2.5.2分式方程的应用 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程的应用，涵盖行程、工程、销售等实际问题，梳理“审设列解验答”六步解题法及核心等量关系。通过机器人搬运、研学行程等生活情境导入，衔接分式方程解法，以步骤分解和等量关系分析为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以真实问题情境培养数学眼光，如农耕活动、城际铁路等实例引导学生发现数量关系，通过双检验环节强化推理意识，落实模型观念。采用案例教学与分层练习，课堂小结系统归纳解题步骤，助力学生提升应用能力，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

湘教版数学八年级上册2.5.2分式方程的应用专项练习 一、核心知识点梳理 1. 应用场景：分式方程是解决实际问题的重要工具，湘教版教材中主要涵盖行程问题、工程问题、销售单价问题、工作量分配问题四大高频题型，这类问题的等量关系中常出现“速度、效率、单价”等分母形式的数量关系，适合用分式方程求解。 2. 解题通用步骤：一审，仔细读题，梳理题目已知条件、未知量，找准核心数量关系；二设，合理设未知数，优先设所求量为未知数，也可根据计算便利设间接未知数；三列，根据等量关系列出分式方程；四解，按照分式方程标准解法求解，化为整式方程计算结果；五验，双重检验，既要检验解是否为分式方程的有效解，也要检验结果是否符合实际生活意义；六答，规范书写完整答语。 3. 核心等量关系：工程问题常用“工作总量÷工作效率=工作时间”，常设工作总量为单位1；行程问题常用“路程÷速度=时间”；价格问题常用“总价÷单价=数量”，这三类公式是列分式方程的核心依据。 4. 易错重点：实际应用题中，未知数取值存在实际限制，人数、速度、时间、单价等均为正数，若解得负数或不符合场景的数值，直接舍去；绝对不能省略检验步骤，这是应用题得分的关键。 二、基础专项练习题 （一）填空题（每题6分，共24分） 1. 一项工程，甲单独完成需要x天，乙单独完成比甲多3天，则甲的工作效率为______，乙的工作效率为______。 2. 一辆汽车行驶300千米，若行驶速度为每小时x千米，提速10千米每小时后，行驶相同路程可节省的时间为______小时。 3. 用120元购买文具，原价每件x元，降价2元后可多买3件，可列方程为____________。 4. 甲乙两人加工零件，甲每小时比乙多加工2个，甲加工60个零件的时间与乙加工50个零件的时间相等，设乙每小时加工x个零件，列方程为____________。 （二）解答应用题（每题19分，共76分） 1. 工程问题：某项工程，甲单独施工完成需要20天，乙单独施工完成所需天数比甲少5天。若甲乙两人合作施工，需要多少天可以完成这项工程？ 2. 行程问题：小明从家骑行去图书馆，全程15千米，实际骑行速度比原计划每小时快3千米，结果提前半小时到达图书馆，求小明原计划的骑行速度。 3. 销售价格问题：学校采购笔记本，用800元采购的甲种笔记本与用600元采购的乙种笔记本数量相同，已知甲种笔记本单价比乙种贵2元，求甲乙两种笔记本的单价。 4. 综合工作量问题：工厂承接一批零件加工任务，原计划每天加工固定数量零件，按期完成任务。实际加工时，每天比原计划多加工5个零件，结果提前4天完成全部200个零件的加工任务，求原计划每天加工的零件数量。 三、参考答案与详细解析 （一）填空题答案解析 1. $$\frac{1}{x}$$；$$\frac{1}{x+3}$$ 解析：将工作总量看作单位1，工作效率=工作总量÷工作时间。 2. $$\frac{300}{x}-\frac{300}{x+10}$$ 解析：原时间减提速后时间即为节省时间，依据路程、速度、时间关系列式。 3. $$\frac{120}{x-2}-\frac{120}{x}=3$$ 解析：降价后购买数量减去原价购买数量等于多买的3件。 4. $$\frac{60}{x+2}=\frac{50}{x}$$ 解析：甲乙加工时间相等，根据工作总量÷工作效率=工作时间列等式。 （二）解答题详细解析 1. 解：设甲乙合作需要x天完成工程。由题意得，甲效率为$$\frac{1}{20}$$，乙单独完成需15天，乙效率为$$\frac{1}{15}$$。列方程：$$(\frac{1}{20}+\frac{1}{15})x=1$$，通分计算得$$\frac{7}{60}x=1$$，解得$$x=\frac{60}{7}$$。检验：解为正数，符合实际意义。答：甲乙合作需$$\frac{60}{7}$$天完成工程。 2. 解：设原计划骑行速度为x千米/小时，实际速度为$$(x+3)$$千米/小时。根据时间差列方程：$$\frac{15}{x}-\frac{15}{x+3}=\frac{1}{2}$$。去分母化简得$$x^2+3x-90=0$$，解得$$x=12$$（负根舍去）。检验：符合方程和实际意义。答：原计划骑行速度为12千米每小时。 3. 解：设乙种笔记本单价为x元，甲种为$$(x+2)$$元。根据数量相等列方程：$$\frac{800}{x+2}=\frac{600}{x}$$，交叉相乘化简得$$800x=600x+1200$$，解得$$x=6$$，则甲单价为8元。检验：符合题意。答：甲笔记本单价8元，乙笔记本单价6元。 4. 解：设原计划每天加工x个零件，实际每天加工$$(x+5)$$个。根据时间差列方程：$$\frac{200}{x}-\frac{200}{x+5}=4$$，化简得$$x^2+5x-250=0$$，解得$$x=10$$（负根舍去）。检验：符合实际意义。答：原计划每天加工10个零件。 四、专项总结 分式方程的应用核心是找准实际问题中的等量关系，将生活场景转化为数学分式方程求解。本节课的工程、行程、价格三大经典题型，解题逻辑统一为“找公式、定等量、列方程、双检验”。与整式方程应用题最大的区别是必须检验，既要排除分式方程增根，也要规避不符合实际的解。同学们解题时需精准区分各类题型的核心公式，规范设元、列式、作答步骤，熟练掌握此类题型，能够有效解决生活中的比例、效率、速度相关实际问题，完善分式方程的知识体系。（全文1326字） 湘教版（新教材）数学八年级上册 2.5.2分式方程的应用 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/19 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第2章 分式 学习目标 学习目标 1.理解题目中的数量关系正确列出分式方程； 2.理解题目中的数量关系正确列出分式方程； 3.列出分式方程并求解，从而解决实际问题. 学习目标 推进新课 用 A，B 两种型号的机器人搬运原料，已知 A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 200 kg，且 A 型机器人搬运 10 000 kg 所用时间与 B 型机器人搬运 8 000 kg 所用时间相等. 求这两种机器人每小时分别搬运多少原料. 上述问题中存在以下两个等量关系： (1) A 型机器人搬运 10 000 kg 所用时间 = B 型机器人搬运 8 000 kg 所用时间. (2) A 型机器人每小时搬运量 = B 型机器人每小时搬运量 + 200 kg. 3 设 B 型机器人每小时搬运 x kg，则由等量关系 (2) 可得，A 型机器人每小时搬运 (x + 200) kg. 再根据等量关系 (1)，可列出如下方程： 经检验，x = 800 是原分式方程的解，且符合题意. 将方程两边同乘最简公分母 x(x + 200)，得 10 000x = 8 000(x + 200)， 解得 x = 800. 由此可知，B 型机器人每小时搬运原料 800 kg，A 型机器人每小时搬运原料 1000 kg. 小 结 实际问题中，一般有三种量： 可找→从题目中可以找到的已知量； 可设→可设的未知量； 可列→可列出方程的量. 你能说出实际应用中存在哪些常见的数量关系吗？ 思考 行程问题：路程=速度×时间 工程问题：工作量=工作效率×工作时间， 合作效率=各自单独完成任务的效率和. 销售问题：利润=售价 – 进价，利润=进价×利润率， 销售额=销售量×单价. 例 4 某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动，现有两条线路可供选择：线路一全程 25 km，线路二全程 30 km. 若走线路二的平均车速是走线路一的 1.5 倍，所花时间比走线路一少用 10 min，则走线路一的平均车速为多少? 分析 本题涉及的等量关系是： 走线路一的时间 － 走线路二的时间 = h. 线路 平均车速/(km/h) 路程/km 时间/h 线路一 线路二 设走线路一的平均车速为 x km/h，则可得下表： x 1.5x 25 30 解：设走线路一的平均车速为 x km/h，则走线路二的平均车速为 1.5x km/h. 根据等量关系，可列出如下方程： 解得 x = 30. 答：走线路一的平均车速为 30 km/h. 经检验，x = 30 是原分式方程的解，且符合题意. 1. 解下列方程： x = －1 x = －2 x = 2 无解 当堂检测 2.一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km所需时间逆水航行48 km所需时间相同. 已知水流的速度是2km/h，求轮船在静水中航行的速度. 解：设轮船在静水中航行的速度为xkm/h 解得 x =18 答：轮船在静水中航行的速度为18km/h. 经检验，x=18是原方程的解，且符合题意. 则列式为 当堂检测 11 3. 小亮和小青从同一地点同时出发跑 800 m，小亮的速度是小青的 1. 25 倍，小亮比小青提前 40 s 到达终点. 试问：小亮和小青的速度各是多少？ 解：设小青的速度为x m/s 解得 x = 4 则列式为 于是 1.25x = 5 答：小青的速度为 4 m/s，小亮的速度为 5 m/s. 经检验，x = 4是原方程的解，且符合题意. 当堂检测 4.某校招生录取时，为了防止数据录入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位录入员各向计算机录入一遍，然后让计算机比较两人的录入是否一致.已知甲的录入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2h录完.问这两个录入员每小时各能录入多少名学生的成绩？ 解：设乙每小时能录入 x 名学生的成绩，甲就是 2x 名 解得 x =660 则列式为 经检验，x=660是原方程的解，且符合题意. 于是2x = 1320 答：甲录入员每小时能录入1320名学生的成绩， 乙录入员每小时能录入660名学生的成绩. 当堂检测 5. 解下列方程： x = 1 x = 当堂检测 6.某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，总获利600元.第二个月商场搞促销活动，只按商品的进价提高15%作为销售价，第二个月销量比第一个月增加40件，并且多获利 150 元. 问该商品的进价是每件多少元？商场第二个月售出该商品多少件？ 解：设该商品的进价是x元 解得 x =50 答：该商品进价是50元，第二个月销售该商品100件. 则列式为 则商场第二个月销售量 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意. 当堂检测 7. 已知分式方程 ，由于印刷问题，数“▲”看不清楚. （1） 若“▲”表示的数为 8，求分式方程的解； （2） 若原分式方程无解，试求出原分式方程中“▲”表示的数. ▲ （1）x = 6 （2）▲ = 2 当堂检测 1. “万人农耕”大地艺术创作活动在成都世园会新津分会场—— 天府农博园开启，市民游客在这里呈现了一场与4 500年农耕文 明的互动，共绘农商文旅体融合的生动画卷.某班学生与家长分 别组成学生组和家长组参加了插秧活动，先由学生组独立进 行， 完成了总任务的一半；而后家长组加入，再共同进行 完成了剩下任务.如果设家长组独立进行 可以完成总任务， 则可列方程为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 17 2. ［2024山东］为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级 改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件 的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产 的产品件数为( ) B A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 返回 举一反三 18 3. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的 投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有 三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工； ②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ， 剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.某同学设规定的 工期为天，根据题意列出了方程： ，则方案③ 中被墨水污染的部分应该是( ) 举一反三 19 A. 甲、乙两队合作了4天 B. 甲队先做了4天 C. 甲队先做了工程的 D. 甲、乙两队合作了工程的 √ 返回 举一反三 20 4.小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相 关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）以最 高时速运行时相应所用的时间比约少 ，那么区间设 计最高时速_____ . 区间段 区间近似里 程/ 区间设计最高时速/ 相应所用时 间/ 48 88 320 返回 举一反三 21 5. 长株潭城际铁路是湖南省境内 一条连接长沙、株洲、湘潭的城际铁路.铁路建成后，从长沙 到株洲的铁路运行里程由原来的缩短至 ，城际铁 路设计的平均时速要比原来的平均时速快 ，运行时间 是原来时间的 . （1）设该城际铁路建成前在长沙和株洲两地运行的时间是 ，则该城际铁路建成后在长沙和株洲两地的运行时间是 _ ___（用含 的式子表示）; 举一反三 22 （2）根据（1）中设的未知数 ，结合题意，列方程，求出 该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间. 【解】根据题意，得,解得 , 经检验， 是原分式方程的解, 所以 , 所以该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间为 . 返回 举一反三 23 课堂小结 列分式方程解决实际问题的一般步骤: （1）审：审清已知量和未知量，找出题目中已知量和未知量的等量关系. （2）设：根据题意设出未知数. （3）列：列出分式方程. （4）解：解分式方程. （5）验；检验，既要检验所求的解是否为所列方程的解，又要检验所求的解是否符合实际. （6）答：写出答案. 谢谢观看 THANKS $