第1章 有理数 单元讲练测 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第1章 有理数 单元讲练测 浙教版《数学》七年级上册（2024年新版）· 1.1-1.4 · 配单元综合检测卷（满分100分） 单元导航 【本章地位】 有理数是小学所学的自然数、小数（有限小数与无限循环小数）向负数方向的第一次扩充，是后续学习有理数的运算、实数、代数式与方程的根基；数轴则是把“数”与“形”联系起来的第一座桥梁，数形结合的思想方法从这里起步。 【学习目标】 1. 理解正数、负数的意义，能用正数和负数表示相反意义的量；掌握有理数的两种分类（按定义分、按性质分）。 2. 知道数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），会画数轴，能用数轴上的点表示有理数，能读出数轴上的点所表示的数。 3. 理解绝对值与相反数的概念，会求一个数的绝对值与相反数，知道绝对值的非负性。 4. 掌握有理数大小的比较方法（数轴法、绝对值法），能正确比较有理数的大小。 【重难点提示】（依据浙教版教师教学用书七上第1章教学目标整理） 重点：有理数的分类；数轴的画法及用数轴表示有理数；求一个数的绝对值与相反数；有理数的大小比较。 难点：绝对值的几何意义与代数定义的联系；两个负数比较大小时“绝对值大的反而小”；0 的特殊性（0 既不是正数也不是负数、|0| = 0、0 的相反数是 0）。 第一部分 知识梳理 一、1.1 从自然数到有理数 1. 正数与负数：比 0 大的数叫做正数，在正数的前面加上“−”号的数叫做负数。0 既不是正数，也不是负数。 2. 相反意义的量：在表示具有相反意义的量时，把其中一种量规定为正的，用正数表示；与它意义相反的量就用负数表示。例如收入记为“+”，支出就记为“−”。 3. 有理数：整数与分数统称有理数。有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以也属于分数。 4. 有理数的两种分类： 按定义分：有理数 ⎧ 整数（正整数、零、负整数） ⎩ 分数（正分数、负分数） 按性质分：有理数 ⎧ 正有理数 ⎨ 零 ⎩ 负有理数 二、1.2 数轴 1. 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2. 三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 3. 画法口诀：一画直线，二定原点，三取正方向（通常取向右），四统一单位长度。 4. 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。正数用原点右侧的点表示，负数用原点左侧的点表示，0 用原点表示。 三、1.3 绝对值与相反数 1. 绝对值的几何意义：数轴上表示数 a 的点与原点之间的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。 绝对值的代数定义 即：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 2. 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。数 a 的相反数是 ；0 的相反数是 0。互为相反数的两个数的绝对值相等。 3. 非负性：，绝对值最小的数是 0。 四、1.4 有理数的大小比较 1. 数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数。 2. 绝对值法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。例如：因为 |−3| = 3 > |−1| = 1，所以 −3 < −1。 第二部分 分节精讲·例题 1.1 从自然数到有理数 【知识要点】相反意义的量与正负数；有理数的概念与两种分类；0 的特殊性。 【例1】如果收入 500 元记作 +500 元，那么支出 300 元记作多少元？“0”在这里表示什么意义？ 【分析】收入与支出是相反意义的量，规定收入为正，则支出为负；0 表示与基准相等的情形。 【解答】支出 300 元记作 −300 元；“0”表示既没有收入也没有支出（收支恰好平衡）。 【点拨】用正负数表示相反意义的量，先要规定哪个量为正；0 是正数与负数的分界，它既不是正数，也不是负数。 【例2】把下列各数分别填入相应的集合：5，，0，0.75，−8，+2.3。　整数集合：{　　}；分数集合：{　　}；正有理数集合：{　　}；负有理数集合：{　　}。 【分析】整数包括正整数、零、负整数；0.75 和 +2.3 是有限小数，都是分数； 是负分数。判断正负时先看符号。 【解答】整数集合：{5，0，−8}；分数集合：{，0.75，+2.3}；正有理数集合：{5，0.75，+2.3}；负有理数集合：{，−8}。 【点拨】有限小数都属于分数，因此是有理数；0 是整数，但既不是正数，也不是负数，分类时最容易漏掉它。 1.2 数轴 【知识要点】数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）；用数轴上的点表示有理数；读出数轴上的点表示的数。 【例3】画一条数轴，并在数轴上表示出 −2、0、1.5、3。 【分析】先画直线并取原点，再规定向右为正方向，然后统一单位长度；负数画在原点左侧，正数画在原点右侧。 【解答】如题图，四个数在数轴上自左向右依次为 −2、0、1.5、3： 图1 例3：在数轴上表示 −2、0、1.5、3 【点拨】画数轴时三要素缺一不可，同一数轴上单位长度必须统一。 【例4】如图，数轴上有 A、B、C、D 四个点，写出它们分别表示的数。 图2 例4：读出数轴上的点表示的数 【分析】先看点在原点的左侧还是右侧确定符号，再数一数它到原点的距离是几个单位长度。 【解答】点 A 表示 −3，点 B 表示 −1.5，点 C 表示 2，点 D 表示 4。 【点拨】原点左侧的点表示负数，右侧的点表示正数；距原点 1.5 个单位长度的点也对应分数（小数），数轴上的点不只能表示整数。 1.3 绝对值 【知识要点】绝对值的几何意义与代数定义；相反数；绝对值的非负性。 【例5】求 |−3|、|+2|、|0| 的值，并结合数轴说明 |−3| 的几何意义。 【分析】绝对值表示点到原点的距离，距离不区分方向，所以结果一定是非负数。 【解答】|−3| = 3，|+2| = 2，|0| = 0。如图，数轴上表示 −3 的点到原点的距离是 3，所以 |−3| = 3；同理表示 2 的点到原点的距离是 2。 图3 例5：|−3| 与 |2| 表示各自到原点的距离 【点拨】正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0；绝对值不可能为负数。 【例6】求下列各数的相反数：−4，2.5，0。 【分析】求一个数的相反数，只需改变它的符号；0 的相反数是 0。 【解答】−4 的相反数是 4；2.5 的相反数是 −2.5；0 的相反数是 0。 【点拨】a 与 −a 互为相反数；互为相反数的两个数到原点的距离相等，即它们的绝对值相等。 1.4 有理数的大小比较 【知识要点】数轴法（右边的数总比左边的大）；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 【例7】比较下列每组数的大小：① −3 与 −1；② −2.5 与 0；③ 2 与 −10。 【分析】异号（含 0）的两数直接用“正数＞0＞负数”；两个负数先分别求绝对值，再按“绝对值大的反而小”判断。 【解答】①因为 |−3| = 3，|−1| = 1，3 > 1，所以 −3 < −1；②因为负数都小于 0，所以 −2.5 < 0；③因为正数大于一切负数，所以 2 > −10。 【点拨】两个负数比较大小时，“绝对值大”本身并不意味着这个负数大——恰好相反。 【例8】在数轴上表示出 −3、−1、0、2，并用“<”把它们连接起来。 图4 例8：用数轴比较 −3、−1、0、2 的大小 【分析】把各数标到数轴上后，从左到右的顺序就是从小到大的顺序。 【解答】如图，自左向右依次为 −3、−1、0、2，所以 −3 < −1 < 0 < 2。 【点拨】数轴法最直观，多个数比较大小时优先使用；最后一定要用“<”把数从小到大连接。 第三部分 分层训练 1.1 从自然数到有理数 【基础达标】 1.（4分）如果水位上升 0.8 m 记作 +0.8 m，那么水位下降 0.3 m 记作 　　　　　。 2.（4分）下列各数中，是负数的是（　　） A. +2　　B. −1.5　　C. 0　　D. 9 3.（4分）在数 −6，3.8，0，，+9 中，正数有 　　　　，负数有 　　　　。 4.（4分）判断：“一个数如果不是正数，就一定是负数。”这句话 　　　　（填“对”或“不对”）。 【能力提升】 5.（8分）把下列各数分别填入相应的集合：−4，2.5，0，−0.6，+7，。正数集合：{　　}；负数集合：{　　}。 6.（8分）一种零件的标准直径为 30 mm，检验记录中“+0.05”与“−0.05”分别表示什么意思？ 【拓展挑战】 7.（8分）小明认为“带正号的数是正数，带负号的数是负数”。你同意他的说法吗？请举例说明理由。 1.2 数轴 【基础达标】 1.（4分）数轴的三要素是 　　　、　　　、　　　。 2.（4分）下列关于数轴的说法，正确的是（　　） A. 数轴上的正方向只能向左　　B. 数轴必须具备原点、正方向和单位长度三个要素　　C. 数轴上的点只能表示正数和 0　　D. 单位长度不统一的数轴也是规范的数轴 3.（4分）在数轴上，表示 −4 的点在表示 −1 的点的 　　　边。 【能力提升】 4.（8分）画一条数轴，并在数轴上表示下列各数：−2.5，0，+1，3.5。 5.（8分）点 P 从数轴上表示 2 的点出发，沿数轴向左移动 5 个单位长度到达点 Q，点 Q 表示什么数？ 【拓展挑战】 6.（8分）数轴上，表示 −5 的点与表示 −1 的点相距 　　　个单位长度。 1.3 绝对值 【基础达标】 1.（4分）−7 的相反数是 　　　。 2.（4分）|−6| = 　　　；|+1.5| = 　　　；|0| = 　　　。 3.（4分）下列说法中，正确的是（　　） A. 绝对值等于它本身的数只有 0　　B. 相反数等于它本身的数只有 0　　C. 绝对值最小的数是 1　　D. 任何数的绝对值都是正数 【能力提升】 4.（4分）化简：|−2.8| = 　　　；|+3| = 　　　。 5.（4分）数轴上，到原点的距离等于 4 的点表示的数是 　　　。 6.（4分）若 |a| = 0，则 a = 　　　。 【拓展挑战】 7.（8分）若 |a| = ，那么 a 可以是什么数？请说明理由。 1.4 有理数的大小比较 【基础达标】 1.（4分）比较大小（填“>”“<”或“=”）：−5 　　 −2；0 　　 −0.1； 　　 。 2.（4分）下列各数中，最小的是（　　） A. −3　　B. −1　　C. 0　　D. 1 3.（4分）大于 −4 且小于 2 的整数共有 　　　个。 【能力提升】 4.（8分）把下列各数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接：−2，1.5，0，−3，−0.5。 5.（8分）在数轴上，表示 −2 的点与表示 +1 的点，哪一个更靠近原点？请说明理由。 【拓展挑战】 6.（8分）若 |m| = 4，|n| = 3，且 m < n，求 m、n 的值。 第四部分 单元综合检测卷 满分：100分　建议时间：60分钟 【答题要求】选择题、填空题直接写出结果；解答题须写出必要的说理或画图过程。 一、选择题（每题4分，共24分） 1.（4分）下列各数中，是负分数的是（　　） A. +3　　B. 　　C. 0　　D. −2 2.（4分）数轴上，到原点的距离等于 3 个单位长度的点表示的数是（　　） A. 3　　B. −3　　C. 3 或 −3　　D. 6 3.（4分）−4 的相反数是（　　） A. 4　　B. −4　　C. 　　D. 4.（4分）下列各数中，绝对值最小的是（　　） A. −5　　B. −0.5　　C. 2　　D. −3 5.（4分）下列大小比较正确的是（　　） A. −3 > −1　　B. −2 < −5　　C. 0 < −1　　D. −0.5 < −0.4 6.（4分）下列说法中，正确的是（　　） A. 最小的整数是 0　　B. 任何数的绝对值都大于 0　　C. 负数没有绝对值　　D. 任何有理数都可以用数轴上的点表示 二、填空题（每题4分，共16分） 7.（4分）如果节约用水 10 吨记作 +10 吨，那么浪费 6 吨记作 　　　　吨。 8.（4分）|−8| = 　　　。 9.（4分）绝对值等于 6 的数是 　　　　。 10.（4分）数轴上，表示 −1 的点与表示 2 的点相距 　　　　个单位长度。 三、解答题（共60分） 11.（10分）把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”连接：−3，−0.5，0，2。 12.（15分）求下列各数的绝对值和相反数：−6，2.5，0。 13.（15分）质检员从一批标重 500 g 的大米中抽取 4 袋检测，超过标重的克数记为正数，记录如下：+5，−3，+2，−4。（1）哪些袋比标重多？哪些袋比标重少？（2）哪一袋最接近标重？请说明理由。 14.（20分）如图，数轴上有三个点 A、B、C。（1）A、B、C 三点分别表示什么数？（2）点 B 与点 C 表示的数哪个大？（3）点 A 与点 C 表示的数，哪个数的绝对值大？ 图5 第14题图 第五部分 参考答案 一、1.1 从自然数到有理数 1. −0.3 m。下降与上升意义相反，故记作负。 2. B。−1.5 小于 0，是负数；0 既不是正数也不是负数。 3. 正数：3.8，+9；负数：−6，。 4. 不对。除正数、负数外还有 0，0 既不是正数，也不是负数。 5. 正数集合：{2.5，+7}；负数集合：{−4，−0.6，}。 6. “+0.05”表示该零件直径比标准直径 30 mm 大 0.05 mm；“−0.05”表示比标准直径小 0.05 mm，即直径允许在（30±0.05）mm 范围内波动。 7. 不同意。判断一个数是不是正数（负数），要看它比 0 大还是比 0 小，而不是只看记号。例如 0 既不是正数也不是负数；规定“收入为正”时，支出 100 元记作 −100 元，虽然带负号，它表示的是支出这一相反意义的量。 二、1.2 数轴 1. 原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 2. B。数轴通常取右方向为正方向，且同一数轴上单位长度必须统一；数轴上的点可以表示任何有理数（也包括 0 与负数）。 3. 左。因为 −4 < −1，数轴上越小的数越靠左。 4. 画图要点：直线、原点、向右为正方向、统一单位长度，缺一不可。−2.5 在原点左侧 2.5 个单位处，0 即原点，+1 在原点右侧 1 个单位处，3.5 在原点右侧 3.5 个单位处。 5. 向左移动是往数变小的方向。从表示 2 的点向左数 5 个单位长度，经过 0 后再数 3 个单位，点 Q 表示 −3。 6. 4。从 −5 到 −1 依次经过 −4、−3、−2，共相距 4 个单位长度。 三、1.3 绝对值 1. 7。只有符号不同的两个数互为相反数。 2. 6；1.5；0。 3. B。A 中正数的绝对值也等于它本身；C 中绝对值最小的数是 0；D 中 0 的绝对值是 0，不是正数。 4. 2.8；3。 5. 4 或 −4。到原点距离为 4 的点，原点左右各有一个。 6. 0。0 的绝对值是 0，也是绝对值最小的数。 7. a 可以是负数或 0（非正数）。理由：当 a < 0 时，a 的绝对值是它的相反数 −a，等式成立；当 a = 0 时，|0| = 0，−0 = 0，等式也成立；当 a > 0 时 |a| = a ≠ −a，不成立。 四、1.4 有理数的大小比较 1. −5 < −2；0 > −0.1； < 。理由：两个负数比较大小，绝对值大的反而小，|−1/2| = 1/2 > |−1/3| = 1/3。 2. A。负数 < 0 < 正数，负数中绝对值大的反而小，−3 最小。 3. 5 个，分别是 −3、−2、−1、0、1。 4. −3 < −2 < −0.5 < 0 < 1.5。 5. 表示 +1 的点更靠近原点。因为 |−2| = 2，|+1| = 1，而 1 < 2，绝对值小表示到原点的距离近。 6. 由 |m| = 4 得 m = 4 或 m = −4；由 |n| = 3 得 n = 3 或 n = −3。若 m = 4，则 4 比 3、−3 都大，不满足 m < n，舍去；所以 m = −4，此时无论 n = 3 还是 n = −3，都有 −4 < n，符合条件。故 m = −4，n = 3 或 n = −3。 五、单元综合检测卷 （一）选择题 1. B。 是负分数；−2 是负整数，0 既非正也非负。 2. C。到原点距离为 3 个单位长度的点在原点左右各有一个，表示 3 或 −3。 3. A。−4 与 4 只有符号不同，互为相反数。 4. B。|−5| = 5，|−0.5| = 0.5，|2| = 2，|−3| = 3，最小的是 0.5。 5. D。两个负数比较大小，绝对值大的反而小：|−0.5| = 0.5 > |−0.4| = 0.4，所以 −0.5 < −0.4；A 应为 −3 < −1；B 应为 −2 > −5；C 应为 0 > −1。 6. D。A 中负整数比 0 小；B 中 |0| = 0；C 中负数也有绝对值，等于它的相反数。 （二）填空题 7. −6。浪费与节约是相反意义的量。 8. 8。 9. 6 或 −6。到原点距离为 6 的点有两个。 10. 3。从 −1 到 0 是 1 个单位，从 0 到 2 是 2 个单位，共 3 个单位长度。 （三）解答题 11. 画出数轴（具备三要素），把 −3、−0.5、0、2 分别标在原点左侧 3 个单位、左侧 0.5 个单位、原点、右侧 2 个单位处，答图如下： 图6 第11题答图 　　自左向右依次为 −3、−0.5、0、2，所以 −3 < −0.5 < 0 < 2。 12. |−6| = 6，|2.5| = 2.5，|0| = 0；−6 的相反数是 6，2.5 的相反数是 −2.5，0 的相反数是 0。 13.（1）比 500 g 多的是第 1 袋（+5）和第 3 袋（+2）；比 500 g 少的是第 2 袋（−3）和第 4 袋（−4）。（2）第 3 袋最接近标重。理由：最接近标重即超出或不足部分的绝对值最小，|+5| = 5，|−3| = 3，|+2| = 2，|−4| = 4，其中 2 最小。 14.（1）点 A 表示 −3，点 B 表示 0，点 C 表示 2。（2）2 > 0，点 C 表示的数大。（3）|−3| = 3，|2| = 2，3 > 2，点 A 表示的数的绝对值大。 / 学科网（北京）股份有限公司 $