解答题05 新定义综合压轴（7大题型专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以新定义为载体，系统提炼七类压轴题型解题技能，构建“定义识别-方法适配-逻辑推导”知识链，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义综合|多题型+典例变式|定义直译、特值验证、逻辑证明、构造反证、充要双向推导|从载体（函数/集合/几何）到核心模块（导数/逻辑/组合），形成“概念生成-方法应用-命题证明”层级关联|

解答题 新定义综合压轴 年份 新定义载体 核心模块 压轴第三问核心方法 命题变化趋势 2024 函数新定义 导数 + 函数最值 导数极值 + 单调性 连续函数、计算量大 2025 集合新定义​ 抽象函数 + 集合 子集论证+函数奇偶性 抽象符号增多，计算降低 2026 函数新定义 组合 + 数列 枚举构造、反证 排列背景崛起，弱化导数 三年命题趋势总结 载体轮换：连续函数（2024）→抽象集合函数（2025）→离散排列组合（2026），连续 / 离散交替考查，两类必须全覆盖； 工具权重变化：导数权重逐年下降，集合逻辑、反证、构造、分类讨论权重持续提升； 设问风格固化：永远 “特例理解→参数求解→一般抽象证明” 三段式； 证明必考两类：充要条件证明、存在 / 任意性命题证明，极易漏写充分 / 必要步骤扣分； 避坑点：大量全称/特称符号，极易混淆 “恒成立” 与 “存在性” 逻辑。 题型二：运算型新定义 【典例1】（2025·上海杨浦·二模）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. (1)判断是否为“超导函数”，并说明理由； (2)若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； (3)已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 【变式1-2】（2025·上海青浦·模拟预测）函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 【变式1-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，其图像的两条互相垂直的切线的交点记为点，并称点是函数的“优点”. (1)已知，，求的“优点”坐标； (2)已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)已知，若函数存在“优点”，求实数的取值范围． 【变式1-3】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”. (1)设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由； (2)若函数是“逆构造函数”，求的取值范围； (3)已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且.  求证：对任意，关于的方程无解. 题型二 ：集合与逻辑型新定义（上海卷头号压轴） 【典例2-1】（2026·上海·二模）若对于定义在R上的函数，设是R的一个子集，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则称函数在上具有“性质” (1)分别判断函数和是否在R上具有“性质”；（无需说明理由） (2)设，记，若函数在上具有“性质”，求实数的取值范围； (3)若函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，且，求证：集合是无限集或单元素集． 【典例2-2】（2025·上海闵行·一模）已知函数的定义域为，对于，若，且 ，则称为的一个“点”，记为的所有“点”构成的集合． (1)若，分别判断与1是否正确； (2)证明：“”的一个充要条件为“当时，”； (3)已知，，其中、，记，．若，求的取值范围． 一、核心识别特征 1. 题干核心依托集合元素、子集、交并补运算、逻辑命题，无复杂函数、数列解析式； 2. 自定义全新集合概念：封闭集、关联集、距离集、相容集、特殊子集、自定义集合运算； 3. 标志性句式：“若集合满足XX性质，则称为XX集”“规定集合运算XX”； 4. 设问梯度固定：判断验证→参数求解→性质证明→构造实例； 5. 高频关键词：任意、存在、恒成立、属于、包含、封闭、关联。 二、配套核心解题技能 1. 定义直译技能：将文字型新定义逐条拆解，转化为等式、不等式、集合约束、逻辑条件，不遗漏任何限定条件； 2. 特值验证+反例法：有限集合枚举所有元素验证；无限集合取特殊值，快速推翻全称命题； 3. 逻辑规范证明：全称命题任意取元素推导证明；特称命题只需举出一组有效实例；否定命题直接找反例； 4. 封闭性通用验证模板：任取集合内两个元素→代入自定义运算→推导结果仍属于原集合； 5. 参数分类讨论：根据集合边界、元素正负、整数属性、区间范围分类讨论，规避漏解。 三、典型设问模板 1. 判断给定集合是否为XX集，并说明理由； 2. 若区间/集合为XX集，求实数参数的取值范围； 3. 求证：满足条件的集合交集、并集仍具备该定义性质； 4. 构造两组不同的有限/无限XX集合。 【变式2-1】（2025·上海宝山·二模）定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. (1)若，，求的值及的固着点； (2)若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； (3)若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 【变式2-2】（2025·上海浦东新·三模）已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． (1)若，直接写出相应的集合； (2)设，且存在实数，使得直线的一距离不小于，求的取值范围； (3)设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数． 【变式2-3】（2026·上海·模拟预测）已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． (1)设，求集合； (2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； (3)设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 【变式2-4】（2026·上海浦东新·三模）已知函数是定义在上的函数，其导函数为．对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为． (1)若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由； (2)若．证明：； (3)若，其中均为正实数，求．若存在，使得直线过点，求坐标原点到直线的距离． 题型三：函数性质型新定义（上海传统高频压轴） 【典例3-1】（2026·上海·模拟预测）设函数的定义域为，若对任意实数，恒有成立，则称函数具有“性质”． (1)若一次函数具有性质，其中，求实数，的值； (2)若函数具有性质，且在上严格增，证明：； (3)若具有性质的函数满足：存在常数，使得对任意，都有．证明：具有该性质的函数是唯一的，并写出其解析式． 【典例3-2】（2025·上海奉贤·一模）记，分别为函数和的导数，存在，满足且，则称为和的一个“点”． (1)若函数与存在“点”，求实数的值； (2)证明函数与不存在“点”； (3)已知函数，，对任意的，判断是否存在，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由． 一、核心识别特征 1. 以函数解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性、导数、最值、零点为核心载体； 2. 自定义各类衍生函数：保值函数、凸凹函数、镜像函数、k阶伸缩函数、界函数、共生函数等； 3. 核心句式：“对定义域内任意自变量，满足某等式/不等式，则称该函数为XX函数”； 4. 定义多依托函数变化规律、取值特征、对称特征、切线特征； 5. 设问分层：基础验证→参数范围→存在性探究→性质证明与复合推导。 二、配套核心解题技能 1. 定义域优先原则：所有新定义条件仅在定义域内生效，解题第一步标注定义域，规避增根、错解； 2. 特殊值赋值试探法：取x=0、x=1、x₁=x₂、x₁=-x₂等特殊值，快速锁定参数、简化复杂定义； 3. 单调性作差构造法：定义含差值不等式时，作差构造新函数，通过判断单调性验证定义； 4. 导数工具进阶应用：凹凸性、变化率、切线相关新定义，通过求导转化为导数不等式、最值问题； 5. 分离参数通法：将含参不等式整理为参数与纯函数分离形式，转化为函数最值求解参数范围； 6. 反证法：针对“是否存在”类压轴设问，证明不存在时优先使用反证法。 三、典型设问模板 1. 已知具体函数解析式，求证该函数为XX函数； 2. 若含参函数为XX函数，求实数参数的取值范围； 3. 是否存在实数参数，使得函数满足新定义性质？ 4. 已知两个函数均为XX函数，证明其复合函数、和差函数满足对应性质。 【变式3-1】（2025·上海黄浦·二模）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． (1)设，，判断函数，是否具有性质； (2)设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； (3)设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 【变式3-2】（2025·上海·三模）已知定义在上的函数的图像上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且对上的任意的，均有，则称函数为“切线支撑”函数. (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点，；否则，请说明理由； (2)证明：函数为“切线支撑”函数； (3)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围 【变式3-3】（2024·上海·三模）若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． (1)若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； (2)求曲线所有切线的方程； (3)设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 题型四：几何（解析/平面）约束型新定义（上海小众特色） 【典例4】（2026·上海·一模）定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为； 我们称椭圆的“交换椭圆”为； 我们称圆的“交换圆”为． (1)若双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，双曲线C过点，求：双曲线C的标准方程； (2)若过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，且一个球的表面积与“交换圆”面积相同，求：球的体积； (3)已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于． 一、核心识别特征 1. 以平面点、坐标、距离、线段、斜率、向量、轨迹、面积、直线与曲线位置关系为载体； 2. 自定义几何概念：新型距离、伴随点、极点、定距曲线、伴随曲线、关联图形； 3. 核心句式：“平面内动点P满足XX距离/位置关系，则称为XX点，其轨迹为XX曲线”； 4. 定义依托垂直、共线、距离和差、面积定值、向量数量积等几何约束； 5. 设问核心：求轨迹方程、参数范围、最值问题、定点定值证明。 二、配套核心解题技能 1. 坐标直译核心法：设动点P(x,y)，将所有文字几何约束，直接转化为坐标等式、不等式； 2. 轨迹化简技能：通过移项、平方去根号、整理配方，转化为圆、椭圆、双曲线、抛物线、直线等标准轨迹方程； 3. 联立判别式法：直线与自定义曲线相交问题，联立方程利用判别式Δ≥0锁定参数范围； 4.向量转化简化运算：将垂直、共线、夹角条件转化为向量数量积、坐标成比例关系； 5. 数形结合几何释义：将新型距离、新型约束转化为常规几何模型，快速求解最值、范围。 三、典型设问模板 1. 求平面内所有满足条件的XX点的轨迹方程； 2. 若直线与自定义曲线有交点/两个交点，求参数取值范围； 3. 求动点距离、线段长度、图形面积的最值； 4. 证明直线与新曲线相交满足定点、定值、定直线性质。 【变式4】（2026·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，有点，．若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面，则称此时点、在空间中的距离为“点、关于轴的折叠空间距离”，记为． (1)若点、、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求证：，； (2)若点、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，求满足的点在平面直角坐标系中的轨迹的长； (3)若在平面直角坐标系中，直线与椭圆相交于、两点，求的最大值． 题型五：不等式恒成立/存在型新定义（分层拉分核心） 【典例5-1】（2025·上海杨浦·一模）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 【典例5-2】（2025·上海徐汇·二模）对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. (1)已知函数，其中，求证：对任意实数，都有； (2)设，，若函数的最小导周期为，记，当实数变化时，求的最小值； (3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 一、核心识别特征 1. 核心依托全称、存在量词，以不等式约束、函数最值、区间取值为核心； 2. 标志性关键词：任意、存在、至少、总能、恒成立、有解； 3. 定义本质：通过量词约束函数在区间内的取值特征，定义新型函数性质； 4. 分为两大核心体系：全称恒成立、存在性有解，压轴多考查双重量词嵌套问题； 5. 常结合分段函数、复合函数、含参函数考查，侧重参数范围求解。 二、配套核心解题技能 1. 量词逻辑精准区分：任意x∈D，f(x)>m恒成立 ⇔ f(x)最小值>m；存在x∈D，f(x)>m有解 ⇔ f(x)最大值>m； 2. 分离参数万能通法：将参数与变量分离，转化为参数大于函数最大值、小于函数最小值模型； 3. 分段函数最值处理：分段求解极值与端点值，对比得到全局最值，满足不等式约束； 4. 零点存在定理应用：存在性问题可转化为函数零点、函数取值覆盖问题； 5. 双重量词嵌套解法：∀x₁∈A，∃x₂∈B型问题，分层求解两个区间函数最值，嵌套建立不等关系。 三、典型设问模板 1. 若对任意区间内x，函数满足新定义不等式，求参数范围； 2. 存在区间内x使函数具备XX性质，求参数取值； 3. 双重量词嵌套问题：任意x₁，总存在x₂满足定义条件； 4. 证明不存在参数，使定义条件恒成立/有解。 【变式5-1】（24-25高三下·上海静安·期中）若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． (1)请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） (2)求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； (3)试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】（2025·上海·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称是在上“次缠绕函数”.若，则称是上的“次自倒缠绕函数”. (1)判断是在上“几次缠绕函数”，并说明理由； (2)设，若在上.“3次自倒缠绕函数”，求的取值范围; (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，给定，对任意，是否存在，使得，且是在上“次缠绕函数”. 【变式5-3】（2025·上海闵行·一模）若定义域为 的函数满足：对任意的 和，都有，且，就称这个函数是“优美函数”. (1)判断并证明优美函数的奇偶性； (2)若优美函数的值域为，且当 时，，判断并证明优美函数的单调性； (3)若题（2）中优美函数还满足，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围. 【变式5-4】（2026·上海·三模）设、、是三个定义域为的函数，如果对一切实数x恒成立（A是常数），就称、、是一组“A有序和谐函数”. (1)为了使得、、是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数； (2)设，，，求的所有可能取值，使得、、是一组“有序和谐函数”； (3)已知、、是一组“1有序和谐函数”，且恒成立，证明：存在零点. （注：①在上每一处都存在导数的函数必连续；②当、都可导时 .） 题型六：离散组合 / 数列结构新定义（上海高考特色压轴） 【典例6】（2025·上海静安·模拟预测）定义函数，对于数列，若，则称 为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． (1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和； (2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有； (3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 一、核心识别特征（上海专属） 1. 核心载体为有限整数数列、子集结构、离散项、分段取值、组合约束，无连续函数、无复杂解析式； 2. 上海高频自定义概念：可表数列、连续和数列、对称数列、子列约束数列、分段迭代数列、有序离散序列； 3. 定义依托项的整数属性、相邻项关系、子列选取、区间离散取值、有限项组合规律； 4. 标志性句式：“数列任意连续若干项满足XX性质”“存在子列满足XX约束”“有限序列具备XX结构特征”； 5. 完全贴合上海卷命题：重离散逻辑、重结构分析、零复杂放缩、重构造验证，区别全国卷数列计算套路。 二、配套核心解题技能 1. 离散枚举建模法：有限数列优先枚举前若干项，锁定结构规律、周期特征、取值范围，快速排除错误结论； 2. 子列拆分与组合分析：针对“连续项、子列、片段和”类定义，拆分数列结构，局部验证性质、整体推导通性； 3. 整数离散约束法：利用数列项为整数、正整数、有序性、单调性等离散属性，做奇偶分析、整除分析、最值边界锁定； 4. 构造与反证双向思维：证明存在性直接构造符合条件数列；证明不存在、唯一性用反证法+离散矛盾推导； 5. 结构归纳模板：有限离散数列性质，可通过数学归纳法推导通用结构，适配上海卷严谨性评分标准。 三、典型设问模板（上海模考/高考高频） 1. 判断给定有限数列是否为XX结构型新定义数列，说明理由； 2. 根据数列离散结构性质，求参数的整数取值/有限取值范围； 3. 证明满足定义的数列具备唯一结构、固定取值或周期规律； 4. 构造满足条件的有限数列/无穷离散数列，并验证性质； 5. 探究子列、连续片段和的最值与存在性问题。 【变式6-1】（2025·上海徐汇·一模）已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”． (1)设，，分别判断、是否为“函数”，并说明理由； (2)已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：． (3)已知“函数”的定义域为，不等式的解集为．证明：函数在上是严格减函数． 【变式6-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：设函数在定义域上可导，若曲线上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行或重合，且成等比数列，则称为“等比函数”． (1)试判断是否为“等比函数”并说明理由． (2)求证：任意二次函数都不是“等比函数”． (3)若，幂函数是“等比函数”，求：的取值范围． 【变式6-3】（2025·上海浦东新·三模）已知实数，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线，，若满足、、依次构成等差数列，则曲线，为曲线. (1)若，，是曲线，求实数的值； (2)已知曲线，都是曲线，证明：是曲线； (3)若，为曲线，求的取值范围. 【变式6-4】（23-24高三上·上海静安·阶段检测）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围； (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【变式6-5】（2026·上海虹口·三模）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 【变式6-6】（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 题型七：充要条件型新定义（上海压轴拉分核心） 【典例7-1】（2025·上海静安·一模）已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. (1)若函数是点奇函数，求实数的值； (2)证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； (3)若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 【典例7-2】（2025·上海崇明·二模）已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 一、核心识别特征（上海专属） 1. 所有定义依托充分条件、必要条件、充要条件双向逻辑，是上海高考第21题第三问高频必考题型； 2. 核心句式：“A成立的充要条件是B”“A等价于B”“当且仅当满足XX时，该性质成立”； 3. 区别普通新定义：不止单向验证，必须同时完成正向推导（充分性）+反向推导（必要性）双向证明； 4. 载体兼容集合、函数、数列、不等式，属于全考点融合逻辑压轴； 5. 高频拉分点：考生易漏证单向逻辑、等价转化不严谨、条件混淆。 二、配套核心解题技能 1. 双向拆分模板（得分核心）：解题强制拆分两步：①充分性：由定义条件 ⇒ 结论成立；②必要性：由结论 ⇒ 定义条件成立； 2. 等价转化提纯法：剔除题目冗余条件，提炼核心等价关系，将复杂文字定义转化为双向等式/不等式约束； 3. 逻辑闭环验证：充分性证“足够成立”，必要性证“必须成立”，缺一不可，形成完整逻辑闭环； 4. 边界精准锁定：充要条件对应的参数范围、集合区间、数列性质无增根、无漏解，是精准求解范围的核心方法； 5. 反例破伪技能：若单向不成立，直接举反例推翻，快速判定非等价关系。 三、典型设问模板（上海高考标准设问） 1. 求函数/数列/集合满足XX性质的充要条件； 2. 证明：A成立当且仅当B成立（双向证明）； 3. 根据充要等价关系，求实数参数的精准取值范围； 4. 判断条件A是结论B的充分/必要/充要条件，并证明； 5. 探究使新定义性质恒成立的等价约束条件。 【变式7-1】（24-25高三下·上海虹口·期中）对于定义在上的函数和，，设. (1)若，，求； (2)若，，，求实数的取值范围； (3)已知对任意，均有，记，求证：“对任意，函数零点个数均有限”的充要条件是“在上是严格增函数”. 【变式7-2】（25-26高三上·上海·期末）已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． (1)若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； (2)已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； (3)若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 【变式7-3】（2025·上海金山·二模）若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. (1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； (2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； (3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 【变式7-4】（2025·上海黄浦·三模）若对于函数和，对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“函数”.（已知和定义域均为）. (1)证明：函数是函数的“1函数”； (2)若函数是函数的“函数”，求的取值范围； (3)若函数，函数为偶函数，函数是函数的“1函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”. 【变式7-5】（2025·上海金山·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． (1)求证：函数是函数的“控制函数” (2)若存在实数，使得函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； (3)若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证““的充要条件是“为常值函数”． 1.（2026·上海金山·二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 2．（2025·上海·三模）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 3．（2026·上海·一模）定义：若函数满足在上的值域为（），则称为“根域同函数”． (1)试判断是否为“根域同函数”并说明理由； (2)若“根域同函数”为偶函数，求：的值域； (3)已知奇函数对任意均满足为“根域同函数”，幂函数是“根域同函数”的充要条件为点在上，求证：当时，的图象在下方． 4．（2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. (1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； (2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； (3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 5．（2026·上海黄浦·三模）对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． (1)已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； (2)已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值； (3)已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点． 6．（2025·上海闵行·二模）已知函数在定义域上存在导函数．对于给定的一个有序实数对，若存在，使得，则称为在定义域上的一个“分割数对”． (1)已知，判断数对是否为在上的“分割数对”，并说明理由； (2)已知，若为在区间上的“分割数对”，求实数的取值范围； (3)已知，若有且仅有一个实数满足对任意，都不是在上的“分割数对”，求实数的值． 7．（2025·上海黄浦·一模）已知函数的定义域为D，对于给定实数t，定义集合． (1)若，求； (2)若，求证：“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t，使得”． (3)若，，且对于任意的，都有，求实数a的取值范围． 8．（2025·上海金山·一模）现给出“函数”的定义与性质． 定义：若函数在区间上连续，且对于区间内任意两数，如果都有成立，则称函数为区间上的“函数”； 性质：若函数为区间上的“函数”，则对于任意和满足的正数，有成立． (1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“函数”（不需要说明理由） ①； ②． (2)若函数为区间上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，记为函数的图像与轴所围成的图形面积，当且时，求的最小值． 9．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. (1)设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； (3)设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 10．（2026·上海长宁·二模）设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. (1)设，，若，求实数的值； (2)设，，若，且，求的值； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 11．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数与实数，定义集合 (1)若，求； (2)若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； (3)是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 12．（2026·上海·三模）设函数，其中，定义：对于给定的一组有序实数，若对任意，都有，则称为函数的“魅力数组”． (1)若，判断是否为函数的“魅力数组”，并说明理由； (2)已知为的导函数，讨论函数的单调性； (3)若对任意，都是函数的“魅力数组”，求实数的取值范围． 13．（2026·上海·三模）设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数，恒有，则称为函数． (1)判断函数是否为函数，说明理由； (2)已知是实数，函数是函数，求的最大值； (3)若是定义域为的函数，求证：“存在实数，使得恒成立”是“存在非零实数，使得恒成立”的充要条件． 1．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 2．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 3．（2024·上海·高考真题）记 (1)若，求和; (2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. (3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 4．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. (1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； (2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？ (3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 5．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 6．（2026·上海·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题 新定义综合压轴 年份 新定义载体 核心模块 压轴第三问核心方法 命题变化趋势 2024 函数新定义 导数 + 函数最值 导数极值 + 单调性 连续函数、计算量大 2025 集合新定义​ 抽象函数 + 集合 子集论证+函数奇偶性 抽象符号增多，计算降低 2026 函数新定义 组合 + 数列 枚举构造、反证 排列背景崛起，弱化导数 三年命题趋势总结 载体轮换：连续函数（2024）→抽象集合函数（2025）→离散排列组合（2026），连续 / 离散交替考查，两类必须全覆盖； 工具权重变化：导数权重逐年下降，集合逻辑、反证、构造、分类讨论权重持续提升； 设问风格固化：永远 “特例理解→参数求解→一般抽象证明” 三段式； 证明必考两类：充要条件证明、存在 / 任意性命题证明，极易漏写充分 / 必要步骤扣分； 避坑点：大量全称/特称符号，极易混淆 “恒成立” 与 “存在性” 逻辑。 题型二：运算型新定义 【典例1】（2025·上海杨浦·二模）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. (1)判断是否为“超导函数”，并说明理由； (2)若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； (3)已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 【答案】(1)是，理由： 函数，求导得，则， 所以是“超导函数”. (2)函数，求导得， 则， 由函数与都是“超导函数”，得， 由对任意，都有，，得， 因此，即， 所以函数是“超导函数”. （3）由函数是“超导函数”，得对任意，， 令，求导得，函数在上单调递减，且， 由，得，即， 因此，即，令， 由有且仅有一个实数满足，得直线与函数的图象有且只有1个交点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为， 因此当或时，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以的取值范围或. 【变式1-2】（2025·上海青浦·模拟预测）函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 【答案】(1)当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”；理由： 对求导，根据复合函数求导公式， 令，则. 若是“自导函数”，则，即， 因为，所以. 故当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”. (2)因为函数是“自导函数”，所以，同时， 记，求导得， 由题干条件可知，（实数为常数），又， 所以，故，于是. (3)设， 由复合函数求导公式可得， 因为函数与是“共轭互导函数”，所以且， 于是，故（实数为常数）， 而，所以. 下证且： 首先容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”， 接着证明满足条件的函数只有和，采用反证法， 假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”和， 即且，同时满足， 令， 则， 于是（实数为常数），又，所以，即①， 同理可令，则， 于是于是（实数为常数），又，所以，即②， 由①②可得，由此，满足条件的“共轭互导函数”只有一对， 所以且. 【变式1-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，其图像的两条互相垂直的切线的交点记为点，并称点是函数的“优点”. (1)已知，，求的“优点”坐标； (2)已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)已知，若函数存在“优点”，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以 ， 设两条互相垂直的切线的切点横坐标为， 则它们的斜率分别为， 由两直线垂直得，即， 因为，，故或， 即或， 当时，，，则两切点为，， 则切点处的切线方程：， 切点处的切线方程： ，即， 当时，结果同上， 联立方程：，解得，即“优点”为 . （2）因为，所以， 设两切点横坐标为，斜率， 由垂直条件得到，解得， 两个切点分别为， 过的切线方程为，即， 过的切线方程为 ，即， 联立， 两式相减：， 因为，所以， 将代入得到， 由，故，因此所有“优点”都在直线上. 故函数的所有“优点”在一条定直线上，且这条直线的方程为. （3）因为，所以， 设两切点横坐标为，则斜率， 两个切点分别为，， 则过的切线方程为 ， 过的切线方程为 ， 联立两切线方程，令交点为，两式相减， 得到， 左边因式分解： ， 右边因式分解： ， 因为，所以 ， 令，则上式变为， 且满足， 由得到 ， 得到 ， 即， 要存在“优点”，即存在实数 满足上述方程， 将其视为关于的二次方程， 则有， 即，即，即， 这说明存在实数使得 ， 即或有解， 当时，可取任意实数，故只要，总能找到满足不等式； 当时，， ，两条切线斜率均非负， 无法满足乘积为，故不成立， 故实数的取值范围是：. 【变式1-3】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”. (1)设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由； (2)若函数是“逆构造函数”，求的取值范围； (3)已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且.  求证：对任意，关于的方程无解. 【详解】（1）由于，故对有. 所以是否为“逆构造函数”. （2）由于，故. 一方面，若函数是“逆构造函数”，则，即. 所以对任意成立. 特别地，取，得，从而，故. 再取，得，从而. 此即，故，解得； 另一方面，若，则. 设，则，所以对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. 所以对，有 . 从而此时函数是“逆构造函数”. 综上，的取值范围是. （3）设，则. 所以在上单调递增. 一方面，对，有. 所以对任意，有； 另一方面，对，假设，则根据及零点存在定理，存在使得. 再由条件，知，矛盾. 所以对任意，有. 假设存在使得，则根据及零点存在定理，存在使得. 从而对任意，有. 但由，知，矛盾. 所以对任意，都有. 综合两方面可知，对任意的，都有. 所以对任意，关于的方程一定无解. 题型二 ：集合与逻辑型新定义（上海卷头号压轴） 【典例2-1】（2026·上海·二模）若对于定义在R上的函数，设是R的一个子集，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则称函数在上具有“性质” (1)分别判断函数和是否在R上具有“性质”；（无需说明理由） (2)设，记，若函数在上具有“性质”，求实数的取值范围； (3)若函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，且，求证：集合是无限集或单元素集． 【详解】（1）因为是严格增函数，则根据“性质”的定义可知，函数在上具有“性质”； 因为，则函数在上不具有“性质”. （2）当时，此时在和上单调递增，函数在上具有“性质”. 当时，此时在和上单调递减，函数在上具有“性质”. 当时，函数在区间不单调， 在不具有“性质”. 当时，此时在上单调递减，在上单调递增， 要使函数在上具有“性质”， 则需满足或，即或， 整理得或，解得或或， 又，得或. 当时，函数在区间不单调，在上不具有“性质”. 综上，实数的取值范围是. (3)证明：因为函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，在上单调. 若单调递减，假设中至少有2个元素，则，单调递减， ，矛盾，因此最多一个元素. 若单调递增，假设中至少有2个元素，则. 对，若 ，由于单调递增，，矛盾 若，由于单调递增，，矛盾. 因此对，必有，即，是无限集. 令是连续函数，若单调递增： 若对所有都成立，则，与矛盾. 若对所有都成立，则，与矛盾. 故存在，使，由零点存在定理，，使，即，非空. 若单调递减： 当，，， 由零点存在定理，使，非空. 综上，要么是单元素集，要么是无限集，命题得证. 【典例2-2】（2025·上海闵行·一模）已知函数的定义域为，对于，若，且 ，则称为的一个“点”，记为的所有“点”构成的集合． (1)若，分别判断与1是否正确； (2)证明：“”的一个充要条件为“当时，”； (3)已知，，其中、，记，．若，求的取值范围． 【详解】（1）由题意可知，当时，， 当时， ， 当时，，所以，正确； 由，故，即1不正确； (2)充分性：因为， 故当时，，当时，，所以； 必要性：当时， 由得； 由 得； 所以时，恒成立； 综上，命题得证； （3）当时， ， ；， ， 此时不存在点； 当时，，；，， 此时不存在“点”；所以； 所以，， ①当时， ，不存在“点”； ②当时， ，不存在“点”； ③当时，，， 此时， 故， ⅰ．当 时，，此时在R上单调递增，故与矛盾； ⅱ．当时，由0得， 由得 所以在，上单调递增，在上单调递减； 此时 所以或，解得； ⅲ．当时，由0得， 由，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 此时， 所以或，解得， 所以； 综上， 的取值范围． 一、核心识别特征 1. 题干核心依托集合元素、子集、交并补运算、逻辑命题，无复杂函数、数列解析式； 2. 自定义全新集合概念：封闭集、关联集、距离集、相容集、特殊子集、自定义集合运算； 3. 标志性句式：“若集合满足XX性质，则称为XX集”“规定集合运算XX”； 4. 设问梯度固定：判断验证→参数求解→性质证明→构造实例； 5. 高频关键词：任意、存在、恒成立、属于、包含、封闭、关联。 二、配套核心解题技能 1. 定义直译技能：将文字型新定义逐条拆解，转化为等式、不等式、集合约束、逻辑条件，不遗漏任何限定条件； 2. 特值验证+反例法：有限集合枚举所有元素验证；无限集合取特殊值，快速推翻全称命题； 3. 逻辑规范证明：全称命题任意取元素推导证明；特称命题只需举出一组有效实例；否定命题直接找反例； 4. 封闭性通用验证模板：任取集合内两个元素→代入自定义运算→推导结果仍属于原集合； 5. 参数分类讨论：根据集合边界、元素正负、整数属性、区间范围分类讨论，规避漏解。 三、典型设问模板 1. 判断给定集合是否为XX集，并说明理由； 2. 若区间/集合为XX集，求实数参数的取值范围； 3. 求证：满足条件的集合交集、并集仍具备该定义性质； 4. 构造两组不同的有限/无限XX集合。 【变式2-1】（2025·上海宝山·二模）定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. (1)若，，求的值及的固着点； (2)若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； (3)若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 【详解】（1）由题得，所以， 因为，所以，解得， 所以，固着点. （2）由题得，则， 所以，因为是上的严格增函数， 所以在区间上恒成立， 由，得到，所以， 所以，因此的最大值是. (3)（方法一）由题得，， 所以， 因为，且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解， 记，则，所以在是严格减函数， 从而，又当时，，故的值域是， 所以，即， 记，则由上述可知是的严格减函数且， ， 因为，所以，所以  ① 又， 记，则， 因为，所以，所以， 所以是上的严格增函数， 故，从而  ② 由①②可知，，即， 又是的严格减函数，所以，故. （方法二） 由题得，，所以， 因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解 求导得， 当时，，是上的严格减函数， 所以，所以方程（*）无解； 当时， （ⅰ）当时，在恒成立，故是上的严格增函数， 所以，所以方程（*）无解； （ⅱ）当时，如下表 - 0 + 严格减 极小值 严格增 可知在严格减，在严格增， 又，，当时，， 所以方程（*）在无解，在有唯一解，满足题意的的取值范围， 因为是的唯一解，所以， 又，令， 则，所以是上的严格减函数， 所以，即， 又当时，，所以， 又在上有唯一的零点，则， 综上，，此时. 【变式2-2】（2025·上海浦东新·三模）已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． (1)若，直接写出相应的集合； (2)设，且存在实数，使得直线的一距离不小于，求的取值范围； (3)设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数． 【详解】（1）因为，则， 若，由可得，可知当时，，不合乎题意； 若，由可得，可知当时，，不合乎题意. 故，由可得，故. （2）要求直线的“距离”，则求的最小值，分以下两种情况讨论： ①当时，对任意的恒成立， 所以在上严格减，无最小值； ②当时，，由得，由得， 所以函数在区间上严格减，在区间上严格增， 故，所以， 令，其中，则， 由得，由得， 所以，函数在区间上严格增，在区间上严格减， 由题意知，故实数的取值范围是. (3)先说明，设点为函数图象上的一点， 因为存在，则存在，设直线， 其中为任意的正常数， 考虑的最小值， 因为，且在上为严格增函数， 故当时，，即在上严格减， 当时，，即在上严格增， 故为函数的极小值点，也是最小值点，故， 若令，， 则对恒成立，即， 所以，且直线的“距离”为， 因为对任意的，都有， 考虑直线， 考虑， 因为直线的“距离”和直线的“距离”相等， 所以对任意的恒成立，所以， 则, 即，即， 同理有，故， 由的任意性可知函数为上的偶函数. 【变式2-3】（2026·上海·模拟预测）已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． (1)设，求集合； (2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； (3)设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 【详解】（1）由定义得， 而，，， 故解得，， 综上，． （2）必要性：若函数为偶函数，， 则对任意的，有， 对上式两边同时求导，可得：， 故函数是奇函数，， 若，则，即， 进而有，即， 故对任意，，故必要性成立； 不充分性：不妨取，， 此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，故充分性不成立， 综上，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件. （3）由对任意且，都有， 可得：对任意 且，都有， 即函数在上是不减函数，即恒成立， 由，可得：， 设， 则， 则对恒成立，即对恒成立， 令，，故， 故函数在和是减函数，在是增函数， 大致图像如图，， （i）当时，不等式可化为，此时， （ⅱ）当时，不等式可化为， 此时，故； （ⅲ）当时，不等式可化为， 此时，故； 综上，实数的取值范围是． 【变式2-4】（2026·上海浦东新·三模）已知函数是定义在上的函数，其导函数为．对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为． (1)若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由； (2)若．证明：； (3)若，其中均为正实数，求．若存在，使得直线过点，求坐标原点到直线的距离． 【详解】（1）若，则，故， 当时，，取，则， 显然， 因此不是函数的“切线支撑点”. （2）由题，令 ， 又， 故时，，函数严格增； 时，，函数严格减； 因此，， 即对任意，对任意恒成立， 由此可得. （3）由题，， 则存在，使得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 显然，①，②， 由②可得，，即，其中， 故， 显然，也满足①， 因此. 此时，， ，故直线方程为， 代入，得， 因此，坐标原点到直线的距离. 题型三：函数性质型新定义（上海传统高频压轴） 【典例3-1】（2026·上海·模拟预测）设函数的定义域为，若对任意实数，恒有成立，则称函数具有“性质”． (1)若一次函数具有性质，其中，求实数，的值； (2)若函数具有性质，且在上严格增，证明：； (3)若具有性质的函数满足：存在常数，使得对任意，都有．证明：具有该性质的函数是唯一的，并写出其解析式． 【详解】（1）因一次函数具有性质， 则， 则可得：，解得或， 因为，所以，. (2)假设存在实数，使得，分两种情况讨论: 若，结合函数严格增，可得， 再由，代入得，整理可得，与矛盾； 若，因为严格增，可得， 结合，代入得，整理可得，与矛盾， 综上可知，假设不成立，即对任意的，都有，得证. (3)已知对所有成立，令，即，, 则， 代入,可得， 化简得：， 对任意，构造数列满足. 由可知，， 则数列为等比数列，则， 所以，若， 则当时，，与矛盾，因此必须有， 即对任意的，，故，其函数唯一. 【典例3-2】（2025·上海奉贤·一模）记，分别为函数和的导数，存在，满足且，则称为和的一个“点”． (1)若函数与存在“点”，求实数的值； (2)证明函数与不存在“点”； (3)已知函数，，对任意的，判断是否存在，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由． 【详解】（1）设 ，，则 ，， 由题意得： 需同时满足：，故， 所以， 得，所以 . (2)由题意 需同时满足：， 令， 函数 有，函数，有， 令，所以得， 因为，所以无解， 故函数 与不存在“ 点”； (3)对任意的 ，存在，使得函数和在区间内存在“ 点”. 设，，则，， 函数与在区间内存在“ 点”， 则 且需同时满足：，即， 得：且， 联立得：， 因为 ， 所以， 由 得： ， 又因为 ，所以，解得， 此时，当，所以， 当，设，， 故在为增函数，且，而时，， 故对于任意 ，总存在，使得， 令， 求导得， ， 故函数在 单调递增，故， 所以存在满足题意； 所以存在，使得函数和在区间内存在“ 点”. 一、核心识别特征 1. 以函数解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性、导数、最值、零点为核心载体； 2. 自定义各类衍生函数：保值函数、凸凹函数、镜像函数、k阶伸缩函数、界函数、共生函数等； 3. 核心句式：“对定义域内任意自变量，满足某等式/不等式，则称该函数为XX函数”； 4. 定义多依托函数变化规律、取值特征、对称特征、切线特征； 5. 设问分层：基础验证→参数范围→存在性探究→性质证明与复合推导。 二、配套核心解题技能 1. 定义域优先原则：所有新定义条件仅在定义域内生效，解题第一步标注定义域，规避增根、错解； 2. 特殊值赋值试探法：取x=0、x=1、x₁=x₂、x₁=-x₂等特殊值，快速锁定参数、简化复杂定义； 3. 单调性作差构造法：定义含差值不等式时，作差构造新函数，通过判断单调性验证定义； 4. 导数工具进阶应用：凹凸性、变化率、切线相关新定义，通过求导转化为导数不等式、最值问题； 5. 分离参数通法：将含参不等式整理为参数与纯函数分离形式，转化为函数最值求解参数范围； 6. 反证法：针对“是否存在”类压轴设问，证明不存在时优先使用反证法。 三、典型设问模板 1. 已知具体函数解析式，求证该函数为XX函数； 2. 若含参函数为XX函数，求实数参数的取值范围； 3. 是否存在实数参数，使得函数满足新定义性质？ 4. 已知两个函数均为XX函数，证明其复合函数、和差函数满足对应性质。 【变式3-1】（2025·上海黄浦·二模）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． (1)设，，判断函数，是否具有性质； (2)设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； (3)设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 【详解】（1）函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，上单调递减， 于是函数在上不是单调函数，，， 函数在上的值域为， 不存在常数，使得对任意的成立， 所以函数，不具有性质H. （2）函数，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由函数，具有性质H，且是该函数的一个下界，得， 当时，函数在上不单调，，， 由，即，整理得，解得或， 当时，，当时，， 因此，，则， 所以当且仅当时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界. （3）当时，函数， 求导得， 当时，，，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上不是单调函数， ，，因此， 令，则，令， 求导得， 函数在上单调递减，， 由当变化时，总是该函数的下界，得， 所以的取值范围是，的取值范围是. 【变式3-2】（2025·上海·三模）已知定义在上的函数的图像上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且对上的任意的，均有，则称函数为“切线支撑”函数. (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点，；否则，请说明理由； (2)证明：函数为“切线支撑”函数； (3)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围 【详解】（1）， 显然， 令，得，，即， 所以，是的极小值点，且为曲线的一条切线， 所以函数是“切线支撑”函数， 可取，． (2)证明：因为，设，， 所以，点处的切线方程为和， 所以， 所以，， 不妨取，，则，即，， 所以，不妨取．则切线的方程为， 又，所以函数为“切线支撑”函数 （3）当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的右侧； 当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的左侧； 所以切点，必在轴的两侧． 不妨设，，， 当时，，所以点处的切线方程为， 即； 当时，，所以点处的切线方程为， 即， 因为，两点处的切线重合，所以， 设，，则， 所以在上单调递增， 又当时，，所以，即， 设点处的切线方程为， 设， 则， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，所以， 设点处的切线方程为， 则，即， 所以为“切线支撑”函数， 综上可得，实数的取值范围为． 【变式3-3】（2024·上海·三模）若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． (1)若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； (2)求曲线所有切线的方程； (3)设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【详解】（1）曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为， 所以切线斜率为， 所以. （2），所以. 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，即. 设， 因为切线为切线，所以有且仅有1个根， 所以解得， 所以曲线所有切线仅有一条，切线方程为. (3)存在，理由如下：因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 令， 所以， 因为，所以， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的所有极大值为， 当时，极大值为，即. 当为正整数时，极大值均小于，所以在无零点. 当为负整数时，极大值均大于，的所有极小值为, 当时，极小值，且随着的增大，极小值越来越小， 因此曲线在点处的切线为切线，等价于有三个零点，等价于，即有解. 令，则， 所以在单调递增，又，， 所以存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线 题型四：几何（解析/平面）约束型新定义（上海小众特色） 【典例4】（2026·上海·一模）定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为； 我们称椭圆的“交换椭圆”为； 我们称圆的“交换圆”为． (1)若双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，双曲线C过点，求：双曲线C的标准方程； (2)若过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，且一个球的表面积与“交换圆”面积相同，求：球的体积； (3)已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于． 【详解】（1）因为双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，所以， 设双曲线C的方程为， 代入点，得， 所以双曲线C的方程为； （2）对求导可得，设切点为， 则切线的斜率，又， 所以切线l的方程为， 代入点，得，则切线l的方程为，即， 因为“交换圆”是自己本身，所以， 设圆的方程为， 因为直线l与圆相切，所以， 则“交换圆”面积为， 设球的半径为R，则，解得， 所以球的体积为 (3)证明：由长轴为，可得，由离心率，得， 所以， 不妨设椭圆的焦点在x轴，则方程为， 则椭圆的“交换椭圆”方程为， 所以曲线的方程为， 因为矩形关于对称，设在椭圆W上， 则在“交换椭圆”上，则， 又直线平行直线，则直线PN的斜率为1， 所以直线PN的方程为，即， 联立，得， 所以，得， 所以， 所以面积， 因为点P在椭圆W上，所以， 令，为参数，， 因为，所以，解得， 不妨取第一象限部分，则， 代入可得 ， 因为，则， 所以当时，取得最大值为. 一、核心识别特征 1. 以平面点、坐标、距离、线段、斜率、向量、轨迹、面积、直线与曲线位置关系为载体； 2. 自定义几何概念：新型距离、伴随点、极点、定距曲线、伴随曲线、关联图形； 3. 核心句式：“平面内动点P满足XX距离/位置关系，则称为XX点，其轨迹为XX曲线”； 4. 定义依托垂直、共线、距离和差、面积定值、向量数量积等几何约束； 5. 设问核心：求轨迹方程、参数范围、最值问题、定点定值证明。 二、配套核心解题技能 1. 坐标直译核心法：设动点P(x,y)，将所有文字几何约束，直接转化为坐标等式、不等式； 2. 轨迹化简技能：通过移项、平方去根号、整理配方，转化为圆、椭圆、双曲线、抛物线、直线等标准轨迹方程； 3. 联立判别式法：直线与自定义曲线相交问题，联立方程利用判别式Δ≥0锁定参数范围； 4.向量转化简化运算：将垂直、共线、夹角条件转化为向量数量积、坐标成比例关系； 5. 数形结合几何释义：将新型距离、新型约束转化为常规几何模型，快速求解最值、范围。 三、典型设问模板 1. 求平面内所有满足条件的XX点的轨迹方程； 2. 若直线与自定义曲线有交点/两个交点，求参数取值范围； 3. 求动点距离、线段长度、图形面积的最值； 4. 证明直线与新曲线相交满足定点、定值、定直线性质。 【变式4】（2026·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，有点，．若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面，则称此时点、在空间中的距离为“点、关于轴的折叠空间距离”，记为． (1)若点、、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求证：，； (2)若点、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，求满足的点在平面直角坐标系中的轨迹的长； (3)若在平面直角坐标系中，直线与椭圆相交于、两点，求的最大值． 【详解】(1)、在轴同侧，， 、在轴异侧，； （2）从几何上说：点所在轨迹是球面与两个半平面的交线， 从代数上说： ⅰ）当、在轴同侧，即时，， ⅱ）当、在轴异侧，即时，， 所以，点所在轨迹是半圆：（）与圆：（）的组合曲线（如图），其周长是． （3） （*）, ，， 当且仅当，即时，取得最大值． 题型五：不等式恒成立/存在型新定义（分层拉分核心） 【典例5-1】（2025·上海杨浦·一模）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 【详解】（1）已知函数，则. 因为，所以， 那么， 所以函数，是压缩函数. （2）因为函数，为压缩函数， 所以对于任意，均有. 显然当时成立，不妨设， 则不等式可化为：， 则且， 令，则在上为减函数； 令则 在上为增函数. 对于 ，则 由为减函数，得对恒成立， 即，所以，可得； 对于，其导数为 由为增函数，得对成立， 即恒成立，所以，可得 综上，的取值范围为. (3)证明如下：（必要性）已知函数，为压缩函数，若，为单调函数， 则对任意，均有. 证明：若在上单调， ①若在上单调递增， 则对任意，不妨设，有， 从而 于是，且， 则； ②若在上单调递减，则对任意，不妨设， 同理可得，且， 则； 综上所述，对任意， 均有，必要性得证. （充分性）已知函数，为压缩函数， 若对任意，均有，则，为单调函数. 证明：由函数，为压缩函数， 则对任意，恒有， 故当时，有，即. 即的图象在上连续不断. 下面用反证法证明. 假设在上不是单调函数，又的图象连续不断， 则存在实数，使得在处取极值， 若为极小值点，则存在区间，其中， 使得在上单调递减，且在上单调递增， 则存在，满足， 则，且，即，且， 故； 这与任意，矛盾； 若为极大值点，同理可得存在，且， 故， 也与产生矛盾. 故假设错误，即在上是单调函数，充分性得证. 综上所述，是单调函数的充要条件是： 对任意，都有. 【典例5-2】（2025·上海徐汇·二模）对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. (1)已知函数，其中，求证：对任意实数，都有； (2)设，，若函数的最小导周期为，记，当实数变化时，求的最小值； (3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 【详解】（1）证明：因为， ， ， ， 所以，对任意实数，都有. (2) (3)，证明： 因为， 所以，由得， 又因为， 所以， 有，于是， 所以. （2），， 由题意知，对任意实数恒成立， 令，则，即， 令，则，则， 所以或. 若，则，，最小导周期不是，矛盾； 若，则，，，最小导周期为，符合要求，所以. 可视为点与点 之间的距离，当实数变化时，点在直线上运动，点在曲线上运动， 因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值， 而曲线在直线上方，平移直线使其与曲线相切， 则切点到直线的距离即为所求. 设切点，，切线斜率，得，切点为， 点到直线距离. 即的最小值为. （3），， 记，即. 由在上恒成立及存在使， 可知是函数的极大值点，于是， 则①， 又，则②， 由①②得，则. 一、核心识别特征 1. 核心依托全称、存在量词，以不等式约束、函数最值、区间取值为核心； 2. 标志性关键词：任意、存在、至少、总能、恒成立、有解； 3. 定义本质：通过量词约束函数在区间内的取值特征，定义新型函数性质； 4. 分为两大核心体系：全称恒成立、存在性有解，压轴多考查双重量词嵌套问题； 5. 常结合分段函数、复合函数、含参函数考查，侧重参数范围求解。 二、配套核心解题技能 1. 量词逻辑精准区分：任意x∈D，f(x)>m恒成立 ⇔ f(x)最小值>m；存在x∈D，f(x)>m有解 ⇔ f(x)最大值>m； 2. 分离参数万能通法：将参数与变量分离，转化为参数大于函数最大值、小于函数最小值模型； 3. 分段函数最值处理：分段求解极值与端点值，对比得到全局最值，满足不等式约束； 4. 零点存在定理应用：存在性问题可转化为函数零点、函数取值覆盖问题； 5. 双重量词嵌套解法：∀x₁∈A，∃x₂∈B型问题，分层求解两个区间函数最值，嵌套建立不等关系。 三、典型设问模板 1. 若对任意区间内x，函数满足新定义不等式，求参数范围； 2. 存在区间内x使函数具备XX性质，求参数取值； 3. 双重量词嵌套问题：任意x₁，总存在x₂满足定义条件； 4. 证明不存在参数，使定义条件恒成立/有解。 【变式5-1】（24-25高三下·上海静安·期中）若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． (1)请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） (2)求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； (3)试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 综上所述，， 所以满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可） （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以， 因为，所以， 综上所述， 所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）若存在，则恒成立， 令，则，所以， 因此，恒成立，即恒成立， 由得，， 现在只要判断是否恒成立， 设，则， 当时，，，， 当时，，， 所以，即恒成立 所以函数和函数在上存在分界线， 其方程为． 【变式5-2】（2025·上海·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称是在上“次缠绕函数”.若，则称是上的“次自倒缠绕函数”. (1)判断是在上“几次缠绕函数”，并说明理由； (2)设，若在上.“3次自倒缠绕函数”，求的取值范围; (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，给定，对任意，是否存在，使得，且是在上“次缠绕函数”. 【详解】（1）次，理由如下： 当且仅当和时取等号，内成立且仅在两零点处等号成立 所以缠绕次数为次； （2）设， 因为在上“3次自倒缠绕函数”， 所以存在互异的三个正数，使得， 当且仅当时取等号，所以是的三个变化零点. 注意到，所以是的一个零点.， ①当时，， 在上严格增，1是的唯一零点，不合题意， ②当时，在上严格递减，1是的唯一零点， 不合题意， ③当时，令， 由韦达定理可知，有两正根，且， 所以存在两正根，且， 当时，严格减; 当时，严格增， 当时，严格减， 所以， 因为， 设，因为， 所以在(0，1)上严格减，所以，即， 所以存在. 又， 所以存在， 所以恒成立， 即时，和在上“3次缠绕”， 综上，的取值范围是. （3）取， 设， 令， 显然，且， 当且仅当时取等号. 所以对任意， 存在， 其中， 使得，且是在上“次缠绕函数”. 【变式5-3】（2025·上海闵行·一模）若定义域为 的函数满足：对任意的 和，都有，且，就称这个函数是“优美函数”. (1)判断并证明优美函数的奇偶性； (2)若优美函数的值域为，且当 时，，判断并证明优美函数的单调性； (3)若题（2）中优美函数还满足，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围. 【详解】(1)奇函数，证明： 的定义域为 ，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴， 令，得， ∴， ∴ 为奇函数. (2)任取，设， 解法一：， 因为，，又，， 所以，， 所以，即， 所以 在 上是严格递增函数. 解法二：由（1）函数为奇函数，则 任取，且，则，故且. 所以，； 所以，函数 在上严格递增. （3）， 则， ， 又不等式对恒成立， 则对恒成立， 又 在 上严格递增， ∴对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立，则，解得， 综上，. 【变式5-4】（2026·上海·三模）设、、是三个定义域为的函数，如果对一切实数x恒成立（A是常数），就称、、是一组“A有序和谐函数”. (1)为了使得、、是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数； (2)设，，，求的所有可能取值，使得、、是一组“有序和谐函数”； (3)已知、、是一组“1有序和谐函数”，且恒成立，证明：存在零点. （注：①在上每一处都存在导数的函数必连续；②当、都可导时 .） 【详解】（1）因为，，所以，． 若，，是一组“有序和谐函数”，则 代入得，即 因为，所以 因此可取 （2）由题意， 根据“有序和谐函数”的定义，得 由积化和差公式，得 三式相加，得 因为所以原式等于 若它对一切实数恒等于常数，则含的项必须为，所以即 因此或 若，则，符合条件． 若，则，不符合条件． 所以的所有可能取值为 （3）因为，，是一组“有序和谐函数”，所以， 即所以， 令，则， 由，得，所以 令，则，所以在上单调递增． 若，则，即 所以， 取充分大的正数，使得，则． 又因为，所以， 若，则，即， 所以， 取充分小的负数，使得，则． 又因为，所以 因为在上可导，所以在上连续． 又，，由零点存在定理可知，存在，使得 故存在零点． 题型六：离散组合 / 数列结构新定义（上海高考特色压轴） 【典例6】（2025·上海静安·模拟预测）定义函数，对于数列，若，则称 为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． (1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和； (2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有； (3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【详解】（1），，. (2)，，故， 构造函数，，则， 函数在上单调递增，， 故在恒成立，单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即. (3)不存在，，则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增， 故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到，无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 一、核心识别特征（上海专属） 1. 核心载体为有限整数数列、子集结构、离散项、分段取值、组合约束，无连续函数、无复杂解析式； 2. 上海高频自定义概念：可表数列、连续和数列、对称数列、子列约束数列、分段迭代数列、有序离散序列； 3. 定义依托项的整数属性、相邻项关系、子列选取、区间离散取值、有限项组合规律； 4. 标志性句式：“数列任意连续若干项满足XX性质”“存在子列满足XX约束”“有限序列具备XX结构特征”； 5. 完全贴合上海卷命题：重离散逻辑、重结构分析、零复杂放缩、重构造验证，区别全国卷数列计算套路。 二、配套核心解题技能 1. 离散枚举建模法：有限数列优先枚举前若干项，锁定结构规律、周期特征、取值范围，快速排除错误结论； 2. 子列拆分与组合分析：针对“连续项、子列、片段和”类定义，拆分数列结构，局部验证性质、整体推导通性； 3. 整数离散约束法：利用数列项为整数、正整数、有序性、单调性等离散属性，做奇偶分析、整除分析、最值边界锁定； 4. 构造与反证双向思维：证明存在性直接构造符合条件数列；证明不存在、唯一性用反证法+离散矛盾推导； 5. 结构归纳模板：有限离散数列性质，可通过数学归纳法推导通用结构，适配上海卷严谨性评分标准。 三、典型设问模板（上海模考/高考高频） 1. 判断给定有限数列是否为XX结构型新定义数列，说明理由； 2. 根据数列离散结构性质，求参数的整数取值/有限取值范围； 3. 证明满足定义的数列具备唯一结构、固定取值或周期规律； 4. 构造满足条件的有限数列/无穷离散数列，并验证性质； 5. 探究子列、连续片段和的最值与存在性问题。 【变式6-1】（2025·上海徐汇·一模）已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”． (1)设，，分别判断、是否为“函数”，并说明理由； (2)已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：． (3)已知“函数”的定义域为，不等式的解集为．证明：函数在上是严格减函数． 【详解】(1)函数的定义域为，其导函数在上为减函数， 函数的定义域为，其导函数在上为增函数， 故函数为“函数”，函数不是“函数”. (2)因为数列是公差为的等差数列， 所以，，， 要证，即证， 设函数，其中，则， 因为函数为“函数”，则函数在上为减函数，且， 所以，故对任意的恒成立， 故函数在上为减函数， 又因为对任意的，，所以， 即，故. (3)假设不是严格减， 的解集为， 不可能严格增，否则解集中必包含正无穷大， 只能有增有减， 使得， 严格减， ∴当时，严格增， 当时，严格减， 取，求处切线方程， ,即， 令,得， 构造函数， 严格减， 当时，严格增， 当时，严格减， ，即，即（当时，取等）， 而，结合，得严格增， ∴当时,， 与的解集为矛盾， ∴假设不成立，即严格减. 【变式6-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：设函数在定义域上可导，若曲线上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行或重合，且成等比数列，则称为“等比函数”． (1)试判断是否为“等比函数”并说明理由． (2)求证：任意二次函数都不是“等比函数”． (3)若，幂函数是“等比函数”，求：的取值范围． 【详解】（1）取，则， 由，得，所以， 又成等比数列，所以是“等比函数”. （2）设二次函数，求导得， 由直线与曲线在点处的切线平行或重合， 所以，所以， 所以，所以，所以， 又因为成等比数列，所以，所以， 所以，所以，与矛盾， 故任意二次函数都不是“等比函数”． （3）若，可得的定义域不为或在处不可导，所以. 当且时，函数在处无意义，所以的定义域不为， 所以且，结合已知可得 当时，可得，所以，所以， 又，满足，符合题意； 当时，由（2）可知幂函数不是“等比函数”，故不符合题意； 当时，由，得， 因为成等比数列，所以， 所以，所以， 所以， 又， 当且仅当，即时取等号，又，故等号不成立， 所以方程在时无解. 综上所述：. 【变式6-3】（2025·上海浦东新·三模）已知实数，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线，，若满足、、依次构成等差数列，则曲线，为曲线. (1)若，，是曲线，求实数的值； (2)已知曲线，都是曲线，证明：是曲线； (3)若，为曲线，求的取值范围. 【详解】（1），，， 因为，所以， ①不成立； ②，不存在； ③； ④不成立. 解得. （2），① ，② 两式相乘得，解得， 代入①得， 则成立，是曲线. （3）在上有解， 令，， ①当时，，，解得，有零点； ②当时，，， 由零点定理知，上存在使，有零点； ③当时，若，则， 因为在上为严格减函数，在上为严格增函数， 所以，，无零点； 若，又，有， 得，， ，在上为严格增函数， 注意到， 由零点定理知，若有零点，则， 解得，又，故， ④当时，，，为严格增函数，，无零点； 综上，. 【变式6-4】（23-24高三上·上海静安·阶段检测）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围； (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【详解】（1）当时，，， 令，则，解得或， 当时，，当时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）， 令，依题意，当时，恒成立， 由，得，， 又因为，所以， ① 当时，，所以在上单调递增， ，不合题意； ② 当时，令，解得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 若要使恒成立，则需使，解得， 故此时； ③ 当时，因为，，故在单调递减， 则，符合题意； 综上，实数a的取值范围为． （3）①，，故， 构造函数，，则 易得函数在上单调递增，而，则在上恒成立，故在上单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即． ②，则，(*)， 设，即，代入(*)可得， 设函数，显然该函数在上单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增，故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，则，，， 故，整理得到，该方程无正整数解． 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列． 【变式6-5】（2026·上海虹口·三模）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 【详解】（1）假设存在严格增的有限数列，，…，， 使得， 因为，所以， 由于，，…，是严格增的有限数列，所以，，…，不都为0， 那么，与矛盾， 所以关于数列不具有“性质”； 若关于数列具有“性质”， 则需存在严格增的有限数列，，…，， 使得，即， 取数列，该数列是严格增的有限数列， 则 ， 所以存在严格增的有限数列，使得， 所以关于数列具有“性质”； 综上，关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质”. （2）假设存在满足条件的等比数列，设等比数列的首项和公比都为， 则，若函数关于数列具有“性质”， 则， 因为，，，，，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又， 即，与矛盾， 所以不存在满足要求的等比数列. （3）设严格增的等差数列，其中公差， 令， 因为函数的图象是连续曲线，所以是关于t的连续函数， 已知集合 和 均不为空集， 因此存在实数使得，， 取足够小的正数d，令，此时所有的， 当时，所有，可得， 将数列整体向右平移，令， 此时所有的， 当时，可得， 根据连续函数零点存在定理，必然存在使得， 对应的等差数列严格递增，满足， 因此，对于任意给定的个正数，，，， 均存在严格增的有限等差数列， 使得函数对数列具有“性质”． 【变式6-6】（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 题型七：充要条件型新定义（上海压轴拉分核心） 【典例7-1】（2025·上海静安·一模）已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. (1)若函数是点奇函数，求实数的值； (2)证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； (3)若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 【详解】（1）法一：若函数是点奇函数，则是奇函数，得是奇函数， 即，因为， ，比较两式右边，由 所以，解得. 法二：若函数是点奇函数，则的图像关于点对称， 则对任意实数恒成立， 即，化简得， 所以，解得． (2)，从而，其中， 所以恰有两解，即函数恰有两个驻点，设为，，， 则就是一元二次方程； 当时，，当时，，当时， 从而是的极大值点，是的极小值点，所以函数存在两个极值点，此外再无极值点. 因为是的极小值点，所以，即，解得或1. 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是的极大值点(舍去)； 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因此是的极小值点. 综上，可得，极小值点，极大值点. 所以的所有极值点为和. 极小值点1，极大值点； （3）法一：由（2）可知，当时，是的极大值点， ， 极大值点，极小值点. 假设 是点奇函数，则满足：， 即， 等式左边展开计算：， 要求与无关，所以的系数必须为0，所以，解得. . 即函数的对称中心是，函数是点奇函数. 法二：由（2）可知，当时，是的极大值点，， 此时极大值点，极小值点.符合题意； 假设存在对称中心，则满足恒成立， 即， 化简得恒成立， 所以，解得 所以函数存在唯一的对称中心， 所以函数是点奇函数. 【典例7-2】（2025·上海崇明·二模）已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 【详解】(1)点具有性质，理由如下： 设，因为， 所以曲线在点Q处的切线方程为：， 将点坐标代入，得：，所以或2 即函数的图像上存在与P不同的一点， 使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，故点具有性质； (2)证明： 设 函数的图像在Q处的切线方程为：① 当时，点P在函数的图像上， 将代入①式，得：② 令，则 所以关于q的方程②必有实数解，且 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质； 当时，点P不在函数的图像上， 将代入①式，得：③ 令，则 所以当时，关于q的方程③必有解， 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质， 综上所述，线段上的所有点均具有性质； (3)证明：设， 函数的图像在Q处的切线方程为： 必要性：若点具有性质，则点应满足方程 令，则由，得：， 当时，，当时，， 故函数在时取得最小值 因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标，因此， 即. 充分性：当时，令 对于函数，当q趋向时，趋向， 又，故关于q的方程必然有解， 即存在点使得直线PQ是函数的图像的切线， 所以点具有性质 综上所述，“点具有性质”的充要条件是“”. 一、核心识别特征（上海专属） 1. 所有定义依托充分条件、必要条件、充要条件双向逻辑，是上海高考第21题第三问高频必考题型； 2. 核心句式：“A成立的充要条件是B”“A等价于B”“当且仅当满足XX时，该性质成立”； 3. 区别普通新定义：不止单向验证，必须同时完成正向推导（充分性）+反向推导（必要性）双向证明； 4. 载体兼容集合、函数、数列、不等式，属于全考点融合逻辑压轴； 5. 高频拉分点：考生易漏证单向逻辑、等价转化不严谨、条件混淆。 二、配套核心解题技能 1. 双向拆分模板（得分核心）：解题强制拆分两步：①充分性：由定义条件 ⇒ 结论成立；②必要性：由结论 ⇒ 定义条件成立； 2. 等价转化提纯法：剔除题目冗余条件，提炼核心等价关系，将复杂文字定义转化为双向等式/不等式约束； 3. 逻辑闭环验证：充分性证“足够成立”，必要性证“必须成立”，缺一不可，形成完整逻辑闭环； 4. 边界精准锁定：充要条件对应的参数范围、集合区间、数列性质无增根、无漏解，是精准求解范围的核心方法； 5. 反例破伪技能：若单向不成立，直接举反例推翻，快速判定非等价关系。 三、典型设问模板（上海高考标准设问） 1. 求函数/数列/集合满足XX性质的充要条件； 2. 证明：A成立当且仅当B成立（双向证明）； 3. 根据充要等价关系，求实数参数的精准取值范围； 4. 判断条件A是结论B的充分/必要/充要条件，并证明； 5. 探究使新定义性质恒成立的等价约束条件。 【变式7-1】（24-25高三下·上海虹口·期中）对于定义在上的函数和，，设. (1)若，，求； (2)若，，，求实数的取值范围； (3)已知对任意，均有，记，求证：“对任意，函数零点个数均有限”的充要条件是“在上是严格增函数”. 【详解】（1）记， 函数上的值域为，即． （2）设在上的最小值． . 当时，严格增；当时，严格减； 当时，严格增．当时取得极小值． 当时，舍去． 当时，． 综上，． (3)（充分性）若是严格增函数， 则的最小值为，而， 故对任意，都有，即与是相同函数． 故是严格增函数，所以严格增函数，故对任意的零点个数有限． （必要性）对任意，都有，故的值域为， 即在上的最小值为． 先证是严格增函数． 对任意，函数和的最小值分别为和， 则由最小值的定义，，故函数是增函数． 假设存在，使得，则对任意，均有， 从而方程的解有无限多个，与条件＂对任意，函数零点个数均有限＂矛盾． 故假设不成立，从而是严格增函数． 再证对任意，函数的最小值为． 假设存在使得，取，则的最小值为． 由于严格增，知．而，故，矛盾． 所以假设不成立，对任意，函数的最小值为． 另证：再证对任意，函数的最小值为． ．假设，则由在上的最小值为， 存在使得，故在上的最小值为． 取，则在上的最小值为， 故．但由为严格增函数，知，矛盾． 所以假设不成立，所以． 即对任意，函数的最小值为． 而对任意的值域为，故． 于是与是相同函数，所以是严格增函数． 【变式7-2】（25-26高三上·上海·期末）已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． (1)若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； (2)已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； (3)若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 【详解】（1）， 由解得， 故A是“P－可见”的. ， 由解得或， 故B不是“P－可见”的. （2）,， 则在有且仅有1解， 整理得，为此方程的解， 则在无解， 设， 对称轴， 当时，在单调递增， 由于，，则此时不符合题意， 当时，在单调递减， 由于，，则此时不符合题意， 当时， 由于，则需， 解得， 综上 . （3）任取，，则， 设，， 则， 由于函数的图像是一条连续不断的曲线，则函数的图像是一条连续不断的曲线. 必要性：若函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 则在有且仅有1个零点， 则时，恒正或恒负， 若恒正，即任取，， 则， 则， 则函数在上严格增， 同理若恒负，可得函数在上严格减. 充分性： 若函数在上严格增， 则任取，有， 则， 即， 则在有且仅有1个零点， 则函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 若函数在上严格减同理. 【变式7-3】（2025·上海金山·二模）若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. (1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； (2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； (3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 【详解】（1）取，， 此时，， 故函数是的“函数”，“点”为； (2)为的“函数”，其“点”组成集合，故， 设，函数为的“函数”，其“点”组成集合，故， 设，显然对任意，成立，①成立， 充分性，若，不妨设，此时，②成立，故②成立， 所以函数为的‘函数’，充分性成立； 必要性，若函数为的‘函数’，则存在，使得， 由于对任意，成立，故， 故，所以，充分性成立； 故“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； （3）定义域为R， ，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，恒成立， 又，取，， 满足且， 为的“函数”，此时， 当时，取， 故当为在处的切线方程时，才满足要求， ，故切线方程为， 令得， 由于，设，， 所以在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 当时，结合图象，可知单调递减且下凸， 对任意的，无法做到恒成立， 综上，实数的最大值为. 【变式7-4】（2025·上海黄浦·三模）若对于函数和，对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“函数”.（已知和定义域均为）. (1)证明：函数是函数的“1函数”； (2)若函数是函数的“函数”，求的取值范围； (3)若函数，函数为偶函数，函数是函数的“1函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”. 【详解】（1）因为，，所以，，则， 故，即恒成立， 故函数是函数的“1函数”. （2）因为，， 则，， 因为函数是函数的“函数”， 所以对任意的，，则， 令， 则， 且， 故当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 若函数是函数的“函数”， 则实数的取值范围是. （3）充分性：若存在常数使得恒成立， 则为偶函数，因为函数为偶函数，所以， 则，即所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是的1函数，因此，又，. 因此函数是函数的“1函数”， 所以，即恒成立，用代换有， 综上可知，记则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”. 【变式7-5】（2025·上海金山·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． (1)求证：函数是函数的“控制函数” (2)若存在实数，使得函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； (3)若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证““的充要条件是“为常值函数”． 【详解】(1)因为，所以， 故，即恒成立， 故函数是函数的“控制函数”； （2），则， 则， 因函数是函数的“控制函数”，则恒成立， 因， ①当时，，则在上单调递增， 当时，不符合题意舍去； ②当时，得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则恒成立即可， 则使得，则， 设，∴， 则得；得， 则在单调递减，在单调递增，则， 即，则，即， 即控制系数的取值范围是． (3)充分性：若存在常数使得恒成立， ∴，∴， 因为为偶函数，则， 可得，得，则，∴， 因，∴， 当时，恒成立，则充分性得证； 必要性：当时，， 则， 则为偶函数， 又是偶函数，则， 当时，，∴，则， 则，即，则； 综上可得，当时，“”的充要条件是“为常值函数”． 1.（2026·上海金山·二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 【详解】(1)是，理由：由， 由，得，从而有，即得， 即， 从而函数在区间上为封闭函数； （2）由，， 函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 根据题意在区间上不为单调函数，得， 从而函数在区间单调递减，在区间单调递增， 从而，， 由函数在区间上为封闭函数，即有， 从而，即， 那么，即得， 即的最大值为 ； (3)证明：由函数在区间上连续且为封闭函数，令， 从而函数在区间上连续， 函数在区间上为封闭函数， 从而，，即有，， 由函数在区间上连续，且， 故存在，使得，即， 假设存在，且，使得，， 则， 又因为任意的、，都有成立， 所以矛盾， 所以存在唯一的常数，使得， 数列满足，且， 当，那么，那么， ， 可知数列中的，且， 那么由，则， ， 由，所以， 则，即有. 故存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 2．（2025·上海·三模）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 【详解】(1)是，理由如下： 函数，求导得， ，恒成立， 所以是上的函数. （2）由为上的函数，， 得， 取，得，反之当时，在恒成立， 令，求导得，且的为离散的点， 因此为严格减函数，又，则， 又， 所以t的取值范围是：且. (3)证明：（充分性）对任意与恒成立，则对任意正整数，有：， 因此为上的函数，即充分条件成立； （必要性）即对任意正整数，有①， 记函数的最大值为， 先证明恒成立， 反证法，假设存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与①矛盾，因此假设错误，即； 再证明恒成立， 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知，但，则， 于是， 对任意，可取一个与有关的正整数，使得， 由②知：，因此必要性成立， 所以原命题正确． 3．（2026·上海·一模）定义：若函数满足在上的值域为（），则称为“根域同函数”． (1)试判断是否为“根域同函数”并说明理由； (2)若“根域同函数”为偶函数，求：的值域； (3)已知奇函数对任意均满足为“根域同函数”，幂函数是“根域同函数”的充要条件为点在上，求证：当时，的图象在下方． 【详解】(1)当时，，则， 所以为“根域同函数”. （2）由为偶函数，则， 即，则，即 ， 所以，又为“根域同函数”， 则在上的值域为，且， 而函数在上单调递增， 则方程在上有两个不相等的实数根， 即方程在上有两个不相等的实数根，设， 则，解得，又，则， 所以函数在上单调递减， 又时，，， 则函数的值域为. (3)因为对任意均为“根域同函数”， 所以对任意，函数在上的值域为，且， 则函数为单调函数，又为奇函数，则. 因为为幂函数，设，而为“根域同函数”的充要条件为点在上， 若点在上，则； 若为“根域同函数”， 则在上的值域为，且，， 当 时，函数在上单调递增， 则在上有两个不相等的实数根， 即在上有两个不相等的实数根，即， 此时，不满足题意； 当时，函数在上单调递减， 则，则，即， 此时，满足题意，则. 设，， 因为函数在和上均为增函数， 所以函数在和上为增函数， 因为，， 则时，，即， 此时的图象在下方． 4．（2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. (1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； (2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； (3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 【详解】(1)是，理由： 因为，， 所以，满足值域且， 即与π是构成函数的线性对； （2）由题意，，需满足， 代入 ​整理得： ， 因为，所以要求， 又，故，由等式可得：， 对任意都存在满足条件的，故， 所以的取值范围； (3)由是上的奇函数，可得，； 则，即是线性对， 由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对， 所以有， 因为定义在上，所以通过迭代可得：， 又由题设大前提，的值域， 若值域内存在正数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域内不存在正数； 若值域内存在负数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域不存在负数， 因此对任意，，问题得证. 5．（2026·上海黄浦·三模）对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． (1)已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； (2)已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值； (3)已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点． 【详解】（1）假设存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”． 由定义可得， 取，则，矛盾． 故不存在这样的函数． （2）因为是周期为的偶函数，且当时， 所以当时，因为是周期为的偶函数，且当时，，所以． 又因为是的“关联函数”，所以． 由，得．当时，． 令，得，所以或． 当时，或，故方程无解． 当时，在区间内，方程有4个解， 分别为， 因此，在内有2个解；之后每经过一个形如的区间，会增加4个解． 要至少有26个解，除开始的2个解外，还需增加24个解， 即需要6个这样的区间．第26个解为， 故的最小值为． （3）由题意，存在函数及，使得且 若，则由可得； 若，则由可得． 因此与的零点相同． 所以求方程的解，等价于求方程的解． 当时，， 令，得，因为，所以. 当时，，于是 因为，所以. 又因为，所以，从而 故时，方程无解． 综上，方程的解为 6．（2025·上海闵行·二模）已知函数在定义域上存在导函数．对于给定的一个有序实数对，若存在，使得，则称为在定义域上的一个“分割数对”． (1)已知，判断数对是否为在上的“分割数对”，并说明理由； (2)已知，若为在区间上的“分割数对”，求实数的取值范围； (3)已知，若有且仅有一个实数满足对任意，都不是在上的“分割数对”，求实数的值． 【详解】（1）是， 存在， 由函数新定义有满足. （2）令， 则， 令，得， 所以当时，，函数为递减函数；当时，，函数为递增函数， 所以在处取得极小值，也是最小值， 所以在区间上的值域为， 若为在区间上的“分割数对”，既要满足在区间上的函数值有正有负， 所以， 即实数的取值范围为. （3）对任意，考虑， 则不是在上的“分割数对”等价于或恒成立， 显然，， 由于，显然， 令， 因为，则， 所以，结合函数的性质可知“恒成立”等价于“对任意，恒成立”， 即在上恒成立， 即， 由题意，满足的实数有且仅有一个，则. 7．（2025·上海黄浦·一模）已知函数的定义域为D，对于给定实数t，定义集合． (1)若，求； (2)若，求证：“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t，使得”． (3)若，，且对于任意的，都有，求实数a的取值范围． 【详解】（1）， 若，则， 所以， 所以 (2)充分性：因为，， 所以，所以，因为，所以是周期函数； 必要性：若是周期函数，设是的周期，则， 所以，， 所以存在，使. （3）因为，，所以，， 所以在上单调递增，所以， 若，则，则不满足； 所以，设， 因为， 当单调递减；当单调递增； 所以，即， 设，则， 当单调递增；当单调递减； 又，所以； 所以. 8．（2025·上海金山·一模）现给出“函数”的定义与性质． 定义：若函数在区间上连续，且对于区间内任意两数，如果都有成立，则称函数为区间上的“函数”； 性质：若函数为区间上的“函数”，则对于任意和满足的正数，有成立． (1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“函数”（不需要说明理由） ①； ②． (2)若函数为区间上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，记为函数的图像与轴所围成的图形面积，当且时，求的最小值． 【详解】（1）设，取 则，， 则， 因，则，， 从而，，则， 即，当且仅当时取等号， 则不是定义域上的“U函数”； 设，， ，， ， 当且仅当时取等号，则是定义域上的“U函数”； （2）设，因是上的“U函数”， 则对，， 注意到，则； （3）由题可得， 当时，，则； 当，，则； 当时，，则； 当，，则； 依次类推可得：，， ，. 据此可得大致图像如下： 则， 则. 设，则 取， 因，则，，， ，从而， 即为区间上的“U函数”. 由题干提供信息可得：取， 则 9．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. (1)设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； (3)设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 【详解】(1)函数和函数为T函数，理由：，， ，， ，且， 所以函数和函数的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数； （2），， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 函数和函数不是T函数， 所以，即， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是； （3）是减函数，又，所以， ，， 是上的增函数， 依题意，存在，使得①且②， 由①得，代入②得， 整理得，即③， 设，则③式为， 易知是增函数，所以，，， 设， 则，时，，递增，时，，递减， 所以，又， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是． 10．（2026·上海长宁·二模）设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. (1)设，，若，求实数的值； (2)设，，若，且，求的值； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 【详解】（1）由题意知函数，在区间上的最小值为， 由题意得， ①当时，恒成立， 在区间上单调递增，无最小值，不满足题意； ②当时，当时，， 在区间上单调递减， 当时，， 此时在区间上单调递增， 此时，满足题意； ③当 时，恒成立， 在区间上单调递减，无最小值，不满足题意； 综上所述，. （2）由题意得, 当 或 时， ，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时， 因为，所以， 又在区间上单调递减，即， 所以，故； ②当 时，在区间 上单调递减， 此时，满足； ③当 时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 因为 ，在区间上单调递减， 所以，则，得到，解得， 综上所述：或 或. (3)必要性：若在区间上严格增， 设， 因为在区间上严格增， 所以， 又，， 所以，又在区间上严格增， 所以，必要性成立； 充分性：假设在上不严格增， 则存在，使得， 令，设，， 由函数在区间连续， 所以必存在，使得， 令，则，， 由于，函数在区间上不可能是严格增函数， 若函数在区间上为常数，可取， 则，与题设矛盾；若函数在区间上不为常数， 则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到， 故是的真子集，即与题设矛盾. 因此假设不成立，在上严格增，充分性成立. 综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、， 当，且时，均有.” 11．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数与实数，定义集合 (1)若，求； (2)若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； (3)是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 【详解】（1）由题意得， 即， 即，化简得， 因为，所以，所以； （2）法一：由题意得， 即， 即， 当时，， 而， 所以，解得， 因为，所以； 法二：由题意得， ， ， 即， 整理为关于的二次函数恒成立问题， 该二次函数开口向上（），对称轴， 要对所有恒正，需判别式： 可得， 化简得， 令，式子变为， 该二次函数开口向上，对称轴， 最小值处， 结合，解得； （3）当时，， 故与同号， 取得， 不妨设，则， 由连续性与零点定理可证，对任意， 当时，， 取得， 因，故， 同理可证：对任意，即对任意， 记，则对任意， 结合， 得①， 对任意，令， 代入的不等式得， 因，故， 结合，得②， 结合①②，对任意有， 化简得，但左边是开口向上的二次函数， 当时趋向，不可能恒成立，矛盾. 因此不存在满足条件的函数. 12．（2026·上海·三模）设函数，其中，定义：对于给定的一组有序实数，若对任意，都有，则称为函数的“魅力数组”． (1)若，判断是否为函数的“魅力数组”，并说明理由； (2)已知为的导函数，讨论函数的单调性； (3)若对任意，都是函数的“魅力数组”，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题可知，，将代入，得， 即 ， 当时， ， 则 ， 故不是为函数的“魅力数组”. （2）由题意可得， 令 则，因为，故，讨论分子即可， 当，即，则，， 故在上单调递增； 当，即时，当时，即，， 故在上单调递增； 当时，即，，且， 故在上单调递减. （3）由题可知， 构造辅助函数， 则 ， 由题目条件可得任意，当时，或， 当时，，故是的一个极值点且为最值点， 当时，则是的最小值点，故的左侧小于等于，右侧大于等于， 当时 ，当时 ， 得出在上单调递增； 当时，则是的最大值点，故的左侧大于等于，右侧小于等于， 当时 ，当时 ， 得出在上单调递减， 又因为任意，都是函数的“魅力数组”， 则必须在上单调，再根据小问（2）结论时在上单调递增；时在上单调递增，在上单调递减，得出的取值范围为. 13．（2026·上海·三模）设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数，恒有，则称为函数． (1)判断函数是否为函数，说明理由； (2)已知是实数，函数是函数，求的最大值； (3)若是定义域为的函数，求证：“存在实数，使得恒成立”是“存在非零实数，使得恒成立”的充要条件． 【详解】(1)不是函数， 说明如下（举反例）：记，取， 则 即， 所以不是函数； （2）记， 当时，当时，， 对任何实数以及中的任意两个实数， 即， 所以是函数． 当时，取 ， 又， 所以 即， 所以 不是函数． 综上所述，的最大值为1． (3)先证充分性，若“存在实数，使得恒成立”， 则有，则恒成立． 充分性得证． 再证必要性，若“存在非零实数，使得恒成立”， 不妨设，记，则有 ， 因为， ， 故对于任意整数， 有 ，假设存在实数，使得， 显然 ，则存在整数，使得 ， 一方面，取，则 ， ， 即， 另一方面，取，则， 所以，即，所以， 与矛盾，假设不成立， 所以恒成立，必要性得证． 1．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【详解】（1）由定义得，. （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 2．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 3．（2024·上海·高考真题）记 (1)若，求和; (2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. (3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【详解】（1）由题意得:； (2)由题意知，记，有或2， 0 2 正 0 负 0 正 极大值 极小值 现对分类讨论: 当，有为严格增函数，因为，此时，符合条件; 当时，，先减后增，， 因为取等号)，所以， 此时，符合条件，且时，； 当时，，在严格增，在严格减，在严格增， ，因为， 此时，，则，则成立; 综上可知，对于任意，都有，且存在，使得. (3)必要性:若为偶函数，则， 当，因为，故; 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为，中最小元素为， 又 则对任意成立，则 ， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， ， 综上，任意，即是偶函数. 故"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 4．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. (1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； (2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？ (3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 【详解】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）由题设可得， 则， 因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而， 故在点处的切线方程为. 而，故， 故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③+④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 5．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【详解】（1）函数不具有“性质”，理由如下： 例如当时，显然成立， ，根据指数函数的单调性可知， 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”； （2）因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 当时，由， 当时，由， 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 若时，则， 由， 若时，则， 由， 因此， 综上所述：当且仅当时，满足条件； （3）充分性：若具有“性质”，则是偶函数. 若存在，，不妨设， 记，即， 因为函数的值域为， 所以， 若，则有， 若，则有， 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 必要性：若是偶函数，则具有“性质”. 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”. 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 6．（2026·上海·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 【详解】（1）由题意得， 则当，， 则恒成立， ， 则恒成立， 故是为排列. （2）若，则1，2，3的全排列均满足题意， ①，则有：，此时两个不等式显然成立． ②，则有：，即. ③，则有：，即. ④，则有：，即. ⑤，则有：． ⑥，则有：，即. 则上述不等式均要成立，取它们的交集有， 即，即对恒成立， 分离参数得，因为当时，， 所以. (3)首先证明第1个结论， 观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立， 那么排列都将是排列，此时至少为4． 当时，即， 因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数， 则恒成立， 又因为函数在上单调递增， 则在区间上，，. 若恒成立，则， 则只需，即，因为对任意的，， 则，则，则解得， 当时，即， 因为严格递减，所以且， ， 只要，就有， 则可取即可满足题意． 即存在，使得. 再证明第2个结论. 假设对于任意的，都有， 因为（2）中①排列始终满足条件， 则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列． 首先，我们证明不可能恒成立： 假设对于某个，在上恒有． 即， 即， 取．由于严格递增， 令， 则， 于是对任意正整数： ， 当时，，这与矛盾！ 因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列． 接下来只剩②排列，其需满足， ⑤排列，其需满足， ⑥排列，其需满足， 下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真． （i）若对任意，都有，即都有， 对于任意和， 则， 当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到， 所以恒成立， 则对所有的恒成立. 则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立， 则，与假设矛盾！ （ii）并非对于所有都有，即， 则必定存在，使得， 设， 因为是严格单调递增的连续函数， 则对于已知的，总可以找到，使得， 即，即， 同时，因为严格递增且，必有． 即， 即，即， 则可取充分小的使得，即存在，使得， 所以＂恒成立＂这个命题是假的． 既然为假，那么＂恒成立＂必须为真． 即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足， 则对于，在时都有： ， 即， 取，则对于任意： ， 因为严格递增，则． 则 又因为， 则 即，对任意都成立． 取，因为，则， 则对于内的任意，都满足， 因为，故有， 但是，之前我们得到， 即，则， 则有：， 这与我们的假设相矛盾． 综上，原命题成立，必然存在，使得． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $