期中复习（第一章 空间向量与立体几何+第二章 直线和圆的方程）思维导图+八大题型 题型精讲讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版·选择性必修一·期中复习（第一、二章） 期中复习·题型精讲讲义 期中复习（第一章 空间向量与立体几何+第二章 直线和圆的方程）思维导图+八大题型 题型精讲讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册　期中复习　第一章 空间向量与立体几何（1.1～1.4）　第二章 直线和圆的方程（2.1～2.5） 含 8 个考点例题　/　共 86 题（变式 36 · 易错 8 · 作业 26）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．第一章：会用空间向量的线性运算与空间向量基本定理把几何体中的向量写成基底的线性组合，会用数量积求长度与夹角；会建立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标并做坐标运算。 2．第一章：会求直线的方向向量与平面的法向量，能用它们证明线线、线面、面面的平行与垂直；会用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角，以及点到直线、点到平面的距离，并处理棱上“是否存在点”的探索问题。 3．第二章：会由倾斜角与斜率判断两直线平行或垂直（含参数时剔除重合），会在直线方程的五种形式间互化；会用两点间、点到直线、两平行线间的距离公式，会求点关于点、点关于直线的对称点并解决光线反射与距离和差的最值。 4．第二章：会用待定系数法求圆的方程，会由圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系并求弦长、切线方程与切线长，会判断两圆位置关系并求公共弦；会把向量数量积、空间坐标条件翻译成平面内的圆，解决交汇问题。 学习重难点 重点：用法向量、方向向量处理空间的平行、垂直与角、距离；待求量先写成向量式再坐标化；直线方程的互化与三个距离公式；圆的方程、弦长与切线；几何条件到方程的翻译。 难点：建系后点坐标的准确书写；线面角用正弦、平面夹角取绝对值；存在性问题中参数范围的检验；含参两直线平行时剔除重合；过圆外一点的切线不漏斜率不存在的一条；两圆相切要分内切与外切。 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　第一章知识结构：从向量运算到几何度量 3 知识点 02　空间向量的线性运算、共线与共面 3 知识点 03　空间向量的数量积与投影向量 3 知识点 04　空间向量基本定理与坐标运算 4 知识点 05　直线的方向向量、平面的法向量与位置关系 4 知识点 06　用空间向量求距离与夹角 4 知识梳理 5 知识点 01　第二章知识结构：用方程研究直线与圆 5 知识点 02　倾斜角、斜率与两条直线的平行和垂直 5 知识点 03　直线方程的五种形式 5 知识点 04　交点坐标、三个距离公式与对称 6 知识点 05　圆的标准方程与一般方程 6 知识点 06　直线与圆、圆与圆的位置关系 6 考点 1　空间向量基本定理与坐标运算综合 7 考点 2　向量法证明平行与垂直（线线、线面、面面） 9 考点 3　向量法求夹角（异面直线、线面、两个平面） 12 考点 4　向量法求距离与探索性问题 15 考点 5　直线方程与两直线的位置关系（含参讨论） 18 考点 6　距离公式与对称问题综合 20 考点 7　圆的方程与直线和圆的位置关系（弦长、切线、最值） 23 考点 8　向量与解析几何交汇（方向向量、数量积与空间中的圆） 25 易错专练 27 课后作业（一）基础过关 28 课后作业（二）能力提升 30 课后作业（三）拓展探究 32 　课时核心导图 　知识梳理（一）第一章 空间向量与立体几何 知识点　01　第一章知识结构：从向量运算到几何度量 第一章沿着“空间向量的概念与运算→空间向量基本定理→坐标表示→用向量研究位置关系与度量”这条线展开（教材第2～46页）。前三节提供工具，1.4节把立体几何中的平行、垂直、距离与角全部翻译成向量运算。 几何问题→向量表示→向量运算→翻译回几何结论，是本章每道解答题的共同骨架 小提示：期中复习时先按导图自查五个分支，哪个分支的公式默写不出来，就回到对应的知识点重看。 知识点　02　空间向量的线性运算、共线与共面 空间向量的加法、减法与数乘运算法则与平面向量相同，任意两个空间向量都可以平移到同一平面内。共线向量定理说的是：当≠时，空间向量与平行的充要条件是有实数λ满足＝。共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝＋（教材第2～6页）。 点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y)，使＝＋ 对空间任意一点O，上式可写成＝＋＋ 小提示：证明三点共线找“λ”，证明四点共面找“x，y”；零向量与任意向量共线，共线定理中必须写上≠这个前提。 知识点　03　空间向量的数量积与投影向量 已知两个非零向量，，把〈，〉叫做，的数量积，记作·；零向量与任意向量的数量积为0。由定义得⊥⇔·＝0，·＝。向量向向量投影所得的向量叫做在上的投影向量（教材第7～9页）。 cos〈，〉＝，两向量夹角的范围是[0，π] 在上的投影向量＝〈，〉· 小提示：求线段长先写成向量再平方：＋＋展开后是三个平方项加上两两数量积的2倍，六项缺一不可。 知识点　04　空间向量基本定理与坐标运算 如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝＋＋，，，叫做空间的一个基底（教材第11页）。取单位正交基底建立空间直角坐标系后，向量有了坐标：若＝(a₁，a₂，a₃)，＝(b₁，b₂，b₃)，则±，，·都可以按分量计算（教材第16～20页）。 ·＝a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃；＝ ∥≠⇔a₁＝λb₁，a₂＝λb₂，a₃＝λb₃；⊥⇔a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃＝0 小提示：判断能否作基底只看“三个向量是否共面”：若其中一个能写成另两个的线性组合，它们就共面，不能作基底。 知识点　05　直线的方向向量、平面的法向量与位置关系 直线l上的非零向量叫做直线l的方向向量；直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则叫做平面α的法向量（教材第26～28页）。求法向量时设＝(x，y，z)，令它与平面内两个不共线向量的数量积都为0，解方程组后取一组非零解。 l₁∥l₂⇔u₁→∥u₂→；l₁⊥l₂⇔u₁→·u₂→＝0 直线l∥α(直线l⊄α)⇔⊥；直线l⊥α⇔∥；α∥β⇔n₁→∥n₂→；α⊥β⇔n₁→·n₂→＝0 小提示：证明线面平行时，算出·＝0后还必须说明直线不在平面内，否则结论只能是“平行或在平面内”。 知识点　06　用空间向量求距离与夹角 设直线l的单位方向向量为，A∈直线l，P∉直线l，＝，则点P到直线l的距离为；设平面α的法向量为，A∈α，则点P到平面α的距离为（教材第32～35页）。直线与平面所成的角θ满足sinθ＝|cos〈，〉|；平面α与平面β的夹角θ满足cosθ＝|cos〈n₁→，n₂→〉|（教材第36～38页）。 异面直线所成角θ∈(0，，cosθ＝|cos〈，〉|；线面角θ∈[0， 两个平面的夹角θ∈[0，，二面角的范围是[0，π]，要结合图形判断锐钝 小提示：三类角里只有线面角用“正弦＝余弦的绝对值”，另外两类都是“余弦＝余弦的绝对值”，这是期中最常见的失分点。 　知识梳理（二）第二章 直线和圆的方程 知识点　01　第二章知识结构：用方程研究直线与圆 第二章用坐标法研究两类最基本的图形（教材第51～103页）：先由倾斜角、斜率确定直线的方向，再按不同的几何条件写出直线方程；由圆心和半径写出圆的方程；最后用方程或圆心到直线的距离判断位置关系。 几何条件→坐标与方程→代数运算→几何结论，与第一章的向量法一脉相承 小提示：复习时把直线的五种方程形式、三个距离公式、圆的两种方程与三类位置关系默写一遍再做题。 知识点　02　倾斜角、斜率与两条直线的平行和垂直 直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，倾斜角不是90°的直线的斜率k＝tanα（教材第51～55页）。对于斜率分别为k₁，k₂的两条直线l₁，l₂，l₁∥l₂⇔k₁＝k₂（且两直线不重合），l₁⊥l₂⇔k₁k₂＝－1（教材第56～57页）。 经过P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)（x₁≠x₂）的直线的斜率k＝ 对于A₁x＋B₁y＋C₁＝0与A₂x＋B₂y＋C₂＝0：A₁A₂＋B₁B₂＝0⇔两直线垂直 小提示：用系数判平行时，A₁B₂－A₂B₁＝0只说明“平行或重合”，必须代回检验排除重合。 知识点　03　直线方程的五种形式 点斜式y－y₀＝k(x－x₀)与斜截式y＝kx＋b不能表示斜率不存在的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式＋＝1不能表示过原点及与坐标轴平行的直线；一般式Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）可以表示任何一条直线（教材第59～67页）。 截距是直线与坐标轴交点的坐标，可正、可负、可为0，不是距离 小提示：题目条件涉及截距相等、截距互为相反数、截距成倍数时，先单独考虑“直线过原点”这一种情形。 知识点　04　交点坐标、三个距离公式与对称 两条直线的交点坐标就是它们方程组的解。平面内两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)间的距离|P₁P₂|＝（教材第70～77页）。 点P₀(x₀，y₀)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线Ax＋By＋C₁＝0与Ax＋By＋C₂＝0间的距离d＝ 点P关于直线l的对称点P′：PP′⊥直线l，且PP′的中点在直线l上 小提示：用两平行线间的距离公式前，先把两个方程中x，y的系数化成完全相同；用点到直线距离公式前，先把直线化成一般式。 知识点　05　圆的标准方程与一般方程 圆心为A(a，b)、半径为r的圆的标准方程是＋＝（教材第82～84页）。方程＋＋Dx＋Ey＋F＝0在＋－4F＞0时表示圆，圆心为，，半径为（教材第85～87页）。 点M(x₀，y₀)在圆外、圆上、圆内⇔＋大于、等于、小于 小提示：已知三点用一般式设方程，已知圆心特征（在某直线上、与某直线相切）用标准式设方程，能少解一个方程。 知识点　06　直线与圆、圆与圆的位置关系 设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d＜r⇔相交，d＝r⇔相切，d＞r⇔相离（教材第91～93页）。设两圆的圆心距为d，半径分别为r₁，r₂，则d＞r₁＋r₂⇔外离，d＝r₁＋r₂⇔外切，|r₁－r₂|＜d＜r₁＋r₂⇔相交，d＝|r₁－r₂|⇔内切，d＜|r₁－r₂|⇔内含（教材第95～97页）。 弦长直线l＝；过圆外一点P的切线长＝ 两圆相交时，两个方程相减得到公共弦所在直线的方程 小提示：求过一点的切线，先判断点在圆上还是圆外；在圆外时设点斜式，求出的斜率若只有一个，一定要补上斜率不存在的那一条并检验。 【题型1】空间向量基本定理与坐标运算综合 一道题里常常先用基底表示向量，再用数量积或坐标求长度与夹角。没有坐标系时用基底法，点的坐标已知时直接做坐标运算。 例1　如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝3，AD＝AA₁＝2，∠BAD＝90°，∠BAA₁＝∠DAA₁＝60°，侧面BCC₁B₁的两条对角线交于点M。设＝，＝，＝。（1）用，，表示；（2）求线段AM的长。 【分析】三条共顶点的棱不共面，取它们作基底。M是平行四边形BCC₁B₁对角线的交点，也就是BC₁的中点，先由向量加法写出，再平方求模；平方展开后要用到三个两两数量积。 【解答】（1）因为M是BC₁的中点，所以＝＝＋＝＋。 所以＝＋＝＋＋。 （2）由已知得＝3，＝＝2，·＝0，·＝3×2×cos60°＝3，·＝2×2×cos60°＝2。 所以＝＋＋＋·＋·＋·＝9＋1＋1＋0＋3＋1＝15。 所以AM＝。 【方法小结】基底法三步：选不共面的三条棱作基底→算出三个两两数量积→把待求向量写成基底的线性组合后平方。平方展开时交叉项的系数是两个系数之积的2倍，与的交叉项系数是2××＝。 例2　空间中三点A(1，2，－1)，B(3，1，1)，C(1，6，－4)构成△ABC，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD。求∠BAC的余弦值、△ABC的面积以及第四个顶点D的坐标。 【分析】∠BAC就是向量与的夹角，用坐标求数量积与模即可；面积用∠BAC；平行四边形ABCD中＝，由此求D。 【解答】＝(2，－1，2)，＝(0，4，－3)。 ·＝2×0＋(－1)×4＋2×(－3)＝－10，＝＝3，＝＝5。 所以cos∠BAC＝＝。 由sin²∠BAC＋cos²∠BAC＝1及0＜∠BAC＜π，得sin∠BAC＝＝。 所以S△ABC＝×3×5×＝。 设D(x，y，z)，由平行四边形ABCD得＝，即(x－1，y－2，z＋1)＝(－2，5，－5)，所以x＝－1，y＝7，z＝－6，即D(－1，7，－6)。 【方法小结】空间三角形的内角就是从同一顶点出发的两个向量的夹角，注意向量的起点要取在这个顶点上；cos为负说明这个角是钝角，但面积公式中的正弦始终为正。 题型1　变式：共面求参、基底判断、重心表示与投影向量 第1、2题练共面向量定理的两种用法，第3题用基底表示与重心有关的向量，第4题由共线与数量积确定向量，第5题练投影向量。 变式1　已知空间向量＝(1，0，2)，＝(－1，1，0)，＝(0，λ，4)，若，，三个向量共面，则实数λ＝____________。 变式2　设，，为空间的一个基底，＝＋，＝＋，＝＋。当，，共面时，实数m的值为（　　）。 A．1 B．－1 C．2 D．－2 变式3　如图，G为四面体OABC的面ABC的重心，P为线段OG上靠近G的四等分点（即OP＝3PG）。记＝，＝，＝，把向量写成，，的线性组合。 变式4　已知空间向量＝(1，－2，2)，向量与共线，且·＝－18，则＝（　　）。 A．(2，－4，4) B．(－1，2，－2) C．(－2，4，－4) D．(－6，12，－12) 变式5　把向量＝(3，0，4)向向量＝(1，1，0)投影，所得投影向量的坐标为____________。 【题型2】向量法证明平行与垂直（线线、线面、面面） 证明题的书写模板：建系写坐标→求方向向量或法向量→用数量积为0或向量共线下结论→补上“直线不在平面内”“两条直线相交”等几何条件。 例1　如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC₁＝2，点D，E分别是AB，A₁C₁的中点。（1）求证：DE∥平面BCC₁B₁；（2）求证：A₁B⊥B₁C。 【分析】直三棱柱中CA，CB，CC₁两两垂直，建系后写出各点坐标。线面平行用“方向向量与法向量垂直且直线不在平面内”，线线垂直用“方向向量的数量积为0”。 【解答】以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，2，0)，A₁(4，0，2)，B₁(0，2，2)，C₁(0，0，2)，所以D(2，1，0)，E(2，0，2)。 （1）＝(0，－1，2)。平面BCC₁B₁就是坐标平面Oyz，它的一个法向量为＝(1，0，0)。 因为·＝0×1＋(－1)×0＋2×0＝0，所以⊥；又点D的横坐标为2，D∉平面BCC₁B₁，所以DE∥平面BCC₁B₁。 （2）＝(－4，2，－2)，＝(0，－2，－2)。 因为·＝(－4)×0＋2×(－2)＋(－2)×(－2)＝0，所以⊥，即A₁B⊥B₁C。 【方法小结】证明线面平行的向量法有两条路：一是证明方向向量与平面的法向量垂直；二是证明方向向量能用平面内两个不共线向量线性表示。无论哪条路，最后都要交代直线不在平面内。 例2　如图，正方形ABCD的边长为3，PA⊥平面ABCD，PA＝3，E，F分别为PD，PC的中点。（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）求证：EF∥平面PAB。 【分析】线面垂直只要证明直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量都垂直；线面平行可以找平面PAB的法向量。 【解答】以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)，所以E(0，，，，，。 （1）＝(0，，，＝(0，3，－3)，＝(－3，0，0)。 ·＝0＋－＝0，·＝0，所以AE⊥PD，AE⊥CD。 又PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD。 （2）＝，0，0)。平面PAB就是坐标平面Oxz，它的一个法向量为＝(0，1，0)。 因为·＝0，且点E的纵坐标为，E∉平面PAB，所以EF∥平面PAB。 【方法小结】坐标平面的法向量可以直接写出：Oxy面取(0，0，1)，Oyz面取(1，0，0)，Oxz面取(0，1，0)。线面垂直的向量证法要写清“两条相交直线”，这一步常被省略而扣分。 题型2　变式：由向量判位置、由平行定参数与三种证明 第1、2题由方向向量与法向量判断或确定位置关系，第3、4题是线面平行与面面垂直的完整证明，第5题用法向量刻画“点在平面内”。 变式1　设直线l的方向向量为＝(4，－1，2)，若直线l⊥平面α，则下列向量中可以作为平面α的法向量的是（　　）。 A．(2，8，0) B．(1，6，1) C．(4，1，2) D．(－8，2，－4) 变式2　平面α与平面β平行，它们的法向量分别取(2，m，－1)与(－4，6，n)，则m－n的值为____________。 变式3　如图，在棱长为3的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E∈AB，F∈BC，AE＝CF＝1。求证：EF∥平面A₁C₁D。 变式4　如图，三棱锥P－ABC的侧棱PA垂直于底面，底面中∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝PA＝2；M为BC的中点，N为AC上一点，AN＝。求证：平面PBN⊥平面PAM。 变式5　若点P(x，3，1)在经过点A(1，－1，2)且以＝(2，1，2)为法向量的平面内，则x＝____________。 【题型3】向量法求夹角（异面直线、线面、两个平面） 三类角的公式放在一起记：异面直线角与平面夹角都是“余弦＝余弦的绝对值”，线面角是“正弦＝余弦的绝对值”；法向量不唯一，但夹角结果唯一。 例1　如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是直角三角形，直角顶点为C，AC＝CC₁＝2，BC＝1，M为侧棱BB₁的中点。（1）AM与BC₁是两条异面直线，求它们所成角的余弦值；（2）连接CM，求CM与平面ABC₁所成的角。 【分析】异面直线所成的角用两条直线方向向量夹角余弦的绝对值；线面角θ满足sinθ＝|cos〈，〉|，需要先求平面ABC₁的法向量。 【解答】以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，1，0)，C₁(0，0，2)，B₁(0，1，2)，M(0，1，1)。 （1）＝(－2，1，1)，＝(0，－1，2)，·＝0－1＋2＝1，＝＝，＝＝。 所以异面直线AM与BC₁所成角的余弦值为＝。 （2）在平面ABC₁内取＝(－2，1，0)，＝(－2，0，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面ABC₁的一个法向量，由·＝0得－2x＋y＝0，由·＝0得－2x＋2z＝0；取x＝1，得y＝2，z＝1，所以＝(1，2，1)。 ＝(0，1，1)，·＝0＋2＋1＝3，＝，＝。 设直线CM与平面ABC₁所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝＝。 因为0°≤θ≤90°，所以θ＝60°。 【方法小结】求线面角时，算出的是法向量与直线的夹角的余弦，它的绝对值等于线面角的正弦；最后按线面角的范围[0°，90°]确定角的大小。 例2　如图，正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，高PO＝2（O为底面中心）。求侧面PAB与底面ABCD的夹角，以及相邻两个侧面PAB，PBC所在平面的夹角。 【分析】两个平面的夹角θ满足cosθ＝|cos〈，〉|，分别求出两个平面的法向量即可；底面ABCD的法向量可以直接取(0，0，1)。 【解答】以D为原点，DA，DC所在直线分别为x轴、y轴，过D且垂直于底面的直线为z轴建立空间直角坐标系（如图），则D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，P(2，2，2)。 ＝(0，4，0)，＝(－2，2，2)。设平面PAB的法向量为＝(x，y，z)，由·＝0得4y＝0，由·＝0得－2x＋2y＋2z＝0，取x＝1，得y＝0，z＝1，所以＝(1，0，1)。 底面ABCD的一个法向量为＝(0，0，1)，cos〈，〉＝＝，所以侧面PAB与底面ABCD的夹角为45°。 ＝(－4，0，0)，＝(－2，－2，2)。设平面PBC的法向量为＝(x，y，z)，由·＝0得－4x＝0，由·＝0得－2x－2y＋2z＝0，取y＝1，得x＝0，z＝1，所以＝(0，1，1)。 cos〈，〉＝＝，所以平面PAB与平面PBC的夹角为60°。 【方法小结】“两个平面的夹角”范围是[0°，90°]，余弦取绝对值即可；若题目问的是“二面角”，还要结合图形判断是锐角还是钝角，本题中二面角A－PB－C实际是120°。 题型3　变式：已知法向量求角与几何体中的三类角 第1、2题由法向量、方向向量先求出角的一个三角函数值，再用平方关系换算另一个；第3、4题在几何体中建系求角。 变式1　设平面α与平面β的夹角为θ，已知＝(2，1，－2)是α的法向量，＝(0，3，4)是β的法向量，则sinθ＝（　　）。 A． B． C． D． 变式2　直线l与平面α所成的角记为θ，直线l的方向向量取＝(1，2，2)，α的法向量取＝(0，4，3)，则cosθ＝____________。 变式3　如图，在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝4，AA₁＝2，求体对角线A₁C与面对角线BC₁所成角的余弦值，以及A₁C与侧面BCC₁B₁所成角的正弦值。 变式4　如图，三棱锥P－ABC中，侧棱PA与底面ABC垂直，底面是以A为直角顶点的直角三角形，AB＝PA＝2，AC＝4。求二面角P－BC－A的余弦值和直线PB与平面PAC所成的角。 【题型4】向量法求距离与探索性问题 点面距离一律用公式d＝，线面距离、面面距离都先转化为点面距离；探索性问题用参数表示动点，把条件列成方程后检验参数范围。 例1　如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的三条棱AB，AD，AA₁的长分别为3，2，1。（1）求证：B₁C∥平面A₁C₁D；（2）分别求出直线B₁C到平面A₁C₁D的距离与顶点B到平面A₁C₁D的距离。 【分析】直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等，线面距离就转化为点面距离，用公式d＝计算。 【解答】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则D(0，0，0)，A₁(2，0，1)，B(2，3，0)，B₁(2，3，1)，C(0，3，0)，C₁(0，3，1)。 （1）在平面DA₁C₁内取＝(2，0，1)，＝(0，3，1)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面DA₁C₁的一个法向量，由·＝0得2x＋z＝0，由·＝0得3y＋z＝0；取x＝3，得y＝2，z＝－6，所以＝(3，2，－6)。 ＝(－2，0，－1)，·＝－6＋0＋6＝0；又·＝6≠0，点C不在平面A₁C₁D内，所以B₁C∥平面A₁C₁D。 （2）由（1）知直线B₁C上各点到平面A₁C₁D的距离相等，＝(0，3，0)，所以所求距离d＝＝＝。 又＝(2，3，0)，·＝6＋6＋0＝12，所以点B到平面A₁C₁D的距离为。 【方法小结】点面距离公式的本质是向量在法向量方向上的投影长度，A可以取平面内任意一个方便的点，本题取原点D最省事。 例2　如图，在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AA₁＝4。棱CC₁上是否存在点P，使平面PBD⊥平面A₁BD？若存在，求出CP的长，并求此时点C₁到平面PBD的距离；若不存在，说明理由。 【分析】存在性问题先“假设存在”，用参数t表示点P的坐标，把面面垂直翻译成两个法向量的数量积为0，解出t后检验它是否落在棱的范围内。 【解答】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则D(0，0，0)，A₁(2，0，4)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C₁(0，2，4)。设P(0，2，t)（0≤t≤4）。 ＝(2，2，0)，＝(2，0，4)。设平面A₁BD的法向量为＝(x，y，z)，由2x＋2y＝0，2x＋4z＝0，取x＝2，得y＝－2，z＝－1，所以＝(2，－2，－1)。 ＝(0，2，t)。设平面PBD的法向量为＝(x，y，z)，由2x＋2y＝0，2y＋tz＝0，取z＝2，得y＝－t，x＝t，所以＝(t，－t，2)。 由平面PBD⊥平面A₁BD得·＝2t＋2t－2＝0，解得t＝∈[0，4]。 所以棱CC₁上存在点P，且CP＝。 此时＝，，2)，取＝(1，－1，4)。＝(0，2，4)，·＝0－2＋16＝14，＝＝。 所以点C₁到平面PBD的距离为＝。 【方法小结】“是否存在”题的三步：设参数表示动点→把位置或度量条件列成方程→解出参数并检验范围；参数解在范围外或无解，就回答“不存在”。 题型4　变式：点面距离、点线距离与棱上找点 第1、2题直接套距离公式，第3题在同一个几何体中分别求点面距离与点线距离，第4题是“棱上是否存在点”的标准问法。 变式1　平面α过点A(0，1，1)且以＝(1，2，2)为法向量，那么α外一点P(2，1，3)与α的距离为____________。 变式2　直线l过点M(1，0，－1)且与向量＝(2，2，－1)平行，则空间中点N(4，0，－1)到直线l的距离为（　　）。 A． B．2 C．3 D． 变式3　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝3。（1）求点A到平面PBC的距离；（2）求点C到直线PB的距离。 变式4　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝3，AC＝2，PA＝4。棱PC上是否存在点M，使PC⊥平面ABM？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 【题型5】直线方程与两直线的位置关系（含参讨论） 含参数的直线问题有三类：由位置关系定参数（平行要验重合）、直线过定点（按参数整理）、直线与线段相交（看转动时是否经过竖直位置）。 例1　已知直线l₁：(m－1)x＋2y－4＝0与直线l₂：3x＋(m＋4)y－12＝0。（1）若l₁∥l₂，求实数m的值；（2）若l₁⊥l₂，求实数m的值及此时两条直线的交点坐标；（3）当l₁∥l₂时，求这两条平行直线之间的距离。 【分析】用一般式的系数判断：A₁B₂－A₂B₁＝0只说明平行或重合，必须代回检验；A₁A₂＋B₁B₂＝0⇔垂直，不必讨论斜率是否存在。 【解答】（1）由(m－1)(m＋4)－2×3＝0得＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5。 当m＝2时，l₁：x＋2y－4＝0，l₂：3x＋6y－12＝0即x＋2y－4＝0，两直线重合，舍去。 当m＝－5时，l₁：－6x＋2y－4＝0即3x－y＋2＝0，l₂：3x－y－12＝0，两直线平行。所以m＝－5。 （2）由3(m－1)＋2(m＋4)＝0得5m＋5＝0，所以m＝－1。 此时l₁：x－y＋2＝0，l₂：x＋y－4＝0，由第一个方程得y＝x＋2，代入第二个方程得x＋(x＋2)－4＝0，所以x＝1，y＝3，交点坐标为(1，3)。 （3）由（1）知两平行直线为3x－y＋2＝0与3x－y－12＝0，距离d＝＝＝。 【方法小结】含参数的两条直线平行，先由A₁B₂－A₂B₁＝0求出候选值，再逐个代回排除重合；求平行线间距离之前，先把x，y的系数化成相同。 例2　如图，已知点A(－1，0)，B(1，5)，直线l的方程为kx－y－3k＋2＝0（k∈R）。先证明直线l恒过一个定点P并求出P的坐标，再求直线l与线段AB有公共点时实数k的取值范围。 【分析】把方程按k整理成“k·(…)＋(…)＝0”，两个括号同时为0时对任意k成立，得到定点。直线绕定点P转动时，斜率在PA与PB的斜率之间连续变化，关键是看转动过程中是否经过竖直位置。 【解答】方程可化为k(x－3)－(y－2)＝0。令x－3＝0且y－2＝0，得x＝3，y＝2。 所以无论k取何值，点(3，2)的坐标都满足方程，直线l恒过定点P(3，2)。 直线PA的斜率kPA＝＝，直线PB的斜率kPB＝＝。 线段AB上各点的横坐标都在－1与1之间，都小于3，所以动点Q从A移到B时，直线PQ不会经过竖直位置，它的斜率从连续变到。 所以直线l与线段AB有公共点时，k的取值范围是≤k≤。 【方法小结】直线过定点与线段相交求斜率范围，先求两个端点处的斜率，再看直线转动时是否经过倾斜角为90°的位置：不经过，取两斜率之间；经过，取两斜率之外。 题型5　变式：倾斜角、垂直定参、不能围成三角形与截距最值 第1、2题练斜率与垂直条件，第3题把“不能围成三角形”拆成两类情形，第4题用截距式结合基本不等式求最值。 变式1　直线x＋－5＝0向上的方向与x轴正方向所成的角，也就是它的倾斜角，等于（　　）。 A．30° B．60° C．120° D．150° 变式2　若直线2x＋ay－1＝0与直线(a＋1)x－3y＋2＝0互相垂直，则实数a＝____________。 变式3　已知三条直线l₁：x＋y－2＝0，l₂：x－2y＋4＝0，l₃：ax－y＋1＝0不能围成三角形，求实数a的所有可能取值。 变式4　直线l过定点Q(4，1)，且它在两条坐标轴上的截距均为正，求这两个截距之和的最小值，并写出此时直线l的方程。 【题型6】距离公式与对称问题综合 对称是本章的“万能工具”：光线反射、距离和的最小值、距离差的最大值都要先求对称点；点到直线距离与两平行线间距离则是计算的主力。 例1　如图，从点M(2，5)发出的光线照到镜面直线l：x＋y＋1＝0上，经直线l反射后恰好通过点N(3，0)。（1）作出M关于直线l的对称点M′并求其坐标，进而求反射光线所在的直线与入射点；（2）光线从M出发到达N，一共走了多长的路程？ 【分析】由光的反射定律，反射光线的反向延长线经过点M关于镜面直线l的对称点M′，所以反射光线就在直线M′N上；光线的路程等于|M′N|。 【解答】（1）设M′(a，b)，则MM′⊥直线l且MM′的中点在直线l上。 由×(－1)＝－1得b＝a＋3；由＋＋1＝0得a＋b＋9＝0。 解得a＝－6，b＝－3，所以M′(－6，－3)。 直线M′N的斜率为＝，方程为y＝(x－3)，即x－3y－3＝0，这就是反射光线所在直线的方程。 由x－3y－3＝0与x＋y＋1＝0消去x得4y＋4＝0，所以y＝－1，x＝0，入射点的坐标为(0，－1)。 （2）光线所经过的路程等于|M′N|＝＝＝。 【方法小结】点关于直线对称的两个条件：“垂直”（斜率之积为－1）与“平分”（中点在直线上）。反射问题一律先作对称点，把折线化成直线。 例2　如图，已知点A(0，5)，B(3，－4)，直线l：x－y＋1＝0，点P在直线l上运动。（1）求|PA|＋|PB|的最小值及此时点P的坐标；（2）求||PA|－|PB||的最大值及此时点P的坐标。 【分析】先判断A，B在直线l的同侧还是异侧：异侧时|PA|＋|PB|≥|AB|；同侧时||PA|－|PB||≤|AB|。不满足要求时，用对称点把其中一个点“搬”到另一侧。 【解答】把A，B的坐标代入x－y＋1，分别得－4与8，符号相反，所以A，B在直线l的两侧。 （1）|PA|＋|PB|≥|AB|＝＝，当P为线段AB与直线l的交点时取等号。 直线AB的方程为y＝5－3x，由5－3x＝x＋1得x＝1，y＝2，所以最小值为，此时P(1，2)。 （2）作A关于直线l的对称点A′，由直线x－y＋1＝0的特点得A′(4，1)（可验证AA′的中点(2，3)在直线l上，且AA′的斜率为－1）。 A′与B在直线l的同侧，|PA|＝|PA′|，所以||PA|－|PB||＝||PA′|－|PB||≤|A′B|＝＝。 当P，A′，B三点共线且P在线段A′B的延长线上时取等号。直线A′B的方程为y＝5x－19，由5x－19＝x＋1得x＝5，y＝6。 所以最大值为，此时P(5，6)。 【方法小结】“和最小看异侧，差最大看同侧”；两点位置不符合时作对称点。本题直线的斜率为1，对称点可以由“x与y互换再平移”快速写出，但必须验证。 题型6　变式：点线距离、平行线距离、中心对称与等距直线 第1、2题练两个距离公式的标准用法，第3题求直线关于点的对称直线，第4题由距离相等求角平分线，第5题按“平行或过中点”两类情形求直线。 变式1　点P(3，－2)到直线y＝2x＋2的距离为（　　）。 A． B． C． D．10 变式2　已知m为实数，l₁：5x－12y＋3＝0，l₂：10x＋my－20＝0，若l₁∥l₂，则m＝____________，l₁与l₂的距离为____________。 变式3　求直线2x＋3y－6＝0关于点M(1，－1)对称的直线的方程。 变式4　求到两条直线l₁：3x＋4y－7＝0与l₂：4x－3y＋1＝0的距离相等的点的轨迹方程。 变式5　点A(1，5)与点B(3，－1)到直线l的距离相等，且直线l经过点P(－1，3)，那么直线l的方程为（　　）。 A．3x＋y＝0 B．3x＋y＝0或x＋3y－8＝0 C．x＋3y－8＝0 D．3x－y＋6＝0 【题型7】圆的方程与直线和圆的位置关系（弦长、切线、最值） 圆的问题几乎都靠“圆心＋半径”解决：弦长看弦心距，切线看d＝r，最值看圆心到目标的距离再加减半径，两圆问题看圆心距。 例1　如图，A(1，4)，B(5，2)是圆C上的两点，圆心C落在直线x＋y－3＝0上，求圆C的标准方程，并求直线l：x－3y＋6＝0被圆C截得的弦长。 【分析】圆心既在弦AB的垂直平分线上，又在已知直线上，两条直线的交点就是圆心；弦长用直线l＝。 【解答】线段AB的中点为(3，3)，直线AB的斜率为＝，所以AB的垂直平分线的斜率为2，方程为y－3＝2(x－3)，即y＝2x－3。 由y＝2x－3与x＋y－3＝0得x＋(2x－3)－3＝0，所以x＝2，y＝1，圆心为C(2，1)。 半径＝|CA|²＝＋＝10，所以圆C的标准方程为＋＝10。 圆心C到直线l的距离d＝＝＝。 所以弦长为＝＝。 【方法小结】求圆的方程先想圆心的几何特征（弦的垂直平分线过圆心），往往比设一般式解三元方程组快；弦长问题一律用“半弦、弦心距、半径”构成的直角三角形。 例2　如图，点P(4，1)在圆C：＋＝5的外部，过P作圆C的切线，求切线的方程以及点P到切点的距离。 【分析】由标准方程读出圆心与半径；过圆外一点的切线有两条，设点斜式时要单独检验斜率不存在的情形。 【解答】由圆C的方程得圆心C(1，－3)，半径r＝。 当切线的斜率不存在时，直线x＝4到圆心的距离为3≠，不是切线。 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0。 由圆心到切线的距离等于半径得＝，即＝＋1)，整理得－24k＋11＝0。 解得k＝或k＝，所以切线方程为x－2y－2＝0或11x－2y－42＝0。 设切点为T，则CT⊥PT，|PC|²＝＋＝25，所以切线长|PT|＝＝＝。 【方法小结】过圆外一点的切线“先竖后斜”：先检验x＝x₀，再设斜率用d＝r列方程；切线长不必求切点，用勾股定理即可。 题型7　变式：读圆心半径、弦长切线、代数式最值与公共弦 第1题读圆心与半径，第2、3题分别求弦长与圆上一点处切线的截距，第4题把代数式的最值转化为直线与圆有公共点，第5题由两圆相交求公共弦与三角形面积。 变式1　把圆＋－8x＋2y＋8＝0的方程配方，得到的标准方程是（　　）。 A．＋＝9 B．＋＝3 C．＋＝9 D．＋＝25 变式2　圆＋－4y＝0与直线－y＝0相交于M，N两点，则|MN|＝____________。 变式3　已知点(2，3)在圆＋＝10上，过该点作圆的切线l，则直线l在y轴上的截距为____________。 变式4　已知实数x，y满足＋＋2x－4y＋4＝0，则x－y的最大值为____________。 变式5　圆C₁：＋＝9与圆C₂：＋＝9交于A，B两点。（1）求直线AB的方程与线段AB的长；（2）求△C₁AB的面积。 【题型8】向量与解析几何交汇（方向向量、数量积与空间中的圆） 向量是两章之间的桥：平面内直线可以用方向向量表示，数量积条件常化为圆，空间中的距离条件在平面内也会得到圆。 例1　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为4，动点P在底面ABCD内（含边界），且PC₁＝5。（1）按图中的坐标系，用坐标方程表示点P在平面ABCD内的轨迹，并指出它是什么曲线的一部分；（2）求线段PB长度的取值范围。 【分析】把空间中的距离条件用坐标写出来，就得到平面内的一个圆；再结合P在正方形ABCD内，截出圆的一部分。第（2）问把|PB|²用轨迹方程化成一个变量的函数。 【解答】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则D(0，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，C₁(0，4，4)。设P(x，y，0)，0≤x≤4，0≤y≤4。 （1）由PC₁＝5得＋＋＝25，即＋＝9。 它表示以C(0，4)为圆心、3为半径的圆，而P在正方形ABCD内，所以0≤x≤3，1≤y≤4，轨迹是这个圆在正方形内的四分之一圆弧。 （2）|PB|²＝＋＝－8x＋16＋＝9－8x＋16＝25－8x。 因为0≤x≤3，所以1≤25－8x≤25，即1≤|PB|≤5。 所以线段PB长度的取值范围是[1，5]。 【方法小结】空间中“到定点距离为定值”的点在一个平面内时，轨迹是圆（或圆的一部分）。建系后把三维条件写成二元方程，就回到了第二章圆的方程。 例2　如图，已知点A(－1，0)，B(3，0)，点P是圆＋＝1上的动点，求·的取值范围。 【分析】数量积用坐标写出后是一个关于x，y的二次式，配方后它等于某个定点到P的距离的平方减去常数，问题化为“圆上的点到定点距离的最值”。 【解答】设P(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(3－x，－y)。 所以·＝(x＋1)(x－3)＋＝－2x－3＋＝＋－4。 记M(1，0)，则·＝|PM|²－4。 圆心(0，2)到M的距离为＝，半径为1，点M在圆外，所以－1≤|PM|≤＋1。 所以－4≤·≤－4，即2－≤·≤2＋。 【方法小结】M是线段AB的中点，一般地·＝|PM|²－，这是向量与圆交汇的常用转化，求出|PM|的范围即可。 题型8　变式：方向向量定直线、向量求夹角与数量积条件 第1题由方向向量写直线方程，第2题用方向向量求两直线夹角，第3、4题把数量积条件翻译成圆或弦心距，再求面积或参数。 变式1　以(5，－2)为方向向量，并且经过点(－3，4)的直线，它的一般式方程是（　　）。 A．2x＋5y－14＝0 B．5x－2y＋23＝0 C．2x－5y＋26＝0 D．5x＋2y＋7＝0 变式2　直线l₁：x－2y＋1＝0与直线l₂：3x－y＋4＝0所成的角为____________。 变式3　设动点P满足·＝11，其中A(－4，0)，B(6，0)，求P的轨迹方程及△PAB面积的最大值。 变式4　已知圆C：＋＝10与直线l：x－2y＋m＝0交于A，B两点，且·＝0，求实数m的值。 　易错专练 这八题对准期中范围内八个高频失分点：异面直线角取绝对值、线面角用正弦、截距条件漏过原点、切线漏竖直的一条、相切漏内切、倾斜角写成负角、化一般式漏乘、四点共面的系数和。每题先独立作答，再对照解析中的错解、错因与正解。 易错1　已知异面直线l₁，l₂的方向向量分别为＝(1，－2，2)，＝(－2，1，－2)，求l₁与l₂所成角的余弦值。 易错2　已知＝(2，－1，2)，＝(0，4，3)分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，记直线l与α所成的角为θ，求sinθ。 易错3　已知直线l过点(2，3)，且它的横截距是纵截距的2倍，求直线l的方程。 易错4　圆＋＝4外有一点P(3，－2)，求经过点P且与这个圆只有一个公共点的所有直线的方程。 易错5　已知圆C₁：＋＝4与圆C₂：＋＝（r＞0）相切，求r的值。 易错6　求直线y＝·x＋2（α∈R）的倾斜角的取值范围。 易错7　求点P(2，1)到直线y＝－1的距离。 易错8　已知O是平面ABC外一点，A，B，C三点不共线，若＝＋＋，且P，A，B，C四点共面，求λ的值。 　课后作业（一）基础过关 本组十二题覆盖两章最基本的公式与方法：第1至5题为单项选择，第6至9题把结果填在横线上（坐标、方程按题目要求的形式书写，根式化到最简），第10至12题写出完整的推理与计算过程。 1．若向量＝(4，m，2)与向量＝(2，－3，1)方向相同，则m＝（　　）。 A．－6 B．6 C． D． 2．空间中，点C(0，a，3)在直线AB上，其中A(1，0，1)，B(2，1，－1)，则a的值为（　　）。 A．1 B．2 C．－1 D．－2 3．直线l垂直于直线3x－y＋1＝0，且直线l与y轴交于点(0，2)，则直线l的方程是（　　）。 A．3x－y＋2＝0 B．x＋3y－6＝0 C．x－3y＋6＝0 D．x＋3y＋6＝0 4．已知直线4x－3y＋5＝0和圆＋＋2x－4y＋1＝0，下列判断正确的是（　　）。 A．直线与圆相离 B．直线与圆相切 C．直线过圆心 D．直线与圆相交但不过圆心 5．平面α的法向量为(1，－1，2)，平面β的法向量为(2，4，1)，由此可知α与β（　　）。 A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 6．已知空间向量＝(1，2，－2)，＝(－1，0，1)，则＋＝____________。 7．以(－3，2)为圆心的圆C与直线4x＋3y－9＝0只有一个公共点，则圆C的标准方程为____________。 8．直线l₁：x－2y＋3＝0上任意一点到直线l₂：2x－4y－4＝0的距离都等于____________。 9．圆＋＋4x－6y＋4＝0的圆心坐标为____________，半径为____________。 10．已知空间三点A(2，0，1)，B(1，1，0)，C(0，2，2)。（1）求cos〈，〉；（2）若向量＋与垂直，求实数λ的值。 11．如图，在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AA₁＝3。求证：BD⊥平面ACC₁A₁，并求体对角线BD₁与底面ABCD所成角的正弦值。 12．已知△ABC的三个顶点为A(4，0)，B(－2，2)，C(2，6)，求经过顶点C且与边AB垂直的直线的方程，并求△ABC的面积。 　课后作业（二）能力提升 本组九题把同一章的两三个知识点放进一道题：两圆的公切线、含参直线与圆、平面的夹角、圆上点到直线的最值，以及几何体中的平行与夹角综合题。 1．圆C₁：＋－2x－3＝0与圆C₂：＋＋4x－8y＋11＝0的位置关系是（　　）。 A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2．直线kx－y＋1－k＝0（k∈R）与圆＋－4x－2y－4＝0的位置关系是（　　）。 A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 3．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC与坐标平面Oxy的夹角的余弦值为（　　）。 A． B． C． D． 4．将圆＋＝9沿着垂直于直线3x＋4y－25＝0的方向平移，使它与这条直线相切，平移的最短距离为____________。 5．在空间直角坐标系Oxyz中，平面ABC与三条坐标轴分别交于A(2，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则原点O到平面ABC的距离为____________。 6．圆＋＝13在点(－2，3)处的切线，其横截距与纵截距之和为____________。 7．如图，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，PD＝4，E为PC的中点。求证PA∥平面BDE，并求平面ACE与底面ABCD夹角的余弦值。 8．已知圆C：＋－6x－2y＋9＝0与直线l：y＝kx。求使直线l与圆C相切的k值，并求k＝时直线l被圆C截得的线段MN的长。 9．已知点A(1，3)，B(5，1)，点P在直线x＋y－2＝0上，求|PA|²＋|PB|²的最小值及此时点P的坐标。 　课后作业（三）拓展探究 这一组五道题题号前都标“拓展”，供学有余力的同学选做：棱上找点、圆系过定点、空间条件得到平面内的圆、数量积条件定直线，都要先用坐标把条件翻译成方程。 1．（拓展）在圆＋＝16上，与直线4x＋3y＋26＝0相距为1的点共有____________个。 2．（拓展）如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC₁＝3。棱AA₁上是否存在点D，使平面DBC₁与平面BCC₁B₁夹角的余弦值为？若存在，求出AD的长；若不存在，说明理由。 3．（拓展）已知曲线C：＋－2(a＋2)y＋2ax＋2＝0（a为实数）。（1）当曲线C是圆时，求a的取值范围；（2）找出所有这样的圆的公共点，并证明它们只有这一个公共点；（3）求这些圆的圆心的轨迹方程。 4．（拓展）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(0，0，3)，B(3，0，0)，动点P在坐标平面Oxy内，且|PA|＝2|PB|。（1）求动点P的轨迹方程（用P的横坐标x与纵坐标y表示）；（2）求|PO|的最小值。 5．（拓展）过点P(1，0)的直线l与圆O：＋＝4交于A，B两点，且·＝－2，求直线l的方程。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版·选择性必修一·期中复习（第一、二章） 期中复习·题型精讲讲义 期中复习（第一章 空间向量与立体几何+第二章 直线和圆的方程）思维导图+八大题型 题型精讲讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册　期中复习　第一章 空间向量与立体几何（1.1～1.4）　第二章 直线和圆的方程（2.1～2.5） 含 8 个考点例题　/　共 86 题（变式 36 · 易错 8 · 作业 26）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．第一章：会用空间向量的线性运算与空间向量基本定理把几何体中的向量写成基底的线性组合，会用数量积求长度与夹角；会建立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标并做坐标运算。 2．第一章：会求直线的方向向量与平面的法向量，能用它们证明线线、线面、面面的平行与垂直；会用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角，以及点到直线、点到平面的距离，并处理棱上“是否存在点”的探索问题。 3．第二章：会由倾斜角与斜率判断两直线平行或垂直（含参数时剔除重合），会在直线方程的五种形式间互化；会用两点间、点到直线、两平行线间的距离公式，会求点关于点、点关于直线的对称点并解决光线反射与距离和差的最值。 4．第二章：会用待定系数法求圆的方程，会由圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系并求弦长、切线方程与切线长，会判断两圆位置关系并求公共弦；会把向量数量积、空间坐标条件翻译成平面内的圆，解决交汇问题。 学习重难点 重点：用法向量、方向向量处理空间的平行、垂直与角、距离；待求量先写成向量式再坐标化；直线方程的互化与三个距离公式；圆的方程、弦长与切线；几何条件到方程的翻译。 难点：建系后点坐标的准确书写；线面角用正弦、平面夹角取绝对值；存在性问题中参数范围的检验；含参两直线平行时剔除重合；过圆外一点的切线不漏斜率不存在的一条；两圆相切要分内切与外切。 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　第一章知识结构：从向量运算到几何度量 3 知识点 02　空间向量的线性运算、共线与共面 3 知识点 03　空间向量的数量积与投影向量 3 知识点 04　空间向量基本定理与坐标运算 4 知识点 05　直线的方向向量、平面的法向量与位置关系 4 知识点 06　用空间向量求距离与夹角 4 知识梳理 5 知识点 01　第二章知识结构：用方程研究直线与圆 5 知识点 02　倾斜角、斜率与两条直线的平行和垂直 5 知识点 03　直线方程的五种形式 5 知识点 04　交点坐标、三个距离公式与对称 6 知识点 05　圆的标准方程与一般方程 6 知识点 06　直线与圆、圆与圆的位置关系 6 考点 1　空间向量基本定理与坐标运算综合 7 考点 2　向量法证明平行与垂直（线线、线面、面面） 9 考点 3　向量法求夹角（异面直线、线面、两个平面） 11 考点 4　向量法求距离与探索性问题 14 考点 5　直线方程与两直线的位置关系（含参讨论） 17 考点 6　距离公式与对称问题综合 18 考点 7　圆的方程与直线和圆的位置关系（弦长、切线、最值） 21 考点 8　向量与解析几何交汇（方向向量、数量积与空间中的圆） 23 易错专练 24 课后作业（一）基础过关 25 课后作业（二）能力提升 26 课后作业（三）拓展探究 27 参考答案与解析 28 　课时核心导图 　知识梳理（一）第一章 空间向量与立体几何 知识点　01　第一章知识结构：从向量运算到几何度量 第一章沿着“空间向量的概念与运算→空间向量基本定理→坐标表示→用向量研究位置关系与度量”这条线展开（教材第2～46页）。前三节提供工具，1.4节把立体几何中的平行、垂直、距离与角全部翻译成向量运算。 几何问题→向量表示→向量运算→翻译回几何结论，是本章每道解答题的共同骨架 小提示：期中复习时先按导图自查五个分支，哪个分支的公式默写不出来，就回到对应的知识点重看。 知识点　02　空间向量的线性运算、共线与共面 空间向量的加法、减法与数乘运算法则与平面向量相同，任意两个空间向量都可以平移到同一平面内。共线向量定理说的是：当≠时，空间向量与平行的充要条件是有实数λ满足＝。共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝＋（教材第2～6页）。 点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y)，使＝＋ 对空间任意一点O，上式可写成＝＋＋ 小提示：证明三点共线找“λ”，证明四点共面找“x，y”；零向量与任意向量共线，共线定理中必须写上≠这个前提。 知识点　03　空间向量的数量积与投影向量 已知两个非零向量，，把〈，〉叫做，的数量积，记作·；零向量与任意向量的数量积为0。由定义得⊥⇔·＝0，·＝。向量向向量投影所得的向量叫做在上的投影向量（教材第7～9页）。 cos〈，〉＝，两向量夹角的范围是[0，π] 在上的投影向量＝〈，〉· 小提示：求线段长先写成向量再平方：＋＋展开后是三个平方项加上两两数量积的2倍，六项缺一不可。 知识点　04　空间向量基本定理与坐标运算 如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝＋＋，，，叫做空间的一个基底（教材第11页）。取单位正交基底建立空间直角坐标系后，向量有了坐标：若＝(a₁，a₂，a₃)，＝(b₁，b₂，b₃)，则±，，·都可以按分量计算（教材第16～20页）。 ·＝a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃；＝ ∥≠⇔a₁＝λb₁，a₂＝λb₂，a₃＝λb₃；⊥⇔a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃＝0 小提示：判断能否作基底只看“三个向量是否共面”：若其中一个能写成另两个的线性组合，它们就共面，不能作基底。 知识点　05　直线的方向向量、平面的法向量与位置关系 直线l上的非零向量叫做直线l的方向向量；直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则叫做平面α的法向量（教材第26～28页）。求法向量时设＝(x，y，z)，令它与平面内两个不共线向量的数量积都为0，解方程组后取一组非零解。 l₁∥l₂⇔u₁→∥u₂→；l₁⊥l₂⇔u₁→·u₂→＝0 直线l∥α(直线l⊄α)⇔⊥；直线l⊥α⇔∥；α∥β⇔n₁→∥n₂→；α⊥β⇔n₁→·n₂→＝0 小提示：证明线面平行时，算出·＝0后还必须说明直线不在平面内，否则结论只能是“平行或在平面内”。 知识点　06　用空间向量求距离与夹角 设直线l的单位方向向量为，A∈直线l，P∉直线l，＝，则点P到直线l的距离为；设平面α的法向量为，A∈α，则点P到平面α的距离为（教材第32～35页）。直线与平面所成的角θ满足sinθ＝|cos〈，〉|；平面α与平面β的夹角θ满足cosθ＝|cos〈n₁→，n₂→〉|（教材第36～38页）。 异面直线所成角θ∈(0，，cosθ＝|cos〈，〉|；线面角θ∈[0， 两个平面的夹角θ∈[0，，二面角的范围是[0，π]，要结合图形判断锐钝 小提示：三类角里只有线面角用“正弦＝余弦的绝对值”，另外两类都是“余弦＝余弦的绝对值”，这是期中最常见的失分点。 　知识梳理（二）第二章 直线和圆的方程 知识点　01　第二章知识结构：用方程研究直线与圆 第二章用坐标法研究两类最基本的图形（教材第51～103页）：先由倾斜角、斜率确定直线的方向，再按不同的几何条件写出直线方程；由圆心和半径写出圆的方程；最后用方程或圆心到直线的距离判断位置关系。 几何条件→坐标与方程→代数运算→几何结论，与第一章的向量法一脉相承 小提示：复习时把直线的五种方程形式、三个距离公式、圆的两种方程与三类位置关系默写一遍再做题。 知识点　02　倾斜角、斜率与两条直线的平行和垂直 直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，倾斜角不是90°的直线的斜率k＝tanα（教材第51～55页）。对于斜率分别为k₁，k₂的两条直线l₁，l₂，l₁∥l₂⇔k₁＝k₂（且两直线不重合），l₁⊥l₂⇔k₁k₂＝－1（教材第56～57页）。 经过P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)（x₁≠x₂）的直线的斜率k＝ 对于A₁x＋B₁y＋C₁＝0与A₂x＋B₂y＋C₂＝0：A₁A₂＋B₁B₂＝0⇔两直线垂直 小提示：用系数判平行时，A₁B₂－A₂B₁＝0只说明“平行或重合”，必须代回检验排除重合。 知识点　03　直线方程的五种形式 点斜式y－y₀＝k(x－x₀)与斜截式y＝kx＋b不能表示斜率不存在的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式＋＝1不能表示过原点及与坐标轴平行的直线；一般式Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）可以表示任何一条直线（教材第59～67页）。 截距是直线与坐标轴交点的坐标，可正、可负、可为0，不是距离 小提示：题目条件涉及截距相等、截距互为相反数、截距成倍数时，先单独考虑“直线过原点”这一种情形。 知识点　04　交点坐标、三个距离公式与对称 两条直线的交点坐标就是它们方程组的解。平面内两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)间的距离|P₁P₂|＝（教材第70～77页）。 点P₀(x₀，y₀)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线Ax＋By＋C₁＝0与Ax＋By＋C₂＝0间的距离d＝ 点P关于直线l的对称点P′：PP′⊥直线l，且PP′的中点在直线l上 小提示：用两平行线间的距离公式前，先把两个方程中x，y的系数化成完全相同；用点到直线距离公式前，先把直线化成一般式。 知识点　05　圆的标准方程与一般方程 圆心为A(a，b)、半径为r的圆的标准方程是＋＝（教材第82～84页）。方程＋＋Dx＋Ey＋F＝0在＋－4F＞0时表示圆，圆心为，，半径为（教材第85～87页）。 点M(x₀，y₀)在圆外、圆上、圆内⇔＋大于、等于、小于 小提示：已知三点用一般式设方程，已知圆心特征（在某直线上、与某直线相切）用标准式设方程，能少解一个方程。 知识点　06　直线与圆、圆与圆的位置关系 设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d＜r⇔相交，d＝r⇔相切，d＞r⇔相离（教材第91～93页）。设两圆的圆心距为d，半径分别为r₁，r₂，则d＞r₁＋r₂⇔外离，d＝r₁＋r₂⇔外切，|r₁－r₂|＜d＜r₁＋r₂⇔相交，d＝|r₁－r₂|⇔内切，d＜|r₁－r₂|⇔内含（教材第95～97页）。 弦长直线l＝；过圆外一点P的切线长＝ 两圆相交时，两个方程相减得到公共弦所在直线的方程 小提示：求过一点的切线，先判断点在圆上还是圆外；在圆外时设点斜式，求出的斜率若只有一个，一定要补上斜率不存在的那一条并检验。 【题型1】空间向量基本定理与坐标运算综合 一道题里常常先用基底表示向量，再用数量积或坐标求长度与夹角。没有坐标系时用基底法，点的坐标已知时直接做坐标运算。 例1　如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝3，AD＝AA₁＝2，∠BAD＝90°，∠BAA₁＝∠DAA₁＝60°，侧面BCC₁B₁的两条对角线交于点M。设＝，＝，＝。（1）用，，表示；（2）求线段AM的长。 【分析】三条共顶点的棱不共面，取它们作基底。M是平行四边形BCC₁B₁对角线的交点，也就是BC₁的中点，先由向量加法写出，再平方求模；平方展开后要用到三个两两数量积。 【解答】（1）因为M是BC₁的中点，所以＝＝＋＝＋。 所以＝＋＝＋＋。 （2）由已知得＝3，＝＝2，·＝0，·＝3×2×cos60°＝3，·＝2×2×cos60°＝2。 所以＝＋＋＋·＋·＋·＝9＋1＋1＋0＋3＋1＝15。 所以AM＝。 【方法小结】基底法三步：选不共面的三条棱作基底→算出三个两两数量积→把待求向量写成基底的线性组合后平方。平方展开时交叉项的系数是两个系数之积的2倍，与的交叉项系数是2××＝。 例2　空间中三点A(1，2，－1)，B(3，1，1)，C(1，6，－4)构成△ABC，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD。求∠BAC的余弦值、△ABC的面积以及第四个顶点D的坐标。 【分析】∠BAC就是向量与的夹角，用坐标求数量积与模即可；面积用∠BAC；平行四边形ABCD中＝，由此求D。 【解答】＝(2，－1，2)，＝(0，4，－3)。 ·＝2×0＋(－1)×4＋2×(－3)＝－10，＝＝3，＝＝5。 所以cos∠BAC＝＝。 由sin²∠BAC＋cos²∠BAC＝1及0＜∠BAC＜π，得sin∠BAC＝＝。 所以S△ABC＝×3×5×＝。 设D(x，y，z)，由平行四边形ABCD得＝，即(x－1，y－2，z＋1)＝(－2，5，－5)，所以x＝－1，y＝7，z＝－6，即D(－1，7，－6)。 【方法小结】空间三角形的内角就是从同一顶点出发的两个向量的夹角，注意向量的起点要取在这个顶点上；cos为负说明这个角是钝角，但面积公式中的正弦始终为正。 题型1　变式：共面求参、基底判断、重心表示与投影向量 第1、2题练共面向量定理的两种用法，第3题用基底表示与重心有关的向量，第4题由共线与数量积确定向量，第5题练投影向量。 变式1　已知空间向量＝(1，0，2)，＝(－1，1，0)，＝(0，λ，4)，若，，三个向量共面，则实数λ＝____________。 变式2　设，，为空间的一个基底，＝＋，＝＋，＝＋。当，，共面时，实数m的值为（　　）。 A．1 B．－1 C．2 D．－2 变式3　如图，G为四面体OABC的面ABC的重心，P为线段OG上靠近G的四等分点（即OP＝3PG）。记＝，＝，＝，把向量写成，，的线性组合。 变式4　已知空间向量＝(1，－2，2)，向量与共线，且·＝－18，则＝（　　）。 A．(2，－4，4) B．(－1，2，－2) C．(－2，4，－4) D．(－6，12，－12) 变式5　把向量＝(3，0，4)向向量＝(1，1，0)投影，所得投影向量的坐标为____________。 【题型2】向量法证明平行与垂直（线线、线面、面面） 证明题的书写模板：建系写坐标→求方向向量或法向量→用数量积为0或向量共线下结论→补上“直线不在平面内”“两条直线相交”等几何条件。 例1　如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC₁＝2，点D，E分别是AB，A₁C₁的中点。（1）求证：DE∥平面BCC₁B₁；（2）求证：A₁B⊥B₁C。 【分析】直三棱柱中CA，CB，CC₁两两垂直，建系后写出各点坐标。线面平行用“方向向量与法向量垂直且直线不在平面内”，线线垂直用“方向向量的数量积为0”。 【解答】以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，2，0)，A₁(4，0，2)，B₁(0，2，2)，C₁(0，0，2)，所以D(2，1，0)，E(2，0，2)。 （1）＝(0，－1，2)。平面BCC₁B₁就是坐标平面Oyz，它的一个法向量为＝(1，0，0)。 因为·＝0×1＋(－1)×0＋2×0＝0，所以⊥；又点D的横坐标为2，D∉平面BCC₁B₁，所以DE∥平面BCC₁B₁。 （2）＝(－4，2，－2)，＝(0，－2，－2)。 因为·＝(－4)×0＋2×(－2)＋(－2)×(－2)＝0，所以⊥，即A₁B⊥B₁C。 【方法小结】证明线面平行的向量法有两条路：一是证明方向向量与平面的法向量垂直；二是证明方向向量能用平面内两个不共线向量线性表示。无论哪条路，最后都要交代直线不在平面内。 例2　如图，正方形ABCD的边长为3，PA⊥平面ABCD，PA＝3，E，F分别为PD，PC的中点。（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）求证：EF∥平面PAB。 【分析】线面垂直只要证明直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量都垂直；线面平行可以找平面PAB的法向量。 【解答】以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)，所以E(0，，，，，。 （1）＝(0，，，＝(0，3，－3)，＝(－3，0，0)。 ·＝0＋－＝0，·＝0，所以AE⊥PD，AE⊥CD。 又PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD。 （2）＝，0，0)。平面PAB就是坐标平面Oxz，它的一个法向量为＝(0，1，0)。 因为·＝0，且点E的纵坐标为，E∉平面PAB，所以EF∥平面PAB。 【方法小结】坐标平面的法向量可以直接写出：Oxy面取(0，0，1)，Oyz面取(1，0，0)，Oxz面取(0，1，0)。线面垂直的向量证法要写清“两条相交直线”，这一步常被省略而扣分。 题型2　变式：由向量判位置、由平行定参数与三种证明 第1、2题由方向向量与法向量判断或确定位置关系，第3、4题是线面平行与面面垂直的完整证明，第5题用法向量刻画“点在平面内”。 变式1　设直线l的方向向量为＝(4，－1，2)，若直线l⊥平面α，则下列向量中可以作为平面α的法向量的是（　　）。 A．(2，8，0) B．(1，6，1) C．(4，1，2) D．(－8，2，－4) 变式2　平面α与平面β平行，它们的法向量分别取(2，m，－1)与(－4，6，n)，则m－n的值为____________。 变式3　如图，在棱长为3的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E∈AB，F∈BC，AE＝CF＝1。求证：EF∥平面A₁C₁D。 变式4　如图，三棱锥P－ABC的侧棱PA垂直于底面，底面中∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝PA＝2；M为BC的中点，N为AC上一点，AN＝。求证：平面PBN⊥平面PAM。 变式5　若点P(x，3，1)在经过点A(1，－1，2)且以＝(2，1，2)为法向量的平面内，则x＝____________。 【题型3】向量法求夹角（异面直线、线面、两个平面） 三类角的公式放在一起记：异面直线角与平面夹角都是“余弦＝余弦的绝对值”，线面角是“正弦＝余弦的绝对值”；法向量不唯一，但夹角结果唯一。 例1　如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是直角三角形，直角顶点为C，AC＝CC₁＝2，BC＝1，M为侧棱BB₁的中点。（1）AM与BC₁是两条异面直线，求它们所成角的余弦值；（2）连接CM，求CM与平面ABC₁所成的角。 【分析】异面直线所成的角用两条直线方向向量夹角余弦的绝对值；线面角θ满足sinθ＝|cos〈，〉|，需要先求平面ABC₁的法向量。 【解答】以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，1，0)，C₁(0，0，2)，B₁(0，1，2)，M(0，1，1)。 （1）＝(－2，1，1)，＝(0，－1，2)，·＝0－1＋2＝1，＝＝，＝＝。 所以异面直线AM与BC₁所成角的余弦值为＝。 （2）在平面ABC₁内取＝(－2，1，0)，＝(－2，0，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面ABC₁的一个法向量，由·＝0得－2x＋y＝0，由·＝0得－2x＋2z＝0；取x＝1，得y＝2，z＝1，所以＝(1，2，1)。 ＝(0，1，1)，·＝0＋2＋1＝3，＝，＝。 设直线CM与平面ABC₁所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝＝。 因为0°≤θ≤90°，所以θ＝60°。 【方法小结】求线面角时，算出的是法向量与直线的夹角的余弦，它的绝对值等于线面角的正弦；最后按线面角的范围[0°，90°]确定角的大小。 例2　如图，正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，高PO＝2（O为底面中心）。求侧面PAB与底面ABCD的夹角，以及相邻两个侧面PAB，PBC所在平面的夹角。 【分析】两个平面的夹角θ满足cosθ＝|cos〈，〉|，分别求出两个平面的法向量即可；底面ABCD的法向量可以直接取(0，0，1)。 【解答】以D为原点，DA，DC所在直线分别为x轴、y轴，过D且垂直于底面的直线为z轴建立空间直角坐标系（如图），则D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，P(2，2，2)。 ＝(0，4，0)，＝(－2，2，2)。设平面PAB的法向量为＝(x，y，z)，由·＝0得4y＝0，由·＝0得－2x＋2y＋2z＝0，取x＝1，得y＝0，z＝1，所以＝(1，0，1)。 底面ABCD的一个法向量为＝(0，0，1)，cos〈，〉＝＝，所以侧面PAB与底面ABCD的夹角为45°。 ＝(－4，0，0)，＝(－2，－2，2)。设平面PBC的法向量为＝(x，y，z)，由·＝0得－4x＝0，由·＝0得－2x－2y＋2z＝0，取y＝1，得x＝0，z＝1，所以＝(0，1，1)。 cos〈，〉＝＝，所以平面PAB与平面PBC的夹角为60°。 【方法小结】“两个平面的夹角”范围是[0°，90°]，余弦取绝对值即可；若题目问的是“二面角”，还要结合图形判断是锐角还是钝角，本题中二面角A－PB－C实际是120°。 题型3　变式：已知法向量求角与几何体中的三类角 第1、2题由法向量、方向向量先求出角的一个三角函数值，再用平方关系换算另一个；第3、4题在几何体中建系求角。 变式1　设平面α与平面β的夹角为θ，已知＝(2，1，－2)是α的法向量，＝(0，3，4)是β的法向量，则sinθ＝（　　）。 A． B． C． D． 变式2　直线l与平面α所成的角记为θ，直线l的方向向量取＝(1，2，2)，α的法向量取＝(0，4，3)，则cosθ＝____________。 变式3　如图，在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝4，AA₁＝2，求体对角线A₁C与面对角线BC₁所成角的余弦值，以及A₁C与侧面BCC₁B₁所成角的正弦值。 变式4　如图，三棱锥P－ABC中，侧棱PA与底面ABC垂直，底面是以A为直角顶点的直角三角形，AB＝PA＝2，AC＝4。求二面角P－BC－A的余弦值和直线PB与平面PAC所成的角。 【题型4】向量法求距离与探索性问题 点面距离一律用公式d＝，线面距离、面面距离都先转化为点面距离；探索性问题用参数表示动点，把条件列成方程后检验参数范围。 例1　如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的三条棱AB，AD，AA₁的长分别为3，2，1。（1）求证：B₁C∥平面A₁C₁D；（2）分别求出直线B₁C到平面A₁C₁D的距离与顶点B到平面A₁C₁D的距离。 【分析】直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等，线面距离就转化为点面距离，用公式d＝计算。 【解答】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则D(0，0，0)，A₁(2，0，1)，B(2，3，0)，B₁(2，3，1)，C(0，3，0)，C₁(0，3，1)。 （1）在平面DA₁C₁内取＝(2，0，1)，＝(0，3，1)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面DA₁C₁的一个法向量，由·＝0得2x＋z＝0，由·＝0得3y＋z＝0；取x＝3，得y＝2，z＝－6，所以＝(3，2，－6)。 ＝(－2，0，－1)，·＝－6＋0＋6＝0；又·＝6≠0，点C不在平面A₁C₁D内，所以B₁C∥平面A₁C₁D。 （2）由（1）知直线B₁C上各点到平面A₁C₁D的距离相等，＝(0，3，0)，所以所求距离d＝＝＝。 又＝(2，3，0)，·＝6＋6＋0＝12，所以点B到平面A₁C₁D的距离为。 【方法小结】点面距离公式的本质是向量在法向量方向上的投影长度，A可以取平面内任意一个方便的点，本题取原点D最省事。 例2　如图，在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AA₁＝4。棱CC₁上是否存在点P，使平面PBD⊥平面A₁BD？若存在，求出CP的长，并求此时点C₁到平面PBD的距离；若不存在，说明理由。 【分析】存在性问题先“假设存在”，用参数t表示点P的坐标，把面面垂直翻译成两个法向量的数量积为0，解出t后检验它是否落在棱的范围内。 【解答】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则D(0，0，0)，A₁(2，0，4)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C₁(0，2，4)。设P(0，2，t)（0≤t≤4）。 ＝(2，2，0)，＝(2，0，4)。设平面A₁BD的法向量为＝(x，y，z)，由2x＋2y＝0，2x＋4z＝0，取x＝2，得y＝－2，z＝－1，所以＝(2，－2，－1)。 ＝(0，2，t)。设平面PBD的法向量为＝(x，y，z)，由2x＋2y＝0，2y＋tz＝0，取z＝2，得y＝－t，x＝t，所以＝(t，－t，2)。 由平面PBD⊥平面A₁BD得·＝2t＋2t－2＝0，解得t＝∈[0，4]。 所以棱CC₁上存在点P，且CP＝。 此时＝，，2)，取＝(1，－1，4)。＝(0，2，4)，·＝0－2＋16＝14，＝＝。 所以点C₁到平面PBD的距离为＝。 【方法小结】“是否存在”题的三步：设参数表示动点→把位置或度量条件列成方程→解出参数并检验范围；参数解在范围外或无解，就回答“不存在”。 题型4　变式：点面距离、点线距离与棱上找点 第1、2题直接套距离公式，第3题在同一个几何体中分别求点面距离与点线距离，第4题是“棱上是否存在点”的标准问法。 变式1　平面α过点A(0，1，1)且以＝(1，2，2)为法向量，那么α外一点P(2，1，3)与α的距离为____________。 变式2　直线l过点M(1，0，－1)且与向量＝(2，2，－1)平行，则空间中点N(4，0，－1)到直线l的距离为（　　）。 A． B．2 C．3 D． 变式3　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝3。（1）求点A到平面PBC的距离；（2）求点C到直线PB的距离。 变式4　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝3，AC＝2，PA＝4。棱PC上是否存在点M，使PC⊥平面ABM？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 【题型5】直线方程与两直线的位置关系（含参讨论） 含参数的直线问题有三类：由位置关系定参数（平行要验重合）、直线过定点（按参数整理）、直线与线段相交（看转动时是否经过竖直位置）。 例1　已知直线l₁：(m－1)x＋2y－4＝0与直线l₂：3x＋(m＋4)y－12＝0。（1）若l₁∥l₂，求实数m的值；（2）若l₁⊥l₂，求实数m的值及此时两条直线的交点坐标；（3）当l₁∥l₂时，求这两条平行直线之间的距离。 【分析】用一般式的系数判断：A₁B₂－A₂B₁＝0只说明平行或重合，必须代回检验；A₁A₂＋B₁B₂＝0⇔垂直，不必讨论斜率是否存在。 【解答】（1）由(m－1)(m＋4)－2×3＝0得＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5。 当m＝2时，l₁：x＋2y－4＝0，l₂：3x＋6y－12＝0即x＋2y－4＝0，两直线重合，舍去。 当m＝－5时，l₁：－6x＋2y－4＝0即3x－y＋2＝0，l₂：3x－y－12＝0，两直线平行。所以m＝－5。 （2）由3(m－1)＋2(m＋4)＝0得5m＋5＝0，所以m＝－1。 此时l₁：x－y＋2＝0，l₂：x＋y－4＝0，由第一个方程得y＝x＋2，代入第二个方程得x＋(x＋2)－4＝0，所以x＝1，y＝3，交点坐标为(1，3)。 （3）由（1）知两平行直线为3x－y＋2＝0与3x－y－12＝0，距离d＝＝＝。 【方法小结】含参数的两条直线平行，先由A₁B₂－A₂B₁＝0求出候选值，再逐个代回排除重合；求平行线间距离之前，先把x，y的系数化成相同。 例2　如图，已知点A(－1，0)，B(1，5)，直线l的方程为kx－y－3k＋2＝0（k∈R）。先证明直线l恒过一个定点P并求出P的坐标，再求直线l与线段AB有公共点时实数k的取值范围。 【分析】把方程按k整理成“k·(…)＋(…)＝0”，两个括号同时为0时对任意k成立，得到定点。直线绕定点P转动时，斜率在PA与PB的斜率之间连续变化，关键是看转动过程中是否经过竖直位置。 【解答】方程可化为k(x－3)－(y－2)＝0。令x－3＝0且y－2＝0，得x＝3，y＝2。 所以无论k取何值，点(3，2)的坐标都满足方程，直线l恒过定点P(3，2)。 直线PA的斜率kPA＝＝，直线PB的斜率kPB＝＝。 线段AB上各点的横坐标都在－1与1之间，都小于3，所以动点Q从A移到B时，直线PQ不会经过竖直位置，它的斜率从连续变到。 所以直线l与线段AB有公共点时，k的取值范围是≤k≤。 【方法小结】直线过定点与线段相交求斜率范围，先求两个端点处的斜率，再看直线转动时是否经过倾斜角为90°的位置：不经过，取两斜率之间；经过，取两斜率之外。 题型5　变式：倾斜角、垂直定参、不能围成三角形与截距最值 第1、2题练斜率与垂直条件，第3题把“不能围成三角形”拆成两类情形，第4题用截距式结合基本不等式求最值。 变式1　直线x＋－5＝0向上的方向与x轴正方向所成的角，也就是它的倾斜角，等于（　　）。 A．30° B．60° C．120° D．150° 变式2　若直线2x＋ay－1＝0与直线(a＋1)x－3y＋2＝0互相垂直，则实数a＝____________。 变式3　已知三条直线l₁：x＋y－2＝0，l₂：x－2y＋4＝0，l₃：ax－y＋1＝0不能围成三角形，求实数a的所有可能取值。 变式4　直线l过定点Q(4，1)，且它在两条坐标轴上的截距均为正，求这两个截距之和的最小值，并写出此时直线l的方程。 【题型6】距离公式与对称问题综合 对称是本章的“万能工具”：光线反射、距离和的最小值、距离差的最大值都要先求对称点；点到直线距离与两平行线间距离则是计算的主力。 例1　如图，从点M(2，5)发出的光线照到镜面直线l：x＋y＋1＝0上，经直线l反射后恰好通过点N(3，0)。（1）作出M关于直线l的对称点M′并求其坐标，进而求反射光线所在的直线与入射点；（2）光线从M出发到达N，一共走了多长的路程？ 【分析】由光的反射定律，反射光线的反向延长线经过点M关于镜面直线l的对称点M′，所以反射光线就在直线M′N上；光线的路程等于|M′N|。 【解答】（1）设M′(a，b)，则MM′⊥直线l且MM′的中点在直线l上。 由×(－1)＝－1得b＝a＋3；由＋＋1＝0得a＋b＋9＝0。 解得a＝－6，b＝－3，所以M′(－6，－3)。 直线M′N的斜率为＝，方程为y＝(x－3)，即x－3y－3＝0，这就是反射光线所在直线的方程。 由x－3y－3＝0与x＋y＋1＝0消去x得4y＋4＝0，所以y＝－1，x＝0，入射点的坐标为(0，－1)。 （2）光线所经过的路程等于|M′N|＝＝＝。 【方法小结】点关于直线对称的两个条件：“垂直”（斜率之积为－1）与“平分”（中点在直线上）。反射问题一律先作对称点，把折线化成直线。 例2　如图，已知点A(0，5)，B(3，－4)，直线l：x－y＋1＝0，点P在直线l上运动。（1）求|PA|＋|PB|的最小值及此时点P的坐标；（2）求||PA|－|PB||的最大值及此时点P的坐标。 【分析】先判断A，B在直线l的同侧还是异侧：异侧时|PA|＋|PB|≥|AB|；同侧时||PA|－|PB||≤|AB|。不满足要求时，用对称点把其中一个点“搬”到另一侧。 【解答】把A，B的坐标代入x－y＋1，分别得－4与8，符号相反，所以A，B在直线l的两侧。 （1）|PA|＋|PB|≥|AB|＝＝，当P为线段AB与直线l的交点时取等号。 直线AB的方程为y＝5－3x，由5－3x＝x＋1得x＝1，y＝2，所以最小值为，此时P(1，2)。 （2）作A关于直线l的对称点A′，由直线x－y＋1＝0的特点得A′(4，1)（可验证AA′的中点(2，3)在直线l上，且AA′的斜率为－1）。 A′与B在直线l的同侧，|PA|＝|PA′|，所以||PA|－|PB||＝||PA′|－|PB||≤|A′B|＝＝。 当P，A′，B三点共线且P在线段A′B的延长线上时取等号。直线A′B的方程为y＝5x－19，由5x－19＝x＋1得x＝5，y＝6。 所以最大值为，此时P(5，6)。 【方法小结】“和最小看异侧，差最大看同侧”；两点位置不符合时作对称点。本题直线的斜率为1，对称点可以由“x与y互换再平移”快速写出，但必须验证。 题型6　变式：点线距离、平行线距离、中心对称与等距直线 第1、2题练两个距离公式的标准用法，第3题求直线关于点的对称直线，第4题由距离相等求角平分线，第5题按“平行或过中点”两类情形求直线。 变式1　点P(3，－2)到直线y＝2x＋2的距离为（　　）。 A． B． C． D．10 变式2　已知m为实数，l₁：5x－12y＋3＝0，l₂：10x＋my－20＝0，若l₁∥l₂，则m＝____________，l₁与l₂的距离为____________。 变式3　求直线2x＋3y－6＝0关于点M(1，－1)对称的直线的方程。 变式4　求到两条直线l₁：3x＋4y－7＝0与l₂：4x－3y＋1＝0的距离相等的点的轨迹方程。 变式5　点A(1，5)与点B(3，－1)到直线l的距离相等，且直线l经过点P(－1，3)，那么直线l的方程为（　　）。 A．3x＋y＝0 B．3x＋y＝0或x＋3y－8＝0 C．x＋3y－8＝0 D．3x－y＋6＝0 【题型7】圆的方程与直线和圆的位置关系（弦长、切线、最值） 圆的问题几乎都靠“圆心＋半径”解决：弦长看弦心距，切线看d＝r，最值看圆心到目标的距离再加减半径，两圆问题看圆心距。 例1　如图，A(1，4)，B(5，2)是圆C上的两点，圆心C落在直线x＋y－3＝0上，求圆C的标准方程，并求直线l：x－3y＋6＝0被圆C截得的弦长。 【分析】圆心既在弦AB的垂直平分线上，又在已知直线上，两条直线的交点就是圆心；弦长用直线l＝。 【解答】线段AB的中点为(3，3)，直线AB的斜率为＝，所以AB的垂直平分线的斜率为2，方程为y－3＝2(x－3)，即y＝2x－3。 由y＝2x－3与x＋y－3＝0得x＋(2x－3)－3＝0，所以x＝2，y＝1，圆心为C(2，1)。 半径＝|CA|²＝＋＝10，所以圆C的标准方程为＋＝10。 圆心C到直线l的距离d＝＝＝。 所以弦长为＝＝。 【方法小结】求圆的方程先想圆心的几何特征（弦的垂直平分线过圆心），往往比设一般式解三元方程组快；弦长问题一律用“半弦、弦心距、半径”构成的直角三角形。 例2　如图，点P(4，1)在圆C：＋＝5的外部，过P作圆C的切线，求切线的方程以及点P到切点的距离。 【分析】由标准方程读出圆心与半径；过圆外一点的切线有两条，设点斜式时要单独检验斜率不存在的情形。 【解答】由圆C的方程得圆心C(1，－3)，半径r＝。 当切线的斜率不存在时，直线x＝4到圆心的距离为3≠，不是切线。 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0。 由圆心到切线的距离等于半径得＝，即＝＋1)，整理得－24k＋11＝0。 解得k＝或k＝，所以切线方程为x－2y－2＝0或11x－2y－42＝0。 设切点为T，则CT⊥PT，|PC|²＝＋＝25，所以切线长|PT|＝＝＝。 【方法小结】过圆外一点的切线“先竖后斜”：先检验x＝x₀，再设斜率用d＝r列方程；切线长不必求切点，用勾股定理即可。 题型7　变式：读圆心半径、弦长切线、代数式最值与公共弦 第1题读圆心与半径，第2、3题分别求弦长与圆上一点处切线的截距，第4题把代数式的最值转化为直线与圆有公共点，第5题由两圆相交求公共弦与三角形面积。 变式1　把圆＋－8x＋2y＋8＝0的方程配方，得到的标准方程是（　　）。 A．＋＝9 B．＋＝3 C．＋＝9 D．＋＝25 变式2　圆＋－4y＝0与直线－y＝0相交于M，N两点，则|MN|＝____________。 变式3　已知点(2，3)在圆＋＝10上，过该点作圆的切线l，则直线l在y轴上的截距为____________。 变式4　已知实数x，y满足＋＋2x－4y＋4＝0，则x－y的最大值为____________。 变式5　圆C₁：＋＝9与圆C₂：＋＝9交于A，B两点。（1）求直线AB的方程与线段AB的长；（2）求△C₁AB的面积。 【题型8】向量与解析几何交汇（方向向量、数量积与空间中的圆） 向量是两章之间的桥：平面内直线可以用方向向量表示，数量积条件常化为圆，空间中的距离条件在平面内也会得到圆。 例1　如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为4，动点P在底面ABCD内（含边界），且PC₁＝5。（1）按图中的坐标系，用坐标方程表示点P在平面ABCD内的轨迹，并指出它是什么曲线的一部分；（2）求线段PB长度的取值范围。 【分析】把空间中的距离条件用坐标写出来，就得到平面内的一个圆；再结合P在正方形ABCD内，截出圆的一部分。第（2）问把|PB|²用轨迹方程化成一个变量的函数。 【解答】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则D(0，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，C₁(0，4，4)。设P(x，y，0)，0≤x≤4，0≤y≤4。 （1）由PC₁＝5得＋＋＝25，即＋＝9。 它表示以C(0，4)为圆心、3为半径的圆，而P在正方形ABCD内，所以0≤x≤3，1≤y≤4，轨迹是这个圆在正方形内的四分之一圆弧。 （2）|PB|²＝＋＝－8x＋16＋＝9－8x＋16＝25－8x。 因为0≤x≤3，所以1≤25－8x≤25，即1≤|PB|≤5。 所以线段PB长度的取值范围是[1，5]。 【方法小结】空间中“到定点距离为定值”的点在一个平面内时，轨迹是圆（或圆的一部分）。建系后把三维条件写成二元方程，就回到了第二章圆的方程。 例2　如图，已知点A(－1，0)，B(3，0)，点P是圆＋＝1上的动点，求·的取值范围。 【分析】数量积用坐标写出后是一个关于x，y的二次式，配方后它等于某个定点到P的距离的平方减去常数，问题化为“圆上的点到定点距离的最值”。 【解答】设P(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(3－x，－y)。 所以·＝(x＋1)(x－3)＋＝－2x－3＋＝＋－4。 记M(1，0)，则·＝|PM|²－4。 圆心(0，2)到M的距离为＝，半径为1，点M在圆外，所以－1≤|PM|≤＋1。 所以－4≤·≤－4，即2－≤·≤2＋。 【方法小结】M是线段AB的中点，一般地·＝|PM|²－，这是向量与圆交汇的常用转化，求出|PM|的范围即可。 题型8　变式：方向向量定直线、向量求夹角与数量积条件 第1题由方向向量写直线方程，第2题用方向向量求两直线夹角，第3、4题把数量积条件翻译成圆或弦心距，再求面积或参数。 变式1　以(5，－2)为方向向量，并且经过点(－3，4)的直线，它的一般式方程是（　　）。 A．2x＋5y－14＝0 B．5x－2y＋23＝0 C．2x－5y＋26＝0 D．5x＋2y＋7＝0 变式2　直线l₁：x－2y＋1＝0与直线l₂：3x－y＋4＝0所成的角为____________。 变式3　设动点P满足·＝11，其中A(－4，0)，B(6，0)，求P的轨迹方程及△PAB面积的最大值。 变式4　已知圆C：＋＝10与直线l：x－2y＋m＝0交于A，B两点，且·＝0，求实数m的值。 　易错专练 这八题对准期中范围内八个高频失分点：异面直线角取绝对值、线面角用正弦、截距条件漏过原点、切线漏竖直的一条、相切漏内切、倾斜角写成负角、化一般式漏乘、四点共面的系数和。每题先独立作答，再对照解析中的错解、错因与正解。 易错1　已知异面直线l₁，l₂的方向向量分别为＝(1，－2，2)，＝(－2，1，－2)，求l₁与l₂所成角的余弦值。 易错2　已知＝(2，－1，2)，＝(0，4，3)分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，记直线l与α所成的角为θ，求sinθ。 易错3　已知直线l过点(2，3)，且它的横截距是纵截距的2倍，求直线l的方程。 易错4　圆＋＝4外有一点P(3，－2)，求经过点P且与这个圆只有一个公共点的所有直线的方程。 易错5　已知圆C₁：＋＝4与圆C₂：＋＝（r＞0）相切，求r的值。 易错6　求直线y＝·x＋2（α∈R）的倾斜角的取值范围。 易错7　求点P(2，1)到直线y＝－1的距离。 易错8　已知O是平面ABC外一点，A，B，C三点不共线，若＝＋＋，且P，A，B，C四点共面，求λ的值。 　课后作业（一）基础过关 本组十二题覆盖两章最基本的公式与方法：第1至5题为单项选择，第6至9题把结果填在横线上（坐标、方程按题目要求的形式书写，根式化到最简），第10至12题写出完整的推理与计算过程。 1．若向量＝(4，m，2)与向量＝(2，－3，1)方向相同，则m＝（　　）。 A．－6 B．6 C． D． 2．空间中，点C(0，a，3)在直线AB上，其中A(1，0，1)，B(2，1，－1)，则a的值为（　　）。 A．1 B．2 C．－1 D．－2 3．直线l垂直于直线3x－y＋1＝0，且直线l与y轴交于点(0，2)，则直线l的方程是（　　）。 A．3x－y＋2＝0 B．x＋3y－6＝0 C．x－3y＋6＝0 D．x＋3y＋6＝0 4．已知直线4x－3y＋5＝0和圆＋＋2x－4y＋1＝0，下列判断正确的是（　　）。 A．直线与圆相离 B．直线与圆相切 C．直线过圆心 D．直线与圆相交但不过圆心 5．平面α的法向量为(1，－1，2)，平面β的法向量为(2，4，1)，由此可知α与β（　　）。 A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 6．已知空间向量＝(1，2，－2)，＝(－1，0，1)，则＋＝____________。 7．以(－3，2)为圆心的圆C与直线4x＋3y－9＝0只有一个公共点，则圆C的标准方程为____________。 8．直线l₁：x－2y＋3＝0上任意一点到直线l₂：2x－4y－4＝0的距离都等于____________。 9．圆＋＋4x－6y＋4＝0的圆心坐标为____________，半径为____________。 10．已知空间三点A(2，0，1)，B(1，1，0)，C(0，2，2)。（1）求cos〈，〉；（2）若向量＋与垂直，求实数λ的值。 11．如图，在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AA₁＝3。求证：BD⊥平面ACC₁A₁，并求体对角线BD₁与底面ABCD所成角的正弦值。 12．已知△ABC的三个顶点为A(4，0)，B(－2，2)，C(2，6)，求经过顶点C且与边AB垂直的直线的方程，并求△ABC的面积。 　课后作业（二）能力提升 本组九题把同一章的两三个知识点放进一道题：两圆的公切线、含参直线与圆、平面的夹角、圆上点到直线的最值，以及几何体中的平行与夹角综合题。 1．圆C₁：＋－2x－3＝0与圆C₂：＋＋4x－8y＋11＝0的位置关系是（　　）。 A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2．直线kx－y＋1－k＝0（k∈R）与圆＋－4x－2y－4＝0的位置关系是（　　）。 A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 3．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC与坐标平面Oxy的夹角的余弦值为（　　）。 A． B． C． D． 4．将圆＋＝9沿着垂直于直线3x＋4y－25＝0的方向平移，使它与这条直线相切，平移的最短距离为____________。 5．在空间直角坐标系Oxyz中，平面ABC与三条坐标轴分别交于A(2，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则原点O到平面ABC的距离为____________。 6．圆＋＝13在点(－2，3)处的切线，其横截距与纵截距之和为____________。 7．如图，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，PD＝4，E为PC的中点。求证PA∥平面BDE，并求平面ACE与底面ABCD夹角的余弦值。 8．已知圆C：＋－6x－2y＋9＝0与直线l：y＝kx。求使直线l与圆C相切的k值，并求k＝时直线l被圆C截得的线段MN的长。 9．已知点A(1，3)，B(5，1)，点P在直线x＋y－2＝0上，求|PA|²＋|PB|²的最小值及此时点P的坐标。 　课后作业（三）拓展探究 这一组五道题题号前都标“拓展”，供学有余力的同学选做：棱上找点、圆系过定点、空间条件得到平面内的圆、数量积条件定直线，都要先用坐标把条件翻译成方程。 1．（拓展）在圆＋＝16上，与直线4x＋3y＋26＝0相距为1的点共有____________个。 2．（拓展）如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC₁＝3。棱AA₁上是否存在点D，使平面DBC₁与平面BCC₁B₁夹角的余弦值为？若存在，求出AD的长；若不存在，说明理由。 3．（拓展）已知曲线C：＋－2(a＋2)y＋2ax＋2＝0（a为实数）。（1）当曲线C是圆时，求a的取值范围；（2）找出所有这样的圆的公共点，并证明它们只有这一个公共点；（3）求这些圆的圆心的轨迹方程。 4．（拓展）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(0，0，3)，B(3，0，0)，动点P在坐标平面Oxy内，且|PA|＝2|PB|。（1）求动点P的轨迹方程（用P的横坐标x与纵坐标y表示）；（2）求|PO|的最小值。 5．（拓展）过点P(1，0)的直线l与圆O：＋＝4交于A，B两点，且·＝－2，求直线l的方程。 　参考答案与解析 　题型1　变式：共面求参、基底判断、重心表示与投影向量 变式1　【答案】2 【解析】因为，不共线，由共面向量定理，存在实数x，y，使＝＋。 即(0，λ，4)＝(x－y，y，2x)，比较分量得x－y＝0，y＝λ，2x＝4。 解得x＝2，y＝2，所以λ＝2。 变式2　【答案】B 【解析】，，共面，而，不共线，于是存在实数s，t，使＋＝＋＋＋＝＋(s＋t)＋。 因为，，是基底，比较系数得m＝s，0＝s＋t，1＝t，所以s＝－1，m＝－1。 A是把s＋t＝0误写成s＝t得到的1；C，D与方程组无关。故选B。 变式3　【答案】＝＋＋ 【解析】因为G是△ABC的重心，所以＝＋＝＋×＋＝＋＋＝＋＋。 由OP＝3PG得＝＝＋＋。 所以＝＝＋＋－＝＋＋。 变式4　【答案】C 【解析】由与共线，设＝，则·＝＝9λ。 由9λ＝－18得λ＝－2，所以＝(－2，4，－4)。 A是λ的符号弄错，B是只由·＜0判断反向、误取＝，D是把错当成＝3得到λ＝－6。故选C。 变式5　【答案】，，0) 【解析】·＝3×1＋0×1＋4×0＝3，＝1＋1＋0＝2。 投影向量＝〈，〉·＝·＝。 所以投影向量的坐标是，，0)。 　题型2　变式：由向量判位置、由平行定参数与三种证明 变式1　【答案】D 【解析】直线l⊥α时，直线l的方向向量与平面α的法向量平行，所以所求向量必须与共线。 (－8，2，－4)＝－2(4，－1，2)，与共线，符合。 A，B中的向量与的数量积分别为8－8＋0＝0，4－6＋2＝0，它们与垂直，对应的是直线l∥α或直线l⊂α的情形；C与不共线。故选D。 变式2　【答案】－5 【解析】α∥β时两个法向量平行，设(－4，6，n)＝λ(2，m，－1)。 由－4＝2λ得λ＝－2，于是6＝－2m，n＝2，得m＝－3。 所以m－n＝－3－2＝－5。 变式3　【答案】见解析 【解析】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则D(0，0，0)，A₁(3，0，3)，C₁(0，3，3)，E(3，1，0)，F(1，3，0)。 在平面DA₁C₁内取＝(3，0，3)，＝(0，3，3)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面DA₁C₁的一个法向量，由·＝0得3x＋3z＝0，由·＝0得3y＋3z＝0；取x＝1，得y＝1，z＝－1，所以＝(1，1，－1)。 ＝(－2，2，0)，·＝(－2)×1＋2×1＋0×(－1)＝0，所以⊥。 又E(3，1，0)不满足平面A₁C₁D上的点的条件（·＝3＋1＝4≠0），E∉平面A₁C₁D，所以EF∥平面A₁C₁D。 变式4　【答案】见解析 【解析】以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，，1，0)，N(0，，0)。 ＝(－1，，0)，＝，1，0)，＝(0，0，2)。 ·＝＋＋0＝0，·＝0，所以BN⊥AM，BN⊥AP。 又AM∩AP＝A，所以BN⊥平面PAM。 而BN⊂平面PBN，所以平面PBN⊥平面PAM。 变式5　【答案】0 【解析】点P在平面α内，所以⊥，而＝(x－1，4，－1)。 由·＝2(x－1)＋4－2＝0，得2x＝0。 解得x＝0。 　题型3　变式：已知法向量求角与几何体中的三类角 变式1　【答案】B 【解析】·＝0＋3－8＝－5，＝3，＝5，所以cosθ＝|cos〈，〉|＝＝。 因为0°≤θ≤90°，所以sinθ＝＝。 A是把cosθ当成了sinθ，C是cos〈，〉本身，D是开方时漏掉了系数2。故选B。 变式2　【答案】 【解析】·＝0＋8＋6＝14，＝3，＝5。 设所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝＝。 因为0°≤θ≤90°，所以cosθ＝＝。 变式3　【答案】A₁C与BC₁所成角的余弦值为；A₁C与侧面BCC₁B₁所成角的正弦值为 【解析】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则A₁(4，0，2)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，C₁(0，4，2)。 ＝(－4，4，－2)，＝(－4，0，2)，·＝16＋0－4＝12，＝6，＝。 所以所求余弦值为＝。 平面BCC₁B₁上的点纵坐标都是4，它的一个法向量为＝(0，1，0)。 ·＝4，所以所求正弦值为＝。 变式4　【答案】二面角P－BC－A的余弦值为；PB与平面PAC所成的角为45° 【解析】以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，2)。 ＝(－2，4，0)，＝(－2，0，2)。设平面PBC的法向量为＝(x，y，z)，由－2x＋4y＝0，－2x＋2z＝0，取x＝2，得y＝1，z＝2，所以＝(2，1，2)。 平面ABC的一个法向量为＝(0，0，1)，cos〈，〉＝＝。 由图可知二面角P－BC－A是锐角，所以它的余弦值为。 平面PAC就是坐标平面Oyz，它的一个法向量为(1，0，0)；＝(2，0，－2)，所以sinθ＝＝，θ＝45°。 　题型4　变式：点面距离、点线距离与棱上找点 变式1　【答案】2 【解析】＝(2，0，2)，·＝2＋0＋4＝6，＝3。 所以点P到平面α的距离d＝＝2。 变式2　【答案】A 【解析】＝(3，0，0)，＝9；直线l的单位方向向量为，在方向上的投影为＝2。 所以点N到直线l的距离d＝＝。 B是投影的长度，C是，D是把减号错写成加号得到的。故选A。 变式3　【答案】（1）；（2） 【解析】以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(3，0，0)，C(0，3，0)，P(0，0，3)。 （1）＝(3，0，－3)，＝(0，3，－3)，设平面PBC的法向量为＝(x，y，z)，由3x－3z＝0，3y－3z＝0，取x＝1，得＝(1，1，1)。 ＝(0，0，3)，所以点A到平面PBC的距离d＝＝＝。 （2）直线PB的单位方向向量＝，0，，·＝，＝18。 所以点C到直线PB的距离为＝＝。 变式4　【答案】存在，＝4 【解析】以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)。 设＝（0≤λ≤1），＝(0，2，－4)，则M(0，2λ，4－4λ)，＝(0，2λ，4－4λ)，＝(3，0，0)。 因为·＝0，所以PC⊥AB恒成立；要使PC⊥平面ABM，只需PC⊥AM。 由·＝4λ－4(4－4λ)＝20λ－16＝0，得λ＝∈[0，1]。 所以存在点M，此时PM＝，＝4。 　题型5　变式：倾斜角、垂直定参、不能围成三角形与截距最值 变式1　【答案】D 【解析】直线方程可化为y＝＋，斜率k＝。 由tanα＝且0°≤α＜180°，得α＝150°。 A是把斜率的符号看反得到的；B，C是把斜率错当成或得到的。故选D。 变式2　【答案】2 【解析】两直线垂直的充要条件是A₁A₂＋B₁B₂＝0。 所以2(a＋1)＋a×(－3)＝0，即2－a＝0。 解得a＝2。 变式3　【答案】a＝－1或a＝ 【解析】三条直线不能围成三角形，有两种情形：其中两条平行，或三条直线经过同一点。 l₁的斜率为－1，l₂的斜率为，l₃的斜率为a，l₁与l₂相交。 若l₃∥l₁，则a＝－1，此时l₃：x＋y－1＝0与l₁不重合，符合；若l₃∥l₂，则a＝，此时l₃：x－2y＋2＝0与l₂不重合，符合。 由x＋y－2＝0与x－2y＋4＝0解得交点为(0，2)，代入l₃得a×0－2＋1＝－1≠0，所以三条直线不可能过同一点。 综上，a＝－1或a＝。 变式4　【答案】x＋2y－6＝0，最小值为9 【解析】设直线l的截距式方程为＋＝1（a＞0，b＞0），点Q在直线l上，所以＋＝1。 两个截距之和a＋b＝(a＋b)＋＝5＋＋。 由基本不等式，＋≥＝4，当且仅当a＝2b时等号成立。 所以a＋b≥9，由a＝2b及＋＝1得＝1，b＝3，a＝6。 所以直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0。 　题型6　变式：点线距离、平行线距离、中心对称与等距直线 变式1　【答案】A 【解析】直线化为一般式2x－y＋2＝0。 所以d＝＝＝。 B是把点的横、纵坐标代反，算成＝；C是把常数项的符号弄错，算成＝；D是忘了除以。故选A。 变式2　【答案】－24；1 【解析】由两直线平行得5m－(－12)×10＝0，所以m＝－24，第二条直线为10x－24y－20＝0，即5x－12y－10＝0。 所以d＝＝＝1。 变式3　【答案】2x＋3y＋8＝0 【解析】设所求直线上任意一点为(x，y)，它关于点M的对称点为(2－x，－2－y)。 对称点在直线2x＋3y－6＝0上，所以2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0。 整理得－2x－3y－8＝0，即所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0。 变式4　【答案】x－7y＋8＝0或7x＋y－6＝0 【解析】设点P(x，y)到l₁，l₂的距离相等，则＝。 所以3x＋4y－7＝4x－3y＋1或3x＋4y－7＝－(4x－3y＋1)。 由前者得x－7y＋8＝0，由后者得7x＋y－6＝0。 所以所求轨迹方程为x－7y＋8＝0或7x＋y－6＝0（它们是l₁与l₂所成角的两条平分线）。 变式5　【答案】B 【解析】直线l与A，B距离相等有两种情形：直线l∥AB，或直线l经过线段AB的中点。 直线AB的斜率为＝－3，直线l∥AB时，直线l：y－3＝－3(x＋1)，即3x＋y＝0。 AB的中点为(2，2)，直线l过中点时，斜率为＝，直线l：y－3＝ (x＋1)，即x＋3y－8＝0。 A，C各漏掉了一种情形，D不满足距离相等。故选B。 　题型7　变式：读圆心半径、弦长切线、代数式最值与公共弦 变式1　【答案】C 【解析】－8x＋16＋＋2y＋1＝－8＋16＋1，即＋＝9。 所以圆心为(4，－1)，半径为3。 A把两个括号内的符号弄反了；B把半径3直接写在右边、漏了平方；D把右边错算成8＋16＋1＝25。故选C。 变式2　【答案】 【解析】圆的方程可化为＋＝4，圆心(0，2)，半径2。 圆心到直线的距离d＝＝1。 所以弦长为＝。 变式3　【答案】9 【解析】圆心为(－1，2)，圆心与切点连线的斜率为＝。 切线与这条半径垂直，所以切线的斜率为－3，方程为y－3＝－3(x－2)，即y＝－3x＋9。 令x＝0，得y＝9，所以直线l在y轴上的截距为9。 变式4　【答案】－3＋ 【解析】方程可化为＋＝1，点(x，y)在以(－1，2)为圆心、1为半径的圆上。 设x－y＝t，则直线x－y－t＝0与圆有公共点，所以≤1，即|t＋3|≤。 所以－3－≤t≤－3＋，x－y的最大值为－3＋。 变式5　【答案】（1）x＋y－1＝0，|AB|＝；（2） 【解析】（1）圆心C₁(－2，1)，C₂(0，3)，两圆半径都是3，圆心距＝＜6，两圆确实相交。 把两个方程展开：＋＋4x－2y－4＝0，＋－6y＝0，相减得4x＋4y－4＝0，所以直线AB的方程为x＋y－1＝0。 C₁到直线AB的距离d＝＝，所以|AB|＝＝。 （2）S△C₁AB＝××＝。 　题型8　变式：方向向量定直线、向量求夹角与数量积条件 变式1　【答案】A 【解析】由方向向量(5，－2)得直线l的斜率k＝＝。 所以直线l的方程为y－4＝ (x＋3)，即2x＋5y－14＝0。 B是把方向向量当成了法向量，C是斜率符号弄反，D是把方向向量的两个分量位置弄反。故选A。 变式2　【答案】45° 【解析】l₁的一个方向向量为＝(2，1)，l₂的一个方向向量为＝(1，3)。 cos〈，〉＝＝。 两条直线所成的角θ∈[0°，90°]，cosθ＝|cos〈，〉|＝，所以θ＝45°。 变式3　【答案】轨迹方程为＋＝36；△PAB面积的最大值为30 【解析】设P(x，y)，则·＝(－4－x)(6－x)＋＝－2x－24＋＝11，即＋＝36。 轨迹是以(1，0)为圆心、6为半径的圆，圆心在线段AB上，|AB|＝10。 当P不在x轴上时构成△PAB，AB边上的高就是|y|，而|y|≤6，当P为(1，6)或(1，－6)时取等号。 所以△PAB面积的最大值为×10×6＝30。 变式4　【答案】m＝2或m＝12 【解析】由·＝0得CA⊥CB，△ACB是以C为直角顶点的等腰直角三角形，腰长为。 所以圆心C(－1，3)到直线l的距离等于＝。 由＝得|m－7|＝5，解得m＝2或m＝12。 此时圆心到直线的距离＜，直线与圆确实相交于两点，两个值都符合题意。 　易错专练 易错1　【答案】 【解析】错解示例：cos〈，〉＝＝，所以l₁与l₂所成角的余弦值为。 错因：异面直线所成的角θ∈(0°，90°]，余弦值不可能为负；两个方向向量的夹角可能是钝角，它与所成角互补。 正解：cosθ＝|cos〈，〉|＝＝。 提醒：求异面直线所成的角，最后一步一定写“取绝对值”。 易错2　【答案】 【解析】错解示例：cos〈，〉＝＝，于是所成角的余弦值为，正弦值为＝。 错因：把方向向量与法向量的夹角当成了线面角。法向量垂直于平面，线面角与〈，〉（或它的补角）互余。 正解：设所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝＝。 提醒：线面角用正弦，另外两类角用余弦。 易错3　【答案】3x－2y＝0或x＋2y－8＝0 【解析】错解示例：设直线方程为＋＝1，代入(2，3)得＋＝1，所以b＝4，直线方程为x＋2y－8＝0。 错因：截距式要求两个截距都不为0，漏掉了直线过原点（两个截距都是0，同样满足“2倍”关系）的情形。 正解：当直线过原点时，方程为y＝，即3x－2y＝0；当截距不为0时，由错解中的计算得x＋2y－8＝0。所以所求直线的方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0。 提醒：截距相等、截距互为相反数、截距成倍数这三类条件，都先写出过原点的那一条。 易错4　【答案】x＝3或y＝－2 【解析】错解示例：设切线方程为y＋2＝k(x－3)，由＝2得＝＋1，所以k＝0，切线方程为y＝－2。 错因：点P在圆外，过P的切线一定有两条；设点斜式时默认斜率存在，漏掉了竖直的那一条。 正解：当斜率不存在时，直线x＝3到圆心(1，0)的距离为2，等于半径，是切线；当斜率存在时，同上求得y＝－2。所以切线方程为x＝3或y＝－2。 提醒：求得的切线只有一条而点在圆外，立刻回头检验x＝x₀。 易错5　【答案】r＝8或r＝12 【解析】错解示例：圆心距d＝＝10，两圆相切，所以2＋r＝10，r＝8。 错因：“相切”包括外切与内切两种情形，只考虑了外切。 正解：由外切得2＋r＝10，r＝8；由内切得|r－2|＝10，r＝12（r＝－8舍去）。所以r＝8或r＝12。 提醒：题目只说“相切”时，外切与内切都要讨论。 易错6　【答案】[0°，60°]∪[120°，180°) 【解析】错解示例：斜率k＝∈，，所以倾斜角θ的范围是[－60°，60°]。 错因：倾斜角的范围是0°≤θ＜180°，斜率为负时对应钝角，不能写成负角。 正解：由≤tanθ≤且0°≤θ＜180°：0≤tanθ≤时0°≤θ≤60°；≤tanθ＜0时120°≤θ＜180°。所以倾斜角的取值范围是[0°，60°]∪[120°，180°)。 提醒：由斜率范围求倾斜角范围，按斜率的正负分段，对照正切函数在[0°，90°)与(90°，180°)上的图象。 易错7　【答案】 【解析】错解示例：直线化为3x－4y－1＝0，所以d＝＝。 错因：去分母时常数项－1没有同乘4，一般式写错。 正解：方程两边同乘4得4y＝3x－4，即3x－4y－4＝0，所以d＝＝。 提醒：化一般式后，任取直线上一点代入检验，如(0，－1)代入3x－4y－4得0。 易错8　【答案】 【解析】错解示例：四点共面就要求，，共面，而O在平面ABC外，所以λ可以取任意实数。 错因：把“P，A，B，C四点共面”错当成“三个向量，，共面”；真正的条件是P在平面ABC内。 正解：P在平面ABC内，存在x，y使＝＋，即＝(1－x－y)＋＋，三个系数之和为1。所以＋＋λ＝1，λ＝。 提醒：＝＋＋（O在平面ABC外）中，P，A，B，C共面⇔x＋y＋z＝1。 　课后作业（一）基础过关 1．【答案】A 【解析】由∥，设＝，由4＝2λ得λ＝2。 所以m＝2×(－3)＝－6。 B是符号错误，C，D是把比例写反得到的。故选A。 2．【答案】C 【解析】＝(1，1，－2)，＝(－1，a，2)，三点共线，所以＝。 由－1＝λ得λ＝－1，所以a＝λ×1＝－1（竖坐标2＝－2λ也成立）。 A是λ的符号弄错，B，D与共线条件不符。故选C。 3．【答案】B 【解析】已知直线的斜率为3，所求直线的斜率为。 由斜截式得y＝＋2，即x＋3y－6＝0。 A与已知直线平行，C斜率符号错，D截距符号错。故选B。 4．【答案】D 【解析】圆的方程可化为＋＝4，圆心(－1，2)到直线的距离d＝＝1＜2，所以直线与圆相交。 又4×(－1)－3×2＋5＝－5≠0，圆心不在直线上。 故选D。 5．【答案】B 【解析】两个法向量的数量积为1×2＋(－1)×4＋2×1＝0，所以两个法向量垂直。 所以α⊥β。 故选B。 6．【答案】 【解析】＋＝(2－1，4＋0，－4＋1)＝(1，4，－3)。 所以＋＝＝。 7．【答案】＋＝9 【解析】半径等于圆心到切线的距离：r＝＝＝3。 所以圆的标准方程为＋＝9。 8．【答案】 【解析】两直线的系数成比例而常数项不成比例，l₁∥l₂，l₁上任意一点到l₂的距离都等于两平行线间的距离；l₂化为x－2y－2＝0。 所以d＝＝＝。 9．【答案】(－2，3)；3 【解析】配方得＋＝4＋9－4＝9。 所以圆心为(－2，3)，半径为3。 10．【答案】（1）；（2）λ＝－1 【解析】（1）＝(－1，1，－1)，＝(－2，2，1)，·＝2＋2－1＝3，＝＝，＝＝3。 所以cos〈，〉＝＝。 （2）由＋·＝＋·＝3λ＋3＝0，得λ＝－1。 11．【答案】证明见解析； 【解析】以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A₁(2，0，3)，D₁(0，0，3)。 ＝(－2，－2，0)，＝(－2，2，0)，＝(0，0，3)。 ·＝4－4＋0＝0，·＝0，所以BD⊥AC，BD⊥AA₁，又AC∩AA₁＝A，所以BD⊥平面ACC₁A₁。 ＝(－2，－2，3)，平面ABCD的一个法向量为(0，0，1)。 ＝＝，所以所求正弦值为＝。 12．【答案】3x－y＝0；面积为16 【解析】直线AB的斜率为＝，所以所求直线的斜率为3。 它经过点C(2，6)，方程为y－6＝3(x－2)，即3x－y＝0。 直线AB的方程为y＝，即x＋3y－4＝0，|AB|＝＝。 点C到直线AB的距离d＝＝。 所以S△ABC＝××＝16。 　课后作业（二）能力提升 1．【答案】C 【解析】圆C₁：＋＝4，圆心(1，0)，半径2；圆C₂：＋＝9，圆心(－2，4)，半径3。 圆心距为＝5＝2＋3，所以两圆外切。故选C。 2．【答案】C 【解析】直线方程可化为k(x－1)－(y－1)＝0，恒过定点(1，1)。 圆的方程可化为＋＝9，而＋＝1＜9，定点在圆内。 所以直线与圆一定相交。故选C。 3．【答案】D 【解析】＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，可求得平面ABC的一个法向量为＝(1，1，1)。 坐标平面Oxy的一个法向量为(0，0，1)，所以夹角的余弦值为＝。 A是夹角的正弦值，B是把＝错算成3得到的，C与计算无关。故选D。 4．【答案】2 【解析】圆心(0，0)到直线的距离d＝＝5＞3，直线与圆相离。 圆向直线平移到圆心与直线的距离等于半径3时相切，所以平移的最短距离为5－3＝2。 5．【答案】 【解析】＝(－2，1，0)，＝(－2，0，2)，设平面ABC的法向量为＝(x，y，z)，由－2x＋y＝0，－2x＋2z＝0，取x＝1，得＝(1，2，1)。 ＝(－2，0，0)，＝＝，所以d＝＝＝。 6．【答案】 【解析】切点与圆心连线的斜率为，切线与它垂直，斜率为。 切线方程为y－3＝(x＋2)，即2x－3y＋13＝0，它在x轴、y轴上的截距分别为和。 所以两个截距之和为＋＝。 7．【答案】证明见解析；夹角的余弦值为 【解析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，E(0，1，2)。 在平面DBE内取＝(2，2，0)，＝(0，1，2)，它们不共线。 设＝(x，y，z)是平面DBE的一个法向量，由·＝0得2x＋2y＝0，由·＝0得y＋2z＝0；取x＝2，得y＝－2，z＝1，所以＝(2，－2，1)。 ＝(2，0，－4)，·＝0，所以⊥；又点A不在平面BDE内（·＝4≠0），所以PA∥平面BDE。 ＝(－2，2，0)，＝(－2，1，2)，设平面ACE的法向量为＝(x，y，z)，由－2x＋2y＝0，－2x＋y＋2z＝0，取x＝2，得y＝2，z＝1，所以＝(2，2，1)。 平面ABCD的一个法向量为(0，0，1)，所以两平面夹角的余弦值为＝。 8．【答案】k＝0或k＝；|MN|＝ 【解析】圆C的方程可化为＋＝1，圆心(3，1)，半径1。 由＝1得＝＋1，即－6k＝0，解得k＝0或k＝。 k＝时，直线为x－2y＝0，圆心到它的距离d＝＝。 所以弦长为＝。 9．【答案】最小值19，， 【解析】设P(x，2－x)，则|PA|²＋|PB|²＝＋＋＋。 展开整理得－12x＋28＝＋19。 所以当x＝时取得最小值19，此时，。 　课后作业（三）拓展探究 1．【答案】3 【解析】圆心(－2，－1)到直线的距离d＝＝3，半径为4。 到直线距离为1的点在与该直线平行、相距为1的两条直线4x＋3y＋21＝0与4x＋3y＋31＝0上：前者到圆心的距离为＝2＜4，与圆有2个交点；后者到圆心的距离为＝4，与圆相切，有1个交点。 所以共有3个点。 2．【答案】存在，AD＝ 【解析】以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(0，3，0)，C₁(0，0，3)。设D(3，0，t)（0≤t≤3）。 ＝(3，－3，t)，＝(0，－3，3)。设平面DBC₁的法向量为＝(x，y，z)，由3x－3y＋tz＝0，－3y＋3z＝0，取y＝z＝3，得x＝3－t，所以＝(3－t，3，3)。 平面BCC₁B₁就是坐标平面Oyz，它的一个法向量为(1，0，0)。 由＝得＝＋18，所以＝，t＝或t＝（舍去）。 所以存在点D，且AD＝，即D是AA₁的中点。 3．【答案】（1）a≠－1；（2）定点(1，1)；（3）x＋y－2＝0（x≠1） 【解析】（1）＋－4F＝＋－8＝，它大于0⇔a≠－1。 （2）方程按a整理为＋－4y＋2)＋a(2x－2y)＝0。一个点在所有这些圆上，当且仅当上式对无穷多个a都成立，即常数部分与a的系数同时为0。令＋－4y＋2＝0且－2x＋2y＝0，得x＝y且－4x＋2＝0，所以x＝y＝1。 所以这些圆都经过定点(1，1)。 （3）圆心为(－a，a＋2)，设x＝－a，y＝a＋2，消去a得x＋y－2＝0，又a≠－1，所以x≠1。圆心的轨迹方程为x＋y－2＝0（x≠1）。 4．【答案】（1）＋＝7；（2）4－ 【解析】（1）设P(x，y，0)，由|PA|＝2|PB|得＋＋9＝＋。 整理得＋－24x＋27＝0，即＋－8x＋9＝0，配方得＋＝16－9＝7。 （2）轨迹是坐标平面Oxy内以(4，0)为圆心、为半径的圆，原点到圆心的距离为4＞，原点在圆外。 所以|PO|的最小值为4－。 5．【答案】x＝1 【解析】由·＝∠AOB＝4cos∠AOB＝－2，得cos∠AOB＝，∠AOB＝120°。 在等腰△AOB中，圆心O到直线l的距离d＝2cos60°＝1。 若直线l的斜率存在，设直线l：y＝k(x－1)，由＝1得＝＋1，无解。 若直线l的斜率不存在，直线l：x＝1，圆心到它的距离为1，符合。此时A(1，，B(1，，·＝1－3＝－2，验证成立。 所以直线l的方程为x＝1。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $