第三章 位置与坐标 题型精讲讲义-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版·八年级上册·第三章 位置与坐标·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第三章 位置与坐标 题型精讲讲义-2026-2027学年北师大版数学八年级上册 北师大版（2024年版）八年级数学上册　第三章　位置与坐标　1 确定位置　2 平面直角坐标系　3 轴对称与坐标变化 含 10 个考点例题　/　共 86 题（变式 39 · 易错 7 · 作业 30）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出在平面内确定一个物体的位置一般需要两个数据，会用“排与座”“方向角与距离”“经度与纬度”“两个观测点的两个角”描述位置，能说清“3排6座”与“6排3座”中同一个数的不同含义。 2．能说出平面直角坐标系、x轴（横轴）、y轴（纵轴）、原点、横坐标、纵坐标、有序实数对、象限的含义，会由点写坐标、由坐标描点，会用各象限内点的坐标符号与坐标轴上点的坐标特点求字母的值，会求点到坐标轴的距离与平行于坐标轴的线段的长。 3．能对长方形、等腰三角形、等边三角形、正方形建立适当的平面直角坐标系写出顶点坐标（必要时用勾股定理与二次根式），会用割补法求坐标系中图形的面积，会写出关于x轴、y轴对称的点的坐标并画出对称图形。 学习重难点 重点：点与有序实数对的对应；各象限及坐标轴上点的坐标特点；关于x轴、y轴对称的点的坐标规律；建立适当的平面直角坐标系。 难点：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值、到y轴的距离是横坐标的绝对值，两者容易颠倒；已知线段长找端点、到两轴距离相等求字母，往往有两种情况；坐标轴上的点不属于任何象限。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　确定位置的方法与两个数据 2 知识点 02　平面直角坐标系与点的坐标 3 知识点 03　象限与坐标轴上的点 3 知识点 04　与坐标轴平行的直线上的点、点到坐标轴的距离 4 知识点 05　建立适当的平面直角坐标系 5 知识点 06　轴对称与坐标变化 5 考点 1　用两个数据确定物体的位置 6 考点 2　由点写坐标与由坐标描点 7 考点 3　各象限内点的坐标符号 9 考点 4　坐标轴上的点与求字母的值 10 考点 5　点到坐标轴的距离 11 考点 6　与坐标轴平行的线段 11 考点 7　建立适当的平面直角坐标系写顶点坐标 12 考点 8　坐标系中图形的面积（割补法） 14 考点 9　坐标轴为对称轴时点的坐标 16 考点 10　画关于坐标轴对称的图形与坐标变化 17 易错专练 18 课后作业（一）基础巩固 19 课后作业（二）能力进阶 20 课后作业（三）拓展延伸 21 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　确定位置的方法与两个数据 本章从电影票上的“几排几座”说起，又用海上训练中红方潜艇观察蓝方战舰的情形说明：对一个观测点来说，只知道“北偏东40°方向”还找不到目标，必须再知道目标与观测点之间的距离。教材随后列出平面定位的几种方式：选一个参照点，用一个表示方向的角和一个距离；或者用目标相对参照点在东西、南北两个方向上的两个距离；或者选两个参照点同时观测，得到两个角，两条射线的交点就是目标的位置；此外还有经度与纬度、字母与数字组成的区域编号。教材把这些方法概括为一句话：在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。换成自己的话，两个数据缺一不可，而且它们的先后次序是有含义的，交换以后通常就指向另一个位置。即时小例：以码头为参照点，灯塔在北偏西25°方向、与码头相距6 km处，“北偏西25°”与“6 km”就是确定灯塔位置的两个数据。 平面内确定位置：一般需要两个数据 方向角＋距离：一个角度、一个距离 两个距离、两个角、经度与纬度、排与座 小提示：方向角先说“北”或“南”，再说偏东或偏西多少度；“3排6座”与“6排3座”是两个不同的座位，两个数据的次序不能随意交换。 知识点　02　平面直角坐标系与点的坐标 教材在北京部分景点的简图上画出方格、用(0，0)表示卢沟桥，接着给出定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为正方向；水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为原点。对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别称为点P的横坐标、纵坐标，有序实数对(a，b)称为点P的坐标。教材还指出：对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。用自己的话说，写坐标“先横后纵”，描点时先在x轴上找横坐标、在y轴上找纵坐标，再过这两个位置分别作坐标轴的垂线，交点就是所求的点。即时小例：点M在原点左侧2个单位长度、下方1个单位长度处，所以点M的坐标是(-2，-1)。 点P的坐标(a，b)：a是横坐标，b是纵坐标 写坐标先横后纵，中间用逗号隔开 平面内的点与有序实数对一一对应 小提示：(a，b)与(b，a)一般表示两个不同的点，只有a=b时才是同一个点；原点的坐标是(0，0)。 知识点　03　象限与坐标轴上的点 如教材所述，两条坐标轴将坐标平面分成四部分，右上方的部分称为第一象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不在任何一个象限内。借助教材“笑脸”图中各象限里的点，可以归纳出坐标的符号：第一象限的点横、纵坐标都为正；第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正；第三象限的点横、纵坐标都为负；第四象限的点横坐标为正、纵坐标为负。坐标轴上的点也有固定的特点：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，原点的两个坐标都是0。用自己的话说，判断象限只看两个坐标的正负，与数值的大小无关。即时小例：点(-7，0.5)横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限；点(0，-4)在y轴的负半轴上，不属于任何象限。 第一象限：横正纵正；第二象限：横负纵正 第三象限：横负纵负；第四象限：横正纵负 x轴上的点纵坐标为0；y轴上的点横坐标为0 小提示：象限从右上方开始按逆时针方向数；原点既在x轴上又在y轴上，同样不属于任何象限。 知识点　04　与坐标轴平行的直线上的点、点到坐标轴的距离 教材让学生描出几组点连成一个像“房子”的图形，然后观察：线段EC与x轴平行，点E和点C的纵坐标相同，线段EC上其他点的纵坐标也相同；点F和点G的横坐标相同，线段FG与y轴平行。复习题把它推广为：与x轴平行的直线上的点，纵坐标都相同；与y轴平行的直线上的点，横坐标都相同。再由坐标的定义可知，点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|。用自己的话说，平行于x轴的线段，长度等于两个端点横坐标之差的绝对值；平行于y轴的线段，长度等于两个端点纵坐标之差的绝对值。即时小例：点K(-6，2)与点L(1，2)的纵坐标相同，所以K L∥x轴，K L的长是7。 平行于x轴：纵坐标相同，线段长＝|横坐标之差| 平行于y轴：横坐标相同，线段长＝|纵坐标之差| P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a| 小提示：到x轴的距离看纵坐标，到y轴的距离看横坐标，两者别对调；距离不能是负数，要取绝对值。 知识点　05　建立适当的平面直角坐标系 教材例题先给出长方形的长与宽，以一个顶点为原点、两条邻边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；再对等边三角形，以一边所在直线为x轴、这条边的垂直平分线为y轴建系，用勾股定理求出顶点的纵坐标。教材还用“寻宝”游戏说明：已知两个标志点的坐标，就能反推出原点与坐标轴的位置。用自己的话说，建系时通常让尽量多的顶点落在坐标轴上，或者让图形的对称轴成为一条坐标轴，这样坐标最好写；建系的方法不同，同一个点的坐标也会不同。即时小例：边长为2的正方形放在第一象限，一个顶点在原点，两条邻边分别落在x轴、y轴的正半轴上，四个顶点的坐标依次是(0，0)，(2，0)，(2，2)，(0，2)。 建系三件事：原点、两条坐标轴及正方向、单位长度 常用建法：顶点作原点、边落在坐标轴上、对称轴作y轴 顶点不在格点上时，用勾股定理求坐标 小提示：写坐标之前先交代“以哪一点为原点、以哪条直线为x轴”，否则坐标不确定；落在负半轴上的点，坐标要带负号。 知识点　06　轴对称与坐标变化 教材在坐标系中放了两面小旗，让学生比较对应点的坐标；又把一条“小鱼”图案各个“顶点”的纵坐标保持不变、横坐标分别乘-1，得到与原图案关于y轴对称的新图案。由此得到：若两点以x轴为对称轴，则它们横坐标一样、两个纵坐标的和为0，反之亦然；若两点以y轴为对称轴，则它们纵坐标一样、两个横坐标的和为0，反之亦然。用自己的话说，关于哪条坐标轴对称，那条轴对应的坐标就不变。即时小例：点(5，-2)与点(5，2)关于x轴对称，与点(-5，-2)关于y轴对称。 关于x轴对称：(a，b)与(a，-b) 关于y轴对称：(a，b)与(-a，b) 横坐标乘-1：关于y轴对称；纵坐标乘-1：关于x轴对称 小提示：“关于x轴对称”时横坐标不变、纵坐标变号；“关于y轴对称”时纵坐标不变、横坐标变号。画对称图形要先写出各顶点的对称点，再依次连接。 【题型1】用两个数据确定物体的位置 在平面内确定一个物体的位置一般要两个数据。读题先认清参照点，再把“方向角与距离”“排与座”“经度与纬度”这两个数据按题目要求的次序写完整。 例1　如图，以救援船所在位置O为观测点，发现三个待救目标：漂流艇P在北偏东30°方向，与O相距12 km；橡皮筏Q在正西方向，与O相距8 km；浮标R在南偏东20°方向，与O相距12 km。(1) 哪两个目标与观测点O的距离相等？分别写出这两个目标相对于O的方向和距离；(2) 救援船先驶到漂流艇P处，原路返回O后再驶向橡皮筏Q，一共航行多少千米？ 【分析】对观测点O来说，每个目标的位置都由“一个方向角＋一个距离”这两个数据确定；比较距离只看第二个数据。 【解答】(1) 三个目标与O的距离分别是12 km，8 km，12 km，所以漂流艇P与浮标R到O的距离相等。 P在O的北偏东30°方向、距离12 km处；R在O的南偏东20°方向、距离12 km处。 (2) 从O到P再回到O，航行12+12=24（km）；再从O驶向Q，航行8 km。 一共航行24+8=32（km）。 【方法小结】描述位置时方向与距离要成对出现，只说“北偏东30°”或只说“12 km”都确定不了目标；方向角先写“北”或“南”，再写偏东或偏西的度数。 题型1　变式：排与座的次序、方向与距离缺一不可、经纬度与两个观测点 四道变式分别练：有序的两个数据交换次序后的含义、只给一个数据为什么不够、经度与纬度的读法，以及用两个观测点的方向确定目标后再求距离。 变式1　某剧场把“7排12座”记作(7，12)，按同样的规定，(12，7)表示的座位是（　　）。 A．7排12座 B．12排7座 C．12排12座 D．7排7座 变式2　要让新同学准确找到学校图书馆，四种说法里只有一种能确定图书馆的位置，这种说法是（　　）。 A．在教学楼的东北方向 B．与教学楼相距150 m C．在教学楼北偏东35°方向，与教学楼相距150 m D．在教学楼北偏东35°方向 变式3　甲科考船报告自己的位置在北纬18°、东经112°附近，乙科考船在北纬18°、东经115°附近。两艘船位置的两个数据中，相同的是____（填“经度”或“纬度”），另一个数据相差____°。 变式4　海岸线上有两个观测站A、B，B在A的正东方向40 km处。一艘渔船C在观测站A的北偏东45°方向，同时在观测站B的正北方向。求渔船C到观测站B的距离。 【题型2】由点写坐标与由坐标描点 写坐标“先横后纵”：从点向x轴作垂线读横坐标，向y轴作垂线读纵坐标；描点把这个过程倒过来。点落在坐标轴上时，另一个坐标是0。 例1　如图，平面直角坐标系中有一个“箭头”形的七边形ABCDEFG。(1) 写出它的七个顶点的坐标；(2) 求线段CE的长。 【分析】逐个顶点向两条坐标轴作垂线读数；点C与点E的横坐标都是1，线段CE与y轴平行，长度等于纵坐标之差的绝对值。 【解答】(1) A(-4，1)，B(1，1)，C(1，3)，D(4，0)，E(1，-3)，F(1，-1)，G(-4，-1)。 其中点D在x轴上，纵坐标是0。 (2) 点C(1，3)与点E(1，-3)的横坐标相同，CE∥y轴， CE=3-(-3)=6。 【方法小结】读坐标先横后纵、正负号跟着所在的半轴走；两个端点横坐标相同时，线段长就是纵坐标之差的绝对值。 题型2　变式：看图读坐标、描点连线求面积、由两个已知点定原点与有序实数对 四道变式分别练：从图中读出一个点的坐标、按坐标描点连线后算面积、在只画方格的地图上由两处已知坐标推出其他地点的坐标，以及有序实数对的次序。 变式1　如图，点Q的坐标是（　　）。 A．(1，-3) B．(-3，1) C．(3，-1) D．(-1，3) 变式2　把点A(-3，0)，B(0，4)，C(3，0)，D(0，-2)画在坐标系里，从A出发，经过B，C，D再回到A，连成一个四边形。(1) 这个图形以哪条坐标轴为对称轴？(2) 它的面积是多少？ 变式3　如图，方格纸中每个小方格的边长为1个单位长度。在这张植物园示意图上建立平面直角坐标系后，温室的坐标是(2，1)，荷花池的坐标是(-3，-1)，那么药草园的坐标是____，大门的坐标是____。 变式4　点A(m，n)与点B(n，m)表示同一个点，则m与n满足的关系是（　　）。 A．m=n B．m=-n C．m=0 D．n=0 【题型3】各象限内点的坐标符号 判断象限只看两个坐标的正负：先把含字母的坐标的符号确定下来，再对照“一正正、二负正、三负负、四正负”；坐标轴上的点不属于任何象限。 例1　已知点A(a，b)在第二象限。(1) 点B(-a，b)与点C(b，a)分别在第几象限？(2) 若|a|=3，|b|=5，写出点A的坐标。 【分析】第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，先得出a<0，b>0，再逐个判断新点两个坐标的符号。 【解答】(1) 点A(a，b)在第二象限，所以a<0，b>0。 点B(-a，b)：-a>0，b>0，横正纵正，在第一象限。 点C(b，a)：b>0，a<0，横正纵负，在第四象限。 (2) |a|=3且a<0，所以a=-3；|b|=5且b>0，所以b=5，点A的坐标是(-3，5)。 【方法小结】带字母的坐标先定符号：“-a”不一定是负数，a<0时-a>0；由绝对值求坐标时，象限决定取正还是取负。 题型3　变式：无理数坐标、字母坐标的符号、由乘积与和定象限 四道变式分别练：含无理数的坐标、由一个点的象限推出另一个点的象限、由两数的积与和确定符号，以及平方式恒为正的判断。 变式1　点，1.2)在第____象限；点(0，在____上。 变式2　若点P(m，-2)在第三象限，则点Q(-m，m-1)在第____象限。 变式3　若ab>0且a+b<0，则点(a，b)在第____象限；若ab<0且a>b，则点(a，b)在第____象限。 变式4　在平面直角坐标系中，无论x取什么实数，点+1，-3)一定在（　　）。 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型4】坐标轴上的点与求字母的值 x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。含字母的点落在坐标轴上，就令相应的坐标等于0，解一元一次方程求出字母，再代回写出点的坐标。 例1　点P(4-2m，m-3)的位置随m的取值而变化。(1) m取何值时，点P落在x轴上？这时点P的坐标是多少？(2) m取何值时，点P落在y轴上？写出这时点P的坐标。 【分析】落在x轴上，纵坐标为0；落在y轴上，横坐标为0。令相应的坐标等于0列一元一次方程，求出m后再代回算另一个坐标。 【解答】(1) 点P在x轴上，所以m-3=0，解得m=3。 此时4-2m=4-2×3=-2，点P的坐标是(-2，0)。 (2) 点P在y轴上，所以4-2m=0，解得m=2。 此时m-3=2-3=-1，点P的坐标是(0，-1)。 【方法小结】“在x轴上→纵坐标为0，在y轴上→横坐标为0”，求出字母后另一个坐标一定要代回算出来，答案要写成点的坐标。 题型4　变式：y轴上的点、x轴上的点、坐标轴上两点间的距离、到原点距离给定的点 四道变式分别练：由在y轴上求字母、由在x轴上选坐标、两条坐标轴上各一点构成的线段长（用到勾股定理），以及到原点距离给定时的两种位置。 变式1　点A(a+3，4-2a)在y轴上，则a=____，点A的坐标是____。 变式2　点B(3-k，k-5)在x轴上，则点B的坐标是（　　）。 A．(0，-2) B．(2，0) C．(-2，0) D．(8，0) 变式3　已知点D(a-1，2a+4)在x轴上，点E(b+2，b-3)在y轴上，O为原点。(1) 求点D，E的坐标；(2) 求线段DE的长。 变式4　点G在x轴的负半轴上，OG=（O为原点），则点G的坐标是____；点H在y轴上，OH=4，则点H的坐标是____。 【题型5】点到坐标轴的距离 点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|。由距离反求坐标时，先看象限定符号；象限没有给出时，要分情况写全。 例1　已知点P(3a-2，a+4)。(1) 若点P在第一象限，且到y轴的距离为4，求a的值；(2) 若点P到两条坐标轴的距离相等，求点P的坐标。 【分析】到y轴的距离是横坐标的绝对值；到两轴距离相等，就是横、纵坐标的绝对值相等，两个坐标可能相等，也可能互为相反数。 【解答】(1) 点P在第一象限，横坐标为正，到y轴的距离就是3a-2， 由3a-2=4，解得a=2。 (2) 由题意，|3a-2|=|a+4|。 若3a-2=a+4，解得a=3，此时P(7，7)； 若3a-2=-(a+4)，解得a=-0.5，此时3a-2=-3.5，a+4=3.5，P(-3.5，3.5)。 所以点P的坐标是(7，7)或(-3.5，3.5)。 【方法小结】|x|=|y|要拆成x=y与x=-y两种情况，各解一次；解出字母后回代，把点的坐标写完整。 题型5　变式：由距离与象限写坐标、到原点的距离、由绝对值与积定坐标、距离成倍数 四道变式分别练：已知象限与两个距离写坐标、含根号的点到坐标轴及原点的距离、没有给出象限时由符号条件写全坐标，以及“到x轴的距离是到y轴距离的2倍”。 变式1　点M与x轴相距3，与y轴相距5，且M的横坐标小于0、纵坐标大于0，则M的坐标为（　　）。 A．(-3，5) B．(5，-3) C．(-5，3) D．(3，-5) 变式2　点N(-6，到原点的距离是____；点N到x轴的距离与到y轴的距离之和是____。 变式3　若点A(a，b)满足|a|=2，|b|=7，且ab<0，则点A的坐标是____。 变式4　已知点B(m+1，2m-3)到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，求m的值及点B的坐标。 【题型6】与坐标轴平行的线段 平行于x轴的直线上各点纵坐标相同，平行于y轴的直线上各点横坐标相同；已知线段长求另一个端点时，这个端点可能在已知点的两侧。 例1　已知点A(-1，3)，线段AB∥x轴，且AB=5。(1) 求点B的坐标；(2) 若点C(2，-1)，求△ABC的面积。 【分析】AB∥x轴，点B与点A的纵坐标相同；点B可能在点A的右侧，也可能在左侧。△ABC以AB为底，高是点C到直线AB的距离。 【解答】(1) 点B的纵坐标是3。 点B在点A右侧时，横坐标是-1+5=4；在点A左侧时，横坐标是-1-5=-6。 所以点B的坐标是(4，3)或(-6，3)。 (2) 直线AB上各点纵坐标都是3，点C的纵坐标是-1，AB边上的高是3-(-1)=4。 两种情况下底AB都等于5，△ABC的面积都是5×4÷2=10。 【方法小结】与坐标轴平行的线段“一个坐标不变、另一个坐标加减长度”，加、减各得一个点；这类三角形的高就是坐标之差的绝对值。 题型6　变式：平行于y轴求点、平行于x轴求字母与线段长、直线上到x轴距离给定的点、两点间的距离 四道变式分别练：由平行于y轴列方程、由平行于x轴求字母后算线段长、在平行于y轴的直线上找点，以及同一条竖直线上两点间的距离。 变式1　已知点M(a-2，4)，N(3，2a+1)，且直线MN∥y轴，则点M的坐标是（　　）。 A．(3，4) B．(4，3) C．(3，11) D．(-3，4) 变式2　点P(2b+1，b-4)与点Q(-3，2)所在的直线平行于x轴，则b=____，线段PQ的长为____。 变式3　已知点E(-2，-1)，线段EF∥y轴，EF=6，且点F在点E的上方。(1) 求点F的坐标；(2) 点G在直线EF上，且到x轴的距离为2，求点G的坐标。 变式4　点A(-4，-3)与点B(-4，5)之间的距离是（　　）。 A．2 B．0 C．8 D．9 【题型7】建立适当的平面直角坐标系写顶点坐标 建系没有唯一答案，但要挑坐标最好写的建法：常让一个顶点或对称点作原点、让边落在坐标轴上、让对称轴作y轴；顶点不在格点上时，用勾股定理求坐标。 例1　如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8。以BC所在直线为x轴、线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，点A在x轴上方，求A，B，C三点的坐标。 【分析】BC的垂直平分线与BC交于BC的中点，这个中点就是原点O；AB=AC，点A在BC的垂直平分线上，即在y轴上。 【解答】设BC的垂直平分线与BC交于点O，则OB=OC=8÷2=4，所以B(-4，0)，C(4，0)。 因为AB=AC，所以点A在线段BC的垂直平分线上，也就是在y轴上，且AO⊥BC。 在直角三角形AOB中，AO==3。 点A在x轴上方，所以A(0，3)。 【方法小结】图形有对称轴时，让对称轴作y轴，左右对称的点横坐标互为相反数，只需算一半；高不在格线上时，用勾股定理求出它的长再写坐标。 题型7　变式：以对角线交点为原点、边长为6的等边三角形、对角线在坐标轴上的正方形、由对角线求顶点 四道变式分别练：长方形的另一种建系方法、等边三角形的顶点纵坐标、正方形的对角线落在坐标轴上，以及已知对角线长求长方形的顶点坐标。 变式1　长方形ABCD中，AB=9，BC=5，AB边水平放置在下方，点A在点B的左侧。取两条对角线的交点作坐标原点，让x轴与AB平行，求四个顶点的坐标。 变式2　等边三角形ABC的边长为6，以点B为原点、BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点C在x轴的正半轴上，点A在第一象限，则点C的坐标是____，点A的坐标是____。 变式3　正方形ABCD的边长为4，以它的两条对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，则点A的坐标是____，点C的坐标是____。 变式4　如图，把一块长方形木板OABC放在坐标系中，O与原点重合，A，C分别在x轴、y轴的正半轴上。量得OA=12，对角线OB=13，求B，C两点的坐标。 【题型8】坐标系中图形的面积（割补法） 三角形或四边形的边不平行于坐标轴时，先补成边平行于坐标轴的长方形，再减去周围的直角三角形或梯形；也可以沿平行于坐标轴的线段分割。所用线段长都由坐标之差的绝对值得到。 例1　如图，△ABC的顶点坐标分别为A(-2，1)，B(3，-2)，C(2，4)，求△ABC的面积。 【分析】△ABC的三条边都不平行于坐标轴，可以用一个边平行于坐标轴的长方形把它围住，再减去长方形内三个直角三角形的面积。 【解答】过A，B，C作平行于坐标轴的直线，围成长方形，横向长3-(-2)=5，纵向长4-(-2)=6，面积5×6=30。 长方形内△ABC外有三个直角三角形： A，C之间的直角边为4和3，面积4×3÷2=6；C，B之间的直角边为1和6，面积1×6÷2=3；A，B之间的直角边为5和3，面积5×3÷2=7.5。 △ABC的面积＝30-6-3-7.5=13.5。 【方法小结】“补成长方形再减”的关键是找准每个角上直角三角形的两条直角边，它们都是两个顶点横坐标之差或纵坐标之差的绝对值。 题型8　变式：梯形的面积、已知面积求点的坐标、补形求四边形面积、看图选面积 四道变式分别练：一组对边平行于x轴的四边形、已知三角形面积求y轴上的点、用长方形减去三块求四边形面积，以及在方格坐标系中算三角形面积。 变式1　四边形OABC的顶点坐标为O(0，0)，A(6，0)，B(5，4)，C(1，4)，则四边形OABC的面积是____。 变式2　已知点A(-3，0)，B(5，0)，点C在y轴上，△ABC的面积为12，求点C的坐标。 变式3　四边形ABCD的顶点坐标为A(-3，-1)，B(4，-1)，C(3，3)，D(-1，4)，求四边形ABCD的面积。 变式4　如图，△OPQ的顶点坐标为O(0，0)，P(4，1)，Q(1，3)，它的面积是（　　）。 A．8.5 B．6 C．5.5 D．12 【题型9】坐标轴为对称轴时点的坐标 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变为相反数。含字母时，按对应坐标相等或互为相反数列方程。 例1　点M(a-1，5)和点N(3，b+2)是一对以x轴为对称轴的对称点。(1) 求出a与b；(2) 再以y轴为对称轴作点M的对称点P，求P的坐标。 【分析】关于x轴对称的两点横坐标相同、纵坐标互为相反数，分别列方程。 【解答】(1) 横坐标相同：a-1=3，解得a=4； 纵坐标互为相反数：b+2=-5，解得b=-7。 (2) 由(1)得M(3，5)，以y轴为对称轴时纵坐标不变、横坐标变为相反数，所以P(-3，5)。 【方法小结】先判断关于哪条轴对称，“那条轴对应的坐标不变，另一个坐标变号”，再列方程。 题型9　变式：写对称点、由关于y轴对称求字母、两次对称、对称点间的距离 四道变式分别练：直接写关于y轴的对称点、由对称关系求两个字母、先关于x轴再关于y轴的两次对称，以及由两个对称点的距离求字母。 变式1　坐标系中有一面小旗，旗杆顶端在(-4，7)。画出这面小旗关于y轴的对称图形后，旗杆顶端对应的位置是（　　）。 A．(4，-7) B．(-4，-7) C．(7，-4) D．(4，7) 变式2　点P(2m+1，-6)与点Q(-5，n)关于y轴对称，则m=____，m+n=____。 变式3　点A(-3，2)关于x轴的对称点为B，点B关于y轴的对称点为C，则点C的坐标是____，线段AB的长是____。 变式4　点P(a，3)关于y轴的对称点为Q，且PQ=10，求a的值。 【题型10】画关于坐标轴对称的图形与坐标变化 画关于坐标轴的对称图形，先按“关于谁对称谁不变”写出各顶点的对称点坐标，再描点、依次连接。图形各点横坐标乘-1，得到关于y轴对称的图形；纵坐标乘-1，得到关于x轴对称的图形。 例1　如图，△ABC的三个顶点坐标为A(1，1)，B(4，2)，C(2，4)。(1) 画出△ABC关于y轴对称的△DEF（点A，B，C的对称点依次为D，E，F），写出点D，E，F的坐标；(2) 求△ABC的面积。 【分析】关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数；△ABC的边都不平行于坐标轴，面积用补成长方形的方法。 【解答】(1) D(-1，1)，E(-4，2)，F(-2，4)，描出这三个点，依次连接得△DEF。 (2) 用长方形围住△ABC：横向从1到4，纵向从1到4，都是3，面积3×3=9。 减去三个直角三角形：A，B之间3×1÷2=1.5，B，C之间2×2÷2=2，A，C之间1×3÷2=1.5。 △ABC的面积是9-1.5-2-1.5=4。 【方法小结】画对称图形只需对称“顶点”，再按原来的顺序连接；对称前后图形的形状、大小不变，所以△DEF的面积也是4。 题型10　变式：坐标乘-1后的位置关系、纵坐标乘-1写新点、先后两次对称的四边形 三道变式分别练：由坐标变化判断对称关系、按纵坐标乘-1写出新点，以及对同一个四边形先后作关于x轴、关于y轴的对称图形。 变式1　将某个图形各点的纵坐标保持不变，横坐标都乘-1，所得图形与原图形的位置关系是（　　）。 A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．完全重合 D．形状发生改变 变式2　把点(-2，3)，(0，5)，(4，-1)的纵坐标都乘-1、横坐标不变，得到的三个点依次是____，以新点为顶点的三角形与原三角形关于____对称。 变式3　如图，四边形ABCD的顶点为A(-5，1)，B(-1，2)，C(-2，4)，D(-4，4)。先作出它关于x轴对称的四边形EFGH（A，B，C，D的对称点依次为E，F，G，H），再作出四边形EFGH关于y轴对称的四边形KLMN（E，F，G，H的对称点依次为K，L，M，N）。(1) 写出点E，F，G，H的坐标；(2) 写出点K，L，M，N的坐标。 　易错专练 本章失分集中在七处：把坐标轴上的点归进象限、到坐标轴的距离看错坐标、绝对值相等只写一种情况、平行线段的端点只找一侧、对称点的坐标改错了坐标、由距离写坐标时横纵颠倒、在x轴上却令横坐标为0。每题先做，再对照答案里的错解示例与错因。 易错1　点P(0，-3)在平面直角坐标系中的什么位置？ 易错2　点A(-5，2)到x轴的距离是多少？ 易错3　已知点B(m，m-4)到两条坐标轴的距离相等，求点B的坐标。 易错4　已知点C(2，-1)，CD∥x轴，CD=3，求点D的坐标。 易错5　以x轴为对称轴，点(3，-4)的对称点落在哪里？写出它的坐标。 易错6　第二象限内的点E离x轴4个单位长度、离y轴1个单位长度，求点E的坐标。 易错7　点F(a+2，3a-6)在x轴上，求点F的坐标。 　课后作业（一）基础巩固 下面10题检测本章最基本的内容，每题只有一个选项符合题意，把字母填进括号里。考查次序是象限、到坐标轴的距离、坐标轴上的点、对称点、平行于坐标轴的直线、方向、字母的符号、面积与特殊位置的点。 1．四个点(-3，，(3，-2)，(-3，-2)，(0，2)中，位于第二象限的一个是（　　）。 A．(-3， B．(3，-2) C．(-3，-2) D．(0，2) 2．在坐标系中，点P(-6，8)与y轴相距（　　）。 A．8 B．-6 C．10 D．6 3．若点A(m-3，m+1)在y轴上，则m的值为（　　）。 A．-1 B．3 C．-3 D．1 4．下列各点中，与(2，-5)以x轴为对称轴成轴对称的是（　　）。 A．(2，5) B．(-2，-5) C．(-2，5) D．(5，2) 5．已知点A(-2，4)，B(-2，-3)，则直线AB（　　）。 A．平行于x轴 B．经过原点 C．平行于y轴 D．与x轴没有交点 6．小岛A在灯塔O的北偏东35°方向，那么灯塔O在小岛A的（　　）。 A．南偏西35°方向 B．北偏西35°方向 C．南偏东35°方向 D．北偏东55°方向 7．若点P(a，b)在第四象限，则点Q(b，-a)的位置是（　　）。 A．x轴下方、y轴左侧 B．x轴下方、y轴右侧 C．x轴上方、y轴左侧 D．x轴上方、y轴右侧 8．已知点A(0，4)，B(-3，0)，C(2，0)，则△ABC的面积为（　　）。 A．20 B．6 C．12 D．10 9．若点P(x，y)的坐标满足xy=0，则点P（　　）。 A．在原点 B．在x轴上 C．在y轴上 D．在坐标轴上 10．已知点A(1，2)，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，则点C的坐标为（　　）。 A．(0，2) B．(1，0) C．(2，0) D．(0，1) 　课后作业（二）能力进阶 第11～20题只要求写出结果。这一组把坐标轴上的点、由距离写坐标、对称点、有序实数对、面积、建系与平行于坐标轴的线段合在一起用。 11．点P(-3，a+1)在x轴上，则a=____。 12．点Q的横坐标、纵坐标都是负数，横坐标的绝对值是，并且点Q与x轴相距2，则点Q的坐标为____。 13．以y轴为对称轴，点M(4，-3)的对称点记为N，那么点N的坐标是____，MN=____。 14．x轴恰好是点(a，-2)与点(-3，b)所连线段的垂直平分线，则a+b=____。 15．在某礼堂的座位表中，(4，9)表示第4排第9座。小林坐在第7排第2座，与他同排、座号比他大1的同学的座位记作____。 16．已知A(-1，-2)，B(3，-2)，C(1，4)，则△ABC的面积为____。 17．长方形的两边长分别为3和5，以它的一个顶点为原点、两边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，使长方形在第二象限且长边在x轴上，则与原点相对的那个顶点的坐标是____。 18．点P(m+2，2m-1)在y轴上，则点P关于x轴的对称点的坐标是____。 19．已知点A(2，3)，点B在y轴上，且AB∥x轴，则点B的坐标是____，AB的长是____。 20．x轴上的点C到点A(-2，0)的距离为5，则点C的坐标是____。 　课后作业（三）拓展延伸 第21～30题要写出完整的计算或求解过程。这一组把坐标轴上的点、描点与面积、用勾股定理建系、对称求字母、方格地图、到两轴的距离、已知面积求点、图案的坐标变化、航行定位与改变原点合在一起用。 21．点P的坐标为(2a-4，a+1)。(1) 点P的横坐标为0时，它的位置和坐标分别是什么？(2) 当点P位于第三象限并且与x轴相距2时，P的坐标是多少？ 22．一个四边形的四个顶点依次是A(-4，-3)，B(1，-3)，C(3，2)，D(-2，2)。请在坐标系中画出四边形ABCD，然后回答：(1) 边AB与边CD有怎样的位置关系？(2) 算出这个四边形的面积。 23．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C，两腰AC=BC=6。取斜边AB的中点作原点，AB所在直线作x轴，使A落在x轴负半轴、C在x轴上方，求A，B，C的坐标。 24．点A(3a-2，4)和点B(-7，b+1)恰好以y轴为对称轴，O是坐标原点。(1) 分别求a和b；(2) 连接OA，OB，算出△AOB的面积。 25．如图是某城区的示意图，方格纸中每个小方格的边长代表100 m。把市政府所在位置看作原点，向东、向北分别作为x轴、y轴的正方向，一格（100 m）记作1，这时博物馆的坐标是(3，2)。(1) 写出火车站、医院、体育馆的坐标；(2) 从火车站出发沿格线先向东、再向北走到博物馆，一共走多少米？ 26．对于点M(3-m，2m+3)：(1) m取何值时，点M与两条坐标轴的距离一样？(2) 如果M在第二象限，离y轴1个单位长度，M的坐标是什么？ 27．已知点A(-2，1)，B(4，1)，C(1，c)，△ABC的面积为15，求c的值。 28．在平面直角坐标系中，用线段依次连接(0，0)，(2，3)，(4，0)，(3，-2)，(1，-2)，(0，0)，得到一个图案。(1) 把各点的纵坐标保持不变、横坐标都乘-1，写出所得各点的坐标，并写出新图案与原图案的位置关系；(2) 求原图案的面积。 29．一艘货轮从港口O出发，先向正东方向航行30海里到达A处，再向正北方向航行40海里到达B处。(1) 此时货轮与港口O相距多少海里？(2) 取港口O为坐标原点，x轴指向正东、y轴指向正北，每1海里记为1个单位长度，用坐标表示A，B两处的位置。 30．在一次寻宝游戏中，已知标志点A的坐标为(2，-1)，标志点B的坐标为(2，3)，藏宝点T的坐标为(5，1)。(1) 求线段AB的长；(2) 如果把原点改在点A处，坐标轴的方向和单位长度都不变，重新建立平面直角坐标系，写出点B与藏宝点T在新坐标系中的坐标。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版·八年级上册·第三章 位置与坐标·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第三章 位置与坐标 题型精讲讲义-2026-2027学年北师大版数学八年级上册 北师大版（2024年版）八年级数学上册　第三章　位置与坐标　1 确定位置　2 平面直角坐标系　3 轴对称与坐标变化 含 10 个考点例题　/　共 86 题（变式 39 · 易错 7 · 作业 30）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出在平面内确定一个物体的位置一般需要两个数据，会用“排与座”“方向角与距离”“经度与纬度”“两个观测点的两个角”描述位置，能说清“3排6座”与“6排3座”中同一个数的不同含义。 2．能说出平面直角坐标系、x轴（横轴）、y轴（纵轴）、原点、横坐标、纵坐标、有序实数对、象限的含义，会由点写坐标、由坐标描点，会用各象限内点的坐标符号与坐标轴上点的坐标特点求字母的值，会求点到坐标轴的距离与平行于坐标轴的线段的长。 3．能对长方形、等腰三角形、等边三角形、正方形建立适当的平面直角坐标系写出顶点坐标（必要时用勾股定理与二次根式），会用割补法求坐标系中图形的面积，会写出关于x轴、y轴对称的点的坐标并画出对称图形。 学习重难点 重点：点与有序实数对的对应；各象限及坐标轴上点的坐标特点；关于x轴、y轴对称的点的坐标规律；建立适当的平面直角坐标系。 难点：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值、到y轴的距离是横坐标的绝对值，两者容易颠倒；已知线段长找端点、到两轴距离相等求字母，往往有两种情况；坐标轴上的点不属于任何象限。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　确定位置的方法与两个数据 2 知识点 02　平面直角坐标系与点的坐标 3 知识点 03　象限与坐标轴上的点 4 知识点 04　与坐标轴平行的直线上的点、点到坐标轴的距离 4 知识点 05　建立适当的平面直角坐标系 5 知识点 06　轴对称与坐标变化 5 考点 1　用两个数据确定物体的位置 6 考点 2　由点写坐标与由坐标描点 7 考点 3　各象限内点的坐标符号 9 考点 4　坐标轴上的点与求字母的值 10 考点 5　点到坐标轴的距离 10 考点 6　与坐标轴平行的线段 11 考点 7　建立适当的平面直角坐标系写顶点坐标 12 考点 8　坐标系中图形的面积（割补法） 13 考点 9　坐标轴为对称轴时点的坐标 15 考点 10　画关于坐标轴对称的图形与坐标变化 16 易错专练 17 课后作业（一）基础巩固 18 课后作业（二）能力进阶 19 课后作业（三）拓展延伸 19 参考答案与解析 21 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　确定位置的方法与两个数据 本章从电影票上的“几排几座”说起，又用海上训练中红方潜艇观察蓝方战舰的情形说明：对一个观测点来说，只知道“北偏东40°方向”还找不到目标，必须再知道目标与观测点之间的距离。教材随后列出平面定位的几种方式：选一个参照点，用一个表示方向的角和一个距离；或者用目标相对参照点在东西、南北两个方向上的两个距离；或者选两个参照点同时观测，得到两个角，两条射线的交点就是目标的位置；此外还有经度与纬度、字母与数字组成的区域编号。教材把这些方法概括为一句话：在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。换成自己的话，两个数据缺一不可，而且它们的先后次序是有含义的，交换以后通常就指向另一个位置。即时小例：以码头为参照点，灯塔在北偏西25°方向、与码头相距6 km处，“北偏西25°”与“6 km”就是确定灯塔位置的两个数据。 平面内确定位置：一般需要两个数据 方向角＋距离：一个角度、一个距离 两个距离、两个角、经度与纬度、排与座 小提示：方向角先说“北”或“南”，再说偏东或偏西多少度；“3排6座”与“6排3座”是两个不同的座位，两个数据的次序不能随意交换。 知识点　02　平面直角坐标系与点的坐标 教材在北京部分景点的简图上画出方格、用(0，0)表示卢沟桥，接着给出定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为正方向；水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为原点。对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别称为点P的横坐标、纵坐标，有序实数对(a，b)称为点P的坐标。教材还指出：对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。用自己的话说，写坐标“先横后纵”，描点时先在x轴上找横坐标、在y轴上找纵坐标，再过这两个位置分别作坐标轴的垂线，交点就是所求的点。即时小例：点M在原点左侧2个单位长度、下方1个单位长度处，所以点M的坐标是(-2，-1)。 点P的坐标(a，b)：a是横坐标，b是纵坐标 写坐标先横后纵，中间用逗号隔开 平面内的点与有序实数对一一对应 小提示：(a，b)与(b，a)一般表示两个不同的点，只有a=b时才是同一个点；原点的坐标是(0，0)。 知识点　03　象限与坐标轴上的点 如教材所述，两条坐标轴将坐标平面分成四部分，右上方的部分称为第一象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不在任何一个象限内。借助教材“笑脸”图中各象限里的点，可以归纳出坐标的符号：第一象限的点横、纵坐标都为正；第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正；第三象限的点横、纵坐标都为负；第四象限的点横坐标为正、纵坐标为负。坐标轴上的点也有固定的特点：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，原点的两个坐标都是0。用自己的话说，判断象限只看两个坐标的正负，与数值的大小无关。即时小例：点(-7，0.5)横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限；点(0，-4)在y轴的负半轴上，不属于任何象限。 第一象限：横正纵正；第二象限：横负纵正 第三象限：横负纵负；第四象限：横正纵负 x轴上的点纵坐标为0；y轴上的点横坐标为0 小提示：象限从右上方开始按逆时针方向数；原点既在x轴上又在y轴上，同样不属于任何象限。 知识点　04　与坐标轴平行的直线上的点、点到坐标轴的距离 教材让学生描出几组点连成一个像“房子”的图形，然后观察：线段EC与x轴平行，点E和点C的纵坐标相同，线段EC上其他点的纵坐标也相同；点F和点G的横坐标相同，线段FG与y轴平行。复习题把它推广为：与x轴平行的直线上的点，纵坐标都相同；与y轴平行的直线上的点，横坐标都相同。再由坐标的定义可知，点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|。用自己的话说，平行于x轴的线段，长度等于两个端点横坐标之差的绝对值；平行于y轴的线段，长度等于两个端点纵坐标之差的绝对值。即时小例：点K(-6，2)与点L(1，2)的纵坐标相同，所以K L∥x轴，K L的长是7。 平行于x轴：纵坐标相同，线段长＝|横坐标之差| 平行于y轴：横坐标相同，线段长＝|纵坐标之差| P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a| 小提示：到x轴的距离看纵坐标，到y轴的距离看横坐标，两者别对调；距离不能是负数，要取绝对值。 知识点　05　建立适当的平面直角坐标系 教材例题先给出长方形的长与宽，以一个顶点为原点、两条邻边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；再对等边三角形，以一边所在直线为x轴、这条边的垂直平分线为y轴建系，用勾股定理求出顶点的纵坐标。教材还用“寻宝”游戏说明：已知两个标志点的坐标，就能反推出原点与坐标轴的位置。用自己的话说，建系时通常让尽量多的顶点落在坐标轴上，或者让图形的对称轴成为一条坐标轴，这样坐标最好写；建系的方法不同，同一个点的坐标也会不同。即时小例：边长为2的正方形放在第一象限，一个顶点在原点，两条邻边分别落在x轴、y轴的正半轴上，四个顶点的坐标依次是(0，0)，(2，0)，(2，2)，(0，2)。 建系三件事：原点、两条坐标轴及正方向、单位长度 常用建法：顶点作原点、边落在坐标轴上、对称轴作y轴 顶点不在格点上时，用勾股定理求坐标 小提示：写坐标之前先交代“以哪一点为原点、以哪条直线为x轴”，否则坐标不确定；落在负半轴上的点，坐标要带负号。 知识点　06　轴对称与坐标变化 教材在坐标系中放了两面小旗，让学生比较对应点的坐标；又把一条“小鱼”图案各个“顶点”的纵坐标保持不变、横坐标分别乘-1，得到与原图案关于y轴对称的新图案。由此得到：若两点以x轴为对称轴，则它们横坐标一样、两个纵坐标的和为0，反之亦然；若两点以y轴为对称轴，则它们纵坐标一样、两个横坐标的和为0，反之亦然。用自己的话说，关于哪条坐标轴对称，那条轴对应的坐标就不变。即时小例：点(5，-2)与点(5，2)关于x轴对称，与点(-5，-2)关于y轴对称。 关于x轴对称：(a，b)与(a，-b) 关于y轴对称：(a，b)与(-a，b) 横坐标乘-1：关于y轴对称；纵坐标乘-1：关于x轴对称 小提示：“关于x轴对称”时横坐标不变、纵坐标变号；“关于y轴对称”时纵坐标不变、横坐标变号。画对称图形要先写出各顶点的对称点，再依次连接。 【题型1】用两个数据确定物体的位置 在平面内确定一个物体的位置一般要两个数据。读题先认清参照点，再把“方向角与距离”“排与座”“经度与纬度”这两个数据按题目要求的次序写完整。 例1　如图，以救援船所在位置O为观测点，发现三个待救目标：漂流艇P在北偏东30°方向，与O相距12 km；橡皮筏Q在正西方向，与O相距8 km；浮标R在南偏东20°方向，与O相距12 km。(1) 哪两个目标与观测点O的距离相等？分别写出这两个目标相对于O的方向和距离；(2) 救援船先驶到漂流艇P处，原路返回O后再驶向橡皮筏Q，一共航行多少千米？ 【分析】对观测点O来说，每个目标的位置都由“一个方向角＋一个距离”这两个数据确定；比较距离只看第二个数据。 【解答】(1) 三个目标与O的距离分别是12 km，8 km，12 km，所以漂流艇P与浮标R到O的距离相等。 P在O的北偏东30°方向、距离12 km处；R在O的南偏东20°方向、距离12 km处。 (2) 从O到P再回到O，航行12+12=24（km）；再从O驶向Q，航行8 km。 一共航行24+8=32（km）。 【方法小结】描述位置时方向与距离要成对出现，只说“北偏东30°”或只说“12 km”都确定不了目标；方向角先写“北”或“南”，再写偏东或偏西的度数。 题型1　变式：排与座的次序、方向与距离缺一不可、经纬度与两个观测点 四道变式分别练：有序的两个数据交换次序后的含义、只给一个数据为什么不够、经度与纬度的读法，以及用两个观测点的方向确定目标后再求距离。 变式1　某剧场把“7排12座”记作(7，12)，按同样的规定，(12，7)表示的座位是（　　）。 A．7排12座 B．12排7座 C．12排12座 D．7排7座 变式2　要让新同学准确找到学校图书馆，四种说法里只有一种能确定图书馆的位置，这种说法是（　　）。 A．在教学楼的东北方向 B．与教学楼相距150 m C．在教学楼北偏东35°方向，与教学楼相距150 m D．在教学楼北偏东35°方向 变式3　甲科考船报告自己的位置在北纬18°、东经112°附近，乙科考船在北纬18°、东经115°附近。两艘船位置的两个数据中，相同的是____（填“经度”或“纬度”），另一个数据相差____°。 变式4　海岸线上有两个观测站A、B，B在A的正东方向40 km处。一艘渔船C在观测站A的北偏东45°方向，同时在观测站B的正北方向。求渔船C到观测站B的距离。 【题型2】由点写坐标与由坐标描点 写坐标“先横后纵”：从点向x轴作垂线读横坐标，向y轴作垂线读纵坐标；描点把这个过程倒过来。点落在坐标轴上时，另一个坐标是0。 例1　如图，平面直角坐标系中有一个“箭头”形的七边形ABCDEFG。(1) 写出它的七个顶点的坐标；(2) 求线段CE的长。 【分析】逐个顶点向两条坐标轴作垂线读数；点C与点E的横坐标都是1，线段CE与y轴平行，长度等于纵坐标之差的绝对值。 【解答】(1) A(-4，1)，B(1，1)，C(1，3)，D(4，0)，E(1，-3)，F(1，-1)，G(-4，-1)。 其中点D在x轴上，纵坐标是0。 (2) 点C(1，3)与点E(1，-3)的横坐标相同，CE∥y轴， CE=3-(-3)=6。 【方法小结】读坐标先横后纵、正负号跟着所在的半轴走；两个端点横坐标相同时，线段长就是纵坐标之差的绝对值。 题型2　变式：看图读坐标、描点连线求面积、由两个已知点定原点与有序实数对 四道变式分别练：从图中读出一个点的坐标、按坐标描点连线后算面积、在只画方格的地图上由两处已知坐标推出其他地点的坐标，以及有序实数对的次序。 变式1　如图，点Q的坐标是（　　）。 A．(1，-3) B．(-3，1) C．(3，-1) D．(-1，3) 变式2　把点A(-3，0)，B(0，4)，C(3，0)，D(0，-2)画在坐标系里，从A出发，经过B，C，D再回到A，连成一个四边形。(1) 这个图形以哪条坐标轴为对称轴？(2) 它的面积是多少？ 变式3　如图，方格纸中每个小方格的边长为1个单位长度。在这张植物园示意图上建立平面直角坐标系后，温室的坐标是(2，1)，荷花池的坐标是(-3，-1)，那么药草园的坐标是____，大门的坐标是____。 变式4　点A(m，n)与点B(n，m)表示同一个点，则m与n满足的关系是（　　）。 A．m=n B．m=-n C．m=0 D．n=0 【题型3】各象限内点的坐标符号 判断象限只看两个坐标的正负：先把含字母的坐标的符号确定下来，再对照“一正正、二负正、三负负、四正负”；坐标轴上的点不属于任何象限。 例1　已知点A(a，b)在第二象限。(1) 点B(-a，b)与点C(b，a)分别在第几象限？(2) 若|a|=3，|b|=5，写出点A的坐标。 【分析】第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，先得出a<0，b>0，再逐个判断新点两个坐标的符号。 【解答】(1) 点A(a，b)在第二象限，所以a<0，b>0。 点B(-a，b)：-a>0，b>0，横正纵正，在第一象限。 点C(b，a)：b>0，a<0，横正纵负，在第四象限。 (2) |a|=3且a<0，所以a=-3；|b|=5且b>0，所以b=5，点A的坐标是(-3，5)。 【方法小结】带字母的坐标先定符号：“-a”不一定是负数，a<0时-a>0；由绝对值求坐标时，象限决定取正还是取负。 题型3　变式：无理数坐标、字母坐标的符号、由乘积与和定象限 四道变式分别练：含无理数的坐标、由一个点的象限推出另一个点的象限、由两数的积与和确定符号，以及平方式恒为正的判断。 变式1　点，1.2)在第____象限；点(0，在____上。 变式2　若点P(m，-2)在第三象限，则点Q(-m，m-1)在第____象限。 变式3　若ab>0且a+b<0，则点(a，b)在第____象限；若ab<0且a>b，则点(a，b)在第____象限。 变式4　在平面直角坐标系中，无论x取什么实数，点+1，-3)一定在（　　）。 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型4】坐标轴上的点与求字母的值 x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。含字母的点落在坐标轴上，就令相应的坐标等于0，解一元一次方程求出字母，再代回写出点的坐标。 例1　点P(4-2m，m-3)的位置随m的取值而变化。(1) m取何值时，点P落在x轴上？这时点P的坐标是多少？(2) m取何值时，点P落在y轴上？写出这时点P的坐标。 【分析】落在x轴上，纵坐标为0；落在y轴上，横坐标为0。令相应的坐标等于0列一元一次方程，求出m后再代回算另一个坐标。 【解答】(1) 点P在x轴上，所以m-3=0，解得m=3。 此时4-2m=4-2×3=-2，点P的坐标是(-2，0)。 (2) 点P在y轴上，所以4-2m=0，解得m=2。 此时m-3=2-3=-1，点P的坐标是(0，-1)。 【方法小结】“在x轴上→纵坐标为0，在y轴上→横坐标为0”，求出字母后另一个坐标一定要代回算出来，答案要写成点的坐标。 题型4　变式：y轴上的点、x轴上的点、坐标轴上两点间的距离、到原点距离给定的点 四道变式分别练：由在y轴上求字母、由在x轴上选坐标、两条坐标轴上各一点构成的线段长（用到勾股定理），以及到原点距离给定时的两种位置。 变式1　点A(a+3，4-2a)在y轴上，则a=____，点A的坐标是____。 变式2　点B(3-k，k-5)在x轴上，则点B的坐标是（　　）。 A．(0，-2) B．(2，0) C．(-2，0) D．(8，0) 变式3　已知点D(a-1，2a+4)在x轴上，点E(b+2，b-3)在y轴上，O为原点。(1) 求点D，E的坐标；(2) 求线段DE的长。 变式4　点G在x轴的负半轴上，OG=（O为原点），则点G的坐标是____；点H在y轴上，OH=4，则点H的坐标是____。 【题型5】点到坐标轴的距离 点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|。由距离反求坐标时，先看象限定符号；象限没有给出时，要分情况写全。 例1　已知点P(3a-2，a+4)。(1) 若点P在第一象限，且到y轴的距离为4，求a的值；(2) 若点P到两条坐标轴的距离相等，求点P的坐标。 【分析】到y轴的距离是横坐标的绝对值；到两轴距离相等，就是横、纵坐标的绝对值相等，两个坐标可能相等，也可能互为相反数。 【解答】(1) 点P在第一象限，横坐标为正，到y轴的距离就是3a-2， 由3a-2=4，解得a=2。 (2) 由题意，|3a-2|=|a+4|。 若3a-2=a+4，解得a=3，此时P(7，7)； 若3a-2=-(a+4)，解得a=-0.5，此时3a-2=-3.5，a+4=3.5，P(-3.5，3.5)。 所以点P的坐标是(7，7)或(-3.5，3.5)。 【方法小结】|x|=|y|要拆成x=y与x=-y两种情况，各解一次；解出字母后回代，把点的坐标写完整。 题型5　变式：由距离与象限写坐标、到原点的距离、由绝对值与积定坐标、距离成倍数 四道变式分别练：已知象限与两个距离写坐标、含根号的点到坐标轴及原点的距离、没有给出象限时由符号条件写全坐标，以及“到x轴的距离是到y轴距离的2倍”。 变式1　点M与x轴相距3，与y轴相距5，且M的横坐标小于0、纵坐标大于0，则M的坐标为（　　）。 A．(-3，5) B．(5，-3) C．(-5，3) D．(3，-5) 变式2　点N(-6，到原点的距离是____；点N到x轴的距离与到y轴的距离之和是____。 变式3　若点A(a，b)满足|a|=2，|b|=7，且ab<0，则点A的坐标是____。 变式4　已知点B(m+1，2m-3)到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，求m的值及点B的坐标。 【题型6】与坐标轴平行的线段 平行于x轴的直线上各点纵坐标相同，平行于y轴的直线上各点横坐标相同；已知线段长求另一个端点时，这个端点可能在已知点的两侧。 例1　已知点A(-1，3)，线段AB∥x轴，且AB=5。(1) 求点B的坐标；(2) 若点C(2，-1)，求△ABC的面积。 【分析】AB∥x轴，点B与点A的纵坐标相同；点B可能在点A的右侧，也可能在左侧。△ABC以AB为底，高是点C到直线AB的距离。 【解答】(1) 点B的纵坐标是3。 点B在点A右侧时，横坐标是-1+5=4；在点A左侧时，横坐标是-1-5=-6。 所以点B的坐标是(4，3)或(-6，3)。 (2) 直线AB上各点纵坐标都是3，点C的纵坐标是-1，AB边上的高是3-(-1)=4。 两种情况下底AB都等于5，△ABC的面积都是5×4÷2=10。 【方法小结】与坐标轴平行的线段“一个坐标不变、另一个坐标加减长度”，加、减各得一个点；这类三角形的高就是坐标之差的绝对值。 题型6　变式：平行于y轴求点、平行于x轴求字母与线段长、直线上到x轴距离给定的点、两点间的距离 四道变式分别练：由平行于y轴列方程、由平行于x轴求字母后算线段长、在平行于y轴的直线上找点，以及同一条竖直线上两点间的距离。 变式1　已知点M(a-2，4)，N(3，2a+1)，且直线MN∥y轴，则点M的坐标是（　　）。 A．(3，4) B．(4，3) C．(3，11) D．(-3，4) 变式2　点P(2b+1，b-4)与点Q(-3，2)所在的直线平行于x轴，则b=____，线段PQ的长为____。 变式3　已知点E(-2，-1)，线段EF∥y轴，EF=6，且点F在点E的上方。(1) 求点F的坐标；(2) 点G在直线EF上，且到x轴的距离为2，求点G的坐标。 变式4　点A(-4，-3)与点B(-4，5)之间的距离是（　　）。 A．2 B．0 C．8 D．9 【题型7】建立适当的平面直角坐标系写顶点坐标 建系没有唯一答案，但要挑坐标最好写的建法：常让一个顶点或对称点作原点、让边落在坐标轴上、让对称轴作y轴；顶点不在格点上时，用勾股定理求坐标。 例1　如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8。以BC所在直线为x轴、线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，点A在x轴上方，求A，B，C三点的坐标。 【分析】BC的垂直平分线与BC交于BC的中点，这个中点就是原点O；AB=AC，点A在BC的垂直平分线上，即在y轴上。 【解答】设BC的垂直平分线与BC交于点O，则OB=OC=8÷2=4，所以B(-4，0)，C(4，0)。 因为AB=AC，所以点A在线段BC的垂直平分线上，也就是在y轴上，且AO⊥BC。 在直角三角形AOB中，AO==3。 点A在x轴上方，所以A(0，3)。 【方法小结】图形有对称轴时，让对称轴作y轴，左右对称的点横坐标互为相反数，只需算一半；高不在格线上时，用勾股定理求出它的长再写坐标。 题型7　变式：以对角线交点为原点、边长为6的等边三角形、对角线在坐标轴上的正方形、由对角线求顶点 四道变式分别练：长方形的另一种建系方法、等边三角形的顶点纵坐标、正方形的对角线落在坐标轴上，以及已知对角线长求长方形的顶点坐标。 变式1　长方形ABCD中，AB=9，BC=5，AB边水平放置在下方，点A在点B的左侧。取两条对角线的交点作坐标原点，让x轴与AB平行，求四个顶点的坐标。 变式2　等边三角形ABC的边长为6，以点B为原点、BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点C在x轴的正半轴上，点A在第一象限，则点C的坐标是____，点A的坐标是____。 变式3　正方形ABCD的边长为4，以它的两条对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，则点A的坐标是____，点C的坐标是____。 变式4　如图，把一块长方形木板OABC放在坐标系中，O与原点重合，A，C分别在x轴、y轴的正半轴上。量得OA=12，对角线OB=13，求B，C两点的坐标。 【题型8】坐标系中图形的面积（割补法） 三角形或四边形的边不平行于坐标轴时，先补成边平行于坐标轴的长方形，再减去周围的直角三角形或梯形；也可以沿平行于坐标轴的线段分割。所用线段长都由坐标之差的绝对值得到。 例1　如图，△ABC的顶点坐标分别为A(-2，1)，B(3，-2)，C(2，4)，求△ABC的面积。 【分析】△ABC的三条边都不平行于坐标轴，可以用一个边平行于坐标轴的长方形把它围住，再减去长方形内三个直角三角形的面积。 【解答】过A，B，C作平行于坐标轴的直线，围成长方形，横向长3-(-2)=5，纵向长4-(-2)=6，面积5×6=30。 长方形内△ABC外有三个直角三角形： A，C之间的直角边为4和3，面积4×3÷2=6；C，B之间的直角边为1和6，面积1×6÷2=3；A，B之间的直角边为5和3，面积5×3÷2=7.5。 △ABC的面积＝30-6-3-7.5=13.5。 【方法小结】“补成长方形再减”的关键是找准每个角上直角三角形的两条直角边，它们都是两个顶点横坐标之差或纵坐标之差的绝对值。 题型8　变式：梯形的面积、已知面积求点的坐标、补形求四边形面积、看图选面积 四道变式分别练：一组对边平行于x轴的四边形、已知三角形面积求y轴上的点、用长方形减去三块求四边形面积，以及在方格坐标系中算三角形面积。 变式1　四边形OABC的顶点坐标为O(0，0)，A(6，0)，B(5，4)，C(1，4)，则四边形OABC的面积是____。 变式2　已知点A(-3，0)，B(5，0)，点C在y轴上，△ABC的面积为12，求点C的坐标。 变式3　四边形ABCD的顶点坐标为A(-3，-1)，B(4，-1)，C(3，3)，D(-1，4)，求四边形ABCD的面积。 变式4　如图，△OPQ的顶点坐标为O(0，0)，P(4，1)，Q(1，3)，它的面积是（　　）。 A．8.5 B．6 C．5.5 D．12 【题型9】坐标轴为对称轴时点的坐标 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变为相反数。含字母时，按对应坐标相等或互为相反数列方程。 例1　点M(a-1，5)和点N(3，b+2)是一对以x轴为对称轴的对称点。(1) 求出a与b；(2) 再以y轴为对称轴作点M的对称点P，求P的坐标。 【分析】关于x轴对称的两点横坐标相同、纵坐标互为相反数，分别列方程。 【解答】(1) 横坐标相同：a-1=3，解得a=4； 纵坐标互为相反数：b+2=-5，解得b=-7。 (2) 由(1)得M(3，5)，以y轴为对称轴时纵坐标不变、横坐标变为相反数，所以P(-3，5)。 【方法小结】先判断关于哪条轴对称，“那条轴对应的坐标不变，另一个坐标变号”，再列方程。 题型9　变式：写对称点、由关于y轴对称求字母、两次对称、对称点间的距离 四道变式分别练：直接写关于y轴的对称点、由对称关系求两个字母、先关于x轴再关于y轴的两次对称，以及由两个对称点的距离求字母。 变式1　坐标系中有一面小旗，旗杆顶端在(-4，7)。画出这面小旗关于y轴的对称图形后，旗杆顶端对应的位置是（　　）。 A．(4，-7) B．(-4，-7) C．(7，-4) D．(4，7) 变式2　点P(2m+1，-6)与点Q(-5，n)关于y轴对称，则m=____，m+n=____。 变式3　点A(-3，2)关于x轴的对称点为B，点B关于y轴的对称点为C，则点C的坐标是____，线段AB的长是____。 变式4　点P(a，3)关于y轴的对称点为Q，且PQ=10，求a的值。 【题型10】画关于坐标轴对称的图形与坐标变化 画关于坐标轴的对称图形，先按“关于谁对称谁不变”写出各顶点的对称点坐标，再描点、依次连接。图形各点横坐标乘-1，得到关于y轴对称的图形；纵坐标乘-1，得到关于x轴对称的图形。 例1　如图，△ABC的三个顶点坐标为A(1，1)，B(4，2)，C(2，4)。(1) 画出△ABC关于y轴对称的△DEF（点A，B，C的对称点依次为D，E，F），写出点D，E，F的坐标；(2) 求△ABC的面积。 【分析】关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数；△ABC的边都不平行于坐标轴，面积用补成长方形的方法。 【解答】(1) D(-1，1)，E(-4，2)，F(-2，4)，描出这三个点，依次连接得△DEF。 (2) 用长方形围住△ABC：横向从1到4，纵向从1到4，都是3，面积3×3=9。 减去三个直角三角形：A，B之间3×1÷2=1.5，B，C之间2×2÷2=2，A，C之间1×3÷2=1.5。 △ABC的面积是9-1.5-2-1.5=4。 【方法小结】画对称图形只需对称“顶点”，再按原来的顺序连接；对称前后图形的形状、大小不变，所以△DEF的面积也是4。 题型10　变式：坐标乘-1后的位置关系、纵坐标乘-1写新点、先后两次对称的四边形 三道变式分别练：由坐标变化判断对称关系、按纵坐标乘-1写出新点，以及对同一个四边形先后作关于x轴、关于y轴的对称图形。 变式1　将某个图形各点的纵坐标保持不变，横坐标都乘-1，所得图形与原图形的位置关系是（　　）。 A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．完全重合 D．形状发生改变 变式2　把点(-2，3)，(0，5)，(4，-1)的纵坐标都乘-1、横坐标不变，得到的三个点依次是____，以新点为顶点的三角形与原三角形关于____对称。 变式3　如图，四边形ABCD的顶点为A(-5，1)，B(-1，2)，C(-2，4)，D(-4，4)。先作出它关于x轴对称的四边形EFGH（A，B，C，D的对称点依次为E，F，G，H），再作出四边形EFGH关于y轴对称的四边形KLMN（E，F，G，H的对称点依次为K，L，M，N）。(1) 写出点E，F，G，H的坐标；(2) 写出点K，L，M，N的坐标。 　易错专练 本章失分集中在七处：把坐标轴上的点归进象限、到坐标轴的距离看错坐标、绝对值相等只写一种情况、平行线段的端点只找一侧、对称点的坐标改错了坐标、由距离写坐标时横纵颠倒、在x轴上却令横坐标为0。每题先做，再对照答案里的错解示例与错因。 易错1　点P(0，-3)在平面直角坐标系中的什么位置？ 易错2　点A(-5，2)到x轴的距离是多少？ 易错3　已知点B(m，m-4)到两条坐标轴的距离相等，求点B的坐标。 易错4　已知点C(2，-1)，CD∥x轴，CD=3，求点D的坐标。 易错5　以x轴为对称轴，点(3，-4)的对称点落在哪里？写出它的坐标。 易错6　第二象限内的点E离x轴4个单位长度、离y轴1个单位长度，求点E的坐标。 易错7　点F(a+2，3a-6)在x轴上，求点F的坐标。 　课后作业（一）基础巩固 下面10题检测本章最基本的内容，每题只有一个选项符合题意，把字母填进括号里。考查次序是象限、到坐标轴的距离、坐标轴上的点、对称点、平行于坐标轴的直线、方向、字母的符号、面积与特殊位置的点。 1．四个点(-3，，(3，-2)，(-3，-2)，(0，2)中，位于第二象限的一个是（　　）。 A．(-3， B．(3，-2) C．(-3，-2) D．(0，2) 2．在坐标系中，点P(-6，8)与y轴相距（　　）。 A．8 B．-6 C．10 D．6 3．若点A(m-3，m+1)在y轴上，则m的值为（　　）。 A．-1 B．3 C．-3 D．1 4．下列各点中，与(2，-5)以x轴为对称轴成轴对称的是（　　）。 A．(2，5) B．(-2，-5) C．(-2，5) D．(5，2) 5．已知点A(-2，4)，B(-2，-3)，则直线AB（　　）。 A．平行于x轴 B．经过原点 C．平行于y轴 D．与x轴没有交点 6．小岛A在灯塔O的北偏东35°方向，那么灯塔O在小岛A的（　　）。 A．南偏西35°方向 B．北偏西35°方向 C．南偏东35°方向 D．北偏东55°方向 7．若点P(a，b)在第四象限，则点Q(b，-a)的位置是（　　）。 A．x轴下方、y轴左侧 B．x轴下方、y轴右侧 C．x轴上方、y轴左侧 D．x轴上方、y轴右侧 8．已知点A(0，4)，B(-3，0)，C(2，0)，则△ABC的面积为（　　）。 A．20 B．6 C．12 D．10 9．若点P(x，y)的坐标满足xy=0，则点P（　　）。 A．在原点 B．在x轴上 C．在y轴上 D．在坐标轴上 10．已知点A(1，2)，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，则点C的坐标为（　　）。 A．(0，2) B．(1，0) C．(2，0) D．(0，1) 　课后作业（二）能力进阶 第11～20题只要求写出结果。这一组把坐标轴上的点、由距离写坐标、对称点、有序实数对、面积、建系与平行于坐标轴的线段合在一起用。 11．点P(-3，a+1)在x轴上，则a=____。 12．点Q的横坐标、纵坐标都是负数，横坐标的绝对值是，并且点Q与x轴相距2，则点Q的坐标为____。 13．以y轴为对称轴，点M(4，-3)的对称点记为N，那么点N的坐标是____，MN=____。 14．x轴恰好是点(a，-2)与点(-3，b)所连线段的垂直平分线，则a+b=____。 15．在某礼堂的座位表中，(4，9)表示第4排第9座。小林坐在第7排第2座，与他同排、座号比他大1的同学的座位记作____。 16．已知A(-1，-2)，B(3，-2)，C(1，4)，则△ABC的面积为____。 17．长方形的两边长分别为3和5，以它的一个顶点为原点、两边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，使长方形在第二象限且长边在x轴上，则与原点相对的那个顶点的坐标是____。 18．点P(m+2，2m-1)在y轴上，则点P关于x轴的对称点的坐标是____。 19．已知点A(2，3)，点B在y轴上，且AB∥x轴，则点B的坐标是____，AB的长是____。 20．x轴上的点C到点A(-2，0)的距离为5，则点C的坐标是____。 　课后作业（三）拓展延伸 第21～30题要写出完整的计算或求解过程。这一组把坐标轴上的点、描点与面积、用勾股定理建系、对称求字母、方格地图、到两轴的距离、已知面积求点、图案的坐标变化、航行定位与改变原点合在一起用。 21．点P的坐标为(2a-4，a+1)。(1) 点P的横坐标为0时，它的位置和坐标分别是什么？(2) 当点P位于第三象限并且与x轴相距2时，P的坐标是多少？ 22．一个四边形的四个顶点依次是A(-4，-3)，B(1，-3)，C(3，2)，D(-2，2)。请在坐标系中画出四边形ABCD，然后回答：(1) 边AB与边CD有怎样的位置关系？(2) 算出这个四边形的面积。 23．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C，两腰AC=BC=6。取斜边AB的中点作原点，AB所在直线作x轴，使A落在x轴负半轴、C在x轴上方，求A，B，C的坐标。 24．点A(3a-2，4)和点B(-7，b+1)恰好以y轴为对称轴，O是坐标原点。(1) 分别求a和b；(2) 连接OA，OB，算出△AOB的面积。 25．如图是某城区的示意图，方格纸中每个小方格的边长代表100 m。把市政府所在位置看作原点，向东、向北分别作为x轴、y轴的正方向，一格（100 m）记作1，这时博物馆的坐标是(3，2)。(1) 写出火车站、医院、体育馆的坐标；(2) 从火车站出发沿格线先向东、再向北走到博物馆，一共走多少米？ 26．对于点M(3-m，2m+3)：(1) m取何值时，点M与两条坐标轴的距离一样？(2) 如果M在第二象限，离y轴1个单位长度，M的坐标是什么？ 27．已知点A(-2，1)，B(4，1)，C(1，c)，△ABC的面积为15，求c的值。 28．在平面直角坐标系中，用线段依次连接(0，0)，(2，3)，(4，0)，(3，-2)，(1，-2)，(0，0)，得到一个图案。(1) 把各点的纵坐标保持不变、横坐标都乘-1，写出所得各点的坐标，并写出新图案与原图案的位置关系；(2) 求原图案的面积。 29．一艘货轮从港口O出发，先向正东方向航行30海里到达A处，再向正北方向航行40海里到达B处。(1) 此时货轮与港口O相距多少海里？(2) 取港口O为坐标原点，x轴指向正东、y轴指向正北，每1海里记为1个单位长度，用坐标表示A，B两处的位置。 30．在一次寻宝游戏中，已知标志点A的坐标为(2，-1)，标志点B的坐标为(2，3)，藏宝点T的坐标为(5，1)。(1) 求线段AB的长；(2) 如果把原点改在点A处，坐标轴的方向和单位长度都不变，重新建立平面直角坐标系，写出点B与藏宝点T在新坐标系中的坐标。 　参考答案与解析 　题型1　变式：排与座的次序、方向与距离缺一不可、经纬度与两个观测点 变式1　【答案】B 【解析】按规定，前一个数表示排号，后一个数表示座号，(12，7)表示12排7座，选B。 A是把两个数的次序看反了。 变式2　【答案】C 【解析】以教学楼为参照点，确定图书馆的位置需要一个方向角和一个距离两个数据。 A、D只有方向，B只有距离，都确定不了位置；C方向与距离都有，选C。 变式3　【答案】纬度；3 【解析】用经度与纬度确定地球表面上的位置，每艘船都用“北纬多少度、东经多少度”两个数据。 两艘船都在北纬18°附近，纬度相同；经度一个是东经112°，一个是东经115°，相差115-112=3（°）。 变式4　【答案】40 km 【解析】C在B的正北方向，而B在A的正东方向，所以∠ABC=90°。 C在A的北偏东45°方向，所以∠CAB=90°-45°=45°，于是∠ACB=180°-90°-45°=45°。 △ABC中∠CAB=∠ACB，所以BC=AB=40 km。 答：渔船C到观测站B的距离是40 km。 　题型2　变式：看图读坐标、描点连线求面积、由两个已知点定原点与有序实数对 变式1　【答案】B 【解析】从点Q向x轴作垂线，垂足对应-3；向y轴作垂线，垂足对应1，所以Q(-3，1)，选B。 A是把横、纵坐标写反了；C是两个坐标的符号都弄反了；D是既写反次序又弄错符号。 变式2　【答案】(1) y轴；(2) 18 【解析】(1) 四个点都在坐标轴上：A，C在x轴上，B，D在y轴上。A(-3，0)与C(3，0)纵坐标相同、横坐标互为相反数，关于y轴对称，B，D在y轴上，所以四边形ABCD关于y轴对称。 (2) AC=3-(-3)=6，把四边形沿AC分成△ABC与△ACD。 △ABC的高是OB=4，面积是6×4÷2=12；△ACD的高是OD=2，面积是6×2÷2=6。 四边形ABCD的面积是12+6=18。 变式3　【答案】(-2，3)；(0，-3) 【解析】温室在荷花池右侧5格、上方2格，两处坐标之差恰好是2-(-3)=5，1-(-1)=2，说明每格就是1个单位长度，而且x轴向右、y轴向上。 从温室(2，1)向左2格、向下1格就是原点，原点在方格图中大门正上方3格处。 药草园在原点左侧2格、上方3格，坐标是(-2，3)；大门在原点正下方3格，坐标是(0，-3)。 变式4　【答案】A 【解析】表示同一个点，横坐标、纵坐标分别相等，所以m=n，选A。 B只保证两数互为相反数，这时(m，n)与(n，m)一般是两个不同的点。 　题型3　变式：无理数坐标、字母坐标的符号、由乘积与和定象限 变式1　【答案】二；y轴（负半轴） 【解析】<0，1.2>0，横负纵正，在第二象限。 点(0，横坐标为0，在y轴上，而且纵坐标为负，在y轴的负半轴上，不属于任何象限。 变式2　【答案】四 【解析】点P在第三象限，横坐标m<0。 于是-m>0，m-1<0，点Q横正纵负，在第四象限。 变式3　【答案】三；四 【解析】ab>0说明a，b同号，再由a+b<0得a，b都是负数，点(a，b)在第三象限。 ab<0说明a，b异号，又a>b，所以a>0，b<0，点(a，b)在第四象限。 变式4　【答案】D 【解析】≥0，所以+1≥1>0，横坐标一定是正数；纵坐标-3是负数。 横正纵负，点一定在第四象限，选D。 　题型4　变式：y轴上的点、x轴上的点、坐标轴上两点间的距离、到原点距离给定的点 变式1　【答案】-3；(0，10) 【解析】点A在y轴上，横坐标为0：a+3=0，解得a=-3。 纵坐标4-2a=4-2×(-3)=10，点A的坐标是(0，10)。 变式2　【答案】C 【解析】点B在x轴上，纵坐标为0：k-5=0，解得k=5。 横坐标3-k=3-5=-2，点B的坐标是(-2，0)，选C。 B是把3-k算成k-3得到的；D是把3-k算成3+k得到的。 变式3　【答案】(1) D(-3，0)，E(0，-5)；(2) 【解析】(1) 点D在x轴上：2a+4=0，解得a=-2，横坐标a-1=-3，所以D(-3，0)。 点E在y轴上：b+2=0，解得b=-2，纵坐标b-3=-5，所以E(0，-5)。 (2) OD=3，OE=5，∠DOE=90°，由勾股定理，DE==。 变式4　【答案】，0)；(0，4)或(0，-4) 【解析】点G在x轴的负半轴上，纵坐标为0，横坐标为负，所以，0)。 点H在y轴上，横坐标为0，但没说在正半轴还是负半轴，所以H(0，4)或H(0，-4)。 　题型5　变式：由距离与象限写坐标、到原点的距离、由绝对值与积定坐标、距离成倍数 变式1　【答案】C 【解析】与x轴相距3，说明纵坐标的绝对值是3；与y轴相距5，说明横坐标的绝对值是5。 横坐标小于0、纵坐标大于0，所以M(-5，3)，选C。 A是把两个距离对应的坐标弄反了。 变式2　【答案】；6+ 【解析】点N到y轴的距离是|-6|=6，到x轴的距离是，由勾股定理，到原点的距离是==。 两个距离之和是6+。 变式3　【答案】(2，-7)或(-2，7) 【解析】由|a|=2得a=±2，由|b|=7得b=±7。 ab<0说明a，b异号，所以a=2，b=-7或a=-2，b=7，点A的坐标是(2，-7)或(-2，7)。 变式4　【答案】m=0.25，B(1.25，-2.5) 【解析】由题意，|2m-3|=2|m+1|。 若2m-3=2(m+1)，整理得-3=2，不成立，这种情况舍去。 若2m-3=-2(m+1)，即4m=1，解得m=0.25。 此时m+1=1.25，2m-3=-2.5，点B的坐标是(1.25，-2.5)。 检验：到x轴的距离2.5恰是到y轴距离1.25的2倍。 　题型6　变式：平行于y轴求点、平行于x轴求字母与线段长、直线上到x轴距离给定的点、两点间的距离 变式1　【答案】A 【解析】MN∥y轴，两点横坐标相同：a-2=3，解得a=5。 点M的坐标是(3，4)，选A。C是点N的坐标。 变式2　【答案】6；16 【解析】直线PQ∥x轴，两点纵坐标相同：b-4=2，解得b=6。 此时P(13，2)，PQ=13-(-3)=16。 变式3　【答案】(1) F(-2，5)；(2) G(-2，2)或G(-2，-2) 【解析】(1) EF∥y轴，点F的横坐标也是-2；点F在点E上方6个单位长度处，纵坐标是-1+6=5，所以F(-2，5)。 (2) 点G在直线EF上，横坐标是-2；到x轴的距离为2，纵坐标是2或-2。 所以点G的坐标是(-2，2)或(-2，-2)。 变式4　【答案】C 【解析】两点横坐标相同，AB∥y轴，AB=5-(-3)=8，选C。 A是把两个纵坐标直接相加得到的；B是用横坐标相减得到的；D是把点A横坐标的绝对值与点B的纵坐标相加得到的。 　题型7　变式：以对角线交点为原点、边长为6的等边三角形、对角线在坐标轴上的正方形、由对角线求顶点 变式1　【答案】A(-4.5，-2.5)，B(4.5，-2.5)，C(4.5，2.5)，D(-4.5，2.5) 【解析】长方形的两条对角线互相平分，交点到左右两边的距离都是9÷2=4.5，到上下两边的距离都是5÷2=2.5。 AB在下方且A在左侧，所以A(-4.5，-2.5)，B(4.5，-2.5)，C(4.5，2.5)，D(-4.5，2.5)。 这样建系，四个顶点关于两条坐标轴对称，坐标只差正负号。 变式2　【答案】(6，0)；(3， 【解析】BC=6，点C在x轴正半轴上，所以C(6，0)。 过点A作AH⊥BC于H，等边三角形中H是BC的中点，BH=3。 由勾股定理，AH===，所以A(3，。 变式3　【答案】，0)；，0) 【解析】正方形的对角线AC==，两条对角线互相平分，OA=OC=。 点A在x轴正半轴上，，0)；点C在x轴的负半轴上，OC=，所以，0)。 变式4　【答案】B(12，5)，C(0，5) 【解析】在直角三角形OAB中，∠OAB=90°，AB==5。 长方形中OC=AB=5，点C在y轴正半轴上，所以C(0，5)；点B在A的正上方5个单位长度处，所以B(12，5)。 　题型8　变式：梯形的面积、已知面积求点的坐标、补形求四边形面积、看图选面积 变式1　【答案】20 【解析】OA在x轴上，长6；B，C纵坐标都是4，BC∥x轴，BC=5-1=4，所以四边形OABC是梯形，高是4。 面积是(6+4)×4÷2=20。 变式2　【答案】C(0，3)或C(0，-3) 【解析】AB=5-(-3)=8。设点C到x轴的距离为h，则8h÷2=12，解得h=3。 点C在y轴上，可能在x轴上方，也可能在下方，所以C(0，3)或C(0，-3)。 变式3　【答案】25 【解析】用长方形把四边形围住：横向从-3到4，长7；纵向从-1到4，长5；面积7×5=35。 AB在长方形的下边上。长方形内四边形外有三块：左上方以AD为斜边的直角三角形，直角边为2和5，面积2×5÷2=5； 上方以DC为斜边的直角三角形，直角边为4和1，面积4×1÷2=2；右侧的直角梯形，上下底为1和5、高为1，面积(1+5)×1÷2=3。 四边形ABCD的面积是35-5-2-3=25。 变式4　【答案】C 【解析】补成长方形：横向长4，纵向长3，面积12。 减去三个直角三角形：4×1÷2=2，1×3÷2=1.5，3×2÷2=3，面积是12-2-1.5-3=5.5，选C。 A是只减了前两个直角三角形；B是把长方形面积直接除以2；D是没有减去三个直角三角形。 　题型9　变式：写对称点、由关于y轴对称求字母、两次对称、对称点间的距离 变式1　【答案】D 【解析】关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，旗杆顶端对应的位置是(4，7)，选D。 B是关于x轴的对称位置。 变式2　【答案】2；-4 【解析】关于y轴对称，横坐标互为相反数：2m+1=5，解得m=2。 纵坐标相同：n=-6，所以m+n=2+(-6)=-4。 变式3　【答案】(3，-2)；4 【解析】点A关于x轴的对称点B(-3，-2)，点B关于y轴的对称点C(3，-2)。 A，B横坐标相同，AB=2-(-2)=4。 变式4　【答案】a=5或a=-5 【解析】点Q的坐标是(-a，3)，P，Q纵坐标相同，PQ∥x轴，PQ=|a-(-a)|=|2a|。 由|2a|=10，得2a=10或2a=-10，解得a=5或a=-5。 　题型10　变式：坐标乘-1后的位置关系、纵坐标乘-1写新点、先后两次对称的四边形 变式1　【答案】B 【解析】横坐标乘-1即变为相反数，纵坐标不变，对应点关于y轴对称，所以两个图形关于y轴对称，选B。 变式2　【答案】(-2，-3)，(0，-5)，(4，1)；x轴 【解析】纵坐标乘-1即变为相反数：(-2，-3)，(0，-5)，(4，1)。 横坐标相同、纵坐标互为相反数的两点关于x轴对称，所以两个三角形关于x轴对称。 变式3　【答案】(1) E(-5，-1)，F(-1，-2)，G(-2，-4)，H(-4，-4)；(2) K(5，-1)，L(1，-2)，M(2，-4)，N(4，-4) 【解析】(1) 关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变为相反数：E(-5，-1)，F(-1，-2)，G(-2，-4)，H(-4，-4)。 (2) 再关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变为相反数：K(5，-1)，L(1，-2)，M(2，-4)，N(4，-4)。 对照原顶点可以看出，两次对称后横、纵坐标都变成了原来的相反数。 　易错专练 易错1　【答案】在y轴的负半轴上，不属于任何象限 【解析】错解示例：纵坐标是负数，点P在第四象限。 错因：横坐标是0的点在y轴上，坐标轴上的点不在任何一个象限内。 正解：点P(0，-3)的横坐标为0，在y轴上；纵坐标为负，在y轴的负半轴上，不属于任何象限。 提醒：先看有没有坐标为0，再谈象限。 易错2　【答案】2 【解析】错解示例：点A到x轴的距离是|-5|=5。 错因：到x轴的距离要看纵坐标，不是横坐标。 正解：点A到x轴的距离是|2|=2（到y轴的距离才是5）。 提醒：“到x轴看y，到y轴看x”。 易错3　【答案】B(2，-2) 【解析】错解示例：由m=m-4，得0=-4，不成立，所以这样的点不存在。 错因：到两轴距离相等是|m|=|m-4|，两个坐标还可能互为相反数，漏了一种情况。 正解：|m|=|m-4|。若m=m-4，不成立；若m=-(m-4)，解得m=2，此时m-4=-2，所以B(2，-2)。 提醒：|x|=|y|要同时考虑x=y与x=-y。 易错4　【答案】D(5，-1)或D(-1，-1) 【解析】错解示例：点D的横坐标是2+3=5，所以D(5，-1)。 错因：点D可能在点C的右侧，也可能在左侧，只找了一侧。 正解：点D的纵坐标是-1，横坐标是2+3=5或2-3=-1，所以D(5，-1)或D(-1，-1)。 提醒：已知长度找端点，“加”“减”各一次。 易错5　【答案】(3，4) 【解析】错解示例：关于x轴对称，横坐标变号，得(-3，-4)。 错因：关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变号，错解把两条规律弄反了，(-3，-4)是关于y轴的对称点。 正解：点(3，-4)关于x轴的对称点是(3，4)。 提醒：关于哪条轴对称，那条轴对应的坐标不变。 易错6　【答案】E(-1，4) 【解析】错解示例：E(-4，1)。 错因：离x轴的远近决定纵坐标，离y轴的远近决定横坐标，错解把两个数的位置写反了。 正解：纵坐标的绝对值是4，横坐标的绝对值是1；第二象限横负纵正，所以E(-1，4)。 提醒：写坐标前先把“横＝?、纵＝?”分别写出来再合并。 易错7　【答案】F(4，0) 【解析】错解示例：由a+2=0，得a=-2，所以F(0，-12)。 错因：在x轴上的点纵坐标为0，错解令横坐标为0，求出的是y轴上的点。 正解：由3a-6=0，解得a=2，横坐标a+2=4，所以F(4，0)。 提醒：“在x轴上→纵坐标为0”，求出的点纵坐标必须是0，可用来自查。 　课后作业（一）基础巩固 1．【答案】A 【解析】第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，只有(-3，符合，选A。 B在第四象限，C在第三象限，D在y轴上。 2．【答案】D 【解析】到y轴的距离是横坐标的绝对值：|-6|=6，选D。 A是到x轴的距离；B没有取绝对值；C是点P到原点的距离=10。 3．【答案】B 【解析】点A在y轴上，横坐标为0：m-3=0，解得m=3，选B。 A是令纵坐标为0得到的；C是解m-3=0时移项没有变号得到的。 4．【答案】A 【解析】以x轴为对称轴，横坐标不变，纵坐标变为相反数，得(2，5)，选A。 B是以y轴为对称轴的对称点。 5．【答案】C 【解析】两点横坐标都是-2，直线AB上各点横坐标相同，直线AB平行于y轴，选C。 A是把“横坐标相同”误当成平行于x轴；直线AB与x轴交于点(-2，0)，所以D不对。 6．【答案】A 【解析】从O看A是北偏东35°，反过来从A看O，方向相反，南北互换、东西互换，度数不变，是南偏西35°，选A。 7．【答案】A 【解析】点P在第四象限，a>0，b<0，所以-a<0。 点Q的横坐标b<0，在y轴左侧；纵坐标-a<0，在x轴下方，选A。 8．【答案】D 【解析】BC=2-(-3)=5，点A到x轴的距离是4，面积是5×4÷2=10，选D。 A是忘了除以2；B只算了△ABO的面积；C是把OB与OA的积当成面积。 9．【答案】D 【解析】xy=0说明x=0或y=0：x=0时点在y轴上，y=0时点在x轴上，所以点P在坐标轴上，选D。 A、B、C都只是其中一部分情况。 10．【答案】B 【解析】垂足C在x轴上，纵坐标为0；AC⊥x轴，C与A的横坐标相同，是1，所以C(1，0)，选B。 A是过点A向y轴作垂线的垂足。 　课后作业（二）能力进阶 11．【答案】-1 【解析】x轴上的点纵坐标为0：a+1=0，解得a=-1。 12．【答案】，-2) 【解析】横、纵坐标都是负数，横坐标的绝对值是，所以横坐标是。 与x轴相距2是纵坐标的绝对值，纵坐标为负，是-2，所以，-2)。 13．【答案】(-4，-3)；8 【解析】关于y轴对称，N(-4，-3)。 M，N纵坐标相同，MN=4-(-4)=8。 14．【答案】-1 【解析】x轴垂直平分这条线段，说明两点关于x轴对称：横坐标相同，a=-3；纵坐标互为相反数，b=2。 a+b=-3+2=-1。 15．【答案】(7，3) 【解析】前一个数表示排号，后一个数表示座号。 同排是第7排，座号是2+1=3，记作(7，3)。 16．【答案】12 【解析】A，B纵坐标相同，AB=3-(-1)=4；点C到直线AB的距离是4-(-2)=6。 面积是4×6÷2=12。 17．【答案】(-5，3) 【解析】长方形在第二象限，长边5在x轴的负半轴上，短边3在y轴的正半轴上。 与原点相对的顶点横坐标是-5，纵坐标是3，坐标是(-5，3)。 18．【答案】(0，5) 【解析】点P在y轴上：m+2=0，解得m=-2，纵坐标2m-1=-5，P(0，-5)。 关于x轴的对称点是(0，5)。 19．【答案】(0，3)；2 【解析】点B在y轴上，横坐标为0；AB∥x轴，纵坐标与A相同，是3，所以B(0，3)。 AB=2-0=2。 20．【答案】(3，0)或(-7，0) 【解析】点C在x轴上，与点A在同一条直线上，横坐标是-2+5=3或-2-5=-7。 所以C(3，0)或C(-7，0)。 　课后作业（三）拓展延伸 21．【答案】(1) 点P在y轴上，P(0，3)；(2) P(-10，-2) 【解析】(1) 横坐标2a-4=0，解得a=2，此时点P在y轴上，纵坐标a+1=3，P(0，3)。 (2) 点P在第三象限，纵坐标为负；与x轴相距2，所以a+1=-2，解得a=-3。 横坐标2a-4=2×(-3)-4=-10，P(-10，-2)，确实在第三象限。 22．【答案】(1) AB∥CD；(2) 25 【解析】(1) A，B纵坐标都是-3，AB∥x轴；C，D纵坐标都是2，CD∥x轴，所以AB∥CD。 (2) 用边平行于坐标轴的长方形把四边形围住：横向从-4到3，长3-(-4)=7；纵向从-3到2，长2-(-3)=5；长方形面积7×5=35。 长方形内、四边形外有两个直角三角形：左上方以AD为斜边，直角边为-2-(-4)=2和5，面积2×5÷2=5；右下方以BC为斜边，直角边为3-1=2和5，面积2×5÷2=5。四边形ABCD的面积是35-5-5=25。 23．【答案】，0)，，0)，C(0， 【解析】由勾股定理，AB==，原点O是AB的中点，OA=OB=÷2=，所以，0)，，0)。 AC=BC，点C在AB的垂直平分线上，也就是在y轴上。 在直角三角形AOC中，OC===，点C在x轴上方，所以C(0，。 24．【答案】(1) a=3，b=3；(2) 28 【解析】(1) 关于y轴对称，横坐标互为相反数：3a-2=7，解得a=3；纵坐标相同：b+1=4，解得b=3。 (2) A(7，4)，B(-7，4)，AB∥x轴，AB=7-(-7)=14，点O到AB的距离是4。 △AOB的面积是14×4÷2=28。 25．【答案】(1) 火车站(-4，-1)，医院(-2，3)，体育馆(4，-2)；(2) 1000 m 【解析】(1) 市政府是原点。火车站在市政府西侧4格、南侧1格，坐标(-4，-1)；医院在西侧2格、北侧3格，坐标(-2，3)；体育馆在东侧4格、南侧2格，坐标(4，-2)。 (2) 从火车站到博物馆，向东走3-(-4)=7格，向北走2-(-1)=3格，共10格。 一共走10×100=1000（m）。 26．【答案】(1) m=0或m=-6；(2) M(-1，11) 【解析】(1) |3-m|=|2m+3|。若3-m=2m+3，解得m=0，此时M(3，3)；若3-m=-(2m+3)，解得m=-6，此时M(9，-9)。所以m=0或m=-6。 (2) 点M在第二象限，横坐标为负；离y轴1个单位长度，所以3-m=-1，解得m=4。 纵坐标2m+3=11，M(-1，11)，确实在第二象限。 27．【答案】c=6或c=-4 【解析】A，B纵坐标相同，AB∥x轴，AB=4-(-2)=6。 设点C到直线AB的距离为h，则6h÷2=15，解得h=5。 点C的纵坐标比1大5或小5，所以c=1+5=6或c=1-5=-4。 28．【答案】(1) (0，0)，(-2，3)，(-4，0)，(-3，-2)，(-1，-2)，(0，0)，新图案与原图案关于y轴对称；(2) 12 【解析】(1) 横坐标乘-1：(0，0)，(-2，3)，(-4，0)，(-3，-2)，(-1，-2)，(0，0)。纵坐标不变、横坐标互为相反数，新图案与原图案关于y轴对称。 (2) 原图案由x轴分成两部分：上方是底为4、高为3的三角形，面积4×3÷2=6； 下方是上底为3-1=2、下底为4、高为2的梯形，面积(4+2)×2÷2=6。原图案的面积是6+6=12。 29．【答案】(1) 50海里；(2) A(30，0)，B(30，40) 【解析】(1) 向正东再向正北，∠OAB=90°，由勾股定理，OB==50（海里）。 (2) A在原点正东30个单位长度处，A(30，0)；B在A正北40个单位长度处，B(30，40)。 30．【答案】(1) 4；(2) B(0，4)，T(3，2) 【解析】(1) A，B横坐标相同，AB∥y轴，AB=3-(-1)=4。 (2) 新坐标系的原点是点A，只要数出各点相对于点A向右（左）、向上（下）各有几个单位长度。 点B在点A正上方，3-(-1)=4，新坐标(0，4)；藏宝点T在点A右侧5-2=3个单位长度、上方1-(-1)=2个单位长度处，新坐标(3，2)。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $