，把字母填进括号里。考查次序是方程的解、方程组的解、消元方法的选择、交点坐标、列方程组与方程组解的情况。 1．把四组数分别代入3x-2y=8，能使左右两边相等的是（　　）。 A．x=2，y=-1 B．x=1，y=2 C．x=3，y=1 D．x=0，y=4 2．若方程组x+y=6，x-y=2m的解中x的值是y的2倍，则m的值是（　　）。 A．-1 B．1 C．2 D．4 3．对于方程组2x+3y=9 ①，5x-3y=12 ②，下列消元步骤中最省事的是（　　）。 A．①-②消去x B．①×5-②×2消去x C．①+②消去y D．①×3+②×2消去y 4．已知两条直线y=2x+1和y=-x+7，它们公共点的坐标是（　　）。 A．(3，4) B．(5，2) C．(-2，-3) D．(2，5) 5．体育课代表买跳绳和毽子共12件，跳绳每根7元，毽子每个3元，一共花了60元。设买跳绳x根、毽子y个，下列方程组正确的是（　　）。 A．x+y=12，7x+3y=60 B．x+y=60，7x+3y=12 C．x+y=12，3x+7y=60 D．x-y=12，7x+3y=60 6．已知x=1，y=-2是方程组ax+y=3，x-by=5的解，则a-b的值是（　　）。 A．7 B．-3 C．3 D．-7 7．方程组y=3x-2，6x-2y=4的解的情况是（　　）。 A．只有一个解 B．没有解 C．有无数个解 D．有两个解 8．一艘船顺流航行3 h行驶48 km，逆流航行4 h也行驶48 km，船在静水中的速度是（　　）km/h。 A．12 B．14 C．16 D．2 　课后作业（二）能力进阶 第9～16题只要求写出结果，不必写过程。这一组把整数解、由解求参数、同类项、交点与待定系数法、和倍与分配问题各考一遍。 9．满足x+2y=7的x，y都取非负整数时，这样的数对一共有____对。 10．已知x=2，y=1是方程组mx+ny=8，nx-my=1的解，则m=____，n=____。 11．若与是同类项，则x=____，y=____。 12．若点P(2，m)同时在直线y=x+1和直线y=-2x+b上，则b=____。 13．直线y=kx+b与y轴交于点(0，-2)，并且过点(3，4)，这条直线对应的一次函数是y=____。 14．一个长方形的周长是26 cm，长比宽的2倍少2 cm，则这个长方形的长是____cm，宽是____cm。 15．学校给住校生安排宿舍：每间住5人，有4人住不下；每间住6人，则空出1间，其余正好住满。宿舍有____间，住校生有____人。 16．若关于x，y的方程组x+2y=k，2x+y=1的解满足x+y=2，则k=____。 　课后作业（三）拓展延伸 第17～25题要写出完整的解题过程。这一组把两种消元法、去分母、表格与图象、工程与分段计价、选学的三元一次方程组合在一起用。 17．①中y前面只有一个负号，最适合变形。按代入法完整写出3x-y=7 ①，5x+2y=8 ②这个方程组的求解过程，并回代检验。 18．让y的系数变成6与-6后相加，求方程组4x+3y=5 ①，3x-2y=-9 ②的解。 19．含分母的方程先两边同乘6去分母，再选择消元方法。求方程组+=3 ①，3x-2y=6 ②的解。 20．某水果经营户用900元从批发市场购进A，B两种水果共50 kg，当天的批发价与零售价如下表。(1)A，B两种水果各购进多少千克？(2)当天全部卖完，可赚多少元？ 品种 A种 B种 批发价／（元/kg） 15 20 零售价／（元/kg） 20 26 21．如图，A槽开始注水，B槽同时开始放水，两个水槽的水深y cm都是时间x min的一次函数：A槽的图象经过点(0，4)和(4，12)，B槽的图象经过点(0，16)和(4，8)。(1)写出A槽、B槽的水深y关于x的关系式；(2)注水、放水同时进行到第几分钟，两槽水深相等？此时水深是多少？ 22．甲、乙两个工程队合修一段1800 m的公路。若甲队先修2天，然后两队合修6天，恰好完成；若乙队先修3天，然后两队合修6天，也恰好完成。甲、乙两队每天各修多少米？ 23．某种运动鞋的鞋码y（码）是脚长x cm的一次函数，部分对应数据如下表。(1)求y与x之间的关系式；(2)脚长26.5 cm的人应穿多少码的这种鞋？ 脚长x／cm 22 25 鞋码y／码 34 40 24．（拓展）用③分别与①、②配合消去z，求三元一次方程组x+y+z=9 ①，x-y+2z=7 ②，3x+y-z=5 ③的解。 25．某展馆门票价格：一次购票1～40人，每人15元；41～80人，每人12元；80人以上，每人10元。八(1)班、八(2)班共86人去参观，其中八(1)班不足40人，八(2)班超过40人但不超过80人。若两班分别购票，一共应付1146元。(1)两个班各有多少人？(2)若两班联合购票，能省多少钱？ 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版·八年级上册·第五章 二元一次方程组·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第五章 二元一次方程组 题型精讲讲义-2026-2027学年北师大版数学八年级上册 北师大版（2024年版）八年级数学上册　第五章　二元一次方程组　1 认识二元一次方程组　2 二元一次方程组的解法　3 二元一次方程组的应用　4 二元一次方程与一次函数　*5 三元一次方程组 含 10 个考点例题　/　共 86 题（变式 45 · 易错 6 · 作业 25）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，会判断一组数是不是方程组的解，会由“次数是1、系数不为0”求方程中的参数，会在限定条件下找方程的正整数解。 2．会用代入消元法与加减消元法解二元一次方程组，能根据系数特点选择消元方法，会先去括号、去分母再消元，并能用整体代入、整体加减处理含参数的方程组。 3．能用表格、线段图梳理实际问题中的等量关系并列方程组求解；能说出二元一次方程与一次函数图象的关系，用两条直线的交点解释方程组的解，会用待定系数法由两个条件确定一次函数的表达式。 学习重难点 重点：代入消元法与加减消元法；列二元一次方程组解决实际问题（表格法、线段图）；方程组的解与两条直线交点坐标的对应；待定系数法确定一次函数的表达式。 难点：代入时漏加括号、相减时漏变号、乘系数时漏乘常数项是三大计算失分点；百分率问题要以原来的量为基准；图象只能估计交点，准确的坐标一律解方程组求得，两直线平行对应方程组无解。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　二元一次方程与二元一次方程组 2 知识点 02　二元一次方程（组）的解 3 知识点 03　代入消元法 3 知识点 04　加减消元法 3 知识点 05　列二元一次方程组解决实际问题 4 知识点 06　二元一次方程与一次函数 4 知识点 07　用二元一次方程组确定一次函数的表达式；（拓展）三元一次方程组 5 考点 1　二元一次方程（组）的识别与由定义求参数 5 考点 2　二元一次方程（组）的解：检验、求参数与整数解 6 考点 3　代入消元法解方程组 7 考点 4　加减消元法解方程组 8 考点 5　列方程组解决实际问题（一）：总量与倍分关系 9 考点 6　列方程组解决实际问题（二）：用表格梳理增收节支、百分率与配料 10 考点 7　列方程组解决实际问题（三）：用线段图梳理行程与数位 12 考点 8　二元一次方程组与一次函数：交点、无解与图象法 13 考点 9　用二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法） 15 考点 10　（拓展）三元一次方程组 16 易错专练 17 课后作业（一）基础巩固 17 课后作业（二）能力进阶 18 课后作业（三）拓展延伸 19 参考答案与解析 20 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　二元一次方程与二元一次方程组 教材从两个情境出发：栽种绿植时“小明比小颖多2株”，公园徒步时“一共8人、门票34元”，各自得到含两个未知数的方程。它们的共同特征写成定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。两个方程里同一个字母表示同一个对象时，未知数必须同时满足这两个方程，于是把它们联立起来：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。识别时抓三件事：未知数恰好两个；每一个含未知数的项次数都是1（xy这样的项次数是2）；方程两边都是整式。例：4a-b=9是二元一次方程；ab=6与+n=1都不是，前者含有次数为2的项ab，后者含有。 二元：含有两个未知数；一次：含有未知数的项的次数都是1 二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方程 小提示：“项的次数”看的是一整项：3xy里x与y的次数各是1，但这一项的次数是2，所以含有xy的方程不是二元一次方程。字母前面的系数若含参数，还要保证系数不为0。 知识点　02　二元一次方程（组）的解 使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解；一个二元一次方程确定不了两个未知数，它的解通常有无数个。二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。检验一组数是不是方程组的解，要把它分别代入每一个方程，两个方程都成立才算；只满足其中一个不行。用列表的办法找解也是教材给出的思路：先让一个未知数取几个值，再算出另一个未知数，两张表里相同的那一组就是公共解。例：p=5，q=1满足p+q=6，也满足2p-q=9，所以它是由这两个方程组成的方程组的解。 方程的解：使方程左、右两边相等的一组未知数的值（通常有无数组） 方程组的解：各个方程的公共解，要逐个方程代入检验 小提示：解要成对写：用大括号或“x=…，y=…”把两个值放在一起。实际问题里常要求正整数解或非负整数解，这时要按其中一个未知数逐个取值，再看另一个是否也符合要求。 知识点　03　代入消元法 解二元一次方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。教材先用种植问题示范：由其中一个方程把y用含x的代数式表示出来，再代入另一个方程，得到只含x的一元一次方程。主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法。求出一个未知数后，再代回变形后的那个方程求另一个；最后把两个值代入原方程组检验。例：解由b=3a与a+b=12组成的方程组，把b=3a代入第二个方程得4a=12，于是a=3，b=9。 变形：选系数为1或-1的未知数，用含另一个未知数的式子表示它 代入：代入另一个方程，得一元一次方程；回代：求出另一个未知数；检验 小提示：代入时把整个式子加上括号，括号前是负号或系数时逐项相乘；代回时代入的是变形后的式子，省得再解一次方程。 知识点　04　加减消元法 当两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或者相等时，把两个方程相加或相减，就能直接消去这个未知数。教材的说法是：解方程组的基本思路仍然是“消元”，主要步骤是通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数，这种解方程组的方法称为加减消元法。系数既不相同也不相反时，先把一个或两个方程的两边同乘适当的数，让某个未知数的系数的绝对值相等，再加减。选哪一个未知数来消，看哪一组系数的最小公倍数更小。例：由u+v=10与u-v=4组成的方程组，两式相加得2u=14，u=7；两式相减得2v=6，v=3。 系数相反→两式相加；系数相同→两式相减 都不相同→先乘（每一项都乘，常数项也乘）再加减 小提示：两式相减最容易错在符号：把②整行加上括号再减，常数项是负数时尤其要小心。方程先要整理成ax+by=c的形式，含括号、含分母的先去括号、去分母。 知识点　05　列二元一次方程组解决实际问题 《孙子算经》的“雉兔同笼”问题，设鸡x只、兔y只，由“头”与“足”两个等量关系列出x+y=35，2x+4y=94，解得鸡23只、兔12只，比只设一个未知数更直接。一般步骤是：审清题意，找出两个等量关系；设两个未知数；列出方程组；解方程组；检验所得的解是否符合实际意义；写出答案。梳理关键信息有两种常用工具：数量多、分成几类的问题（总收入与总支出、几种原料的成分、两个班的人数与达标人数）用表格，一行一个对象、一列一种量；运动过程的问题（火车过隧道、相向与同向、环形跑道）用线段图，把“路程和”“路程差”画出来。 步骤：审—设—列—解—验—答 表格：行是对象，列是数量，最后一行或一列放“合计” 线段图：一段路程＝速度×时间，按先后画在同一条线上 小提示：两个未知数就要找两个相互独立的等量关系，每个关系只用一次。解出来的人数、件数要是非负整数，路程、速度要合常识，不合题意的解要舍去或回头查等量关系。 知识点　06　二元一次方程与一次函数 方程x+y=5的解有无数个，以它的解为坐标的点都在一次函数y=5-x的图象上，反过来图象上每一点的坐标也都满足x+y=5。教材的结论是：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线。两个方程合在一起时：从图形的角度看，确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点坐标。两条直线平行时没有交点，对应的方程组没有解。借助图象可以直观地获得结果，但往往难以获得准确的结果，为了获得准确的结果，一般用代数方法。例：方程组y=5-x，y=x-3的解是x=4，y=1，所以两条直线交于点(4，1)。 一个二元一次方程↔一条直线；方程组的解↔两条直线交点的坐标 k相同、b不同的两条直线平行→方程组无解 小提示：看图读出的交点坐标只能作估计，题目要求“求”交点坐标时一律联立方程组计算。 知识点　07　用二元一次方程组确定一次函数的表达式；（拓展）三元一次方程组 先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法。一次函数y=kx+b有k，b两个参数，要确定它需要两个条件：把两组对应值分别代入y=kx+b，得到关于k，b的二元一次方程组，解出k，b即可。教材的行李费问题就是这样：由两位乘客的行李质量与行李费确定关系式，再令行李费为0求出免费携带的最大质量。拓展（选学，不作考试要求）：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组；解它的基本思路仍然是“消元”，把“三元”化为“二元”，再化为“一元”。例：y=kx+b经过(0，1)与(1，4)时，b=1，k+b=4，所以k=3，y=3x+1。 待定系数法：先设y=kx+b，再代入两组对应值，解关于k，b的方程组，最后写出表达式 三元一次方程组：三元→二元→一元（选学） 小提示：代点时横坐标代x、纵坐标代y，别把点(2，0)写成2=0·k+b。求出表达式后，用题中第三个数据回代检验一次。 【题型1】二元一次方程（组）的识别与由定义求参数 判断一个方程是不是二元一次方程，只看三点：两个未知数、含未知数的项次数都是1、两边是整式。题目给出指数或系数里带参数时，把“次数是1”“系数不为0”分别翻译成式子。 例1　已知方程-(n+2)=9是关于x，y的二元一次方程。(1)求m，n的值；(2)写出这个二元一次方程。 【分析】二元一次方程要求含未知数的项的次数都是1，所以两个指数都等于1；还要检查y前面的系数-(n+2)不能为0，否则方程里就只剩一个未知数。 【解答】(1)由x的次数是1，得3m-5=1，解得m=2。 由y的次数是1，得2n+3=1，解得n=-1。 此时n+2=1≠0，y的系数不为0，符合要求。 (2)把m=2，n=-1代入，方程为2x-(-1+2)y=9，即2x-y=9。 【方法小结】由定义求参数分两步：指数等于1列方程；再验系数不为0。两步缺一步，常常会多出一个不合要求的值。 题型1　变式：挑出二元一次方程与方程组、改写方程与实际情境列方程 四道变式依次练：从四个方程里认出二元一次方程、从四个方程组里认出二元一次方程组、把一个方程改写成用一个未知数表示另一个、由购物情境列出方程并求值。 变式1　小明写了四个方程，其中未知数恰好两个、含未知数的项次数都是1的那一个是（　　）。 A．+y=4 B．2x-=1 C．3xy-x=2 D．x+y+z=10 变式2　四组方程联立后，共含两个未知数且每个方程都是一次方程的一组是（　　）。 A．x+y=3，y+z=5 B．mn=2，m-n=1 C．=9，a+b=4 D．p=4，2p-3q=5 变式3　把方程4x-3y=12改写成用含x的式子表示y的形式，得y=____；改写成用含y的式子表示x的形式，得x=____。 变式4　学校图书角买了甲种笔记本x本、乙种笔记本y本，甲种每本6元，乙种每本4元，一共花了96元。列出关于x，y的二元一次方程是____；若乙种买了9本，则甲种买了____本。 【题型2】二元一次方程（组）的解：检验、求参数与整数解 方程组的解是“公共解”，它必须同时满足每一个方程。围绕这一点有三类问题：检验一组数是不是解、由已知的解反求参数、在限定范围里找整数解。 例1　已知x=2，y=-1是方程组ax+by=7 ①，bx+ay=-8 ②的解。(1)求a，b的值；(2)求代数式2a+3b的值。 【分析】方程组的解满足每一个方程，把x=2，y=-1分别代入①②，就得到关于a，b的新方程组；它的未知数换成了a，b。 【解答】(1)把x=2，y=-1代入①，得2a-b=7；代入②，得2b-a=-8。 由2a-b=7，得b=2a-7。代入2b-a=-8，得2(2a-7)-a=-8，即3a=6，所以a=2。 把a=2代入b=2a-7，得b=-3。 检验：2×2+(-3)×(-1)=7，(-3)×2+2×(-1)=-8，两个方程都成立。 (2)2a+3b=2×2+3×(-3)=-5。 【方法小结】“已知解求参数”就是把解代回原方程组，未知数与参数交换角色；新方程组照样用消元法解。 题型2　变式：逐一检验、正整数解、两组解定参数、同解方程组与整体相加 五道变式把“解”的用法铺开：四组数逐一检验、列举正整数解、由两组解确定方程、两个方程组同解、以及方程组的解满足附加条件时整体相加求参数。 变式1　下列各组数中，是方程组x+3y=10，2x-y=6的解的是（　　）。 A．x=1，y=3 B．x=4，y=2 C．x=3，y=0 D．x=7，y=1 变式2　方程2x+3y=17的正整数解共有____组，其中x最小的一组是____。 变式3　已知x=2，y=5和x=-1，y=-4都是关于x，y的方程kx-y=b的解。(1)求k，b的值；(2)判断x=3，y=8是否也是这个方程的解。 变式4　方程组2x-y=7，ax+y=b与方程组x+by=a，3x+y=8有相同的解，求a，b的值。 变式5　已知关于x，y的方程组3x+2y=m+3 ①，2x+3y=m-1 ②的解满足x+y=4。(1)求m的值；(2)求这个方程组的解。 【题型3】代入消元法解方程组 当方程组里某个未知数的系数是1或-1，或者已经写成“y＝…”的形式时，用代入消元法最顺手。关键在于把“二元”化成“一元”的那一步。 例1　方程①中x的系数是1，适合先把x用含y的式子表示出来。请用代入消元法求方程组x-2y=1 ①，3x+4y=18 ②的解，并检验。 【分析】①中x的系数是1，由①把x用含y的式子表示出来，代入②，就消去了x。 【解答】由①，得x=2y+1 ③。 把③代入②，得3(2y+1)+4y=18， 去括号，得6y+3+4y=18，即10y=15， 所以y=。 把y=代入③，得x=2×+1=4。 检验：4-3=1，12+6=18，所以原方程组的解是x=4，y=。 【方法小结】代入消元法的三个动作：挑系数为±1的未知数变形、整体加括号代入、回代到变形后的式子。解出分数不要慌，检验一次就放心。 题型3　变式：直接代入、先变形再代入、整体代入与挑选变形方式 五道变式从易到难：已经写好y＝…的直接代入、先变形再代入、把一个整体代进去、挑出代入后不出现分数的变形，以及整体思想用于求代数式的值。 变式1　第一个方程已经是“y＝…”的形式，可以直接代入第二个方程。解方程组：y=3x-5 ①，2x+y=15 ②。 变式2　先挑出系数为-1的那个未知数并把它单独表示出来，再代入另一个方程，求方程组5x-y=3 ①，3x+2y=20 ②的解。 变式3　解方程组：x+2y=5 ①，3(x+2y)-4y=7 ②。 变式4　对3x+2y=8 ①，x-4y=5 ②作代入消元，下列四种变形里，代入后不会出现分数的是（　　）。 A．由①得y= B．由①得x= C．由②得x=5+4y D．由②得y= 变式5　不必分别求出x和y：若x-3y=4，则7-2x+6y的结果为____。 【题型4】加减消元法解方程组 同一个未知数的系数相等或互为相反数时，两式相减或相加一步消元；都不是时先乘后加减。含括号的方程组先整理成ax+by=c的形式再动手。 例1　两个方程中同一未知数的系数既不相等也不相反，需要两个方程都先乘一个数。用加减消元法解：3x+4y=10 ①，5x-6y=42 ②。 【分析】x的系数3与5、y的系数4与-6都不相同也不相反。y的系数一正一负，4与6的最小公倍数是12，把①×3、②×2后相加就能消去y。 【解答】①×3，得9x+12y=30 ③； ②×2，得10x-12y=84 ④。 ③+④，得19x=114，所以x=6。 把x=6代入①，得18+4y=10，4y=-8，所以y=-2。 检验：5×6-6×(-2)=42，成立。所以原方程组的解是x=6，y=-2。 【方法小结】两个方程都要乘时，挑系数异号的那个未知数来消，乘完直接相加，少一次变号出错的机会；每一项连同常数项都要乘。 题型4　变式：直接相减、乘一个再减、先整理再消元、非负数之和与整体加减 五道变式覆盖加减消元的几种局面：系数相同直接相减、只乘一个方程、含括号的方程组先整理、由两个非负数的和为0得方程组、不解方程组而整体相加相减。 变式1　观察到x的系数都是2，两式相减一步就能消元。求2x+5y=4 ①与2x-3y=-12 ②组成的方程组的解。 变式2　只需把第二个方程乘2，x的系数就相同了。按这个思路解方程组4x-3y=11 ①，2x+5y=25 ②。 变式3　解方程组：2(x+y)-3(x-y)=6 ①，3(x+y)+2(x-y)=22 ②。 变式4　若|x-2y+1|+=0，则x=____，y=____。 变式5　已知2x+y=5，x+2y=7，不解方程组，可得x-y=____，x+y=____。 【题型5】列方程组解决实际问题（一）：总量与倍分关系 两个未知数、两个总量或两个倍分关系，是列方程组最基本的样子。“雉兔同笼”型、盈亏型、和倍型、年龄型都属于这一类，先把两个等量关系用文字写出来再设元。 例1　某停车场停着四轮小汽车和两轮电动车共28辆，数一数轮子，一共有86个。表中x，y分别表示小汽车、电动车的辆数。小汽车和电动车各有多少辆？ 车型 小汽车 电动车 合计 辆数 x y 28 每辆轮子数 4 2 — 轮子总数 4x 2y 86 【分析】这是“雉兔同笼”的现代版：车的辆数对应“头”，轮子个数对应“足”。两个等量关系：小汽车辆数＋电动车辆数＝28；小汽车的轮子数＋电动车的轮子数＝86。 【解答】设小汽车有x辆，电动车有y辆。根据题意，得x+y=28，4x+2y=86。 由第一个方程得y=28-x，代入第二个方程，得4x+2(28-x)=86， 2x=30，x=15，y=28-15=13。 检验：15+13=28，60+26=86，且都是正整数，符合题意。 答：小汽车有15辆，电动车有13辆。 【方法小结】“两类对象、两种总量”的问题一律设两个未知数：一个总量列一个方程。用表格把每一类的单个数量与总数量排好，方程就能直接读出来。 题型5　变式：盈亏分配、邮票选方程组、和倍关系与年龄问题 五道变式换五种情境：分苹果的盈亏问题、从四个方程组里挑出正确的一个、植树的和倍问题、两个时刻的年龄倍数关系、以及大小盒装鸡蛋。 变式1　若干名同学分一箱苹果：若每人分4个，则多出9个；若每人分6个，则还差7个。有多少名同学？这箱苹果有多少个？ 变式2　小红用面值为1.2元和2元的两种邮票共10枚，付了16元邮资。设1.2元的邮票x枚，2元的邮票y枚，所列方程组正确的是（　　）。 A．x+y=10，2x+1.2y=16 B．x+y=16，1.2x+2y=10 C．x-y=10，1.2x+2y=16 D．x+y=10，1.2x+2y=16 变式3　八年级两个班共植树94棵，一班植树的棵数比二班的2倍少5棵。两个班各植树多少棵？ 变式4　父亲现在的年龄是儿子的3倍，6年后父亲的年龄是儿子的2.5倍。父子现在各多少岁？ 变式5　食堂用大、小两种盒子装鸡蛋，大盒每盒装12个，小盒每盒装8个。一共用了11个盒子，正好装了108个鸡蛋，每个盒子都装满。大盒、小盒各用了几个？ 【题型6】列方程组解决实际问题（二）：用表格梳理增收节支、百分率与配料 教材用“增收节支”和营养配餐两个问题示范了表格法：量多、对象多的问题，先画一张表，每行一个对象，每列一种量，填满以后方程自己就出来了。 例1　某设计工作室今年的经营数据与去年相比：总收入多了15%，总支出少了10%，今年的总利润达到104万元；而去年总收入比总支出多60万元。设去年的总收入为x万元、总支出为y万元，各量如下表（总利润＝总收入-总支出）。去年的总收入、总支出各是多少万元？ 年份 总收入／万元 总支出／万元 总利润／万元 去年 x y 60 今年 (1+15%)x (1-10%)y 104 【分析】涉及两年、三种量（总收入、总支出、总利润），用表格按“行＝年份、列＝量”排好。设去年总收入x万元、总支出y万元，今年的总收入是(1+15%)x万元，总支出是(1-10%)y万元，两个年份各有一个“收入-支出＝利润”的关系。 【解答】设去年的总收入为x万元，总支出为y万元。根据题意，得x-y=60，1.15x-0.9y=104。 由第一个方程得x=y+60，代入第二个方程，得1.15(y+60)-0.9y=104， 0.25y+69=104，0.25y=35，y=140，x=140+60=200。 检验：今年收入230万元，支出126万元，利润104万元，符合题意。 答：去年的总收入是200万元，总支出是140万元。 【方法小结】增长率问题的基准是“原来的量”：增加15%是乘1.15，减少10%是乘0.9。表格把每一格填满，两行的“利润”就是两个方程。 题型6　变式：获奖率、饲料配比、进价与租船 四道变式都先列表再列方程：按获奖率求人数、按蛋白质含量配饲料、由进价差与总价求单价、按船的座位数分配人数。 变式1　某厂甲、乙两个车间共有180名工人参加技能比赛，甲车间获奖率为20%，乙车间获奖率为15%，全厂共有31人获奖。设甲、乙两个车间参赛人数分别为x名、y名，各量如下表。甲、乙两个车间各有多少名工人参赛？ 车间 甲车间 乙车间 合计 参赛人数 x y 180 获奖率 20% 15% — 获奖人数 20%x 15%y 31 变式2　养殖场用甲、乙两种饲料配制混合饲料，甲种饲料的蛋白质含量为30%，乙种为10%。现要配制50 kg蛋白质含量为18%的混合饲料，设需甲种饲料x kg、乙种饲料y kg，各量如下表。甲、乙两种饲料各需多少千克？ 成分 甲种饲料 乙种饲料 混合饲料 质量／kg x y 50 蛋白质／kg 0.3x 0.1y 50×18% 变式3　商店购进A，B两种书包，A种每个的进价比B种多20元，购进A种3个、B种4个共付480元。A，B两种书包每个的进价各是多少元？ 变式4　42名同学去公园划船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，一共租了8条船，每条船都正好坐满。大船、小船各租了几条？ 【题型7】列方程组解决实际问题（三）：用线段图梳理行程与数位 运动过程的问题，教材建议画线段图：过隧道的两种状态、相向与同向、环形跑道的“一圈”，都能在图上直接看出“路程和”“路程差”。数位问题则用“十位数字×10＋个位数字”表示两位数。 例1　如图，一列火车匀速通过一座长1200 m的大桥，从车头上桥到车尾离开桥共用了50 s，整列火车完全在桥上的时间是30 s。求火车的速度和火车的长度。 【分析】画线段图看路程：从车头上桥到车尾离桥，火车走过的路程是“桥长＋车长”；整列车都在桥上的那一段，走过的路程是“桥长-车长”。 【解答】设火车的速度为x m/s，火车的长度为y m。根据题意，得50x=1200+y，30x=1200-y。 两式相加，得80x=2400，所以x=30。 把x=30代入50x=1200+y，得y=1500-1200=300。 检验：30 m/s即108 km/h，合乎常识；30×30=900=1200-300，符合题意。 答：火车的速度是30 m/s，火车长300 m。 【方法小结】过桥、过隧道只盯车头（或车尾）走了多远：完全通过是“桥长加车长”，完全在桥上是“桥长减车长”。两式相加正好消去车长。 题型7　变式：相向与同向、环形跑道、平路与坡路、数字对调 四道变式把行程问题的几种画法练一遍：同一段路相向又同向、环形跑道反向与同向、往返时上坡下坡互换，最后用两位数的表示法处理数字对调。 变式1　如图，甲、乙两地相距30 km，小丁骑电动自行车、小陈骑自行车。若两人分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1.5 h后相遇；若两人同时从甲、乙两地出发同向而行（小陈在前），5 h后小丁追上小陈。两人的速度各是多少？ 变式2　甲、乙两人在一圈300 m的环形跑道上练跑，从同一起点同时出发。两人背向跑时，每40 s相遇一次；两人同向跑时，甲每200 s追上乙一次。求甲、乙两人的速度。 变式3　小林从家到书店，先走一段平路，再走一段下坡路。他在平路上每小时走4 km，下坡每小时走5 km，上坡每小时走3 km。去书店用了42 min，按原路回家用了54 min。平路和坡路各有多少千米？ 变式4　一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，把十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，新数与原数的和是121。求原来的两位数。 【题型8】二元一次方程组与一次函数：交点、无解与图象法 北师大版在学完一次函数后学方程组，最大的好处是能用图象解释方程组的解：一个二元一次方程是一条直线，方程组的解就是两条直线的交点；两条直线平行，方程组无解。 例1　如图，直线m：y=-x+4与直线n：y=2x-2相交于点P。(1)求点P的坐标；(2)直线m，n和x轴围出一个三角形，求它的面积。 【分析】两条直线交点的坐标就是两个表达式组成的方程组的解；三角形的底在x轴上，先求两条直线与x轴的交点，高就是点P的纵坐标。 【解答】(1)联立y=-x+4，y=2x-2，得-x+4=2x-2，3x=6，x=2， 代入y=-x+4，得y=2，所以点P的坐标是(2，2)。 (2)令y=0：由-x+4=0得x=4，直线m与x轴交于点(4，0)；由2x-2=0得x=1，直线n与x轴交于点(1，0)。 底边长4-1=3，高为点P的纵坐标2，面积为×3×2=3。 【方法小结】“交点坐标＝方程组的解”，图只帮我们看清位置，数值一律靠解方程组得到。求与x轴围成的面积，先求两条直线与x轴的交点。 题型8　变式：由交点写解、挑出无解的方程组、看图定直线再求交点、相向骑行的图象 五道变式把“数”与“形”来回对应：由交点坐标直接写方程组的解、从k，b看出哪个方程组无解、先由图上的点确定两条直线再求交点，用两个一次函数的图象解决相遇问题，最后由一个方程写出对应的一次函数。 变式1　已知一次函数y=3x-2与y=-x+6的图象的交点坐标是(2，4)，则方程组3x-y=2，x+y=6的解是____。 变式2　每个方程组对应坐标系里的两条直线。两条直线互相平行、因而方程组无解的一组是（　　）。 A．2x-y=1，x+y=5 B．y=3x-1，y=x+3 C．x-2y=4，2x-y=5 D．y=-2x+3，2x+y=7 变式3　如图，直线m经过点A(0，8)与B(4，0)，直线n经过点C(0，-1)与D(1，0)，两直线交于点P。(1)求直线m，n对应的一次函数的表达式；(2)写出以点P的坐标为解的二元一次方程组，并求出点P的坐标。 变式4　如图，甲从A地、乙从B地同时出发，骑车相向而行，A，B两地相距45 km，两人速度都不变。两条线段分别表示两人与A地的距离y km随骑行时间x h的变化：甲骑行3 h时与A地相距36 km，乙骑行1 h时与A地相距27 km。两人出发后多久相遇？相遇地点离A地多少千米？ 变式5　以方程2x-y=4的解为坐标的所有点组成的图象，就是一次函数y=____的图象；这条直线与x轴的交点坐标是____。 【题型9】用二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法） 确定y=kx+b要两个条件：两个点、两组对应值、或一个点加一个关系。把条件代入得到关于k，b的二元一次方程组，这是本章与一次函数衔接最紧的一个题型。 例1　如图，景区缆车从山顶站匀速下行到山脚站，缆车所在位置的海拔y m是运行时间x min的一次函数。运行2 min时海拔为860 m，运行6 min时海拔为620 m。(1)求y与x之间的关系式；(2)山脚站的海拔为380 m，缆车从山顶站到山脚站需要多少分钟？ 【分析】一次函数有k，b两个待定的系数，题目恰好给了两组对应值，代入y=kx+b得到关于k，b的二元一次方程组。到达山脚站就是海拔降到380 m。 【解答】(1)设y=kx+b。根据题意，得860=2k+b，620=6k+b。 两式相减，得4k=-240，k=-60。 代入860=2k+b，得860=2×(-60)+b，b=980。所以y=-60x+980。 (2)令y=380，得-60x+980=380，x=10。 答：缆车从山顶站到山脚站需要10 min。 【方法小结】待定系数法：设式—代值—解方程组—写式子。b=980是山顶站的海拔，k=-60表示缆车每分钟下降60 m，求出后用实际意义核一遍。 题型9　变式：两点定直线、点坐标含参数、表格数据定关系式与选择 五道变式依次练：由两个点直接写表达式、点的坐标里含未知数、由表格中的两组数据确定关系式并求值、在四组k，b里挑出正确的一组、由两组对应值求第三个函数值。 变式1　已知当x=1时kx+b=5，当x=-2时kx+b=-1，那么一次函数y=kx+b就是y=____。 变式2　直线y=-2x+b上有两点M(a，5)，N(3，a)。求a，b的值，并写出这条直线对应的函数。 变式3　某卡丁车场按驾驶时间收费，另收一次性的装备费，总费用y（元）是驾驶时间x min的一次函数，部分数据如下表。(1)求y与x之间的关系式；(2)小宇带了100元，最多可以驾驶多少分钟？ 驾驶时间x／min 10 25 总费用y／元 35 65 变式4　若直线y=kx+b经过点(2，-1)和(-1，5)，则k，b的值分别是（　　）。 A．k=-2，b=3 B．k=2，b=-5 C．k=-2，b=-3 D．k=3，b=-2 变式5　已知y是x的一次函数，当x=-1时y=-4，当x=3时y=8，则当x=5时y=____。 【题型10】（拓展）三元一次方程组 本节是选学内容，不作考试要求，但它把“消元”的思路又用了一次：三元化二元，二元化一元。会解的同学可以把它当作加减消元与代入消元的综合练习。 例1　（拓展）三个方程中z的系数依次是1，1，-1，先消去z把三元化为二元。解方程组：x+y+z=6 ①，2x-y+z=3 ②，x+2y-z=2 ③。 【分析】解三元一次方程组的基本思路仍是“消元”。③中z的系数是-1，①②中z的系数都是1，分别与③相加就能同时消去z，得到只含x，y的二元一次方程组。 【解答】①+③，得2x+3y=8 ④； ②+③，得3x+y=5 ⑤。 由⑤得y=5-3x，代入④，得2x+3(5-3x)=8，-7x=-7，x=1，y=2。 把x=1，y=2代入①，得z=6-1-2=3。 所以原方程组的解是x=1，y=2，z=3。 【方法小结】先选定要消去的那个未知数，用两次加减把三个方程变成两个；千万别一次消x、一次消z，那样得不到二元一次方程组。 题型10　变式：密码数字、文具单价与轮换对称的方程组 三道变式各有一个特点：用代入直接化成一元、两式相减先求出一个未知数、三个方程轮换对称时整体相加。 变式1　（拓展）一把密码锁的密码由三个数字组成：三个数字之和是17，第一位比第二位大1，第三位是第二位的2倍。这个密码是多少？ 变式2　（拓展）文具店里，买1支钢笔、1本笔记本、1个文件袋共需17元；买1支钢笔、2本笔记本、3个文件袋共需29元；买2支钢笔、1本笔记本、1个文件袋共需25元。钢笔、笔记本、文件袋的单价各是多少元？ 变式3　（拓展）方程组x+y=5，y+z=7，z+x=8的解是____。 　易错专练 本章的失分集中在六处：由定义求参数漏验系数、代入时漏加括号、两式相减漏变号、乘系数漏乘常数项、百分率找错基准、以及把“没有交点”与“方程组无解”对应不上。下面六题各守一处，做完再对照答案里的错解与错因。 易错1　已知(k+2)x+=5是关于x，y的二元一次方程，求k的值。 易错2　小涛把②代入①时写成了2x-3x-2=1。指出他错在哪一步，并写出方程组2x-3y=1 ①，y=x-2 ②的正确解答。 易错3　小慧由①-②得到-2y=2。找出她的错误，再正确求出方程组3x+2y=7 ①，3x-4y=-5 ②的解。 易错4　阿杰把①乘2后写成2x+6y=4。纠正这一步，并完整求出方程组x+3y=4 ①，2x-5y=-3 ②的解。 易错5　某车间计划生产甲、乙两种零件共500个，实际生产时甲种零件超产12%，乙种零件超产10%，实际共生产552个。实际生产甲、乙两种零件各多少个？ 易错6　已知直线y=kx+3与直线y=2x-1没有交点，则k=____，此时方程组y=kx+3，y=2x-1的解的情况是____。 　课后作业（一）基础巩固 下面8题是本章必会的基础，每题只有一个选项符合题意，把字母填进括号里。考查次序是方程的解、方程组的解、消元方法的选择、交点坐标、列方程组与方程组解的情况。 1．把四组数分别代入3x-2y=8，能使左右两边相等的是（　　）。 A．x=2，y=-1 B．x=1，y=2 C．x=3，y=1 D．x=0，y=4 2．若方程组x+y=6，x-y=2m的解中x的值是y的2倍，则m的值是（　　）。 A．-1 B．1 C．2 D．4 3．对于方程组2x+3y=9 ①，5x-3y=12 ②，下列消元步骤中最省事的是（　　）。 A．①-②消去x B．①×5-②×2消去x C．①+②消去y D．①×3+②×2消去y 4．已知两条直线y=2x+1和y=-x+7，它们公共点的坐标是（　　）。 A．(3，4) B．(5，2) C．(-2，-3) D．(2，5) 5．体育课代表买跳绳和毽子共12件，跳绳每根7元，毽子每个3元，一共花了60元。设买跳绳x根、毽子y个，下列方程组正确的是（　　）。 A．x+y=12，7x+3y=60 B．x+y=60，7x+3y=12 C．x+y=12，3x+7y=60 D．x-y=12，7x+3y=60 6．已知x=1，y=-2是方程组ax+y=3，x-by=5的解，则a-b的值是（　　）。 A．7 B．-3 C．3 D．-7 7．方程组y=3x-2，6x-2y=4的解的情况是（　　）。 A．只有一个解 B．没有解 C．有无数个解 D．有两个解 8．一艘船顺流航行3 h行驶48 km，逆流航行4 h也行驶48 km，船在静水中的速度是（　　）km/h。 A．12 B．14 C．16 D．2 　课后作业（二）能力进阶 第9～16题只要求写出结果，不必写过程。这一组把整数解、由解求参数、同类项、交点与待定系数法、和倍与分配问题各考一遍。 9．满足x+2y=7的x，y都取非负整数时，这样的数对一共有____对。 10．已知x=2，y=1是方程组mx+ny=8，nx-my=1的解，则m=____，n=____。 11．若与是同类项，则x=____，y=____。 12．若点P(2，m)同时在直线y=x+1和直线y=-2x+b上，则b=____。 13．直线y=kx+b与y轴交于点(0，-2)，并且过点(3，4)，这条直线对应的一次函数是y=____。 14．一个长方形的周长是26 cm，长比宽的2倍少2 cm，则这个长方形的长是____cm，宽是____cm。 15．学校给住校生安排宿舍：每间住5人，有4人住不下；每间住6人，则空出1间，其余正好住满。宿舍有____间，住校生有____人。 16．若关于x，y的方程组x+2y=k，2x+y=1的解满足x+y=2，则k=____。 　课后作业（三）拓展延伸 第17～25题要写出完整的解题过程。这一组把两种消元法、去分母、表格与图象、工程与分段计价、选学的三元一次方程组合在一起用。 17．①中y前面只有一个负号，最适合变形。按代入法完整写出3x-y=7 ①，5x+2y=8 ②这个方程组的求解过程，并回代检验。 18．让y的系数变成6与-6后相加，求方程组4x+3y=5 ①，3x-2y=-9 ②的解。 19．含分母的方程先两边同乘6去分母，再选择消元方法。求方程组+=3 ①，3x-2y=6 ②的解。 20．某水果经营户用900元从批发市场购进A，B两种水果共50 kg，当天的批发价与零售价如下表。(1)A，B两种水果各购进多少千克？(2)当天全部卖完，可赚多少元？ 品种 A种 B种 批发价／（元/kg） 15 20 零售价／（元/kg） 20 26 21．如图，A槽开始注水，B槽同时开始放水，两个水槽的水深y cm都是时间x min的一次函数：A槽的图象经过点(0，4)和(4，12)，B槽的图象经过点(0，16)和(4，8)。(1)写出A槽、B槽的水深y关于x的关系式；(2)注水、放水同时进行到第几分钟，两槽水深相等？此时水深是多少？ 22．甲、乙两个工程队合修一段1800 m的公路。若甲队先修2天，然后两队合修6天，恰好完成；若乙队先修3天，然后两队合修6天，也恰好完成。甲、乙两队每天各修多少米？ 23．某种运动鞋的鞋码y（码）是脚长x cm的一次函数，部分对应数据如下表。(1)求y与x之间的关系式；(2)脚长26.5 cm的人应穿多少码的这种鞋？ 脚长x／cm 22 25 鞋码y／码 34 40 24．（拓展）用③分别与①、②配合消去z，求三元一次方程组x+y+z=9 ①，x-y+2z=7 ②，3x+y-z=5 ③的解。 25．某展馆门票价格：一次购票1～40人，每人15元；41～80人，每人12元；80人以上，每人10元。八(1)班、八(2)班共86人去参观，其中八(1)班不足40人，八(2)班超过40人但不超过80人。若两班分别购票，一共应付1146元。(1)两个班各有多少人？(2)若两班联合购票，能省多少钱？ 　参考答案与解析 　题型1　变式：挑出二元一次方程与方程组、改写方程与实际情境列方程 变式1　【答案】B 【解析】A中含有，次数是2，不是二元一次方程。 B中含有x，y两个未知数，各项次数都是1，是二元一次方程。 C中3xy这一项的次数是2，不是二元一次方程。 D中含有三个未知数，是三元一次方程。故选B。 变式2　【答案】D 【解析】A中共有x，y，z三个未知数，不是二元一次方程组。 B中mn这一项的次数是2，不是。 C中的次数是2，不是。 D共含两个未知数，两个方程都是一次方程，是二元一次方程组（第一个方程只含p也可以）。故选D。 变式3　【答案】； 【解析】把含y的项留在左边，其余移到右边：-3y=12-4x，两边都除以-3，得y=。 把含x的项留在左边：4x=3y+12，两边都除以4，得x=。 变式4　【答案】6x+4y=96；10 【解析】甲种花6x元，乙种花4y元，合计96元，所以6x+4y=96。 把y=9代入，得6x+36=96，6x=60，所以x=10。 　题型2　变式：逐一检验、正整数解、两组解定参数、同解方程组与整体相加 变式1　【答案】B 【解析】逐个代入两个方程检验。A：1+9=10成立，但2-3=-1≠6，不是。 B：4+6=10，8-2=6，两个方程都成立，是方程组的解。 C：3+0=3≠10，不是。 D：7+3=10成立，但14-1=13≠6，不是。故选B。 变式2　【答案】3；x=1，y=5 【解析】由2x=17-3y可知，17-3y必须是正的偶数，所以y是奇数，并且3y小于17。 y=1时x=7；y=3时x=4；y=5时x=1。共3组。 x最小的一组是x=1，y=5。 变式3　【答案】(1)k=3，b=1；(2)是 【解析】(1)把两组解分别代入，得2k-5=b，-k+4=b。 所以2k-5=-k+4，3k=9，k=3，b=2×3-5=1。 (2)方程为3x-y=1。当x=3，y=8时，3×3-8=1，左右两边相等，所以x=3，y=8也是这个方程的解。 变式4　【答案】a=1，b=2 【解析】两个方程组有相同的解，这个解同时满足2x-y=7与3x+y=8，先把这两个不含参数的方程联立。 两式相加，得5x=15，x=3；代入3x+y=8，得y=-1。 把x=3，y=-1代入含参数的两个方程：3a-1=b，3-b=a。 由3-b=a代入，得3(3-b)-1=b，8=4b，b=2，a=1。 变式5　【答案】(1)m=9；(2)x=4，y=0 【解析】(1)①+②，得5x+5y=2m+2，即5(x+y)=2m+2。 把x+y=4代入，得2m+2=20，m=9。 (2)此时方程组为3x+2y=12，2x+3y=8。①-②，得x-y=4。与x+y=4联立，得x=4，y=0。 检验：3×4+0=12，2×4+0=8，成立。 　题型3　变式：直接代入、先变形再代入、整体代入与挑选变形方式 变式1　【答案】x=4，y=7 【解析】把①代入②，得2x+(3x-5)=15， 5x=20，x=4。 把x=4代入①，得y=12-5=7。 所以原方程组的解是x=4，y=7。 变式2　【答案】x=2，y=7 【解析】由①，得y=5x-3 ③。 把③代入②，得3x+2(5x-3)=20，13x=26，x=2。 把x=2代入③，得y=7。 所以原方程组的解是x=2，y=7。 变式3　【答案】x=1，y=2 【解析】②中含有整体x+2y，由①把x+2y=5整体代入②，得3×5-4y=7， -4y=-8，y=2。 把y=2代入①，得x=5-4=1。 所以原方程组的解是x=1，y=2。 变式4　【答案】C 【解析】A、B、D三种变形都是对的，但表示出来的式子含分母，代入后要多一步去分母。 ②中x的系数是1，由②得x=5+4y，代入①得3(5+4y)+2y=8，没有分数，最简便。故选C。 变式5　【答案】-1 【解析】7-2x+6y=7-2(x-3y)，把x-3y=4整体代入，得7-2×4=-1。 　题型4　变式：直接相减、乘一个再减、先整理再消元、非负数之和与整体加减 变式1　【答案】x=-3，y=2 【解析】x的系数相同，①-②，得5y-(-3y)=4-(-12)，即8y=16，y=2。 把y=2代入①，得2x+10=4，x=-3。 所以原方程组的解是x=-3，y=2。 变式2　【答案】x=5，y=3 【解析】②×2，得4x+10y=50 ③。 ①-③，得-13y=-39，y=3。 把y=3代入①，得4x-9=11，x=5。 所以原方程组的解是x=5，y=3。 变式3　【答案】x=4，y=2 【解析】先去括号整理：①化为-x+5y=6 ③，②化为5x+y=22 ④。 ③×5，得-5x+25y=30 ⑤。 ⑤+④，得26y=52，y=2。 把y=2代入③，得-x+10=6，x=4。 所以原方程组的解是x=4，y=2。 变式4　【答案】3；2 【解析】绝对值与平方都是非负数，和为0时两者都等于0，所以x-2y=-1，x+y=5。 两式相减，得-3y=-6，y=2；代入x+y=5，得x=3。 变式5　【答案】-2；4 【解析】两式相减，得x-y=5-7=-2。 两式相加，得3x+3y=12，所以x+y=4。 　题型5　变式：盈亏分配、邮票选方程组、和倍关系与年龄问题 变式1　【答案】有8名同学，这箱苹果有41个 【解析】设有x名同学，这箱苹果有y个。根据题意，得4x+9=y，6x-7=y。 所以4x+9=6x-7，2x=16，x=8，y=4×8+9=41。 检验：6×8-7=41，符合题意。 答：有8名同学，这箱苹果有41个。 变式2　【答案】D 【解析】枚数关系：x+y=10；钱数关系：1.2x+2y=16，故选D。 A把两种邮票的面值对调了；B把枚数与钱数对调了；C把“共10枚”写成了差。 解D：1.2x+2(10-x)=16，0.8x=4，x=5，y=5，都是正整数，合乎实际。 变式3　【答案】一班61棵，二班33棵 【解析】设一班植树x棵，二班植树y棵。根据题意，得x+y=94，x=2y-5。 代入，得2y-5+y=94，3y=99，y=33，x=2×33-5=61。 答：一班植树61棵，二班植树33棵。 变式4　【答案】父亲54岁，儿子18岁 【解析】设父亲现在x岁，儿子现在y岁。根据题意，得x=3y，x+6=2.5(y+6)。 代入，得3y+6=2.5(y+6)，0.5y=9，y=18，x=54。 检验：6年后父亲60岁、儿子24岁，60=2.5×24，符合题意。 答：父亲现在54岁，儿子现在18岁。 变式5　【答案】大盒5个，小盒6个 【解析】设用大盒x个，小盒y个。根据题意，得x+y=11，12x+8y=108。 代入，得12x+8(11-x)=108，4x=20，x=5，y=6。 检验：12×5+8×6=108，符合题意。 答：大盒用了5个，小盒用了6个。 　题型6　变式：获奖率、饲料配比、进价与租船 变式1　【答案】甲车间80名，乙车间100名 【解析】设甲车间有x名工人参赛，乙车间有y名。根据题意，得x+y=180，0.2x+0.15y=31。 代入，得0.2x+0.15(180-x)=31，0.05x=4，x=80，y=100。 检验：80×20%=16，100×15%=15，16+15=31，符合题意。 答：甲车间有80名工人参赛，乙车间有100名。 变式2　【答案】甲种20 kg，乙种30 kg 【解析】设需甲种饲料x kg，乙种饲料y kg。混合前后总质量不变、蛋白质质量不变：x+y=50，0.3x+0.1y=50×18%。 即0.3x+0.1y=9。代入，得0.3x+0.1(50-x)=9，0.2x=4，x=20，y=30。 答：甲种饲料需20 kg，乙种饲料需30 kg。 变式3　【答案】A种80元，B种60元 【解析】设A种每个进价x元，B种每个进价y元。根据题意，得x-y=20，3x+4y=480。 由x=y+20代入，得3(y+20)+4y=480，7y=420，y=60，x=80。 答：A种书包每个进价80元，B种书包每个进价60元。 变式4　【答案】大船5条，小船3条 【解析】设租大船x条，小船y条。根据题意，得x+y=8，6x+4y=42。 代入，得6x+4(8-x)=42，2x=10，x=5，y=3。 检验：6×5+4×3=42，符合题意。 答：大船租了5条，小船租了3条。 　题型7　变式：相向与同向、环形跑道、平路与坡路、数字对调 变式1　【答案】小丁13 km/h，小陈7 km/h 【解析】设小丁的速度为x km/h，小陈的速度为y km/h。 相向而行：路程和等于30 km，1.5(x+y)=30，即x+y=20。 同向而行：小丁比小陈多走30 km，5(x-y)=30，即x-y=6。 两式相加，得2x=26，x=13，y=7。 答：小丁的速度是13 km/h，小陈的速度是7 km/h。 变式2　【答案】甲4.5 m/s，乙3 m/s 【解析】设甲的速度为x m/s，乙的速度为y m/s（x>y）。 反向相遇一次，两人合跑一圈：40(x+y)=300，x+y=7.5。 同向追上一次，甲比乙多跑一圈：200(x-y)=300，x-y=1.5。 两式相加，得2x=9，x=4.5，y=3。 答：甲的速度是4.5 m/s，乙的速度是3 m/s。 变式3　【答案】平路1.6 km，坡路1.5 km 【解析】设平路长x km，坡路长y km。去时走平路、下坡，回来走上坡、平路。 42 min=0.7 h，54 min=0.9 h，得+=0.7，+=0.9。 两式相减，得-=0.2，即=0.2，y=1.5。 代入第一个方程，得+1.5/5=0.7，=0.4，x=1.6。 答：平路长1.6 km，坡路长1.5 km。 变式4　【答案】83 【解析】设原数十位数字为x，个位数字为y，原数是10x+y，新数是10y+x。 根据题意，得x-y=5，(10x+y)+(10y+x)=121。 第二个方程化简为11x+11y=121，即x+y=11。 与x-y=5相加，得2x=16，x=8，y=3。 答：原来的两位数是83。 　题型8　变式：由交点写解、挑出无解的方程组、看图定直线再求交点、相向骑行的图象 变式1　【答案】x=2，y=4 【解析】3x-y=2即y=3x-2，x+y=6即y=-x+6，两个方程对应的正是这两个一次函数。 交点坐标(2，4)就是方程组的解：x=2，y=4。 变式2　【答案】D 【解析】D中第二个方程化为y=-2x+7，与y=-2x+3的k都是-2、b不同，两条直线平行，没有交点，所以方程组无解。 A、B、C中两条直线的k都不相同，一定相交，各有一个解。故选D。 变式3　【答案】(1)直线m：y=-2x+8，直线n：y=x-1；(2)方程组2x+y=8，x-y=1（写成y=-2x+8，y=x-1也可），P(3，2) 【解析】(1)直线m过A(0，8)，设y=kx+8，代入B(4，0)得4k+8=0，k=-2，所以y=-2x+8。 直线n过C(0，-1)，设y=tx-1，代入D(1，0)得t-1=0，t=1，所以y=x-1。 (2)点P的坐标是方程组2x+y=8，x-y=1的解。两式相加，得3x=9，x=3，y=2。 所以点P的坐标是(3，2)。 变式4　【答案】出发后1.5 h两人相遇，相遇地点离A地18 km 【解析】甲从A地出发，图象过原点与(3，36)，设y=kx，得3k=36，k=12，甲的关系式为y=12x。 乙从B地出发，图象过(0，45)与(1，27)，设y=mx+45，得m+45=27，m=-18，乙的关系式为y=-18x+45。 相遇时两人与A地的距离相等，联立得12x=-18x+45，30x=45，x=1.5，此时y=12×1.5=18。 答：两人出发后1.5 h相遇，相遇地点离A地18 km。 变式5　【答案】2x-4；(2，0) 【解析】由2x-y=4得y=2x-4，所以这些点组成的图象就是一次函数y=2x-4的图象。 令y=0，得2x-4=0，x=2，交点坐标是(2，0)。 　题型9　变式：两点定直线、点坐标含参数、表格数据定关系式与选择 变式1　【答案】2x+3 【解析】代入两点，得k+b=5，-2k+b=-1。 两式相减，得3k=6，k=2，b=3。所以表达式是y=2x+3。 变式2　【答案】a=1，b=7，y=-2x+7 【解析】把两点分别代入，得5=-2a+b，a=-6+b。 把a=b-6代入第一个方程，得5=-2(b-6)+b，b=7，a=1。 所以这个函数的表达式是y=-2x+7。 检验：-2×1+7=5，-2×3+7=1，两点都在直线上。 变式3　【答案】(1)y=2x+15；(2)42.5 min 【解析】(1)设y=kx+b。由表得35=10k+b，65=25k+b。 两式相减，得15k=30，k=2；代入得20+b=35，b=15。所以y=2x+15。 (2)令y=100，得2x+15=100，x=42.5。 答：小宇最多可以驾驶42.5 min。 变式4　【答案】A 【解析】代入两点，得2k+b=-1，-k+b=5。 两式相减，得3k=-6，k=-2；代入-k+b=5，得b=3。故选A。 B是把k的符号弄反后硬凑出的b；C把b算成了负数；D是把k，b对调了。 变式5　【答案】14 【解析】设y=kx+b，得-k+b=-4，3k+b=8。两式相减，得4k=12，k=3，b=-1。 所以y=3x-1，当x=5时，y=15-1=14。 　题型10　变式：密码数字、文具单价与轮换对称的方程组 变式1　【答案】548 【解析】设第一、二、三位数字分别为x，y，z。根据题意，得x+y+z=17，x=y+1，z=2y。 把后两个方程代入第一个，得(y+1)+y+2y=17，4y=16，y=4，x=5，z=8。 答：这个密码是548。 变式2　【答案】钢笔每支8元，笔记本每本6元，文件袋每个3元 【解析】设钢笔每支x元、笔记本每本y元、文件袋每个z元。根据题意，得x+y+z=17 ①，x+2y+3z=29 ②，2x+y+z=25 ③。 ③-①，得x=8。 把x=8代入①②，得y+z=9，2y+3z=21。由y=9-z代入，得2(9-z)+3z=21，z=3，y=6。 答：钢笔每支8元，笔记本每本6元，文件袋每个3元。 变式3　【答案】x=3，y=2，z=5 【解析】三式相加，得2(x+y+z)=20，x+y+z=10。 分别减去三个方程：z=10-5=5，x=10-7=3，y=10-8=2。 　易错专练 易错1　【答案】k=2 【解析】错解示例：由y的次数是1，得-3=1，k=2或k=-2。 错因：只管了次数，忘了x的系数k+2不能为0。k=-2时方程变成y=5，只剩一个未知数。 正解：由-3=1得k=2或k=-2；又k+2≠0，k≠-2，所以k=2。 提醒：由定义求参数，“次数是1”和“系数不为0”两个条件都要写。 易错2　【答案】x=5，y=3 【解析】错解示例：把②代入①，得2x-3x-2=1，-x=3，x=-3，y=-5。 错因：代入时没给x-2加括号，-3只乘了x，漏乘了-2。 正解：把②代入①，得2x-3(x-2)=1，2x-3x+6=1，-x=-5，x=5，y=3。 提醒：代入一个多项式，先整体加括号，再去括号。 易错3　【答案】x=1，y=2 【解析】错解示例：①-②，得2y-4y=7-5，-2y=2，y=-1。 错因：两式相减时，②中的-4y与-5都要变号，相减后应为2y+4y与7+5。 正解：①-②，得6y=12，y=2；代入①，得3x+4=7，x=1。 提醒：相减时把被减的方程整行加括号，逐项变号。 易错4　【答案】x=1，y=1 【解析】错解示例：①×2，得2x+6y=4，再减去②，得11y=7，y=。 错因：①×2时漏乘了常数项，右边应是8而不是4。 正解：①×2，得2x+6y=8 ③；③-②，得11y=11，y=1；代入①，得x=1。 提醒：方程两边同乘一个数，每一项都要乘，常数项也不例外。 易错5　【答案】实际生产甲种112个，乙种440个 【解析】错解示例：设实际生产甲种x个、乙种y个，列出x+y=500，1.12x+1.1y=552。 错因：超产的百分率是以计划数为基准的，实际数已经是超产后的数，不能再乘1.12；而且实际总数是552不是500。 正解：设计划生产甲种x个、乙种y个，则x+y=500，0.12x+0.1y=552-500=52。 代入，得0.12x+0.1(500-x)=52，0.02x=2，x=100，y=400。 实际生产甲种100×1.12=112个，乙种400×1.1=440个。 答：实际生产甲种零件112个，乙种零件440个。 易错6　【答案】2；无解 【解析】错解示例：写成“k≠2”，以为只要两条直线的k不同就没有交点。 错因：k不同的两条直线一定相交；没有交点说明两条直线平行，k必须相同而b不同。 正解：k=2，这时3≠-1，两条直线平行，方程组无解。 　课后作业（一）基础巩固 1．【答案】A 【解析】逐个代入：A中6+2=8，成立；B中3-4=-1；C中9-2=7；D中0-8=-8。故选A。 2．【答案】B 【解析】把x=2y代入x+y=6，得3y=6，y=2，x=4。 代入x-y=2m，得2m=2，m=1。故选B。 C是忘了除以2；A是把x-y算成了y-x；D是把x的值当成答案。 3．【答案】C 【解析】y的系数3与-3互为相反数，①+②直接消去y，得7x=21。故选C。 B也能消去x，但要先把两个方程分别乘5、乘2，多了乘的步骤；D中①×3、②×2后y的系数是9与-6，相加消不掉y；A中x的系数2与5不相同，相减消不掉x。 4．【答案】D 【解析】联立得2x+1=-x+7，3x=6，x=2，y=5，交点是(2，5)。故选D。 A只在y=-x+7上；B是把横纵坐标对调；C只在y=2x+1上。 5．【答案】A 【解析】件数：x+y=12；钱数：7x+3y=60。故选A。 解A：7x+3(12-x)=60，4x=24，x=6，y=6，都是正整数，合乎实际。 6．【答案】C 【解析】代入第一个方程：a-2=3，a=5；代入第二个方程：1+2b=5，b=2。 a-b=5-2=3。故选C。 7．【答案】C 【解析】第二个方程两边除以2得3x-y=2，即y=3x-2，与第一个方程完全相同。 两条直线重合，公共点有无数个，所以方程组有无数个解。故选C。 8．【答案】B 【解析】设船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h，则3(x+y)=48，4(x-y)=48。 即x+y=16，x-y=12，得x=14，y=2。故选B。 A是逆流速度，C是顺流速度，D是水流速度。 　课后作业（二）能力进阶 9．【答案】4 【解析】y只能取0，1，2，3：对应x=7，5，3，1，都是非负整数，共4组。 10．【答案】3；2 【解析】代入得2m+n=8，2n-m=1。由n=8-2m代入，得2(8-2m)-m=1，m=3，n=2。 11．【答案】； 【解析】同类项中相同字母的指数相同：x+y=4，x-y=3。 两式相加，得2x=7，x=；相减，得2y=1，y=。 12．【答案】7 【解析】交点在直线y=x+1上，横坐标为2时纵坐标是3，交点为(2，3)。 代入y=-2x+b，得3=-4+b，b=7。 13．【答案】2x-2 【解析】由过(0，-2)得b=-2；再代入(3，4)，得3k-2=4，k=2。所以y=2x-2。 14．【答案】8；5 【解析】设长x cm、宽y cm，则2(x+y)=26，x=2y-2。 代入x+y=13，得(2y-2)+y=13，y=5，x=8。 15．【答案】10；54 【解析】设宿舍x间、住校生y人，则5x+4=y，6(x-1)=y。 所以5x+4=6(x-1)，x=10，y=54。 16．【答案】5 【解析】两式相加，得3x+3y=k+1，即3(x+y)=k+1。 把x+y=2代入，得6=k+1，k=5。 　课后作业（三）拓展延伸 17．【答案】x=2，y=-1 【解析】由①，得y=3x-7 ③。 把③代入②，得5x+2(3x-7)=8，11x=22，x=2。 把x=2代入③，得y=-1。所以原方程组的解是x=2，y=-1。 18．【答案】x=-1，y=3 【解析】①×2，得8x+6y=10 ③；②×3，得9x-6y=-27 ④。 ③+④，得17x=-17，x=-1。 把x=-1代入①，得-4+3y=5，y=3。所以原方程组的解是x=-1，y=3。 19．【答案】x=4，y=3 【解析】①×6，去分母得3x+2y=18 ③。 ③+②，得6x=24，x=4。 把x=4代入②，得12-2y=6，y=3。所以原方程组的解是x=4，y=3。 20．【答案】(1)A种20 kg，B种30 kg；(2)280元 【解析】(1)设购进A种x kg，B种y kg。根据题意，得x+y=50，15x+20y=900。 代入，得15x+20(50-x)=900，-5x=-100，x=20，y=30。 (2)利润为20×(20-15)+30×(26-20)=100+180=280（元）。 答：A种购进20 kg，B种购进30 kg；全部卖完可赚280元。 21．【答案】(1)A槽：y=2x+4，B槽：y=-2x+16；(2)3 min，10 cm 【解析】(1)A槽：设y=kx+4，代入(4，12)，得4k+4=12，k=2，所以y=2x+4。 B槽：设y=mx+16，代入(4，8)，得4m+16=8，m=-2，所以y=-2x+16。 (2)水深相同就是两条直线的交点：2x+4=-2x+16，x=3，y=10。 答：经过3 min两个水槽的水深相同，此时水深10 cm。 22．【答案】甲队每天150 m，乙队每天100 m 【解析】设甲队每天修x m，乙队每天修y m。 根据题意，得2x+6(x+y)=1800，3y+6(x+y)=1800，整理得4x+3y=900，2x+3y=600。 两式相减，得2x=300，x=150；代入2x+3y=600，得y=100。 答：甲队每天修150 m，乙队每天修100 m。 23．【答案】(1)y=2x-10；(2)43码 【解析】(1)设y=kx+b。由表得34=22k+b，40=25k+b。 两式相减，得3k=6，k=2；代入得44+b=34，b=-10。所以y=2x-10。 (2)当x=26.5时，y=2×26.5-10=43。 答：应穿43码的这种鞋。 24．【答案】x=2，y=3，z=4 【解析】①+③，得4x+2y=14 ④；②+③×2，得7x+y=17 ⑤。 由⑤得y=17-7x，代入④，得4x+2(17-7x)=14，-10x=-20，x=2，y=3。 代入①，得z=9-2-3=4。所以原方程组的解是x=2，y=3，z=4。 25．【答案】(1)八(1)班38人，八(2)班48人；(2)286元 【解析】(1)设八(1)班x人，八(2)班y人。根据题意，得x+y=86，15x+12y=1146。 代入，得15x+12(86-x)=1146，3x=114，x=38，y=48。符合“不足40”“41～80”的条件。 (2)联合购票86人，每人10元，共860元，省1146-860=286（元）。 答：八(1)班38人，八(2)班48人；联合购票能省286元。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 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