精品解析：天津市海河中学2025-2026学年高三上学期10月质量调查数学试卷

2025—2026学年第一学期高三年级10月（数学）质量调查 一、单选题（5*9=45分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 4. 函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 7. 已知偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的个数是（ ） ①函数的最小正周期为 ②函数在区间上单调递增 ③函数在区间上的最小值为 ④是函数的一条对称轴 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为（ ） A. B. C D. 二、填空题（5*6=30分） 10. 已知，为虚数单位，若为实数，则______． 11. 函数的单调递增区间为______． 12. 函数（其中）的图象如上，则函数的解析式为______，在区间上的单调递增区间为______． 13. 已知函数 在 时有极值 ，则 ____． 14. 若，则________. 15. 已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则______________，的最小值为______________． 三、解答题 16. 设函数 （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在上最大值与最小值及相对应的的值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知函数． （1）当时，曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在上有且仅有2个零点，求a取值范围． 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知且. （1）求； （2）若的外接圆半径为，周长为，且，求. （3）若，求面积的最大值 20. 已知函数. （1）若，判断函数单调性； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数有两个极值点，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期高三年级10月（数学）质量调查 一、单选题（5*9=45分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集以及交集的概念直接计算即可. 【详解】由题可知：，所以 故选：B 2. 下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用反比例函数性质判断A，利用偶函数的定义判断B，利用正切函数性质判断C，利用幂函数的性质判断D即可. 【详解】对于A，由反比例函数性质得是奇函数， 而，则在其定义域上不单调递增，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，可得是偶函数，故B错误； 对于C，由正切函数性质得在其定义域上不单调， 例如取，则，故C错误； 对于D，由幂函数性质得是奇函数，在其定义域上单调递增，故D正确． 故选：D 3. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断. 【详解】充分性： 根据诱导公式，因为，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件； 故选：C. 4. 函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑奇偶性，然后利用导数判断的单调性从而判断函数值的正负，再根据特殊值判断出的正负，从而判断出对应的函数图象. 【详解】因为定义域为关于原点对称，，所以是奇函数， 因为，， 所以当时，在上递减且， 所以对，. 当且时，，，所以，排除BD， 当时，，排除C， 结合奇偶性，所以只有A符合要求. 故选：A. 【点睛】本题考查函数图象的识别，难度一般.判断函数图象的常见思路：从奇偶性、单调性、特殊值等方面入手. 5. 定义在上奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得函数周期为2，利用函数为奇函数及周期为2，求解即可. 【详解】因为， 所以函数是周期函数，是其一个周期， 所以， 又因为函数为R上的奇函数， 所以， 即. 故选：B. 6. 已知向量，，，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模长的求法，结合向量数量积及夹角公式，直接求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，化简得，所以， 所以，而， 所以向量与的夹角是. 故选：C 7. 已知是偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数在上的单调性，比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出结果. 【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递增，则该函数在上为减函数， 因为， 所以，，且函数在上为增函数， 所以，， 因为函数在上为减函数，则， 故，且， 所以，， 故选：D. 8. 将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的个数是（ ） ①函数的最小正周期为 ②函数在区间上单调递增 ③函数在区间上的最小值为 ④是函数的一条对称轴 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先对化简，然后根据图像变换得到，再逐一分析关于性质即可. 【详解】根据二倍角公式，得， 再向右平移个单位长度，得到， 再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到，即， 对于①，的最小正周期,故①正确， 对于②，令,解得, 令，则单调递增区间为，不是的子集，在区间上不是单调递增，故②错误， 对于③，，，由余弦函数的图像可知，故③正确， 对于④，令，解得,令，则，是函数的一条对称轴，故④正确. 故选：. 9. 已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设，做出函数图像，分析的实根情况，方程有两个不等实数根，且满足，或，或；然后讨论计算得出结果即可. 【详解】解：根据函数，做出其图像如下： 设，根据函数图像有： 当时，方程有2个实数根； 当时，方程有3个实数根； 当时，方程有2个实数根； 当时，方程有1个实数根； 当时，方程没有实数根； 当若的零点个数为4个时， 方程有两个不等实数根， 且满足，或，或； 设函数； 则，，， 解得，或， 故选：A. 【点睛】本题考查复合函数的零点问题，二次方程根的分布问题，数形结合思想的应用，属于较难题型；解题方法就是先令，再根据的图像得出不同取值时，的实根个数，然后构造方程，求出当函数有四个零点时的的组合，再构造方程求解即可；解题的关键点是数形结合求出在取不同值时的实根个数. 二、填空题（5*6=30分） 10. 已知，为虚数单位，若为实数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法运算、复数为实数列方程求得. 【详解】依题意，为实数 所以. 故答案为： 11. 函数的单调递增区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性结合同增异减可求原函数的单调递增区间． 【详解】因为，所以函数的定义域为或， 令，则， 因为在单调递减， 且在单调递减，在单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 故答案为：． 12. 函数（其中）的图象如上，则函数的解析式为______，在区间上的单调递增区间为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合函数的图象特征，依次求出的值，得到函数解析式；再求函数在上的单调递增区间，结合给定区间代值求交即得. 【详解】设函数的最小正周期为， 则由图知，，，即，则， 于是，将点代入解析式，可得， 则，即， 因，故得，则函数的解析式为； 由，可得， 因，故得在区间上的单调递增区间为. 故答案为：；. 13. 已知函数 在 时有极值 ，则 ____． 【答案】 【解析】 【分析】对函数进行求导，根据函数在时有极值0，可以得到，代入求解，并进行检验，即可求出结果. 【详解】，有极值前提 ． 或 ． 当时，函数，函数在R上单调递增，函数无极值，舍去. 同理，当时，经验证，满足条件. 则. 故答案为：11. 14. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】将已知条件化为，再由诱导公式、二倍角余弦公式求值即可. 【详解】由，即， 所以，则， 所以，而 . 故答案为： 15. 已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则______________，的最小值为______________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由平行四边形的面积为，，可得，由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为平行四边形的面积为，， 所以，得， 如图，连接，则， 因为，又为平行四边形，则 ， 所以， 因为三点共线， 所以，得， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：；. 三、解答题 16. 设函数 （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 （2）当时，最大值为1，当时，最小值为 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，进而求得的最小正周期，利用整体代入法求得的单调递增区间. （2）利用三角函数最值的求法求得函数在上的最大值与最小值及相对应的的值.. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为, 由，解得， 所以单调递增区间为. 【小问2详解】 ，， 所以， 所以，当时，取得最大值为1； 当时，取得最小值为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线，平行四边形性质以及线面平行的判定定理即可证明； （2）结合已知条件建立空间直角坐标系，分别写出相应的点坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解即可； （3）在（2）的基础上利用向量法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接，如图所示： 在中，因为，分别是为棱，的中点， 所以为中位线， 所以，且， 又，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 平面，平面， 所以，又， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 取的中点，连接，如图所示： 因为，，且， 所以四边形是边长为2的正方形， 所以， 因为为棱的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 即平面的一个法向量为， 又平面，平面, 所以，由，且， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为 【小问3详解】 由（2）知，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为： ， 所以点到平面的距离为. 18. 已知函数． （1）当时，曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）由可得，令，分析可知直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 所以，，，有，即， 故曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ，则， 当时，，在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 综上所述，当时，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为； 【小问3详解】 当时，由可得，令，其中， 则直线与函数在上的图象有两个交点， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，函数的极大值为，且，， 故当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知且. （1）求； （2）若的外接圆半径为，周长为，且，求. （3）若，求面积的最大值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由切化弦及和角正弦公式得，再利用正弦定理化简求解. （2）利用正弦定理边化角求得，再利用三角恒等变换求解. （3）利用余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，进而求出面积最大值. 【小问1详解】 在中，， 依题意，，由正弦定理得． 而，则，又，所以. 【小问2详解】 的外接圆半径为，由正弦定理得，，， 由，得，而， 于是， 则，由，得，因此，所以. 【小问3详解】 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 的面积， 所以面积的最大值为. 20. 已知函数. （1）若，判断函数的单调性； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数有两个极值点，求证： 【答案】（1）在上单调递增； （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导可得，可得结论； （2）通过函数的导数，对a分类讨论，分别求解函数的单调性，求出满足条件的实数a的取值范围． （3）根据（2）结论把转化为，然后利用换元法求出关于t的函数，利用导函数求出最值即可. 【小问1详解】 若，则，函数的定义域为， 所以， 所以在上单调递增； 【小问2详解】 由，可得 ①若，易知在上恒成立， 所以在是减函数，又，所以，不符合题意，  ②若，令，则，， 故时，，又， 所以时，，不符合题意， ③若，易知，故在是增函数， 又，所以，综上，； 【小问3详解】 由（2）知，，所以，且， 当时，，所以在上是减函数， 故要证，即证， 即， 又，所以，又， 代入化简得：，所以， 令，则，即证， 设，则， 所以在上是减函数，所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $