2.4 圆的方程 2.4.2 圆的一般方程(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“圆的一般方程”，通过课前预习的配方推导与条件判断搭建基础，课中设四个递进探究点，从方程理解到求方程、轨迹方程及最值问题，形成连贯学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，如轨迹方程问题用直接法等培养数学眼光与思维，结合高考真题强化应用意识。小结提炼方法助学生系统掌握，教师可利用其提升教学效率与学生解决问题能力。

2.4 圆的方程 1 2.4.2 圆的一般方程 2 探究点一 圆的一般方程的理解 探究点二 求圆的一般方程 探究点三 与圆有关的轨迹方程 探究点四 与圆有关的最大（小）值问题 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能描述圆的一般方程的方程结构与代数意义. 2.能熟练进行圆的标准方程与一般方程间的互化. 3.能根据给定圆的几何要素求出圆的一般方程. 4 知识点一 圆的一般方程 将方程 配方得 _ ____________________________. 当时,方程 表示以__________为圆心， ________________为半径的圆，我们把方程 叫作圆的一般方程. （1）圆的一般方程的特点是:和 的系数都是___;②没有____ 这样的二次项; ___0. 1 课 前 预 习 5 （2）方程 并不一定表示圆.当其系数满足 时,它表示____;当 时,它表示一个 ____;当时,方程 没有实 数解,它不表示任何图形. 圆 点 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) √ [解析] 圆的一般方程与标准方程可以互化. （2）二元二次方程 一定是某个圆的方程. ( ) × [解析] 二元二次方程 表示圆时需满足 . 课 前 预 习 7 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若方程表示圆,则 .( ) √ [解析] 由圆的一般方程的定义知结论正确. （4）在圆的一般方程中,当 时,圆 的圆心在 轴上.( ) × [解析] 当时,圆心在轴上;当时,圆心在轴上;当 时, 圆过原点. 课 前 预 习 8 知识点二 轨迹方程 轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，点的轨迹方程是指点的坐 标满足的关系式.在解析几何中，常常把图形看作点的轨迹（集合）. 课 前 预 习 9 探究点一 圆的一般方程的理解 例1 若方程 表示圆，求： （1）实数 的取值范围； 解：根据题意知 ， 即，解得 ， 故的取值范围为 . （2）圆心坐标和半径． 解：由 得 ，故圆心坐标为 ，半径 . 课 中 探 究 10 变式（1）[2026·江门一中高二月考]已知方程 表示圆，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 方程 可化为 ， 因为方程 表示圆，所以， 解得，即实数 的取值范围是 .故选B. √ 课 中 探 究 11 （2）[2026·浙江卓越高中联盟高二联考]下列方程一定表示圆的是 ( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 12 [解析] 对于A， 等价于 ，表示圆，故A符合题意； 对于B，含 项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知 时， 不表示圆，故C不符合题意； 对于D， ，因为 ， 所以方程不表示圆，故D不符合题意. 故选A. 课 中 探 究 13 探究点二 求圆的一般方程 例2（1）已知圆经过点和点，且圆心 在直线 上，求圆 的方程； 解：设圆的方程为 ， 则圆心为 ， 由题意得解得所以圆 的方程为 . 课 中 探 究 14 （2）已知的三个顶点为，， ，求 外接圆的方程. 解：设 外接圆的方程为 ， 将 ，， 的坐标分别代入，可得 解得 所以外接圆的方程为 . 课 中 探 究 15 变式 已知圆 的圆心在直线 上，且圆心在第二象限，半径为 ，求: （1）圆 的一般方程; 解：圆的标准方程为 ， 则圆心为，半径为 ， 所以解得或 又圆心在第二象限，所以， ， 故圆的一般方程为 . 课 中 探 究 16 变式 已知圆 的圆心在直线 上，且圆心在第二象限，半径为 ，求: （2）圆关于直线 对称的圆的一般方程. 解：由（1）知圆的圆心为，设关于直线 对称的 点为，则解得 所以圆关于直线 对称的圆的标准方程为 ，故一般方程为 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 求圆的方程主要有两种方法：（1）定义法；（2）待定系数法.定义 法是根据题目利用定义判断曲线为圆，求出圆心坐标和半径长；待 定系数法是列出关于<m></m>,<m></m>,<m></m>的方程组，求出<m></m>,<m></m>,<m></m>，从而求得圆的一 般方程. 课 中 探 究 18 探究点三 与圆有关的轨迹方程 例3 已知直角三角形的斜边为，且， ，求： （1）直角顶点 的轨迹方程； 解：设顶点的坐标为，因为，且，， 三点不共线， 所以且 . 又，，且，所以 ， 化简得 . 因此，直角顶点的轨迹方程为 且 ． 课 中 探 究 19 例3 已知直角三角形的斜边为，且， ，求： （2）直角边的中点 的轨迹方程． 解：设点，点 ， 因为，是边 的中点， 所以，，于是有， . 由（1）知，点的轨迹方程为 且 ，所以且 ， 可得且 ， 即且 . 因此，动点的轨迹方程为且 ． 课 中 探 究 20 变式 已知平面内的动点与两个定点, 的距离的比为 ，记动点的轨迹为曲线 ，求曲线 的方程，并说明其形状. 解：设，由 ， 得，化简得 ， 即 ， 故曲线 的方程是，曲线 是以点 为圆心， 半径为2的圆. 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 求与圆有关的轨迹方程的常用方法 （1）直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出 动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式． （2）定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动 点的轨迹方程． （3）代入法：若动点<m></m>随着圆上的另一动点<m></m>的运动而 运动，且<m></m>，<m></m>可用<m></m>，<m></m>表示，则可将点<m></m>的坐标代入已知圆的方 程，即得动点<m></m>的轨迹方程． 课 中 探 究 22 探究点四 与圆有关的最大（小）值问题 例4 已知圆经过点，， . （1）求圆 的方程； 解：设圆的方程为 , 则解得 圆的方程为 ，即 . 课 中 探 究 23 例4 已知圆经过点，， . （2）设点在圆上运动，求 的最大值与最 小值. 解：设点，则表示点 与点 间距离的平方. 圆心与 间的距离， 圆的半径，则点与点 间距离的最大值为， 最小值为 ， 所以 的最大值为64，最小值为4. 课 中 探 究 24 变式（1）已知实数，满足方程，则 的最大值 为___， 的最小值为_________. 课 中 探 究 25 [解析] 由变形可得 ，故 曲线是以为圆心，为半径的圆在 轴及 其上方的部分，即为半圆. 设，则表示半圆上的点 与原点连线的斜率． 易知当直线与半圆在第一象限相切于点 时，取得最大值， 连接，此时有，又 ，，所以 ，此时，所以 的最大值是 表示半圆上的点 与原点间距离的平方，由平面几 何知识知， . 课 中 探 究 26 （2）已知圆过点，，.设点为圆 上任意一点， 则 的最小值为__________,最大值为__________. [解析] 设圆的标准方程为 ，则 解得所以圆 的标准方程为 ,圆的圆心为 ，半径 课 中 探 究 27 ， 易知 表示点与点之间的距离，即 ， 又 ，所以 ， ， 则的最小值为 ， 最大值为 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 解决与圆有关的最大（小）值问题的方法 （1）形如<m></m>的最值问题,可转化为定点<m></m>与动点<m></m>连线 的斜率的最值问题; （2）形如<m></m>的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题; （3）形如<m></m>的最值问题,可转化为动点<m></m>到定点 <m></m>的距离的最值问题. 课 中 探 究 29 课后习题 30 1.经过点，且以 为圆心的圆的一般方程为( ) A. B. C. D. [解析] 圆的半径 ，所以所求 圆的方程为，即 . 故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 2.已知圆的半径为 ,则( ) A.， B.， C.， D.， [解析] 由得 ， ， ．故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 3.[2026·天津静海区高二期末]若点 在圆 的外部，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得 解得 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 4.[2026· 西安交大附中高二期中]已知圆 的圆心在第二象限，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由 ，可得 ，则有 解得 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 5.已知圆,是圆上的动点，点 ， 为线段的中点，则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. [解析] 设，因为为线段的中点， ，所以 ， 又是圆 上的动点，所以 ，化简得 ，则点的轨迹方程为 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 6.（多选题）[2026·东莞四校高二联考]已知 表示圆，则下列结论正确的是( ) A.圆心坐标为 B.当时，圆的半径 C.圆心到直线的距离为 D.当时，圆的面积为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 [解析] 对于A，圆的方程 可化为 ，可得圆心为 ，A不正确； 对于B，当时，圆的方程为 ，则圆的 半径，B正确； 对于C，由圆心为 ，得圆心到直线的距离 ，C正确； 对于D，当 时，圆的方程为，则圆的 半径 ，圆的面积， D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 7.已知点,,,则 外接圆的方程是_____ _______________. [解析] 设所求圆的方程为 ，则 解得故所求圆的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 8.[2026·昆明一中高二期中] 在平面直角坐标系中，已知 ， ，动点满足，则点 的轨迹方程为_________ ____________. [解析] 设点，则 ， ， 点满足 ， ，整理得 ， 动点的轨迹方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 9.（13分） （1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径. ① ； 解：标准方程为，故圆的圆心为 ， 半径为3. ② . 解：圆的方程即为 ，化成标准方程为 ，故圆的圆心为，半径为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 9.（13分） （2）在平面直角坐标系中，求经过三点,, 的圆的方程 （用圆的一般方程表示）. 解： 设所求圆的一般方程为 ， 由题意可得解得 所以所求圆的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 10.[2026·邯郸高二期中]已知圆 ，则当圆心到原点的距离最 小时，圆 的面积为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 [解析] 由圆 可得圆心为 ，半径， 设原点为 ，则， 设 ，其图象的对称轴方程为，开口向上， 则 在处取得最小值，即取得最小值， 此时圆的半径 ，圆的面积 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 11.已知点是圆 上任意一点，则 的最大值为( ) A.5 B.6 C.25 D.36 [解析] 设圆的圆心为，则 ，圆的半径 ，表示圆上的点与定点 距离的平 方，而 ，所以 的最大值为36.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 12.（多选题）已知圆， ，则 ( ) A.当时，圆的面积是 B.实数的取值范围是 C.点在圆 内 D.当圆的周长最大时，圆心的坐标是 [解析] 对于A，当时，圆，则圆 的标准 方程为，此时圆是以 为圆心，1为半径的圆， 其面积为 ，故A正确； √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 对于B，由 得 ， 所以，解得 ，故B正确； 对于C，由圆，得圆心为 ， 半径，点到圆心 的距离 ，当时， ， 此时点在圆外，故C错误； 对于D，当圆 的周长最大时，半径取得最大值，此时 ，，所以圆心 的坐标是，故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.[2026·南京七校高二联考] 已知,，若动点 满足 ，则动点与点 间的距离的最大值为_______. [解析] 设，由 可得 ，化简可得 ， 则动点的轨迹为圆，圆心为，半径为 ， 又，所以点在圆 内，所以动 点与点间的距离的最大值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 14.（15分）在平面直角坐标系中，，， . （1）求 的面积； 解：直线的斜率为 ， 则直线的方程为，即 . ， 点到直线 的距离 ， 故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 14.（15分）在平面直角坐标系中，，， . （2）若为坐标原点，判断，，， 四点是否在同一个圆上， 并说明理由. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 解：，,，四点在同一个圆上， 理由如下：设 的外接圆方程为 ， 由已知可得解得所以 的外接 圆方程为. 因为 ，所以坐标原点在的外接圆上， 因此，，,， 四点在同一个圆上. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 15.曲线 所围成的封闭图形的面积为_______. [解析] 对于，将换成 得 ，所以曲线关于轴对称， 将 换成得，所以曲线关于 轴对称， 因此只需考虑曲线在第一象限内的部分. 当 ，时，曲线方程为 ，即 ，所以曲线在第一象限内的部分与 轴所围 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 成的图形是由半径为的 圆去掉一个等腰直角三角 形后形成的图形， 根据对称性可得曲线 所围成 的封闭图形如图中阴影部分所示， 所以所围成的封闭图形的面积 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）[2026·吉林高二期中] 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与 欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点， 的距离 之比为定值且 的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以 他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐 标系中，，，点满足，设点的轨迹为圆 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 （1）求圆 的方程； 解：设，由 可得， ， 化简可得，即 ， 所以圆的方程是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 16.（15分）[2026·吉林高二期中] 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与 欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点， 的距离 之比为定值且 的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以 他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐 标系中，，，点满足，设点的轨迹为圆 . （2）若点的坐标满足圆的方程，求 的 最大值及最小值； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 解：由（1）知，圆是以 为圆心，2为半径的圆. 表示圆上的点与点 间的距离， 因为，所以点在圆 外， 又因为点与点间的距离为 ， 所以的最大值为，最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 16.（15分）[2026·吉林高二期中] 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与 欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点， 的距离 之比为定值且 的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以 他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐 标系中，，，点满足，设点的轨迹为圆 . （3）若，求点的轨迹 的方程. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 解：设点,，由 ，可得 ， 即则 . 因为点在圆上，所以 ， 将代入上式得，即 ， 故点的轨迹的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 $