精品解析：上海市南洋模范中学2026-2027学年高一上学期初态考试数学试题

南洋模范中学高一初态考数学试卷 2026.09 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分） 1. 设全集，，则___________ 2. 若，则__________． 3. 若集合有且仅有三个真子集，则的取值范围是__________． 4. 命题“存在，使得”的否定是__________． 5. 下列命题中，是的必要非充分条件的是__________． ①：且，：；②：四边形的四个角都相等，：四边形是正方形 6. 若“条件：”是“条件：”的充分非必要条件，则的取值范围是__________． 7. 满足的集合的个数为___________个. 8. 已知集合，集合，若，则a的所有取值构成的集合为__________. 9. 对于集合，，定义且，．设，，则______． 10. 设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集. ①集合为幸运集；②集合为幸运集； ③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有； 其中正确结论的序号是________ 11. 已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和.若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为________. 12. 已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________ 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分） 13. 设，都是的子集，且，，，则以下四个判断中正确的（ ）． A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 14. 如图表示图形阴影部分的是（ ） A. B. C. D. 15. 集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 16. 定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 三、解答题（本大题共有78分，第17~19题每题14分，第20、21题每题18分） 17. 已知集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图： （Ⅰ）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义； （Ⅱ）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为，试将汽车行驶这段路程时汽车里程表读数表示为时间的函数,并求出当汽车里程表读数为时，汽车行驶了多少时间？ 19. 已知集合或，. （1）求； （2）若，当时，求实数的取值范围； （3）若，当时，求实数的取值范围. 20. 在等腰梯形中，.点E在下底边 BC 上.点F 在腰 AB 上. （1）若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示 的面积； （2）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分?若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由； （3）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1：2的两部分?若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由. 21. 对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如，子集的“交替和”是，子集的“交替和”是，子集的交替和是2；定义一个唯一确定的“交替积”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，集合的“交替积”是，的“交替积”是，的“交替积”是2． （1）对于，求其所有子集的“交替和”的总和； （2）对于，求其所有子集的“交替和”的总和； （3）对于求其所有子集的“交替积”的总和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南洋模范中学高一初态考数学试卷 2026.09 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分） 1. 设全集，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】直接利用补集的概念求解即可. 【详解】全集，， 则 故答案为： 2. 若，则__________． 【答案】 或或 【解析】 【分析】根据题中条件，由元素与集合之间的关系，列关系式求解，即可得出结果. 【详解】因为， 所以或或， 所以或或或, 根据集合元素的互异性，排除的情况， 所以或或. 3. 若集合有且仅有三个真子集，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合真子集个数与元素个数的关系，确定方程有两个不等实根，通过判别式大于0，求解的取值范围. 【详解】因为集合有且仅有三个真子集，则，解得， 则一元二次方程有两个不同的实数解，则， 解得或，故的取值范围是. 4. 命题“存在，使得”的否定是__________． 【答案】 对任意，都有 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定方法求解即可. 【详解】命题“存在，使得”的否定是“对任意，都有” 5. 下列命题中，是的必要非充分条件的是__________． ①：且，：；②：四边形的四个角都相等，：四边形是正方形 【答案】 ② 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】对于命题①，由且，可推出， 取，此时，但不满足且， 所以且是的充分不必要条件； 对于命题②，若四边形的四个角都相等，则四边形是长方形，但不一定为正方形， 所以四边形的四个角都相等不能推出四边形是正方形， 由四边形是正方形可推出四边形的四个角都相等， 所以四边形的四个角都相等是四边形是正方形的必要不充分条件, 即是的必要非充分条件. 6. 若“条件：”是“条件：”的充分非必要条件，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将充分非必要条件转化为对应集合的真包含关系，列不等式组求解参数的取值范围. 【详解】设条件对应的集合为，条件对应的集合为. 由是的充分非必要条件，可得真包含于. 首先为非空数集，因此，解得. 再由真包含关系列不等式组： ， 解第一个不等式得，解第二个不等式得. 取所有不等式解集的交集，得， 验证可知此时是的真子集，满足充分非必要条件. 故的取值范围是. 7. 满足的集合的个数为___________个. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意，元素，元素是否在集合中分别有2种情况，根据分步计数原理即得解 【详解】由题意，元素，元素是否在集合中分别有2种情况 根据分步计数原理，有种情况 故集合的个数为8个 故答案为：8 8. 已知集合，集合，若，则a的所有取值构成的集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题设得到，接着分和求出B结合分析求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，满足； 当时，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故答案为：. 9. 对于集合，，定义且，．设，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】先由题意得到，，根据题干中的新定义，求出与，再由，即可求出结果. 【详解】由题意得， ， 又对于集合，，定义且，， 故，， 所以或． 故答案为或 【点睛】本题主要考查新定义下集合交集与并集的混合运算，熟记交集与并集的概念即可，属于常考题型. 10. 设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集. ①集合为幸运集；②集合为幸运集； ③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有； 其中正确结论的序号是________ 【答案】②④ 【解析】 【分析】 ①取判断；②设判断；③举例判断；④由可以相同判断； 【详解】①当，，所以集合P不是幸运集，故错误； ②设，则，所以集合P是幸运集，故正确； ③如集合为幸运集，但不为幸运集，如时，，故错误； ④因为集合为幸运集，则，当时，，一定有，故正确； 故答案为：②④ 【点睛】关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的（可以相同），都有，，”，灵活运用举例法. 11. 已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和.若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为________. 【答案】2560 【解析】 【分析】利用A集合的所有子集中，每个元素出现的次数为，计算出集合中所有非空子集的“变项和”的总和. 【详解】A集合的所有非空子集中，每个元素出现的次数都是， 则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为 . 12. 已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________ 【答案】1或 【解析】 【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值. 【详解】，则只需考虑下列三种情况： ①当时， 又 且 可得： ②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去 ③当即时 可得：且 综上所述：或 【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分） 13. 设，都是的子集，且，，，则以下四个判断中正确的（ ）． A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出韦恩图，确定出A与B，即可作出判断. 【详解】因为，若，，， 所以画出韦恩图: ，，则且. 故选: D 【点睛】本题主要考查了集合的交、并、补集的混合运算，以及集合的韦恩图表示法，属于中档题. 14. 如图表示图形阴影部分的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是B的元素且C的元素，或是A的元素”，由韦恩图与集合之间的关系可得答案． 【详解】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素 故可以表示为，也可以表示为：. 故选：B． 15. 集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合M和集合N的长度，由此能求出集合的“长度”的最小值． 【详解】根据新定义可知集合M的长度为，集合N的长度为， 当集合的长度最小时，M与N应分别在区间上的左右两端， 故的长度的最小值是 故选：B. 16. 定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用题设中的新定义，可判定①正确；利用集合运算的韦恩图法，可判定②正确、④错误；利用题设中的定义与集合的运算方法，可判定③正确. 【详解】对于①中，由，所以①正确； 对于②中，由且， 同理可得：, 则， 所以， 所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示， 同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合， 所以，所以②正确； 对于③中，由，所以③正确； 对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误. 故选：B. 三、解答题（本大题共有78分，第17~19题每题14分，第20、21题每题18分） 17. 已知集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 当时，， 因为，所以； 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 若是空集，则，得； 若不是空集，则，得， 则实数的取值范围为或 18. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图： （Ⅰ）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义； （Ⅱ）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为，试将汽车行驶这段路程时汽车里程表读数表示为时间的函数,并求出当汽车里程表读数为时，汽车行驶了多少时间？ 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 小时 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用矩形的面积公式求出三个矩形面积相加即可；横坐标轴表示时间，纵坐标轴表示速度，所以面积即为汽车在3小时内行驶的路程；（Ⅱ）利用分段函数定义，可以建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数和时间的函数关系式，并将代入对应的表达式即可求出行驶的时间． 【详解】（Ⅰ）阴影部分的面积为， 阴影部分的面积表示汽车在小时内行驶的路程为． （Ⅱ）由题意得， 令，解得， 所以汽车行驶小时. 【点睛】解答应用题时，要注意利用题中的数据及其蕴含的关系，平常学习时要注意培养自己的看图能力，分析问题能力． 19. 已知集合或，. （1）求； （2）若，当时，求实数的取值范围； （3）若，当时，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）直接根据补集定义求解； （2）分、、三种情况讨论集合的范围，结合子集关系求解； （3）分和两种情况，结合交集为空的条件求解. 【小问1详解】 因为，，所以. 【小问2详解】 当时，，满足； 当时，，由得，解得； 当时，，由得，解得. 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 当时，，解得； 当时，，由得或，即或. 结合，得或. 综上，实数的取值范围是. 20. 在等腰梯形中，.点E在下底边 BC 上.点F 在腰 AB 上. （1）若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示 的面积； （2）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分?若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由； （3）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1：2的两部分?若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，此时； （3）不存在，理由如下： 情况一：的面积：多边形的面积，， 梯形周长的为，面积的为， 又，又，即，所以， 所以， 所以，整理得此时，无解，故不存在； 情况二：的面积：多边形的面积，， 梯形周长的为，面积的为， 又，又，即，所以， 所以， 所以，整理得 解得，不符合题意，舍去，故不存在； 综上所述：不存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1：2的两部分. 【解析】 【分析】（1）由题知，梯形周长为24，高为4，设BE长为x，则，由，得，表示出，再由三角形面积公式即可求得的面积； （2）令，解方程求解即可； （3）分两种情况， 情况一：的面积：多边形的面积，，情况二：的面积：多边形的面积，.分别表示出的面积，分别列方程或，求解即可. 【小问1详解】 过作交于点，过作交于点， 所以， 由题知，梯形周长为24，高为4，面积为28， 因为EF 平分等腰梯形ABCD 的周长， 设BE长为x，则，（） 由题，所以，即， 所以， 所以. 【小问2详解】 存在，由（1）知，， 解得， 所以存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分，此时； 【小问3详解】 不存在，理由略. 21. 对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如，子集的“交替和”是，子集的“交替和”是，子集的交替和是2；定义一个唯一确定的“交替积”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，集合的“交替积”是，的“交替积”是，的“交替积”是2． （1）对于，求其所有子集的“交替和”的总和； （2）对于，求其所有子集的“交替和”的总和； （3）对于求其所有子集的“交替积”的总和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将集合的子集分为有9的子集，和去掉9之后的子集，再根据“交替和”的定义，即可求解； （2）将集合的子集分为有的子集，和去掉之后的子集，再根据“交替和”的定义，即可求解； （3）首先求出集合的元素，再对集合分组，有的子集和去掉的子集为一组，求每一组“交替积”的和，即可求解. 【小问1详解】 集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉9的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为9，共有组，所以，所有“交替和”之和应该为 【小问2详解】 集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为，共有组，所以，所有“交替和”之和应该为； 【小问3详解】 集合， 其中除去外还有个非空子集， 把这把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替积”之积， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替积”的和为0，共有组，所以，所有“交替积”之和应该为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，前2问是将集合分为有最大元素的集合，和去掉最大元素的集合，这样找到规律，最后一问，是将集合分为有元素的集合和去掉元素的集合为一组，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $