第4讲 基本不等式专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦基本不等式的条件判断、最值求解及实际应用，通过多样化题型构建“概念理解-变形应用-建模实践”的逻辑链，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|3题|充分条件判断、直接求最值|从基本不等式成立条件到“一正二定三相等”的直接应用| |条件变形|5题|含等式条件、多变量转化|通过“1”的代换、变量代换等变形技巧，深化对不等式结构的理解| |实际应用|3题|运输成本、利润计算、节能设备|以实际问题为载体，构建数学模型，体现数学语言表达现实世界的价值| |综合拓展|3题|多选题、恒成立问题|结合函数、方程等知识，提升数学思维的逻辑性与批判性|

第4讲　基本不等式 (时间:45分钟) 1.设a>0,b>0,则“a=b=1”是“≥4”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知x>0,y>0,且x+y=2,则++2的最小值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D.5 3.[2026·浙江衢州期末] 已知实数x>0,x>y,则-的最小值为 (　 ) A.-2 B.2-3 C.0 D.2-2 4.[2025·江苏淮安期末] 已知a,b为正数,+=1,则ab+a+b的最小值为 (　 ) A.4 B.8 C.7+4 D.8+4 5.[2026·重庆八中期末] 已知正数x,y满足2x+y=2,则的最小值为 (　 ) A.4 B.6 C.8 D.10 6.(多选题)[2025·河北张家口模拟] 已知a,b∈R,且ab=3,若a∈(0,6],则 (　 ) A.b∈ B.a+b的最小值为2 C.+的最小值为 D.a-2b的取值范围为(-∞,5] 7.甲、乙两地相距1000千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成.可变部分与汽车速度x(千米/时)的平方成正比,比例系数为0.2,固定部分为720元.为使全程运输成本最小,汽车的速度是　　　　千米/时.  8.已知m>2,n>1,且3m+3n=mn+7,则m+2n的最小值为　　　　.  9.若正实数x,y满足(x-1)(y-4)=4,且x+≥a2-3a恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  10.某企业欲生产一款防暑降温套装,其每月的成本(单位:万元)由两部分构成: ①固定成本(与生产产品的数量无关)20万元; ②生产所需材料成本:万元,其中x(单位:万套)为每月生产产品的套数. (1)该企业每月产量x为何值时,平均每万套的成本最低?最低成本为多少? (2)若每月生产x万套产品,每万套售价为万元,假设每套产品都能够售出,则该企业应如何制定计划,才能确保该套装每月的利润不低于625万元. 11.已知k>,若对任意正数x,y,不等式·x+ky≥恒成立,则实数k的最小值为 (　 ) A. B. C.1 D.2 12.(多选题)[2025·福建三明质检] 以下结论正确的是 (　 ) A.若a2+b2=1,则a+b的最大值为 B.若(a+1)(b+1)=4,则a+b≥2 C.若a>0,b>0,则a2+b2+的最小值为2 D.若θ∈(0,π),则+≥2 13.若a>0,b>0,且3a+2b=ab,则+的最小值是　　　　.  14.[2025·江苏宿迁期末] 为了节能减排,某企业决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备,并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用y(单位:万元)与太阳能电池板的面积x(单位:平方米)成正比,比例系数为0.5.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是C(x)=(k为常数).已知太阳能电池板面积为4平方米时,每年消耗的电费为9.2万元,记F(x)(单位:万元)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年所消耗的电费之和. (1)求常数k的值; (2)写出F(x)的解析式; (3)当x为多少平方米时,F(x)取得最小值?最小值是多少万元? 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲　基本不等式 1.A　[解析] 显然当a=b=1时,=2×2=4,即·≥4成立;而=ab++2≥2+2=4,当且仅当ab=,即ab=1时,等号成立,不一定有a=b=1.所以“a=b=1”是“≥4”的充分不必要条件.故选A. 2.A　[解析] 因为x>0,y>0,且x+y=2,所以++2=+=+=(x+y)=≥(5+2)=,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,故++2的最小值为.故选A. 3.B　[解析] ∵x>0,x>y,∴x-y>0, ∴-=-=+-3≥2-3,当且仅当=时,等号成立,∴-的最小值为2-3.故选B. 4.C　[解析] 因为a,b为正数,+=1,所以ab=b+2a,所以ab+a+b=3a+2b=(3a+2b)=7++≥7+2=7+4,当且仅当=,即a=1+,b=+2时等号成立,故ab+a+b的最小值为7+4.故选C. 5.C　[解析] 因为2x+y=2,所以==2+.因为x,y为正数,所以2x+y=2≥2,得xy≤,当且仅当x=,y=1时等号成立,则≥2,则2+≥8,故的最小值为8.故选C. 6.BCD　[解析] 对于A,由题可知,b=,a∈(0,6],则b∈,故A错误;对于B,由A可知,a>0,b>0,则a+b≥2=2,当且仅当a=b=时,等号成立,故a+b的最小值为2,故B正确; 对于C,+≥2=,当且仅当=,即a=8b=2时,等号成立,故+的最小值为,故C正确; 对于D,a-2b=a-,当a∈(0,6]时,y=a,y=-均单调递增,且当a→0时,y=-→-∞,则y=a-在区间(0,6]上单调递增,且当a=6时取得最大值5,当a→0时,y=a-→-∞,所以a-2b的取值范围为(-∞,5],故D正确.故选BCD. 7.60　[解析] 设运输成本为y元,则y=(0.2x2+720)×=200≥200×2=24 000, 当且仅当x=,即x=60时,等号成立. 8.13　[解析] 由3m+3n=mn+7,可得m===3-=3+.因为m>2,所以>2,所以>0,所以>0,所以(n-1)(n-3)>0.又因为n>1,所以n>3,所以n-3>0,则m+2n=3++2n=9++2(n-3)≥9+2=13,当且仅当=2(n-3),即n=4时,取等号,此时m=5,故m+n的最小值为13. 9.{a|-1≤a≤4}　[解析] 因为正实数x,y满足(x-1)(y-4)=4,所以xy=4x+y,所以+=1,所以x+==2++≥2+2=4, 当且仅当=,即y=8,x=2时取等号.因此x+的最小值为4,又x+≥a2-3a恒成立,所以a2-3a≤4,解得-1≤a≤4,即实数a的取值范围是{a|-1≤a≤4}. 10.解:(1)设平均每万套的成本为y(单位:万元),则y=10++≥10+2=12,当且仅当x=20时取等号.故该企业每月产量为20万套时,平均每万套的成本最低,最低成本为12万元. (2)设该套装每月的利润为f(x)(单位:万元),则f(x)=x--20=+20x-20, 由f(x)=+20x-20≥625,可得x2+400x-12 900=(x-30)(x+430)≥0, 所以x≥30,即该企业每月至少生产30万套该套装产品,才能确保每月的利润不低于625万元. 11.B　[解析] ∵x>0,y>0,∴·x+ky≥恒成立等价于·+k≥恒成立.又k>,∴3k->0,∴·+k≥2= 2,当且仅当x=y时取等号,∴2≥,即6k2-k-1≥0,解得k≤-(舍去)或k≥,∴k的最小值为,故选B. 12.ACD　[解析] 对于A,(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab≤1+(a2+b2)=2,当且仅当a=b=时,等号成立,所以-≤a+b≤,故A正确;对于B,(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=4,所以ab=3-(a+b)≤,当且仅当a=b时,等号成立,所以(a+b)2+4(a+b)-12≥0,解得a+b≥2(当且仅当a=b=1时,等号成立)或a+b≤-6(当且仅当a=b=-3时,等号成立),故B错误;对于C,因为a>0,b>0,所以a2+b2+≥2ab+≥2,当且仅当即a2=b2=时,等号成立,故C正确;对于D,+=·(sin2θ+cos2θ+1)=≥×(2+2)=2,当且仅当=,即cos θ=0,sin θ=1,即θ=时,等号成立,故D正确.故选ACD. 13.　[解析] 因为a>0,b>0,且3a+2b=ab,所以ab-3a-2b=0,即ab-3a-2b+6=6,即(a-2)(b-3)=6,所以=,所以+=+=+=+=+-≥2-=,当且仅当=,即a=,b=时,取等号,所以+的最小值为. 14.解:(1)依题意得,C(4)=9.2,所以=9.2,解得k=200,故k的值为200. (2)依题意可知F(x)=15C(x)+0.5x,由(1)得, C(x)= 当0≤x≤10时,F(x)=15C(x)+0.5x=15×+0.5x=-x2+x+150; 当x>10时,F(x)=15C(x)+0.5x=15×+0.5x=+x. 所以F(x)= (3)当0≤x≤10时,F(x)=-x2+x+150, 因为F(x)在上单调递增,在上单调递减, 所以F(x)≥F(10)=80; 当x>10时,F(x)=+x=+-≥2-=37.5, 当且仅当=,即x=35时,等号成立. 而80>37.5,所以F(x)min=37.5. 故当x为35平方米时,F(x)取得最小值,最小值是37.5万元. 学科网（北京）股份有限公司 $