第03讲： 直线与方程【7大题型】-2024-2025学年高二数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲： 直线与方程 【考点梳理】 · 考点一：直线的倾斜角和斜率问题 · 考点二：两直线平行和垂直问题 · 考点三：直线方程问题 · 考点四：直线定点问题 · 考点五：直线的交点坐标和距离问题 · 考点六：直线方程的对称问题 · 考点七：直线方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一．斜率公式 (1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tanα. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝. 知识点二．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 知识点三：直线平行与垂直 ①两条直线平行： (ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. (ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直： (ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2. 知识点三．几种距离 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝. (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝. 【题型归纳】 题型一：直线的倾斜角和斜率问题 1．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知直线过点，，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线，则的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线的方程为，则该直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：两直线平行和垂直问题 4．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·北京·期中）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线，若，则实数 （    ） A．1 B．3 C．1或3 D．0 题型三：直线方程问题 7．（23-24高二上·全国·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程. 8．（23-24高二上·江苏泰州·期中）直角的斜边中点为，边所在直线的方程为，所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的方程． 9．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线与直线垂直，求直线的方程． 题型四：直线定点问题 10．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知直线过定点A，则A的坐标为 . 11．（23-24高二上·广东江门·期中）平面直角坐标系中，直线与交于点，则点到直线距离的最小值为 . 12．（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 . 题型五：直线的交点坐标和距离问题 13．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知直线与直线均过点，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 14．（23-24高二上·四川绵阳·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． 15．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型六：直线方程的对称问题 16．（24-25高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 17．（22-23高二上·山西·期中）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求： (1)入射光线与直线l的交点． (2)入射光线与反射光线所在直线的方程． 题型七：直线方程的综合问题 19．（24-25高二上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，已知直线和. (1)若，求的值及与之间的距离； (2)若，过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程. 20．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 21．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【高分达标】 一、单选题 22．（24-25高二上·河北保定·期中）直线：的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二下·浙江丽水·期中）已知直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 26．（22-23高二上·四川内江·期中）已知两条直线，若与平行，则实数（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 27．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 28．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 29．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·福建莆田·期中）以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 31．（23-24高二上·陕西榆林·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．点在直线上 D．存在使得直线与直线垂直 32．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．点到直线的最大距离为 D．直线一定经过第四象限 33．（22-23高二上·广东东莞·期中）下列四个选项中，说法错误的是（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线与直线互相平行，则 C．过两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 34．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知，点到直线：的垂足为，，，则（    ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 35．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线平行，则 ． 36．（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 37．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 38．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知直线与直线相交于点，，则点到坐标原点O的距离的最小值为 ． 四、解答题 39．（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 40．（23-24高二上·江苏·期中）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若直线过定点M，且M是线段AB的中点，求实数的值； (2)求的最小值． 41．（2023高二上·江苏·专题练习）已知ABC的三个顶点分别为. (1)求边AB所在直线的方程； (2)求边AC上的中线BD所在直线的方程. 42．（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线l：. (1)求原点到直线l的距离的最大值； (2)若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S最小值时直线l的方程. 43．（23-24高二上·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线． (1)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程； (2)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点．求的最小值． 44．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知两直线， (1)求直线和的交点的坐标； (2)若过点作圆的切线有两条，求的取值范围； (3)若直线与，不能构成三角形，求实数的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲： 直线与方程 【考点梳理】 · 考点一：直线的倾斜角和斜率问题 · 考点二：两直线平行和垂直问题 · 考点三：直线方程问题 · 考点四：直线定点问题 · 考点五：直线的交点坐标和距离问题 · 考点六：直线方程的对称问题 · 考点七：直线方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一．斜率公式 (1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tanα. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝. 知识点二．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 知识点三：直线平行与垂直 ①两条直线平行： (ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. (ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直： (ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2. 知识点三．几种距离 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝. (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝. 【题型归纳】 题型一：直线的倾斜角和斜率问题 1．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知直线过点，，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点间的斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线的斜率为，所以，则4. 故选：C 2．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线，则的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质分析求解. 【详解】当时，方程变为，其斜率不存在，倾斜角为； 当时，由直线方程可得斜率， 因为且， 则，即， 又因为，； 综上所述：倾斜角的范围是． 故选：C． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线的方程为，则该直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，进一步得，从而可求出倾斜角的取值范围. 【详解】因为直线的方程为，直线的倾斜角为， 所以， 因为当时，， 所以， 因为， 所以， 故选：D 题型二：两直线平行和垂直问题 4．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线垂直的充要条件，可列出方程组解出即可. 【详解】由题意知：直线与直线垂直，则， 直线与直线垂直，则， 即得. 故选：B. 5．（23-24高二上·北京·期中）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可. 【详解】当直线与直线互相垂直时， ，得，解得或， 所以当时，直线与直线互相垂直， 而当直线与直线互相垂直时，或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 故选：A 6．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线，若，则实数 （    ） A．1 B．3 C．1或3 D．0 【答案】A 【分析】根据直线平行公式求出参数m的值，验证是否重合. 【详解】因为，所以， 解得：或， 当时，，，两直线平行，满足题意， 当时，，，两直线重合，舍， 所以. 故选：A. 题型三：直线方程问题 7．（23-24高二上·全国·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的一般式方程，再由点到直线距离公式计算即可； （2）由直线方程的点斜式求解即可. 【详解】（1）由已知，直线的斜率为， ∴直线的方程为，即. ∴点到直线的距离为. （2）由第（1）问，直线的斜率为， ∴边上的高所在直线的斜率为， 又∵边上的高所在直线过点， ∴边上的高所在直线的方程为，即. 8．（23-24高二上·江苏泰州·期中）直角的斜边中点为，边所在直线的方程为，所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的方程联立得出点的坐标，再根据两点中点的计算公式结合已知列式求解得出答案； （2）由结合边所在直线的方程得出边所在直线的方程的斜率，再结合（1）得出的点坐标由直线的点斜式方程得出答案. 【详解】（1）边所在直线的方程为，所在直线的方程为 联立，解得：， 点的坐标为， 中点为， 设点， ，解得， 即点的坐标为. （2）直角的斜边为， , 边所在直线的方程为,斜率为， 边所在的直线方程斜率为， 边所在的直线过点， 边所在的直线方程为，即. 9．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线与直线垂直，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）与直线平行且经过定点的直线可设为，由题意直线过两直线和的交点，故只需联立方程组将交点坐标求出即可. （2）与直线垂直且经过定点的直线可设为，再结合（1）中的定点即可得解. 【详解】（1）由题意联立，解得，即直线过点， 若直线与直线平行， 则直线的方程为，整理得. （2）由（1）可得直线过点，若直线与直线垂直， 则直线的方程为，整理得. 题型四：直线定点问题 10．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知直线过定点A，则A的坐标为 . 【答案】 【分析】将直线化成，即可求解. 【详解】直线 可化为， 联立，解得，所以点A的坐标为. 故答案为：. 11．（23-24高二上·广东江门·期中）平面直角坐标系中，直线与交于点，则点到直线距离的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出点的轨迹，然后利用几何关系求出到直线距离的最小值. 【详解】由直线与直线，得 所以两直线垂直， 又因为直线恒过，直线恒过， 所以点的轨迹为以点和点为直径的圆， 即圆心为，半径， 所以， 圆心到直线的距离， 到直线距离的最小值为. 故答案为： 12．（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先求得的坐标，然后判断出，根据基本不等式求得的最大值. 【详解】直线，即， 所以直线过定点. 直线，即， 所以直线过定点. 所以， 由于，所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 题型五：直线的交点坐标和距离问题 13．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知直线与直线均过点，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】易知点在两直线上可得，，由点到直线距离并利用二次函数性质即可求得原点到直线距离的最大值. 【详解】因为两直线交于，则，即， 且，则； 由原点到直线的距离， 易知，则， 当且仅当时，取最大值，此时. 即两直线重合时，原点到直线的距离最大. 故选：A. 14．（23-24高二上·四川绵阳·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程. 【详解】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 15．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可知直线，分别过定点，，且两直线垂直，点的轨迹是以为直径的圆，点到直线的距离的最大值即为圆心到直线的距离与半径的和. 【详解】由已知直线，分别过定点，， 当时，：，：，交点为， 当时，直线的斜率为，直线的斜率为，斜率的乘积为，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心坐标为，半径， 所以圆的方程为，不包括点，点满足该方程， 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：. 题型六：直线方程的对称问题 16．（24-25高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点关于直线的对称点，由光学知识可得反射光线经过点，，由直线的两点式即可求解. 【详解】根据题意可得反射光线经过点，易得入射光线所在直线经过点， 因为入射光线经过点，所以入射光线所在直线的方程为， 即. 故选：. 17．（22-23高二上·山西·期中）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解. 【详解】入射光线所在的直线方程为，即， 联立方程组解得即入射点的坐标为． 设关于直线对称的点为， 则解得，即． 因为反射光线所在直线经过入射点和， 所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在的直线方程为，即． 故选：D. 18．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求： (1)入射光线与直线l的交点． (2)入射光线与反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)入射光线的方程，反射光线的方程 【分析】（1）根据题意，求得点关于直线的对称点为，得到反射光线的方程，联立方程组，即可求得交点坐标； （2）根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求得入射和反射光线的方程. 【详解】（1）解：设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 则反射光线所在的直线的方程，即， 又由，解得， 即直线与直线的交点为. （2）解：由点，可得， 所以入射光线所在的直线的方程为，即， 反射光线所在直线的的方程，即. 题型七：直线方程的综合问题 19．（24-25高二上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，已知直线和. (1)若，求的值及与之间的距离； (2)若，过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两直线平行斜率相等可得，再由两平行线间的距离公式计算可得结果； （2）由可得点是线段的中点,求得点坐标并利用直线的点斜式方程可得直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率， 因为，所以直线的斜率存在，设为，且. 即，所以，解得. 将代入直线得，即， 所以与之间的距离为. （2）若，则， 由可知，点是线段的中点， 设，所以点关于的对称点， 因为点在直线上， 把点代入方程，即， 解得， 所以， 可得直线斜率，所以直线的方程为，即， 所以直线的方程为. 20．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 21．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）先判断直线经过定点，设直线的截距式方程，代入得，利用基本不等式即可求得； （2）利用（1）的结论，借助于常值代换法和基本不等式即可求得 【详解】（1）由整理得，， 令，解得，即直线经过定点. 不妨设直线的方程为，则有（*） 由（*）和基本不等式可得，，解得， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，的最小值为12； （2）因，由（1）得，， 则，当且仅当时，等号成立， 故当时，取得最小值. 【高分达标】 一、单选题 22．（24-25高二上·河北保定·期中）直线：的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的一般式可得直线的斜率，再由斜率的公式即可求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：. 23．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两条直线的交点，并根据交点在第一象限，解出的取值范围即可. 【详解】由得， 因为两直线的交点在第一象限，所以， 解得：. 故选：B. 24．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 25．（23-24高二下·浙江丽水·期中）已知直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由直线的位置关系与充分、必要条件的概念求解. 【详解】当时，，即，解得， 当时，，，此时； 当时，即， ，即，此时； 故“”是“”的充要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 26．（22-23高二上·四川内江·期中）已知两条直线，若与平行，则实数（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用两条直线平行的充要条件列式计算即得. 【详解】直线平行，则， 所以. 故选：A 27．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 【答案】A 【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形， 所以， 故选：A 28．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助几何图形，并求出点关于直线的对称点的坐标，再求出线段长即得. 【详解】如图，显然点在直线的同侧，设点关于直线的对称点为点， 则，解得，，即点， 由对称性知， 当且仅当点为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 二、多选题 29．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分类讨论所求直线与直线AB平行或所求直线过线段AB的中点两种情况，结合点斜式即可得解. 【详解】依题意，联立，解得，即， 直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为， ①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为，即； ②若所求直线过AB的中点时，则所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； 综上所述，所求直线方程为或. 故选：BD. 30．（23-24高二上·福建莆田·期中）以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 【答案】BC 【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误； 对于B，由解得，即，则，解得，B正确； 对于C，依题意，，C正确； 对于D，当时，直线重合，D错误. 故选：BC 31．（23-24高二上·陕西榆林·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．点在直线上 D．存在使得直线与直线垂直 【答案】ACD 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A；利用特殊值判断B；将点的坐标代入方程即可判断C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 32．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．点到直线的最大距离为 D．直线一定经过第四象限 【答案】ABC 【分析】化简直线方程，联立方程组，可判定A正确；由直线，结合对称性和直线方程，可判定B正确；结合直线时，点到直线的距离最大，可判定C正确；根据直线不一定经过第四象限，可判定D错误. 【详解】对于A，由直线，可得， 联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A正确； 对于B，当时，直线， 在直线上取两点，则点关于轴对称的点， 点关于轴对称的点， 所以关于轴对称直线为，即，所以B正确； 对于C，由A项知直线过定点， 则当直线时，点到直线的距离最大， 最大距离为，所以C正确； 对于D， 直线不一定经过第四象限，比如：当时，直线：不经过第四象限，所以D错误.   故选：ABC. 33．（22-23高二上·广东东莞·期中）下列四个选项中，说法错误的是（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线与直线互相平行，则 C．过两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 【答案】AD 【分析】根据直线的倾斜角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；分截距都为与都不为两种情况讨论，即可判断D. 【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角， 但是与轴平行（重合）的直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误； 对于B：因为直线与直线互相平行， 则，解得或， 当时直线与直线重合，故舍去， 当时直线与直线平行，符合题意， 综上可得，故B正确； 对于C：过两点的所有直线的方程为，故C正确； 对于D：当截距都为时直线方程为， 当截距都不为时，设直线方程为，则，解得， 所以直线方程为， 综上可得满足条件的直线方程为或，故D错误. 故选：AD 34．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知，点到直线：的垂足为，，，则（    ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】 根据题意，求出 直线过定点为，得到M轨迹是以PQ为直径的圆，分析可得点到直线的最大距离即，可得正确；分析的轨迹和轨迹方程，结合点与圆的位置关系可得，错误，综合可得答案. 【详解】 已知， 则，故直线过定点，正确； 设的坐标为，则点到直线的最大距离即，正确； 过点作直线直线：的垂线，垂足为，则恒成立，故的轨迹是以为直径的圆， 而，，则该圆的圆心为，半径，故的轨迹方程为， 又由，则，故N在圆外，故的最大值为，最小值为，故,错误． 故选：． 三、填空题 35．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线平行，则 ． 【答案】 【分析】由于两条直线的系数均不为零，即两条直线都有斜率，由斜率相等即可求出的值. 【详解】由于两条直线的系数均不为零，即两条直线都有斜率， 则，则，直线，则， 由直线与直线平行， 所以，解得：，经检验两直线平行不重合. 故答案为：. 36．（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 【答案】 【分析】通过三条直线两两平行或重合，以及三条线经过同一点计算的取值即可. 【详解】当与平行或重合时，， 当与平行或重合时，，解得， 当与平行或重合时，，此时无解； 当三条直线经过同一点时，联立，解得， 故的取值所构成的集合为. 故答案为： 37．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 38．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知直线与直线相交于点，，则点到坐标原点O的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据两直线过定点且互相垂直可确定点轨迹为圆，将问题转化为圆外一点到圆上的动点距离的最小值，进而求得结果. 【详解】因为，所以， 又知直线，可得直线恒过定点， 直线，可得直线恒过定点， 所以点在以AB为直径的圆上，且， 所以半径为，圆心C为AB的中点，即， 即所在的圆的方程为：， 可得， 所以O到圆上点P的最小距离． 故答案为：． 四、解答题 39．（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线垂直即可求解； （2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直， 所以，所以； （2） 如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点， 点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点， 点为过点作轴的垂线交直线的交点，，， 设夹角为，因为，所以， 因为，， 所以在中，，所以， 因为，所以在中，， 所以，所以，易知， 设交点坐标为，所以， 所以或，所以交点坐标为或， 所以直线方程为或， 即或. 40．（23-24高二上·江苏·期中）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若直线过定点M，且M是线段AB的中点，求实数的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再结合M为AB的中点，由此即可得解. （2）设直线AB的方程可写成， 将代入得， 结合基本不等式即可得解，注意取等条件. 【详解】（1）由题意易得直线AB过定点，又M为AB的中点， 故， 故． （2）设，，其中，，则直线AB的方程可写成， 将代入得，， 故， 当且仅当，即，亦即时取等号， 故的最小值为． 41．（2023高二上·江苏·专题练习）已知ABC的三个顶点分别为. (1)求边AB所在直线的方程； (2)求边AC上的中线BD所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线方程的两点式求解； （2）先求得AC的中点，再由点B的坐标，利用直线方程的两点式求解. 【详解】（1）解：由两点式得边AB所在直线的方程为， 即. （2）由题意，得点D的坐标为， 由两点式，得BD所在直线的方程为， 即. 42．（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线l：. (1)求原点到直线l的距离的最大值； (2)若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S最小值时直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线l经过的定点，结合图形以及两点的距离公式，即可得出答案； （2）先求出的坐标，表示出.然后根据基本不等式，即可得出最小时，的值，代入方程，即可得出答案. 【详解】（1）直线l：可化为. 解可得，，所以直线l过定点. 如图，过点作，垂足为，连接 易知， 当时，原点到直线l的距离取得最大值. （2）易知 令，由可得，. 令，由可得，. 且，所以， 所以，. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，直线l的方程，即. 43．（23-24高二上·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线． (1)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程； (2)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点．求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）考虑直线过原点和不过原点两种情况，代入点坐标计算得到答案. （2）确定，计算，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）当直线过原点时，设，因为点在上，所以，即， 此时直线的方程为； 当直线不过原点时，设直线的方程为，点在上，，即， 此时直线的方程为， 综上所述：直线的方程为或； （2）设，，，，则的方程为， 点在上，故， ，当且仅当，即时等号成立， 故当时，取得最小值且最小值为． 44．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知两直线， (1)求直线和的交点的坐标； (2)若过点作圆的切线有两条，求的取值范围； (3)若直线与，不能构成三角形，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立直线方程，解方程组，即得答案； （2）根据点在圆外可得不等式，即求得答案； （3）讨论直线与，不能构成三角形的情况即为或或过点P，由此可求得a的值. 【详解】（1）联立方程组， 即直线和的交点的坐标； （2）由题意知点在圆外，，； （3）若直线与，不能构成三角形， 则或或过点P， 当时，则，满足题意； 当时，，满足题意； 当过点P时，， 故实数的值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$