专题05 椭圆的标准方程及几何性质（12大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【提分笔记】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题05 椭圆的标准方程及几何性质 知识点1 椭圆的定义 1、椭圆定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半叫作半焦距。 2、椭圆定义的集合语言表示： 注意：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的． 否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 3、椭圆的焦点三角形 椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，， 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 （设为） 性质1：，.（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理） 知识点2 椭圆标准方程 1、椭圆标准方程的推导过程 （1）以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1. （2）设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数. 图1 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 （3） 两边平方得，整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有 2、椭圆两种标准方程的对比 知识点3 椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 知识点4 直线与椭圆的位置关系 1、点与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 2、直线与椭圆的位置关系 （1）直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． （2）解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： ①得出直线方程，设交点为，； ②联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； ③写出根与系数的关系； ④将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； ⑤代入求解． 3、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 4、解决椭圆中点弦问题的两种方法 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 特的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 考点1 椭圆定义的辨析 【例1】（2023·江苏·高二专题练习）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 【变式1-1】（2022秋·北京·高二校考阶段练习）设定点，，动点P满足条件，则动点P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．双曲线 【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（ ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ） A． B． C．1 D．3 【变式1-4】（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知椭圆的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是（ ） A． B．3 C．6 D．8 考点2 求椭圆的标准方程 【例2】（2022春·四川遂宁·高二校考阶段练习）过点，焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为（ ） A． B．