期中模拟卷（第十三至十五章•提高卷）-2026-2027学年八年级上册数学人教版

**基本信息** 聚焦三角形、全等三角形及轴对称，以手工小棒、物流站选址等真实情境设计问题，强化几何直观与推理能力，适配八年级期中提高训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、全等判定、轴对称性质|以手工小棒（1题）考查三边关系，强化抽象能力| |填空题|5/15|外角性质、中线与面积、逆命题|结合人字形屋架（13题）考轴对称，培养几何直观| |解答题|8/75|全等证明、作图、动态等腰三角形分类|23题分层次探究剪拼问题，21题作图求面积，发展推理能力与创新意识|

八年级上册 期中模拟 期中模拟·提高卷 保密★启用前 八年级上学期期中模拟卷（第十三至十五章•提高卷） 人教版数学八年级上册 （试卷总分：120分　建议用时：100分钟　测试范围：第十三章 三角形、第十四章 全等三角形、第十五章 轴对称） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请把班级、姓名、考号填写在试卷规定的位置上。 2．选择题只有一个选项符合题意，把所选项前的字母填在题后的括号内。 3．证明题要写出每一步的依据，计算题要写出必要的推理与计算过程，只写结论不得分。 4．作图题请用2B铅笔和直尺、圆规完成，作图痕迹要保留清楚，最后用黑色笔描一遍。 评卷人 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．手工课上准备了四组小棒，每组三根，长度（单位：cm）如下。用其中一组小棒首尾顺次相接钉成三角形木架，能钉成的一组是(____)。 A．2，3，5　　B．6，7，9　　C．4，4，9　　D．3，8，12 2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D在边BC上。若∠B＝52°，∠C＝38°，则∠ADB的度数是(____)。 A．76°　　B．90°　　C．83°　　D．97° 3．如图，两块三角形纸片能够完全重合，把它们记作△ABC≌△FED。若∠A＝65°，∠E＝72°，则∠C的度数是(____)。 A．43°　　B．50°　　C．65°　　D．72° 4．如图，在△ABC中，直线MN是边BC的垂直平分线，它与BC交于点G，与AB交于点D，连接CD。若△ABC的周长是29，BC＝11，则△ACD的周长是(____)。 A．12.5　　B．23.5　　C．29　　D．18 5．在平面直角坐标系中，点M(a＋2，3)与点N(－4，b－1)关于y轴对称，则a＋b的值是(____)。 A．6　　B．4　　C．2　　D．8 6．如图，AB与CD是相交于点O的两条线段，OA＝OB，∠A＝∠B，连接AC、BD。若OD＝4，AC＝7，那么下面四个结论中错误的是(____)。 A．△AOC≌△BOD　　B．OC＝7　　C．OC＝4　　D．BD＝7 7．如图，等边三角形ABC的边长是8。点D在边AC上，且CD＝3，过点D作BC的垂线，垂足是E。那么CE的长是(____)。 A．1.5　　B．2.5　　C．3　　D．6 8．已知三角形的两边长分别是7与10，第三边长是奇数，那么这样的三角形共有(____)个。 A．4　　B．5　　C．6　　D．7 9．如图，一块四边形铁皮ABCD中，量得AB与AD的长相等。工人沿对角线AC把它剪成两块，想让剪下的两块铁皮完全重合。下面四个测量结果中，不能作为判断依据的是(____)。 A．BC＝DC B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠ACB＝∠ACD 10．在△ABC中，AB与AC是相等的两条腰，从顶点B向腰AC所在的直线画垂线，垂足是D。若∠ABD＝20°，那么顶角∠BAC的度数是(____)。 A．70° B．110° C．70°或110° D．20°或160° 评卷人 得分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，点D在BC的延长线上，∠ACD是△ABC的一个外角。若∠ACD＝118°，且∠B比∠A小26°，则∠A的度数是(____)。 12．如图，一块三角形菜地ABC被两条小路AD、DE分成三块，其中AD是BC边上的中线，点E是AC的中点。若整块菜地的面积是24平方米，那么△ADE这一块的面积是(____)平方米。 13．如图，人字形屋架中AB＝AC，立柱AD垂直于横梁BC，垂足是D。若顶角∠BAC＝96°，则∠BAD＝ (____)，∠B＝ (____)。 14．把命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的题设与结论互换，得到它的逆命题。它的逆命题成立吗？在括号里填“成立”或“不成立”：(____)；判断时可以比较下面这样两个面积相等的直角三角形：一个的两条直角边是3与8，另一个的两条直角边是4与(____)。 15．如图，点P在∠MON的内部，∠MON＝30°，OP＝6。点E在射线OM上，点F在射线ON上，连接PE、EF、FP，则△PEF周长的最小值是(____)。 评卷人 得分 三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，BE平分∠ABC，BE与AD相交于点F，与AC相交于点E。已知∠C＝34°。 (1)求∠BAD的度数； (2)求出∠AFE与∠AEF这两个角的度数。 17．如图，点A、B是笔直的公路l同一侧的两个物流站。 (1)要在公路l上建一个中转站P，使它到两个物流站的距离相等，请用圆规和无刻度的直尺画出点P（画图痕迹要保留）； (2)连接PA、PB后量得∠PAB＝48°，求∠APB的度数。 18．如图，△ABC中AB与AC相等。在边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使BD＝CE；连接CD、BE，这两条线段相交于点O。 (1)求证：△BCD≌△CBE； (2)求证：OB＝OC。 19．如图，点C、D在线段AB的两侧，∠ACB＝∠ADB＝90°，AC＝AD。连接CD，CD与AB相交于点O。 (1)求证：BC＝BD； (2)求证：AB与CD互相垂直，且点O是CD的中点。 20．如图，在每个小方格的边长都是1个单位长度的方格纸中建立了平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点上。 (1)在方格纸中画出△ABC以x轴为对称轴的轴对称图形△A′B′C′； (2)对照图形写出A′、B′、C′各点的坐标； (3)求△ABC的面积。 21．如图，一块三角形空地的三条边AB、BC、CA都是绿道。社区打算在空地内修一个健身点P，使它到三条绿道的距离都相等。 (1)请在图中作出健身点P，把尺规作图的痕迹保留在图上； (2)测得三条绿道的总长是36，点P到绿道AB的距离是3，求这块空地的面积。 22．如图，点D、A、E依次在直线l上，点B、C在直线l的同侧，∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝60°，且BA＝AC。 (1)求证：△DBA≌△EAC； (2)若BD＝5，DE＝13，求CE的长。 23．一块等腰三角形彩纸ABC中，腰AB与AC相等，顶角∠BAC＝100°。在底边BC上取一点D（点D不与B、C重合），沿AD把彩纸剪成两块。 (1)求∠B的度数； (2)若剪出的△ABD恰好是等腰三角形，求∠BAD的度数； (3)在(2)的条件下，直接写出∠ADC的度数。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上册 期中模拟 期中模拟·提高卷 保密★启用前 八年级上学期期中模拟卷（第十三至十五章•提高卷） 人教版数学八年级上册 （试卷总分：120分　建议用时：100分钟　测试范围：第十三章 三角形、第十四章 全等三角形、第十五章 轴对称） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请把班级、姓名、考号填写在试卷规定的位置上。 2．选择题只有一个选项符合题意，把所选项前的字母填在题后的括号内。 3．证明题要写出每一步的依据，计算题要写出必要的推理与计算过程，只写结论不得分。 4．作图题请用2B铅笔和直尺、圆规完成，作图痕迹要保留清楚，最后用黑色笔描一遍。 评卷人 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．手工课上准备了四组小棒，每组三根，长度（单位：cm）如下。用其中一组小棒首尾顺次相接钉成三角形木架，能钉成的一组是(____)。 A．2，3，5　　B．6，7，9　　C．4，4，9　　D．3，8，12 2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D在边BC上。若∠B＝52°，∠C＝38°，则∠ADB的度数是(____)。 A．76°　　B．90°　　C．83°　　D．97° 3．如图，两块三角形纸片能够完全重合，把它们记作△ABC≌△FED。若∠A＝65°，∠E＝72°，则∠C的度数是(____)。 A．43°　　B．50°　　C．65°　　D．72° 4．如图，在△ABC中，直线MN是边BC的垂直平分线，它与BC交于点G，与AB交于点D，连接CD。若△ABC的周长是29，BC＝11，则△ACD的周长是(____)。 A．12.5　　B．23.5　　C．29　　D．18 5．在平面直角坐标系中，点M(a＋2，3)与点N(－4，b－1)关于y轴对称，则a＋b的值是(____)。 A．6　　B．4　　C．2　　D．8 6．如图，AB与CD是相交于点O的两条线段，OA＝OB，∠A＝∠B，连接AC、BD。若OD＝4，AC＝7，那么下面四个结论中错误的是(____)。 A．△AOC≌△BOD　　B．OC＝7　　C．OC＝4　　D．BD＝7 7．如图，等边三角形ABC的边长是8。点D在边AC上，且CD＝3，过点D作BC的垂线，垂足是E。那么CE的长是(____)。 A．1.5　　B．2.5　　C．3　　D．6 8．已知三角形的两边长分别是7与10，第三边长是奇数，那么这样的三角形共有(____)个。 A．4　　B．5　　C．6　　D．7 9．如图，一块四边形铁皮ABCD中，量得AB与AD的长相等。工人沿对角线AC把它剪成两块，想让剪下的两块铁皮完全重合。下面四个测量结果中，不能作为判断依据的是(____)。 A．BC＝DC B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠ACB＝∠ACD 10．在△ABC中，AB与AC是相等的两条腰，从顶点B向腰AC所在的直线画垂线，垂足是D。若∠ABD＝20°，那么顶角∠BAC的度数是(____)。 A．70° B．110° C．70°或110° D．20°或160° 评卷人 得分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，点D在BC的延长线上，∠ACD是△ABC的一个外角。若∠ACD＝118°，且∠B比∠A小26°，则∠A的度数是(____)。 12．如图，一块三角形菜地ABC被两条小路AD、DE分成三块，其中AD是BC边上的中线，点E是AC的中点。若整块菜地的面积是24平方米，那么△ADE这一块的面积是(____)平方米。 13．如图，人字形屋架中AB＝AC，立柱AD垂直于横梁BC，垂足是D。若顶角∠BAC＝96°，则∠BAD＝ (____)，∠B＝ (____)。 14．把命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的题设与结论互换，得到它的逆命题。它的逆命题成立吗？在括号里填“成立”或“不成立”：(____)；判断时可以比较下面这样两个面积相等的直角三角形：一个的两条直角边是3与8，另一个的两条直角边是4与(____)。 15．如图，点P在∠MON的内部，∠MON＝30°，OP＝6。点E在射线OM上，点F在射线ON上，连接PE、EF、FP，则△PEF周长的最小值是(____)。 评卷人 得分 三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，BE平分∠ABC，BE与AD相交于点F，与AC相交于点E。已知∠C＝34°。 (1)求∠BAD的度数； (2)求出∠AFE与∠AEF这两个角的度数。 17．如图，点A、B是笔直的公路l同一侧的两个物流站。 (1)要在公路l上建一个中转站P，使它到两个物流站的距离相等，请用圆规和无刻度的直尺画出点P（画图痕迹要保留）； (2)连接PA、PB后量得∠PAB＝48°，求∠APB的度数。 18．如图，△ABC中AB与AC相等。在边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使BD＝CE；连接CD、BE，这两条线段相交于点O。 (1)求证：△BCD≌△CBE； (2)求证：OB＝OC。 19．如图，点C、D在线段AB的两侧，∠ACB＝∠ADB＝90°，AC＝AD。连接CD，CD与AB相交于点O。 (1)求证：BC＝BD； (2)求证：AB与CD互相垂直，且点O是CD的中点。 20．如图，在每个小方格的边长都是1个单位长度的方格纸中建立了平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点上。 (1)在方格纸中画出△ABC以x轴为对称轴的轴对称图形△A′B′C′； (2)对照图形写出A′、B′、C′各点的坐标； (3)求△ABC的面积。 21．如图，一块三角形空地的三条边AB、BC、CA都是绿道。社区打算在空地内修一个健身点P，使它到三条绿道的距离都相等。 (1)请在图中作出健身点P，把尺规作图的痕迹保留在图上； (2)测得三条绿道的总长是36，点P到绿道AB的距离是3，求这块空地的面积。 22．如图，点D、A、E依次在直线l上，点B、C在直线l的同侧，∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝60°，且BA＝AC。 (1)求证：△DBA≌△EAC； (2)若BD＝5，DE＝13，求CE的长。 23．一块等腰三角形彩纸ABC中，腰AB与AC相等，顶角∠BAC＝100°。在底边BC上取一点D（点D不与B、C重合），沿AD把彩纸剪成两块。 (1)求∠B的度数； (2)若剪出的△ABD恰好是等腰三角形，求∠BAD的度数； (3)在(2)的条件下，直接写出∠ADC的度数。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D A B A C 题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 D C 72° 6 48°；42° 不成立；6 6 　一、选择题 1．【答案】B 【解析】判断三条线段能否组成三角形，只要看较短的两条线段的长度之和是不是大于最长的那一条：只有任意两边的和都大于第三边时才能围成。 A项中2＋3＝5，两根短小棒的长度之和恰好等于最长的一根，三根小棒只会叠在同一条直线上，围不出三角形。 B项中6＋7＝13，13＞9，另外两组和也满足要求，所以这一组能钉成三角形木架。 C项中4＋4＝8，8＜9，两根短小棒接起来还够不到最长的一根；D项中3＋8＝11，11＜12，同样围不成，所以C项、D项都不行。 2．【答案】C 【解析】先在△ABC中用内角和定理求出顶角：∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－52°－38°＝90°。 AD平分∠BAC，所以∠BAD＝90°÷2＝45°。 再在△ABD中用一次内角和定理：∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－52°－45°＝83°，所以C项正确。 A项是把∠BAD错当成了∠B，算成180°－52°－52°＝76°；B项把AD错当成了BC边上的高，直接认为∠ADB＝90°；D项求出的是∠ADC（180°－83°＝97°），看错了要求的角。 3．【答案】A 【解析】写全等式时，对应顶点的字母写在对应的位置上：点A与点F、点B与点E、点C与点D分别是对应顶点。 全等三角形的对应角相等，由点B与点E对应，得∠B＝∠E＝72°。 在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－65°－72°＝43°，所以A项正确。 B项是误以为∠B与∠A相等，算成180°－65°－65°＝50°；C项把∠A的度数直接搬给了∠C，误以为∠A与∠C是一组对应角；D项把∠E的度数搬给了∠C，同样混淆了对应角——与点C对应的是点D，不是点E。 4．【答案】D 【解析】点D在BC的垂直平分线上，由线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，得DB＝DC。 △ACD的周长＝AC＋AD＋DC，把DC换成DB，得AC＋AD＋DB＝AC＋AB。 △ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝29，BC＝11，所以AB＋AC＝29－11＝18，即△ACD的周长是18，D项正确。 A项是把BC的一半（11÷2＝5.5）从18里又减了一次，得29－11－5.5＝12.5；B项把BC的一半加了进去，得29－11＋5.5＝23.5，误以为周长里还要留下半条BC；C项直接把△ABC的周长29搬了过来，没有注意到要求的是△ACD的周长。 5．【答案】A 【解析】点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y)：对称后横坐标互为相反数，纵坐标保持不变。 由纵坐标相等，得b－1＝3，解得b＝4；由横坐标互为相反数，得a＋2＝4，解得a＝2。 所以a＋b＝2＋4＝6，A项正确。 B项只算出了b；C项只算出了a；D项是把a＋b错算成了ab，得2×4＝8。 6．【答案】B 【解析】在△AOC与△BOD中，∠A＝∠B，OA＝OB，且∠AOC与∠BOD是对顶角，有∠AOC＝∠BOD，符合“角边角”，所以△AOC≌△BOD，A项成立。 由全等三角形的对应边相等，得OC＝OD＝4，C项成立；同理AC＝BD，所以BD＝7，D项成立。 OC与OD是一组对应边，OC＝4；而7是AC的长，AC与OC不是同一条线段，所以OC＝7不成立，错误的是B项。 找对应边的办法是看全等式里字母的位置：△AOC≌△BOD中，O与O、C与D对应，于是OC与OD对应，AC与BD对应，不能把AC的长搬到OC上。 7．【答案】A 【解析】等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°，所以∠C＝60°。 DE⊥BC，则∠DEC＝90°，在△DEC中，∠EDC＝180°－90°－60°＝30°。 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。∠EDC＝30°所对的直角边是CE，斜边是CD，所以CE＝3÷2＝1.5，A项正确。 B项是把AD＝8－3＝5错当成了斜边，算成5÷2＝2.5；C项直接把CD的长当成了CE；D项把倍数关系用反，算成CE＝2CD＝2×3＝6，忘了30°角所对的直角边应当是斜边的一半而不是两倍。 8．【答案】C 【解析】设第三边长是x。由三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边，得10－7＜x＜10＋7，即3＜x＜17。 在3与17之间（不含3与17）的奇数有5，7，9，11，13，15，一共6个。 每取一个这样的奇数，三条边的长都能满足三角形三边关系，所以这样的三角形共有6个，C项正确。A项是把“两边的差”错写成了较短的那条边7，按7＜x＜17只数出9，11，13，15共4个；B项把与已知边相等的7当成不合题意去掉了，只剩5个；D项把右端点17也数了进去，多出一个。 【易错提醒】两头的端点3与17必须去掉：x＝3时7＋3＝10，x＝17时7＋10＝17，都只能拼成一条线段；另外别把偶数也数进来，也别漏掉与已知边相等的7。 9．【答案】D 【解析】两块铁皮完全重合，就是要判定△ABC≌△ADC。这两个三角形已经有AB＝AD，还有公共边AC＝AC。 A项补上BC＝DC，三条边分别相等，用“边边边”可以判定全等；B项补上∠BAC＝∠DAC，这个角正好是AB与AC、AD与AC的夹角，用“边角边”可以判定全等。 C项补上∠B＝∠D＝90°，两个三角形都成了直角三角形，斜边AC与一条直角边AB＝AD分别相等，用“斜边、直角边”可以判定全等。 D项补上∠ACB＝∠ACD，相等的角是已知边AB、AD所对的角，不是两条已知边的夹角，属于“两边和其中一边的对角分别相等”，这样的两个三角形不一定全等，所以不能作为依据。 【易错提醒】“边边角”不是判定方法：用两边和其中一边的对角去拼，可以拼出形状不同的两个三角形，只有把相等的角放在两条已知边的中间才能用“边角边”。 10．【答案】C 【解析】腰上的高既可能落在三角形的内部，也可能落在三角形的外部，顶角∠BAC是锐角还是钝角要分两种情况讨论。 第一种情况：顶角∠BAC是锐角，垂足D落在边AC上。在直角三角形ABD中，两个锐角互余，∠BAC＝90°－∠ABD＝90°－20°＝70°。 第二种情况：顶角∠BAC是钝角，垂足D落在CA的延长线上。此时∠BAD＝90°－20°＝70°，而∠BAC与∠BAD互为邻补角，∠BAC＝180°－70°＝110°。 两种情况都能画出满足AB＝AC的三角形，所以顶角的度数是70°或110°，C项正确。A项、B项都只算了一种情况；D项是把∠ABD＝20°直接当成了顶角，钝角情形又算成180°－20°＝160°，没有在直角三角形里用两锐角互余。 【易错提醒】题目只说垂线画到“腰AC所在的直线”上，并没有说垂足一定落在边AC上；当顶角是钝角时垂足会落到CA的延长线上，漏掉这一种就会少一个答案。 　二、填空题 11．【答案】72° 【解析】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠ACD与∠A、∠B不相邻，所以∠A＋∠B＝∠ACD＝118°。 ∠B比∠A小26°，即∠B＝∠A－26°，代入上式得∠A＋∠A－26°＝118°，2∠A＝118°＋26°＝144°。 解得∠A＝144°÷2＝72°，此时∠B＝72°－26°＝46°，两个角的和是118°，与外角的度数相符。 顺带可求出∠ACB＝180°－118°＝62°，△ABC的三个内角和是72°＋46°＋62°＝180°，验算无误。 12．【答案】6 【解析】三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两部分：因为BD＝DC，△ABD与△ACD的底相等、高也相同，所以△ACD的面积是24÷2＝12（平方米）。 在△ACD中，点E是AC的中点，所以DE是△ACD的AC边上的中线，它又把△ACD分成面积相等的两个三角形。 所以△ADE的面积是12÷2＝6（平方米）。 两次都用了同一条道理：中线分出的两个小三角形等底等高，面积相等；连着用两次，面积就变成原来的四分之一。 13．【答案】48°；42° 【解析】AB＝AC，△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高。 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（“三线合一”），所以AD也是顶角∠BAC的平分线，∠BAD＝96°÷2＝48°。 AD垂直于BC，所以∠ADB＝90°。在△ABD中，∠B＝180°－90°－48°＝42°。 也可以先用“等边对等角”：∠B＝∠C＝(180°－96°)÷2＝42°，两种算法结果一致。 14．【答案】不成立；6 【解析】原命题的题设是“两个三角形全等”，结论是“它们的面积相等”。把题设与结论整个对调，得到的逆命题是：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等。 先把第二个空算出来：两条直角边是3与8的直角三角形，面积是3×8÷2＝12；另一个直角三角形的面积也是12，它的一条直角边是4，所以另一条直角边是12×2÷4＝6，第二个空填6（验算：4×6÷2＝12）。 再看这两个直角三角形是不是全等：后一个三角形的三条边是4、6与斜边，斜边比6还长，它没有长为3的边，而前一个三角形有一条边是3，两个三角形的三条边不可能分别相等，所以它们不全等。面积相等的两个三角形不一定全等，这个逆命题不成立，第一个空填“不成立”。 举出一个反例就足以说明一个命题不成立；而要说明一个命题成立，必须对所有符合题设的情形都作出推理。 15．【答案】6 【解析】分别作点P关于射线OM的对称点G、关于射线ON的对称点H，连接GH，GH与OM、ON的交点就是使周长最小的点E与点F。 由轴对称的性质，EP＝EG，FP＝FH，所以△PEF的周长＝PE＋EF＋FP＝GE＋EF＋FH，当G、E、F、H在同一条直线上时它最小，最小值就是线段GH的长。 又由轴对称得OG＝OP＝OH＝6，且∠GOH＝2∠MON＝2×30°＝60°，所以△OGH是有一个角是60°的等腰三角形，它是等边三角形。 所以GH＝OG＝6，即△PEF周长的最小值是6。 　三、解答题 16．【答案】（1）34°；（2）∠AFE＝62°，∠AEF＝62° 【解析】【解答】（1）在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，直角三角形的两个锐角互余，所以∠ABC＝90°－∠C＝90°－34°＝56°。 AD⊥BC，所以∠ADB＝90°，在直角三角形ABD中同样有两个锐角互余，∠BAD＝90°－∠ABC＝90°－56°＝34°。 （2）BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠DBF＝56°÷2＝28°。 在直角三角形BDF中，∠BFD＝90°－∠DBF＝90°－28°＝62°；∠AFE与∠BFD是对顶角，所以∠AFE＝62°。 在直角三角形ABE中，∠AEF＝∠AEB＝90°－∠ABE＝90°－28°＝62°。 由此还可以看出∠AFE与∠AEF相等，△AEF是等腰三角形，AF与AE相等。 17．【答案】（1）见解析中的作法与答图；（2）84° 【解析】【解答】（1）连接AB。分别以点A、点B为圆心，取同一个大于AB一半的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点画一条直线，它就是线段AB的垂直平分线；这条直线与公路l的交点就是中转站P的位置（见答图）。 作图的道理是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，点P在AB的垂直平分线上，所以PA＝PB。 （2）由(1)得PA＝PB，所以△PAB是等腰三角形，由“等边对等角”得∠PBA＝∠PAB＝48°。 在△PAB中，由内角和定理得∠APB＝180°－48°－48°＝84°。 18．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】【解答】（1）因为AB＝AC，由“等边对等角”得∠DBC＝∠ECB。 在△BCD与△CBE中，BD＝CE，∠DBC＝∠ECB，BC＝CB，符合“边角边”，所以△BCD≌△CBE。 （2）由(1)中的全等，根据全等三角形的对应角相等，得∠BCD＝∠CBE，即∠OCB＝∠OBC。 在△OBC中，∠OCB＝∠OBC，由“等角对等边”得OB＝OC。 本题的关键是把BD与CE放到以公共边BC为一边的两个三角形里：相等的角∠DBC与∠ECB正好是两组相等边的夹角，才可以用“边角边”。 19．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】【解答】（1）因为∠ACB＝∠ADB＝90°，所以△ACB与△ADB都是直角三角形，AB是它们公共的斜边。 在直角三角形ACB与直角三角形ADB中，斜边AB＝AB，直角边AC＝AD，符合“斜边、直角边”，所以△ACB≌△ADB。 由全等三角形的对应边相等，得BC＝BD。 （2）由已知AC＝AD，说明点A与线段CD的两个端点的距离相等；由(1)得BC＝BD，说明点B与线段CD的两个端点的距离相等。 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以点A、点B都在CD的垂直平分线上；两点确定一条直线，于是直线AB就是CD的垂直平分线，从而AB与CD互相垂直，并且交点O是CD的中点。 20．【答案】（1）见答图；（2）A′(－4，－3)，B′(－1，－5)，C′(－3，－1)；（3）4 【解析】【解答】（1）由图读出A(－4，3)，B(－1，5)，C(－3，1)。分别过这三点向x轴画垂线并延长相同的长度，描出它们在x轴另一侧的对称点，再依次连接，就得到△A′B′C′（见答图）。 （2）点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)：横坐标不变，纵坐标互为相反数。所以A′(－4，－3)，B′(－1，－5)，C′(－3，－1)。 （3）用补形的办法求面积：把△ABC放进一个长3个单位、宽4个单位的长方形里（三个顶点的横坐标在－4与－1之间，纵坐标在1与5之间），这个长方形的面积是3×4＝12。 长方形里多出来的是三个直角三角形，它们的面积分别是3×2÷2＝3，2×4÷2＝4，1×2÷2＝1。 所以△ABC的面积是12－3－4－1＝4。 21．【答案】（1）见解析中的作法与答图；（2）54 【解析】【解答】（1）分别作出∠BAC与∠ABC的平分线，两条角平分线的交点就是所求的点P（见答图）。 作图的道理是：角的平分线上的点到角两边的距离相等，点P在∠BAC的平分线上，所以它到AB、AC的距离相等；点P又在∠ABC的平分线上，所以它到AB、BC的距离相等，于是它到三条边的距离都相等。 （2）三条绿道的总长就是△ABC的周长36。连接PA、PB、PC，把△ABC分成△PAB、△PBC、△PCA三个三角形，它们的高都是点P到相应边的距离，都等于3。 所以S△ABC＝AB×3÷2＋BC×3÷2＋CA×3÷2＝(AB＋BC＋CA)×3÷2。 把周长36代入，得S△ABC＝36×3÷2＝54。 22．【答案】（1）见解析；（2）8 【解析】【解答】（1）因为点D、A、E在同一条直线上，所以∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝180°。 又∠BAC＝60°，所以∠DAB＋∠CAE＝180°－60°＝120°。 在△DBA中，∠BDA＝60°，所以∠DBA＋∠DAB＝180°－60°＝120°。 两式比较，得∠DBA＝∠CAE。 在△DBA与△EAC中，∠BDA＝∠AEC＝60°，∠DBA＝∠CAE，BA＝AC（BA与AC分别是∠BDA与∠AEC所对的边），符合“角角边”，所以△DBA≌△EAC。 （2）由(1)的全等，根据对应边相等，得DA＝EC，BD＝AE。 因为BD＝5，所以AE＝5。点A在D、E之间，所以DA＝DE－AE＝13－5＝8。 所以CE＝DA＝8。 这类图形常被称作“一线三等角”：三个相等的角的顶点在同一条直线上，中间那个角的两边分别落在两个三角形里，再配上一组相等的边就能判定全等。 23．【答案】（1）40°；（2）40°或70°；（3）80°或110° 【解析】【解答】（1）AB＝AC，由“等边对等角”得∠B＝∠C。由内角和定理得∠B＝(180°－100°)÷2＝40°。 （2）点D在BC上且不与B、C重合，所以∠BAD小于∠BAC，且∠ADB是△ABD的内角。在△ABD中，∠B＝40°，要使它是等腰三角形，按相等的两条边分三种情况。 ①若AB＝AD，则∠ADB＝∠B＝40°，此时∠BAD＝180°－40°－40°＝100°，这就等于∠BAC，点D与点C重合，不符合题意，舍去。 ②若DA＝DB，则∠BAD＝∠B＝40°，此时∠ADB＝180°－40°－40°＝100°，点D在BC上，符合题意。 ③若BA＝BD，则∠BAD＝∠BDA＝(180°－40°)÷2＝70°，此时∠BAD＝70°小于∠BAC＝100°，点D在BC上且不与B、C重合，符合题意。 所以∠BAD的度数是40°或70°。 （3）∠ADB与∠ADC互为邻补角。当∠ADB＝100°时，∠ADC＝180°－100°＝80°；当∠ADB＝70°时，∠ADC＝180°－70°＝110°。所以∠ADC的度数是80°或110°。 【易错提醒】等腰三角形的分类讨论要按“哪两条边相等”分，三种情况一条都不能漏；讨论完还要回到题目的限制（这里是点D不与B、C重合）去检验，把不合条件的一种舍掉，答案才是完整而准确的。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $