专题07函数与认识一次函数精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学函数与一次函数核心知识，系统梳理变量常量识别、函数概念理解、三种表示方法掌握、自变量取值范围确定，以及一次函数与正比例函数定义及从属关系，构建从基础概念到实际应用的完整学习支架。 资料通过重点辨析易混点、归纳常见误区培养学生推理意识，设计分层题型结合实际情境题（如蓄水池放水、蜡烛燃烧）提升模型意识与应用意识。清晰的解题思路辅助教师授课，课后学生可自主复习查漏补缺，强化知识掌握。

专题07函数与认识一次函数精讲学案 核心立意： 识别变化过程中的常量、变量；理解函数概念，区分函数与函数值；掌握函数三种表示形式及各自特点；掌握自变量取值范围确定方法；掌握一次函数、正比例函数定义，分清二者从属关系；能结合实际情境列函数关系式。 变量、常量与函数的基本概念 ❶在变化过程中，数值发生变化的量叫做变量；数值始终保持不变的量叫做常量。 ❷在一个变化过程中有两个变量x、y，给定一个x的值，就有唯一确定的y值与之对应，则称y是x的函数；其中x是自变量，y是因变量。 ❸函数判定核心：一个自变量x只能对应唯一的y；允许同一个y对应多个不同x。 ❹重要区分：函数指两个变量的对应关系，不是一个数；函数值是自变量取确定值时，计算得到的具体y的数值。 函数的三种表示方法 ❶列表法：用表格呈现自变量与函数值；优点：读取对应数值直观；缺点：只能展示部分对应值。 ❷图象法：平面直角坐标系中的图像表示函数；优点：直观反映数量变化趋势；缺点：读取数值存在近似误差。 ❸解析式（关系式）法：代数等式表达x与y对应关系；优点：可计算任意自变量对应的函数值；缺点：部分函数无法写出解析式。 ❹三种表示方法可以互相转化，同一个函数可采用多种形式表达。 自变量的取值范围 ❶代数层面：整式，自变量取全体实数；分式，分母不能为0；解析式含有二次根式时，被开方数大于或等于0。 ❷实际情境层面：自变量取值必须符合现实意义，如数量大于0、取非负整数等。 一次函数与正比例函数定义 ❶一次函数：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0），y叫做x的一次函数，要求x的次数为1。 ❷正比例函数：当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。 ❸从属关系：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 一次、正比例函数识别判断条件 ❶解析式必须是关于x的一次整式。 ❷k≠0是必备条件；若k=0，式子变为y=b，属于常数函数，不是一次函数。 ❸正比例函数必须同时满足两个条件：k≠0，b=0。 ❹式子中出现x2、，x次数不为1，不属于一次函数。 实际情境列函数关系式 ❶分清题干当中的自变量与因变量； ❷挖掘等量关系，列出对应的函数解析式； ❸同步标注自变量对应的实际取值范围。 重点辨析 ❶判断是否为函数，只看x对应的y是否唯一，不限制一个y可以对应多少个x。 ❷k≠0是一次函数、正比例函数不可缺少的条件，b可以取任意常数。 ❸正比例函数属于一次函数的特例，不能表述为“一次函数就是正比例函数”。 ❹函数是变量间对应关系，函数值是计算得出的具体数字，二者不能混淆。 1.判断函数，忽略“一个x对应唯一y”的核心判定条件 2.混淆函数和函数值两个概念 3.识别一次函数，遗忘k≠0这个限制条件 4.误将k=0得到的常数函数y=b判定为一次函数 5.判断正比例函数，遗漏b=0的条件 6.列实际函数关系式，漏掉自变量的取值范围 7.x次数不为1，错误判定为一次函数 题型 考察方向 难度 题型一 函数的概念 ★ 题型二 求自变量的取值范围 ★ 题型三 求自变量的值或函数值 ★ 题型四 函数的三种表示方法 ★★ 题型五 函数解析式 ★★ 题型六 函数图象识别 ★★ 题型七 从函数的图象获取信息 ★★ 题型八 动点问题的函数图象 ★★★ 题型九 正比例函数的定义 ★ 题型十 识别一次函数 ★ 题型十一 根据一次函数的定义求参数 ★★ 题型十二 求一次函数自变量或函数值 ★ 题型十三 列一次函数解析式并求值 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：函数的概念 解题思路：①识别题目中有两个变量：自变量x，因变量y；②判断依据：给定一个x的值，只能对应唯一的一个y值；③允许多个不同x对应同一个y；只要出现一个x对应2个及以上y，就不是函数；④常见考法：图像判断题、表格判断题、关系式判断题。 1．下列各式，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．设表示关于的函数，若，且，那么______． 3．如图，是体检时的心电图，其中横坐标表示时间，纵坐标表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，___（填“是”或“不是” 的函数． 题型二：求自变量的取值范围 解题思路：①解析式求范围：整式：x取全体实数；分式：分母≠0；二次根式：被开方数≥0；分式+根式混合，两个条件同时满足，取公共解集；②实际应用题：除解析式限制，还要贴合实际，例如人数不能为负数、物体长度大于0；③结果写成不等式形式。 4．函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．函数的定义域是________． 6．已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 题型三：求自变量的值或函数值 解题思路：①知x求函数值：把已知x直接代入解析式，计算得到y，y就是函数值；②知函数值y求自变量x：把y数值代入解析式，解方程算出x；③检验：算出来的x必须属于自变量允许取值，不在范围的解直接舍去。 7．变量与的关系式为，当时，的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．下列函数中，图象经过点的是（     ） A． B． C． D． 9．自变量与函数的关系如图所示，当时，_________． 10．定义：对任意的，都有．例如：当时，，即；当时，，即．当时，则，解得，即．下列选项中错误的是（     ） A． B．当时，则 C． D．当时，则 题型四：函数的三种表示方法 解题思路：①三种表示：解析式法、列表法、图象法；②列表法：看表格，同一行就是一组(x,y)对应值；③图象法：图像上每一个点(x,y)代表一组对应值；④解析式法：代数计算；⑤题型常考：表格转解析式、解析式补表格、根据解析式画简易图像。 11．一蓄水池中有水30，打开底部排水阀门开始放水后，水池剩余的水量与放水时间有如下关系： 放水时间/分 1 2 3 4 剩余水量（） 28 26 24 22 下列说法错误的是（　　） A．水池剩余水量是自变量，放水的时间是因变量 B．每分钟放水2 C．放水8分钟后，水池剩余水量为14 D．放水15分钟，水池里的水可全部放完 12．如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是______． 13．下列不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 题型五：函数解析式 解题思路：①读题，确定谁是自变量x，谁是因变量y；②找出题目文字中的等量关系；③把等量关系转化等式，整理成y=含x代数式；④实际问题，后面补充写出自变量取值范围。 14．某人一年内的月平均收入为元，设他在这一年（12个月）的总收入为元，则下列表示与的函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 15．一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧剩下的长度与燃烧的时间 （小时）之间的函数解析式是_________，自变量 的取值范围 __________． 16．观察下列两个数的积：，，，，．设这两个数的积为，第一个数个位上的数为（的整数），则与的关系式为______． 17．如图，在中，，且，，点是线段上一个动点，由向以移动，运动至点停止，则的面积随点的运动时间之间的关系式为（   ）    A． B． C． D． 题型六：函数图象识别 解题思路：①先看清横轴、纵轴分别代表哪个实际量；②图像上升：纵坐标随横坐标增大而变大；图像下降：纵坐标随横坐标增大而变小；图像水平线段：纵坐标数值保持不变；③抓关键点：起点、转折点、终点；④对照题干情景，排除和情景矛盾选项。 18．下列图象中，不是的函数的是（     ） A． B． C．D． 19．如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    20．甘德尔山隧道是内蒙古自治区最长的高速铁路隧道，全长．如图，一辆列车匀速通过隧道（隧道长大于列车长）时，从车头进入隧道开始计时，到车尾驶出隧道计时结束，在这个过程中，列车在隧道内的长度y（单位：）与时间x（单位：h）之间的关系用图象描述大致是（     ） A． B． C．D． 题型七：从函数的图象获取信息 解题思路：①看懂横、纵坐标代表的实际含义；②已知x找y：在横轴找到该x，向上作垂线交图像，再水平到纵轴读出y；③已知y找x：纵轴找到y，水平交图像，向下到横轴读出x；④可读取：变化趋势、交点坐标、最大最小值。 21．如图是一条河流某一天的水位随时间的变化情况，根据图象可知，该河流这一天的最高水位为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 22．小英和小康兄妹俩从家到学校上学的路线为一条直道，小英比小康早1分钟出发，小英的速度是240米/分钟，小康的速度是小英速度的2倍，在整个行驶过程中，他们离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间的关系图像如图所示，若小英比小康晚2分钟到达学校，则小英整个行程所用的时间为________分钟． 23．如图1，点是线段上的定点，点，是线段上的动点．已知点，同时分别从点，出发相向匀速运动，当点到达点后，继续保持原速向点运动．而点到达点后立即掉头，并保持原速也向点运动，经过一段时间后，，两点同时到达点．设，两点的运动时间为，两点之间的距离为，与之间的关系如图2所示，有如下结论：①线段的长度为；②点的速度为．③运动时间时，，两点同时到达点；④在运动过程中，，两点相距时，运动时间为或或，以上结论正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型八：动点问题的函数图象 解题思路：①看清动点运动路径、运动方向，找到运动发生变化的时间点/位置点（拐点）；②分段处理：把整个运动分成几段；③每一段分析：动点移动时，纵坐标代表的量是变大、变小，还是不变；④判断每一段图像是上升、下降还是水平；⑤对比拐点位置，匹配选项图像。 24．如图，学校的环形跑道是由两个直道和两个弯道组成，其中每个直道长约为，每个弯道长约为．小明在该环形跑道上晨练时，从一段直道的起点出发沿着的路线跑一圈后回到点．已知小明在每个直道上以的速度匀速跑步，在每个弯道上以的速度匀速跑步，下列函数图象中能够大致描述小明跑步的路程与跑步时间关系的是（   ） A． B． C． D． 25．已知动点以的速度沿图1边框按的路线移动，相应的三角形的面积与时间之间的关系如图2中的图象所示．若，则图2中的的值是____________． 26．如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（     ） A． B． C． D． 题型九：正比例函数的定义 解题思路：①正比例函数标准形式：y=kx（k是常数，k≠0）；②三个缺一不可条件：没有常数项；x的次数为1；一次项系数k≠0；③考题：根据定义求字母参数，列出方程+不等式求解，一定要舍去k=0的解。 27．已知，若是的正比例函数，则的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 28．已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 29．按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（     ） A．y不是x的函数 B．y是x的函数，且是正比例函数 C．y是x的函数，且是一次函数 D．当时， 题型十：识别一次函数 解题思路：①一次函数标准形式：y=kx+b（k、b为常数，k≠0）；②条件：x次数必须是1；自变量x不能出现在分母、根号里面；③k≠0，常数项b可以等于0；④当b=0时，一次函数就变成正比例函数，正比例属于特殊的一次函数。 30．下列函数中，属于一次函数的是（     ） A． B． C． D． 31．下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（     ） A．正方形的面积与边长的关系 B．按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系 C．汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系 D．读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系 32．下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型十一：根据一次函数的定义求参数 解题思路：①对照一次函数定义列出两个条件：自变量x次数等于1；一次项系数不能等于0；②由次数列方程求出字母候选值；③把候选值代入一次项系数，把让系数=0的值直接舍去。 33．若函数是一次函数，则______． 34．若是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A．1 B． C． D． 35．已知：是关于的一次函数，则________． 36．若点在函数的图象上，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 题型十二：求一次函数自变量或函数值 解题思路：①已知自变量x求函数值：把x代入解析式，直接计算得到y；②已知函数值y求自变量x：将y代入解析式，解一元一次方程得到x；③有取值范围限制时，不在范围内的解舍去。 37．下列各点在直线上的是（     ） A． B． C． D． 38．一次函数的图象经过，则的值是___________． 39．，是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 40．在平面直角坐标系中，已知，，点是直线在第一象限内的图象上一个动点，连接，，记的面积为，的面积为，则的值为(    ) A． B．1 C． D．2 题型十三：列一次函数解析式并求值 解题思路：①读题，找出题目等量关系；②确定自变量x、因变量y；③根据等量关系列式，整理化简成y=kx+b；④写出自变量x符合题意的取值范围；⑤代入对应数值，计算完成求值。 41．水池原有水，水匀速从排水管排出，全部排完．剩余水量与排水时间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ）． A． B． C． D． 42．点P(a，b)在函数y＝4x＋3的图象上，则代数式12a－3b＋1的值等于_______． 43．“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为_________． 解答题 1．已知与成正比例关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 2．骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者东东骑自行车离家的距离与骑行时间之间的关系． 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … … (1)东东_________小时到达离家最远的地方，此时离家_________； (2)根据图象，完成表格； (3)求出第时东东骑自行车的路程与时间的关系式； (4)骑行多长时间时，东东与家相距？ 3．已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 4．在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的短距，如果点和点的短距相等，那么称两点为等距点．例如点与点为等距点．已知点的坐标为，如果点在直线上，且、两点为等距点，求点的坐标． 5．如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 6．某景区的旅游线路如图1所示，其中A为入口，B，C，D为风景点，甲游客以一定的速度沿路线“”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他回到A处时，共用去，甲此次游览过程中步行的路程与游览时间之间的关系图象如图2所示．根据图解答下列问题： (1)图2中的自变量是________，因变量是________； (2)该游客在景点B处逗留的时间为多少小时？他在这三个景点哪个逗留时间最短？ (3)他从入口A到景点B步行的平均速度是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07函数与认识一次函数精讲学案 核心立意： 识别变化过程中的常量、变量；理解函数概念，区分函数与函数值；掌握函数三种表示形式及各自特点；掌握自变量取值范围确定方法；掌握一次函数、正比例函数定义，分清二者从属关系；能结合实际情境列函数关系式。 变量、常量与函数的基本概念 ❶在变化过程中，数值发生变化的量叫做变量；数值始终保持不变的量叫做常量。 ❷在一个变化过程中有两个变量x、y，给定一个x的值，就有唯一确定的y值与之对应，则称y是x的函数；其中x是自变量，y是因变量。 ❸函数判定核心：一个自变量x只能对应唯一的y；允许同一个y对应多个不同x。 ❹重要区分：函数指两个变量的对应关系，不是一个数；函数值是自变量取确定值时，计算得到的具体y的数值。 函数的三种表示方法 ❶列表法：用表格呈现自变量与函数值；优点：读取对应数值直观；缺点：只能展示部分对应值。 ❷图象法：平面直角坐标系中的图像表示函数；优点：直观反映数量变化趋势；缺点：读取数值存在近似误差。 ❸解析式（关系式）法：代数等式表达x与y对应关系；优点：可计算任意自变量对应的函数值；缺点：部分函数无法写出解析式。 ❹三种表示方法可以互相转化，同一个函数可采用多种形式表达。 自变量的取值范围 ❶代数层面：整式，自变量取全体实数；分式，分母不能为0；解析式含有二次根式时，被开方数大于或等于0。 ❷实际情境层面：自变量取值必须符合现实意义，如数量大于0、取非负整数等。 一次函数与正比例函数定义 ❶一次函数：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0），y叫做x的一次函数，要求x的次数为1。 ❷正比例函数：当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。 ❸从属关系：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 一次、正比例函数识别判断条件 ❶解析式必须是关于x的一次整式。 ❷k≠0是必备条件；若k=0，式子变为y=b，属于常数函数，不是一次函数。 ❸正比例函数必须同时满足两个条件：k≠0，b=0。 ❹式子中出现x2、，x次数不为1，不属于一次函数。 实际情境列函数关系式 ❶分清题干当中的自变量与因变量； ❷挖掘等量关系，列出对应的函数解析式； ❸同步标注自变量对应的实际取值范围。 重点辨析 ❶判断是否为函数，只看x对应的y是否唯一，不限制一个y可以对应多少个x。 ❷k≠0是一次函数、正比例函数不可缺少的条件，b可以取任意常数。 ❸正比例函数属于一次函数的特例，不能表述为“一次函数就是正比例函数”。 ❹函数是变量间对应关系，函数值是计算得出的具体数字，二者不能混淆。 1.判断函数，忽略“一个x对应唯一y”的核心判定条件 2.混淆函数和函数值两个概念 3.识别一次函数，遗忘k≠0这个限制条件 4.误将k=0得到的常数函数y=b判定为一次函数 5.判断正比例函数，遗漏b=0的条件 6.列实际函数关系式，漏掉自变量的取值范围 7.x次数不为1，错误判定为一次函数 题型 考察方向 难度 题型一 函数的概念 ★ 题型二 求自变量的取值范围 ★ 题型三 求自变量的值或函数值 ★ 题型四 函数的三种表示方法 ★★ 题型五 函数解析式 ★★ 题型六 函数图象识别 ★★ 题型七 从函数的图象获取信息 ★★ 题型八 动点问题的函数图象 ★★★ 题型九 正比例函数的定义 ★ 题型十 识别一次函数 ★ 题型十一 根据一次函数的定义求参数 ★★ 题型十二 求一次函数自变量或函数值 ★ 题型十三 列一次函数解析式并求值 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：函数的概念 解题思路：①识别题目中有两个变量：自变量x，因变量y；②判断依据：给定一个x的值，只能对应唯一的一个y值；③允许多个不同x对应同一个y；只要出现一个x对应2个及以上y，就不是函数；④常见考法：图像判断题、表格判断题、关系式判断题。 1．下列各式，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数； 选项B中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数； 选项C中，，任取一个大于0的x值，例如，y对应和两个值，不满足y有唯一确定值和x对应的要求，不能表示y是x的函数； 选项D中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数． 2．设表示关于的函数，若，且，那么______． 【答案】4 【分析】根据，把化为代入计算即可． 【详解】解：∵若，， ∴ ， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了函数的概念，能够把把化为是解题的关键． 3．如图，是体检时的心电图，其中横坐标表示时间，纵坐标表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，___（填“是”或“不是” 的函数． 【答案】是 【分析】根据函数的定义判断即可． 【详解】解：两个变量和，变量随的变化而变化， 且对于每一个，都有唯一值与之对应， 是的函数． 故答案为：是． 【点睛】本题考查了函数的理解即两个变量和，变量随的变化而变化， 且对于每一个，都有唯一值与之对应,正确理解定义是解题的关键． 题型二：求自变量的取值范围 解题思路：①解析式求范围：整式：x取全体实数；分式：分母≠0；二次根式：被开方数≥0；分式+根式混合，两个条件同时满足，取公共解集；②实际应用题：除解析式限制，还要贴合实际，例如人数不能为负数、物体长度大于0；③结果写成不等式形式。 4．函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，列不等式即可求解自变量的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数， ∴函数中，满足， 移项得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得． 5．函数的定义域是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了确定函数自变量的取值范围，熟练掌握函数自变量的范围是解题的关键．由于x是分母，由此得到，由此即可确定自变量x的取值范围． 【详解】解：依题意得． 故答案为：． 6．已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】D 【详解】解：， 解得． 题型三：求自变量的值或函数值 解题思路：①知x求函数值：把已知x直接代入解析式，计算得到y，y就是函数值；②知函数值y求自变量x：把y数值代入解析式，解方程算出x；③检验：算出来的x必须属于自变量允许取值，不在范围的解直接舍去。 7．变量与的关系式为，当时，的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】将代入关系式得． 8．下列函数中，图象经过点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要判断函数图象是否经过点，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到的函数值等于点的纵坐标时，即为符合要求的选项． 【详解】解： 待检验点为，将依次代入各选项解析式， A选项：，与点的纵坐标相等，符合要求； B选项：，不符合要求； C选项：，不符合要求； D选项：，不符合要求． 9．自变量与函数的关系如图所示，当时，_________． 【答案】 【分析】根据图示确定函数关系式，将自变量x的值代入关系式计算即可． 【详解】由图可知，函数关系式为， 当时，． 10．定义：对任意的，都有．例如：当时，，即；当时，，即．当时，则，解得，即．下列选项中错误的是（     ） A． B．当时，则 C． D．当时，则 【答案】C 【分析】根据给出的函数定义，通过代入求值和解分式方程，逐一判断选项正误即可解答． 【详解】解：已知对任意，，逐一验证选项： 对选项：，正确； 对选项：当时，，解得，经检验是该分式方程的解，正确； 对选项：，错误； 对选项：当时，，解得，经检验是该分式方程的解，正确． 题型四：函数的三种表示方法 解题思路：①三种表示：解析式法、列表法、图象法；②列表法：看表格，同一行就是一组(x,y)对应值；③图象法：图像上每一个点(x,y)代表一组对应值；④解析式法：代数计算；⑤题型常考：表格转解析式、解析式补表格、根据解析式画简易图像。 11．一蓄水池中有水30，打开底部排水阀门开始放水后，水池剩余的水量与放水时间有如下关系： 放水时间/分 1 2 3 4 剩余水量（） 28 26 24 22 下列说法错误的是（　　） A．水池剩余水量是自变量，放水的时间是因变量 B．每分钟放水2 C．放水8分钟后，水池剩余水量为14 D．放水15分钟，水池里的水可全部放完 【答案】A 【分析】根据函数的相关知识结合所给表格逐一进行分析判断即可得答案 【详解】解：A．由题意可知，水池剩余水量是因变量，放水的时间是自变量，原说法错误，故本选项符合题意； B．由题意可知，每分钟放水2，原说法正确，故本选项不符合题意； C．根据题意可得蓄水量y＝30﹣2t，所以放水8分钟后，水池剩余水量为： 30﹣2×8＝14（），原说法正确，故本选项不符合题意； D．放水15分钟，水池里的水为：30﹣2×15＝0（），原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的自变量和应变量的定义及函数关系式，求出剩余水量和放水时间之间的关系是解题的关键． 12．如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是______． 【答案】y=x+2x-2（x≥2） 【分析】根据题意得：第1个图：y=1+1+20，第2个图：y=3+2=2+1+21，第3个图：y=4+4=3+1+22，第4个图：y=5+8=4+1+23，…以此类推第n个图：y=n+1+2n+1-2，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 第1个图：x=2=1+1，y=2+1=1+1+20， 第2个图：x=3=2+1，y=3+2=2+1+21， 第3个图：x=4=3+1，y=4+4=3+1+22， 第4个图：x=5=4+1，y=5+8=4+1+23， … 以此类推：第n个图：x=n+1，y=n+1+2n+1-2， y与x之间关系的表达式是：y=x+2x-2（x≥2）， 故答案为：y=x+2x-2（x≥2）． 【点睛】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可． 13．下列不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义（给定一个值都有唯一确定的值与它对应），对选项逐个判断即可． 【详解】解：根据函数的定义（给定一个值都有唯一确定的值与它对应），对选项逐个判断， A：观察列表数据发现，符合函数的定义，不符合题意； B：观察x与y的等式发现，符合函数的定义，不符合题意； C：观察函数图像发现，不符合函数的定义，符合题意； D：观察函数图像发现，符合函数的定义，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了函数的定义，涉及到了函数的表示方法（解析法，图像法和列表法），熟练掌握函数的基础知识是解题的关键． 题型五：函数解析式 解题思路：①读题，确定谁是自变量x，谁是因变量y；②找出题目文字中的等量关系；③把等量关系转化等式，整理成y=含x代数式；④实际问题，后面补充写出自变量取值范围。 14．某人一年内的月平均收入为元，设他在这一年（12个月）的总收入为元，则下列表示与的函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵总收入等于月平均收入乘以总月数，一年共有个月，已知月平均收入为元，总收入为元， ∴． 15．一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧剩下的长度与燃烧的时间 （小时）之间的函数解析式是_________，自变量 的取值范围 __________． 【答案】 / 【详解】解：根据题意，点燃后每小时耗去，则小时后，耗去，而蜡烛原长为， 故有与之间的函数关系式是， 又由于，可得． 16．观察下列两个数的积：，，，，．设这两个数的积为，第一个数个位上的数为（的整数），则与的关系式为______． 【答案】（的整数） 【分析】观察所给的式子，得出规律即可． 【详解】解：∵，，， ∴设这两个数的积为，第一个数个位上的数为（的整数），则与的关系式为（的整数）． 17．如图，在中，，且，，点是线段上一个动点，由向以移动，运动至点停止，则的面积随点的运动时间之间的关系式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是一个动点，由向以匀速移动，求出的底，即可求得的面积随点的运动时间之间的关系式． 【详解】解：是一个动点，由向以匀速移动， ， ， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数关系式，求出的底是解题的关键． 题型六：函数图象识别 解题思路：①先看清横轴、纵轴分别代表哪个实际量；②图像上升：纵坐标随横坐标增大而变大；图像下降：纵坐标随横坐标增大而变小；图像水平线段：纵坐标数值保持不变；③抓关键点：起点、转折点、终点；④对照题干情景，排除和情景矛盾选项。 18．下列图象中，不是的函数的是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【详解】解：A、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意； B、对于任意的一个x，y有两个值与其对应，故不是的函数，故选项符合题意； C、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意； D、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意． 19．如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【答案】③②④① 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案． 【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系， 故图象顺序为：③②④①， 故答案为：③②④①． 20．甘德尔山隧道是内蒙古自治区最长的高速铁路隧道，全长．如图，一辆列车匀速通过隧道（隧道长大于列车长）时，从车头进入隧道开始计时，到车尾驶出隧道计时结束，在这个过程中，列车在隧道内的长度y（单位：）与时间x（单位：h）之间的关系用图象描述大致是（     ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】根据题意可知列车进入隧道的长度和时间的关系具体可分为：列车车头进入隧道、列车完全进入隧道和列车车头驶离隧道三个阶段，分段讨论即可． 【详解】解：第一阶段列车车头进入隧道，随时间的增加，列车在隧道内的长度逐渐增加， 第二阶段列车完全进入隧道，随时间增加，列车在隧道内的长度不变，对应图象平行于轴， 第三阶段列车车头驶离隧道，随时间的增加，列车在隧道内的长度逐渐减小， ∵列车匀速运动， ∴在每一个阶段，y与x之间的关系图象呈直线型， ∴列车在隧道内的长度y（单位：）与时间x（单位：h）之间的关系用图象描述大致是： 题型七：从函数的图象获取信息 解题思路：①看懂横、纵坐标代表的实际含义；②已知x找y：在横轴找到该x，向上作垂线交图像，再水平到纵轴读出y；③已知y找x：纵轴找到y，水平交图像，向下到横轴读出x；④可读取：变化趋势、交点坐标、最大最小值。 21．如图是一条河流某一天的水位随时间的变化情况，根据图象可知，该河流这一天的最高水位为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】结合图象进行求解即可． 【详解】解：根据图象可知，该河流这一天的最高水位为米． 22．小英和小康兄妹俩从家到学校上学的路线为一条直道，小英比小康早1分钟出发，小英的速度是240米/分钟，小康的速度是小英速度的2倍，在整个行驶过程中，他们离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间的关系图像如图所示，若小英比小康晚2分钟到达学校，则小英整个行程所用的时间为________分钟． 【答案】6 【分析】设小英整个行程所用的时间为分钟，则小康整个行程所用的时间为分钟．根据两人的路程相等列方程并解方程即可． 【详解】解：设小英整个行程所用的时间为分钟，则小康整个行程所用的时间为分钟． ∵小康的速度是小英速度的2倍， ∴ 解得， 即小英整个行程所用的时间为分钟． 23．如图1，点是线段上的定点，点，是线段上的动点．已知点，同时分别从点，出发相向匀速运动，当点到达点后，继续保持原速向点运动．而点到达点后立即掉头，并保持原速也向点运动，经过一段时间后，，两点同时到达点．设，两点的运动时间为，两点之间的距离为，与之间的关系如图2所示，有如下结论：①线段的长度为；②点的速度为．③运动时间时，，两点同时到达点；④在运动过程中，，两点相距时，运动时间为或或，以上结论正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据当时，，可判断①正确；根据点5min到达地，可判断②正确；根据两点3min相遇，求出的速度为，根据，两点同时到达点得，求出，进而可判断③正确；分三种情况求解可判断④正确． 【详解】解：由图可知：当时，， ，故①正确； 点5min到达地， 的速度为，故②正确； ∵当时，， 两点3min相遇， ， 的速度为， 两点同时到达点， ，即， ， ∴总时间为，故③正确； 当相遇前，，解得； 当相遇后未到地，相距15cm时， 依题意得：，解得； 当到达地掉头后，相距15cm时， 依题意得：，解得． 综上所述，则出发2.5min或3.5min或12.5min后相距15cm，故④正确． 综上可知，结论正确的有①②③④，共4个． 题型八：动点问题的函数图象 解题思路：①看清动点运动路径、运动方向，找到运动发生变化的时间点/位置点（拐点）；②分段处理：把整个运动分成几段；③每一段分析：动点移动时，纵坐标代表的量是变大、变小，还是不变；④判断每一段图像是上升、下降还是水平；⑤对比拐点位置，匹配选项图像。 24．如图，学校的环形跑道是由两个直道和两个弯道组成，其中每个直道长约为，每个弯道长约为．小明在该环形跑道上晨练时，从一段直道的起点出发沿着的路线跑一圈后回到点．已知小明在每个直道上以的速度匀速跑步，在每个弯道上以的速度匀速跑步，下列函数图象中能够大致描述小明跑步的路程与跑步时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象．根据跑步的速度与各段图象的陡峭程度的关系、各段所用时间判断即可． 【详解】解：∵在每个直道上跑步的速度为，在每个弯道上跑步的速度为， ∴段的图象平行于段的图象，段的图象平行于段的图象，且、段的图象比、段的图象要陡， ∴在、段所用时间均为， 在、段所用时间均为， ∴在、段所用时间约为在、段所用时间的2倍， ∴选项C符合题意． 故选：C． 25．已知动点以的速度沿图1边框按的路线移动，相应的三角形的面积与时间之间的关系如图2中的图象所示．若，则图2中的的值是____________． 【答案】41 【分析】根据函数图象，运动情况，分类计算即可； 【详解】解：动点以的速度沿边框按的路线移动，运动的路程为，根据图象，可得点P在上运动了， 故；此时， 故； 根据图象，可得点P在上运动了， 故； 根据图象，可得点P在上运动了， 故； 根据题意，得， 故， 根据题意，得， 故， 故； 26．如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点D分别作于E，于F，根据图2得：，，，点D到的距离为，点N的纵坐标表示点D到的距离，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理逆定理可得，在中，利用勾股定理可得，然后根据，求出的长，即可． 【详解】解：如图1，连接，过点D分别作于E，于F， 根据图2得：，，，点D到的距离为，点N的纵坐标a表示点D到的距离的长度， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， 即点N的纵坐标a为． 题型九：正比例函数的定义 解题思路：①正比例函数标准形式：y=kx（k是常数，k≠0）；②三个缺一不可条件：没有常数项；x的次数为1；一次项系数k≠0；③考题：根据定义求字母参数，列出方程+不等式求解，一定要舍去k=0的解。 27．已知，若是的正比例函数，则的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】结合正比例函数的定义，从自变量次数、系数两个限制条件入手列式求解. 【详解】解：由题意得且， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴. 28．已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 【答案】0 【分析】根据正比例的定义设出和的表达式，得到关于的函数式，再代入已知的，的值求出待定系数，最后代入计算的值即可． 【详解】解：∵与成正比例，与成正比例， ∴，， ∵， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 当时，． 29．按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（     ） A．y不是x的函数 B．y是x的函数，且是正比例函数 C．y是x的函数，且是一次函数 D．当时， 【答案】C 【分析】先根据按键操作列出关系式，依据函数定义可知是的函数，该式符合的一次函数形式，因存在常数项不是正比例函数，再将代入计算得，即可解答． 【详解】根据操作流程：输入，乘以，再减得到， ∴， A．对于任意一个，都有唯一确定的与之对应，所以是的函数，故本选项错误，不符合题意． B．正比例函数形式为（无常数项），而存在常数项，不是正比例函数，故本选项错误，不符合题意． C．符合一次函数标准形式，因此是的一次函数，故本选项正确，符合题意． D．将代入解析式：    ，故本选项错误，不符合题意． 题型十：识别一次函数 解题思路：①一次函数标准形式：y=kx+b（k、b为常数，k≠0）；②条件：x次数必须是1；自变量x不能出现在分母、根号里面；③k≠0，常数项b可以等于0；④当b=0时，一次函数就变成正比例函数，正比例属于特殊的一次函数。 30．下列函数中，属于一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义，一般地，形如（，是常数，）的函数叫做一次函数，逐一判断各选项的函数形式，即可得到正确结果． 【详解】解：选项A中不符合一次函数定义； 选项B中中的次数为，不符合一次函数定义； 选项C中可整理为，其中，，符合一次函数的形式； 选项D中是常数函数，的系数，不符合一次函数的要求． 31．下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（     ） A．正方形的面积与边长的关系 B．按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系 C．汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系 D．读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系 【答案】A 【分析】均匀变化的本质是两个变量满足一次函数关系，即自变量每增加1个单位，因变量的变化量恒定，据此分析各选项的函数关系即可得出答案． 【详解】解：首先明确，均匀变化要求自变量每增加1个单位时，因变量的变化量始终相等，对应函数为一次函数， 对各选项分析如下： A：设正方形边长为，面积为，可得，当从1增加到2，增加，当从2增加到3，增加，变化量不相等，不是均匀变化； B：设作业本单价为（为常数），购买数量为，总花费为，可得，是一次函数，自变量每增加1，因变量增加，变化量恒定，是均匀变化； C：设汽车速度为（为常数），行驶时间为，路程为，可得，是一次函数，变化量恒定，是均匀变化； D：设书总页数为，每天读页（为常数），读书天数为，剩余页数为，可得，是一次函数，自变量每增加1，因变量减少，变化量恒定，是均匀变化； 因此选A． 32．下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：（1）是正比例函数也是一次函数； （2）是一次函数； （3）不是一次函数； （4）是一次函数； （5）不是一次函数； ∴是一次函数的有：（1）（2）（4）． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数的定义，解决本题的关键是明确一次函数的定义，一般地，形如是常数的函数，叫做一次函数． 题型十一：根据一次函数的定义求参数 解题思路：①对照一次函数定义列出两个条件：自变量x次数等于1；一次项系数不能等于0；②由次数列方程求出字母候选值；③把候选值代入一次项系数，把让系数=0的值直接舍去。 33．若函数是一次函数，则______． 【答案】2 【分析】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义，自变量x的指数必须为1，从而建立方程求解即可解决． 【详解】解：一次函数的一般形式为，其中x的指数为1， 给定函数，令x的指数， 解得， 当时，函数为，符合一次函数定义， 故答案为：2． 34．若是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，函数表达式中的未知数的最高次数为1，且该项系数不为零，列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴且， 解得， 故选：A． 35．已知：是关于的一次函数，则________． 【答案】 【详解】解：由一次函数的定义得,解得． 36．若点在函数的图象上，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】将点代入函数，得到，即可求出代数式的值． 【详解】解：点在函数的图象上， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，代数式求值，解题关键是掌握函数的图象上的点符合函数解析式． 题型十二：求一次函数自变量或函数值 解题思路：①已知自变量x求函数值：把x代入解析式，直接计算得到y；②已知函数值y求自变量x：将y代入解析式，解一元一次方程得到x；③有取值范围限制时，不在范围内的解舍去。 37．下列各点在直线上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把各选项点的横坐标代入直线解析式算出值，和对应点纵坐标对比，相等的点就在直线上． 【详解】解：将各点横坐标代入计算： 当时，，A不符合题意； 当时，，B符合题意； 当时，，C不符合题意； 当时，，D不符合题意． 38．一次函数的图象经过，则的值是___________． 【答案】 【分析】一次函数图象经过已知点，则该点坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式，即可求解的值． 【详解】解：将代入，得：，解得：． 39．，是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【答案】A 【分析】将点坐标代入函数解析式，化简后判断乘积的符号． 【详解】解：∵，是一次函数图象上不同的两点， ∴，， ∴， ∴， ∵A、B是不同两点， ∴， ∴， ∴， 即． 40．在平面直角坐标系中，已知，，点是直线在第一象限内的图象上一个动点，连接，，记的面积为，的面积为，则的值为(    ) A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据点、的坐标求出、的长度，再设出点的坐标，然后分别表示出和的面积，最后求出它们面积的比值． 【详解】解：∵，， ∴，， 因为点是直线在第一象限内的图象上一个动点， 所以可设， ∵的面积为，的面积为， ∴，， ∴． 题型十三：列一次函数解析式并求值 解题思路：①读题，找出题目等量关系；②确定自变量x、因变量y；③根据等量关系列式，整理化简成y=kx+b；④写出自变量x符合题意的取值范围；⑤代入对应数值，计算完成求值。 41．水池原有水，水匀速从排水管排出，全部排完．剩余水量与排水时间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算每分钟排水速度，再根据剩余水量等于原有水量减去排出水量得到函数解析式，最后根据实际意义确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵水池原有水，全部排完， ∴每分钟排水量为 ， ∵剩余水量原有水量分钟排出的水量， ∴，整理得， 又∵排水时间最小为，最多排完全部水， ∴自变量的取值范围为，即函数解析式为． 42．点P(a，b)在函数y＝4x＋3的图象上，则代数式12a－3b＋1的值等于_______． 【答案】-8 【分析】把坐标代入解析式，整体变形代入求解即可． 【详解】∵点P(a，b)在函数y＝4x＋3的图象上， ∴b=4a+3， ∴3b=12a+9， ∴12a-3b=-9， ∴12a－3b＋1=1-9=-8, 故答案为：-8． 【点睛】本题考查了一次函数图像与点的关系，熟练运用点的坐标满足函数的解析式转化条件求解是解题的关键． 43．“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】该员工的工资包括底薪1700元，每月超过300单且不超过500单的部分200×5=1000元，超过500单的7（x-500）元，然后求和即可． 【详解】解：y=1700+200×5+7（x-500）=7x-800． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列函数解析式，正确理解题意成为解答本题的关键． 解答题 1．已知与成正比例关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查正比例函数及一次函数． （1）根据题意用待定系数法设，代入即可； （2）将点代入即可得出的值； （3）将的临界值4与分别代入，即可得到的临界值，从而得到的取值范围． 【详解】（1）解：设， 当时，， ，解得， ， 与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）知，与之间的函数解析式为， 把点代入，得， 解得； （3）解：由（2）知，当时，， 当时，， 解得， 当的取值范围为时，的取值范围为． 2．骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者东东骑自行车离家的距离与骑行时间之间的关系． 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … … (1)东东_________小时到达离家最远的地方，此时离家_________； (2)根据图象，完成表格； (3)求出第时东东骑自行车的路程与时间的关系式； (4)骑行多长时间时，东东与家相距？ 【答案】(1)2；30 (2) 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … 5 25 20 … (3) (4)骑行或时，东东与家相距 【分析】（1）由图象信息，即可求解； （2）由图象信息，即可求解； （3）由图象信息，可求出第小时这一段共走的路程及时间，再求速度即可，求第小时的速度，方法类似； （4）根据图象可以得到有两个时间点，再分别确定时间即可． 【详解】（1）解：从图象知：东东出发后到达离家最远的地方，此时离家； （2）略 （3）解：第小时的速度： （km/h）， 所以，． （4）解：去时：当时，代入得：，． 出发至返回途中：由图可知骑行4h时，东东与家相距也为20km， 所以当骑行或时，东东与家相距． 3．已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 【答案】(1)，为任意实数时，是的一次函数； (2)当，时，是的正比例函数 【分析】本题根据一次函数和正比例函数的定义求解． 先根据一次函数“的次数为1且的系数不为0”的要求列出条件，求解得到的值，无限制；再根据正比例函数的定义，在一次函数条件的基础上增加常数项为0的条件，求解得到的值即可． 【详解】（1）解：若是的一次函数，需满足 由得， 解得或 由得 因此，此时可以为任意实数 即当，为任意实数时，是的一次函数． （2）解：若是的正比例函数，需满足 解得 即当，时，是的正比例函数． 4．在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的短距，如果点和点的短距相等，那么称两点为等距点．例如点与点为等距点．已知点的坐标为，如果点在直线上，且、两点为等距点，求点的坐标． 【答案】或或或． 【分析】根据定义可得点A的“短距”为，则点B到x轴的距离为或点B到y轴的距离为，据此求出点B的坐标． 【详解】解：由题意得，点的短距为， 设， ∵两点为等距点， ∴点B到x轴的距离为或点B到y轴的距离为， 当时，则，即， ∴或， ∴或， 当时，，当时，， ∴或； 当时，则，即时， ∴或， 当时，，当时，， ∴或； 综上，点的坐标或或或． 5．如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，列一次函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的面积公式． （1）根据点P、Q的运动速度，求出结果即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可； （3）分三种情况：当时，当时，当，根据的长度求出重叠部分的面积即可； （4）根据重叠部分的面积等于3列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点， ∴， 当时，，， ∴， ∴； 当时，，， ∴， ∴； （2）解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 综上分析可知：． （3）解：当时，， ∵此时， ∴， ∴重叠部分面积：； 当时，， 令， 解得：， 当时，重叠部分面积为：； 当时，重叠部分面积为：； 综上分析可知：． （4）解：当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去） 综上分析可知：当重叠部分的面积等于3时，． 6．某景区的旅游线路如图1所示，其中A为入口，B，C，D为风景点，甲游客以一定的速度沿路线“”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他回到A处时，共用去，甲此次游览过程中步行的路程与游览时间之间的关系图象如图2所示．根据图解答下列问题： (1)图2中的自变量是________，因变量是________； (2)该游客在景点B处逗留的时间为多少小时？他在这三个景点哪个逗留时间最短？ (3)他从入口A到景点B步行的平均速度是多少？ 【答案】(1)自变量是游览时间，因变量是步行的路程 (2)游客在景点B处逗留的时间为，游客在景点C处逗留的时间最短 (3) 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义求解； （2）结合函数图象获取信息； （3）结合函数图象获取信息，求出速度即可． 【详解】（1）解：图2中的自变量是游览时间，因变量是步行的路程； （2）解：游客在景点B处逗留的时间为； 游客在景点C处逗留的时间为； 游客在景点D处逗留的时间为； ∵， ∴游客在景点C处逗留的时间最短； （3）解：从入口A到景点B步行的平均速度是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $