第四章 一次函数 题型精讲讲义-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版·八年级上册·第四章 一次函数·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第四章 一次函数 题型精讲（讲义）-2026-2027学年八年级上册数学北师大版 北师大版（2024年版）八年级数学上册　第四章　一次函数　1 函数　2 认识一次函数　3 一次函数的图象　4 一次函数的应用 含 10 个考点例题　/　共 86 题（变式 39 · 易错 7 · 作业 30）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出函数、自变量、函数值的含义，会在表格、关系式、图象三种表示方式之间读出对应值，会结合实际意义写出自变量的取值范围。 2．能说出一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）与正比例函数y=kx的定义，会由“均匀”变化的实际问题写出关系式，并用带单位的话说出k与b的实际意义。 3．会用列表、描点、连线画一次函数的图象，能由k、b的正负说出直线的倾斜方向与经过的象限，会由两个条件确定一次函数的表达式，并借助图象解决分档计费、方案比较、追赶等实际问题。 学习重难点 重点：一次函数与正比例函数的识别；k、b对直线位置的影响（倾斜方向、与y轴的交点、相互平行）；由两个条件确定表达式；从图象中读取信息解决实际问题。 难点：b=0时一次函数就是正比例函数，但两者都要求k≠0；由图象定k、b的符号要按“先看倾斜方向、再看与y轴交点”的次序；实际问题中的自变量往往只能取一段值，图象也就只是一条线段或几段折线。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　变量、函数与函数值 2 知识点 02　“均匀”变化、一次函数与正比例函数 3 知识点 03　关系式中k与b的实际意义 3 知识点 04　函数的图象与正比例函数的图象 3 知识点 05　一次函数的图象及k、b的影响 4 知识点 06　确定一次函数的表达式 5 知识点 07　一次函数与一元一次方程、两条直线的交点 5 题型 1　函数的概念与自变量的取值范围 6 题型 2　求函数值与函数的三种表示方式 7 题型 3　一次函数与正比例函数的识别及求参数 8 题型 4　写实际问题的关系式并说明k、b的实际意义 9 题型 5　正比例函数的图象与性质 10 题型 6　一次函数的图象与k、b的符号 11 题型 7　由两个条件确定一次函数的表达式 2 题型 8　一次函数与一元一次方程、直线与坐标轴的交点 2 题型 9　分档计费问题中的一次函数 2 题型 10　两条直线的应用：追赶与方案比较 2 易错专练 18 课后作业（一）基础巩固 19 课后作业（二）能力进阶 20 课后作业（三）拓展延伸 21 参考答案与解析 2 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　变量、函数与函数值 本章从摩天轮上一点离地面的高度随旋转时间变化、圆柱形物体堆放时总数随层数变化、热力学温度随摄氏温度变化这几个过程说起，先概括出函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量。表格、关系式、图象是函数的三种表示方式。对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值。用自己的话说，判断“y是不是x的函数”只看一件事：x取定一个值以后，y是不是只有一个值。即时小例：一支铅笔售价1.5元，买n支铅笔的总价w=1.5n，n只能取0，1，2，…这样的整数，当n=4时的函数值是6。 函数：x每取一个值，y都有唯一的值与它对应 三种表示方式：表格、关系式、图象 函数值：自变量等于a时对应的那一个y值 小提示：“唯一”是定义的核心：x取一个值、y却对应两个值，就不是函数；反过来，不同的x对应同一个y是允许的。实际问题里的自变量还要受实际意义限制，比如人数、件数只能取整数。 知识点　02　“均匀”变化、一次函数与正比例函数 教材让学生点燃一根驱蚊线香，每隔1 min量一次香可燃烧部分的长度，发现燃烧时间每增加1 min，长度就减少同样多，并把这种变化叫作“均匀”变化：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。把这类关系写成式子，就得到教材的定义：如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。教材还在旁边点明：对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k，函数值的变化是“均匀”的。即时小例：一个水箱原有水12 L，打开进水管后每分钟进水3 L，t min后水箱中的水量Q=3t+12，Q是t的一次函数，但不是正比例函数。 一次函数：y=kx+b（k，b为常数，k≠0） 正比例函数：y=kx（k为常数，k≠0），即b=0的一次函数 自变量每增加1，函数值就增加k 小提示：判断一次函数要同时核对三点：自变量的次数是1、自变量不在分母上也不在根号里、一次项系数不为0。正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 知识点　03　关系式中k与b的实际意义 教材在汽车紧急刹车的测试里写出刹车后的速度与经过时间的一次函数关系，并逐项解释：其中的k表示每秒汽车速度的变化量，b表示刹车开始时汽车的速度。一般地，实际问题中的关系式y=kx+b里，k表示自变量每增加1个单位时函数值的变化量，k为负数说明函数值在减少；b表示自变量为0时的函数值，也就是“起始量”。说实际意义时要把单位带上。即时小例：清洗空调时储水盒里有水8 L，排水时每分钟排出0.5 L，排水m分钟后盒内剩余水量R=-0.5m+8，-0.5表示每分钟水量减少0.5 L，8表示开始排水时盒内的水量。 k：自变量每增加1时函数值的变化量（带正负号） b：自变量为0时的函数值（起始量） 小提示：k是“变化的快慢与方向”：正数表示增加，负数表示减少。回答实际意义时写成“每分钟减少0.5 L”这样的完整句子，只写“k等于-0.5”不算说出了意义。 知识点　04　函数的图象与正比例函数的图象 教材给出图象的定义：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。画图象的基本步骤是列表、描点、连线。教材先画出y=2x的图象，再画一个k为负数的正比例函数的图象，归纳出：正比例函数y=kx的图象是一条经过原点(0，0)的直线，因此画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了。在正比例函数y=kx中，当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时情况正好相反，x的值越大，y的值越小。即时小例：画y=-2.5x的图象，再取一点(2，-5)，与原点连成直线即可。 画图象：列表、描点、连线 y=kx的图象：过原点(0，0)的直线，再取点(1，k)即可画出 k>0：y随x的增大而增大；k<0：y随x的增大而减小 小提示：“随着x值的增大”就是从左往右看图象：k>0时直线从左往右上升，k<0时从左往右下降。比较增大（或减小）得快慢，看x每增加1时y变化多少，y=3x就比y=x增大得快。 知识点　05　一次函数的图象及k、b的影响 教材把y=2x+1与y=2x的图象放在一起比较后得出：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它与正比例函数y=kx的图象相互平行。因此，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了；一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b。进一步的结论是：一次函数y=kx+b的图象经过点(0，b)，与函数y=kx的图象平行；k值相同的两个一次函数图象平行；当k>0时，y的值随着x值的增大而增大，当k<0时，y的值随着x值的增大而减小。即时小例：直线y=-x+3经过点(0，3)与(3，0)，它与直线y=-x平行，从左往右下降。 y=kx+b的图象是直线，与y=kx平行，经过点(0，b) k相同→两直线平行；b相同→两直线与y轴交于同一点 k定倾斜方向，b定与y轴交点在原点上方还是下方 小提示：由k、b的符号可以直接说出直线所过的象限：k>0，b>0时过一、二、三象限；k>0，b<0时过一、三、四象限；k<0，b>0时过一、二、四象限；k<0，b<0时过二、三、四象限。 知识点　06　确定一次函数的表达式 教材在“一次函数的应用”一节先由图象写出物体沿斜坡下滑的速度与时间的关系，再追问：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？结论是：正比例函数y=kx只有一个未知的k，知道图象上一个原点以外的点就能求出；一次函数y=kx+b有k、b两个未知的常数，需要两个条件。教材例题的写法是：设y=kx+b，由不挂物体时弹簧的长度直接得到b，再代入另一组对应值求出k。另一个好用的办法来自“自变量每增加1，函数值就增加k”：已知图象上两个点，先用函数值的改变量除以自变量的改变量求出k，再代入其中一个点求b。即时小例：直线经过(1，2)与(3，8)，k=(8-2)÷(3-1)=3，再由2=3+b得b=-1，所以y=3x-1。 正比例函数y=kx：需要一个条件 一次函数y=kx+b：需要两个条件 k＝函数值的改变量÷自变量的改变量，再代入一点求b 小提示：代入点的坐标时，横坐标代x、纵坐标代y，千万不要颠倒；求出表达式后，再用另一个点验算一次。 知识点　07　一次函数与一元一次方程、两条直线的交点 教材借水库蓄水量随干旱天数减少的例子指出：一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解；从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解。用图象解决实际问题时还常常出现两条直线：教材用销售收入与销售成本两条直线的交点说明“收入等于成本”，用两人到观景台1的路程两条直线的交点说明“追上”。两条直线交点的横坐标，就是使两个函数值相等的自变量的值，可以令两个关系式相等，解一个一元一次方程求出。即时小例：y=2x-6的图象与x轴交于点(3，0)，因为方程2x-6=0的解是x=3。 y=kx+b与x轴交点的横坐标＝方程kx+b=0的解 两条直线的交点：令两个函数值相等，解一元一次方程 读图顺序：两条坐标轴各表示什么→起点、交点、终点→k、b的实际意义 小提示：在交点两侧，两条直线的上下位置会互换：哪条直线在上方，哪个函数值就更大。读实际问题的图象时，先看清两条坐标轴表示的量和单位，再去读点。 【题型1】函数的概念与自变量的取值范围 判断两个变量能不能构成函数，只抓定义里的“唯一”二字：自变量取定一个值，另一个变量是否只有一个值与它对应。写自变量的取值范围时，先看关系式本身有没有限制，再看实际意义有没有限制，两方面都满足才算写全。 例1　某景区的观光车每辆限坐14名乘客（不含司机），一趟至少有1名乘客才发车，车票每人20元。设一辆观光车一趟载客x人，这一趟的车票收入为y元。(1) 写出y与x之间的关系式；(2) 写出自变量x的取值范围，并求当x=9时的函数值。 【分析】载客人数每确定一个值，车票收入就只有一个值与它对应，所以y是x的函数。取值范围要同时考虑“至少1人”“最多14人”“人数是整数”三个方面。 【解答】(1) 每人20元，x人的车票收入是20x元，所以y与x之间的关系式是y=20x。 (2) 由题意，x是整数，并且1≤x≤14。 当x=9时，y=20×9=180。 答：(1) y=20x；(2) 自变量的取值范围是1≤x≤14且x为整数，x=9时的函数值是180。 【方法小结】实际问题中的取值范围分三步写：下限从哪里开始、上限到哪里结束、能不能取小数。本题人数只能取整数，这一句不能漏。 题型1　变式：能否看成函数、规律中的关系式与取值范围 三道变式分别练：用“唯一对应”判断能否看成函数、从搭图形的规律里写关系式并定取值范围、以及在围菜园的问题中由实际意义定范围。 变式1　在以下四个变化过程里，y不能看成x的函数的一个是（　　）。 A．正方形的周长y与它的边长x B．一个正数x的平方根y C．自行车以每分钟250 m的速度骑行，骑行距离y与骑行时间x D．某地一天中的气温y与时刻x 变式2　在桌面上摆一行连在一起的正方形：摆1个正方形用4根火柴棒，以后每多摆1个正方形再添3根。摆x个正方形共用y根火柴棒，则y与x之间的关系式是____，自变量x的取值范围是____；用100根火柴棒恰好能摆____个正方形。 变式3　用总长为24 m的篱笆围成一个长方形菜园（篱笆全部用完），菜园一边长为x m，与它相邻的另一边长为y m，则y与x之间的关系式是____，自变量x的取值范围是____。 【题型2】求函数值与函数的三种表示方式 同一个函数可以用表格、关系式、图象三种方式表示。求函数值是“给x找y”，由函数值反求自变量是“给y找x”；从图象上读值时，先在横轴上找到自变量，再找图象上对应的点，读出它的纵坐标。 例1　一只系留热气球从地面匀速上升，到达一定高度后停留一段时间，再匀速下降回到地面。如图，折线OABC表示热气球离地面的高度h（m）与出发后的时间t（min）之间的关系，其中A(10，300)，B(20，300)，C(35，0)。(1) 求上升阶段热气球每分钟上升多少米，并求t=4时热气球的高度；(2) 下降阶段中，热气球离地面240 m时是出发后第几分钟？ 【分析】折线的三段分别表示上升、停留、下降。上升段由O(0，0)到A(10，300)，下降段由B(20，300)到C(35，0)，每一段都是匀速的，用“高度的改变量÷时间的改变量”求出每分钟的变化量。 【解答】(1) 上升阶段10 min升高300 m，每分钟上升300÷10=30（m）。 t=4时，热气球的高度是30×4=120（m）。 (2) 下降阶段从第20分钟到第35分钟，下降了300 m，每分钟下降300÷(35-20)=20（m）。 离地面240 m时已经下降了300-240=60（m），用时60÷20=3（min），所以是出发后第20+3=23分钟。 答：(1) 每分钟上升30 m，t=4时高度是120 m；(2) 出发后第23分钟。 【方法小结】读折线图先分段：每一段的起点、终点坐标都写出来，再算这一段每分钟的变化量。问“高度为某值时的时间”要先判断落在哪一段，本题上升段也有一个时刻高度是240 m，但题目限定了下降阶段。 题型2　变式：比较函数值、表格与关系式互化、由函数值反求自变量 四道变式把三种表示方式来回走一遍：代入求值比大小、由一组对应值写关系式、由实际问题的关系式求值与反求、以及先由一组对应值求出常数再反求自变量。 变式1　当x=-2时，四个函数中函数值最大的是哪一个（　　）。 A．y=3x+5 B．y=-x+1 C．y=-3x-1 D．y=-2 变式2　某函数的一组对应值是：x=-1，0，1，2，3时，y依次等于5，3，1，-1，-3。这组对应值满足一个一次函数，它的表达式是____；当y=-9时，x=____。 变式3　某电热水壶烧水时，壶内水温T（℃）与加热时间t（min）之间的关系可以近似表示为T=16t+20（0≤t≤5）。(1) 求加热2.5 min时壶内的水温；(2) 水温达到84 ℃需要加热多长时间？(3) 写出函数值T的取值范围。 变式4　对于函数y=-3x+b，当x=2时函数值为1，则常数b=____；当x=____时，函数值为-8。 【题型3】一次函数与正比例函数的识别及求参数 识别时先把关系式整理成y=kx+b的样子，再核对k≠0；正比例函数还要求b=0。题目带字母参数时，把“是一次函数”翻译成“一次项系数不等于0”，把“是正比例函数”再加上“常数项等于0”。 例1　关于x的函数y=(m-3)x+2m-8中，m是常数。(1) 当m取何值时，y是x的正比例函数？写出这个正比例函数；(2) 若这个函数是一次函数，并且它的图象经过点(2，4)，求m的值。 【分析】正比例函数要同时满足“常数项2m-8=0”与“一次项系数m-3≠0”；图象经过点(2，4)，就是x=2时函数值为4。 【解答】(1) 由2m-8=0，解得m=4。 此时一次项系数m-3=1，不等于0，符合要求，这个正比例函数是y=x。 (2) 把x=2，y=4代入，得4=2(m-3)+2m-8， 整理得4m-14=4，解得m=4.5。 此时一次项系数m-3=1.5，不等于0，函数是一次函数，符合题意。 答：(1) m=4，正比例函数是y=x；(2) m=4.5。 【方法小结】求出参数后必须回头核对一次项系数不为0，这一步是本题型最容易丢的分。 题型3　变式：数一数一次函数、参数的两种要求、用“均匀”变化识别 四道变式从四个角度认一次函数：在一组式子里数个数、由参数写出两种函数的条件、在实际问题里挑一次函数与正比例函数、以及用表格数据是否“均匀”变化来识别。 变式1　有五个函数：①y=-5x；②y=+1；③y=；④y=7-0.4x；⑤y=6。其中是一次函数的共有几个（　　）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2　已知函数y=(n-2)x+n，其中n为常数。当它是一次函数时，n应满足的条件是____；当它是正比例函数时，n=____。 变式3　有三个问题：(1) 一本360页的书，每天读24页，读了x天后还剩y页；(2) 一个长方体水箱的底面是边长为x dm的正方形，高为5 dm，它的容积为y d m³；(3) 苹果每千克12元，买x kg应付y元。其中y是x的一次函数的是____，y是x的正比例函数的是____。（填序号） 变式4　四组对应值中，y可能是x的一次函数的是哪一组（　　）。 A．x=1，2，3，4时，y依次为2，4，8，16 B．x=1，2，3，4时，y依次为3，5，7，9 C．x=1，2，3，4时，y依次为1，4，9，16 D．x=1，2，3，4时，y依次为5，3，2，1 【题型4】写实际问题的关系式并说明k、b的实际意义 列关系式抓住“起始量＋变化量”：自变量为0时的量就是b，自变量每增加1时的变化量就是k。写完关系式还要带上自变量的取值范围，并能用一句带单位的话说出k和b各表示什么。 例1　某型号电动汽车的电池充满电后储电量为60 kW·h，在高速公路上匀速行驶时，每行驶100 km耗电15 kW·h。设汽车充满电后行驶了x km，电池剩余电量为y kW·h。(1) 求剩余电量y随行驶路程x变化的函数表达式，并确定x的取值范围；(2) 写出关系式中的一次项系数与常数项，并说明它们的实际意义。 【分析】起始量是满电时的60 kW·h；每行驶1 km耗电15÷100=0.15（kW·h），剩余电量均匀减少。电量减到0时行驶的路程就是x的上限。 【解答】(1) 每行驶1 km耗电15÷100=0.15（kW·h），行驶x km耗电0.15x kW·h， 所以y=60-0.15x，即y=-0.15x+60。 令-0.15x+60=0，解得x=400，所以自变量的取值范围是0≤x≤400。 (2) 一次项系数是-0.15，表示汽车每行驶1 km，电池电量减少0.15 kW·h； 常数项是60，表示汽车出发（x=0）时电池的电量是60 kW·h。 【方法小结】k的实际意义一定带“每……增加（减少）……”和单位；b的实际意义就是“自变量为0时”的那个量。取值范围的上限来自“剩余量减到0”。 题型4　变式：充电、注水、生产成本与列车减速 四个情境都是“起始量＋均匀变化”：有的在增加、有的在减少，有的要求取值范围，有的要求说出系数的意义。 变式1　某手机充电时，电量从20%开始，每充电1 min电量增加1.6个百分点，充到100%时停止。设充电t min后电量为Q%。(1) 求Q关于t的函数表达式和t的取值范围；(2) 充电多长时间电量达到68%？ 变式2　一个长方体水池中原有水深0.6 m，现在匀速向池中注水，水深h（m）与注水时间t（h）的关系式为h=0.25t+0.6。关于式中0.25的实际意义，说法正确的是（　　）。 A．注水前池中的水深是0.25 m B．每注水1 h，水深增加0.25 m C．注满水池需要0.25 h D．注水t h后池中的水深 变式3　某工厂生产一种保温杯，每天的生产总成本y（元）与当天产量x（个）之间的关系式是y=15x+2400（0≤x≤500）。某天生产300个保温杯，这天的生产总成本为____元，平均每个保温杯的成本是____元。 变式4　一列高铁列车进站前开始减速，减速开始时的速度是216 km/h，此后每过1 min速度减少24 km/h。设减速t min后列车的速度为y km/h。(1) 写出y与t之间的关系式，并说出k与b的实际意义；(2) 从开始减速到停止需要多长时间？速度减为72 km/h时已减速了几分钟？ 【题型5】正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx的图象是过原点的直线，画图时只需再找一个点。k的正负决定直线从左往右是上升还是下降，也就是y的值随着x值的增大是增大还是减小；比较变化的快慢，看x每增加1时y变化多少。 例1　(1) 用列表、描点、连线的方法，把正比例函数y=和y=的图象画在同一个坐标系里；(2) 分别说出这两个函数中，随着x值的增大，y的值怎样变化。 【分析】正比例函数的图象过原点，只要再取一个点。为了让坐标是整数，y=取x=2，y=取x=3。 【解答】(1) 列表：y=中，x=0时y=0，x=2时y=3；y=中，x=0时y=0，x=3时y=-1。 描点：在坐标系中描出(0，0)、(2，3)与(3，-1)。 连线：过原点与(2，3)画直线得y=的图象，过原点与(3，-1)画直线得y=的图象，两条直线如图所示。 (2) y=中k=，k>0，y的值随着x值的增大而增大；y=中k=，k<0，y的值随着x值的增大而减小。 【方法小结】取第二个点时让x等于系数的分母，纵坐标就是整数，描点更准。画完图从左往右看一遍，上升还是下降要与k的正负对得上。 题型5　变式：由增减定参数、一个点定表达式、看图比系数与比较增大快慢 四道变式围着k转：由“y随x增大而减小”挑参数、由一个点求k、由三条直线的倾斜程度比较k的大小，以及用k比较两个量增加的快慢。 变式1　正比例函数y=(2m-5)x中，y的值随着x值的增大而减小，则m的值可以是（　　）。 A．3 B．2.5 C．2 D．4 变式2　正比例函数y=kx中，当x=4时y=-6，则k=____；当x=-2时，函数值是____。 变式3　如图，三条直线分别是正比例函数y=ax、y=bx、y=cx的图象，则a、b、c的大小关系是（　　）。 A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b 变式4　甲、乙两个空水箱同时开始匀速注水，甲水箱的水量y（L）与注水时间x（min）的关系式为y=12x，乙水箱的水量w（L）与注水时间x（min）的关系式为w=7.5x。(1) 每分钟甲、乙两个水箱的水量各增加多少升？(2) 注水多少分钟时，甲水箱比乙水箱多27 L？ 【题型6】一次函数的图象与k、b的符号 直线y=kx+b的位置由两件事决定：k的正负定倾斜方向，b的正负定它与y轴的交点在原点上方还是下方。由式子想图象，或由图象反推k、b的符号，都按“先看倾斜方向、再看与y轴交点”的次序进行。 例1　直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，3)。(1) 写出这个一次函数的表达式；(2) 画出它的图象，并写出图象经过的象限。 【分析】与直线y=-2x平行说明k=-2；与y轴交于点(0，3)说明b=3。画图只需两个点，取与两条坐标轴的交点最方便。 【解答】(1) 因为两直线平行，所以k=-2；又因为直线与y轴交于点(0，3)，所以b=3。这个一次函数的表达式是y=-2x+3。 (2) 当x=0时，y=3；令-2x+3=0，解得x=1.5。描出点(0，3)与(1.5，0)，过这两点画直线即得图象，如图所示。 k=-2<0，直线从左往右下降；b=3>0，直线与y轴交于正半轴，所以图象经过第一、二、四象限。 【方法小结】平行看k，与y轴交点看b；向上或向下平移只改变b，k不变。 题型6　变式：由示意图换位看象限、不经过的象限、平移与平行、比较函数值 四道变式分别练：从示意图读出k、b的符号后再判断另一条直线、由式子直接说出不经过的象限、用平移与平行写表达式、以及用增减方向比较两个函数值的大小。 变式1　一次函数y=kx+b的示意图如图所示，则一次函数y=bx+k的图象经过的象限是（　　）。 A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 变式2　直线y=-x-4不经过第（　　）象限。 A．一 B．二 C．三 D．四 变式3　把直线y=-4x+1向上平移3个单位长度，得到的直线是____；与直线y=-4x+1平行并且与y轴交于点(0，-2)的直线是____。 变式4　点A(-1，p)、B(3，q)都在直线y=-2x+m上，则p____q。（填“>”“<”或“=”） 【题型7】由两个条件确定一次函数的表达式 确定表达式就是求出k与b：正比例函数只需一个条件，一次函数需要两个条件。已知与y轴的交点就直接得b；已知两个一般的点，先用“函数值的改变量÷自变量的改变量”求k，再代入一个点求b，最后用另一个点验算。 例1　如图，点A(-2，1)、B(2，7)都在直线l上。(1) 直线l对应的一次函数记为y=kx+b，求k与b的值；(2) 点C(m，13)也在直线l上，求m。 【分析】两个点的横坐标从-2增加到2，纵坐标从1增加到7。自变量每增加1，函数值就增加k，所以k等于两个改变量相除；再代入一个点求b。 【解答】(1) 直线l对应的一次函数是y=kx+b。 从点A到点B，自变量增加了2-(-2)=4，函数值增加了7-1=6，所以k=6÷4=1.5。 把B(2，7)代入y=1.5x+b，得7=1.5×2+b，解得b=4。 所以k=1.5，b=4，直线l对应的一次函数是y=1.5x+4。 验算：x=-2时，y=1.5×(-2)+4=1，与点A吻合。 (2) 把C(m，13)代入，得1.5m+4=13，解得m=6。 【方法小结】两点定表达式按“先k后b再验算”三步走；k的算法就是教材里“自变量每增加1，函数值就增加k”的反过来用。 题型7　变式：两组对应值、温度换算、剩余油量与挑出符合条件的表达式 四道变式分别给出两个条件的四种样子：两组对应值、实际问题中的两对数据、图象上两个点，以及“一个点＋增减方向”。 变式1　一次函数的一组对应值是：x=1时y=1；x=3时y=9。由此得k=____，b=____。 变式2　华氏温度y（单位：华氏度）是摄氏温度x（单位：℃）的一次函数。已知0 ℃对应32华氏度，100 ℃对应212华氏度。(1) 由这两组对应的温度求出y关于x的一次函数；(2) 某地气温为25 ℃，相当于多少华氏度？(3) 温度为-4华氏度时，相当于多少摄氏度？ 变式3　一辆小汽车加满油后出发，行驶途中油箱内的油量y（L）随已行驶路程x（km）的增加而均匀减少，y与x之间关系的图象是如图所示的线段，它经过点(0，45)与(120，36)。(1) 求y与x之间的关系式；(2) 汽车行驶多少千米时，油箱内的油量为12 L？ 变式4　一个一次函数的图象经过点(1，-1)，并且y的值随着x值的增大而增大，这个函数的表达式可以是（　　）。 A．y=2x-3 B．y=-x C．y=x+2 D．y=-3x+2 【题型8】一次函数与一元一次方程、直线与坐标轴的交点 一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标，就是方程kx+b=0的解；与y轴的交点是(0，b)。两个交点求出来，直线与两条坐标轴围成的直角三角形的两条直角边长也就有了。 例1　对于一次函数y=+4：(1) 它的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，求A、B两点的坐标；(2) 设O为原点，求△AOB的面积。 【分析】与x轴的交点纵坐标为0，就是解方程+4=0；与y轴的交点横坐标为0，直接得(0，b)。 【解答】(1) 令y=0，得+4=0，解得x=6，所以图象与x轴交于点A(6，0)。 令x=0，得y=4，所以图象与y轴交于点B(0，4)。 (2) 围成的三角形是直角三角形AOB，两条直角边OA=6，OB=4， 面积是6×4÷2=12。 【方法小结】求面积前先把交点写成坐标，再把坐标化成线段的长：长度要取正值，交点在负半轴上时去掉负号。 题型8　变式：看图写方程的解、放水问题、由交点求常数与由面积求常数 四道变式分别练：从图象读出方程的解、把“剩余量为0”翻译成方程、由与x轴的交点反求常数，以及由围成的面积反求常数。 变式1　如图，直线y=kx+b经过点(-3，0)和(0，2)，则关于x的方程kx+b=4的解是____。 变式2　某蓄水池现有水360 m³，开始放水后每小时放出24 m³，池中剩余水量V（m³）与放水时间t（h）的关系式为V=-24t+360。(1) 放水多长时间后蓄水池中的水全部放完？(2) 放水几小时后，池中剩余水量是开始时的三分之一？ 变式3　一次函数y=3x-b的图象与x轴交于点(2，0)，则b=____，这个函数的图象与y轴交于点____。 变式4　直线y=2x+m与y轴交于正半轴，它与两条坐标轴围成的三角形面积为9，求m的值。 【题型9】分档计费问题中的一次函数 分档计费的关系式是一段一段的：用量超过一档的上限后，超出的部分才按新单价计。写某一档的关系式时，先把前面各档的费用算满，再加上本档超出部分的费用；由费用反求用量时，先算出各档上限对应的费用，判断落在哪一档，再列方程。 例1　某市居民月用电实行分档计费：月用电量不超过200 kW·h的部分，每千瓦时0.5元；超过200 kW·h但不超过400 kW·h的部分，每千瓦时0.55元；超过400 kW·h的部分，每千瓦时0.8元。设某户月用电量为x kW·h，电费为y元。(1) 当200<x≤400时，写出y与x之间的关系式，并求用电320 kW·h时的电费；(2) 若小林家某月电费为250元，则该月用电多少千瓦时？ 【分析】第二档的电费＝第一档的满额电费＋超过200 kW·h部分的电费。第(2)问先算出用电200 kW·h与400 kW·h时的电费，看250元落在哪一档。 【解答】(1) 当200<x≤400时，y=0.5×200+0.55(x-200)，即y=0.55x-10。 320在200与400之间，属于第二档，y=0.55×320-10=166，所以用电320 kW·h时的电费是166元。 (2) 用电200 kW·h时电费是0.5×200=100（元），用电400 kW·h时电费是0.55×400-10=210（元）。 250>210，所以这个月的用电量超过400 kW·h，属于第三档。 此时y=210+0.8(x-400)，即y=0.8x-110。 令0.8x-110=250，解得x=450，所以这个月的用电量是450 kW·h。 【方法小结】反求用量时先定档：算出每档上限对应的费用，看已知费用夹在哪两个数之间，再用那一档的关系式列方程。 题型9　变式：快递计费、出租车计费、阶梯水费折线图与峰谷电价 四道变式都是“分段、分时计价”：快递按质量分段、出租车按路程分段、阶梯水费把两段关系画成一条折线，峰谷电价则按用电时段分开计价。 变式1　某快递公司寄往省外的包裹这样收费：质量不超过1 kg收12元；超过1 kg时，超出的部分每千克另收4元（质量按整千克计）。寄一个质量为x kg（x为大于1的整数）的包裹，费用y元与x之间的关系式是____；寄一个6 kg的包裹要付____元。 变式2　某市出租车白天的计价方式是：行驶路程在2 km以内（含2 km）一律收8元；路程超过2 km时，超出的部分按每千米1.9元加收。设行驶路程为x km（x>2），车费为y元。(1) 按这种计价方式把车费y表示成路程x的一次函数；(2) 王叔叔乘车付费27元，他乘坐了多少千米？ 变式3　某市居民生活用水按月实行阶梯收费。某户月水费y（元）与月用水量x（m³）之间的关系如图所示，图象是折线OAB，其中A(15，45)，B(25，85)。(1) 月用水量不超过15 m³时，每立方米水费是多少元？(2) 用水量在15 m³到25 m³之间时，每多用1 m³，水费增加多少元？(3) 该户某月水费是61元，求这个月的用水量。 变式4　某市居民可以选择峰谷分时电价：峰段用电每千瓦时0.6元，谷段用电每千瓦时0.3元；不选择峰谷分时电价的，每千瓦时0.5元。某户每月用电300千瓦时，其中峰段用电x千瓦时（0≤x≤300）。(1) 选择峰谷分时电价时，月电费y元是x的一次函数，求出它；(2) 峰段用电多少千瓦时时，两种计价方式的月电费相同？ 【题型10】两条直线的应用：追赶与方案比较 同一坐标系里的两条直线，交点表示“两个函数值相等”的时刻或数量；在交点两侧，哪条直线在上方，哪个函数值就更大。计算交点时令两个关系式相等，解一个一元一次方程即可。 例1　A、B两地之间的步道长2400 m，乙先从A地出发前往B地，乙走出600 m时，甲从A地出发沿同一步道追赶。如图，两条线段分别表示甲、乙离A地的路程s（m）与甲出发后的时间t（min）之间的关系，其中甲的线段经过点(20，1200)，乙的线段经过点(0，600)与(20，1400)。(1) 分别求甲、乙两人的速度；(2) 甲出发后多少分钟追上乙？追上时两人离B地还有多远？ 【分析】两条线段都是一次函数的图象，k就是速度。先由图上的点求出两个关系式，追上时两人离A地的路程相等，令两个关系式相等即可。 【解答】(1) 甲20 min走了1200 m，速度是1200÷20=60（m/min）。 乙20 min从600 m处走到1400 m处，速度是(1400-600)÷20=40（m/min）。 (2) 甲离A地的路程s=60t，乙离A地的路程s=40t+600。 追上时两人离A地的路程相等，60t=600+40t，解得t=30。 此时两人离A地60×30=1800（m），离B地还有2400-60×30=600（m）。 答：(1) 甲的速度是60 m/min，乙的速度是40 m/min；(2) 甲出发后30 min追上乙，追上时离B地还有600 m。 【方法小结】追赶问题三步走：由图求出两个关系式→令路程相等解方程→回到实际问题检验（本题追上的地点在B地之前，答案有效）。 题型10　变式：游泳馆收费方案、收入与成本、门票方案与两直线的交点 四道变式把“两个关系式比大小”放进不同情境：游泳馆的两种收费方式、销售收入与成本、团体门票，以及两条直线与y轴围成的三角形。 变式1　某游泳馆推出两种收费方式：方式一，每次入场收费40元；方式二，先办年卡600元，此后每次入场收费15元。设一年中入场x次，方式一的费用为y元，方式二的费用为w元。(1) 按两种方式分别列出y、w关于入场次数x的式子；(2) 求使两种方式费用相等的入场次数；(3) 若一年入场30次，较省钱的方式比另一种少花多少元？ 变式2　如图，直线OA表示某厂产品的销售收入y（元）与销售量x（t）之间的关系，直线BA表示销售成本与销售量之间的关系，两直线交于点A(5，4000)，直线BA与y轴交于点B(0，2000)。当销售量为8 t时，该厂赢利____元；要赢利3600元，销售量应为____ t。 变式3　某景点门票有两种购买方案：方案一，每人28元；方案二，团体先交基础费180元，另外每人收16元。一个18人的团体参观，两种方案费用的比较结果是（　　）。 A．两种方案费用相同 B．方案一比方案二省36元 C．方案二比方案一省288元 D．方案二比方案一省36元 变式4　如图，直线y=2x-1与直线y=-x+5相交于点P，两条直线与y轴分别交于点A、B。(1) 求点P的坐标；(2) 求△PAB的面积。 　易错专练 本章的失分集中在七处：求参数时漏掉k≠0、实际问题的取值范围只写一半、由k与b的符号定象限时看错正负、代入点时横纵坐标颠倒、平移时把常数项的增减弄反、分档计费时整体按高价算、把“改变量”直接当成k。下面七题各守一处，做完再逐条对照答案里的错解与错因。 易错1　已知y=(m+3)x+-9是正比例函数，求m的值。 易错2　一个水桶中有水20 L，桶底漏水，每分钟漏掉0.5 L。写出桶中剩余水量y（L）与漏水时间x（min）之间的关系式及自变量的取值范围。 易错3　直线y=kx+b经过第一、三、四象限，求直线y=-bx+k经过的象限。 易错4　已知点(2，-6)在正比例函数y=kx的图象上，求k的值并写出这个正比例函数。 易错5　直线y=2x-1向下平移3个单位长度后，新直线与y轴的交点坐标和它对应的函数表达式各是什么？ 易错6　某小区用水每月不超过10 m³的部分每立方米3.2元，超过10 m³的部分每立方米4.8元。某户某月用水14 m³，求这个月的水费。 易错7　一个一次函数满足：x=0时y=4；x每增加2，y就减少6。它的k和b分别是多少？ 　课后作业（一）基础巩固 下面10题是本章最低限度的必会内容，每题只有一个选项符合题意，把字母填进括号里。考查次序是函数值、正比例函数的识别、图象与坐标轴的交点、k的符号、平移、一次函数的性质与实际问题中的关系式。 1．对于函数y=5x-2，自变量x=3时对应的函数值为（　　）。 A．13 B．17 C．15 D．5 2．形如y=kx（k≠0）的函数叫作正比例函数，四个选项中符合这一形式的是（　　）。 A．y=x+1 B．y=-0.25x C．y= D．y=3-x 3．直线y=-5x+7与y轴相交于哪一点（　　）。 A．(7，0) B．(0，-5) C．(0，7) D．(-5，0) 4．正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（　　）。 A．2 B．0 C． D．-3 5．方程x-6=0的解，恰好是直线y=x-6上某一点的横坐标，这一点是（　　）。 A．(0，-6) B．(6，0) C．(-6，0) D．(0，6) 6．把直线y=-3x平移后得到直线y=-3x+2，这次平移的方式是（　　）。 A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向下平移1个单位长度 D．向上平移5个单位长度 7．对于一次函数y=-2x+4，结论正确的是（　　）。 A．图象经过点(1，3) B．直线从左往右上升 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象与x轴交于点(4，0) 8．某水池有水60 m³，每小时放水6 m³，池中剩余水量Q（m³）与放水时间t（h）之间的关系式及t的取值范围是（　　）。 A．Q=60-6t（0≤t≤10） B．Q=6t-60（t≥10） C．Q=60-6t（t≥0） D．Q=60+6t（0≤t≤10） 9．直线y=mx+n的大致位置如图，则正比例函数y=mnx的图象所在的象限为（　　）。 A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．仅第一象限 D．第一、二、四象限 10．直线y=3x+1经过点A(2，a)和点B(-1，b)，a-b等于（　　）。 A．5 B．-9 C．3 D．9 　课后作业（二）能力进阶 第11～20题只要求写出结果，不必写过程。这一组把求函数值、由增减定参数、交点与表达式、实际问题的关系式、代数式求值与追赶各考一遍。 11．已知函数y=-4x+9，当x=-2时，y=____；当y=1时，x=____。 12．一次函数y=(3-k)x+2中，y的值随着x值的增大而减小，请写出一个满足条件的k的值：____。 13．直线y=-2x+b经过点(3，-1)，则b=____，这条直线与x轴的交点坐标是____。 14．直线l与直线y=5x平行，点(-1，2)在直线l上，则直线l对应的函数是y=5x+____。 15．一根蜡烛长24 cm，点燃后每小时燃烧4 cm，剩余长度h（cm）与燃烧时间t（h）之间的关系式是____，自变量t的取值范围是____。 16．若点(2，0)在直线y=kx+4上，则k=____，该直线交y轴于点____。 17．点P(a，b)在直线y=-3x+2上，则代数式6a+2b-1的值为____。 18．如图，直线l经过点(-1，0)与(0，2)，则直线l对应的函数表达式是____。 19．甲、乙两车从同一地点出发沿同一条公路同向行驶，乙车比甲车早出发1 h，乙车速度是60 km/h，甲车速度是80 km/h。甲车出发____h后追上乙车。 20．直线y=3x+m与直线y=-x+n都经过点(2，1)，则m=____，n=____。 　课后作业（三）拓展延伸 第21～30题要写出完整的计算或求解过程。这一组把确定表达式、坐标轴上的交点、分档计费、实际问题中的图象与追赶、方案比较合在一起用。 21．y-1与x+2成正比例（比例系数不为0），自变量取1时，函数值是7。(1) 确定y与x的函数表达式；(2) 当y=-3时，求x。 22．当x=-1时，一次函数y=kx+b的值为-5；当x=2时，它的值为4。(1) 求k和b的值；(2) 求方程kx+b=0的解，并写出图象与y轴交点的坐标。 23．某通信公司的一种月套餐是：月租32元，含通话200 min，超出的部分每分钟收0.2元。(1) 通话时间x min超过200 min时，月费用y元是x的一次函数，求出它；(2) 某月费用是44元，这个月通话多少分钟？ 24．烤箱预热时，箱内温度y（℃）与预热时间x（min）近似成一次函数关系。开始预热时箱内温度为24 ℃，预热4 min时为112 ℃。(1) 用含x的式子表示y，并解释其中一次项系数在本题中表示什么；(2) 烘焙要求箱内温度达到200 ℃，从开始预热算起一共需要多少分钟？ 25．对于函数y=(m-2)x+m+1（m为常数）：(1) 当m=4时，求它的图象与x轴的交点坐标；(2) 若它的图象经过原点，求m的值，并写出此时的函数表达式。 26．某种树苗栽种后，高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系近似为一次函数，其图象如图所示，经过点(0，12)与(20，20)。(1) 由图上两点定出这个一次函数，并指出一次项系数与常数项在本题中各表示什么；(2) 按照这个规律，树苗栽种后多少天长到32 cm？ 27．A、B两地相距60 km，甲骑自行车、乙骑摩托车沿同一条公路从A地前往B地。如图，横轴t表示甲出发后的时间（h），纵轴s表示离A地的路程（km），线段OM描述甲的行程，线段NP描述乙的行程，其中M(4，60)，N(1，0)，P(2.5，60)。(1) 分别求甲、乙的速度；(2) 乙出发后多长时间追上甲？ 28．某洗车店有两种收费方式：甲方式，办会员卡一次性交120元，凭卡每次洗车12元；乙方式，不办卡，前3次每次收30元，从第4次起每次收18元。设一年内洗车x次（x>3）。(1) 甲方式的费用为p元，乙方式的费用为r元，分别求p、r关于x的函数表达式；(2) x为何值时p=r？此时每种方式各需付多少元？ 29．某储蓄罐的空罐质量为120 g，罐里只投入同一种一元硬币，每枚硬币的质量约为6 g。(1) 罐的总质量m（g）是硬币枚数n的一次函数，求出这个函数；(2) 称得罐的总质量为480 g时，罐里约有多少枚硬币？ 30．直线y=kx-2交x轴于点A，交y轴于点B，O为原点。若△AOB的面积是4，求k的值。 　参考答案与解析 　题型1　变式：能否看成函数、规律中的关系式与取值范围 变式1　【答案】B 【解析】A：边长确定后，周长y=4x唯一确定，能看成函数。 B：一个正数有两个平方根，例如x=9时，y可以是3，也可以是-3，x取一个值、y有两个值与它对应，不满足“唯一”，所以不能看成函数，选B。 C：y=250x，时间确定后骑行距离唯一确定，能看成函数。 D：某一时刻的气温只有一个值，能看成函数。 变式2　【答案】y=3x+1；x为正整数；33 【解析】摆1个用4根，以后每多1个添3根，摆x个共用4+3(x-1)=3x+1根，所以y=3x+1。 正方形的个数只能是1，2，3，…，所以x为正整数。 令3x+1=100，解得x=33，所以100根火柴棒恰好能摆33个正方形。 变式3　【答案】y=12-x；0<x<12 【解析】长方形的周长是2(x+y)=24，所以x+y=24÷2=12，即y=12-x。 两条边长都必须是正数：x>0，并且y=12-x也要大于0，也就是x比12小，所以0<x<12。 　题型2　变式：比较函数值、表格与关系式互化、由函数值反求自变量 变式1　【答案】C 【解析】把x=-2分别代入：A中y=3×(-2)+5=-1；B中y=2+1=3；C中y=6-1=5；D中y=4-2=2。 四个函数值中5最大，所以选C。 变式2　【答案】y=-2x+3；6 【解析】x每增加1，y都减少2，变化是“均匀”的，所以k=-2；x=0时y=3，所以b=3，表达式是y=-2x+3。 令-2x+3=-9，解得x=6。 变式3　【答案】(1) 60 ℃；(2) 4 min；(3) 20≤T≤100 【解析】(1) 当t=2.5时，T=16×2.5+20=60，所以水温是60 ℃。 (2) 令16t+20=84，得16t=64，解得t=4，所以需要加热4 min。 (3) 加热时间每增加1 min，水温升高16 ℃。t=0时T=20，t=5时T=16×5+20=100，所以20≤T≤100。 变式4　【答案】7；5 【解析】把x=2，y=1代入，得1=-3×2+b，解得b=7。 函数是y=-3x+7，令-3x+7=-8，解得x=5。 　题型3　变式：数一数一次函数、参数的两种要求、用“均匀”变化识别 变式1　【答案】C 【解析】①y=-5x，k=-5，b=0，是一次函数（也是正比例函数）。 ②中自变量的次数是2，不是一次函数。 ③y=可以看成k=、b=0，是一次函数。 ④y=7-0.4x，k=-0.4，b=7，是一次函数。 ⑤y=6中没有一次项，k=0，不是一次函数。 一次函数共3个，答案为C。若把③漏掉，数出来只有2个；若把⑤也算进去，数出来有4个。 变式2　【答案】n≠2；0 【解析】是一次函数只要求一次项系数不为0，即n-2≠0，所以n≠2。 是正比例函数还要求常数项为0，即n=0，此时一次项系数是0-2=-2，不为0，符合要求。 变式3　【答案】(1)(3)；(3) 【解析】(1) y=360-24x，k=-24，b=360，是一次函数，不是正比例函数。 (2) y=，自变量的次数是2，不是一次函数。 (3) y=12x，是一次函数，也是正比例函数。 变式4　【答案】B 【解析】一次函数中，自变量每增加1，函数值的改变量都相同。 A中y依次增加2，4，8，改变量不同；C中依次增加3，5，7，改变量不同；D中依次减少2，1，1，改变量不同。 B中y每次都增加2，变化是“均匀”的，可能是一次函数y=2x+1，选B。 　题型4　变式：充电、注水、生产成本与列车减速 变式1　【答案】(1) Q=1.6t+20，0≤t≤50；(2) 30 min 【解析】(1) 起始电量是20%，每分钟增加1.6个百分点，所以Q=1.6t+20。 令1.6t+20=100，解得t=50，所以0≤t≤50。 (2) 令1.6t+20=68，得1.6t=48，解得t=30，所以充电30 min电量达到68%。 变式2　【答案】B 【解析】0.25是一次项系数，表示自变量t每增加1，函数值h增加0.25，也就是每注水1 h，水深增加0.25 m，选B。 注水前的水深是常数项0.6 m，不是0.25 m，A错误；C、D说的都不是系数0.25的意义。 变式3　【答案】6900；23 【解析】当x=300时，y=15×300+2400=4500+2400=6900。 平均每个保温杯的成本是6900÷300=23（元）。 变式4　【答案】(1) y=-24t+216，k=-24表示每分钟速度减少24千米/时，b=216表示开始减速时的速度是216千米/时；(2) 9 min；6 min 【解析】(1) 每过1 min速度减少24 km/h，t min减少24t km/h，所以y=-24t+216。 其中k=-24表示每分钟列车速度减少24 km/h，b=216表示开始减速时列车的速度是216 km/h。 (2) 列车停止时y=0，令-24t+216=0，解得t=9，所以需要9 min。 令-24t+216=72，得24t=144，解得t=6，所以已减速6 min。 　题型5　变式：由增减定参数、一个点定表达式、看图比系数与比较增大快慢 变式1　【答案】C 【解析】y的值随着x值的增大而减小，要求一次项系数2m-5是负数。 把各选项代入2m-5：A得1，B得0，C得-1，D得3。 只有C使2m-5=-1为负数，选C。B使系数为0，这时函数不是正比例函数。 变式2　【答案】-1.5；3 【解析】把x=4，y=-6代入y=kx，得4k=-6，解得k=-1.5，函数是y=-1.5x。 当x=-2时，y=-1.5×(-2)=3。 变式3　【答案】A 【解析】直线y=cx从左往右下降，所以c<0；另外两条直线从左往右上升，所以a>0，b>0。 取x=1时比较函数值：直线y=ax上的点更高，说明x每增加1，y=ax增加得更多，所以a>b。 于是a>b>c，选A。 变式4　【答案】(1) 甲每分钟增加12 L，乙每分钟增加7.5 L；(2) 6 min 【解析】(1) 由“自变量每增加1，函数值就增加k”，甲水箱每分钟增加12 L，乙水箱每分钟增加7.5 L。 (2) 令12x-7.5x=27，得4.5x=27，解得x=6，所以注水6 min时甲水箱比乙水箱多27 L。 　题型6　变式：由示意图换位看象限、不经过的象限、平移与平行、比较函数值 变式1　【答案】B 【解析】由示意图，直线从左往右下降，所以k<0；直线与y轴交于正半轴，所以b>0。 对于y=bx+k：一次项系数b>0，直线从左往右上升；常数项k<0，与y轴交于负半轴。 所以y=bx+k的图象经过第一、三、四象限，选B。原直线y=kx+b经过第一、二、四象限，没有把k、b换位就会误选C。 变式2　【答案】A 【解析】k=-1<0，直线从左往右下降；b=-4<0，直线与y轴交于负半轴。 所以直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，选A。 变式3　【答案】y=-4x+4；y=-4x-2 【解析】向上平移3个单位长度，k不变，b增加3：1+3=4，得到y=-4x+4。 平行说明k=-4，与y轴交于点(0，-2)说明b=-2，所以是y=-4x-2。 变式4　【答案】> 【解析】直线y=-2x+m中k=-2<0，y的值随着x值的增大而减小。 -1<3，所以p>q。也可以直接代入：p=2+m，q=-6+m，p比q大8。 　题型7　变式：两组对应值、温度换算、剩余油量与挑出符合条件的表达式 变式1　【答案】4；-3 【解析】x从1增加到3，y从1增加到9，k=(9-1)÷(3-1)=4。 把x=1，y=1代入y=4x+b，得4×1+b=1，解得b=-3，函数是y=4x-3。 变式2　【答案】(1) y=1.8x+32；(2) 77华氏度；(3) -20 ℃ 【解析】(1) x=0时y=32，所以b=32；x从0增加到100，y从32增加到212，k=(212-32)÷(100-0)=1.8，所以y=1.8x+32。 (2) 当x=25时，y=1.8×25+32=77，相当于77华氏度。 (3) 令1.8x+32=-4，得1.8x=-36，解得x=-20，相当于-20 ℃。 变式3　【答案】(1) y=-0.075x+45；(2) 440 km 【解析】(1) 由点(0，45)得b=45；x从0增加到120，y从45减少到36，k=(36-45)÷(120-0)=-0.075，所以y=-0.075x+45。 (2) 令-0.075x+45=12，得0.075x=33，解得x=440，所以汽车行驶440 km时油箱内的油量为12 L。 变式4　【答案】A 【解析】y的值随着x值的增大而增大，要求k>0，排除B、D。 把x=1代入：A中y=2-3=-1，经过点(1，-1)；C中y=1+2=3，不经过点(1，-1)。 所以选A。 　题型8　变式：看图写方程的解、放水问题、由交点求常数与由面积求常数 变式1　【答案】x=3 【解析】方程kx+b=4的解，就是直线y=kx+b上纵坐标为4的点的横坐标。 由点(0，2)得b=2；x从-3增加到0，y从0增加到2，k=(2-0)÷(0-(-3))=，直线是y=+2。 令+2=4，解得x=3。 变式2　【答案】(1) 15 h；(2) 10 h 【解析】(1) 水放完时V=0，令-24t+360=0，解得t=15，所以放水15 h后水全部放完。 (2) 开始时水量的三分之一是360÷3=120（m³），令-24t+360=120，得24t=240，解得t=10，所以放水10 h后剩余水量是开始时的三分之一。 变式3　【答案】6；(0，-6) 【解析】把点(2，0)代入，得3×2-b=0，解得b=6。 函数是y=3x-6，当x=0时y=-6，所以图象与y轴交于点(0，-6)。 变式4　【答案】m=6 【解析】令x=0，得y=m，直线与y轴交于点(0，m)，由题意m>0。 令2x+m=0，得x=，直线与x轴交于点，0)，这个点到原点的距离是。 围成的三角形面积是m×÷2=/4，所以/4=9，即=36，m=6或m=-6。 因为m>0，所以m=6。 　题型9　变式：快递计费、出租车计费、阶梯水费折线图与峰谷电价 变式1　【答案】y=4x+8；32 【解析】超出1 kg的部分是(x-1) kg，y=12+4(x-1)，即y=4x+8。 当x=6时，y=4×6+8=32，要付32元。 变式2　【答案】(1) y=1.9x+4.2；(2) 12 km 【解析】(1) 超过2 km的部分是(x-2) km，y=8+1.9(x-2)，即y=1.9x+4.2。 (2) 27>8，路程超过2 km。令1.9x+4.2=27，得1.9x=22.8，解得x=12，所以他乘坐了12 km。 变式3　【答案】(1) 3元；(2) 4元；(3) 19 m³ 【解析】(1) 用水15 m³时水费45元，每立方米45÷15=3（元）。 (2) 用水量从15 m³增加到25 m³，水费从45元增加到85元，每立方米(85-45)÷(25-15)=4（元）。 (3) 61>45，用水量超过15 m³。设用水量为x m³，则45+4(x-15)=61，解得x=19，所以这个月用水19 m³。 变式4　【答案】(1) y=0.3x+90；(2) 200千瓦时 【解析】(1) 谷段用电(300-x)千瓦时，y=0.6x+0.3(300-x)，即y=0.3x+90。 (2) 不选择峰谷分时电价时，月电费是0.5×300=150（元）。 令0.3x+90=150，解得x=200，所以峰段用电200千瓦时时两种计价方式的月电费相同。 　题型10　变式：游泳馆收费方案、收入与成本、门票方案与两直线的交点 变式1　【答案】(1) y=40x，w=15x+600；(2) 24次；(3) 方式二比方式一少花150元 【解析】(1) 方式一：y=40x；方式二：w=15x+600。 (2) 令40x=600+15x，得25x=600，解得x=24，所以入场24次时两种方式费用相等。 (3) 当x=30时，y=40×30=1200，w=15×30+600=1050，1200-1050=150，方式二比方式一少花150元。 变式2　【答案】1200；14 【解析】直线OA过原点与点A，销售收入y=800x（4000÷5=800）。 直线BA中b=2000，k=(4000-2000)÷5=400，销售成本y=400x+2000。 当x=8时，赢利800×8-(400×8+2000)=1200（元）。 令800x-(400x+2000)=3600，得400x=5600，解得x=14。 变式3　【答案】D 【解析】方案一的费用是28×18=504（元）；方案二的费用是180+16×18=468（元）。 504-468=36，方案二比方案一省36元，答案为D。 变式4　【答案】(1) P(2，3)；(2) 6 【解析】(1) 交点处两个函数值相等，令2x-1=-x+5，解得x=2，此时y=2×2-1=3，所以P(2，3)。 (2) 直线y=2x-1与y轴交于A(0，-1)，直线y=-x+5与y轴交于B(0，5)，AB=5-(-1)=6。 点P到y轴的距离是2，所以△PAB的面积是6×2÷2=6。 　易错专练 易错1　【答案】m=3 【解析】错解示例：由-9=0，得m=3或m=-3。 错因：只用了“常数项为0”，漏掉了正比例函数还要求一次项系数不为0。m=-3时一次项系数m+3=0，函数变成y=0，不是正比例函数。 正解：由-9=0，得m=3或m=-3；又m+3≠0，所以m≠-3。因此m=3。 提醒：凡是由“是一次函数”“是正比例函数”求参数，最后一步都要回头核对一次项系数。 易错2　【答案】y=-0.5x+20，0≤x≤40 【解析】错解示例：y=-0.5x+20，x≥0。 错因：只写了下限，没有考虑水漏完以后关系式就不再成立，漏掉了上限。 正解：y=20-0.5x，即y=-0.5x+20。水漏完时y=0，令-0.5x+20=0，解得x=40，所以0≤x≤40。 提醒：“剩余量”类问题的上限来自“剩余量减到0”。 易错3　【答案】第一、二、三象限 【解析】错解示例：直线y=kx+b经过第一、三、四象限，所以k>0，b<0，于是y=-bx+k的一次项系数是负数，直线经过第一、二、四象限。 错因：b<0时，-b是正数，不是负数；“-b”前面的负号不代表它的值为负。 正解：由直线y=kx+b经过第一、三、四象限，得k>0，b<0，所以-b>0。 直线y=-bx+k的一次项系数-b>0，从左往右上升；常数项k>0，与y轴交于正半轴，所以经过第一、二、三象限。 提醒：遇到“-b”“-k”先算出它的正负，再判断直线的位置。 易错4　【答案】k=-3，y=-3x 【解析】错解示例：把x=-6，y=2代入y=kx，得-6k=2，k=，所以y=。 错因：把点的横坐标与纵坐标颠倒了。点(2，-6)的横坐标是2，要代给x；纵坐标是-6，要代给y。 正解：设y=kx，把x=2，y=-6代入，得2k=-6，解得k=-3，所以y=-3x。 自查：把x=2代入y=-3x，得y=-6，与已知点吻合。 易错5　【答案】交点坐标是(0，-4)，函数表达式是y=2x-4 【解析】错解示例：向下平移3个单位长度，常数项加3，得y=2x+2，与y轴交于点(0，2)。 错因：把平移方向与常数项的增减弄反了。直线向下平移时，它与y轴的交点也向下移动，常数项应该减小。 正解：原直线与y轴交于点(0，-1)，向下平移3个单位长度后与y轴交于点(0，-4)，k仍是2，所以所得直线是y=2x-4。 提醒：向上平移几个单位长度，b就加几；向下平移几个单位长度，b就减几；k始终不变。 易错6　【答案】51.2元 【解析】错解示例：用水超过10 m³，全部按每立方米4.8元计算，水费是14×4.8=67.2（元）。 错因：分档计费只有超出的部分按高价计，前10 m³仍按每立方米3.2元计。 正解：水费是10×3.2+(14-10)×4.8=32+19.2=51.2（元）。 提醒：分档计费先把低档算满，再算超出部分。 易错7　【答案】k=-3，b=4 【解析】错解示例：y减少6，所以k=-6，表达式是y=-6x+4。 错因：“自变量每增加1，函数值就增加k”，这里x增加的是2，不是1，不能把改变量-6直接当成k。 正解：由点(0，4)得b=4；x增加2时y减少6，所以x每增加1时y减少6÷2=3，k=-3。表达式是y=-3x+4。 提醒：k＝函数值的改变量÷自变量的改变量，两个改变量都要看清。 　课后作业（一）基础巩固 1．【答案】A 【解析】把x=3代入，y=5×3-2=13，选A。 B是把减2算成加2得到的；C是漏掉了-2；D是把5x-2错当成5(x-2)计算得到的。 2．【答案】B 【解析】A、D的常数项不为0，是一次函数但不是正比例函数；C中自变量的次数是2，不是一次函数。 B中k=-0.25，b=0，是正比例函数，选B。 3．【答案】C 【解析】一次函数y=kx+b的图象经过点(0，b)，这里b=7，所以与y轴交于点(0，7)，选C。 4．【答案】D 【解析】图象经过第二、四象限，直线从左往右下降，k<0。 四个选项中只有-3是负数，选D。k=0时函数不是正比例函数。 5．【答案】B 【解析】方程x-6=0的解是x=6，它是直线y=x-6与x轴交点的横坐标，这一点是(6，0)，选B。 6．【答案】A 【解析】两条直线的k都是-3，常数项由0变成2，直线与y轴的交点由(0，0)移到(0，2)，是向上平移2个单位长度，选A。 B把方向弄反了；C、D误用了一次项系数-3：C把2+(-3)=-1当成平移结果，D把2-(-3)=5当成平移的距离。上下平移时k不变，只看常数项的变化。 7．【答案】C 【解析】A：x=1时y=-2+4=2，图象不经过点(1，3)。 B：k=-2<0，直线从左往右下降。 C：k<0，b=4>0，图象经过第一、二、四象限，正确。 D：令-2x+4=0，得x=2，图象与x轴交于点(2，0)。 选C。 8．【答案】A 【解析】剩余水量Q=60-6t；水放完时Q=0，得t=10，所以0≤t≤10，选A。 C的关系式对，但没有写出上限。 9．【答案】A 【解析】由示意图，直线从左往右上升，所以m>0；与y轴交于正半轴，所以n>0。 于是mn>0，正比例函数y=mnx的图象经过第一、三象限，选A。 10．【答案】D 【解析】a=3×2+1=7，b=3×(-1)+1=-2，a-b=7-(-2)=9，选D。 A是把b算成2得到的；B是算成b-a得到的；C是把两点横坐标之差算成2-1得到的。 　课后作业（二）能力进阶 11．【答案】17；2 【解析】x=-2时，y=-4×(-2)+9=17。 令-4x+9=1，解得x=2。 12．【答案】4（答案不唯一，k比3大即可） 【解析】y的值随着x值的增大而减小，要求一次项系数3-k是负数。 取k=4时，3-k=-1，是负数，符合要求。凡是比3大的数都可以。 13．【答案】5；(2.5，0) 【解析】把(3，-1)代入，得-1=-2×3+b，解得b=5。 令-2x+5=0，解得x=2.5，所以直线与x轴交于点(2.5，0)。 14．【答案】7 【解析】平行于直线y=5x，所以直线l的k=5，设它是y=5x+b。 把(-1，2)代入，得5×(-1)+b=2，解得b=7，直线l对应的函数是y=5x+7。 15．【答案】h=-4t+24；0≤t≤6 【解析】每小时燃烧4 cm，t h燃烧4t cm，h=24-4t，即h=-4t+24。 蜡烛燃尽时h=0，令-4t+24=0，解得t=6，所以0≤t≤6。 16．【答案】-2；(0，4) 【解析】把点(2，0)代入，得2k+4=0，解得k=-2。 直线y=-2x+4与y轴交于点(0，4)。 17．【答案】3 【解析】点P在直线上，所以b=-3a+2，即3a+b=2。 6a+2b-1=2(3a+b)-1=2×2-1=3。 18．【答案】y=2x+2 【解析】由点(0，2)得b=2。 x从-1增加到0，y从0增加到2，k=(2-0)÷(0-(-1))=2，所以表达式是y=2x+2。 19．【答案】3 【解析】设甲车出发t h后追上乙车，这时乙车已行驶(t+1) h。 由路程相等得80t=60(t+1)，解得t=3。 20．【答案】-5；3 【解析】把(2，1)代入y=3x+m，得3×2+m=1，解得m=-5。 把(2，1)代入y=-x+n，得-2+n=1，解得n=3。 　课后作业（三）拓展延伸 21．【答案】(1) y=2x+5；(2) x=-4 【解析】(1) 设y-1=k(x+2)，把x=1，y=7代入，得6=3k，解得k=2。 所以y-1=2(x+2)，即y=2x+5。 (2) 令2x+5=-3，解得x=-4。 22．【答案】(1) k=3，b=-2；(2) x=，图象与y轴交于点(0，-2) 【解析】(1) x从-1增加到2，y从-5增加到4，k=(4-(-5))÷(2-(-1))=3。 把x=2，y=4代入y=3x+b，得4=3×2+b，解得b=-2，函数是y=3x-2。 验算：x=-1时y=-3-2=-5，与已知吻合。 (2) 方程3x-2=0的解是x=，它就是图象与x轴交点的横坐标；令x=0，得y=-2，图象与y轴交于点(0，-2)。 23．【答案】(1) y=0.2x-8；(2) 260 min 【解析】(1) 超出的部分是(x-200) min，y=32+0.2(x-200)，即y=0.2x-8。 (2) 44>32，通话时间超过200 min。令0.2x-8=44，得0.2x=52，解得x=260，这个月通话260 min。 24．【答案】(1) y=22x+24，一次项系数22表示每预热1 min箱内温度升高22 ℃；(2) 8 min 【解析】(1) x=0时y=24，所以b=24；4 min内温度升高112-24=88（℃），k=(112-24)÷4=22，所以y=22x+24。 一次项系数22表示每预热1 min，箱内温度升高22 ℃。 (2) 令22x+24=200，得22x=176，解得x=8，所以从开始预热算起一共需要8 min。 25．【答案】(1) (-2.5，0)；(2) m=-1，y=-3x 【解析】(1) 当m=4时，函数是y=2x+5。令2x+5=0，解得x=-2.5，图象与x轴交于点(-2.5，0)。 (2) 图象经过原点，常数项为0，m+1=0，解得m=-1。 此时一次项系数m-2=-3，不为0，函数表达式是y=-3x。 26．【答案】(1) y=0.4x+12，k=0.4表示树苗每天长高0.4 cm，b=12表示栽种时树苗高12 cm；(2) 50天 【解析】(1) 由点(0，12)得b=12；20天长高20-12=8（cm），k=(20-12)÷20=0.4，所以y=0.4x+12。 k=0.4表示树苗每天长高0.4 cm，b=12表示栽种时树苗的高度是12 cm。 (2) 令0.4x+12=32，得0.4x=20，解得x=50，所以栽种后50天长到32 cm。 27．【答案】(1) 甲的速度是15 km/h，乙的速度是40 km/h；(2) 0.6 h 【解析】(1) 甲4 h行驶60 km，速度是60÷4=15（km/h）；乙从t=1到t=2.5行驶60 km，速度是60÷(2.5-1)=40（km/h）。 (2) 甲离A地的路程s=15t；乙在甲出发1 h后出发，离A地的路程s=40(t-1)。 令15t=40(t-1)，解得t=1.6。1.6-1=0.6，所以乙出发后0.6 h追上甲。 28．【答案】(1) p=12x+120，r=18x+36；(2) x=14，都付288元 【解析】(1) 甲方式：p=120+12x，即p=12x+120。 乙方式：前3次共30×3=90（元），从第4次起的(x-3)次每次18元，r=90+18(x-3)，即r=18x+36。 (2) 令12x+120=18x+36，得6x=84，解得x=14。 此时p=12×14+120=288，r=18×14+36=288，两种方式各需付288元。 29．【答案】(1) m=6n+120；(2) 约60枚 【解析】(1) 空罐质量120 g是n=0时的函数值，每投入1枚硬币质量增加6 g，所以m=6n+120（n为自然数）。 (2) 令6n+120=480，得6n=360，解得n=60，所以罐里约有60枚硬币。 30．【答案】k=0.5或k=-0.5 【解析】点B的坐标是(0，-2)，OB=2。 由△AOB的面积是4，得OA×2÷2=4，解得OA=4，所以点A是(4，0)或(-4，0)。 若A(4，0)，则4k-2=0，解得k=0.5； 若A(-4，0)，则-4k-2=0，解得k=-0.5。 所以k=0.5或k=-0.5。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版·八年级上册·第四章 一次函数·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第四章 一次函数 题型精讲（讲义）-2026-2027学年八年级上册数学北师大版 北师大版（2024年版）八年级数学上册　第四章　一次函数　1 函数　2 认识一次函数　3 一次函数的图象　4 一次函数的应用 含 10 个考点例题　/　共 86 题（变式 39 · 易错 7 · 作业 30）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出函数、自变量、函数值的含义，会在表格、关系式、图象三种表示方式之间读出对应值，会结合实际意义写出自变量的取值范围。 2．能说出一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）与正比例函数y=kx的定义，会由“均匀”变化的实际问题写出关系式，并用带单位的话说出k与b的实际意义。 3．会用列表、描点、连线画一次函数的图象，能由k、b的正负说出直线的倾斜方向与经过的象限，会由两个条件确定一次函数的表达式，并借助图象解决分档计费、方案比较、追赶等实际问题。 学习重难点 重点：一次函数与正比例函数的识别；k、b对直线位置的影响（倾斜方向、与y轴的交点、相互平行）；由两个条件确定表达式；从图象中读取信息解决实际问题。 难点：b=0时一次函数就是正比例函数，但两者都要求k≠0；由图象定k、b的符号要按“先看倾斜方向、再看与y轴交点”的次序；实际问题中的自变量往往只能取一段值，图象也就只是一条线段或几段折线。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　变量、函数与函数值 2 知识点 02　“均匀”变化、一次函数与正比例函数 3 知识点 03　关系式中k与b的实际意义 3 知识点 04　函数的图象与正比例函数的图象 3 知识点 05　一次函数的图象及k、b的影响 4 知识点 06　确定一次函数的表达式 5 知识点 07　一次函数与一元一次方程、两条直线的交点 5 题型 1　函数的概念与自变量的取值范围 6 题型 2　求函数值与函数的三种表示方式 7 题型 3　一次函数与正比例函数的识别及求参数 8 题型 4　写实际问题的关系式并说明k、b的实际意义 9 题型 5　正比例函数的图象与性质 10 题型 6　一次函数的图象与k、b的符号 12 题型 7　由两个条件确定一次函数的表达式 2 题型 8　一次函数与一元一次方程、直线与坐标轴的交点 2 题型 9　分档计费问题中的一次函数 2 题型 10　两条直线的应用：追赶与方案比较 2 易错专练 21 课后作业（一）基础巩固 22 课后作业（二）能力进阶 24 课后作业（三）拓展延伸 25 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　变量、函数与函数值 本章从摩天轮上一点离地面的高度随旋转时间变化、圆柱形物体堆放时总数随层数变化、热力学温度随摄氏温度变化这几个过程说起，先概括出函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量。表格、关系式、图象是函数的三种表示方式。对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值。用自己的话说，判断“y是不是x的函数”只看一件事：x取定一个值以后，y是不是只有一个值。即时小例：一支铅笔售价1.5元，买n支铅笔的总价w=1.5n，n只能取0，1，2，…这样的整数，当n=4时的函数值是6。 函数：x每取一个值，y都有唯一的值与它对应 三种表示方式：表格、关系式、图象 函数值：自变量等于a时对应的那一个y值 小提示：“唯一”是定义的核心：x取一个值、y却对应两个值，就不是函数；反过来，不同的x对应同一个y是允许的。实际问题里的自变量还要受实际意义限制，比如人数、件数只能取整数。 知识点　02　“均匀”变化、一次函数与正比例函数 教材让学生点燃一根驱蚊线香，每隔1 min量一次香可燃烧部分的长度，发现燃烧时间每增加1 min，长度就减少同样多，并把这种变化叫作“均匀”变化：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。把这类关系写成式子，就得到教材的定义：如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。教材还在旁边点明：对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k，函数值的变化是“均匀”的。即时小例：一个水箱原有水12 L，打开进水管后每分钟进水3 L，t min后水箱中的水量Q=3t+12，Q是t的一次函数，但不是正比例函数。 一次函数：y=kx+b（k，b为常数，k≠0） 正比例函数：y=kx（k为常数，k≠0），即b=0的一次函数 自变量每增加1，函数值就增加k 小提示：判断一次函数要同时核对三点：自变量的次数是1、自变量不在分母上也不在根号里、一次项系数不为0。正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 知识点　03　关系式中k与b的实际意义 教材在汽车紧急刹车的测试里写出刹车后的速度与经过时间的一次函数关系，并逐项解释：其中的k表示每秒汽车速度的变化量，b表示刹车开始时汽车的速度。一般地，实际问题中的关系式y=kx+b里，k表示自变量每增加1个单位时函数值的变化量，k为负数说明函数值在减少；b表示自变量为0时的函数值，也就是“起始量”。说实际意义时要把单位带上。即时小例：清洗空调时储水盒里有水8 L，排水时每分钟排出0.5 L，排水m分钟后盒内剩余水量R=-0.5m+8，-0.5表示每分钟水量减少0.5 L，8表示开始排水时盒内的水量。 k：自变量每增加1时函数值的变化量（带正负号） b：自变量为0时的函数值（起始量） 小提示：k是“变化的快慢与方向”：正数表示增加，负数表示减少。回答实际意义时写成“每分钟减少0.5 L”这样的完整句子，只写“k等于-0.5”不算说出了意义。 知识点　04　函数的图象与正比例函数的图象 教材给出图象的定义：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。画图象的基本步骤是列表、描点、连线。教材先画出y=2x的图象，再画一个k为负数的正比例函数的图象，归纳出：正比例函数y=kx的图象是一条经过原点(0，0)的直线，因此画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了。在正比例函数y=kx中，当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时情况正好相反，x的值越大，y的值越小。即时小例：画y=-2.5x的图象，再取一点(2，-5)，与原点连成直线即可。 画图象：列表、描点、连线 y=kx的图象：过原点(0，0)的直线，再取点(1，k)即可画出 k>0：y随x的增大而增大；k<0：y随x的增大而减小 小提示：“随着x值的增大”就是从左往右看图象：k>0时直线从左往右上升，k<0时从左往右下降。比较增大（或减小）得快慢，看x每增加1时y变化多少，y=3x就比y=x增大得快。 知识点　05　一次函数的图象及k、b的影响 教材把y=2x+1与y=2x的图象放在一起比较后得出：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它与正比例函数y=kx的图象相互平行。因此，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了；一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b。进一步的结论是：一次函数y=kx+b的图象经过点(0，b)，与函数y=kx的图象平行；k值相同的两个一次函数图象平行；当k>0时，y的值随着x值的增大而增大，当k<0时，y的值随着x值的增大而减小。即时小例：直线y=-x+3经过点(0，3)与(3，0)，它与直线y=-x平行，从左往右下降。 y=kx+b的图象是直线，与y=kx平行，经过点(0，b) k相同→两直线平行；b相同→两直线与y轴交于同一点 k定倾斜方向，b定与y轴交点在原点上方还是下方 小提示：由k、b的符号可以直接说出直线所过的象限：k>0，b>0时过一、二、三象限；k>0，b<0时过一、三、四象限；k<0，b>0时过一、二、四象限；k<0，b<0时过二、三、四象限。 知识点　06　确定一次函数的表达式 教材在“一次函数的应用”一节先由图象写出物体沿斜坡下滑的速度与时间的关系，再追问：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？结论是：正比例函数y=kx只有一个未知的k，知道图象上一个原点以外的点就能求出；一次函数y=kx+b有k、b两个未知的常数，需要两个条件。教材例题的写法是：设y=kx+b，由不挂物体时弹簧的长度直接得到b，再代入另一组对应值求出k。另一个好用的办法来自“自变量每增加1，函数值就增加k”：已知图象上两个点，先用函数值的改变量除以自变量的改变量求出k，再代入其中一个点求b。即时小例：直线经过(1，2)与(3，8)，k=(8-2)÷(3-1)=3，再由2=3+b得b=-1，所以y=3x-1。 正比例函数y=kx：需要一个条件 一次函数y=kx+b：需要两个条件 k＝函数值的改变量÷自变量的改变量，再代入一点求b 小提示：代入点的坐标时，横坐标代x、纵坐标代y，千万不要颠倒；求出表达式后，再用另一个点验算一次。 知识点　07　一次函数与一元一次方程、两条直线的交点 教材借水库蓄水量随干旱天数减少的例子指出：一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解；从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解。用图象解决实际问题时还常常出现两条直线：教材用销售收入与销售成本两条直线的交点说明“收入等于成本”，用两人到观景台1的路程两条直线的交点说明“追上”。两条直线交点的横坐标，就是使两个函数值相等的自变量的值，可以令两个关系式相等，解一个一元一次方程求出。即时小例：y=2x-6的图象与x轴交于点(3，0)，因为方程2x-6=0的解是x=3。 y=kx+b与x轴交点的横坐标＝方程kx+b=0的解 两条直线的交点：令两个函数值相等，解一元一次方程 读图顺序：两条坐标轴各表示什么→起点、交点、终点→k、b的实际意义 小提示：在交点两侧，两条直线的上下位置会互换：哪条直线在上方，哪个函数值就更大。读实际问题的图象时，先看清两条坐标轴表示的量和单位，再去读点。 【题型1】函数的概念与自变量的取值范围 判断两个变量能不能构成函数，只抓定义里的“唯一”二字：自变量取定一个值，另一个变量是否只有一个值与它对应。写自变量的取值范围时，先看关系式本身有没有限制，再看实际意义有没有限制，两方面都满足才算写全。 例1　某景区的观光车每辆限坐14名乘客（不含司机），一趟至少有1名乘客才发车，车票每人20元。设一辆观光车一趟载客x人，这一趟的车票收入为y元。(1) 写出y与x之间的关系式；(2) 写出自变量x的取值范围，并求当x=9时的函数值。 【分析】载客人数每确定一个值，车票收入就只有一个值与它对应，所以y是x的函数。取值范围要同时考虑“至少1人”“最多14人”“人数是整数”三个方面。 【解答】(1) 每人20元，x人的车票收入是20x元，所以y与x之间的关系式是y=20x。 (2) 由题意，x是整数，并且1≤x≤14。 当x=9时，y=20×9=180。 答：(1) y=20x；(2) 自变量的取值范围是1≤x≤14且x为整数，x=9时的函数值是180。 【方法小结】实际问题中的取值范围分三步写：下限从哪里开始、上限到哪里结束、能不能取小数。本题人数只能取整数，这一句不能漏。 题型1　变式：能否看成函数、规律中的关系式与取值范围 三道变式分别练：用“唯一对应”判断能否看成函数、从搭图形的规律里写关系式并定取值范围、以及在围菜园的问题中由实际意义定范围。 变式1　在以下四个变化过程里，y不能看成x的函数的一个是（　　）。 A．正方形的周长y与它的边长x B．一个正数x的平方根y C．自行车以每分钟250 m的速度骑行，骑行距离y与骑行时间x D．某地一天中的气温y与时刻x 变式2　在桌面上摆一行连在一起的正方形：摆1个正方形用4根火柴棒，以后每多摆1个正方形再添3根。摆x个正方形共用y根火柴棒，则y与x之间的关系式是____，自变量x的取值范围是____；用100根火柴棒恰好能摆____个正方形。 变式3　用总长为24 m的篱笆围成一个长方形菜园（篱笆全部用完），菜园一边长为x m，与它相邻的另一边长为y m，则y与x之间的关系式是____，自变量x的取值范围是____。 【题型2】求函数值与函数的三种表示方式 同一个函数可以用表格、关系式、图象三种方式表示。求函数值是“给x找y”，由函数值反求自变量是“给y找x”；从图象上读值时，先在横轴上找到自变量，再找图象上对应的点，读出它的纵坐标。 例1　一只系留热气球从地面匀速上升，到达一定高度后停留一段时间，再匀速下降回到地面。如图，折线OABC表示热气球离地面的高度h（m）与出发后的时间t（min）之间的关系，其中A(10，300)，B(20，300)，C(35，0)。(1) 求上升阶段热气球每分钟上升多少米，并求t=4时热气球的高度；(2) 下降阶段中，热气球离地面240 m时是出发后第几分钟？ 【分析】折线的三段分别表示上升、停留、下降。上升段由O(0，0)到A(10，300)，下降段由B(20，300)到C(35，0)，每一段都是匀速的，用“高度的改变量÷时间的改变量”求出每分钟的变化量。 【解答】(1) 上升阶段10 min升高300 m，每分钟上升300÷10=30（m）。 t=4时，热气球的高度是30×4=120（m）。 (2) 下降阶段从第20分钟到第35分钟，下降了300 m，每分钟下降300÷(35-20)=20（m）。 离地面240 m时已经下降了300-240=60（m），用时60÷20=3（min），所以是出发后第20+3=23分钟。 答：(1) 每分钟上升30 m，t=4时高度是120 m；(2) 出发后第23分钟。 【方法小结】读折线图先分段：每一段的起点、终点坐标都写出来，再算这一段每分钟的变化量。问“高度为某值时的时间”要先判断落在哪一段，本题上升段也有一个时刻高度是240 m，但题目限定了下降阶段。 题型2　变式：比较函数值、表格与关系式互化、由函数值反求自变量 四道变式把三种表示方式来回走一遍：代入求值比大小、由一组对应值写关系式、由实际问题的关系式求值与反求、以及先由一组对应值求出常数再反求自变量。 变式1　当x=-2时，四个函数中函数值最大的是哪一个（　　）。 A．y=3x+5 B．y=-x+1 C．y=-3x-1 D．y=-2 变式2　某函数的一组对应值是：x=-1，0，1，2，3时，y依次等于5，3，1，-1，-3。这组对应值满足一个一次函数，它的表达式是____；当y=-9时，x=____。 变式3　某电热水壶烧水时，壶内水温T（℃）与加热时间t（min）之间的关系可以近似表示为T=16t+20（0≤t≤5）。(1) 求加热2.5 min时壶内的水温；(2) 水温达到84 ℃需要加热多长时间？(3) 写出函数值T的取值范围。 变式4　对于函数y=-3x+b，当x=2时函数值为1，则常数b=____；当x=____时，函数值为-8。 【题型3】一次函数与正比例函数的识别及求参数 识别时先把关系式整理成y=kx+b的样子，再核对k≠0；正比例函数还要求b=0。题目带字母参数时，把“是一次函数”翻译成“一次项系数不等于0”，把“是正比例函数”再加上“常数项等于0”。 例1　关于x的函数y=(m-3)x+2m-8中，m是常数。(1) 当m取何值时，y是x的正比例函数？写出这个正比例函数；(2) 若这个函数是一次函数，并且它的图象经过点(2，4)，求m的值。 【分析】正比例函数要同时满足“常数项2m-8=0”与“一次项系数m-3≠0”；图象经过点(2，4)，就是x=2时函数值为4。 【解答】(1) 由2m-8=0，解得m=4。 此时一次项系数m-3=1，不等于0，符合要求，这个正比例函数是y=x。 (2) 把x=2，y=4代入，得4=2(m-3)+2m-8， 整理得4m-14=4，解得m=4.5。 此时一次项系数m-3=1.5，不等于0，函数是一次函数，符合题意。 答：(1) m=4，正比例函数是y=x；(2) m=4.5。 【方法小结】求出参数后必须回头核对一次项系数不为0，这一步是本题型最容易丢的分。 题型3　变式：数一数一次函数、参数的两种要求、用“均匀”变化识别 四道变式从四个角度认一次函数：在一组式子里数个数、由参数写出两种函数的条件、在实际问题里挑一次函数与正比例函数、以及用表格数据是否“均匀”变化来识别。 变式1　有五个函数：①y=-5x；②y=+1；③y=；④y=7-0.4x；⑤y=6。其中是一次函数的共有几个（　　）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2　已知函数y=(n-2)x+n，其中n为常数。当它是一次函数时，n应满足的条件是____；当它是正比例函数时，n=____。 变式3　有三个问题：(1) 一本360页的书，每天读24页，读了x天后还剩y页；(2) 一个长方体水箱的底面是边长为x dm的正方形，高为5 dm，它的容积为y d m³；(3) 苹果每千克12元，买x kg应付y元。其中y是x的一次函数的是____，y是x的正比例函数的是____。（填序号） 变式4　四组对应值中，y可能是x的一次函数的是哪一组（　　）。 A．x=1，2，3，4时，y依次为2，4，8，16 B．x=1，2，3，4时，y依次为3，5，7，9 C．x=1，2，3，4时，y依次为1，4，9，16 D．x=1，2，3，4时，y依次为5，3，2，1 【题型4】写实际问题的关系式并说明k、b的实际意义 列关系式抓住“起始量＋变化量”：自变量为0时的量就是b，自变量每增加1时的变化量就是k。写完关系式还要带上自变量的取值范围，并能用一句带单位的话说出k和b各表示什么。 例1　某型号电动汽车的电池充满电后储电量为60 kW·h，在高速公路上匀速行驶时，每行驶100 km耗电15 kW·h。设汽车充满电后行驶了x km，电池剩余电量为y kW·h。(1) 求剩余电量y随行驶路程x变化的函数表达式，并确定x的取值范围；(2) 写出关系式中的一次项系数与常数项，并说明它们的实际意义。 【分析】起始量是满电时的60 kW·h；每行驶1 km耗电15÷100=0.15（kW·h），剩余电量均匀减少。电量减到0时行驶的路程就是x的上限。 【解答】(1) 每行驶1 km耗电15÷100=0.15（kW·h），行驶x km耗电0.15x kW·h， 所以y=60-0.15x，即y=-0.15x+60。 令-0.15x+60=0，解得x=400，所以自变量的取值范围是0≤x≤400。 (2) 一次项系数是-0.15，表示汽车每行驶1 km，电池电量减少0.15 kW·h； 常数项是60，表示汽车出发（x=0）时电池的电量是60 kW·h。 【方法小结】k的实际意义一定带“每……增加（减少）……”和单位；b的实际意义就是“自变量为0时”的那个量。取值范围的上限来自“剩余量减到0”。 题型4　变式：充电、注水、生产成本与列车减速 四个情境都是“起始量＋均匀变化”：有的在增加、有的在减少，有的要求取值范围，有的要求说出系数的意义。 变式1　某手机充电时，电量从20%开始，每充电1 min电量增加1.6个百分点，充到100%时停止。设充电t min后电量为Q%。(1) 求Q关于t的函数表达式和t的取值范围；(2) 充电多长时间电量达到68%？ 变式2　一个长方体水池中原有水深0.6 m，现在匀速向池中注水，水深h（m）与注水时间t（h）的关系式为h=0.25t+0.6。关于式中0.25的实际意义，说法正确的是（　　）。 A．注水前池中的水深是0.25 m B．每注水1 h，水深增加0.25 m C．注满水池需要0.25 h D．注水t h后池中的水深 变式3　某工厂生产一种保温杯，每天的生产总成本y（元）与当天产量x（个）之间的关系式是y=15x+2400（0≤x≤500）。某天生产300个保温杯，这天的生产总成本为____元，平均每个保温杯的成本是____元。 变式4　一列高铁列车进站前开始减速，减速开始时的速度是216 km/h，此后每过1 min速度减少24 km/h。设减速t min后列车的速度为y km/h。(1) 写出y与t之间的关系式，并说出k与b的实际意义；(2) 从开始减速到停止需要多长时间？速度减为72 km/h时已减速了几分钟？ 【题型5】正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx的图象是过原点的直线，画图时只需再找一个点。k的正负决定直线从左往右是上升还是下降，也就是y的值随着x值的增大是增大还是减小；比较变化的快慢，看x每增加1时y变化多少。 例1　(1) 用列表、描点、连线的方法，把正比例函数y=和y=的图象画在同一个坐标系里；(2) 分别说出这两个函数中，随着x值的增大，y的值怎样变化。 【分析】正比例函数的图象过原点，只要再取一个点。为了让坐标是整数，y=取x=2，y=取x=3。 【解答】(1) 列表：y=中，x=0时y=0，x=2时y=3；y=中，x=0时y=0，x=3时y=-1。 描点：在坐标系中描出(0，0)、(2，3)与(3，-1)。 连线：过原点与(2，3)画直线得y=的图象，过原点与(3，-1)画直线得y=的图象，两条直线如图所示。 (2) y=中k=，k>0，y的值随着x值的增大而增大；y=中k=，k<0，y的值随着x值的增大而减小。 【方法小结】取第二个点时让x等于系数的分母，纵坐标就是整数，描点更准。画完图从左往右看一遍，上升还是下降要与k的正负对得上。 题型5　变式：由增减定参数、一个点定表达式、看图比系数与比较增大快慢 四道变式围着k转：由“y随x增大而减小”挑参数、由一个点求k、由三条直线的倾斜程度比较k的大小，以及用k比较两个量增加的快慢。 变式1　正比例函数y=(2m-5)x中，y的值随着x值的增大而减小，则m的值可以是（　　）。 A．3 B．2.5 C．2 D．4 变式2　正比例函数y=kx中，当x=4时y=-6，则k=____；当x=-2时，函数值是____。 变式3　如图，三条直线分别是正比例函数y=ax、y=bx、y=cx的图象，则a、b、c的大小关系是（　　）。 A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b 变式4　甲、乙两个空水箱同时开始匀速注水，甲水箱的水量y（L）与注水时间x（min）的关系式为y=12x，乙水箱的水量w（L）与注水时间x（min）的关系式为w=7.5x。(1) 每分钟甲、乙两个水箱的水量各增加多少升？(2) 注水多少分钟时，甲水箱比乙水箱多27 L？ 【题型6】一次函数的图象与k、b的符号 直线y=kx+b的位置由两件事决定：k的正负定倾斜方向，b的正负定它与y轴的交点在原点上方还是下方。由式子想图象，或由图象反推k、b的符号，都按“先看倾斜方向、再看与y轴交点”的次序进行。 例1　直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，3)。(1) 写出这个一次函数的表达式；(2) 画出它的图象，并写出图象经过的象限。 【分析】与直线y=-2x平行说明k=-2；与y轴交于点(0，3)说明b=3。画图只需两个点，取与两条坐标轴的交点最方便。 【解答】(1) 因为两直线平行，所以k=-2；又因为直线与y轴交于点(0，3)，所以b=3。这个一次函数的表达式是y=-2x+3。 (2) 当x=0时，y=3；令-2x+3=0，解得x=1.5。描出点(0，3)与(1.5，0)，过这两点画直线即得图象，如图所示。 k=-2<0，直线从左往右下降；b=3>0，直线与y轴交于正半轴，所以图象经过第一、二、四象限。 【方法小结】平行看k，与y轴交点看b；向上或向下平移只改变b，k不变。 题型6　变式：由示意图换位看象限、不经过的象限、平移与平行、比较函数值 四道变式分别练：从示意图读出k、b的符号后再判断另一条直线、由式子直接说出不经过的象限、用平移与平行写表达式、以及用增减方向比较两个函数值的大小。 变式1　一次函数y=kx+b的示意图如图所示，则一次函数y=bx+k的图象经过的象限是（　　）。 A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 变式2　直线y=-x-4不经过第（　　）象限。 A．一 B．二 C．三 D．四 变式3　把直线y=-4x+1向上平移3个单位长度，得到的直线是____；与直线y=-4x+1平行并且与y轴交于点(0，-2)的直线是____。 变式4　点A(-1，p)、B(3，q)都在直线y=-2x+m上，则p____q。（填“>”“<”或“=”） 【题型7】由两个条件确定一次函数的表达式 确定表达式就是求出k与b：正比例函数只需一个条件，一次函数需要两个条件。已知与y轴的交点就直接得b；已知两个一般的点，先用“函数值的改变量÷自变量的改变量”求k，再代入一个点求b，最后用另一个点验算。 例1　如图，点A(-2，1)、B(2，7)都在直线l上。(1) 直线l对应的一次函数记为y=kx+b，求k与b的值；(2) 点C(m，13)也在直线l上，求m。 【分析】两个点的横坐标从-2增加到2，纵坐标从1增加到7。自变量每增加1，函数值就增加k，所以k等于两个改变量相除；再代入一个点求b。 【解答】(1) 直线l对应的一次函数是y=kx+b。 从点A到点B，自变量增加了2-(-2)=4，函数值增加了7-1=6，所以k=6÷4=1.5。 把B(2，7)代入y=1.5x+b，得7=1.5×2+b，解得b=4。 所以k=1.5，b=4，直线l对应的一次函数是y=1.5x+4。 验算：x=-2时，y=1.5×(-2)+4=1，与点A吻合。 (2) 把C(m，13)代入，得1.5m+4=13，解得m=6。 【方法小结】两点定表达式按“先k后b再验算”三步走；k的算法就是教材里“自变量每增加1，函数值就增加k”的反过来用。 题型7　变式：两组对应值、温度换算、剩余油量与挑出符合条件的表达式 四道变式分别给出两个条件的四种样子：两组对应值、实际问题中的两对数据、图象上两个点，以及“一个点＋增减方向”。 变式1　一次函数的一组对应值是：x=1时y=1；x=3时y=9。由此得k=____，b=____。 变式2　华氏温度y（单位：华氏度）是摄氏温度x（单位：℃）的一次函数。已知0 ℃对应32华氏度，100 ℃对应212华氏度。(1) 由这两组对应的温度求出y关于x的一次函数；(2) 某地气温为25 ℃，相当于多少华氏度？(3) 温度为-4华氏度时，相当于多少摄氏度？ 变式3　一辆小汽车加满油后出发，行驶途中油箱内的油量y（L）随已行驶路程x（km）的增加而均匀减少，y与x之间关系的图象是如图所示的线段，它经过点(0，45)与(120，36)。(1) 求y与x之间的关系式；(2) 汽车行驶多少千米时，油箱内的油量为12 L？ 变式4　一个一次函数的图象经过点(1，-1)，并且y的值随着x值的增大而增大，这个函数的表达式可以是（　　）。 A．y=2x-3 B．y=-x C．y=x+2 D．y=-3x+2 【题型8】一次函数与一元一次方程、直线与坐标轴的交点 一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标，就是方程kx+b=0的解；与y轴的交点是(0，b)。两个交点求出来，直线与两条坐标轴围成的直角三角形的两条直角边长也就有了。 例1　对于一次函数y=+4：(1) 它的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，求A、B两点的坐标；(2) 设O为原点，求△AOB的面积。 【分析】与x轴的交点纵坐标为0，就是解方程+4=0；与y轴的交点横坐标为0，直接得(0，b)。 【解答】(1) 令y=0，得+4=0，解得x=6，所以图象与x轴交于点A(6，0)。 令x=0，得y=4，所以图象与y轴交于点B(0，4)。 (2) 围成的三角形是直角三角形AOB，两条直角边OA=6，OB=4， 面积是6×4÷2=12。 【方法小结】求面积前先把交点写成坐标，再把坐标化成线段的长：长度要取正值，交点在负半轴上时去掉负号。 题型8　变式：看图写方程的解、放水问题、由交点求常数与由面积求常数 四道变式分别练：从图象读出方程的解、把“剩余量为0”翻译成方程、由与x轴的交点反求常数，以及由围成的面积反求常数。 变式1　如图，直线y=kx+b经过点(-3，0)和(0，2)，则关于x的方程kx+b=4的解是____。 变式2　某蓄水池现有水360 m³，开始放水后每小时放出24 m³，池中剩余水量V（m³）与放水时间t（h）的关系式为V=-24t+360。(1) 放水多长时间后蓄水池中的水全部放完？(2) 放水几小时后，池中剩余水量是开始时的三分之一？ 变式3　一次函数y=3x-b的图象与x轴交于点(2，0)，则b=____，这个函数的图象与y轴交于点____。 变式4　直线y=2x+m与y轴交于正半轴，它与两条坐标轴围成的三角形面积为9，求m的值。 【题型9】分档计费问题中的一次函数 分档计费的关系式是一段一段的：用量超过一档的上限后，超出的部分才按新单价计。写某一档的关系式时，先把前面各档的费用算满，再加上本档超出部分的费用；由费用反求用量时，先算出各档上限对应的费用，判断落在哪一档，再列方程。 例1　某市居民月用电实行分档计费：月用电量不超过200 kW·h的部分，每千瓦时0.5元；超过200 kW·h但不超过400 kW·h的部分，每千瓦时0.55元；超过400 kW·h的部分，每千瓦时0.8元。设某户月用电量为x kW·h，电费为y元。(1) 当200<x≤400时，写出y与x之间的关系式，并求用电320 kW·h时的电费；(2) 若小林家某月电费为250元，则该月用电多少千瓦时？ 【分析】第二档的电费＝第一档的满额电费＋超过200 kW·h部分的电费。第(2)问先算出用电200 kW·h与400 kW·h时的电费，看250元落在哪一档。 【解答】(1) 当200<x≤400时，y=0.5×200+0.55(x-200)，即y=0.55x-10。 320在200与400之间，属于第二档，y=0.55×320-10=166，所以用电320 kW·h时的电费是166元。 (2) 用电200 kW·h时电费是0.5×200=100（元），用电400 kW·h时电费是0.55×400-10=210（元）。 250>210，所以这个月的用电量超过400 kW·h，属于第三档。 此时y=210+0.8(x-400)，即y=0.8x-110。 令0.8x-110=250，解得x=450，所以这个月的用电量是450 kW·h。 【方法小结】反求用量时先定档：算出每档上限对应的费用，看已知费用夹在哪两个数之间，再用那一档的关系式列方程。 题型9　变式：快递计费、出租车计费、阶梯水费折线图与峰谷电价 四道变式都是“分段、分时计价”：快递按质量分段、出租车按路程分段、阶梯水费把两段关系画成一条折线，峰谷电价则按用电时段分开计价。 变式1　某快递公司寄往省外的包裹这样收费：质量不超过1 kg收12元；超过1 kg时，超出的部分每千克另收4元（质量按整千克计）。寄一个质量为x kg（x为大于1的整数）的包裹，费用y元与x之间的关系式是____；寄一个6 kg的包裹要付____元。 变式2　某市出租车白天的计价方式是：行驶路程在2 km以内（含2 km）一律收8元；路程超过2 km时，超出的部分按每千米1.9元加收。设行驶路程为x km（x>2），车费为y元。(1) 按这种计价方式把车费y表示成路程x的一次函数；(2) 王叔叔乘车付费27元，他乘坐了多少千米？ 变式3　某市居民生活用水按月实行阶梯收费。某户月水费y（元）与月用水量x（m³）之间的关系如图所示，图象是折线OAB，其中A(15，45)，B(25，85)。(1) 月用水量不超过15 m³时，每立方米水费是多少元？(2) 用水量在15 m³到25 m³之间时，每多用1 m³，水费增加多少元？(3) 该户某月水费是61元，求这个月的用水量。 变式4　某市居民可以选择峰谷分时电价：峰段用电每千瓦时0.6元，谷段用电每千瓦时0.3元；不选择峰谷分时电价的，每千瓦时0.5元。某户每月用电300千瓦时，其中峰段用电x千瓦时（0≤x≤300）。(1) 选择峰谷分时电价时，月电费y元是x的一次函数，求出它；(2) 峰段用电多少千瓦时时，两种计价方式的月电费相同？ 【题型10】两条直线的应用：追赶与方案比较 同一坐标系里的两条直线，交点表示“两个函数值相等”的时刻或数量；在交点两侧，哪条直线在上方，哪个函数值就更大。计算交点时令两个关系式相等，解一个一元一次方程即可。 例1　A、B两地之间的步道长2400 m，乙先从A地出发前往B地，乙走出600 m时，甲从A地出发沿同一步道追赶。如图，两条线段分别表示甲、乙离A地的路程s（m）与甲出发后的时间t（min）之间的关系，其中甲的线段经过点(20，1200)，乙的线段经过点(0，600)与(20，1400)。(1) 分别求甲、乙两人的速度；(2) 甲出发后多少分钟追上乙？追上时两人离B地还有多远？ 【分析】两条线段都是一次函数的图象，k就是速度。先由图上的点求出两个关系式，追上时两人离A地的路程相等，令两个关系式相等即可。 【解答】(1) 甲20 min走了1200 m，速度是1200÷20=60（m/min）。 乙20 min从600 m处走到1400 m处，速度是(1400-600)÷20=40（m/min）。 (2) 甲离A地的路程s=60t，乙离A地的路程s=40t+600。 追上时两人离A地的路程相等，60t=600+40t，解得t=30。 此时两人离A地60×30=1800（m），离B地还有2400-60×30=600（m）。 答：(1) 甲的速度是60 m/min，乙的速度是40 m/min；(2) 甲出发后30 min追上乙，追上时离B地还有600 m。 【方法小结】追赶问题三步走：由图求出两个关系式→令路程相等解方程→回到实际问题检验（本题追上的地点在B地之前，答案有效）。 题型10　变式：游泳馆收费方案、收入与成本、门票方案与两直线的交点 四道变式把“两个关系式比大小”放进不同情境：游泳馆的两种收费方式、销售收入与成本、团体门票，以及两条直线与y轴围成的三角形。 变式1　某游泳馆推出两种收费方式：方式一，每次入场收费40元；方式二，先办年卡600元，此后每次入场收费15元。设一年中入场x次，方式一的费用为y元，方式二的费用为w元。(1) 按两种方式分别列出y、w关于入场次数x的式子；(2) 求使两种方式费用相等的入场次数；(3) 若一年入场30次，较省钱的方式比另一种少花多少元？ 变式2　如图，直线OA表示某厂产品的销售收入y（元）与销售量x（t）之间的关系，直线BA表示销售成本与销售量之间的关系，两直线交于点A(5，4000)，直线BA与y轴交于点B(0，2000)。当销售量为8 t时，该厂赢利____元；要赢利3600元，销售量应为____ t。 变式3　某景点门票有两种购买方案：方案一，每人28元；方案二，团体先交基础费180元，另外每人收16元。一个18人的团体参观，两种方案费用的比较结果是（　　）。 A．两种方案费用相同 B．方案一比方案二省36元 C．方案二比方案一省288元 D．方案二比方案一省36元 变式4　如图，直线y=2x-1与直线y=-x+5相交于点P，两条直线与y轴分别交于点A、B。(1) 求点P的坐标；(2) 求△PAB的面积。 　易错专练 本章的失分集中在七处：求参数时漏掉k≠0、实际问题的取值范围只写一半、由k与b的符号定象限时看错正负、代入点时横纵坐标颠倒、平移时把常数项的增减弄反、分档计费时整体按高价算、把“改变量”直接当成k。下面七题各守一处，做完再逐条对照答案里的错解与错因。 易错1　已知y=(m+3)x+-9是正比例函数，求m的值。 易错2　一个水桶中有水20 L，桶底漏水，每分钟漏掉0.5 L。写出桶中剩余水量y（L）与漏水时间x（min）之间的关系式及自变量的取值范围。 易错3　直线y=kx+b经过第一、三、四象限，求直线y=-bx+k经过的象限。 易错4　已知点(2，-6)在正比例函数y=kx的图象上，求k的值并写出这个正比例函数。 易错5　直线y=2x-1向下平移3个单位长度后，新直线与y轴的交点坐标和它对应的函数表达式各是什么？ 易错6　某小区用水每月不超过10 m³的部分每立方米3.2元，超过10 m³的部分每立方米4.8元。某户某月用水14 m³，求这个月的水费。 易错7　一个一次函数满足：x=0时y=4；x每增加2，y就减少6。它的k和b分别是多少？ 　课后作业（一）基础巩固 下面10题是本章最低限度的必会内容，每题只有一个选项符合题意，把字母填进括号里。考查次序是函数值、正比例函数的识别、图象与坐标轴的交点、k的符号、平移、一次函数的性质与实际问题中的关系式。 1．对于函数y=5x-2，自变量x=3时对应的函数值为（　　）。 A．13 B．17 C．15 D．5 2．形如y=kx（k≠0）的函数叫作正比例函数，四个选项中符合这一形式的是（　　）。 A．y=x+1 B．y=-0.25x C．y= D．y=3-x 3．直线y=-5x+7与y轴相交于哪一点（　　）。 A．(7，0) B．(0，-5) C．(0，7) D．(-5，0) 4．正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（　　）。 A．2 B．0 C． D．-3 5．方程x-6=0的解，恰好是直线y=x-6上某一点的横坐标，这一点是（　　）。 A．(0，-6) B．(6，0) C．(-6，0) D．(0，6) 6．把直线y=-3x平移后得到直线y=-3x+2，这次平移的方式是（　　）。 A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向下平移1个单位长度 D．向上平移5个单位长度 7．对于一次函数y=-2x+4，结论正确的是（　　）。 A．图象经过点(1，3) B．直线从左往右上升 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象与x轴交于点(4，0) 8．某水池有水60 m³，每小时放水6 m³，池中剩余水量Q（m³）与放水时间t（h）之间的关系式及t的取值范围是（　　）。 A．Q=60-6t（0≤t≤10） B．Q=6t-60（t≥10） C．Q=60-6t（t≥0） D．Q=60+6t（0≤t≤10） 9．直线y=mx+n的大致位置如图，则正比例函数y=mnx的图象所在的象限为（　　）。 A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．仅第一象限 D．第一、二、四象限 10．直线y=3x+1经过点A(2，a)和点B(-1，b)，a-b等于（　　）。 A．5 B．-9 C．3 D．9 　课后作业（二）能力进阶 第11～20题只要求写出结果，不必写过程。这一组把求函数值、由增减定参数、交点与表达式、实际问题的关系式、代数式求值与追赶各考一遍。 11．已知函数y=-4x+9，当x=-2时，y=____；当y=1时，x=____。 12．一次函数y=(3-k)x+2中，y的值随着x值的增大而减小，请写出一个满足条件的k的值：____。 13．直线y=-2x+b经过点(3，-1)，则b=____，这条直线与x轴的交点坐标是____。 14．直线l与直线y=5x平行，点(-1，2)在直线l上，则直线l对应的函数是y=5x+____。 15．一根蜡烛长24 cm，点燃后每小时燃烧4 cm，剩余长度h（cm）与燃烧时间t（h）之间的关系式是____，自变量t的取值范围是____。 16．若点(2，0)在直线y=kx+4上，则k=____，该直线交y轴于点____。 17．点P(a，b)在直线y=-3x+2上，则代数式6a+2b-1的值为____。 18．如图，直线l经过点(-1，0)与(0，2)，则直线l对应的函数表达式是____。 19．甲、乙两车从同一地点出发沿同一条公路同向行驶，乙车比甲车早出发1 h，乙车速度是60 km/h，甲车速度是80 km/h。甲车出发____h后追上乙车。 20．直线y=3x+m与直线y=-x+n都经过点(2，1)，则m=____，n=____。 　课后作业（三）拓展延伸 第21～30题要写出完整的计算或求解过程。这一组把确定表达式、坐标轴上的交点、分档计费、实际问题中的图象与追赶、方案比较合在一起用。 21．y-1与x+2成正比例（比例系数不为0），自变量取1时，函数值是7。(1) 确定y与x的函数表达式；(2) 当y=-3时，求x。 22．当x=-1时，一次函数y=kx+b的值为-5；当x=2时，它的值为4。(1) 求k和b的值；(2) 求方程kx+b=0的解，并写出图象与y轴交点的坐标。 23．某通信公司的一种月套餐是：月租32元，含通话200 min，超出的部分每分钟收0.2元。(1) 通话时间x min超过200 min时，月费用y元是x的一次函数，求出它；(2) 某月费用是44元，这个月通话多少分钟？ 24．烤箱预热时，箱内温度y（℃）与预热时间x（min）近似成一次函数关系。开始预热时箱内温度为24 ℃，预热4 min时为112 ℃。(1) 用含x的式子表示y，并解释其中一次项系数在本题中表示什么；(2) 烘焙要求箱内温度达到200 ℃，从开始预热算起一共需要多少分钟？ 25．对于函数y=(m-2)x+m+1（m为常数）：(1) 当m=4时，求它的图象与x轴的交点坐标；(2) 若它的图象经过原点，求m的值，并写出此时的函数表达式。 26．某种树苗栽种后，高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系近似为一次函数，其图象如图所示，经过点(0，12)与(20，20)。(1) 由图上两点定出这个一次函数，并指出一次项系数与常数项在本题中各表示什么；(2) 按照这个规律，树苗栽种后多少天长到32 cm？ 27．A、B两地相距60 km，甲骑自行车、乙骑摩托车沿同一条公路从A地前往B地。如图，横轴t表示甲出发后的时间（h），纵轴s表示离A地的路程（km），线段OM描述甲的行程，线段NP描述乙的行程，其中M(4，60)，N(1，0)，P(2.5，60)。(1) 分别求甲、乙的速度；(2) 乙出发后多长时间追上甲？ 28．某洗车店有两种收费方式：甲方式，办会员卡一次性交120元，凭卡每次洗车12元；乙方式，不办卡，前3次每次收30元，从第4次起每次收18元。设一年内洗车x次（x>3）。(1) 甲方式的费用为p元，乙方式的费用为r元，分别求p、r关于x的函数表达式；(2) x为何值时p=r？此时每种方式各需付多少元？ 29．某储蓄罐的空罐质量为120 g，罐里只投入同一种一元硬币，每枚硬币的质量约为6 g。(1) 罐的总质量m（g）是硬币枚数n的一次函数，求出这个函数；(2) 称得罐的总质量为480 g时，罐里约有多少枚硬币？ 30．直线y=kx-2交x轴于点A，交y轴于点B，O为原点。若△AOB的面积是4，求k的值。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $