天津市第四中学2026-2027学年高三年级上学期阶段性检测一数学试卷

高三年级数学学科阶段性检测一 一、单选题（共9小题，每题5分，共45分） L.如图所示的Venn图中，A,B是非空集合，定义集合A△B为阴影部分表示的 集合.已知全集U=∈Nx≤10}，集合A=L,2,3,4,B=3,4,5,6},C={xeU1x是偶数 },则下列结论正确的是（) A.A0B=4 B.AUC=1,2,3,4,6,10 C.(A△B)∩C={6 D.(CuA)∩(BUC)=5,6,8,10} 2.“p=2kπ+，k∈Z是“函数y=cos(2x+p)的图象关于原点对称的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数f(x)=log,(ax2-2ar+2),则下列说法错误的是(） A.若f(x)值域为R,则a∈[2，+o)B.若f(x)定义域为R,则a∈(0,2) C.若f(x)最小值为0，则a=1 D.若f(x)最大值为2，则a=-2 4.函数f)= -x的零点为a,b=e“,c=lna,则a,b,c大小关系() A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 5.下列说法中正确的是（) ①设随机变量X服从二项分布B(6,),则PX=3)= ②随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X<4)=0.9,则P(0<X<2)= 0.4 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=4 个人去的景点互不相同，B=“小赵独自去一个景点”，则P(AB)- ④E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4D(X) 试卷第1页，共4顷 A.②③ B.②③④ C.①2④ D.①② 6已知x>0>0,且x+y=5,若，22加+1恒成立，则实数m的取值范 围是（) c.( D.（-0,4] 7.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(1+x)=-f(1-x),f(x+2)为偶函数，当 xe2]时，f)=m2+,若fo)+/)-=5,则()（) A. 7 B 5 C.7 D. 8.已知函数f(x)=xcosx-sinx,若存在实数x∈[0,2π]，使得f(x)<t成立， 则实数t的取值范围是() A.(-∞，-π)B.(-π，+∞)C.(-元，2π)D.(2m,+∞) 9.已知函数f(x)= cos(mx-ma),X<a,其中a∈R,若f(x)在区间(0，+ x2-2ax+a2-4,x≥a ∞)内恰好有4个零点，则a的取值范围是（() A.引 B.B引 c.B引 D.原 二、填空题（共6小题，每题5分，共30分） 10.已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为 11.求值：273+1og85·log12+1021g2-lg3 12.在△ABC中，BC=4,AC=3,cosA=-则sinB= 13.已知x>0,y>0,且满足x2+4y2+2xy=3,则x+2y的最大值为 14.f(x)=sin(wx+φ)(oω>0，-Ⅱ<φ<m),在[-，上单调递增，且x= 是为它的一条对称轴，（得，0）是它的一个对称中心，当x∈[0，引时，fx)的最小 值为 l5.已知直线y=ar-1与曲线y=e+b相切，则5a-b的最大值为. 试卷第2项，共4顷 三、解答题(5个大题，共75分) 16.(14分) 已知集合A={x3-2m≤x≤2+m},集合B={xx2-4x+3≥0}. (1)当m=1时，求AnB,AU(CRB); (2)若AC CRB,求实数m的取值范围. 17.(15分) 已知函数y=fx),其中f0x)=是奇函数。 (I)求a的值； (2)求解不等式f(x)≥4； (3)当x∈(1,3)时，f(tx)+f(x-1)>0恒成立，求实数t的取值范围. 18.(15分) 已知函数fx)=sinxcosx+V3cos2x+m-的最小值为-1. (1)求m的值， (2)求f(x)的最小正周期和单调增区间： (3)若f()=手x0∈[-，0]，求cos(2x0+周)的值 试卷第3页，共4顷 19.(15分) 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S, 且3(a2+c2-b2)=4S. (1)求角B的大小. (2若a+c=4,S= ,求b的值， (3)若a=1,BA·BC=1,点D是线段AC上一点，求内角B平分线BD的长. 20.(16分) 已知函数f(x)=xe. (I)求曲线y=f(x)在其零点处的切线方程； (2)若方程f(x)=x(x>0)有两个解x,x2,且x<x2. ()求实数a的取值范围； 创若+，二。2恒成立，求实数的取值范围 试卷第4顷，共4顷 题号 5 6 8 答案 D B C A A C 1.D 【分析】利用集合的运算及新定义一一判定选项即可. 【详解】由题U=xeNx≤10}={，2,3,4,5,6,7,8,9,10}，C={x∈Ux是偶数 }={2,4,6,8,10}, 对于A,A∩B={3,4},故A错误； 对于B,AUC={1,2,3,4,6,8,10},故B错误； 对于C,A△B={L,2,5,6,(A△B)∩C={2,6,故C错误； 对于D,A={5,6,7,8,9,10},BUC={2,3,4,5,6,8,10}, 则(uA)n(BUC)=5,6,8,10},故D正确 故选：D 2.A 【详解】函数y=C0s(2x+0)的图象关于原点对称，等价于该函数为奇函数 令x=0,得c0sφ=0，解得0=kn+受，k∈Z 条件“0=2km+,k∈Z是“p=kn+,k∈Z的真子集： 充分性：若0=2km+号，则cos0=0,函数为奇函数，图象关于原点对称， 充分性成立； 必要性：图象关于原点对称时，φ还可取2km+织，必要性不成立 因此是充分不必要条件」 3.B 【分析】利用y=og2x及二次函数的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解 【详解】令u=ax2-2ax+2,y=log2u, 对于A,因为f(x)值域为R,则a=0时，u=2,此时f(x)值域为)，不合题意， [a>0 当a≠0时，则 △=4a2-8a≥0解得a≥2，所以A说法正确； 答案第1页，共13页 对于B,因为f(x)定义域为R,则a=0时，u=2,此时xeR,符合题意， △=4'-8a<0:解得0<a<2,所以0≤a<2,所以B说法错误； a>0 当a≠0时， 对于C,因为f(x)最小值为0，又y=log2u是增函数，则u=ax2-2ax+2有最小值1， 叉！=r-2a+2的对称轴为=1，则日+21解得=，所以C说法正确： 对于D,因为f(x)最大值为2，又y=log2u是增函数，则u=ax2-2ax+2有最大值4， 「a<0 又u=ax2-2ax+2的对称轴为x=1,则 a-2a+2=4解得a=-2,所以D说法正 确。 故选：B, 4.C 【分析】根据 =x可得a∈(0，l),再去求b,c的取值范围，即可得a,b,c的大小 [详解】因为“是/)（-x的零点，则a为（ =x的解，分别做y=x与 的图像如下， 如图可知a∈(0,1)，所以b=e“>e°=1，c=na<nl=0, 所以c<a<b. 故选：C 5.c 【分析】利用二项分布概率公式计算判断①；利用正态分布对称性计算判断②； 答案第2页，共13页 利用条件概率公式计算判断③；利用期望、方差的性质判断④作答 【详解】对于①，随机变量X服从二项分布B(6,),P(区=3)=C()3(1- 分3=器①正确： 对于②，随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X<4)=0.9,则PX≥4)= 0.1, P(0<X<2)=P(2<X<4④)=)-P(X≥4)=0.4，②正确； 对于③，依题意，PB)=,P(aAB)-年则P(AB)-智-总=号国 错误； 对于④，E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4D(X),④正确， 所以说法正确的有①②④. 故选：C 6.A 【分折由已知条件得出6+140+2列=8，将代数式+，2与[c+1)40+2刃 相乘，展开后利用基本不等式求出4，中的最小值，根据题意可得出关于m的 不等式，解之即可. 【详解】因为x>0,y>0,且x+y=5,则x+1+y+2=8, 则+2>0.x+1>0, x+1 y+2 所以2葡e明-2， 4y+2).x+1_9 周5*2x2有 4(y+2）-x+1 x+1y+2 当且仅当(x+1)+(y+2)=8时， x>0,y>0 即当x,y号时，所以++的最小值为， x+1y+2 答案第3页，共13页 因为x+iy+2 4 22m+1恒成立，所以2m+1≤8，解得m≤店 16 所以实数m的取值范围是 -016J 故选：A 7.A 【分析】通过分析得f(x)的周期为4，f(x)的图象关于点(1,0)对称，当x∈L,2]时， f)+x,结合()（)f()即可求解 【详解】因为f(1+x)=-f(1-x),所以f(x)=-f(2-x)①， 则函数f(x)的图象关于点(1,0)对称， 因为f(x+2)为偶函数，所以f(-x+2)=f(x+2)②， 则函数f(x)的图象关于直线x=2对称 由①②得f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4， 所以(9)8+》/側 由f(-x+1)=-f(x+1),令x=0,得f()=0,即a+b=0③ 已知f(0)+f(3)=5,由函数f(x)的图象关于直线x=2对称，得f(3)=f(1)=0. 又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，得f(0)=-f(2), 所以f(0)+f(3)=-f(2)=5,即f(2)=-5,所以4a+2b=-5④. 联立③④解得a=6,故当e2]时，f创-多+. 由f(x)的图象关于点(L,0)对称， 可得)-)-得)+到 故选：A. 8.B 【详解】因为存在实数x∈[0,2m],使得f(x)<t成立，所以当x∈[0,2m]时， t>f(x)min. 答案第4页，共13页 f(x)=cosx+x(-sinx)-cosx =-xsinx, 当X∈[0,2m]时，令f(x)=0得x=0或x=Π或X=2m, 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： 0 (0,Π) (Π，2) 2n f(x) 0 0 0 f(x) 0 极小值 2n 由表可知当x=时，f(x)取到x∈[0,2m]时的极小值也是f(x)在区间[0,2m] 上的最小值，且f(m)=一Ⅱ，故t>一T 9.C 【分析】根据参数a的范围，讨论两段函数的零点情况，利用二次函数与三角函 数的图象与性质，结合端点满足的条件，即可求解 fcos(πx-na),X<a 【详解】由函数f)={x202ax+a4,x会a,其中a∈R, 当a≤0时，对任意x>0,函数f(x)=(x-a)2-4在(0，+∞)内最多有1个 零点，不符题意，所以a>0, 当x≥a时，f(x)=(x-a)2-4, 由(x-a)2-4=0,可得x=a+2或x=a-2, 则在x≥a上，f(x)=(x-a)2-4有-个零点， 所以f(x)=cos(x-na)在(0，a)内有3个零点，即cos[π(x-a)]=0在(0，a) 内有3个零点， 因为0<x<a,所以-a<X-a<0,-ma<n(x-a)<0, 所以-受s-na<-受，解得<a 入 综上所述，实数a的取值范围为（⑤引 故选：C 10.4 【详解】设圆心角为日，半径r=1,故0r2=2,解得0=4. 答案第5页，共13页 【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算求解， 【详解】27+1og5-1og2+1022=(3j+1og,5-1og,2+10月 2 =32+写1og,5-(log,2)+ 411,410 39339 故答案为：号 2.品西 【详解】在AABC中，cosA=-所以sinA=-c0s2A=1-后=平 由正弦定理可得sinB=AC-sin4_3平」 3W15 4三 BC 4 16 13.2 【分析】先由条件配方，再由基本不等式即可得到 【详解】因x>0,y>0,x2+4y2+2xy=3,得(x+2y)2=3+2y. 再由+2=3+20≤3+2，得+24，所以x+2ys2. 所以x+2y的最大值为2. 故答案为：2. 14.-号 【详解】因为函数在[-罗上单调递增，且x=为它的一条对称轴， 所以X=爱时函数取最大值， 又因为（得，0）是它的一个对称中心， 「Π 所以 w+0=+2km 3w+=mn ,(m,k∈Z), 答案第6页，共13页 设的最小正周期为T,由正弦函数的对称性可知号-是=②+”m∈Z), 4 明=，w=4n+2 又)在[-晋上单调递增，则吗≥-（，“≥号-0<ω≤2， φ=号+2k “ω=2，则 φ=mn- m,(m,k∈Z), φ∈(-，m),k=0,m=1时，p=5,f(x)=sin(2x+), 当x∈[0，引时，2x+号∈[后引， 由正弦函数的单调性可知f0)m=sin智=- 2 15.e3+1 【分析】设直线y=ax-1与曲线y=e*+b相切于点(x,ax,-1),分析可得 5a-b=5e-e(x。-1)+1=e(6-x)+1,设f(x)=e*(6-x)+1,xeR,利用导数求函 数f(x)的最大值即可. 【详解】设直线y=ax-1与曲线y=e+b相切于点(x,ax,-1), .y=e+b,..y'=e,..a=e. axo-1=e*+b,.b=axo-1-e"=e*.xo-1-e*=e"(xo-1)-1, ∴.5a-b=5eo-e(x-1)+1=e(6-x)+1 设f(x)=e*(6-x)+l,xeR,f'(x)=e*(6-x)-e*=e*(5-x), .当x<5时，'(x)>0,f(x)单调递增， 当x>5时，f'(x)<0,f(x)单调递减， “当x=5时，f(x)=f(5)=e3+1,当，=5时，(5a-b)nx=e3+1. 故答案为：e+1. 16. 答案第7页，共13页 (1)A∩B={1,3},AU(CRB)={x|1≤X≤3} (2)(-∞，1) 【分析】(1)先解出集合B及其补集，代入=1得到集合A,再按照交集、 并集定义运算； (2)根据A二CB,分A为空集和不为空集两种情况，建立不等式，讨论求解 即可 【详解】(1)已知集合B={xx2-4x+3≥0)， 解x2-4x+3≥0，即(x-1)(x-3)≥0，可得x≤1或x≥3， 所以B={xx≤1或x≥3)， 则CRB={x1<X<3). 当m=1时，A={x3-2≤x≤2+1)={x1≤x≤3， 所以A∩B={1,3},AU(CRB)={x1≤x≤3} 2)①若A=0,即3-2m>2+m,则m< 3-2m≤2+m ②若A≠0，则{3-2m>1, 2+m<3 解得sm<1, 综上可得实数m的取值范围为（一o,1). 17. (1)a=2 (2)(0,1og23] (3t=（-∞，-动)U(0,+0) 【分析】(1)根据函数的奇函数，满足f(-x)=一f(x),列式求解； (2）根据(1)的结果，解指数不等式； (3)首先判断函数的单调性，再根据函数是奇函数，化简不等式得f(tx2)>f(1一 x),再讨论t得到取值，求解t的取值范围， 答案第8页，共13页 【详解】(1)函数的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)， 因为函数是奇函数，所以f(-x)=-f(x), f(-x)=a2-+2-a+2.2x 2-x-1 1-2x) 则梁- 1-2,则a=2； 2)f0)=≥4， 21≥2， 整理得1<2x≤3，则0<X≤1og23, 所以x∈(0,1og23]. (6)f0)==2+所以f0)在(-∞，0)和0，+x)上是严格减函数， 且当x∈(-∞，0)时，f(x)<2;当x∈(0，+∞)时，f(x)>2; 由f(tx2)+f(x-1)>0可得：f(tx2)>-fx-1)=f(1-x), 当x∈(1,3)时，1-x<0, 当t<0时，<0，所以2<1-x,即t<京-是=民-》2-又x∈ (1,3),所以t<- 当t>0时，tx2>0,则ftx2)>2,而x∈(1,3)，1-x<0,则f(1-x)<2 满足题意； 函数的定义域D={xk≠0}，则t=0时tx2=0生D不符，舍去. 综上t=(-0,-)U(0,+0), 18. (1）m=0, 2)T=m,增区间为[-是Π+kn,是+km]k∈Z 6)若 【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式，利用f(x)min=一1可求 得m的值，由正弦型函数的单调性可求得函数fx)在[0，习上的增区间； (2)由已知条件求出sin(x0+),利用同角三角函数和二倍角的正弦公式求出 答案第9页，共13页 sin(2x0+)的值，再利用诱导公式可求得cos(2x0+)的值 【详解】()因为f0)=sinxcosx+V3cos2x+m-号=sin2x+ 号2cos2x-1)+m -sin2x+cos2x+m-sin (x+)+m, 所以，f(x)min=m-1=-1,解得m=0,则f(x)=sin(2x+),T=n -+2kn≤2x+号≤+2km, 函数f(cx)的增区间为[-是n+kn,+km]k∈乙 2)因为f()=sin(x+)-影且x∈【-受，0，则-君≤x+号≤号 所以，cos(x0+)=1-sin2(xo+)= 则sin(2x0+罗)=2sin(X+)cos(xo+)=2×号×=岩 所以，sin(2x0+）)=sin(2x0+g+)=cos(2x0+9= 19. (B=号 (2b=V10 (3BD1=23 3 【分析】(1)根据余弦定理，三角形面积公式及同角三角函数的关系即可求解； (2)根据三角形面积公式得出ac=2,结合a+c=4及余弦定理即可求解； (3)根据平面向量数量积的定义得出C=2,再根据角平分线的性质及平面向量 线性运算得出BD=BA+BC,由平面向量数量积的运算律即可求解。 【详解】()由余弦定理得a2+c2-b2=2 accosB,三角形面积S=2 acsinB, 代入已知等式得V3.2 accosB=4:2 acsinB→tanB=3, 又B∈(0，，故B=号 a)由S=acsinB=9ac=号得ac=2, 答案第10顶，共13页 又a+c=4,则(a+c)2=a2+c2+2ac=42→a2+c2=12, 由余弦定理得c0sB=4=2--b2=10, 2ac 解得b=V10(负根舍去) (3)因为a=1,BA.BC=1, 所以BA.BC=B网BCcosB=ca=0=1→c=2, 因为BD是∠B的平分线， 所以g品 AB-BD.sin.∠ABD ÷BC.BD.sin∠DBC 能=-=2， 所以BD=BA+BC, 则BD-(m+C2=BA+BC2+23B丽.c-告+号+音× 1-参 故BD1=23 3 B 20.(1)y=x (2)(i)(e,+o∞)， 【分析】(1)先求出函数零点，利用导数的的几何意义求出零点处的切线方程； (2)()利用导数判断函数单调性，对a分类讨论求解；()利用比值换元法求 解 【详解】(1)令f(x)=0得x=0,且f'(x)=e+xe=e(x+1), 零点处切线的斜率为k=∫'(0)=1，切点的坐标为(0,0)， 答案第11页，共13页 故零点处的切线方程为y=x; (2)()由f(x)=x得-1=0， 设g)-S-1,则g)a- ①当a≤0时，g(x)<0,g(x)单调递减，则方程f(x)=x至多有一个解； ②当a>0时，当xe(0,a)时，g(x)>0,g(x)单调递增； 当x∈(0，+o)时，g(x)<0,g(x)单调递减； 若方程f()=x(x>0)有两个解，则8o)-g-1>0,解得a>e, 设h()=2nx-x(>e),则(x)=2-1<0, 所以()在(e,+w)单调递减，从而h()<h(e)=2-er<0,即2n<1. 所以eaho）-2ae-1(2y-1k0,又e0-g10, 所以a∈(e,+o)时，方程f(x)=x(x>0)有两个解. (i)由f(x)=x得x=alnx,所以x=alnx,=alnx2, t-T,atlnt 设-子则有0-4=an空，即气=. t-1 t-11 、由飞+k,2“得0+三e12,g即k≥（e-2n，■ e-2 t-1 设60小c0>,则w0-22， (e-2)tlnt)月 设h=l-1+lht+(e-2)m21,则r0=1-1+2(e-2h1 t 设m(0=1-1+2(e-2n1,则m0=-1+2e-2） 当t∈(1,2e-4),m'(t)>0,m(t)单调递增， 当1e(2e-4,+o),m'()<0,m()单调递减， 且m(1)=0,m(e)=e-3<0, 所以存在唯一的，e(2e-4,e),使得m()=0, 答案第12页，共13页 当t∈(1，)，m(t)>0,h(t)单调递增， 当e(,+o),m(t)<0,h(t)单调递减， 且h(1)=0,h(e)=0, 所以p(t)在(L,e)单调递增，在(e,+o)单调递减， 所以0)m=p(e)=。-2e' 所以“。6，即的取值范围是[。'。 【点睛】关键点点睛：在研究零点型x,x,的式子时，一方面可借助韦达定理对该 式子单元化处理后进行研究，另一方面，可通过构造含，x,的齐次式，令1=， 整体换元后研究。 答案第13页，共13页