第四章一次函数-一次函数与正比例函数 辅导讲义 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统构建“一次函数与正比例函数”单元体系，梳理函数概念、三种表示方法、一次函数与正比例函数定义及待定系数法，明确概念间内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于情境化练习设计，如“蕊蕊妈妈行走路线与时间关系”分析培养应用意识，函数辨析题发展抽象能力，分层练习（基础题、提升题、中考题）满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主复习。

学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：八年级(上) 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题 第08讲---一次函数与正比例函数 授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 ①了解函数的概念； ②了解函数的三种表示方法； ③掌握一次函数与正比例函数的概念。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 ( 体系搭建 ) 1、 知识梳理 1、函数 （1）概念：如果在一个变化的过程中有两个变量，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们称是的函数，其中是自变量，是自变量的函数。 （2）表示方法：函数有三种表示方法：①列表法（一般只能表示一部分)，②关系式法（比较抽象，但准确），③图象法（直观但不准确） （3）函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为自变量等于时的函数值。 2、一次函数： 若两个变量间的对应关系可以表示成（为常数，）的形式，则称是的一次函数。 3、正比例函数： 一次函数（为常数，）,当时，变为，这时把叫做的正比例函数。 4、待定系数法求解一次函数解析式 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。 考点一：函数相关概念 例1、假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是（ ） ①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2、下列变量间的关系不是函数关系的是（ ） A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积 C．等腰三角形的底边长与面积 D．圆的周长与半径 例3、下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 例4、星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ） A． B． C． D． 例5、下列各式①y=0.5x﹣2；②y=|2x|；③3y+5=x；④y2=2x+8中，y是x的函数的有 （只填序号） 考点二：一次函数与正比例函数 例1、直角三角形两个锐角∠A与∠B的函数关系是（ ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 例2、下列函数关系式：（1）y=﹣x；（2）y=2x+11；（3）y=x2；（4），其中一次函数的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 例3、下列问题中，两个变量成正比例关系的是（ ） A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高 B．等边三角形的面积与它的边长 C．长方形的长确定，它的周长与宽 D．长方形的长确定，它的面积与宽 例4、函数 是正比例函数，则的值是（ ） A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2 例5、当m，n为何值时，． （1）是一次函数； （2）是正比例函数． 考点三：求一次函数的解析式 例1、如图，直线y=x+与两坐标轴分别交于A、B两点． （1）求∠ABO的度数； （2）过A的直线l交x轴正半轴于C，AB=AC，求直线l的函数解析式． 例2、已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）． （1）求此函数解析式； （2）求此函数与x轴、y轴的交点坐标及它的图象与两坐标轴围成的三角形面积． P(Practice-Oriented)——实战演练 ( 实战演练 ) · 课堂狙击 1、圆的面积公式为，其中变量是（ ） A．s B．π C．r D．s和r 2、下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 3、园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S（m）2与工作时间t（h）的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（ ） A．100m2 B．50m2 C．80m2 D．40m2 4、在糖水中继续放入糖x（g）、水y（g），并使糖完全溶解，如果甜度保持不变，那么y与x的函数关系一定是（ ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．图象不经过原点的一次函数 D．二次函数 5、下列函数：①y=2x ②y=③y=2x+1 ④y=2x2+1，其中一次函数的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 6、已知变量x和变量x﹣2，那么x﹣2是不是x的函数？你的结论是： （填“是”或“不是”）． 7．如图，在平面直角坐标系内，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与正比例函数y=﹣2x的图象相交于点A，且与x轴交于点B，求这个一次函数的解析式． 8、一次函数图象经过（﹣2，1）和（1，4）两点， （1）求这个一次函数的解析式； （2）当x=3时，求y的值． 9、已知y=（k﹣1）xIkI+（k2﹣4）是一次函数． （1）求k的值； （2）求x=3时，y的值； （3）当y=0时，x的值． · 课后反击 1、以固定的速度v0（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度h（米）与小球的运动的时间t（秒）之间的关系式是h=v0t﹣4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为（ ） A．4.9是常量，t、h是变量 B．v0是常量，t、h是变量 C．v0、﹣4.9是常量，t、h是变量 D．4.9是常量，v0、t、h是变量 2、一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 3、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（ ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm C．弹簧不挂重物时的长度为0cm D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm 4、 y=（m﹣1）x|m|+3m表示一次函数，则m等于（ ） A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1或﹣1 5、若y=（m﹣1）是正比例函数，则m的值为（ ） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．或﹣ 6、P（m+1，m2+2m+2）的纵坐标随横坐标变化而变化的函数解析式为 ． 7、如图，已知一条直线经过点A（5，0）、B（1，4）． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，请问直线y=﹣x+4是否也经过点C？ 8、已知y﹣2与x+1成正比例函数关系，且x=﹣2时，y=6． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）求当x=﹣3时，y的值； （3）求当y=4时，x的值． 9、已知y=（k﹣1）x|k|﹣k是一次函数． （1）求k的值； （2）若点（2，a）在这个一次函数的图象上，求a的值． ( 直击中考 ) 1、【广东】如图一次函数y=kx+b的图象经过点A和点B． （1）写出点A和点B的坐标并求出k、b的值； （2）求出当x=时的函数值． 2、【抚州】与 x+1成正比例，与成正比例，，当x=2时，y=9；当x=3时，y=14；求y与x的函数解析式． S(Summary-Embedded)——归纳总结 ( 重点回顾 ) 一次函数：若两个变量间的对应关系可以表示成（为常数，）的形式，则称是的一次函数。 正比例函数：一次函数（为常数，）,当时，变为，这时把叫做的正比例函数。 ( 名师点拨 ) 1、掌握一次函数与正比例函数的定义； 2、会运用待定系数法求一次函数的解析式。 ( 学霸经验 ) · 本节课我学到 · 我需要努力的地方是 ( 10 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：八年级(上) 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题 第08讲-一次函数与正比例函数 授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 ①了解函数的概念； ②了解函数的三种表示方法； ③掌握一次函数与正比例函数的概念。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 ( 体系搭建 ) 1、 知识梳理 1、函数 （1）概念：如果在一个变化的过程中有两个变量，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们称是的函数，其中是自变量，是自变量的函数。 （2）表示方法：函数有三种表示方法：①列表法（一般只能表示一部分)，②关系式法（比较抽象，但准确），③图象法（直观但不准确） （3）函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为自变量等于时的函数值。 2、一次函数： 若两个变量间的对应关系可以表示成（为常数，）的形式，则称是的一次函数。 3、正比例函数： 一次函数（为常数，）,当时，变为，这时把叫做的正比例函数。 4、待定系数法求解一次函数解析式 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。 考点一：函数相关概念 例1、假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是（ ） ①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】∵汽车匀速行驶在高速公路上，∴②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量是变量． 故选C． 例2、下列变量间的关系不是函数关系的是（ ） A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积 C．等腰三角形的底边长与面积 D．圆的周长与半径 【解析】A、长=面积/宽； B、面积=（周长/4）2； C、高不能确定，共有三个变量； D、周长=2π•半径．故本题选C． 例3、下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确．选D． 例4、星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ） A． B． C． D． 【解析】观察s关于t的函数图象，发现：在图象AB段，该时间段蕊蕊妈妈离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，∴可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是B．故选B． 例5、下列各式①y=0.5x﹣2；②y=|2x|；③3y+5=x；④y2=2x+8中，y是x的函数的有 （只填序号） 【解析】①y=0.5x﹣2；②y=|2x|；③3y+5=x，y是x的函数，故答案为：①②③． 考点二：一次函数与正比例函数 例1、直角三角形两个锐角∠A与∠B的函数关系是（ ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 【解析】∵直角三角形两个锐角∠A与∠B的和为90°，故∠A与∠B的函数关系为：一次函数．故选：B． 例2、下列函数关系式：（1）y=﹣x；（2）y=2x+11；（3）y=x2；（4），其中一次函数的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】（1）y=﹣x是正比例函数，是特殊的一次函数，故正确； （2）y=2x+11符合一次函数的定义，故正确； （3）y=x2属于二次函数，故错误； （4）属于反比例函数，故错误． 综上所述，一次函数的个数是2个． 故选：B． 例3、下列问题中，两个变量成正比例关系的是（ ） A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高 B．等边三角形的面积与它的边长 C．长方形的长确定，它的周长与宽 D．长方形的长确定，它的面积与宽 【解析】A、等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成反比，故A错误； B、设等边三角形的边长为a，则面积S==，故B错误； C、周长=2倍的长+2倍的宽，故C错误；D、长方形的面积=长×宽，故D正确．故选：D． 例4、函数 是正比例函数，则的值是（ ） A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2 【解析】∵函数是正比例函数，∴a﹣1=1，且a+1≠0．解得 a=2．故选：A． 例5、当m，n为何值时，． （1）是一次函数； （2）是正比例函数． 【解析】（1）当m2=1且m﹣1≠0时，是一次函数，即：m=﹣1． 答：（1）当m=﹣1时，是一次函数； （2）当m2=1且m﹣1≠0，且n=0时，是正比例函数， 即：m=﹣1且n=0时，是正比例函数． 考点三：求一次函数的解析式 例1、如图，直线y=x+与两坐标轴分别交于A、B两点． （1）求∠ABO的度数； （2）过A的直线l交x轴正半轴于C，AB=AC，求直线l的函数解析式． 【解析】（1）对于直线y=x+， 令x=0，则y=，令y=0，则x=﹣1， 故点A的坐标为（0，），点B的坐标为（﹣1，0），则AO=，BO=1， 在Rt△ABO中， ∵tan∠ABO==，∴∠ABO=60°； （2）在△ABC中， ∵AB=AC，AO⊥BC，∴AO为BC的中垂线，即BO=CO， 则C点的坐标为（1，0）， 设直线l的解析式为：y=kx+b（k，b为常数）， 则， 解得：， 即函数解析式为：y=﹣x+． 例2、已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）． （1）求此函数解析式； （2）求此函数与x轴、y轴的交点坐标及它的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【解析】（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，把（1，1）和（﹣1，﹣5）代入 可得，解得， 得到函数解析式：y=3x﹣2． （2）根据一次函数的解析式y=3x﹣2， 当y=0，x=；当x=0时，y=﹣2． 所以与x轴的交点坐标（，0），与y轴的交点坐标（0，﹣2）． 因而此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是：××2=． P(Practice-Oriented)——实战演练 ( 实战演练 ) · 课堂狙击 1、圆的面积公式为，其中变量是（ ） A．s B．π C．r D．s和r 【解析】S=πR2中，S是圆的面积，R是圆的半径，S随R的变化而变化，∴π是常量，S和R是变量． 故选D． 2、下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 【解析】（A）对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故（A）正确； （B）对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故（B）正确； （C）对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故（C）正确； （D）对于x的每一个取值，y不是有唯一确定的值与之对应，故（D）错误．故选（D） 3、园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S（m）2与工作时间t（h）的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（ ） A．100m2 B．50m2 C．80m2 D．40m2 【解析】根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160﹣60=100（m2）． 每小时绿化面积为100÷2=50（m2）．故选：B． 4、在糖水中继续放入糖x（g）、水y（g），并使糖完全溶解，如果甜度保持不变，那么y与x的函数关系一定是（ ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．图象不经过原点的一次函数 D．二次函数 【解析】设原来溶液中糖和水分别有ag和bg．根据题意可知x：y=a：b，整理得：y=．故选：A． 5、下列函数：①y=2x ②y=③y=2x+1 ④y=2x2+1，其中一次函数的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】①y=2x是一次函数；②y=是一次函数； ③y=2x+1是一次函数；④y=2x2+1，自变量次数不是1，故不是一次函数． 综上，是一次函数的有①②③，共3个．故选B． 6、已知变量x和变量x﹣2，那么x﹣2是不是x的函数？你的结论是： （填“是”或“不是”）． 【解析】∵对于变量x的每一个确定的值，变量x﹣2有且只有一个值与之对应， ∴根据函数的概念可知，x﹣2是x的函数． 故答案为：是 7．如图，在平面直角坐标系内，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与正比例函数y=﹣2x的图象相交于点A，且与x轴交于点B，求这个一次函数的解析式． 【解析】在函数y=﹣2x中令y=2得：﹣2x=2， 解得：x=﹣1， ∴点A坐标为（﹣1，2）， 将点A（﹣1，2）、点B（1，0）代入y=kx+b，得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为：y=﹣x+1． 8、一次函数图象经过（﹣2，1）和（1，4）两点， （1）求这个一次函数的解析式； （2）当x=3时，求y的值． 【解析】（1）设一次函数的解析式为y=kx+b， ∵图象经过（﹣2，1）和（1，4）两点 ∴， 解得， 则一次函数的解析式为：y=x+3； （2）当x=3时y=3+3=6． 9．已知y=（k﹣1）xIkI+（k2﹣4）是一次函数． （1）求k的值； （2）求x=3时，y的值； （3）当y=0时，x的值． 【解析】（1）由题意可得：|k|=1，k﹣1≠0， 解得：k=﹣1； （2）当x=3时，y=﹣2x﹣3=﹣9； （3）当y=0时，0=﹣2x﹣3， 解得：x=． · 课后反击 1、以固定的速度v0（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度h（米）与小球的运动的时间t（秒）之间的关系式是h=v0t﹣4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为（ ） A．4.9是常量，t、h是变量 B．v0是常量，t、h是变量 C．v0、﹣4.9是常量，t、h是变量 D．4.9是常量，v0、t、h是变量 【解析】h=v0t﹣4.9t2中的v0（米/秒）是固定的速度，﹣4.9是定值，故v0和﹣4.9是常量，t、h是变量，故选C． 2、一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 【解答】解；由题意，甲走了1小时到了B地，在B地休息了半个小时，2小时正好走到C地，乙走了小时到了C地，在C地休息了小时．由此可知正确的图象是A．故选A． 3、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（ ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm C．弹簧不挂重物时的长度为0cm D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm 【解析】A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，故A正确； B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm，故B正确； C．弹簧不挂重物时的长度为10cm，故C错误； D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故D正确．故选：C． 4、 y=（m﹣1）x|m|+3m表示一次函数，则m等于（ ） A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1或﹣1 【解析】由题意得，|m|=1且m﹣1≠0，解得m=±1且m≠1，所以，m=﹣1．故选B． 5、若y=（m﹣1）是正比例函数，则m的值为（ ） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．或﹣ 【解析】根据正比例函数的定义，可得2﹣m2=1，m﹣1≠0，∴m=﹣1．故选B． 6、P（m+1，m2+2m+2）的纵坐标随横坐标变化而变化的函数解析式为 ． 【解析】因为m2+2m+2=m2+2m+1+1=（m+1）2+1，所以y=x2+1．故答案是：y=x2+1． 7、如图，已知一条直线经过点A（5，0）、B（1，4）． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，请问直线y=﹣x+4是否也经过点C？ 【解析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将点A（5，0）、B（1，4）代入y=kx+b中， 得：，解得：， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+5． （2）联立两直线解析式得：， 解得：， ∴点C（3，2）． ∵y=﹣×3+4=2， ∴直线y=﹣x+4也经过点C． 8、已知y﹣2与x+1成正比例函数关系，且x=﹣2时，y=6． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）求当x=﹣3时，y的值； （3）求当y=4时，x的值． 【解析】（1）依题意得：设y﹣2=k（x+1）．将x=﹣2，y=6代入：得k=﹣4所以，y=﹣4x﹣2． （2）由（1）知，y=﹣4x﹣2，∴当x=﹣3时，y=（﹣4）×（﹣3）﹣2=10，即y=10； （3）由（1）知，y=﹣4x﹣2，∴当y=4时，4=（﹣4）×x﹣2，解得，x=﹣． 9、已知y=（k﹣1）x|k|﹣k是一次函数． （1）求k的值； （2）若点（2，a）在这个一次函数的图象上，求a的值． 【解析】（1）∵y是一次函数，∴|k|=1，解得k=±1． 又∵k﹣1≠0，∴k≠1．∴k=﹣1． （2）将k=﹣1代入得一次函数的解析式为y=﹣2x+1．∵（2，a）在y=﹣2x+1图象上，∴a=﹣4+1=﹣3． ( 直击中考 ) 1、【广东】如图一次函数y=kx+b的图象经过点A和点B． （1）写出点A和点B的坐标并求出k、b的值； （2）求出当x=时的函数值． 【解析】（1）由图可得：A（﹣1，3），B（2，﹣3）， 将这两点代入一次函数y=kx+b得：，解得：，∴k=﹣2，b=1； （2）将x=代入y=﹣2x+1得：y=﹣2． 2、【抚州】与 x+1成正比例，与成正比例，，当x=2时，y=9；当x=3时，y=14；求y与x的函数解析式． 【解析】∵y1与x+1成正比例，∴y1=k1（x+1）， ∵y2与x﹣1成正比例，∴y2=k2（x﹣1）， ∵y=y1+y2，∴y=k1（x+1）+k2（x﹣1）， ∵当x=2时，y=9；当x=3时，y=14，∴，解得：， ∴y与x的函数解析式为：y=2（x+1）+3（x﹣1）=5x﹣1． S(Summary-Embedded)——归纳总结 ( 重点回顾 ) 一次函数：若两个变量间的对应关系可以表示成（为常数，）的形式，则称是的一次函数。 正比例函数：一次函数（为常数，）,当时，变为，这时把叫做的正比例函数。 ( 名师点拨 ) 1、掌握一次函数与正比例函数的定义； 2、会运用待定系数法求一次函数的解析式。 ( 学霸经验 ) · 本节课我学到 · 我需要努力的地方是 ( 11 ) 学科网（北京）股份有限公司 $