山东省日照第一中学2026届高三上学期1月学情检测数学试题

2026日照市第一中学高三1月学情检测数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，，”的否定为　　 A．， B．，， C．，， D．，， 2．已知向量，则在上的投影向量为　　 A． B． C． D． 3．已知，则的虚部为　　 A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点，若△的周长为12，则的离心率为　　 A． B． C． D． 5．当，时，曲线与的交点个数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 6．鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计．为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为、公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为　　 A．9 B．10 C．11 D．12 7．若从小明、小红、小刚等6名同学中选出3名同学分别到，，三个班级进行学习经验分享，则小明、小红、小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为　　 A． B． C． D． 8．已知，，，为曲线上两个不同的点，曲线在点，处的切线相交于点，，且这两条切线的斜率之积为1，则的最小值为　　 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）在△中，内角，，所对的边分别为，，，若，，且，则　　 A．△的外接圆直径为 B． C．△的面积为3 D．△的周长为 （多选）10．（6分）农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税．某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入服从正态，已知的正态密度曲线的峰值高于的正态密度曲线的峰值，则　　 A． B． C． D．， （多选）11．（6分）已知正三棱柱的侧面为正方形，其各个顶点均在球的表面上，点，分别为，的中点，三棱锥的体积为，则　　 A．平面 B．球的表面积为 C．异面直线与夹角的余弦值为 D．点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．样本数据25，60，14，32，46的分位数为　　 ． 13．若关于的方程在区间，上有实数根，则的取值范围为　　 ． 14．已知函数的定义域为，若，（3），则 　　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。 15．已知数列满足，且是以为公比的等比数列． （1）求数列中的最值； （2）求数列的前项和． 16．如图，在四棱锥中，平面平面，底面与侧面均为边长为2的正多边形，点是线段的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．已知函数． （1）求函数，，的单调区间； （2）证明：0为的极小值点． 18．在平面直角坐标系中，，为双曲线上两不重合的动点，点，且当，，，四点共线时，． （1）求的标准方程； （2）若直线与的渐近线垂直，且经过点，求直线与两坐标轴交点的坐标； （3）若，均在的右支上，且线段是△的角平分线，求直线的方程． 19．已知一个非空数集，对，，且，记为去掉，后的集合，若有或，则称是一个好集合．对于一个非空数集，对，，且，记为去掉，后的集合，若有或或，则称是一个坏集合． （1）证明：集合，2，3，不是好集合； （2）若是好集合，证明：存在一个与中元素个数相同且仅由正实数构成的坏集合； （3）证明：不存在有限的好集合，满足中的元素均为正实数，且中的元素个数为大于5的奇数． 2026日照市第一中学高三1月学情检测数学试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C D B B D B 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 ABD AC ABD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，，”的否定为　　 A．， B．，， C．，， D．，， 解：，，为全称量词命题， 由全称命题的否定是特称命题，原命题的否定是，，． 故选：． 2．已知向量，则在上的投影向量为　　 A． B． C． D． 解：因为向量， 所以，， 所以在上的投影向量为． 故选：． 3．已知，则的虚部为　　 A． B． C． D． 解：， 故，虚部为． 故选：． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点，若△的周长为12，则的离心率为　　 A． B． C． D． 解：椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点， 由椭圆的定义可知△的周长为：， 则，又，所以， 则离心率． 故选：． 5．当，时，曲线与的交点个数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 解：曲线与的交点的横坐标就是方程的根， 而方程可化为，结合正切函数的性质，可得， 分别取、、0，可得或或，该方程在，上有3个根， 因此，当，时，曲线与有3个交点． 故选：． 6．鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计．为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为、公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为　　 A．9 B．10 C．11 D．12 解：根据题意可得每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列． 设该鬼工球的层数为，则前项和， 所以， 解得． 故选：． 7．若从小明、小红、小刚等6名同学中选出3名同学分别到，，三个班级进行学习经验分享，则小明、小红、小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为　　 A． B． C． D． 解：从小明、小红、小刚等6名同学中选出3名同学分别到，，三个班级进行学习经验分享， 可得排列方法共有种， 而小明、小红、小刚三名同学不去班，且小刚不去班， 可得去班的方案有：种；去班的方案有：种；去班的方案有：种； 所以，满足条件的方案数是：． 所以所求概率是． 故选：． 8．已知，，，为曲线上两个不同的点，曲线在点，处的切线相交于点，，且这两条切线的斜率之积为1，则的最小值为　　 A． B． C． D． 解：设，，，， 易知在，处的切线方程， 在，处的切线方程， 这两条切线的斜率之积为1，， 切线相交于点，， 联立解得，， ， 即， 当时取等， 的最小值为． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）在△中，内角，，所对的边分别为，，，若，，且，则　　 A．△的外接圆直径为 B． C．△的面积为3 D．△的周长为 解：由于，根据正弦定理可得外接圆直径，所以选项正确； 根据，可得， 因此等价于， 因此， 根据正弦定理可得，所以选项正确； 根据余弦定理可得，代入， 可得， 所以三角形的面积为，所以选项错误， 因此三角形的周长为，所以选项正确． 故选：． （多选）10．（6分）农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税．某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入服从正态，已知的正态密度曲线的峰值高于的正态密度曲线的峰值，则　　 A． B． C． D．， 解：根据正态分布的对称性得， 而，故选项正确，选项错误； 由的正态密度曲线的峰值高于，峰值越高对应方差越小， 即，故，故选项正确； 如图，由于的方差更小，所以其正态密度曲线递减速度更快， 当取较大的正数时，故选项错误． 故选：． （多选）11．（6分）已知正三棱柱的侧面为正方形，其各个顶点均在球的表面上，点，分别为，的中点，三棱锥的体积为，则　　 A．平面 B．球的表面积为 C．异面直线与夹角的余弦值为 D．点到直线的距离为 解：因为正三棱柱的侧面为正方形， 所以正三棱柱的所有棱长均相等， 因为点，分别为，的中点， ，分别为，的中点，所以，因为平面，平面， 所以平面，故正确； 设正三棱柱的棱长为， 则到平面的距离为， 故三棱锥的体积为， 解得， 又球的球心一定在正三棱柱上、下底面中心连线的中点上， 则球的半径为， 故球的表面积为，故正确； 取上靠近的四等分点， 则异面直线与的夹角等价于， ，， 所以，故错误； 又，，， 故△是以为直角的直角三角形， 故到直线的距离即为，故正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．样本数据25，60，14，32，46的分位数为　28.5　 ． 解：根据题意，先将数据从小到大排列为14，25，32，46，60， 又， 所以分位数为． 故答案为：28.5． 13．若关于的方程在区间，上有实数根，则的取值范围为　，　 ． 解：因为关于的方程在区间，上有实数根， 所以方程在区间，上有实数根， 令，，， 则，，， 当，时，， 当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 又，，（1），（2）， 所以函数在，的值域为，， 故的取值范围为，． 故答案为：，． 14．已知函数的定义域为，若，（3），则 　2024　 ． 解：因为函数的定义域为，，（3）， 所以， 所以， 所以（3）． 故答案为：2024． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。 15．已知数列满足，且是以为公比的等比数列． （1）求数列中的最值； （2）求数列的前项和． 解：（1）因为数列满足，且是以为公比的等比数列， 所以， 所以数列是以为首项、为公比的等比数列． 所以， 所以， 又数列单调递减， 所以数列有最大值，无最小值． （2）由（1）可得， 所以， 所以， 所以， 所以． 16．如图，在四棱锥中，平面平面，底面与侧面均为边长为2的正多边形，点是线段的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 解：（1）根据题意可知，平面平面，底面与侧面均为边长为2的正多边形， 因为侧面为正三角形，取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 由于是线段的中点，故； （2）以为坐标原点，，，的正方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，2，，，2，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，故平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17．已知函数． （1）求函数，，的单调区间； （2）证明：0为的极小值点． 解：（1），易得的定义域为， ， ，，故，令，可得， 当时，，当时，， 的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）证明：由题意可知，的定义域为，且， 设函数，则， 当时，， 可得， 故在区间上单调递增，又，即， 故当时，，即；当时，，即， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 是的极小值点． 18．在平面直角坐标系中，，为双曲线上两不重合的动点，点，且当，，，四点共线时，． （1）求的标准方程； （2）若直线与的渐近线垂直，且经过点，求直线与两坐标轴交点的坐标； （3）若，均在的右支上，且线段是△的角平分线，求直线的方程． 解：（1），，，四点共线时，，根据双曲线对称性， ，关于原点对称，不妨设在的右侧，即，在圆上， 又，， 与圆联立， 得，， 代入，， 双曲线的标准方程为． （2），渐近线为或， 直线与的渐近线垂直，且经过点， 当渐近线为时，直线， 与轴交点为，轴交点为， 当渐近线为时，直线， 与轴交点为，轴交点为， 综上，直线与两坐标轴交点的坐标为和或和． （3）如图， 根据题意直线斜率存在，设，，，，， 联立， ，， 解得或， ， ， 设直线，，的倾斜角分别为，，， 是△的角平分线， ， ， ， 又点在上，所以， 故， 整理得， 解得或， 又或，所以， 故直线的方程为． 19．已知一个非空数集，对，，且，记为去掉，后的集合，若有或，则称是一个好集合．对于一个非空数集，对，，且，记为去掉，后的集合，若有或或，则称是一个坏集合． （1）证明：集合，2，3，不是好集合； （2）若是好集合，证明：存在一个与中元素个数相同且仅由正实数构成的坏集合； （3）证明：不存在有限的好集合，满足中的元素均为正实数，且中的元素个数为大于5的奇数． 【解答】证明：（1）集合，2，3，，取，，则，， 此时且，故不是好集合； （2）记集合，，由指数函数的值域及单调性可知，中元素均为正数，且与集合中元素个数相同， 下面证为坏集合， 因为为好集合，所以，，且，都有或，其中为去掉，后的集合， 设为去掉，后的集合，此时，，， 若，则；若，则与必然有一个属于，故为坏集合． 综上可知，若是好集合，则存在一个与中元素个数相同且仅由正实数构成的坏集合； （3）假设存在这样的有限集，使得中的元素均为正实数，元素个数为大于5的奇数，且为好集合， 则设，，，，且，， 因为，2，，，设为集合去掉元素，，，2，，后构成的集合， 所以只能，考虑，，，，这个数均属于，且各不相同且均小于， 所以，，，， 因为，故， 若，即，与假设矛盾，故， 又因为，，，这个数属于，且均小于， 所以，，，即，，2，，， 再考虑集合中去掉与记为集合， 因为，所以，即，所以只能， 又，故矛盾，所以原假设不成立． 即不存在有限的好集合，满足中的元素均为正实数，且中的元素个数为大于5的奇数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $