2.4.3 整数指数幂的基本性质-课件--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册2.4.3 整数指数幂的基本性质 专项练习（全文1\(2^3\)1字） ## 核心考点 掌握整数指数幂全部运算性质\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)将幂的运算法则从正整数拓展到全体整数；熟练进行含零次幂\(m、n\)负整数指数幂的乘\(m、n\)除\(m、n\)乘方混合运算；能把计算结果写成只含正整数指数幂的形式；区分幂运算公式\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)避免公式混用；底数为多项式时当作整体运算\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)注意符号处理。 答题要求：整数指数幂的运算法则和正整数指数幂形式一致；运算结果一般要求化为只含正整数指数幂；混合运算顺序：先乘方\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)再乘除\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)最后加减；同级运算从左向右。 ## 一\(m、n\)知识梳理 当$a≠0\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)b≠0$\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)$m\(m、n\)n$为整数时： 1. 同底数幂相乘：$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ 2. 同底数幂相除：$a^m\div a^n=a^{m-n}$ 3. 幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$ 4. 积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$ 5. 分式的乘方：$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$ 6. 零次幂：$a^0=1(a≠0)$ 7. 负整数指数幂：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)p>0)$ 运算步骤：①观察式子\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)分清乘方\(m、n\)乘除；②利用幂的性质化简；③出现负指数\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)改写成分式形式；④合并同类项\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)最终结果只用正整数指数幂表达。 重要提醒：所有法则使用前提是底数不为0；负指数不是负数\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)只是代表倒数关系；不要混淆指数加减与指数相乘。 ## 二\(m、n\)选择题（每题5分\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)共30分） 1. 计算$a^{-2}\cdot a^{3}$结果是（） A.$a^{6}$ B.$a$ C.$a^{-1}$ D.$a^{-6}$ 2. 化简$(x^{-2})^{3}$等于（） A.$x^{-6}$ B.$x^{1}$ C.$x^{5}$ D.$x^{-5}$ 3. 计算$(2ab^{-3})^2$结果为（） A.$4a^2b^6$ B.$4a^2b^{-6}$ C.$2a^2b^{-6}$ D.$4a^{-2}b^{6}$ 4. 下列运算正确的是（） A.$a^{2}\div a^{-3}=a^{-1}$ B.$a^0=1$ C.$(-a^{-2})^{-2}=a^4$ D.$a^{-1}+a^{-2}=a^{-3}$ 5. 把$x^{-2}y^3$改写为不含负指数的形式（） A.$\dfrac{y^3}{x^2}$ B.$-x^2y^3$ C.$\dfrac{x^2}{y^3}$ D.$\dfrac{1}{x^2y^3}$ 6. 化简$\left(\dfrac{m^{-2}}{n}\right)^{-1}$等于（） A.$\dfrac{m^2}{n}$ B.$\dfrac{n}{m^2}$ C.$m^2n$ D.$\dfrac{1}{m^2n}$ ## 三\(m、n\)填空题（每题6分\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)共30分） 1.$b^{4}\div b^{-1}=$__________。 2.$(3x^{-1}y^{2})^{-2}=$__________（写成正指数形式）。 3.$a^{-3}\cdot a^{5}\div a^{0}=$__________。 4.$(a^{-1}b)^{3}=$__________（写成正指数形式）。 5.若$a^{-2}=\dfrac{1}{4}$\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)则$\(a=\)$__________。 ## 四\(m、n\)解答题（每题10分\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)共40分） 1. 直接利用整数指数幂性质计算\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)结果化为正整数指数幂： （1）$x^{3}\cdot x^{-5}$ （2）$y^{-2}\div y^{4}$ 2. 幂的乘方\(m、n\)积的乘方运算： （1）$(2a^{-3}b^{2})^{3}$ （2）$\left(\dfrac{1}{2}m^{-2}n\right)^{-2}$ 3. 混合运算：$(a^{-2}b)^{2}\cdot (a^{-1}b^{-3})$ 4. 先化简再求值：$(x^{-1}y^{2})^{-2}$\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)其中$x=2\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)y=1$。 ## 五\(m、n\)参考答案与解析 选择题： 1.B；$a^{-2+3}=a^1=a$；2.A；指数相乘\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)$-2\times3=-6$；3.B；$2^2a^2(b^{-3})^2=4a^2b^{-6}$；4.C；A应为$a^5$；B缺少$a≠0$；D不能合并指数；5.A；$x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}$；6.C；原式$=(m^{-2})^{-1}\cdot n^{-(-1)}=m^2n$。 填空题： 1.$b^5$；2.$\dfrac{x^2}{9y^4}$；3.$a^2$；4.$\dfrac{b^3}{a^3}$；5.$\pm2$。 解答题： 1.（1）原式$=x^{3-5}=x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}$；（2）原式$=y^{-2-4}=y^{-6}=\dfrac{1}{y^6}$。 2.（1）原式$=8a^{-9}b^{6}=\dfrac{8b^6}{a^9}$；（2）原式$=\left(\dfrac12\right)^{-2}\cdot m^{4}n^{-2}=4m^4\cdot\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{4m^4}{n^2}$。 3.原式$=a^{-4}b^{2}\cdot a^{-1}b^{-3}=a^{-5}b^{-1}=\dfrac{1}{a^5b}$。 4.原式$=x^{2}y^{-4}=\dfrac{x^2}{y^4}$；代入$\(x=2,y=1\)$\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)原式$=\dfrac{4}{1}=4$。 ## 六\(m、n\)易错点总结 整数指数幂的性质综合度高\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)容易出现多种错误。第一\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)混淆运算法则：同底数幂乘除是指数加减\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)幂的乘方才是指数相乘\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)经常记反。例如$(a^2)^3$错误算成$a^5$。第二\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)积的乘方漏乘系数\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)只给字母乘方\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)系数不乘方\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)如$(2a^{-3})^3$只算$a$部分\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)漏掉$2^3$。第三\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)负指数处理混乱\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)只对字母负指数转换\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)忽略括号整体的负指数\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)分不清底数范围。第四\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)把指数幂的加减和乘除混为一谈\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)$a^{-1}+a^{-2}$错误合并为$a^{-3}$\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)幂的加法不能合并指数。第五\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)题目要求结果写成正整数指数幂形式\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)最后保留负指数\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)不符合答题规范。本节是前面零次幂\(m、n\)负整数指数幂的整合\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)幂运算体系到此全部完成\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)同时为科学记数法\(m、n\)分式化简\(m、n\)后续代数计算打下基础。解题固定流程：看清运算类型；套用整数指数幂公式；注意底数不为0；遇到负指数\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)最后统一改写成分式形式\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)全部换成正指数；混合运算严格遵守先乘方\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)后乘除。做完可以代入简单数值验算\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)快速检查指数运算是否出错。熟练掌握整数指数幂\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)就可以进入分式方程章节学习。 （全文：1\(2^3\)1字） 下一节：**2.5分式方程**\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)同样1\(2^3\)1字专项练习\(a≠0\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0\(x=2，y=1\)p>0)\)b≠0\)需要吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 2.4.3 整数指数幂的基本性质 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/26 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第2章 分式 1. 理解整数指数幂的运算法则；（重点） 2. 会用整数指数幂的运算法则进行计算.（重点、难点） 学习目标 02 新知导入 计算： (1) ; (2) ; (3) . 解： (1) ; (2); (3). 同底数幂的除法法则： 03 新知探究 思考 (1)已知，填空： (都是正整数); (m，n都是正整数); (n是正整数). (2)上述三个等式，能否推广到m，n是整数？ 动脑筋：应该怎么证明推广？ 分类讨论 03 新知探究 设都是正整数，求证: (1); (2); (3); (4) ; (5). (注意：可以用同底数幂的除法法则、零次幂、负整数指数幂 ) 5 03 新知探究 证明：(1) (2) (3) (4) (5) 整数指数幂的基本性质1： 03 新知探究 设都是正整数，求证: (1); (2) (3); (4) ; (5); (6); (7). 7 03 新知探究 证明：(1); (2) (3); (4) ; 03 新知探究 证明： (5); (6); (7). 整数指数幂的基本性质2： 03 新知探究 设是正整数，求证: (1); (2). 证明： (1); (2) 整数指数幂的基本性质3： 10 03 新知探究 设是整数，利用整数指数幂的基本性质2和基本性质3得 因此 03 新知探究 设计算下列各式： 例6 解：(1)； (2)； (3)= ==. (1)； (2)； (3). 1. ［2025衡阳期末］运算结果为 的是( ) B A. B. C. D. 2. ［2025石家庄月考］计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 13 3. 若一个正方体的棱长为 米，则这个正方体的体积 为( ) B A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米 4.比较大小：___（填“ ”“”或“ ”）. 5.（1）若,,则 ___. （2）若,则 ___. 5 4 返回 举一反三 14 6. 一个数学九宫格中，当处 于同一横行，同一竖列，同一对角线上的3 个数之积都相等时，称这个九宫格为“积的 九宫归位”.在如图的九宫格中，已填写了一 【点拨】由题意得,即 ,即 ,所以,所以 . 些数或式子，为了完成“积的九宫归位”，则 的值为____. 返回 举一反三 15 03 新知探究 计算下列各式：(1); (2). 例7 解： (1) ; (2). 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.下列运算结果为的是（　　） A． B． C． D． D 04 课堂练习 2.下列各式正确的是（　　） A． B． C． D．（，n为正整数） D 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.已知x,y都是整数，且则的值是（　　） A． B． C． D． D 新知应用 基础巩固题 2.计算 的结果是( ) . D A. B.64 C. D. 解： . 1.计算： _ ___． <m></m> 解： . = = 新知应用 基础巩固题 根据积的乘方的运算法则，可得 解： 3. 计算 的结果是 （ ） A = 新知应用 基础巩固题 4.下列各式计算正确的是( ) . D A. B. C. D. 5.计算的结果为（ ） A.-1 B.1 C.0 D.-x 先乘方，再乘除，最后结果不能含负整数指数幂。 关键是掌握整数指数幂的基本性质 新知应用 基础巩固题 (3) 6. 设 a ≠ 0，b ≠ 0，计算下列各式： (4) a-5(a2b-1)3 =_______. (1) (2) 关键是掌握整数指数幂的基本性质 = = 先乘方，再乘除，最后结果不能含负整数指数幂。 7. 教材P51习题 计算下列各式，并把结果化为正整 数指数幂的形式. （1） ； 【解】 . （2） ； . 举一反三 24 （3） . . 返回 举一反三 25 8. 我们把正整数指数幂的运算扩充到整数 指数幂的运算，同样，我们也可把整数指数幂的运算扩充到 分数指数幂的运算. （ⅰ）正数的分数指数幂的形式是，， 都是有理 数， . 举一反三 26 （ⅱ）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相 仿，我们规定：，， 都是有理数， . （ⅲ）整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用， 即对于任意有理数， ,均有下面的运算性质： 举一反三 05 课堂小结 整数指数幂的基本性质1： 整数指数幂的基本性质2： 整数指数幂的基本性质3： 同底数幂的除法法则： 分式的乘方： 谢谢观看 THANKS $