上海市南洋模范中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

2025 学年第一学期南模中学高一年级12月月考 一、填空题 1. 已知 ，用 的代数式表示 _____. 2. 若集合 ，则 的子集共有_____个. 3. 已知函数 ，则 _____. 4. 已知函数 是幂函数，且该函数是偶函数，则 的值是_____. 5. 若 ，则关于 的不等式 的解集是_____ 6. 点 都在同一个指数函数的图像上，则 _____. 7. 若函数 为偶函数，则 _____. 8. 若 ,则下列不等式: ; ; ; 中成立的是_____. (填写你认为正确的命题序号) 9. 若 ，则 取得最小值时， _____. 10. 已知 是定义在 上的严格单调函数，且对任意的实数 ，都有 , 则 的值为_____. 11. 定义全集 的子集 的特征函数 ,对于两个集合 ,定义集合 已知集合 ，并用 表示有限集 的元素个数，则对于任意有限集 ， 的最小值为_____. 121 设 表示不超过 的最大整数,方程 的最小解与最大解的和为_____. 二、选择题 13. 已知集合 ，则下列说法错误的是( ) A. B. C. D. 14. " "的一个必要非充分条件是( ) A. B. C. D. 15. 下列命题中: ①当 时，函数 的图象是 一条直线； ②函数 和 为同一函数； ③若函数 是奇函数，则 ； ④函数 在区间 上的图象是一段连续曲线，如果 ，则函数 在 上没有零点. 真命题的个数为( ) A. 0 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 16. 设 ,函数 的表达式为 ,若 ,且关于 的方程 的整数解有且仅有 4 个,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知集合 . (1)若“ ”是“ ”的必要非充分条件，求实数 的取值范围； (2)若 ，求实数 的取值范围. 18. 已知 . (1)当 ，求 的值； (2)当 时，用 ， 表示 . 19. 某商场销售一款 2025 年纪念玩偶，已知该项目的启动固定成本为 300 万元. 假设购进的玩偶能全部售出，且根据市场调研，每件产品的最高售价为 80 元. 若按最高售价销售，可售出 15 万件，且每降价 1 元，销量增加 5 千件. 若购进该产品数量不超过 30 万件, 则每件产品成本 30 元, 若购进 30 万件以上, 则采用 “合作销售模式”, 此时利润 (万元) 与销量 (万件) 的关系为 . (1)当购进产品数量为 10 万件、 25 万件、 40 万件时，利润分别是多少？ (2)该商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 20. 已知 . (1)当 时，求函数 的定义域及不等式 的解集； (2)若函数 只有一个零点，求实数 的取值范围. 21. 已知函数 为奇函数, ,其中 . (1)若函数 的图象过点 ，求实数 和 的值； (2)若 ，试判断函数 在 上的单调性并用定义证明； 3 设函数 ，若对每一个不小于 3 的实数 ，都存在小于 3 的实数 ， 使得 成立，求实数 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $